PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT với SIN và COSIN và PTLG KHÁC – đặng việt đông file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Có dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1:  Chia hai vế phương trình cho a2  b2 ta được: a b c sin x  cos x  (1)  a2  b2 a2  b2 a2  b2 a b , cos  0, 2 �   ��  � �  Đặt: sin  2 2 a b a b c phương trình trở thành: sin sin x  cos cos x  a2  b2 c � cos(x   )   cos (2) 2 a b  Điều kiện để phương trình có nghiệm là: c �1 � a2  b2 �c2 a2  b2  (2) � x   �  k2 (k �Z) Lưu ý: � �  �sin x � cos x  � sin x  cos x � 2sin( x  ) 2 � � �3 �  � sin x �cos x  � sin x � cos x � 2sin( x � ) �2 �  �1 � �sin x �cos x  � sin x � cos x � sin( x � ) �2 � Cách 2: x  a) Xét x    k2 �   k có nghiệm hay không? 2 x b) Xét x �۹ k2 cos x 2t 1 t2 Đặt: t  tan , thay sin x  , cos x  , ta phương trình bậc hai theo t: 1 t2 1 t2 (b c)t2  2at  c  b  (3) Vì x �  k2 � b  c �0, nên (3) có nghiệm khi:  '  a2  (c2  b2) �0 � a2  b2 �c2 x Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: tan  t0 Ghi chú: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 1) 2) 3) Lượng giác – ĐS GT 11 Cách thường dùng để giải biện luận Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b2 �c2 Bất đẳng thức B C S: y  a.sin x  b.cos x � a2  b2 sin2 x  cos2 x  � y   a2  b2 va� max y a2  b2 � a2  b2 sin x cos x a  � tan x  a b b Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo sin x cos x A sin x  cos x   B sin x  cos x  C cos x  3sin x  D cos x  3sin x  1 Câu 2: Trong phương trình sau, phương trình có nghiệm: A cos x   B 3sin x  10  C cos x  cos x   D 3sin x  cos x  Câu 3: Phương trình sau vô nghiệm A sin x  B sin x  cos x  3 C sin x  cos x  D 3sin x  4cos x  Câu 4: Phương trình sau vơ nghiệm: A cos x  B sin x  cos x  1 C sin x  cos x  D 3sin x  cos x  Câu 5: Phương trình sau vơ nghiệm: A 2sin x  cos x  B tan x  C sin x  cos x  D 3sin x  4cos x  Câu 6: Phương trình sau vô nghiệm A sin x  B sin x  cos x  1 C sin x  cos x  D 3sin x  4cos x  Câu 7: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm? 1 A sin x  B cos x  C 2sin x  3cos x  D cot x  cot x   Câu 8: Phương trình sau vơ nghiệm? A sin x  cos x  B 3sin x  cos x  C sin x  cos  D sin x  cos x  3 Câu 9: Phương trình sau vơ nghiệm: A sin x  cos x 3 B cosx  3sinx  1 C sin x  cos x  D 2sinx  3cosx  Câu 10: Trong phương trình phương trình có nghiệm: A sin x  cos x  B sin x  cos x  C sin x  cos x  1 D sin x  cos x  Câu 11: Trong phương trình sau phương trình vơ nghiệm: Trang http://dethithpt.com – Website chun đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 A sin x  cos x  B sin x  cos x  C sin x  cos x  1 D sin x  cos x  Câu 12: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm: 1 A sin x  B cos x  2 2sin x  3cos x  C D cot x  cot x   Câu 13: Phương trình vơ nghiệm? A cos x  sin 3x  B cos 3x  sin 3x  2  � � � � C sin x  D 3sin �x  � cos �x  �  � 3� � 3� Câu 14: Nghiệm phương trình cos x  sin x  là:   A x  k 2 ; x   k 2 B x  k ; x    k 2 2   C x   k ; x  k 2 D x   k ; x  k Câu 15: Nghiệm phương trình cos x  sin x  1 là:   A x    k 2 ; x    k 2 B x    k 2 ; x   k 2 2   C x    k ; x  k 2 D x   k ; x  k Câu 16: Nghiệm phương trình sin x  cos x    là:  5  3  k 2  k 2 A x    k 2 ; x  B x    k 2 ; x  12 12 4  2  5  k 2  k 2 C x   k 2 ; x  D x    k 2 ; x   3 4 Câu 17: Nghiệm phương trình sin x –  cos x  0  là:    k 2 C x   k Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x  sin x  có nghiệm   A x   k B Vô nghiệm C x    k 6 Câu 19: Số nghiệm phương trình sin x  cos x  khoảng  0;   A B C Câu 20: Nghiệm phương trình: sin