Phương trình bậc nhất với sin cosin và phương trình lượng giác khác

Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì nhận... đáp số khác..[r]

Trang PHẦN I: ĐỀ BÀI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Có dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1:

• Chia hai vế phương trình cho 2

a b ta được: (1) 

2 sin 2cos 2

a b c

x x

a b a b a b

 

  

• Đặt:  

2 2

sin a , cos b 0,

a b a b

 

    

 

   

phương trình trở thành:

2

sin sinx cos cosx c

a b

 



 

2

cos(x ) c cos (2)

a b

   



 

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2 2

2

c

a b c

a b

   

 • (2)    x   k2 (kZ)

Lưu ý:

• sin cos 1sin 3cos 2sin( )

2

  

     

 

x x x x x

• sin cos 3sin 1cos 2sin( )

2

  

     

 

x x x x x

• sin cos sin cos sin( )

2



 

     

 

x x x x x

Cách 2:

a) Xét

2

x

x   k     k có nghiệm hay không? b) Xét cos

2

x x  k   

Đặt:

2

2

2

tan , sin , cos ,

2 1 1

x t t

t thay x x

t t



  

  ta phương trình bậc hai theo t:

2

(b c t ) 2at c b  0 (3) Vì x  k2   b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2

' a (c b )  a b  c



Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

x t



Trang 1) Cách thường dùng để giải biện luận

2) Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2  c2 3) Bất đẳng thức B C S:

2 2 2

.sin cos sin cos

y  a x b x  a b x x  a b

2 2 sin cos

miny a b vaømaxy a b x x tanx a

a b b

         

Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo sin x cos x

A

sin xcosx 1 B sin 2xcosx C 2cosx3sinx D 2cosx3sin 3x  Câu 2: Trong phương trình sau, phương trình có nghiệm:

A 2cosx  3 B 3sin 2x  10  C cos2 xcosx  D 3sinx4cosx5 Câu 3: Phương trình sau vơ nghiệm

A sin

x  B sinxcosx  C sin 2xcos 2x D 3sinx4cosx Câu 4: Phương trình sau vơ nghiệm:

A cos

x  B sinxcosx  C sin 2xcos 2x D 3sinx4cosx Câu 5: Phương trình sau vô nghiệm:

A 2sinxcosx B tanx  1

C sin 2xcos 2x2 D 3sinx4cosx Câu 6: Phương trình sau vơ nghiệm

A sin

x  B sinxcosx  C sin 2xcos 2x4 D 3sinx4cosx Câu 7: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm?

A sinx  2 B 1cos

4 x 

C 2sinx3cosx D

cot xcotx 5

Câu 8: Phương trình sau vơ nghiệm?

A sin 2xcos 2x B 3sinx4cosx C sin cos

4

x  D sinxcosx  3 Câu 9: Phương trình sau vô nghiệm:

A sinxcosx3 B cosx3sinx 1 C sin 2xcos 2x D 2sinx3cosx1

Câu 10: Trong phương trình phương trình có nghiệm:

Trang Câu 11: Trong phương trình sau phương trình vơ nghiệm:

A sinxcosx B sinxcosx C sinxcosx  D sinxcosx Câu 12: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm:

A sinx  2 B 1cos 4 x 2

C 2sinx3cosx1 D cot2xcotx  Câu 13: Phương trình vô nghiệm?

A cos3x sin 3x 2 B cos3x sin 3x  C sin

3

x  D 3sin cos

3

x  x 

      

   

   

Câu 14: Nghiệm phương trình cosxsinx là:

A ;

2

xk  x  k  B ;

2

xk x   k 

C ;

6

x  k xk  D ;

4

x  k xk Câu 15: Nghiệm phương trình cosxsinx  là:

A ;

2

x  k  x   k  B ; 2

x  k  x  k 

C ;

3

x   k xk  D ;

x  k xk Câu 16: Nghiệm phương trình sinx cosx là:

A ;

12 12

x  k  x  k  B ;

4

x   k  x  k 

C ; 2

3

x  k  x  k  D ;

4

x   k  x   k  Câu 17: Nghiệm phương trình sin – cosx x 0 là:

A

6

x  k  B

3

x  k  C

6

x  k D

3

x  k Câu 18: Phương trình lượng giác: cosx sinx có nghiệm

A

6

x  k B Vô nghiệm C

x   k D

x  k

Câu 19: Số nghiệm phương trình sinxcosx khoảng 0;

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 20: Nghiệm phương trình: sinxcosx :

A xk2 B

2 2

x k

x k



 

  

   

C

4

x  k  D

2

2

x k

x k

 

 

   



    

Câu 21: Nghiệm phương trình sinx cosx là: A

6

x  k B

x  k  C

6

x   k D

Trang Câu 22: Phương trình  sin  x cos  x 0  có nghiệm

A

2

2

x k

x k

 

 

    



   

, k  B

2

,

x k

k

x k

 

 

    

 

   

C

2

,

x k

k

x k

 

 

    

 

   

D

2

, 12

x k

k

x k

 

 

    

 

   

Câu 23: Nghiệm phương trình sinx cosx

A , ,

4

x   k  x  k  k B , ,

12 12

x  k  x  k  k

C , 2 ,

3

x  k  x  k  k D , ,

4

x   k  x   k  k

Câu 24: Nghiệm phương trình sin 2x cos 2x

A ,

3

x  k k B ,

x  k k C ,

x  k k D ,

x  k k Câu 25: Tìm tất nghiệm phương trình:sinxcosx

A xk2 , k B

2 , 2

x k

k

x k



 

 

 

   

C ,

4

x  k  k D

2

,

x k

k

x k

 

 

   

 

    

Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x cos3x   tương đương với phương trình sau đây: A sin 3x

6 

   

 

  B sin 3x 6

 

   

 

  C

1 sin 3x

6 

   

 

  D

1 sin 3x

6    

 

 

Câu 27: Phương trình 1sin 3cos

2 x x có nghiệm

A ,

6

x  k  k B ,

6

x  k k

C ,

6

x k  k D ,

x  k  k

Câu 28:Phương trình 3cosx2 | sin | 2x  có nghiệm là:

A

x  k B

6

x  k C

4

x  k D

2

x  k Câu 29: Với giá trị m phương trình (m1)sinxcosx có nghiệm

A    m B 0  m C

m m

    

Trang Câu 30: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm :

A m  4 B    m C m  34 D

4

m m

      Câu 31: Với giá trị m phương trình sinxcosx có nghiệm: m

A  2 m B m  C    m D m  2

Câu 32: Cho phương trình: m22 cos 2x2 sin 2m x 1 Để phương trình có nghiệm giá trị thích hợp tham số m

A    m B 1

2 m

   C 1

4 m

   D |m |

Câu 33: Tìm m để pt sin cos2

m

x x có nghiệm

A 1 3  m B 1 2  m C 1 5  m D 0  m

Câu 34: Điều kiện có nghiệm pt sin5a x b cos5x c

A 2

a b c B 2

a b c C 2

a b c D 2

a b c Câu 35: Điều kiện để phương trình sinm x8cosx vơ nghiệm 10

A m  6 B

6

m m

    

 C m   6 D    m

Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sinx m cosx có nghiệm 13

A m  5 B

5

m m

    

 C m   5 D    m

Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình sinm x12cosx  vô nghiệm 13

A m  5 B

5

m m

    

 C m   5 D    m

Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sinx m cosx vơ nghiệm 10

A

8

m m

    

 B m  8 C m   8 D    m

Câu 39: Tìm m để phương trình 5cosx m sinx  có nghiệm m

A m  13 B m 12 C m 24 D m 24

Câu 40: Tìm điều kiện m để phương trình 3sinx m cosx vô nghiệm

A

4

m

m

    

 B m 4 C m   4 D    4 m

Câu 41: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm

A m  4 B    4 m C m  34 D

4

m

m

     

Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx  1 m(1) có nghiệm ;

2

x  

 

A    m B    m C 1  m D    m Câu 43: Tìm m để phương trình msinx5cosx m có nghiệm

Trang Câu 44: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm : 5

A

4

m

m

    

 B m  4 C m  34 D    m

Câu 45: Để phương trình cosxsinx có nghiệm, ta chọn: m

A    1 m 1 B 0 m 2 C m tùy ý D  2 m 2 Câu 46: Phương trình mcos 2xsin 2x m có nghiệm

A ;3

4 m  

  B

4 ;

3 m  

  C

4 ; m 

  D

3 ; m 

 

Câu 47: Cho phương trình 4sinx(m1) cosxm Tìm tất giá trị thực m để phương trình có nghiêm:

A 17

m  B 17

2

m   C 17

2

m  D 17

2

m 

Câu 48: Phương trình3sinx– 4cosxm có nghiệm

A    m A m 5hoặc m –5 C m D m –5

Câu 49: Cho phương trình lượng giác:3sinxm1 cos x5 Định mđể phương trình vơ nghiệm A   3 m B m  5 C m 3 haym5 D    m Câu 50: Cho phương trình sinm x cos m x  Tìm m m để phương trình có nghiệm

A 1

3  m B

1

m 

C Khơng có giá trị củam D m  3 Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin2x m sin 2x2m vô nghiệm

A 0

3

m

  B

0

m

m

     

C 0

3

m

  D

0

m

m

     

Câu 52: Tìm m để phương trình msinx5cosx  có nghiệm: m

A m 12 B m  6 C m 24 D m  3

Câu 53: Cho phương trình sin cos

3

 

     

   

x  x  m Tìm m để phương trình vô nghiệm

Trang PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x6cos2x13

A Vô nghiệm B xk,k C x  k2 , k D xk2 , k Câu 2: Phương trình sinxcosx sin 5x có nghiệm

A 2,

6 x k k x k              

B 12 , 24 x k k x k              

C 16 2,

8 x k k x k              

D 18 2,

9 x k k x k              

Câu 3: Phương trình 2sin2 x sin 2x có nghiệm

A ,

3

x  k k B ,

x  k k C ,

x  k k D

,

x  k k

Câu 4: Phương trình sin 8xcos 6x sin 6 xcos8x có họ nghiệm là:

A

12 x k x k             

B

6 x k x k             

C

7 x k x k             

D

9 x k x k             

Câu 5: Phương trình: 3sin 3x cos9x 1 4sin 33 x có nghiệm là:

A 9 x k x k              

B

2 9 9 x k x k              

C

2 12 12 x k x k              

D

54 18 x k x k               

.Câu 6: Phương trình 8cos

sin cos

 

x

x x có nghiệm là:

