Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam g[r]
(1)BÀI GIẢNG SỐ CÁCTRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu:
Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông (g.g)
Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác
vuông (c.g.c)
2 Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng của tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với nhau( cạnh huyền-cạnh góc vng)
3 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng:
Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , phân giác AD Gọi E F hình chiếu B C lên AD Chứng minh rằng:
a) ABEACF, BDECDF
b) AE DF AF DE
Giải
a) Xét ABE ACF , ta có:
0
ˆ AFˆ 90 ,
AEB C
ˆ ˆ
BAECAF (vì AD phân giác)
ABE ACF
(g.g)
Xét BDE CDF , ta có:
E
F D B
A
C
A B A' B'
C
(2)ˆ ˆ
BDECDF (đối đỉnh)
BDE CDF
(g.g)
b) Vì ABE ACF nên AF
AE BE
CF
(1)
Vì BDECDF nên DF
DE BE
CF (2)
Từ (1) (2) AF
AF
AE DE
AE DF DE
DF
(đpcm)
Ví dụ 2: ( Bài 4- sách pp giải toán theo chuyên đề tr215) Cho tam giác ABH, vng H, có
20 , 12
AB cm BH cm Trên tia đối tia HB lấy điểm C cho
AC AH
a) Chứng minh ABH CAH
b) Tính góc BAC ĐS: BAC90
Giải
a) Ta có: 20
12
AB AC
BH AH
Xét ABHvà CAH , ta có:
0
ˆ ˆ 90 ,
AHBCHA
AB AC
BH AH (chứng minh trên)
Do ABH CAH(cạnh huyền - cạnh góc vng)
b) Từ câu a) CAHˆ ABHˆ
Ta lại có BAHˆ ABHˆ 900 nên BAHˆ CAHˆ 900
Do BAC ˆ 90 0
(3)Giải
Vì / / / /
DE AC
DF AB
nên tứ giác ABCD hình hành
Xét BDE CDF ta có:
BDEˆ DCFˆ (đồng vị)
DBEˆ CDFˆ (đồng vị)
BDE DCF
(g.g)
Do
2
16
25
BDE DCF
S BE
S DF
Do
5
BE
AE DF BE
DF
2
5
2 2 .16 40
4
ABCD ADE BDE
S S S cm
Vậy
16 40 25 81
ABC BDE ABCD CDF
S S S S cm
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác Qua O kẻ đường thẳng
MN, PQ, RS song song với BC, CA, AB ( P S, BC N Q; , AC R S; , AB) Gọi diện tích tam giác ABC, ROM, QNO, OSP theo thứ tự S S S S, 1, 2, 3 Chứng minh
1
S S S S
Giải
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nhọn có diện tích S, đường cao AH Qua H kẻ đường thẳng song
song với AB, cắt AC K Biết diện tích tam giác AHK 2S
9 Tính tỉ số
AK KC
ĐS:
Giải
Vì HK // AB nên theo định lí ta-let, ta có: AK BH k KC HC
F
E
B C
A
(4)Ta có:
AC AKKC k KCKC k
1
BH BH BH k
BH
BC BH HC BH k
k
Hơn HKC BAC nên ta có:
2
HKC ABC
S KC
S AC
Mà SAHK SABC SABH SHKC
SAHK SABC BH SABC KC SABCC
BC AC
2
2
9 1
2
1
2;
2
k
S S S S
k k
k k
k k
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Mức độ
1 Cho tam giác vuông ABC A , ˆ 90 0 Qua điểm D cạnh BC, kẻ đường thẳng vuông
góc với BC, cắt AB, AC theo thứ tự E G a) Chứng minh DBEDCG
b) Chứng minh DB DC DE DG
2 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh 3cm cm cm, ,5 Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC có diện tích 54cm2 Tính độ dài cạnh tam giác A'B'C'
