Bài giảng số 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam g[r]

BÀI GIẢNG SỐ CÁCTRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu:

 Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông (g.g)

 Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác

vuông (c.g.c)

2 Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng của tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với nhau( cạnh huyền-cạnh góc vng)

3 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng:

 Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng  Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , phân giác AD Gọi E F hình chiếu B C lên AD Chứng minh rằng:

a) ABEACF, BDECDF

b) AE DF  AF DE

Giải

a) Xét ABE ACF , ta có:

0

ˆ AFˆ 90 ,

AEB C

ˆ ˆ

BAECAF (vì AD phân giác)

ABE ACF

   (g.g)

Xét BDE CDF , ta có:

E

F D B

A

C

A B A' B'

C

ˆ ˆ

BDECDF (đối đỉnh)

BDE CDF

   (g.g)

b) Vì ABE ACF nên AF

AE BE

CF

 (1)

Vì BDECDF nên DF

DE BE

CF  (2)

Từ (1) (2) AF

AF

AE DE

AE DF DE

DF

   (đpcm)

Ví dụ 2: ( Bài 4- sách pp giải toán theo chuyên đề tr215) Cho tam giác ABH, vng H, có

20 , 12

AB cm BH  cm Trên tia đối tia HB lấy điểm C cho

AC AH 

a) Chứng minh ABH CAH

b) Tính góc BAC ĐS: BAC90

Giải

a) Ta có: 20

12

AB AC

BH    AH

Xét ABHvà CAH , ta có:

0

ˆ ˆ 90 ,

AHBCHA

AB AC

BH  AH (chứng minh trên)

Do ABH CAH(cạnh huyền - cạnh góc vng)

b) Từ câu a) CAHˆ  ABHˆ

Ta lại có BAHˆ ABHˆ 900 nên BAHˆ CAHˆ 900

Do BAC ˆ 90 0

Giải

Vì / / / /

DE AC

DF AB

  

nên tứ giác ABCD hình hành

Xét BDE CDF ta có:

BDEˆ DCFˆ (đồng vị)

DBEˆ CDFˆ (đồng vị)

BDE DCF

   (g.g)

Do

2

16

25

BDE DCF

S BE

S DF

   

    

   

Do

5

BE

AE DF BE

DF    

2

5

2 2 .16 40

4

ABCD ADE BDE

S S S cm

    

Vậy

16 40 25 81

ABC BDE ABCD CDF

S S S S     cm

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác Qua O kẻ đường thẳng

MN, PQ, RS song song với BC, CA, AB ( P S, BC N Q; , AC R S; , AB) Gọi diện tích tam giác ABC, ROM, QNO, OSP theo thứ tự S S S S, 1, 2, 3 Chứng minh

1

S  S  S  S

Giải

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nhọn có diện tích S, đường cao AH Qua H kẻ đường thẳng song

song với AB, cắt AC K Biết diện tích tam giác AHK 2S

9 Tính tỉ số

AK KC

ĐS:

Giải

Vì HK // AB nên theo định lí ta-let, ta có: AK BH k KC  HC 

F

E

B C

A

Ta có:

AC  AKKC  k KCKC k

1

BH BH BH k

BH

BC BH HC BH k

k

  

  

Hơn HKC BAC nên ta có:

2

HKC ABC

S KC

S AC

 

  

 

Mà SAHK SABC SABH SHKC

SAHK SABC BH SABC KC SABCC

BC AC

 

     

 

 2

2

9 1

2

1

2;

2

k

S S S S

k k

k k

k k

   

 

   

  

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Mức độ

1 Cho tam giác vuông ABC A , ˆ 90 0 Qua điểm D cạnh BC, kẻ đường thẳng vuông

góc với BC, cắt AB, AC theo thứ tự E G a) Chứng minh DBEDCG

b) Chứng minh DB DC DE DG

2 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh 3cm cm cm, ,5 Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC có diện tích 54cm2 Tính độ dài cạnh tam giác A'B'C'