A 16

4              x k x k

B 12

3              x k x k

C

6              x k x k

D

2              x k x k

Trang

A ,

6

x  k  k B

2 ( ) 66 11 x k k Z x k              

C ,

66 11

x  k  k D khác

Câu 8: Phương trình:

2

sin os 3cosx =

2

x x

c

   

 

  có nghiệm là:

A  

2 x k k Z x k               

B  

2 2 x k k Z x k               

C ,

6

x   k  k D ,

x  k k

Câu 9: Phương trình:

2 sin cos cos

8 8

  

         

     

x  x  x  có nghiệm là:

A 24              x k x k

B

3 12              x k x k

C

5 16              x k x k

D

5 24              x k x k

Câu 10: Phương trình: 4sin sin sin cos

3

 

      

   

   

x x x x có nghiệm là:

A 3            x k x k

B

3            x k x k

C

          x k x k

D

2            x k x k

Câu 11: Phương trình 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2xcó nghiệm là: A

6

 

 

x k B

6

 

  

x k C

3

 

 

x k D Vô nghiệm

Câu 12: Phương trình sin cos cos2

8 8

x  x  x 

         

     

      có nghiệm là:

A , 24 x k k x k              

B

3 , 12 x k k x k               C , 16 x k k x k              

D

5 , 24 x k k x k              

Câu 13: Giải phương trình 1

Trang

A , ,

4

xk x  k k B xk,k

C Vô nghiệm D ,

4

x  k k

Hướng dẫn giải: Chọn C

Điều kiện: sin sin cos

x

x x

 

 

 



Trang 10 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH

Câu 1: Phương trình 1cosx cos x cos x sin x   0 tương đương với phương trình

A cosx cosx cos x  0 B cosx cosx cos x  0

C sinx cosx cos x  0 D cosx cosx cos x  0

Câu 2: Phương trình sin3x4sin cos 2x x có nghiệm là: A

2

3

x k

x n

   

 

    

, k n , B

6

x k

x n

   

 

    

, k n ,

C

4

x k

x n

    

 

    

,k n , D

2

3

x k

x n

    

 

    

, k n ,

Câu 3: Số nghiệm thuộc ;69 14 10

 

 



  phương trình  

2

2sin 4sinx  x 0 là:

A 40 B 34 C 41 D 46

Câu 4: Nghiệm dương nhỏ pt 2sinxcosx1 cos xsin2x là: A

6

x  B

6

x  C x D

12

x 

Câu 5: [1D1-2] Nghiệm pt cos2xsin cosx x là:

A ;

4

x  k x  k B

2

x  k

C

x  k D ;

6

x  k x  k

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ pt 2sinx2 sin cosx x là: A

4

x  B

4

x C

3

x D x

Câu 7: Tìm số nghiệm khoảng ( ; ) phương trình :

2

2(sinx1)(sin x2 3sinx 1) sin x cosx4

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 8: Giải phương trình sin 22 xcos 32 x1

A xk2π,k B 2π,

5

xk k

C x π k kπ,  D. π π,

5

xk  x k k

Câu 9: Phương trình 4cosx2cos 2xcos 4x1 có nghiệm là:

A ,

2

x k

k x k

     

 

  

B x k 2,k

x k

 

   

 

  

Trang 11 C 3 , x k k x k            

D 3,

4 x k k x k            

Câu 10: Phương trình 2sinxcosxsin 2x  có nghiệm là: 1

A 6 x k x k x k                  

, k  B

2 6 x k x k x k                  

, k 

C 6 x k x k x k                   

, k  D

2 6 x k x k x k                   

, k 

Câu 11: Phương trình sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình A sin sin x x      

B sin

sin x x    

 C

sin sin x x     

 D

sin sin x x       

Câu 12: Giải phương trìnhsin 2xcotxtan 2x4cos2x A

2 ,

x  k x k, k  B

2 ,

x  k x k , k  C

2 ,

x  k x k , k  D

2 ,

x  k x k , k  Câu 13: Giải phương trình cos3xsin3xcos 2x

A , ,

2

xk  x  k x  k , k  B , ,

2

xk  x   k  x  k  , k 

C , ,

2

xk  x   k  x  k , k  D , ,

2

xk x  k x  k , k  Câu 14: Giải phương trình sin xcosxtanx0

A

4 ,

x  k  x  k , k  B

4

2 ,

x  k  x k , k  C

4

2 ,

x  k  x  k  , k  D

4 ,

x  k  x k, k  Câu 15: Một họ nghiệm phương trình cos sin 3x xcosx0 :

A

6

 

  k B

6

  k

C

2



k D

4



k

Câu 16: Phương trình 2sinxcotx 1 2sin 2x tương đương với phương trình A 2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

  

   

 B

2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

 

   

Trang 12 C 2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

  

   

 D

2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

 

   



Câu 17: Giải phương trình sin3xcos3x2 sin 5xcos5x A

4

x  k , k  B

4

k

x   , k  C

4

x  k , k  D

4

x   k  , k  Câu 18: Giải phương trình tanxtan 2x sin cos 2x x

A

3

,

k

x  x  k , k  B

3 , 2

k

x  x  k  , k  C

3

k

x  , k  D xk2, k 

Câu 19: Cho phương trình sin2 tan2 cos2 (*)

2

x x

x 

    

 

  x k (1),

 

   x  k2 (2),

2 (3),

x  k  với k  Các họ nghiệm phương trình (*) là:

A (1) (2) B (1) (3) C (1), (2) (3) D (2) (3) Câu 20: Phương trình sin cos3x xsin 4x2 sin cos5x x có nghiệm là:

A , 1arccos ,

4 12

k k

x  x    k B , arccos ,

4 48

k k

x  x    k

C Vô nghiệm D ,

2

k

x  k

Câu 21: Nghiệm dương nhỏ phương trình sinxsin 2xcosx2cos2x :

A



B 2

3



C

4



D

3



Vậy nghiệm dương nhỏ

4





x

Câu 22: Một nghiệm phương trình lượng giác: sin2xsin 22 xsin 32 x2 A

3



B

12



C



D



Câu 23: Nghiệm dương nhỏ phương trình

2cos xcosxsinxsin 2xlà? A

6





x B

4





x C

3





x D

3





x

Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm thỏa phương trình có giá trị nhỏ nhận

Câu 25: Phương trình sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình: A sin

sin     

x

x B

sin sin

 

   

x

x

C

sin sin

2      

x

x C

sin sin

2   

   

x

Trang 13 Câu 26: Phương trình sin 3x4sin cos 2x x0 có nghiệm là:

A            x k

x n B

6            x k

x n C

2             x k x n

D

2 3             x k x n

Câu 27: Phương trình 2cot 2x3cot 3xtan 2x có nghiệm là: A

3





x k B xk C xk2 D Vơ nghiệm Câu 28: Phương trình cos4xcos2x2sin6x0 có nghiệm là:

A

 

 

x k B

4

 

 

x k C xk D xk2

Câu 29: Phương trình: 4cos5x.sinx4sin5x.cosxsin 42 x có nghiệm là:

A

8            x k x k

B

4            x k x k

C 3

4           x k

x k D

2           x k

x k

Câu 30: Phương trình:   

sinxsin 2x sinxsin 2x sin 3x có nghiệm là:

A

2          x k x k

B

4          x k x k

C

2         x k x k

D

2        x k

x k

Câu 31: Phương trình cos sin cos sin

 



x

x x

x có nghiệm là:

A                    x k x k x k

B

2                   x k x k x k

C

3 2                    x k x k x k

D

5                   x k x k x k

Câu 32: Phương trình 2sin cos

sin cos

  

x x

x x có nghiệm là:

A

 

 

x k B

4

 

  

x k C

4

 

 

x k D

4

 

  

x k

Câu 33: Phương trình sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x có nghiệm là:

A 12

4          x k x k

B

2          x k x k

C

        x k x k

D

2         x k x k

Câu 34: Phương trình sin sin sin 3 cos cos cos

  

 

x x x

x x x có nghiệm là:

A

3

 

 

Trang 14 B

6

 

 

x k

C

3

 

 

x k

D , , , 

6

x  k  x  k  x  k  k

Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0;  phương trình: tanxsinx tanxsinx  3tanx là:

A ,5 8

 

B ,3

4

 

C ,5

6

 

D

6



Câu 36: Phương trình   

2sinx1 3cos 4x2sinx4 4cos x3 có nghiệm là:

A                    x k x k x k

B

2 6                   x k x k x k

C

2                    x k x k x k

D

2 2 3                   x k x k x k

Câu 37: Phương trình tan cot 2sin sin

  

x x x

x có nghiệm là:

A

12

 

  

x k B

6

 

  

x k C

3

 

  

x k D

9

 

  

x k

Câu 38: Phương trình: sin xcosxsin 3xcos 3x2 2 sin 2  x có nghiệm

A

4

x  k  , k  B

4

x   k  , k 

C

2

x  k  , k  D

2

x   k  , k  Câu 39: Một nghiệm phương trình cos2xcos 22 xcos 32 x1 có nghiệm

A

8

x B

12

x  C

3

x D

6

x

Câu 40: Phương trình: 2

sin cos sin 4sin

4 2

x x x x   

  có nghiệm

A

7 x k x k              

, k  B

2 x k x k              

, k 

C 6 x k x k              

, k  D

6 x k x k              

, k 

Câu 41: Giải phương trình sin2 xsin 32 xcos2xcos23x

A

4

x   k  , k  B ,

4

k k

Trang 15

C ,

4

k k

x   x   , k  D ,

4

k k

x    x   , k  Câu 42: Phương trình:sin12 cos12 2(sin14 cos14 ) 3cos2

2

x x x x  x có nghiệm A

4

x  k, k  B

4

x  k , k 

C

4

x  k  , k  D Vô nghiệm Câu 43: Giải phương trình

2

6

cos sin cot

cos sin

x x

x

x x

 



A

4

x  k  B

4

x  k C

4

x   k  D

4

k

x  

Câu 44: Giải phương trình  

2

6

cos sin sin 8cot

cos sin

x x x

x

x x

 



A

4

x   k B

4

k

x    C

x  k D

4

k

Trang 16 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG THƯỜNG GẶP

Câu 1: Giải phương trình tanxcotx2tanxcotx2

A Cả đáp án B ,

4

x k k

C ,

6

x  k k D ,

4

x  k k

Câu 2: Giải phương trình

10 10 6

2

sin cos sin cos 4 cos sin

x x x x

x x

  



A

2

2 ,

xk  x  k , k  B

2

k

x   , k  C

2

x  k , k  D

2

,

xk x  k  , k 

Câu 3: Cho phương trình: 2  

4cos xcot x 6 2cosxcotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ?