ĐS: 3cm cm,9 ,10cm
3 Cho tam giác ABC vng A, biết AB5 ,m AC7m có đường cao AH Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH CH ĐS:
4 Chân đường cao AH tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm 36cm Tính chu vi diện tích tam giác vng
ĐS:
61 11 61 , 915
ABC ABC
P cm S cm
5 Cho tam giác vng, cạnh huyền dài 20cm cạnh góc vng dài 12cm
K
H
B C
(5)6 Cho tam giác ABC có diện tích S, đường trung tuyến AD, BE, CF Gọi S' diện
tích tam giác có độ dài ba AD, BE, CF Chứng minh '
S S
7 Cho tam giác vuông ˆ
, 90 , 12 ,
ABC A AB cm AC cm Từ trung điểm M cạnh huyền BC kẻ đường vng góc với BC cắt AB N Tính độ dài đoạn MN ĐS: 2,7cm
8 Cho tam giác ABC, đường cao AH Biết CˆBˆ90 0
Chứng minh rằng: AH2BH CH
9 Hình thang ABCD có cạnh đáy AB8 ,m CD12 m Điểm M nằm đường thẳng AB cho đường thẳng DM chia hình thang thành hai phần có diện tích Tính độ dài BM ĐS: BM 2, m
10 Cho tam ABC vng A, hình vng EFGH nội tiếp tam giác cho E thuộc AB, F thuộc AC, H G thuộc BC Tính độ dài cạnh hình vng biết
2 ,
BH cm GC cm ĐS: 4cm
Mức độ nâng cao
11 Cho tam giác ABC cân (AB = AC), hai đường cao BH CK Tính độ dài đoạn HK theo
,
BCa ACb ĐS:
2
2
2
a b a
HK
b
12 Cho hình chữ nhật ABCD có AB36cm AD, 24cm Gọi E trung điểm cạnh AB Đường thẳng DE cắt AC BC theo thứ tự E G
a) Chứng minh FD2EF.FG.
b) Tính độ dài DG ĐS: 60cm
13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), H trung điểm cạnh BC Kẻ HE vng góc với AC Gọi O trung điểm EH Chứng minh AO vng góc với BE
14 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC CE cắt DF M Tính diện tích tam giác MCD theo a
ĐS:
MCD
S a
15 Cho tứ giác ABCD có diện tích 36m2, diện tích tam giác ABC
2
(6)phần có độ dài Hỏi đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh theo tỉ số nào?
ĐS:
17 Cho tam giác vuông cân ABD B , ˆ 90 Trên tia đối tia DB lấy hai điểm E C cho BD = DE = EC Chứng minh rằng: ADBˆ AEBˆ ACBˆ
18 Tam giác ABC có Bˆ60 ,0 Cˆ20 ,0 BC4cm Gọi D trung điểm AC Trên cạnh CB lấy điểm E cho CE = CD Tính tổng diện tích tam giác ECD ABD
ĐS: 3cm2.
19 Cho tam giác ABC cân A, trực tâmm H chia đường cao AE theo tỉ số 7: Giao điểm I đường phân giác tam giác chia AE theo tỉ số nào? ĐS: :
20 Cho hình thang ABCD có đáy ABb CD, a a( b) Đoạn thẳng MN song song với đáy, có hai đầu thuộc hai cạnh bên chia hình thang hai phần có diện tích
nhau Chứng minh
2
2
a b
MN
Hướng dẫn
11 Kẻ đường cao AI, ta có IACˆ HBCˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)
IAC HBC
(g.g), ta có:
2
2 .
2
a
IC AC b a
HC
HC BC HC a b
AHB AKC
(cạnh huyền góc nhọn)
AH AK AHK
cân A
Do AHK ACB(g.g), ta có:
2
2
2
2
2 .