ĐS: 3cm cm,9 ,10cm

3 Cho tam giác ABC vng A, biết AB5 ,m AC7m có đường cao AH Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH CH ĐS:

4 Chân đường cao AH tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm 36cm Tính chu vi diện tích tam giác vng

ĐS:

61 11 61 , 915

ABC ABC

P   cm S cm

5 Cho tam giác vng, cạnh huyền dài 20cm cạnh góc vng dài 12cm

K

H

B C

6 Cho tam giác ABC có diện tích S, đường trung tuyến AD, BE, CF Gọi S' diện

tích tam giác có độ dài ba AD, BE, CF Chứng minh '

S  S

7 Cho tam giác vuông ˆ

, 90 , 12 ,

ABC A AB cm AC cm Từ trung điểm M cạnh huyền BC kẻ đường vng góc với BC cắt AB N Tính độ dài đoạn MN ĐS: 2,7cm

8 Cho tam giác ABC, đường cao AH Biết CˆBˆ90 0

Chứng minh rằng: AH2BH CH

9 Hình thang ABCD có cạnh đáy AB8 ,m CD12 m Điểm M nằm đường thẳng AB cho đường thẳng DM chia hình thang thành hai phần có diện tích Tính độ dài BM ĐS: BM 2, m

10 Cho tam ABC vng A, hình vng EFGH nội tiếp tam giác cho E thuộc AB, F thuộc AC, H G thuộc BC Tính độ dài cạnh hình vng biết

2 ,

BH  cm GC cm ĐS: 4cm

Mức độ nâng cao

11 Cho tam giác ABC cân (AB = AC), hai đường cao BH CK Tính độ dài đoạn HK theo

,

BCa ACb ĐS:  

2

2

2

a b a

HK

b

 

12 Cho hình chữ nhật ABCD có AB36cm AD, 24cm Gọi E trung điểm cạnh AB Đường thẳng DE cắt AC BC theo thứ tự E G

a) Chứng minh FD2EF.FG.

b) Tính độ dài DG ĐS: 60cm

13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), H trung điểm cạnh BC Kẻ HE vng góc với AC Gọi O trung điểm EH Chứng minh AO vng góc với BE

14 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC CE cắt DF M Tính diện tích tam giác MCD theo a

ĐS:

MCD

S  a

15 Cho tứ giác ABCD có diện tích 36m2, diện tích tam giác ABC

2

phần có độ dài Hỏi đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh theo tỉ số nào?

ĐS:

17 Cho tam giác vuông cân ABD B , ˆ 90 Trên tia đối tia DB lấy hai điểm E C cho BD = DE = EC Chứng minh rằng: ADBˆ  AEBˆ ACBˆ

18 Tam giác ABC có Bˆ60 ,0 Cˆ20 ,0 BC4cm Gọi D trung điểm AC Trên cạnh CB lấy điểm E cho CE = CD Tính tổng diện tích tam giác ECD ABD

ĐS: 3cm2.

19 Cho tam giác ABC cân A, trực tâmm H chia đường cao AE theo tỉ số 7: Giao điểm I đường phân giác tam giác chia AE theo tỉ số nào? ĐS: :

20 Cho hình thang ABCD có đáy ABb CD, a a( b) Đoạn thẳng MN song song với đáy, có hai đầu thuộc hai cạnh bên chia hình thang hai phần có diện tích

nhau Chứng minh

2

2

a b

MN  

Hướng dẫn

11 Kẻ đường cao AI, ta có IACˆ HBCˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)

IAC HBC

  (g.g), ta có:

2

2 .

2

a

IC AC b a

HC

HC  BC  HC a   b

AHB AKC

   (cạnh huyền góc nhọn)

AH AK AHK

    cân A

Do AHK ACB(g.g), ta có:

 

2

2

2

2

2 .

2

a

b a b a

KH AH KH b

KH

BC AC a b b

 

    

12

a) Do AE // DC nên EF AF

FD FC (1)

Do AD // CG nên AF DF

FC  FG (2)

Từ (1) (2)  EF  DF DF2 EF.FG

H K

I

B C

A

G

E

b) Ta có: AED  BEG BG ADBC

Do CG2BC2.2448cm

Áp dụng định lý Pitago tam giác vng CDG ta có:

2 362 482 60 .