A 3 B 2 C 1 D 0

Câu 4: Cho phương trình: 2  

4cos xcot x 6 2cosxcotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ?

A 3 B 2 C 1 D đáp số khác Câu 5: Phương trình: sin 3xcosx2sin 3xcos3x1 sin x2cos3x0 có nghiệm là:

A

 

 

x k B

4

 

 

x k C

3

 

 

x k D Vơ nghiệm Câu 6: Giải phương trình

3

x

cos cos x

A



 

 

   

    



    

3

3

x k

x k

x k

B



 

 

   

    



    

4

x k

x k

x k

C



 

  

    

3

x k

x k D



 

  

    

3

3

x k

x k

Câu 7: Giải phương trình

1 sin sin sin sin

x x

x x

   

  với x 0;2

     A

12

x  B

4

x  C

3

x  D

6

x 

Câu 8: Để phương trình: 2sin2x2cos2x  có nghiệm, giá trị cần tìm tham số m là: m

Trang 17 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Có dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1:

• Chia hai vế phương trình cho 2

a b ta được: (1) 

2 sin 2cos 2

a b c

x x

a b a b a b

 

  

• Đặt:  

2 2

sin a , cos b 0,

a b a b

 

    

 

   

phương trình trở thành:

2

sin sinx cos cosx c

a b

 



 

2

cos(x ) c cos (2)

a b

   



 

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

2 2

2

c

a b c

a b

   

 • (2)    x   k2 (kZ)

Lưu ý:

• sin cos 1sin 3cos 2sin( )

2

  

     

 

x x x x x

• sin cos 3sin 1cos 2sin( )

2

  

     

 

x x x x x

• sin cos sin cos sin( )

2



 

     

 

x x x x x

Cách 2:

a) Xét

2

x

x   k     k có nghiệm hay không? b) Xét cos

2

x x  k   

Đặt:

2

2

2

tan , sin , cos ,

2 1 1

x t t

t thay x x

t t



  

  ta phương trình bậc hai theo t:

2

(b c t ) 2at c b  0 (3) Vì x  k2   b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

2 2 2

' a (c b )  a b  c

Trang 18 Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

2

x t



Ghi chú:

1) Cách thường dùng để giải biện luận

2) Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2b2  c2 3) Bất đẳng thức B C S:

2 2 2

.sin cos sin cos

y  a x b x  a b x x  a b

2 2 sin cos

miny a b vaømaxy a b x x tanx a

a b b

         

Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo sin x cos x

A sin2xcosx 1 B sin 2xcosx C 2cosx3sinx D 2cosx3sin 3x  Hướng dẫn giải:

Chọn C

Phương trình asinxbcosx c  1 a b c , , a2b2 0 gọi phương trình bậc

nhất sin , cosx x

Câu 2: Trong phương trình sau, phương trình có nghiệm:

A 2cosx  3 B 3sin 2x  10  C cos2 xcosx  D 3sinx4cosx5 Hướng dẫn giải::

Chọn D

Câu D: 3sinx4cosx5, phương trình bậc theo sin x cos x Phương trình có nghiệm 2

3 4 25 5 Câu A: 2cosx  3 cos

2

x

    PT vô nghiệm

Câu B: sin 10

x    PT vô nghiệm Câu C: cos2 xcosx 6 cos

cos

x

x

  

     

 PT vơ nghiệm

Câu 3: Phương trình sau vô nghiệm A sin

3

x  B sinxcosx  C sin 2xcos 2x D 3sinx4cosx Hướng dẫn giải:

Chọn B

PT sinxcosx  vơ nghiệm khơng thoả ĐK 2

a b c Câu 4: Phương trình sau vơ nghiệm:

A cos

x  B sinxcosx  C sin 2xcos 2x D 3sinx4cosx Hướng dẫn giải:

Trang 19 Câu A có nghiệm 1

3

Câu B có nghiệm a2b2     3  1 Câu C có nghiệm 2  2

3

a b     Câu D vơ nghiệm 2 2

3 25

a b     Câu 5: Phương trình sau vô nghiệm:

A 2sinxcosx 3 B tanx  1

C sin 2xcos 2x2 D 3sinx4cosx Hướng dẫn giải:

Chọn A

Câu A vơ nghiệm a2b222  12 32 Câu 6: Phương trình sau vô nghiệm

A sin

x  B sinxcosx  C sin 2xcos 2x4 D 3sinx4cosx Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu A có nghiệm 1 4

Câu B có nghiệm 2  2

3

a b      Câu C vơ nghiệm a2b2    3  4 Câu D có nghiệm a2b2  32 42 2552

Câu 7: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm?

A sinx  2 B 1cos

4 x 

C 2sinx3cosx D cot2xcotx 5

Hướng dẫn giải: Chọn C

Phương trình sin s inx

x    , mà

3  nên phương trình vơ nghiệm Phương trình 1cos cos

4 x 2 x nên phương trình vơ nghiệm Phương trình 2sinx3cosx có +3 >12 nên phương trình có nghiệm Phương trình

2

2 19

cot cot cot

x x   t   

  nên phương trình vơ nghiệm

Câu 8: Phương trình sau vơ nghiệm?

A sin 2xcos 2x B 3sinx4cosx C sin cos

4

x  D sinxcosx  3 Hướng dẫn giải:

Trang 20 Ta có:      

2 2 2

3  1   4 nên phương trình sinxcosx  vơ nghiệm 3 Câu 9: Phương trình sau vơ nghiệm:

A sinxcosx3 B cosx3sinx 1 C sin 2xcos 2x D 2sinx3cosx1

Hướng dẫn giải: Đáp án A

2 2

sinxcosx(1  ( 1) )(sin xcos x)  nên phương trình vơ nghiệm

2 2

(1 )(sin cos

3 x x) 10

cosx sinx      nên phương trình có nghiệm

2 2

3 sin 2xcos 2x(( 3)  ( 1) )(sin xcos x)102 nên phương trình có nghiệm

2 2

(2 )(sin cos ) 13

2sinx3cosx  x x  1 nên phương trình có nghiệm Câu 10: Trong phương trình phương trình có nghiệm:

A sinx2cosx B sinxcosx C sinxcosx  D sinxcosx Hướng dẫn giải:

Chọn C

Lần lượt thử đáp án

sinx2cosx vơ nghiệm 1222 32nên loại đáp án A sinxcosx vơ nghiệm  2 2  nên loại đáp án 12 22 B sinxcosx  có nghiệm  2 2  12  1 2 Vậy chọn C Câu 11: Trong phương trình sau phương trình vô nghiệm:

A sinxcosx B sinxcosx C sinxcosx  D sinxcosx Hướng dẫn giải:

Chọn D

Lần lượt thử đáp án

sinxcosx vơ nghiệm 12 12 32 nên chọn đáp án A Câu 12: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm:

A sinx  2 B 1cos 4 x 2

C 2sinx3cosx1 D cot2xcotx  Hướng dẫn giải::

Chọn C

Câu C: 2sinx3cosx1 phương trình bậc theo sin x cos x, phương trình có nghiệm

2 2

2   (đúng) 3

Câu A: sin sin

x  x   PTVN

Câu B: 1cos cos

4 x 4 x   PTVN

Câu D: cot2xcotx  vô nghiệm   190 Câu 13: Phương trình vơ nghiệm?

Trang 21 C sin

3

x  D 3sin cos

3

x  x 

      

   

   

Hướng dẫn giải: Chọn C

Các phương trình đáp án A, B, D để có dạng AcosaxBsinax C A2B2C2 nên phương trình có nghiệm

Phương trình đáp án C có dạng sin x m với 3,14

3

m   nên phương trình vơ nghiệm

Câu 14:Nghiệm phương trình cosxsinx là:

A ;

2

xk  x  k  B ;

2

xk x   k 

C ;

6

x  k xk  D ;

4

x  k xk Hướng dẫn giải:

Chọn A

cosxsinx1

2

2 4

2 sin sin

3

4

2 4

x k

x x

x k

  

 

  

    

   

         

       



 

2 2

x k

k

x k



 

  

 

   

Câu 15: Nghiệm phương trình cosxsinx  là:

A ;

2

x  k  x   k  B ; 2

x  k  x  k 

C ;

3

x   k xk  D ;

x  k xk Hướng dẫn giải:

Chọn B

cosxsinx 1

2

2 4

2 sin sin

5

4

2 4

x k

x x

x k

  

 

  

     

   

           

       



 

2

2

x k

k

x k

 

 

   

 



  

Câu 16: Nghiệm phương trình sinx cosx là:

A ;

12 12

x  k  x  k  B ;

4

x   k  x  k 

C ; 2

3

x  k  x  k  D ;

4

x   k  x   k  Hướng dẫn giải:

Trang 22 sinx cosx 1sin 3cos cos sin sin cos sin

2 x x x x

  

     

 

2

3 12

sin sin

3

3

2

3 12

x k x k

x k

x k x k

    

 

    

       

 

 

      

        

 



Câu 17: Nghiệm phương trình sin – cosx x 0 là:

A

6

x  k  B

3

x  k  C

6

x  k D

3

x  k Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có sin – cosx x 0 1sin – 3cos

2 x x

  sin

3

x 

     

 

3

x  k

    

3

x  k k

   

Câu 18: Phương trình lượng giác: cosx sinx có nghiệm

A

6

x  k B Vô nghiệm C

x   k D

x  k

Hướng dẫn giải: Chọn A

 

3

cos sin sin cos sin( ) ,

2 6

x x  x x  x    x  k k Câu 19: Số nghiệm phương trình sinxcosx khoảng  0;

A 0 B 1 C 2 D 3

Hướng dẫn giải: Chọn B

2 sin cos sin sin

4

x x  x   x 

   

 

2

sin s

2

,

in

4

x k

k x

x k

 

 



  

  

    



  





Trên khoảng 0; phương trình có nghiệm

x 

Câu 20: Nghiệm phương trình: sinxcosx :

A xk2 B

2 2

x k

x k



 

  

   

C

4

x  k  D

2

2

x k

x k

 

 

   



    

Hướng dẫn giải: Chọn B

2 sin cos sin sin

4

x x  x   x 

Trang 23

sin sin

4

2

x k

x

x k

 

 



  

  

    



  



Câu 21: Nghiệm phương trình sinx cosx là: A

6

x  k B

x  k  C

6

x   k D

x  k  Hướng dẫn giải:

Chọn D

1

sin cos

sin cos

2

x x  x x

 

sin 2

3 ,

x  x   k  x  k  k

 

          

  

Câu 22: Phương trình  sin  x cos  x 0  có nghiệm

A

2

2

x k

x k

 

 

    



   

, k  B

2

,

x k

k

x k

 

 

    

 

   

C

2

,

x k

k

x k

 

 

    

 

   

D

2

, 12

x k

k

x k

 

 

    

 

   

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có tan5 12

 



 Chia hai vế PT cho 1 PT: sin tan5 cos

12

x  x  sin cos5 cos sin5 cos5

12 12 12

x   x     sin cos5

12 12

x  

   

 

 

sin sin

12 12

x  

    

   

    

2 12 12

2

12 12

x k

x k

  

   

     



     



2 3

2

x k

x k

 

 

   



   



2

2

x k

x k

 

 

   



    

(k  )

Câu 23: Nghiệm phương trình sinx cosx

A , ,

4

x   k  x  k  k B , ,

12 12

x  k  x  k  k

C , 2 ,

3

x  k  x  k  k D , ,

4

x   k  x   k  k Hướng dẫn giải:

Chọn B

Chia hai vế PT cho ta 1sin 3cos

2 x x sin x sin

 

    

Trang 24 

2

2

3

x k

x k

  

   

    



     



2 12

2 12

x k

x k

 

 

    



   

(k  )

Câu 24: Nghiệm phương trình sin 2x cos 2x

A ,

3

x  k k B ,

x  k k C ,

x  k k D

,

x  k k Hướng dẫn giải: Chọn D

Chia hai vế PT cho ta 1sin 3cos

2 x x sin 2x    

 

  2x k

 

 



6

x  k (k  )

Câu 25: Tìm tất nghiệm phương trình:sinxcosx

A xk2 , k B

2 , 2

x k

k

x k



 

 

 

   

C ,

4

x  k  k D

2

,

x k

k

x k

 

 

   

 

    

Hướng dẫn giải: Chọn B

Phương trình đã cho tương đương với sin sin

4

x  x 

      

   

   

2 4

2

4

x k

x k

  

   

    

 

     



2 2

x k

x k



 

  

   

(k  )

Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x cos3x   tương đương với phương trình sau đây: A sin 3x

6 

   

 

  B sin 3x 6

 

   

 

  C

1 sin 3x

6 

   

 

  D

1 sin 3x

6    

 

 

Hướng dẫn giải: Chọn C

3 1

3 sin 3x cos 3x sin cos x x

       sin 3x

6 

 

    

 

Câu 27: Phương trình 1sin 3cos

2 x x có nghiệm

A ,

6

x  k  k B ,

6

Trang 25

C ,

6

x  k  k D ,

x  k  k

Hướng dẫn giải: Chọn A

1

sin cos sin

2 x x x



       

  sin x       

 

2

3

x   k  x  k 

       (k  )

Câu 28:Phương trình 3cosx2 | sin | 2x  có nghiệm là:

A

x  k B

6

x  k C

4

x  k D

2

x  k Hướng dẫn giải:

Chọn D

3cosx2 | sin | 2x  2 | sin | 3cosx   x

2

4sin 12 cos cos

cos

x x x

x

   

  

 

 

4 cos 12 cos cos

cos

x x x

x

    

  

  

2

cos 13cos 12 cos

12

cos (L) cos

13

x

x x

x x



   

 

 

  

 



 

x  k k

   

Câu 29: Với giá trị m phương trình (m1)sinxcosx có nghiệm A    m B 0  m C

3

m m

    

 D   m Hướng dẫn giải:

Chọn C

Phương trình có nghiệm :

 2  2

2 2

1

a b c  m    m 

1

m m

m m

  

 

 

    

 

Câu 30: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm :

A m  4 B    m C m  34 D

4

m m

      Hướng dẫn giải:

Chọn D

Phương trình có nghiệm :

2 2 2

9 25 16

4

m

a b c m m

m

 

        

  

Câu 31: Với giá trị m phương trình sinxcosx có nghiệm: m

A  2 m B m  C    m D m  2 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Phương trình có nghiệm 2 2

1 2

Trang 26 Câu 32: Cho phương trình: m2 2 cos 2x2 sin 2m x 1 Để phương trình có nghiệm giá trị thích hợp tham số m

A    m B 1

2 m

   C 1

4 m

   D |m | Hướng dẫn giải:

Chọn D

Cách (Chuyển PT dạng asinx b cosx ) c

Áp dụng công thức hạ bậc cho cos x2 , PT trở thành m2 2 m22 cos 2 x4 sin 2m x 

  

4 sin 2m x m 2 cos 2xm 

ĐK PT có nghiệm  2  2  2 2 2

4m  m 2  m 4 m 2  m  1

Cách (Chuyển PT dạng bậc hai theo HSLG)

Ta có cosx  khơng nghiệm PT Chia hai vế PT cho 0 cos x2 ta

2

2 tan tan

m   m x  x tan2x4 tanm x m 2 3 PT có nghiệm    2

4m m  3 m 2  m  1 Câu 33: Tìm m để pt sin cos2

2

m

x x có nghiệm

A 1 3  m B 1 2  m C 1 5  m D 0  m

Hướng dẫn giải: Chọn C

Áp dụng CT hạ bậc ta sin cos

2

x m

x   2sin 2xcos 2x  m ĐK PT có nghiệm 2 2  2

2  1 m1 m  1 1 5  m

Câu 34: Điều kiện có nghiệm pt sin5a x b cos5x c

A a2b2 c2 B a2b2 c2 C a2b2 c2 D a2b2 c2 Hướng dẫn giải:

Chọn C

ĐK PT có nghiệm 2

a b c

Câu 35: Điều kiện để phương trình sinm x8cosx vô nghiệm 10

A m  6 B

6

m m

    

 C m   6 D    m

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có: am b; 8;c10

Phương trình vơ nghiệm 2 2

64 100

a b c m

     

2

36 6

m m

     

Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sinx m cosx có nghiệm 13

A m  5 B

5

m m

    

 C m   5 D    m

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có: a12;bm c; 13

Phương trình có nghiệm 2 2 2

12 13

a b c m

Trang 27

2

25

m

 

5

m

m

     



Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình sinm x12cosx  vô nghiệm 13

A m  5 B

5

m m

    

 C m   5 D    m

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có: am b; 12;c 13

Phương trình vơ nghiệm 2 2

144 169

a b c m

     

2

25 5

m m

     

Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sinx m cosx vơ nghiệm 10

A

8

m m

    

 B m  8 C m   8 D    m

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có: a6;b m c; 10

Phương trình vơ nghiệm 2 2 2

6 10

a b c m

     

2

64 8

m m

     

Câu 39: Tìm m để phương trình 5cosx m sinx  có nghiệm m

A m  13 B m 12 C m 24 D m 24

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có: a5;b m c;  m 1

Phương trình có nghiệm 2 2 2 2 2  2

5

a b c m m

      

2

25 m m 2m

     242m m 12

Câu 40: Tìm điều kiện m để phương trình 3sinx m cosx vơ nghiệm

A

4

m

m

    

 B m 4 C m   4 D    4 m

Hướng dẫn giải: Chọn D

Phương trình đã cho vô nghiệm 2

3 m 5     m Câu 41: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm

A m  4 B    4 m C m  34 D

4

m

m

      Hướng dẫn giải:

Chọn D

Phương trình sinm x3cosx có nghiệm  2 2

3 16

m m

       4

m

m

     

Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx  1 m(1) có nghiệm ;

2

x  

 

A    m B    m C 1  m D    m Hướng dẫn giải:

Trang 28

(1 ) 2sin

m cosx   x Vì:   

 2; 

x nên 1cosx đó:

2

1 4sin

1 2sin 2 2

(tan 1) tan

1 2 2

x x

cos

x x x

m m m

cosx cos x

 

      



2

2 tan tan

2

x x

m

   

Cách 1: 2 tan2 tan (2 tan )2

2 2

x x x

m    m  

Vì     2; 

x nên tan 1 tan (2 tan )2 (2 tan )2

2 2

x x x x

                 Vậy:  2 2m     m

Cách 2: Đặt: tan

2

x

t  ta có     2; 

x t   1;1 ta có: 2m t2  với t

 1;1

t   P t( )  t2 t ( )P

Do ( )P parabol có hệ số a 0 đỉnh I(2; 3) nên ( )P xng 1;1 đường thẳng

y m cắt ( )P với t   1;1 khi: P( 1) 2 mP(1)  2 2m    6 m

Câu 43: Tìm m để phương trình msinx5cosx m có nghiệm

A m 12 B m 6 C m 24 D m 3 Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Phương trình: msinx5cosx m phương trình dạng asinx b cosxc với am b, 5,c m Nên phương trình có nghiệm khi:

2 2 2

5 ( 1) 12

a b c m   m   m

Câu 44: Điều kiện để phương trình sinm x3cosx có nghiệm : 5

A

4

m

m

    

 B m  4 C m  34 D    m

Hướng dẫn giải: Chọn A

.sin 3cos

m x x có nghiệm  2 2

3 16

4

m

m m

m

           

 

Câu 45: Để phương trình cosxsinx có nghiệm, ta chọn: m

A    1 m 1 B 0 m 2 C m tùy ý D  2 m 2 Hướng dẫn giải:

Chọn D

Phương trình cosxsinx có nghiệm m   12 12 m2 m2    2 m  2; 2 Câu 46: Phương trình mcos 2xsin 2x m có nghiệm

A ;3

4 m  

  B

4 ;

3 m  

  C

4 ; m 

  D

3 ; m 

 

Trang 29 Phương trình mcos 2xsin 2x m có nghiệm m2 12 m22

2

1 4

4

m m m m m

         Vậy 3;

4

m 



Câu 47: Cho phương trình 4sinx(m1) cosxm Tìm tất giá trị thực m để phương trình có nghiêm:

A 17

m  B 17

2

m   C 17

2

m  D 17

2

m 

Hướng dẫn giải: Chọn D

Để phương trình có nghiệm :

 2

2

2

4

16 17

17

m m

m m m

m

m

          

 

Câu 48: Phương trình3sinx– 4cosxm có nghiệm

A    m A m 5hoặc m –5 C m D m –5 Hướng dẫn giải::

