1. Trang chủ
  2. » Nghệ sĩ và thiết kế

Bài giảng số 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

10 45 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 593,94 KB

Nội dung

Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam g[r]

(1)

BÀI GIẢNG SỐ CÁCTRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu:

 Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông (g.g)

 Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác

vuông (c.g.c)

2 Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng của tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với nhau( cạnh huyền-cạnh góc vng)

3 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng:

 Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng  Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , phân giác AD Gọi E F hình chiếu B C lên AD Chứng minh rằng:

a) ABEACF, BDECDF

b) AE DFAF DE

Giải

a) Xét ABE ACF , ta có:

0

ˆ AFˆ 90 ,

AEBC

ˆ ˆ

BAECAF (vì AD phân giác)

ABE ACF

   (g.g)

Xét BDE CDF , ta có:

E

F D B

A

C

A B A' B'

C

(2)

ˆ ˆ

BDECDF (đối đỉnh)

BDE CDF

   (g.g)

b) Vì ABE ACF nên AF

AE BE

CF

 (1)

Vì BDECDF nên DF

DE BE

CF  (2)

Từ (1) (2) AF

AF

AE DE

AE DF DE

DF

   (đpcm)

Ví dụ 2: ( Bài 4- sách pp giải toán theo chuyên đề tr215) Cho tam giác ABH, vng H, có

20 , 12

ABcm BHcm Trên tia đối tia HB lấy điểm C cho

AC AH

a) Chứng minh ABH CAH

b) Tính góc BAC ĐS: BAC90

Giải

a) Ta có: 20

12

AB AC

BH    AH

Xét ABHvà CAH , ta có:

0

ˆ ˆ 90 ,

AHBCHA

AB AC

BHAH (chứng minh trên)

Do ABH CAH(cạnh huyền - cạnh góc vng)

b) Từ câu a) CAHˆ  ABHˆ

Ta lại có BAHˆ ABHˆ 900 nên BAHˆ CAHˆ 900

Do BAC ˆ 90 0

(3)

Giải

Vì / / / /

DE AC

DF AB

  

nên tứ giác ABCD hình hành

Xét BDE CDF ta có:

BDEˆ DCFˆ (đồng vị)

DBEˆ CDFˆ (đồng vị)

BDE DCF

   (g.g)

Do

2

16

25

BDE DCF

S BE

S DF

   

    

   

Do

5

BE

AE DF BE

DF    

2

5

2 2 .16 40

4

ABCD ADE BDE

S S S cm

    

Vậy

16 40 25 81

ABC BDE ABCD CDF

SSSS     cm

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác Qua O kẻ đường thẳng

MN, PQ, RS song song với BC, CA, AB ( P S, BC N Q; , AC R S; , AB) Gọi diện tích tam giác ABC, ROM, QNO, OSP theo thứ tự S S S S, 1, 2, 3 Chứng minh

1

SSSS

Giải

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nhọn có diện tích S, đường cao AH Qua H kẻ đường thẳng song

song với AB, cắt AC K Biết diện tích tam giác AHK 2S

9 Tính tỉ số

AK KC

ĐS:

Giải

Vì HK // AB nên theo định lí ta-let, ta có: AK BH k KCHC

F

E

B C

A

(4)

Ta có:

ACAKKCk KCKCk

1

BH BH BH k

BH

BC BH HC BH k

k

  

  

Hơn HKC BAC nên ta có:

2

HKC ABC

S KC

S AC

 

  

 

SAHKSABCSABHSHKC

SAHK SABC BH SABC KC SABCC

BC AC

 

     

 

 2

2

9 1

2

1

2;

2

k

S S S S

k k

k k

k k

   

 

   

  

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Mức độ

1 Cho tam giác vuông ABC A , ˆ 90 0 Qua điểm D cạnh BC, kẻ đường thẳng vuông

góc với BC, cắt AB, AC theo thứ tự E G a) Chứng minh DBEDCG

b) Chứng minh DB DCDE DG

2 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh 3cm cm cm, ,5 Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC có diện tích 54cm2 Tính độ dài cạnh tam giác A'B'C'

ĐS: 3cm cm,9 ,10cm

3 Cho tam giác ABC vng A, biết AB5 ,m AC7m có đường cao AH Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH CH ĐS:

4 Chân đường cao AH tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm 36cm Tính chu vi diện tích tam giác vng

ĐS:

61 11 61 , 915

ABC ABC

P   cm S cm

5 Cho tam giác vng, cạnh huyền dài 20cm cạnh góc vng dài 12cm

K

H

B C

(5)

6 Cho tam giác ABC có diện tích S, đường trung tuyến AD, BE, CF Gọi S' diện

tích tam giác có độ dài ba AD, BE, CF Chứng minh '

SS

7 Cho tam giác vuông ˆ

, 90 , 12 ,

ABC AABcm ACcm Từ trung điểm M cạnh huyền BC kẻ đường vng góc với BC cắt AB N Tính độ dài đoạn MN ĐS: 2,7cm

8 Cho tam giác ABC, đường cao AH Biết CˆBˆ90 0

Chứng minh rằng: AH2BH CH

9 Hình thang ABCD có cạnh đáy AB8 ,m CD12 m Điểm M nằm đường thẳng AB cho đường thẳng DM chia hình thang thành hai phần có diện tích Tính độ dài BM ĐS: BM 2, m

10 Cho tam ABC vng A, hình vng EFGH nội tiếp tam giác cho E thuộc AB, F thuộc AC, H G thuộc BC Tính độ dài cạnh hình vng biết

2 ,

BHcm GCcm ĐS: 4cm

Mức độ nâng cao

11 Cho tam giác ABC cân (AB = AC), hai đường cao BH CK Tính độ dài đoạn HK theo

,

BCa ACb ĐS:  

2

2

2

a b a

HK

b

 

12 Cho hình chữ nhật ABCD có AB36cm AD, 24cm Gọi E trung điểm cạnh AB Đường thẳng DE cắt AC BC theo thứ tự E G

a) Chứng minh FD2EF.FG.

b) Tính độ dài DG ĐS: 60cm

13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), H trung điểm cạnh BC Kẻ HE vng góc với AC Gọi O trung điểm EH Chứng minh AO vng góc với BE

14 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC CE cắt DF M Tính diện tích tam giác MCD theo a

ĐS:

MCD

Sa

15 Cho tứ giác ABCD có diện tích 36m2, diện tích tam giác ABC

2

(6)

phần có độ dài Hỏi đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh theo tỉ số nào?

ĐS:

17 Cho tam giác vuông cân ABD B , ˆ 90 Trên tia đối tia DB lấy hai điểm E C cho BD = DE = EC Chứng minh rằng: ADBˆ  AEBˆ ACBˆ

18 Tam giác ABC có Bˆ60 ,0 Cˆ20 ,0 BC4cm Gọi D trung điểm AC Trên cạnh CB lấy điểm E cho CE = CD Tính tổng diện tích tam giác ECD ABD

ĐS: 3cm2.

19 Cho tam giác ABC cân A, trực tâmm H chia đường cao AE theo tỉ số 7: Giao điểm I đường phân giác tam giác chia AE theo tỉ số nào? ĐS: :

20 Cho hình thang ABCD có đáy ABb CD, a a( b) Đoạn thẳng MN song song với đáy, có hai đầu thuộc hai cạnh bên chia hình thang hai phần có diện tích

nhau Chứng minh

2

2

a b

MN  

Hướng dẫn

11 Kẻ đường cao AI, ta có IACˆ HBCˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)

IAC HBC

  (g.g), ta có:

2

2 .

2

a

IC AC b a

HC

HCBCHCa   b

AHB AKC

   (cạnh huyền góc nhọn)

AH AK AHK

    cân A

Do AHK ACB(g.g), ta có:

 

2

2

2

2

2 .

2

a

b a b a

KH AH KH b

KH

BC AC a b b

 

    

12

a) Do AE // DC nên EF AF

FDFC (1)

Do AD // CG nên AF DF

FCFG (2)

Từ (1) (2)  EF  DF DF2 EF.FG

H K

I

B C

A

G

E

(7)

b) Ta có: AED  BEGBGADBC

Do CG2BC2.2448cm

Áp dụng định lý Pitago tam giác vng CDG ta có:

2 362 482 60 .