2
a
b a b a
KH AH KH b
KH
BC AC a b b
12
a) Do AE // DC nên EF AF
FD FC (1)
Do AD // CG nên AF DF
FC FG (2)
Từ (1) (2) EF DF DF2 EF.FG
H K
I
B C
A
G
E
(7)b) Ta có: AED BEG BG ADBC
Do CG2BC2.2448cm
Áp dụng định lý Pitago tam giác vng CDG ta có:
2 362 482 60 .
DG DC CG cm
13 Kẻ BDAC, ta có CBDˆ HACˆ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc)
DBC EAH
(g.g), ta có: BC CD
AH EH
Dễ dàng chứng minh E trung điểm CD, từ BE CO đường trung tuyến hai tam giác đồng dạng DBC EAH nên:
BE CE CB
AO HO HA
CBE HAO
(c.c.c) CBEˆ HAOˆ Từ chứng minh BE AO
14 DCF CBE(c.g.c) nên Dˆ1Cˆ1
Do 0
1 2
ˆ ˆ 90 ˆ ˆ 90
C C D C
Tam giác MCD vuông M
CMD FCD
9(g.g), ta có: CD CM
FD FC
Do
2
2
CMD
CMD FCD
FCD
S CD CD
S S
S FD FD
Mà 1
2
FCD
S CF CD CD nên
2
2
1
4
CMD
CD
S CD
FD
Trong tam giác vng CDF, theo định lí Pitago, ta có:
2
2 2 2
2 4
DF CD CF CD BC CD CD CD
Do vậy:
2
2 2
2
1 1
5 5
4
MCD
CD
S CD CD a
CD
15 SACDSABCDSABC 36 11 25m2
O E D
H
B C
A
(8)2
.25
MDN
MDN ADC
S MD MD
S
S AD AD
(1)
Hai tam giác MAC BAC có đáy AC chung,
có chiều cao nên
11
MAC BAC
S S m
Do đó:
36
MCD
S m
Ta có: 36
25
MCD ACD
S MD
S AD (2)
Từ (1) (2)
2
2
36
.25 51,84 25
MDN
S m
16 Gọi AH, AD đường cao, đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam giác ABC vng A Ta có:
1
AB BD
AC CD (vì AD tia phân giác góc A)
Vì AHB CHA(g.g) nên,
2
1
AHB CHA
S HB AB
S HC AC
Vậy đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn theo tỉ số
17 Gọi F điểm đối xứng D qua điểm B Tam giác ADF vuông cân A
Do vậy, ta có: DAFDBA(g.g) DA DF
DB DA
Mà DBDE DF, DC nên DA DC
DE DA
Vì DAEDCA(c.g.c) Aˆ1Cˆ 1
Mặt khác D góc ngồi tam ˆ1
giác ADE nên Dˆ1 Aˆ1Eˆ1Eˆ1Cˆ1
Vậy: ADBˆ AEBˆ ACBˆ (đpcm)
D H B
C
(9)Trên cạnh FB lấy điểm G cho FG = AB
Ta có ACG cân có góc đỉnh 20 , ABC0 GFC(c.g.c)
Đặt SECDS S1, ABD S2
Ta có ECD ACG(g.g)
1
1 ACG
S S (1)
2
1
( )
2 ABC ABC GFC
S S S S (2)
Từ (1) (2) 1 2 1( )
4 ACG ABC GFC
S S S S S
2
2
1
4SBFC 4 cm
19 Theo tính chất đường phân giác:
2 2 2
2
AI AB AI AB AE BE AE
IE BE IE BE BE BE
(1)
Vì AEB BEH(g.g) nên
2 AEB BEH S AE AE
BE S HE
(2)
Từ (1) (2)
2
8
AI AI
IE IE
20 Gọi O giao điểm AD BC
Đặt SABNM SMNCDS Đặt MN = x
OAB OMN
nên
2 , OAB OMN S b S x ODC OMN
nên
2 ODC OMN S a S x
Do đó:
2
2
OMN OMN
OCD OAB
OMN OMN
S S S S
S S
a b
x S S
Vậy 2 2 a b
x (đpcm)
(10)