Chọn A

Ta có: a3,b 4,cm Phương trình 3sinx– 4cosxmcó nghiệm khi:32  4 m2 m2 25    5 m

Câu 49: Cho phương trình lượng giác:3sinxm1 cos x5 Định mđể phương trình vơ nghiệm A   3 m B m  5 C m 3 haym5 D    m Hướng dẫn giải::

Chọn A

Ta có: phương trình 3sinxm1 cos x5vô nghiệm khi:

 2

2 2

3  m1 5 m 2m15    0 x

Câu 50: Cho phương trình sinm x cos m x  Tìm m m để phương trình có nghiệm

A 1

3  m B

1

m 

C Khơng có giá trị củam D m  3 Hướng dẫn giải::

Chọn C

Ta có: phương trình sinm x cos m x  có nghiệm khi: m

   

 

2 2

2

3

1

! 1

3

m

m m m

m m

       

 



  

  



Vậy khơng có giá trị m thỏa ycbt

Trang 30

A 0

3

m

  B

0

m

m

     

C 0

3

m

  D

0

m

m

     

Hướng dẫn giải:

Chọn D

2

2sin x m sin 2x2m

1 cos 2x msin 2x 2m msin 2x cos 2x 2m

       

Phương trình vô nghiệm 2  2

4

1

0

m

m m m m

m

  

      

   Câu 52: Tìm m để phương trình msinx5cosx  có nghiệm: m

A m 12 B m  6 C m 24 D m  3

Hướng dẫn giải: Chọn A

Để phương trình sinm x5cosx  có nghiệm m

 2

2

5 24 12

m   m  m   m

Câu 53: Cho phương trình sin cos

3

 

     

   

x  x  m Tìm m để phương trình vô nghiệm

A    ; 1 1;  B   ; 1 1; C 1;1 D m Hướng dẫn giải:

Chọn B

Để phương trình sin cos

3

 

     

   

x  x  m có nghiệm

2 

a b c

   

2

1 ; 1;

Trang 31 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN

Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x6cos2x13

A Vô nghiệm B xk,k C x  k2 , k D xk2 , k Hướng dẫn giải:

Chọn A

Lưu ý câu ta dùng phương pháp thử phương án

Ta có 5sin 2x6cos2x135sin 2x3cos 2x16(vô nghiệm) 52 ( 3)2 162 Câu 2: Phương trình sinxcosx sin 5x có nghiệm

A 2,

6

x k

k

x k

 

 

   

 

   

B 12 , 24

x k

k

x k

 

 

   

 

   

C 16 2,

8

x k

k

x k

 

 

   

 

   

D 18 2,

9

x k

k

x k

 

 

   

 

   

Hướng dẫn giải: Chọn C

Chia hai vế PT cho sin cos sin

2 x x x sin x sin 5x 

      



5

4

5

4

x x k

x x k

 



 

    



     

 16

8

x k

x k

 

 

   



   

(k  )

Câu 3: Phương trình 2sin2 x sin 2x có nghiệm

A ,

3

x  k k B ,

x  k k C ,

x  k k D

5

,

x  k k Hướng dẫn giải: Chọn A

2

2sin x sin 2x3  1 cos 2x sin 2x3 sin 2xcos 2x2

3

sin cos 2 x x

   sin

6

x 

 

   

  sin 2x 

 

   

 

2

6

x   k 

    ,

3

x  k k

   

Trang 32

A

12 x k x k             

B

6 x k x k             

C

7 x k x k             

D

9 x k x k             

Hướng dẫn giải: Chọn A

 

sin 8xcos 6x sin 6xcos8x sin 8x cos8x sin 6xcos 6x

1 3

sin cos8 sin cos sin sin

2 x x x x x x

 

   

          

   

 

8

3

5

8

2

,

1

3

x x k x k

x k

x x k

k                                  

Câu 5: Phương trình: 3sin 3x cos9x 1 4sin 33 x có nghiệm là:

A 9 x k x k              

B

2 9 9 x k x k              

C

2 12 12 x k x k              

D

54 18 x k x k               

Hướng dẫn giải: Chọn D

3

3sin 3x cos9x 1 4sin 3x3sin 3x4sin 3x cos9x 1

1

sin cos sin cos sin sin

2 2

x x x x  x   

         

 

 

2

9

3 54

5

9

3 18

,

k

x k x

k

x k x

k                                  

Câu 6: Phương trình 8cos

sin cos  

x

x x có nghiệm là:

A 16

4              x k x k

B 12

3              x k x k

C

6              x k x k

D

2              x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn B

Điều kiện: sin cos sin ,



     m 

Trang 33

3 cos sin

8cos 4sin cos cos sin

sin 2



 x x   

x x x x x

x

 

2 sin sin 3 cos sin 2sin 3 cos sin  x x  x x x x x

3

sin cos sin sin sin cos cos sin

2 3

 

 x x x x x x

 

3

3 12

sin sin

3

3

   





 

 

      

 

 

      

         



 



k

x x k x

x x k

x k

x x k

Kết hợp với điều kiện (1), nghiệm phương trình

12

 

 k

x ;

3

 

 

x k k 

CÁCH KHÁC:

Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …) Kiểm tra giá trị

16





x đáp án A,





x đáp án C,





x đáp án C khơng thỏa phương trình (chú ý lấy giá trị họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không

thuộc họ nghiệm đáp án khác); kiểm tra giá trị

12





x đáp án B thỏa phương trình Câu 7: Phương trình sin 4xcos7x 3(sin 7xcos4 )x 0có nghiệm

A ,

6

x  k  k B

2

6

( )

5 66 11

x k

k Z

x k

 

 

   

 

   

C ,

66 11

x  k  k D khác Hướng dẫn giải:

Chọn B

sin 4xcos7x 3(sin 7xcos4 )x 0 sin 4x cos 4x sin 7xcos 7x

sin cos

1 3

cos sin

2 x x x x

    sin sin

3

x  x 

      

   

2

4 3 2

3 2 6 3

5

4 11

3 6 66 11

k

x x k x k x

k

x x k x k x

     



       



           

  

   

 

           

 

    



(k  )

Câu 8: Phương trình:

2

sin os 3cosx =

2

x x

c

   

 

  có nghiệm là:

A  

2

x k

k Z

x k

        

 

   

B  

2

2

x k

k Z

x k

 

 

    

 

Trang 34

C ,

6

x   k  k D ,

x  k k Hướng dẫn giải:

Đáp án B

2

2

sin os 3cosx = sin 2sin os os 3cosx =

2 2 2

x x x x x x

c c c

       

 

 

1 sinx 3cosx = sinx 3cosx =

    

1 1

sinx cosx = sin sinx os cosx=

2 2 c

 

  

2

6

cos( ) ( ) ( )

6

2

6

6

x k x k

x cos k k

x k x k                                       

Câu 9: Phương trình:

2 sin cos cos

8 8

  

         

     

x  x  x  có nghiệm là:

A 24              x k x k

B

3 12              x k x k

C

5 16              x k x k

D

5 24              x k x k

Hướng dẫn giải:: Chọn B

2

2 sin cos cos

8 8

  

         

     

x  x  x  sin cos

 

   

          x   x 

3

sin cos

2 4

 

   

      

 x   x  sin3.sin cos3.cos cos6

        

      

 x   x 

cos cos

4

  

 

    

 x 

7

2

12

,

7

2

12 12

                                 

x k x k

k

x k x k

Câu 10: Phương trình: 4sin sin sin cos

3

 

      

   

   

x x x x có nghiệm là:

A 3            x k x k

B

3            x k x k

C

          x k x k

D

2            x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn A

2

4sin sin sin cos

3

 

      

   

   

x x x x 2sin cos cos 2  cos 3

 

 

     

 

x x x

1

2sin cos cos

 

    

 

Trang 35

 

sin sin sin cos3

 x  x x  x sin 

 

     x 

3

4

3

4

  

  

    

 

    

x k

x k

2

2



 

    

   

k x

k x

Câu 11: Phương trình 2 sin xcosx.cosx 3 cos 2xcó nghiệm là: A

6

 

 

x k B

6

 

  

x k C

3

 

 

x k D Vô nghiệm Hướng dẫn giải:

Chọn D

 

2 sinxcosx cosx 3 cos 2x sin 2x2 cos2x 3 cos2x

 

2 sin 2 cos cos

 x  x   x  sin 2x cos 2  x 3 Ta có:   2 2 21 2 3 22 nên phương trình vơ nghiệm

Câu 12: Phương trình

2 sin cos cos

8 8

x  x  x 

         

     

      có nghiệm là:

A

8 ,

24

x k

k

x k

       

 

   

B

3

,

12

x k

k

x k

       

 

   

C

4 ,

16

x k

k

x k

 

 

   

 

   

D

5

,

24

x k

k

x k

 

 

   

 

   

Hướng dẫn giải: Chọn A

Phương trình sin cos

4

x  x 

   

        

   

3

sin cos

2 x x

 

   

      

    sin 2x cos6 cos 2x sin6 sin

    

   

        

   

sin sin 12

x  

 

   

 

2

12

2

12

x k

x k

  

  

    

 

   



 

5 24

,

8

x k

k

x k

 

 

   

 

   

Câu 13: Giải phương trình 1

sin 2xcos 2x s in4x

A , ,

4

xk x  k k B xk,k

C Vô nghiệm D ,

4

x  k k

Trang 36 Chọn C

Điều kiện: sin sin cos

x

x x

 

 

 



Trang 37 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH

Câu 1: Phương trình 1cosx cos x cos x sin x   0 tương đương với phương trình

A cosx cosx cos x  0 B cosx cosx cos x  0

C sinx cosx cos x  0 D cosx cosx cos x  0

Hướng dẫn giải: Chọn D

 

           cosx cos x cos x sin x3 cosx cos x sin x cos x3

   

          

3 2 2

cosx cos x cos x cos xcosx cos x cosx cos x cosx

Câu 2: Phương trình sin3x4sin cos 2x x có nghiệm là: A

2

3

x k

x n

   

 

    

, k n , B

6

x k

x n

   

 

    

, k n ,

C

4

x k

x n

    

 

    

,k n , D

2

3

x k

x n

    

 

    

, k n ,

Hướng dẫn giải: Chọn B

Phương trìnhsin 3x2 sin 3 xsin x 02sinxsin 3x

3

2sinx 3sinx 4sin x

    

sinx 4sin x

   sin 2

4sin

x

x

 

  



1 cos

2

x k

x



   

 



x k

x n



 

   

    

 

, ,

x k

k n

x n

   

 

 

    

Câu 3: Số nghiệm thuộc ;69 14 10

 

 



  phương trình  

2

2sin 4sinx  x 0 là:

A 40 B 34 C 41 D 46

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có:

 

2

sin 2sin 4sin

1 4sin

x

x x

x

 

   

 



sin

3

2

cos

3

6

k

x k

x x

x l

x

x l

   

  

 

 

    

    

     

  

Trang 38 Nhận xét: Họ nghiệm

3

k

x  , k 

6

x    , l  khơng có nghiệm trùng nên  l

đếm số nghiệm thuộc ;69 14 10

 

 



  ứng với họ nghiệm, lấy tổng tổng số nghiệm phương trình đề cho Thật vậy:

3

k

l

    

2k 6l

    : vô nghiệm với k, l 

(Chú ý: ta biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác để thấy nghiệm không trùng nhau.)