x  cos x  : A x    k 2 B x  x  k 2 � B �  � x   k 2 � A x  k 2 C x    k 2 D x    k D x    k D �  x   k 2 � D �  � x    k 2 � Câu 21: Nghiệm phương trình sin x  cos x  là: 5 5    k  k 2 A x  B  x  C x    k D x   k 2 6 6 Câu 22: Phương trình  sin x   cos x    có nghiệm   Trang   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11   � � x    k 2 x    k 2 � � , k �� , k �� A � B �   � � x   k 2 x   k 2 � �   � � x    k 2 x    k 2 � � , k �� , k �� C � D �   � � x   k 2 x   k 2 � � 12 � Câu 23: Nghiệm phương trình sin x  cos x   3  5  k 2 , k ��  k 2 , k �� A x    k 2 , x  B x    k 2 , x  4 12 12  2  5  k 2 , k ��  k 2 , k �� C x   k 2 , x  D x    k 2 , x   3 4 Câu 24: Nghiệm phương trình sin x  cos x      A x   k , k �� B x   k , k �� C x   k , k �� D   x   k , k �� Câu 25: Tìm tất nghiệm phương trình: sin x  cos x  x  k 2 � � , k �� A x  k 2 , k �� B  � x   k 2 � �  x   k 2 �  , k �� C x   k 2 , k �� D �  � x    k 2 � Câu 26: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình sau đây: � � � �  � � � � 3x  �  3x  �  3x  �  3x  � A sin � B sin � C sin � D sin � 6� 6� 6� 6� � � � � Câu 27: Phương trình sin x  cos x  có nghiệm 2 5  k 2 , k �� B x    k , k �Z 6    k 2 , k �Z C x  D x   k 2 , k �Z 6 Câu 28: Phương trình 3cos x  | sin x | có nghiệm là:     A x   k B x   k C x   k D x   k m Câu 29: Với giá trị phương trình (m  1) sin x  cos x  có nghiệm m �1 � A 3 �m �1 B �m �2 C � D  �m � m �3 � Câu 30: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  có nghiệm : A x  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word A m �4 B 4 �m �4 Lượng giác – ĐS GT 11 m �4 � D � m �4 � C m � 34 Câu 31: Với giá trị m phương trình sin x  cos x  m có nghiệm: A  �m � B m � C 1 �m �1 D m �2 2 Câu 32: Cho phương trình:  m   cos x  2m sin x   Để phương trình có nghiệm giá trị thích hợp tham số m 1 1 A 1 �m �1 B  �m � C  �m � D | m |�1 2 4 m Câu 33: Tìm m để pt sin x  cos x  có nghiệm A  �m �1  B  �m �1  C  �m �1  D �m �2 Câu 34: Điều kiện có nghiệm pt a sin x  b cos x  c A a  b  c B a  b �c C a  b �c Câu 35: Điều kiện để phương trình m sin x  8cos x  10 vô nghiệm m �6 � A m  B � C m  6 m �6 � Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x  m cos x  13 có nghiệm m �5 � A m  B � C m  5 m �5 � Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình m sin x  12cos x  13 vô nghiệm m �5 � A m  B � C m  5 m �5 � Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x  m cos x  10 vô nghiệm m �8 � A � B m  C m  8 m �8 � Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x  m sin x  m  có nghiệm A m �13 B m �12 C m �24 Câu 40: Tìm điều kiện m để phương trình 3sin x  m cos x  vô nghiệm m �4 � A � B m  C m  4 m �4 � Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  có nghiệm A m �4 B 4 �m �4 C m � 34 D a  b  c D 6  m  D 5  m  D 5  m  D 8  m  D m �24 D 4  m  m �4 � D � m �4 �    ; � Câu 42: Tìm m để phương trình sinx  mcosx   m (1) có nghiệm x �� A  �m �1 B  �m �6 C �m �3 Câu 43: Tìm m để phương trình msinx  5cosx  m  có nghiệm A m �12 B m �6 C m �24 Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  có nghiệm : m �4 � A � B m �4 C m � 34 m �4 � Trang �2 2� D  �m �3 D m �3 D 4 �m �4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 Câu 45: Để phương trình cos x  sin x  m có nghiệm, ta chọn: A 1 �m �1 B �m � C m tùy ý Câu 46: Phương trình m cos x  sin x  m  có nghiệm � � 3� �; � A m �� � � � 4� �; � B m �� � � � � � C m �� ; �� D  �m � � � � � D m �� ; �� Câu 47: Cho phương trình 4sin x  (m  1) cos x  m Tìm tất giá trị thực m để phương trình có nghiêm: 17 17 17 17 A m  B m � C m � D m � 2 2 Câu 48: Phương trình 3sinx – 4cosx  m có nghiệm A 5 �m �5 A m  �5 m  �–5 C m  �5 D m  �–5 Câu 49: Cho phương trình lượng giác: 3sinx   m  1 cosx  Định m để phương trình vơ nghiệm A 3  m  B m �5 C m �3 hay m �5 D 3 �m �5 Câu 50: Cho phương trình m sin x   3m cos x  m  Tìm m để phương trình có nghiệm 1 A �m �3 B m � 3 m C Khơng có giá trị D m �3 Câu 51: Tìm m để phương trình 2sin x  m sin x  2m vô nghiệm m �0 m0 � � 4 � � A �m � B C  m  D 4 � � m� m 3 � � Câu 52: Tìm m để phương trình m sin x  5cos x  m  có nghiệm: A m �12 B m �6 C m �24 D m �3 � � � � Câu 53: Cho phương trình sin �x  � cos �x  � 2m Tìm m để phương trình vơ nghiệm � 3� � 3� A  �; 1 � 1; � B  �; 1 � 1; � C  1;1 D m �� Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Câu 1: Giải phương trình 5sin x  cos x  13 A Vô nghiệm B x  k , k �� C x    k 2 , k �� D x  k 2 , k �� Câu 2: Phương trình sin x  cos x  sin x có nghiệm   �  �  x  k x  k � � 12 , k �� , k �� A � B �     � � x  k x k � � 24 3   �  �  x  k x k � � 16 18 , k �� , k �� C � D �     � � x k x k � � 3 � � Câu 3: Phương trình 2sin x  sin x  có nghiệm  2 4  k , k ��  k , k �� A x   k , k �� B x  C x  D 3 5 x  k , k �� Câu 4: Phương trình sin x  cos x   sin x  cos8 x  có họ nghiệm là: �  �  �  x   k x   k x   k � � � A � B � C � D       � � � x  k x k x  k � � � 12 2 � � Câu 5: Phương trình: 3sin 3x  cos x   4sin x có nghiệm là:  2  2  2 � � � x  k x   k x  k � � � 9 12 A � B � C � D 7 2 7 2 7 2 � � � x k x k x k � � � 9 � � � 12 Câu 6: Phương trình 8cos x  có nghiệm là:  sin x cos x    �  �  �  x  k x  k x k � � � 16 12 A � B � C � D  4  � � � x   k x  k x   k � � � Câu 7: Phương trình sin x  cos7 x  3(sin x  cos4x)  có nghiệm  �  x   k2 �   (k �Z ) A x   k , k �� B �   � x  k2 � 11 � 66 Trang �  x   k � �   � x  k � �   � x k � 54 �  2 � x k � � 18  �  x  k � � 2 � x  k � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C x  5   k , k �� 66 11 Lượng giác – ĐS GT 11 D khác x� � x Câu 8: Phương trình: � sin  cos � 3cosx = có nghiệm là: 2� �   � � x    k  x    k 2 � � 6  k �Z   k �Z  A � B �   � � x   k x   k 2 � �   C x    k 2 , k �� D x   k , k �� � � � � � � cos �x  � cos2 �x  �  có nghiệm là: Câu 9: Phương trình: sin �x  � � 8� � 8� � 8� � 3 � 5 � 5 � 3 x  k x  k x  k x  k � � � � 4 A � B � C � D � 5 5 5 7 � � � � x  k x  k x  k x  k � 12 � 24 � 16 � 24 �  � � 2 � sin �x  Câu 10: Phương trình: 4sin x.sin �x  � � cos 3x  có nghiệm là: � 3� � � 2 �  �  �  x   k x   k x   k 2 �  � � � x   k  � A � B � C D � �   2 � � � x  k  x  k x  k xk � � � � Câu 11: Phương trình 2  sin x  cos x  cos x   cos x có nghiệm là: A x    k B x     k   k 2 � 2� C x  D Vô nghiệm � � � � cos �x  � cos �x  �  có nghiệm là: Câu 12: Phương trình sin �x  � � 8� � 8� � 8� � 3 � 3 x  k x  k � � , k � � , k �� A � B �   � � x  k x  k � 24 � 12 � 5 � 5 x  k x  k � � , k �� , k �� C � D � 5 7 � � x  k x  k � 16 � 24 1   Câu 13: Giải phương trình sin x cos x s in4x A x  k , x    k , k �� B x  k , k �� D x  C Vô nghiệm Hướng dẫn giải: Trang   k , k �� http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 Chọn C sin x �0 � ۹ sin x Điều kiện: � cos x �0 � Phương trình đề � sin x  cos x  Suy ra:  sin x  cos x   � sin x  (loại) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ TÍCH Câu 1: Phương trình 1 cosx  cos2x  cos3x  sin2x  tương đương với phương trình A cosx cosx  cos3x  B cosx cosx  cos2x  C sinx cosx  cos2x  D cosx cosx  cos2x  Câu 2: Phương trình sin 3x  4sin x.cos x  có nghiệm là: x  k 2 x  k � � � � A , k , n �� B , k , n ��   � � x  �  n x  �  n � � 2  � � xk xk � � C � , k , n �� D � , k , n ��  2 � � x  �  n x  �  n � � � � 69 � Câu 3: Số nghiệm thuộc � ; �của phương trình 2sin 3x   sin x   là: 14 10 � � A 40 B 34 C 41 D 46 Câu 4: Nghiệm dương nhỏ pt  2sin x  cos x    cos x   sin x là:  5  A x  B x  C x   D x  6 12 Câu 5: [1D1-2] Nghiệm pt cos x  sin x cos x  là:    k ; x   k   C x   k   k 5 7  k ; x   k D x  6 Câu 6: Nghiệm dương nhỏ pt 2sin x  2 sin x cos x  là: 3   A x  B x  C x  D x   4 A x  B x  Câu 7: Tìm số nghiệm khoảng (; ) phương trình : 2(sinx  1)(sin2 2x  3sinx  1)  sin4x.cosx A B C 2 Câu 8: Giải phương trình sin x  cos 3x  D 2π , k �� π C x  π  kπ, k �� D x  kπ �x  k , k �� Câu 9: Phương trình cos x  cos x  cos x  có nghiệm là:  �  �  x   k  x   k , k �� , k �� A � B � � � x  k 2 x  k � � A x  k 2π, k �� B x  k Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 � k x � sin 3x  � sin x � � pt �  sin 3x.cos x  � � cos x  1 � � cos x.cos x  cos x.cos 2 x  � � �cos 2 x  � � � k � k x x  � � � k � k x x � k � � �� �� � �� � x cos x  1 � cos x   � � � � � � cos x  1 � x    k � � � � 2  1    cos x  1  � � � � � � � x �  2� x Câu 19: Cho phương trình sin �  �tan x  cos  (*) x    k (1), x    k 2 (2), �2 �  x    k 2 (3), với k �� Các họ nghiệm phương trình (*) là: A (1) (2) Hướng dẫn giải: Chọn A 0 x ĐK: cos x �۹ B (1) (3) C (1), (2) (3) D (2) (3)  k � �  cos �x  � (1  sin x )   cos x  �sin x  cos x � (*) �  0�  (1  cos x)  cos x  sin x (1  sin x)(1  cos x)(1  cos x)  cos x � � �  (1  cos x)  � (1  cos x) �  1� (1  sin x)(1  sin x) �1  sin x � x    k 2 �  cos x  cos x  1 cos x  1 � � � � �� �� �� � (thỏa)  �  cos x  (1  sin x)   cos x  sin x  1  tan x  x    k � � � � Câu 20: Phương trình sin x cos x  sin x  sin x cos x có nghiệm là: A x  k k , x  � arccos  , k �� 4 12 C Vô nghiệm k k , x  �arccos  , k �� 48 k , k �� D x  B x  Hướng dẫn giải: Chọn D PT sin x cos x  sin x  sin x cos x �  sin x cos3 x  sin x cos x   sin x � sin x  2sin x cos x sin x  x  k � � k �� �� � x 2  cos x cos x   � � Câu 21: Nghiệm dương nhỏ phương trình sin x  sin x  cos x  cos x :  2   A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 44 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 Ta có : sin x  sin x  cos x  cos x � sin x   cos x   cos x   cos x   �  sin x  cos x    cos x    � � tan x  sin x  cos x x   k � � � �� 2 �� � �� � �cos x   cos x  cos � � � 2 x  �  k 2 � � �3 � � Vậy nghiệm dương nhỏ x   k ��  Câu 22: Một nghiệm phương trình lượng giác: sin x  sin 2 x  sin x  A  B  12 C Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có : sin x  sin 2 x  sin x  � � sin 2 x   D   cos x  cos x  sin 2 x  2 2 cos x  cos x  � cos 2 x  cos x cos x  �  k x  � cos x  � �  k � cos x  cos x  cos x   � cos3 x cos x cos x  � � cos x  � � x  � � � �  �cos x  �x   k � 2 Câu 23: Nghiệm dương nhỏ phương trình cos x  cos x  sin x  sin x là? A x   B x   C x   D x   k �� 2 Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: cos x  cos x  sin x  sin x � cos x  cos x  1  sin x  cos x  1  �  � cos x  x  �  k 2 � � �  cos x  1  cos x  sin x   � � �� ,  k ��   � � � � cos �x  � x   k � � � � 4� Câu 24 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm thỏa phương trình có giá trị nhỏ nhận Câu 25: Phương trình sin 3x  cos x   2sin x cos x tương đương với phương trình: sin x  sin x  � � A � B � sin x  sin x  1 � � sin x  sin x  � � � � C C 1 � � sin x  sin x   2 � � Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 45 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 sin x  cos x   sin x cos x � 3sin x  4sin x   cos x   2sin x   �   sin x  1   2sin x   cos x   2sin x   �   2sin x     sin x  1   2sin x   cos x   