Bài giảng số 2: Các hằng đẳng thức đáng nhớ

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên. Chứng minh[r]

Bài giảng số 2: Những đẳng thức đáng nhớ

A Lý thuyết

1) đẳng thức đáng nhớ Bình phương tổng:





2 2 2

A + B = A + 2AB + B

Bình phương hiệu:





2 2 2

A - B = A - 2AB + B

Hiệu hai bình phương:







2

A - B = A - B A + B

Lập phương tổng:





3 2

A + B = A + 3A B + 3AB + B

Lập phương hiệu:





3 3 2 2 3

A - B = A - 3A B + 3AB - B

Tổng hai lập phương:









3 2

A + B = A + B A - AB + B

Hiệu hai lập phương:









3 2

A - B = A - B A + AB + B

Chú ý : Hai số có bình phương chúng đối ngược lại hai số đối nhau, có bình phương



 

2



2

A - B = B - A Hằng đẳng thức số 4, viết dạng

(A + B)3 = A3

+ B3+ 3AB(A+B) (A – B)3

= A3 - B3

- 3AB(A-B ) - Các đẳng thức vận dụng theo hai chiều ngược

2) Một số đẳng thức mở rộng





2 2 2 2

A + B + C = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC





3 3 3 3









A + B + C = A + B + C + A + B B + C A + C









3 3 2

A + B + C - 3ABC = A + B + C A + B + C - AB - BC - AC II Bài tập

Dạng 1: Dạng rèn kỹ viết đẳng thức, áp dụng đẳng thức để thu gọn biểu thức đai số

*Phương pháp giải

- Ghi nhớ đẳng thức đẳng thức mở rộng

- Nếu cần đưa biểu thức dạng tổng vế biểu thức dạng tích ta ý vế phải đẳng thức số 1, 2, 4, vế trái đẳng thức thứ 3, 6, Nếu cần đưa biểu thức từ dạng tích dạng tổng ta ý đến vế trái đẳng thức 1, 2, 4, vế phải đẳng thức thứ 2, 6,

- Để viết biểu thức dạng tổng biểu thức dạng tích có kinh nghiệm sau đa thức có hạng tử ta ý đến đẳng thức số 3, 6, 7; đa thức có hạng tử ý đến đẳng thức thứ 2; đa thức có hạng tử ý đến đẳng thức thứ 6,

- Để viết biểu thức dạng tích dạng tổng có kinh nghiệm sau tích hai đa thức bậc ý đẳng thức số 3, tích đa thức bậc với đa thức bậc hai ý đẳng thức số 6,

Ví dụ 1: Viết đẳn thức sau dạng tổng





2

)

a x y b)



x2



x2



c) 2



xy



3







2



) 2

d x y x  xy y Giải:





 









  

 













 

   

2 2 2 2

2 2

2 2 3

3 2

2

2 2

3 3 3

) .3

) 2

) 2 3.2

=8x 12

) 2 2

=

a x y x x y y x xy y

b x x x x

c x y x x y x y y

x y xy y

d x y x xy y x y x xy y

x y x y

                                  

Bài 1.Viết biểu thức sau dạng tổng vận dụng đẳng thức





2 2 2





2 2 2

A + B = A + 2AB + B ; A - B = A - 2AB + B

1) (x + 2y)2 2) (4x + 1)2 3) (x2 + 3x)2 4) (x3 + 2x)2 5) (4x + y + z)2

7) 1 x y         8) 2 2x x x        

09) (2 + xy)2 10) (3x + 2)2 11) (2x + 3)2 12) (2x +5y)2 13) (3+2x)2 14) (x2 +x )2 15) (x + 2y)2 16) (x - 2y)2 17)



x1



4

18) (3 -xy)2 19) (3x - 2)2 20) (2x - 3)2 21) (4x - 5y)2 22) (3 - 2x)2 23) (x2 - x )2 24) (x – 2y) 25)



x2



4

26)

2 x - +1

y       27) 2 2x x x        





2

28) ax - by - c

Bài 2.Viết biểu thức sau dạng tích vận dụng HĐT 2







A - B = A - B A + B

1) x2 - y22) 22 - x2 3) 16 - y2

4)

4y 16x

5)

225 y

6)

25 y

7)x y2 24

8)

 

2

4y  x

9)





2

3

x   x

10) 2

225x y 1

11)