Do đó: + Với

3

k

x  Vì ;69 14 10

x 

 nên

69 14 10

k

     207

0, 20,

14 k 10

     (k  ) Suy ra: k 1; 2;3; ; 20 Có 20 giá trị k nên có 20 nghiệm

+ Với

x   Vì  l ;69 14 10

x  

 nên

69 14 l 10

     

2 101

0, 095 6,

21 l 15

       , l  Suy ra: l 0;1; 2;3; ;6 Có giá trị l nên có nghiệm

+ Với

6

x    Vì  l ;69 14 10

x  

  nên

69 14 l 10

       106

0, 238 7, 06

21 l 15

     ,

l  Suy ra: l 1; 2;3; ;7 Có giá trị l nên có nghiệm Vậy số nghiệm phương trình 20 7  7 34

Câu 4: Nghiệm dương nhỏ pt 2sinxcosx1 cos xsin2x là: A

6

x  B

6

x  C x D

12

x 

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có 2sinxcosx1 cos xsin2x2sinxcosx1 cos x  1 cosx1 cos x

1 cos 2sin 1 cos 11 sin

2

x

x x

x

  



    

 



2

2

x k

x k

x k

 

 

 



   



  

 

   

Suy nghiệm dương nhỏ phương trình là:

x

Câu 5: Nghiệm pt cos2xsin cosx x là:

A ;

4

x  k x  k B

2

x  k

C

x  k D ;

6

x  k x  k

Trang 39

Ta có  

cos sin cos cos cos sin cos cos

x x x  x x x   x x 

  cos

2

cos

4

4

x x k x k

x

x k x k

   

   

 

 



      



     



       

  

  

Câu 6: Nghiệm dương nhỏ pt 2sinx2 sin cosx x là: A

4

x  B

4

x  C

3

x D x

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có

 

2sin 2 sin cos sin cos sin

1

cos

2

x x x x x

x x k

x x k



 

    



  

 

 



    

 



Suy nghiệm dương nhỏ pt là:

x 

Câu 7: Tìm số nghiệm khoảng ( ; ) phương trình :

2

2(sinx1)(sin x2 3sinx 1) sin x cosx4

A 1 B 2 C 3 D 4

Hướng dẫn giải: Chọn C

Ta có phương trình đã cho tương đương với

  cos

2 sin 3sin sin cos

x

x    x  x x

 

sinx sin x cos 4x sin cosx x

    

sinx 6sinx  sinx.cos4x cos4x sin4x.cosx

     

2

3(1 2sin x) 3sinx sin x cos x5

    

3cos 3cos cos cos

2

x x    x   x

       

   

3

3.2 ( ) ( ) ( ) ( )

2 4 4

x x x x

cos  cos  cos  cos 

     

3

cos 3cos( ) cos( )

2 4

x x x

      

        

   

3

cos( )

3 2 4

cos( ).cos ( )

3

2 4

cos( )

x

x x

x

 

  

 

     



  



3 2

2

x k

x k

    

       

Vì x   ( ; ) nên suy , ,

2

Trang 40 Câu 8: Giải phương trình sin 22 xcos 32 x1

A xk2π,k B 2π,

5

xk k

C x π k kπ,  D. π π,

5

xk  x k k

Hướng dẫn giải: Chọn D

2 2

sin 2xcos 3x 1 cos 3xcos 2x0

cos3x cos 2xcos3x cos 2x

   

5

2sin sin 2cos cos

2 2

x x x x

  

sin sinx x

  

 

sin

5

sin

k

x x

k x

x k







 

 

  

 

  

Câu 9: Phương trình 4cosx2cos 2xcos 4x1 có nghiệm là:

A ,

2

x k

k x k

     

 

  

B x k 2,k

x k

 

   

 

  

C

2

3

,

x k

k

x k

 

    

 

  

D 3,

4

x k

k

x k

 

    

 

  

Hướng dẫn giải:: Chọn A

4cosx2cos 2xcos 4x14cosx2cos 2x 1 cos 4x

2

4cosx 2cos 2x 2cos 2x

   2cosxcos cos 2x x1

2

2cosx cos 2cosx x

  cosx1 cos cos x x0

 

cos 1x  cos x cosx

      

cos x 2cos x cosx

    

3

cos

2 cos cos

x

x x

 

    

   

cos

cos cos cos

x

x x x

   

    



 

2

cos cos

2 cos cos VN

x

x

x x

 

  

   



,

2

x k

k x k

      

 

  

Trang 41 A

6

x k

x k

x k  

      



   

   

, k  B

2

2

2

x k

x k

x k

 

 

    



   

   

, k 

C

2

2

x k

x k

x k

 

 

    



    

   

, k  D

2

2

x k

x k

x k

 

 

    



    

   

, k 

Hướng dẫn giải: Chọn B

2sinxcosxsin 2x  1 2sinxcosx2sin cosx x 

  

2 cos

5

cos 1 sin 1

6 sin

2 2

x k

x

x x x k

x

x k

 

 

    

  

 

       

 



 

 

Câu 11: Phương trình sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình A

sin sin

2

x

x

  

 



B sin

sin

x

x

   

 C

sin sin

x

x

 

  

 D

sin sin

2

x

x

  

   

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x

sin3x cos 2x sin 3x sinx

    

2sin x sinx

   sin sin

2

x x

   

Câu 12: Giải phương trìnhsin 2xcotxtan 2x4cos2x A

2 ,

x  k x k, k  B

2 ,

x  k x k , k  C

2 ,

x  k x k , k  D

2 ,

x  k x k , k  Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện: sin cos

x

x

 

 



Ta có: sin 2xcotxtan 2x4cos2x

2

cos

sin cos sin cos

x

x x

x x

 

  

 

2

2sin cos cos

4 cos sin cos

x x x

x

x x

Trang 42

cos cos 2

x x

   

2 ,

x  k x  k

    

Câu 13: Giải phương trình cos3xsin3xcos 2x

A , ,

2

xk  x  k x  k , k  B , ,

2

xk  x   k  x  k  , k 

C , ,

2

xk  x   k  x  k , k  D , ,

2

xk x  k x  k, k  Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: cos3xsin3xcos 2x cosxsinx1 sin cos x x  cosxsinxcosxsinx cosx sinxsin cosx x sinx cosx 1

      cosxsinxsinx1 cos x  1

sin cos cos sin

x x

x

x

  

  

  

2 sin

4 cos sin

x

x

x



   

 

  

  

 

 

4

2

x k

x k

x k

  

 

   

  



  



Câu 14: Giải phương trình sin xcosxtanx0 A

4 ,

x  k  x  k, k  B

4

2 ,

x  k  x k  , k  C

4

2 ,

x  k  x  k  , k  D

4 ,

x  k  x k, k  Hướng dẫn giải:

Chọn D

Điều kiện: cosx 0

Ta có: sin xcosxtanx0 sin cos sin cos

x

x x

x

    

  sin

1 cos cos

x x

x

 

    

 

cos tan

x

x

  

    

2

4

x k

x k

 

 

  

 

    

Câu 15: Một họ nghiệm phương trình cos sin 3x xcosx0 : A

6

 

  k B

6

  k

C

2



k D

4



k

Hướng dẫn giải: Chọn B

Ta có : cos sin 3x xcosx0 cos cos cos



 

   

 

x

x x

cos cos6 cos 2cos

 x x x x  cosx1 cos 6 x0

cos 2

cos

6

 

 

   

  

   

   

 



x k

x

k x

x

k 

Trang 43 A 2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

  

   

 B

2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

 

   



C 2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

  

   

 D

2sin

sin cos 2sin cos

x

x x x x

 

   



Hướng dẫn giải: Chọn D

Điều kiện: xk

Ta có: 2sinxcotx 1 2sin 2x 2sin cos 4sin cos sin

x

x x x

x

   

2

sinx 4sin xcosx 2sin x cosx

        

sinx 2sinx cosx 4sin x

    

1 2sinxsinx cosx 2sin cosx x

     2sin

sinx cosx 2sin cosx x 



    



Câu 17: Giải phương trình sin3xcos3x2 sin 5xcos5 x A

4

x  k , k  B

4

k

x   , k  C

4

x  k , k  D

4

x   k  , k  Hướng dẫn giải:

Chọn B

   

3

sin x 2sin x cos 2cos

pt   x x 

3

4

4

sin sin

2

cos sin cos

x k x k

x k

x x

x x

x x k

   

 

  

     

 





     

 

 

      

   

 



Câu 18: Giải phương trình tanxtan 2x sin cos 2x x A

3 ,

k

x  x  k , k  B

3 , 2

k

x  x  k  , k  C

3

k

x  , k  D xk2, k  Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện: cos

cos

x

x

  





sin

sin cos cos cos

x

pt x x

x x

   2

2

cos s

cos cos

cos in

1

1

x

x x

x k x x

    

 

  

 

 

  

  

Trang 44

 2   2 2

2

cos cos

2 cos 1 3

1

x x

x

k

k x

x   

  

 

 

  

 

 



 

   

    



 

cos

3

3

k k

x x k

x x k

x

  

     

 

   

 

     

Câu 19: Cho phương trình sin2 tan2 cos2 (*)

2

x x

x 

    

 

  x k (1),

 

   x  k2 (2),

2 (3),

x  k  với k  Các họ nghiệm phương trình (*) là:

A (1) (2) B (1) (3) C (1), (2) (3) D (2) (3) Hướng dẫn giải:

Chọn A ĐK: cos

2

x   x  k

 

2

2

1 cos

(1 sin ) cos sin cos

2

(*) (1 cos )

2 cos sin

x

x x

x x

x

x x

  

     

  

      



(1 sin )(1 cos )(1 cos ) cos

(1 cos ) (1 cos )