sin x  � � �   2sin x  2sin x  sin x    2sin x  � � sin x  � Câu 26: Phương trình sin 3x  4sin x.cos x  có nghiệm là:  � x  k 2 x  k x  k � � � A � B � C �   � �  x  �  n x  �  n � x  �  n � � � Hướng dẫn giải: Chọn B sin 3x  4sin x.cos x  � 3sin x  4sin x  4sin x  2sin x   2   2 � xk � D �  � x  �  n �  x  k sin x  sin x  � � � � � � 4sin x  sin x  � ,  k , n ��  1� 1� � � � x  �  n 2sin x  cos x  2 � � � Câu 27: Phương trình cot x  3cot x  tan x có nghiệm là: A x  k  C x  k 2 B x  k D Vô nghiệm Hướng dẫn giải: Chọn C sin x �0 � � cos x �0 Điều kiện: � � sin x �0 � Phương trình � cot x  3cot 3x  tan x �  cot x  cot 3x   tan x  cot 3x  sin 3x cos x  cos3 x sin x  sin x sin 3x  cos3x cos x �  sin 3x sin x cos x sin x 2sin x cos x �  � 2sin x.cos x.sin x  cos x.sin x.sin x sin x.sin x cos x.sin x � sin x  2sin x.cos x  cos x.sin x   sin x   l  � � � sin 3x.sin x   cos x   � � sin x   n  � x  k 2 , k �� � cos x   n  � Câu 28: Phương trình cos4 x  cos x  2sin x  có nghiệm là: A x    k B x  Hướng dẫn giải: Chọn C   k  Phương trình � cos4 x  cos x  2sin x  �  sin x Trang 46 D x  k 2 C x  k     2sin x   2sin 2 x0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 � 2sin x  sin x  � sin x  2sin x  1  � sin x  � x  k , k �� Câu 29: Phương trình: cos5 x.sin x  4sin x.cos x  sin x có nghiệm là:   � � x  k 2 x  k xk xk � � � � � � A � B � C D  3 � �     x   k 2 x  k � � x  k x  k � � � � 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A cos5 x.sin x  4sin x.cos x  sin x � 4sin x.cos x  cos x  sin x   sin x � 2sin x  cos2 x  sin x   sin x  � xk � sin x  � ��  k �� � 2sin x.cos x  sin x � sin x  sin x  � �   sin x  � � x  k � CÁCH KHÁC: Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)  3  Kiểm tra giá trị x  đáp án B, x  đáp án C, x  đáp án D không thỏa 4 phương trình (chú ý lấy giá trị họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không thuộc họ nghiệm đáp án khác); kiểm tra giá trị x   đáp án A thỏa phương trình Câu 30: Phương trình:  sin x  sin x   sin x  sin x   sin x có nghiệm là:   � � 2 xk xk � � � xk � A � B � C D �   � � x  k xk xk � � � Hướng dẫn giải: Chọn A  sin x  sin x   sin x  sin x   sin x � sin x  sin 2 x  sin x  cos x  cos6 x  sin 2 x  � cos x  cos x  sin 2 x  2 � 2cos x.sin x  2sin x  � 2sin 2 x.cos x  sin 2 x  x  k 3 � � x  k 2 � � � k � k x  k sin x  x x � � � � 2 � � sin 2 x  cos x  1  � � � � � � � 2 � �  k x  �  k 2 cos x  � � x  �  k x � � � � 3 cos x Câu 31: Phương trình cos x  sin x  có nghiệm là:  sin x Trang 47 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word  � x    k 2 � �  x   k A � � �  � xk � Hướng dẫn giải: Chọn C sin 2x۹� Điều kiện: �۹ �  x   k 2 � �  x   k B � � � x  k � �  2x k 2 x Lượng giác – ĐS GT 11 � 3 x  k � �  x    k 2 C � � � x  k 2 � �  k  k � 5 x  k � � 3 x  k D � � �  � xk � � cos x �  cos x  sin x    sin x   cos x  sin x �  cos x  sin x   cos2 x  2cos x sin x  sin x   cos x cos x  sin x  �  cos x  sin x   cos x  sin x   cos x � cos x  cos x  sin x   cos x  �  cos x  � x   k � � � cos x  cos x  sin x  1  � � �� � cos � x     � � � x   �  k 2 � 4� � � 4 �  k � 3 x  x  k � � 4 � � �� x  k 2 �� x  k 2 �  �  x   k 2 x   k 2 � � � � 1  cos3 x  Câu 32: Phương trình 2sin x  có nghiệm là: sin x cos x   3  k A x   k B x    k C x  4 Hướng dẫn giải: Chọn A cos x �0 � k ۹ sin x ۹ x Điều kiện: � , k �� sin x �0 � � 1 �1 �  sin x  cos x   �   cos 3x  � sin x cos x �sin x cos x � �cos x  sin x � �  3sin x  sin x  cos3 x  3cos x   � � �sin x cos x � �cos x  sin x � �  cos x  sin x    cos x  sin x    sin x cos x   � � �sin x cos x � cos x  sin x  �  