2

x  x  y 12)x22x 5 y24y

13) 2

2 4

x  x  y  y

Bài Viết biểu thức sau dạng tổng vận dụng đẳng thức

















3 2 3 2

1) ( x + 2y)3 2) (2 - xy)3

3) (3x + 2)3 4) (2x - 3)3 5) (2x +5y)3

6) (4x - 1)3 7) (3 - 2x)3 8) (x2 - x )3 9)





3

1 27

x  x

10) (x - 2y)3

11) (x2 - 3)3 12) (x2 + 2x)3

13)



7y2



314) (

2

xy - 1)3 15) (x - y)3

16) (x + 2y)3 17) 8x3 + 13

8

18) (x3 + 2x).3 19) (x + 5)3 20) (

1

y + x)

321) (7x + 4)3

22) (4x + y)323) (x + 7)3 24) (1

y + 4)3

25) (y + x)

3

26) (x3

+ 2y3)3 27) (

2

x + 1)3 28) (4x + y)3 29) 3 y y        30) 3

3y x x 3y

     

   

   

Bài 4: Rút gọn biểu thức sau

1) (x + 2y)2 - (2 + xy)2 2) (3x + 2)2 + (2x + 3)2 3) (2x +5y)2 +(4x + 1)2 4) (3+2x)2 - (x2 +x )2 5) (x + 2y)2 + (x + 2y)2 6) (x2 + 3x)2 - (x2 - 2x)2 7)



7y2



2- (

2

xy + 1)2 8) (x + 5)2

+ (y - x)2 9) (7x + 4)2

+ (2x + 1)2 10) (4x + y)2

- (x + 7)2

11) (x + 2y)3+(

2

x + 1)3

12) (4x + y)3

-3

1 1

3y y

 



 

 

13) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ;

14) (4x + y)2

15) (a+b+c)3+(a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3

16) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)

Bài 5: Viết biểu thức sau dạng tích

1 100



3xy



2

27x 27x 3x1

3

3) x 3x 3x1



 



2

2

2

4

5

m n

x x x x



    





2

6 16

7 64 16

x y y      2 8) 1, 24 0, 24

1 9)

8 x   2 10) 11) x x x x    

12) 3 27x a b

13)

4 4;

x  x  14) x16y16

15) 2

9a 24a b 16b 16)

64 ;

8x

 

17) 2

8x 60x y150xy 125y

18)



x y z



22



x y x



y z

 

yz



2 19)



x y x

 

2 yz



2

20)



x3



24



x 3



21)25 10



x 1

 

x1



2

22)



x2



22



x2



x2

 

 x2



2 23)





2









2

3

Bài 6: Rút gọn biểu thức :

A = (a + b + c)3

+ (a - b – c)3

- 6a(b + c)2

Bài Điền vào dấu ? biểu thức để đẳng thức , có cách điền

a ( x + ) ? b





x  x ? c





2

x  x ? d ( x - ) ? e

2

x  x ? g





4x  ? h





1

x  x ? i ? + 8x + 16

Dạng 2: Dạng áp dụng đẳng thức vào tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải

- Nắm dạng để phát dạng đẳng thức

- Dựa vào HĐT biến đổi biểu thức cho theo chiều từ tích thành tổng từ tổng

thành tích

- Thay số tính giá trị

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:

a) x2– 4y2 x = 70, y = 15 b)742 + 242– 48.7

Giải

a) x2– 4y2 = x2– (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)Thay x = 70, y = 15 ta có : giá trị biểu thức: (70 + 2.15)(70 - 2.15) = 100.40 = 4000 b) 742 + 242– 48.74 = 742 + 242– 2.24.74 = (74 – 24) = 502 = 2500

Bài : Dựa vào đẳng thức để tính nhanh

a 252 - 152 b 2055 - 952 c 362 - 142 d 9502 - 8502

e 2

1, 24 2, 48.0, 240, 24 Bài

a, Cho x – y = Tính giá trị biểu thức A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy + 37

b) Cho x + y = x2 + y2 = Tính x3 + y3

Bài 3: a+b =1 Tính giá trị M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)

Bài 4: Cho x+y=9 ; xy=14 Tính giá trị biểu thức sau:

a) x-y ; b) x2 +y2

; c)x3 +y3

Bài 5:Tính giá trị biểu thức

a) A = 12 22 + 32 42 + …  20042 + 20052

b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)  264

Bài 6:

Tính nhanh

a) 1272

+146.127 + 732 ; b) 98.28 - (184 - 1)(184+ 1) ; c) 1002

- 992 + 982

- + 22 - 12 d) (202

+182

+ +42 +22

) – (192 +172

+ +32 +12

e)