(1 sin )(1 sin ) sin

x x x x

x x

x x x

     

        

    

2

1 cos cos cos

1 cos (1 sin ) cos sin tan

4

x k

x x x

x x x x x x k

 

 

  

     

   

   



            

    (thỏa)

Câu 20: Phương trình sin cos3x xsin 4x2 sin cos5x x có nghiệm là: A , 1arccos ,

4 12

k k

x  x    k B , arccos ,

4 48

k k

x  x    k

C Vô nghiệm D ,

2

k

x  k

Hướng dẫn giải: Chọn D

PT sin cos3x xsin 4x2 sin cos5x x

 

2 sin cos 3x x sin cos 5x x sin 4x sin 2x 2sin cos 2x x

    

sin 2

2 cos cos

x x k k

x

x x

 

 

 

   

  

 

Câu 21: Nghiệm dương nhỏ phương trình sinxsin 2xcosx2cos2x :

A



B 2

3



C

4



D

3



Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có :sinxsin 2xcosx2cos2x

   

sin 2cos cos 2cos

Trang 45

tan sin cos

4

1

cos cos

cos

2

2

3  

 

 

 

  

 

 

       

      

    

x

x x x k

x x

x k

k 

Vậy nghiệm dương nhỏ





x

Câu 22: Một nghiệm phương trình lượng giác: sin2xsin 22 xsin 32 x2 A

3



B

12



C



D



Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có : sin2xsin 22 xsin 32 x2 cos sin 22 cos

2

 

 x x x 

2 cos cos

sin

2 

 x x x  cos 22 xcos4 cos2x x0

 

cos cos cos

 x x x  2cos3 cos cosx x x0

6 cos

cos

4 cos

2          



 

 

     



 



   

k x

x

k

x x

x

x k

k 

Câu 23: Nghiệm dương nhỏ phương trình 2cos2xcosxsinxsin 2xlà? A

6





x B

4





x C

3





x D

3





x

Hướng dẫn giải: Chọn B

Cách 1:    

2cos xcosxsinxsin 2xcosx 2cosx 1 sinx 2cosx 1

2cos cos sin 

 x x x   

1

cos

2

,

cos

4

 

  

  

  

 

  

 

      

   



x x k

k

x x k

Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm thỏa phương trình có giá trị nhỏ nhận

Câu 25: Phương trình sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x tương đương với phương trình: A sin

sin     

x

x B

sin sin

 

   

x

x

C

sin sin

2      

x

x C

sin sin

2   

   

x

x

Hướng dẫn giải: Chọn C

 

3

Trang 46

  2  

sin 1 2sin cos 2sin

  x  x  x  x 

1 2sin   sin 1 2sin  cos 

  x  x  x  x 

1 2sin 2sin2 sin 1 2sin2  0

  x x x   x 

sin sin

2    

  

x

x

Câu 26: Phương trình sin 3x4sin cos 2x x0 có nghiệm là:

A

2

3    

 

    

x k

x n B

6 

  

 

    

x k

x n C

2

4     

 

    

x k

x n

D

2

3



 

   

    

x k

x n

Hướng dẫn giải: Chọn B

 

3

sin 3x4sin cos 2x x 0 3sinx4sin x4sinx 2sin x 0

 

3

2

sin sin

4sin sin 1 1 , ,

2sin cos

6

2

   

  

 



 

     



      

  

x k

x x

x x k n

x n

x x

Câu 27: Phương trình 2cot 2x3cot 3xtan 2x có nghiệm là: A

3





x k B xk C xk2 D Vô nghiệm Hướng dẫn giải:

Chọn C Điều kiện:

sin cos sin

 

 



 



x

x x

Phương trình  2cot 2x3cot 3xtan 2x2 cot 2 xcot 3xtan 2xcot 3x

 

2 sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin

 

 x x x x  x x x x

x x x x

2sin cos

2sin cos sin cos sin sin sin sin cos sin

 x  x  x x x x x x

x x x x

 

sin 2sin cos cos sin  x x x x x 

 

sin sin cos  x x  x 

     

sin

sin ,

cos

 

 

    

 



x l

x n x k k

x n

Câu 28: Phương trình cos4xcos2x2sin6x0 có nghiệm là: A

2

 

 

x k B

4

 

 

x k C xk D xk2

Hướng dẫn giải: Chọn C

Phương trình    2 

cos xcos 2x2sin x  0 sin x  1 2sin x 2sin x0

 

6 4

Trang 47 Câu 29: Phương trình: 4cos5x.sinx4sin5x.cosxsin 42 x có nghiệm là:

A

8            x k x k

B

4            x k x k

C 3

4           x k

x k D

2           x k

x k

Hướng dẫn giải:: Chọn A

 

5

4

4 cos sin 4sin cos sin 4sin cos cos sin sin

 

  

x x x x x

x x x x x

 2 

2sin cos sin sin

 x x x  x

2

2sin cos2 sin sin sin

 x x x x x sin 4   sin

8                  x k x k x x k CÁCH KHÁC:

Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …) Kiểm tra giá trị

4





x đáp án B,





x đáp án C,





x đáp án D không thỏa phương trình (chú ý lấy giá trị họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không

thuộc họ nghiệm đáp án khác); kiểm tra giá trị

8





x đáp án A thỏa phương trình

Câu 30: Phương trình:   

sinxsin 2x sinxsin 2x sin 3x có nghiệm là:

A

2          x k x k

B

4          x k x k

C

2         x k x k

D

2        x k

x k Hướng dẫn giải:

Chọn A

  

sinxsin 2x sinxsin 2x sin 3x sin2xsin 22 xsin 32 x

2

1 cos cos sin

2

 

 x x x cos6xcos2x2sin 22 x0

2

2cos4 sin 2sin

  x x x 2sin cos22 x xsin 22 x0

 

2

sin cos

 x x 

2 sin

2 2 cos                    x k x x k x              k x x k           k x k x

Câu 31: Phương trình cos sin cos sin

 



x

x x

Trang 48 A                    x k x k x k

B

2                   x k x k x k

C

3 2                    x k x k x k

D

5                   x k x k x k

Hướng dẫn giải: Chọn C

Điều kiện: sin 2  

2

   

 x  x k   x k k cos

cos sin

1 sin

 



x

x x

x cosxsinx1 sin 2 xcos 2x

  2 

cos sin cos 2cos sin sin cos

 x x x x x x  x

  2

cos sin cos sin cos

 x x x x  x cos cosx  xsinxcos 2x0

  cos

cos cos sin

2 cos

4                    x

x x x

x 2 4                  x k x k 2 2                  k x x k x k 2                  x k x k x k

Câu 32: Phương trình 2sin cos

sin cos

  

x x

x x có nghiệm là:

A

 

 

x k B

4

 

  

x k C

4

 

 

x k D

4

 

  

x k

Hướng dẫn giải: Chọn A

Điều kiện: cos sin

sin

          x k x x

x , k

1

2sin cos

sin cos

  

x x

x x  

1

2 sin cos sin cos          x x x x

 3  cos sin

2 3sin 4sin cos 3cos sin cos            x x

x x x x

x x

     cos sin

6 cos sin cos sin sin cos sin cos             x x

x x x x x x

x x

   

cos sin

1

6 sin 2 sin

Trang 49 Giải  1 ,  1 cos

4 4

    

 

          

x  x k x k

Giải  2 ,  2 4sin 2 2sin 22 sin sin

   x   x x 

x

2

2

sin

2

1

6 12

sin

2 7 7

2

12

   

   



  

     

 

  



 



        

 

  

  

     

 

x k x k

x

x k x k

x

x k

x k

Câu 33: Phương trình sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x có nghiệm là:

A 12

4         

x k

x k

B

2         

x k

x k

C

       

x k

x k

D

2 

      

x k

x k

Hướng dẫn giải: Chọn B

2 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

1 cos cos8 cos10 cos12

2 2

   

 x  x  x  x

cos6 cos8 cos10 cos12

 x x x x2cos7 cosx x2cos11 cosxx

 

cos cos11 cos

 x x x   2cos sin sin xx x 0

cos sin sin

  

   

x x

x

2

       

  

   

x k

x k

x k

2

9

2  

     

   

    

x k

x k

x k

9

2       

  

x k

x k

Câu 34: Phương trình sin sin sin 3 cos cos cos

  

 

x x x

x x x có nghiệm là:

A

3

 

 

x k

B

6

 

 

x k

C

3

 

 

x k

D , , ,  

6

x  k  x  k  x  k  k

Hướng dẫn giải: Chọn D

Trang 50

cos 4 2

2 cos

2                      x k x x x k

Phương trình sinxsin 2xsin 3x cos xcos 2xcos3x

 

2sin cos sin 2cos cos cos

 x x x x x x sin 2x2cosx 1 cos 2x2cosx1

1 2

cos 2

2 cos 2 3 3

sin cos sin 2 0

3

                                                  

x x k x k

x

x x x

x k x k

k  

So sánh với điều kiện, ta có , , , 

6

x  k  x  k  x  k  k

Chú ý họ nghiệm

6

 

 

x k (Với k1





x làm mẫu không xác định)

Câu 35: Các nghiệm thuộc khoảng 0;  phương trình: tanxsinx tanxsinx  3tanx là:

A ,5 8

 

B ,3

4

 

C ,5

6

 

D

6



Hướng dẫn giải:

Chọn D

tanxsinx tanxsinx  3tanx

2

2 tan tan sin 3tan  x x x  x

2

2

1

2 sin tan

cos         x x x 2

2 sin tan tan

 x x  x4sin2x tan2xtan2x

2

tan sin

 

 

 

x

x cos 2         x k

x 2

3                        

x k x k

x k x k

 

0; ,

6

 



   

x x x

Thử lại, ta nhận





x (Tại





x tanxsinx0)

Câu 36: Phương trình   

2sinx1 3cos 4x2sinx4 4cos x3 có nghiệm là:

A                    x k x k x k

B

2 6                   x k x k x k

C

2                    x k x k x k

D

2 2 3                   x k x k x k

Trang 51

  

2sinx1 3cos 4x2sinx4 4cos x3

    

2sin 3cos 2sin 4 sin

 x x x   x  

    

2sin 3cos 2sin 4sin

 x x x   x 

2sin 3cos 4 2sin 2sin   x x x   x 

2sin 3cos 4 3

 x x 

1 sin

2 cos    



 



x

x

 

2

2 ,

2

 

 

     

 

   

    

x k

x k k

x k

Câu 37: Phương trình tan cot 2sin sin

  

x x x

x có nghiệm là:

A

12

 

  

x k B

6

 

  

x k C

3

 

  

x k D

9

 

  

x k

Hướng dẫn giải: Chọn C

Điều kiện sin ,



   

x x k k

1 tan cot 2sin

sin

  

x x x

x

2sin cos

2sin

cos sin sin

 x x  x

x x x

2

4sin cos2 2sin

 x x x

2 2

4sin 2sin 2sin

 x  x x 2sin2x8sin2xcos2x0

 

2

sin 4cos

 x  x  sin 02

1 cos 



   



x

x

Do điều kiện nên

 

1 cos 2  x 0 cos 2

 x  2

3

 

 x  k , 

3

 

   x k k

Câu 38: Phương trình: sin xcosxsin 3xcos 3x2 2 sin 2  x có nghiệm

A

4

x  k  , k  B

4

x   k  , k 

C

2

x  k  , k  D

2

x   k  , k  Hướng dẫn giải::

Chọn A Cách 1:

Ta có: sin 3x3sinx4sin3x; cos3x4cos3x3cosx

Phương trình tương đương:

   3   

8 sinxcosx 4 sin xcos x 2 2 sin 2 x

      

8 sinx cosx sinx cosx sin cosx x 2 sin 2x

      

    

4 sinx cosx sin cosx x sin cosx x

Trang 52  

1

sin 2 sin

1 sin cos 2

2

sin

sin cos 2 sin 2

4

x vn

x

x x

x k

x

x x x

 

 

     



 

 



    

        



      

 



  



, k 

Cách 2: Phương trình tương đương

 

5 sin sin 2 sin

4

x  x  x

      

   

   

 

5sin sin 2 sin

4

x  x  x

   

       

   

Đặt

4

u x  Khi đó, phương trình trở thành:

5sinusin 3u 4 2cos 2u4sin3u4sin2u2sinu 2 sinu

  sin

4

x 

     

  x k2 k 

 

   

Câu 39: Một nghiệm phương trình cos2xcos 22 xcos 32 x1 có nghiệm A

8

x B

12

x  C

3

x D

6

x Hướng dẫn giải::

Chọn D

2 2

cos xcos 2xcos 3x1 cos cos cos

2 2

x x x

  

   

cos 6x cos 2x cos 4x

    

2cos cos 2x x 2cos 2x

  

 

cos

cos cos

x

x  x

 

   



4

6

2

x k

x k

x k

 

 

     

 

   

    

, ( k  )

Câu 40: Phương trình: sin cos sin 22 4sin2 2

x x x x   

  có nghiệm

A

7

x k

x k

        



   

, k  B

2

2

x k

x k

 

 

    



   

, k 

C

2

2

x k

x k

 

 

    



   

, k  D

6

x k

x k

        



   

, k 

Hướng dẫn giải: Chọn B

 

1 cos

sin cos sin

2

x

x x    x  cos sin sin

2

x x   x 

       

Trang 53

 

1

sin cos 2

x x

 

    

 

2

1

sin

7

2

x k

x

x k

 

 

    

    

   

, k 

Câu 41: Giải phương trình 2 2

sin cos c

sin x x x os 3x

A

4

x   k  , k  B ,

4

k k

x    x   , k 

C ,

4

k k

x   x   , k  D ,

4

k k

x    x   , k  Hướng dẫn giải:

Chọn C

Phương trình 2 2

sin x cos x cos 3x sin 3x

   

cos 6x cos 2x

   2cos cos 2x x0

cos cos

x

x

 

   

4 2

2

x k

x k

       

 

   

 

8 ,

k x

k k x

 

 

   

 

   

Câu 42: Phương trình:sin12 cos12 2(sin14 cos14 ) 3cos2

x x x x  x có nghiệm A

4

x  k, k  B

4

x  k , k 

C

4

x  k  , k  D Vô nghiệm Hướng dẫn giải:

Chọn B

12 12 14 14

sin cos 2(sin cos ) cos2

2

x x x x  x

   

12 12 3

cos2

sin x 2sin x cos x cos x x

    

12 12

cos2

sin x.cos 2x cos x.cos 2x x

   12 12

2

cos 2xsin x cos x 

    

 

cos 2x

  12 12 2

sin cos sin cos

x x x x   ( )

4

x  k k

   

Câu 43: [1D1-3]Giải phương trình

2

6

cos sin cot

cos sin

x x

x

x x

 



A

4

x  k  B

4

x  k C

4

x   k  D

4

k

x   Hướng dẫn giải:

Chọn B Điệu kiện:

6

sin

2 cos sin

x

x k

x x



 

  

 

Trang 54

2 2

cos cos cos

pt

sin 3sin cos 3sin sin

x

x x

x x x x x

 

   

   

 

sin

4

sin

3

x k

x x k

x L

 

    

 

    



  



Câu 44: [1D1-4]Giải phương trình  

2

6

cos sin sin 8cot

cos sin

x x x

x

x x

 



A

4

x   k B

4

k

x    C

x  k D

4

k

x   Hướng dẫn giải:

Chọn D

Điệu kiện: sin 26 6

2 cos sin

x

x k

x x



 

  

 



 2 

2

cos cos sin

pt 8cos 3sin cos cos sin

sin 3sin cos

x x x

x x x x x

x x x

    



 2   

2

cos cos 6sin sin 8

4 sin

7

x

x x x x k

x VN

 

 



       

 



Trang 55 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG THƯỜNG GẶP

Câu 1: Giải phương trình  

2

tanxcotx tanxcotx2

A Cả đáp án B ,

4

x k k

C ,

6

x  k k D ,

4

x  k k Hướng dẫn giải:

Chọn D

Lưu ý: Đối với câu hỏi này, ta chọn cách thử nghiệm Điều kiện  

2

k

x  k Đặt t tanxcotx, phương trình đã cho trở thành

2

2

2

t t t

t

        

 + Với t   Suy ra: 1

2

tanxcotx  1 tan xtanx 1 (vô nghiệm) + Với t  Suy ra: 2

 

2

tan cot tan tan tan

4

x x  x x   x   x  k k

Câu 2: Giải phương trình

10 10 6

2

sin cos sin cos 4 cos sin

x x x x

x x

  



A

2

2 ,

xk  x  k , k  B

k

x   , k  C

2

x  k , k  D

2

,

xk x  k  , k  Hướng dẫn giải:

Chọn B

Điều kiện: 2 2

4cos 2xsin 2x 0 4cos 2x 1 cos 2x 0 3cos 2x     x

  

 

2 2

10 10

2

sin cos sin sin cos cos sin cos

4 sin sin

x x x x x x

x x

PT

x x

  



 

 

 2 2 2 2 2

10 10

2

sin cos 3sin cos sin cos

4 3sin

x x x x

x x

x

 



 



 

2

10 10 10 10

2

3 sin

sin cos 4 sin cos 3sin 4 3sin 4 3sin

x

x x x x x

x x



  

   

 

10 10 10 10 2

sin x cos x sin x cos x sin x cos x

      

   

2 8

sin x sin x cos x cos x (*)

Trang 56

Vì  

 

2

2

sin sin cos cos

x x x

x x x

    

 

   

 nên

 

 

2

2

sin sin (*)

cos cos

x x

x x

  

  

 



sin sin

2 cos

cos

x

x k

x x

x

  

   

  

  



   

Câu 3: Cho phương trình: 2  

4cos xcot x 6 2cosxcotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ?

A 3 B 2 C 1 D 0

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có : 2  

4cos xcot x 6 2cosxcotx

2

4cos 4cos cot 2cot  x x  x x  

  2 2

2cos cot  x  x  

Do 2cosx12   0 x ,cotx12   0 x 2cosx1 2 cotx12   4 x

Câu 4: Cho phương trình: 2  

4cos xcot x 6 2cosxcotx Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ?

A 3 B 2 C 1 D đáp số khác Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có : 2  

4cos xcot x 6 2cosxcotx

   

4cos cos cot cot

 x x  x x 

  2 2

2 cos cot  x  x 

2

2 cos 6

cot

6

x k

x

x x k

 

 

   

   

 

 

 

 

   



2

 

  x l l 

Vì 0;2  2 11

6 12 12



  

          

x l l l

Câu 5: Phương trình: sin 3xcosx2sin 3xcos3x1 sin x2cos3x0 có nghiệm là: A

2

 

 

x k B

4

 

 

x k C

3

 

 

x k D Vô nghiệm Hướng dẫn giải::

Chọn D

   

sin 3x cosx2sin 3x cos3x sin x2cos3x 0

2

sin cos 2sin cos3 cos3 sin 2cos

 x x x x x x x

   2 

sin cos cos3 sin cos3 sin cos

 x x x x  x x x 

sin cos3  x x Do sin

1 cos    

   

x

Trang 57 Dấu " xảy " sin 4 2

cos

3

3

 

 

 

  

 

  

  

  



    



k x

x x k

x l

x l x

, , k l

Ta có  ,  12

8 16

 k l       k

k l l vô lý 12 16 

 k 

l

Nên phương trình đã cho vơ nghiệm

Câu 6: Giải phương trình

x

cos cos x

A



 

 

   

    



    

3

3

x k

x k

x k

B



 

 

   

    



    

4

x k

x k

x k

C



 

  

    

3

x k

x k D



 

  

    

3

3

x k

x k

Hướng dẫn giải: Chọn A

2

4 2

2

3 3

x x cos x x x

cos cos xcos    cos  cos

2 2 32 22

2 1 4 3

3 3 3

x x x x x x

cos cos cos cos cos cos

 

          

 

2

2 3

1

2

2

2

3 2

3

x k x

cos

x

k x

cos

x

k 

 

 

  

  



 

     

   

    





 

 

   

    



    

3

3

x k

x k

x k

Câu 7: Giải phương trình

1 sin sin sin sin

x x

x x

   

  với x 0;2

      

A 12

x  B

4

x  C

3

x  D

6

x 

Hướng dẫn giải: Chọn A

2

1 sin sin 4

cos

cos 12

3

1 si pt

n

x x

x x k

x x

 

           





Do

2

0;

x  

  nên x 12





Trang 58 A 1 m B 2 m 2 C 2 2  m D 3  m Hướng dẫn giải:

Chọn C

Phương trình tương đương 2

2

sin sin sin

sin

2

2 2

2

x x x

x

m m



    

Đặt sin2   2

2 x, 1;2 sin

t t  x

Xét hàm f t t 2,t 1;2 f t 22; f t t

t t

Bảng biến thiên

t 2

f t  

f t

2

3