1 � �� � �  8�  sin x �   2 � � sin x � � 2sin 3x  Trang 48 D x   3  k http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 3  � �  k � x    k Giải  1 ,  1 � cos �x  � � x  4 � 4�  � 2sin 2 x  sin x   Giải   ,   � 2  4sin x  sin x  � �  x   k  x   k � � sin x  � � �   �� x    k 2 � � x    k 1�� � � � 12 sin x   � � � 7 7 � � x  k 2x   k 2 � � 12 Câu 33: Phương trình sin 3x  cos2 x  sin x  cos2 x có nghiệm là:   � �  xk xk � � � xk 12 � A � B � C �   � � x  k xk xk � � � Hướng dẫn giải: Chọn B sin 3x  cos2 x  sin x  cos x  cos x  cos8 x  cos10 x  cos12 x �    2 2 � cos x  cos8 x  cos10 x  cos12 x � cos x.cos x  cos11x.cosx � cos x  cos11x  cos x   � 2 cos x.sin x.sin x  �  x   k �  � x   k  � � cos x  � xk � � �  �� sin x  � � x  k �� xk �� � �  � � xk sin x  � x  k � � �  � � xk � � sin x  sin x  sin x  có nghiệm là: Câu 34: Phương trình cos x  cos x  cos3 x   k   B x   k 2  k C x   7 5  k 2 , x   k 2 ,  k �� D x   k 2 , x  6 A x  Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiện cos x  cos x  cos 3x �0 � cos x.cos x  cos x �0 Trang 49  � xk � D � x  k 2 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11  �  x � k � cos x �0 � � �� �� cos x  �0 � �x ��2  2k � Phương trình � sin x  sin x  sin x   cos x  cos x  cos x  � 2sin x.cos x  sin x   cos x.cos x  cos x  � sin x  cos x  1  cos x  cos x  1 1 � 2 2 � � cos x  x  �  2k x  �  2k � cos x   � � � 3 �� �� �� ��  k ��    � � sin x  cos x  � � � � sin � x  � x   k x  k � 3� � � � �  7 5  k 2 , x   k 2 ,  k �� So sánh với điều kiện, ta có x   k 2 , x  6   2 Chú ý họ nghiệm x   k (Với k  x  làm mẫu khơng xác định) Câu 35: Các nghiệm tan x  sin x  tan x  sin x   5 A , B 8 Hướng dẫn giải: Chọn D tan x  sin x  tan x  sin x  thuộc 3tan x là:  3 , 4  0;  khoảng C  5 , 6 phương D trình:  3tan x � tan x  tan x  sin x  3tan x 2 � � � sin x �  1� tan x � sin x tan x  tan x � 4sin x tan x  tan x �cos x � x  k x  k x  k � � � � tan x  � � � �� � �   1� � � � x  �  k  x  �  k cos x  sin x  � � � �  5 x � 0;   � x  , x  6  5 Thử lại, ta nhận x  (Tại x  tan x  sin x  ) 6 Câu 36: Phương trình  sin x  1  3cos x  2sin x    cos x  có nghiệm là:   � �  � �  x    k  x   k  x    k  x   k 2 � � � � 3 � � � �     x  k 2 x  k 2 x  k 2 x  k 2 A � B � C � D � � � � � � � � �  x  k x  k 2 2 � � � � xk xk � � � � Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 50 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11  sin x  1  3cos x  sin x    cos2 x  �  2sin x  1  3cos x  2sin x      sin x    �  2sin x  1  3cos x  2sin x      4sin x   �  2sin x  1  3cos x  2sin x    2sin x    � x    k 2 � � � sin x   7 �  2sin x  1  3cos x  3  � � x  k 2 ,  k �� �� � � cos x  � �  � xk � Câu 37: Phương trình tan x  cot x  2sin x  có nghiệm là: sin x    B x  �  k A x  �  k 12 Hướng dẫn giải: Chọn C  C x  �  k  D x  �  k  ,k � 2 tan x  cot x  2sin x  sin x 2sin x cos x �   2sin x  � 4sin x  cos x  2sin 2 x  cos x sin x sin x � 4sin x   2sin x  2sin 2 x  � 2sin x  8sin x cos x  sin x  � � sin x   4cos2 x   � �  cos2 x  � x Điều kiện sin x �۹� k Do điều kiện nên 2  � x  �  k 2 � x  �  k ,  k �� 3 Câu 38: Phương trình:  sin x  cos x   sin x  cos x  2   sin x  có nghiệm   A x   k 2 , k �� B x    k 2 , k �� 4   C x   k 2 , k �� D x    k 2 , k �� 2 Hướng dẫn giải:: Chọn A    cos x   � cos x   Cách 1: Ta có: sin x  3sin x  4sin x ; cos x  cos3 x  3cos x Phương trình tương đương:  sin x  cos x    sin x  cos3 x   2   sin x  �  sin x  cos x    sin x  cos x    sin x cos x   2   sin x  Trang 51 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 �  sin x  cos x    sin x cos x     sin