DGDCCG    cm

13 Kẻ BDAC, ta có CBDˆ HACˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)

DBC EAH

  (g.g), ta có: BC CD

AHEH

Dễ dàng chứng minh E trung điểm CD, từ BE CO đường trung tuyến hai tam giác đồng dạng DBC EAH nên:

BE CE CB

AOHOHA

CBE HAO

  (c.c.c) CBEˆ HAOˆ Từ chứng minh BEAO

14 DCF  CBE(c.g.c) nên Dˆ1Cˆ1

Do 0

1 2

ˆ ˆ 90 ˆ ˆ 90

CC  DC

Tam giác MCD vuông M

CMD FCD

  9(g.g), ta có: CD CM

FDFC

Do

2

2

CMD

CMD FCD

FCD

S CD CD

S S

SFD   FD

Mà 1

2

FCD

SCF CDCD nên

2

2

1

4

CMD

CD

S CD

FD

 

Trong tam giác vng CDF, theo định lí Pitago, ta có:

2

2 2 2

2 4

DFCDCFCD  BC CDCDCD

 

Do vậy:

2

2 2

2

1 1

5 5

4

MCD

CD

S CD CD a

CD

  

15 SACDSABCDSABC 36 11 25m2

O E D

H

B C

A

(8)

2

.25

MDN

MDN ADC

S MD MD

S

S AD AD

   

     

    (1)

Hai tam giác MAC BAC có đáy AC chung,

có chiều cao nên

11

MAC BAC

SSm

Do đó:

36

MCD

Sm

Ta có: 36

25

MCD ACD

S MD

SAD  (2)

Từ (1) (2)

2

2

36

.25 51,84 25

MDN

S    m

 

16 Gọi AH, AD đường cao, đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC vng A Ta có:

1

AB BD

ACCD (vì AD tia phân giác góc A)

Vì AHB CHA(g.g) nên,

2

1

AHB CHA

S HB AB

S HC AC

 

   

 

Vậy đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn theo tỉ số

17 Gọi F điểm đối xứng D qua điểm B Tam giác ADF vuông cân A

Do vậy, ta có: DAFDBA(g.g) DA DF

DB DA

 

DBDE DF, DC nên DA DC

DEDA

Vì DAEDCA(c.g.c) Aˆ1Cˆ 1

Mặt khác D góc ngồi tam ˆ1

giác ADE nên Dˆ1 Aˆ1Eˆ1Eˆ1Cˆ1

Vậy: ADBˆ AEBˆ ACBˆ (đpcm)

D H B

C

(9)

Trên cạnh FB lấy điểm G cho FG = AB

Ta có ACG cân có góc đỉnh 20 , ABC0   GFC(c.g.c)

Đặt SECDS S1, ABDS2

Ta có ECD ACG(g.g)

1

1 ACG

SS (1)

2

1

( )

2 ABC ABC GFC

SSSS (2)

Từ (1) (2) 1 2 1( )

4 ACG ABC GFC

S S S S S

    

2

2

1

4SBFC 4 cm

  

19 Theo tính chất đường phân giác:

2 2 2

2

AI AB AI AB AE BE AE

IE BE IE BE BE BE

   

       

    (1)

Vì AEB BEH(g.g) nên

2 AEB BEH S AE AE

BE S HE

 

    

  (2)

Từ (1) (2)

2

8

AI AI

IE IE

 

      

 

20 Gọi O giao điểm AD BC

Đặt SABNMSMNCDS Đặt MN = x

OAB OMN

  nên

2 , OAB OMN S b S x        ODC OMN

  nên

2 ODC OMN S a S x       

Do đó:    

2

2

OMN OMN

OCD OAB

OMN OMN

S S S S

S S

a b

x S S

        Vậy 2 2 a b

x   (đpcm)

(10)

Ngày đăng: 31/12/2020, 10:05

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, phân giác AD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C lên AD - Bài giảng số 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
d ụ 1: Cho tam giác ABC, phân giác AD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C lên AD (Trang 1)
nên tứ giác ABCD là hình hành. - Bài giảng số 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
n ên tứ giác ABCD là hình hành (Trang 3)
20. Cho hình thang ABCD có các đáy AB b CD, b ). Đoạn thẳng MN song song với  đáy,  có  hai  đầu  thuộc  hai  cạnh  bên  chia  hình  thang  ra  hai  phần  có  diện  tích  bằng  nhau - Bài giảng số 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
20. Cho hình thang ABCD có các đáy AB b CD, b ). Đoạn thẳng MN song song với đáy, có hai đầu thuộc hai cạnh bên chia hình thang ra hai phần có diện tích bằng nhau (Trang 6)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w