DG DC CG    cm

13 Kẻ BDAC, ta có CBDˆ HACˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)

DBC EAH

  (g.g), ta có: BC CD

AH  EH

Dễ dàng chứng minh E trung điểm CD, từ BE CO đường trung tuyến hai tam giác đồng dạng DBC EAH nên:

BE CE CB

AO  HO  HA

CBE HAO

  (c.c.c) CBEˆ HAOˆ Từ chứng minh BE AO

14 DCF  CBE(c.g.c) nên Dˆ1Cˆ1

Do 0

1 2

ˆ ˆ 90 ˆ ˆ 90

C C  D C 

Tam giác MCD vuông M

CMD FCD

  9(g.g), ta có: CD CM

FD  FC

Do

2

2

CMD

CMD FCD

FCD

S CD CD

S S

S  FD   FD

Mà 1

2

FCD

S  CF CD CD nên

2

2

1

4

CMD

CD

S CD

FD

 

Trong tam giác vng CDF, theo định lí Pitago, ta có:

2

2 2 2

2 4

DF CD CF CD  BC CD  CD  CD

 

Do vậy:

2

2 2

2

1 1

5 5

4

MCD

CD

S CD CD a

CD

  

15 SACDSABCDSABC 36 11 25m2

O E D

H

B C

A

2

.25

MDN

MDN ADC

S MD MD

S

S AD AD

   

     

    (1)

Hai tam giác MAC BAC có đáy AC chung,

có chiều cao nên

11

MAC BAC

S S  m

Do đó:

36

MCD

S  m

Ta có: 36

25

MCD ACD

S MD

S  AD  (2)

Từ (1) (2)

2

2

36

.25 51,84 25

MDN

S    m

 

16 Gọi AH, AD đường cao, đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC vng A Ta có:

1

AB BD

AC CD (vì AD tia phân giác góc A)

Vì AHB CHA(g.g) nên,

2

1

AHB CHA

S HB AB

S HC AC

 

   

 

Vậy đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn theo tỉ số

17 Gọi F điểm đối xứng D qua điểm B Tam giác ADF vuông cân A

Do vậy, ta có: DAFDBA(g.g) DA DF

DB DA

 

Mà DBDE DF, DC nên DA DC

DE  DA

Vì DAEDCA(c.g.c) Aˆ1Cˆ 1

Mặt khác D góc ngồi tam ˆ1

giác ADE nên Dˆ1 Aˆ1Eˆ1Eˆ1Cˆ1

Vậy: ADBˆ AEBˆ ACBˆ (đpcm)

D H B

C

Trên cạnh FB lấy điểm G cho FG = AB

Ta có ACG cân có góc đỉnh 20 , ABC0   GFC(c.g.c)

Đặt SECDS S1, ABD S2

Ta có ECD ACG(g.g)

1

1 ACG

S  S (1)

2

1

( )

2 ABC ABC GFC

S  S  S S (2)

Từ (1) (2) 1 2 1( )

4 ACG ABC GFC

S S S S S

    

2

2

1

4SBFC 4 cm

  

19 Theo tính chất đường phân giác:

2 2 2

2

AI AB AI AB AE BE AE

IE BE IE BE BE BE



   

       

    (1)

Vì AEB BEH(g.g) nên

2 AEB BEH S AE AE

BE S HE

 

    

  (2)

Từ (1) (2)

2

8

AI AI

IE IE

 

      

 

20 Gọi O giao điểm AD BC

Đặt SABNM SMNCDS Đặt MN = x

OAB OMN

  nên

2 , OAB OMN S b S x        ODC OMN

  nên

2 ODC OMN S a S x       

Do đó:    

2

2

OMN OMN

OCD OAB

OMN OMN

S S S S

S S

a b

x S S

        Vậy 2 2 a b

x   (đpcm)