x cos x  � � sin x  2   sin x  1 �  sin x cos x  �  � �� �� � � � x   k 2 , k �� � sin �x  � sin x  cos x  � sin �x   � � � � � 4� � � � � 4� � Cách 2: Phương trình tương đương � � � � sin �x  � sin � x  � 2   sin x  4� � 4� � � � � � � 5sin �x  � sin � x  �   sin x  4� � 4� �  Đặt u  x  Khi đó, phương trình trở thành: 5sin u  sin 3u   cos 2u � 4sin u  4sin u  2sin u    � � � sin u  � sin �x  � � x   k 2  k �� � 4� Câu 39: Một nghiệm phương trình cos x  cos 2 x  cos 3x  có nghiệm     A x  B x  C x  D x  12 Hướng dẫn giải:: Chọn D  cos x  cos x  cos x   1 cos x  cos 2 x  cos x  � 2 � cos x  cos x   cos x  � cos x cos x  cos 2 x  �  x   k � � cos x  �   ,( �� x  k �� k ��) � cos x  cos   x   � �  � x    k �  x� 2� Câu 40: Phương trình: sin x.cos x  sin x  4sin �  � có nghiệm �4 �   � � x    k x    k 2 � � 6 A � , k �� B � , k �� 7 7 � � x  k x  k 2 � � � �   � � x    k 2 x    k � � 6 C � , k �� D � , k ��   � � x   k 2 x   k � � � � Hướng dẫn giải: Chọn B Trang 52 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word sin x.cos x  Lượng giác – ĐS GT 11 1� 1�  cos x � � sin x  � 2 � sin x  �    sin x   � cos x � 2� 2� 2 � �  � x    k 2 � 1� � , k �� �� sin x  �  cos x    � sin x   � � 7 � � � x  k 2 � � Câu 41: Giải phương trình sin x  sin x  cos x  cos2 3x   k  k ,x   A x  �  k 2 , k �� B x    , k �� 4  k  k  k  k ,x  ,x   C x   , k �� D x    , k �� 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Phương trình � sin x  cos x  cos x  sin x � cos x  cos x  � cos x.cos x  �  k �  x  x   k � � cos x  � �� �� �� ,  k �� cos x    k � � � x   k x  � � 12 12 14 14 Câu 42: Phương trình: sin x  cos x  2(sin x  cos x)  cos2 x có nghiệm   k  , k ��  C x   k 2 , k �� Hướng dẫn giải: Chọn B A x  B x     k , k �� D Vô nghiệm sin12 x  cos12 x  2(sin14 x  cos14 x)  cos2 x � sin12 x   2sin x   cos12 x   cos x   cos2 x 3� � 12 sin x  cos12 x  � � sin12 x.cos x  cos12 x.cos x  cos2 x � cos x � 2� �   � cos x  sin12 x  cos12 x �sin x  cos x   � x   k (k ��) Câu 43: [1D1-3]Giải phương trình cot x  A x    k 2 B x  Hướng dẫn giải: Chọn B Trang 53   k cos x  sin x cos x  sin x  C x  �  k 2 D x    k http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word sin x �0 � ۹ x Điệu kiện: � cos x  sin x �0 � k Lượng giác – ĐS GT 11  �  x   k � cos x  � � cos x cos x  � sin x  � x   k pt �  � � � 2 sin x  3sin x cos x  3sin x  sin x � � sin x    L  � � 2 cos x  sin x sin x Câu 44: [1D1-4]Giải phương trình 8cot x  cos x  sin x   A x    k  k B x  �    C x   k Hướng dẫn giải: Chọn D sin x �0 �  ۹ x k Điệu kiện: � 6 cos x  sin x �0 � cos x cos x.sin x pt �  � 8cos x  3sin x cos x  cos x sin 2 x 2 sin x  3sin x cos x cos x  �   2 � � cos x   6sin x  sin x   � � x  k � sin x   VN  �  Trang 54  D x    k http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG THƯỜNG GẶP Câu 1: Giải phương trình  tan x  cot x   tan x  cot x  �  k , k ��  D x   k , k �� B x  A Cả đáp án C x    k , k �� Hướng dẫn giải: Chọn D Lưu ý: Đối với câu hỏi này, ta chọn cách thử nghiệm k Điều kiện x �  k �� Đặt t  tan x  cot x , phương trình đã cho trở thành t  1 � t2  t   � � t2 � + Với t  1 Suy ra: tan x  cot x  1 � tan x  tan x   (vô nghiệm) + Với t  Suy ra: tan x  cot x  � tan x  tan x   � tan x  � x  Câu 2: Giải phương trình A x  k 2 , x  C x      k  k �� sin10 x  cos10 x sin x  cos6 x  4 cos 2 x  sin 2 x  k 2 , k �� B x  k , k �� D x  k , x   k , k ��   k 2 , k �� Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện: cos 2 x  sin 2 x �0 � cos 2 x   cos 2 x �0 � 3cos 2 x  �0 � x �� 2 2 sin10 x  cos10 x  sin x  cos x   sin x  sin x cos x  cos x  PT �  4   sin 2 x   sin 2 x 2 2 sin10 x  cos10 x  sin x  cos x   3sin x cos x �  4  3sin 2 x  sin 2 x sin10 x  cos10 x sin10 x  cos10 x  3sin 2 x �  �  4  3sin 2 x 4   3sin 2 x  � sin10 x  cos10 x  � sin10 x  cos10 x  sin x  cos x � sin x   sin x   cos x   cos8 x   (*) Trang 55 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 �� sin x  � � � � sin x   sin x  �0x �� sin x   sin x   sin x  �1 k � � �� (*) � �� � x Vì � nên � cos x  cos x   cos8 x  �0x �� cos x   cos8 x   � � �� � � �� cos x  �1 �� 2 Câu 3: Cho phương trình: cos x  cot x    cos x  cot x  Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc 8 vào khoảng (0;2 ) ? A B Hướng dẫn giải: Chọn D 2 Ta có : cos x  cot x    cos x  cot x  C D � cos2 x  cos x   cot x  2cot x    2 �  cos x  1   cot x  1   Do  cos x  1 �0 x ��,  cot x  1 �0 x �� �  2cos x  1   cot x  1   x �� 2 2 Câu 4: Cho phương trình: cos2 x  cot x    2cos x  cot x  Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng (0;2 ) ? A B C D đáp số khác Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có : cos2 x  cot x    2cos x  cot x      � cos2 x  cos x   cot x  cot x    � cos x     cot x   2 0  � x  �  k 2 � �  �2 cos x   � �� �� � x   l 2  l �� �cot x   �x    k�  �  11 �l 0 Vì x � 0;2  �   l 2  2 �   l  12 12 Câu 5: Phương trình: sin 3x  cos x  2sin 3x   cos 3x   sin x  cos 3x   có nghiệm là:     A x   k B x   k C x   k 2 D Vô nghiệm Hướng dẫn giải:: Chọn D sin 3x  cos x  2sin 3x   cos 3x   sin x  cos 3x   � sin 3x.cos x  2sin 3x  cos 3x  cos 3x.sin x  cos x  �  sin 3x.cos x  cos3 x.sin x   cos3 x   sin x  cos x   � sin x  cos 3x  �1 �sin x �1 Do � , nên sin x  cos x �2 �1 �cos 3x �1 Trang 56 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 �  k  x  � � sin x  x   k 2 � � � �� �� Dấu "  " xảy � � , k , l �� cos 3x  � l  � �x  3x  l 2 � �  k l 2  12k  12k  �� Ta có  vơ lý l   k , l �� � l  16 16 Nên phương trình đã cho vơ nghiệm 4x  cos x � � x  k �  x  �  k B � � � 5 � x  �  k � Câu 6: Giải phương trình cos � � x  k3 �  x  �  k3 A � � � 5 � x  �  k3 � x  k3 � � C  � x  �  k3 � x  k3 � � D 5 � x  �  k3 � Hướng dẫn giải: Chọn A 4x x  cos x 2x 2x cos  cos x � cos  � 2cos   cos3 3 3 x x x 2x 2x � 2x � � 2� 2cos  1�  4cos  3cos � 4cos  4cos  3cos 3  3 3 3 � � 2x � �  k 2 � � x  k3 � 2x cos  � � �  2x  � ��  �  k 2 � � x  �  k3 � �3 � 2x cos  � � � � 2x 5 5 � � �  �  k 2 x  �  k3 �3 � Câu 7: Giải phương trình A x   12  sin x  sin x ��   x �� 0; �  sin x  sin x với � 2� B x   C x   D x   Hướng dẫn giải: Chọn A  sin x   sin x 4  pt �  �  � cos x  � x  �  k cos x 12 3  sin x  �� 0; �nên x  Do x �� 12 � 2� 2 Câu 8: Để phương trình: 2sin x  2cos x  m có nghiệm, giá trị cần tìm tham số m là: A �m � B �m �2 C 2 �m �3 D �m �4 Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 57 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word sin x  21sin Phương trình tương đương 2 Đặt t Σ� 2sin x , t  1;2 x 2  m � 2sin x  sin2 x Lượng giác – ĐS GT 11 m sin x 2 ( t ) = 1- ; f � ( t) = � t = Xét hàm f ( t ) = t + , t �[1;2 ] � f � t t Bảng biến thiên t  f� ( t) f ( t) Vậy phương trình f ( t ) = m có nghiệm ۣۣ� 2  2 Trang 58 2 m ... Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Câu 1: Giải phương trình 5sin x  cos x  13 A Vô nghiệm... – Website chuyên đề thi tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN Có dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1:  Chia hai vế phương trình. .. cos x tương đương với phương trình: sin x  sin x  � � A � B � sin x  sin x  1 � � sin x  sin x  � � � � C C 1 � � sin x  sin x   2 � � Câu 26: Phương trình sin 3x  4sin x.cos x  có