2

2

780 220

125 150.125 75



 

Dạng 3: Tìm x

Phương pháp giải:

- Bước 1: Phát đẳng thức có mặt - Bước 2: Vận dụng đẳng thức để đơn giản đa thức

- Bước 3: Thực tốn tìm x hướng dẫn chuyên đề trước Chú ý

* A = k2 (k  R) A 2– k2 =

(A – k)(A + k) = A – k =0 A + k = A = k A = – k * (A + B)3 =

 A + B =

Ví dụ 3: Tìm x, biết

4

x  x 

Giải:









2 2

2

.4

2

2

2

x x x x

x x

x

x x

       

  

 

    

    

 

Bài 1: Tìm x, biết:

a) x2 – 2x + = 25 b) x3 – 3x2 = -3x +1



 



















2

c) 5x + - 5x + 5x - = 30

d) x + x - 3x + - x x - x + = 15

e) x2 - = 8(x - 2) f) x2 - 4x + = 9(x - 2) g) 4x2 - 12x + = (5 - x)2

Bài 2:Tìm x, biết

6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) =

Bài 3: Tìm x, biết x thỏa mãn

x2+ 2x + 4n- 2n1+2 =

Dạng 4: Áp dụng dẳng thức chứng minh tính chia hết, chứng minh đẳng thức

*Phương pháp chứng minh

- Để chứng minh biểu thức B chia hết cho số c ta phải dựa vào đẳng thức để biến đổi biểu thức dạng tổng dạng tích (cách nhận biết giới thiệu dạng 1) mà tích có chứa thừa số c chứng tỏ tích chia hết cho số c

- Ngồi ta sử dụng số đẳng thức tổng quát hệ

an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1)

1 1 1 …

Mỗi dòng bắt đầu kết thúc

Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền

Kết luận: Với a, b  Z, n N: an – bn chia hết cho a – b( ab)

a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a-b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a) (a+1)n = Bsa +1

(a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1

Ví dụ: Chứng minhA= 3(n+2) – 3n chia hết cho

A= 3(n+2) – 3n = 3n(321) = 8.3n

=> A chia hết cho

Bài 1: Chứng minh với số nguyên n biểu thức



4n3



225chia hết cho Bài 2: Chứng minh với số nguyên n biểu thức



2n3



29 chia hết cho

Bài 3: Biết số tự nhiên a chia cho dư 1, số tự nhiên b chia cho dư Chứng minh

rằng tổng bình phương hai số a b chia hết cho

Bài 4: Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết

cho

Bài 5: Biết số tự nhiên n chia cho dư Hỏi n2 chia cho dư bao nhiêu? n3 chia cho dư bao nhiêu?

a) 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b) 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)

Bài 6: Cho a , b số nguyên Chứng minh

a3 + b3 chia hết cho a+b chia hết cho

Bài 7:

a) Cho a2+ b2+ c2= ab + bc + ca Chứng minh a = b = c b) Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c

Dạng 5: Ứng dụng đẳng thức đáng toán chứng minh tam thức bậc hai (đa thức bậc hai ẩn) âm, ln dương; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tam thức bậc hai

* Phương pháp chứng minh tam thức bậc hai f(x) dương tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) f(x):

Biến đổi f(x) = a(x + b)2

Nhận xét f(x): (x + b)20 với x

a(x + b)2 với x a(x + b)2 + m  m với x

Nếu toán yêu cầu chứng minh f(x) ln dương ta cần m có giá trị dương

Nếu tốn u cầu tìm GTNN f(x) ta kết luận giá trị nhỏ f(x) m, đạt





2

x + b = 0x = -b

Đối với biểu thức chứa nhiều biến cách tìm giá trị nhỏ chứng minh giá trị biểu thức dương ta làm tương tự

* Phương pháp chứng minh tam thức bậc hai f(x) ln âm tìm GTLN (Giá trị lớn nhất) f(x):

Biến đổi f(x) = na(x + c)2 ( a > 0, b m số) Nhận xét f(x): (x + c)20 với x

a(x + c)2 với x na(x + c)2n với x

Nếu toán yêu cầu chứng minh f(x) ln âm ta cần n có giá trị âm Nếu tốn u cầu tìm GTLN f(x) ta kết luận giá trị lớn f(x) n, đạt





2

x + c = 0x = -c

Đối với biểu thức chứa nhiều biến cách tìm giá trị lớn chứng minh giá trị biểu thức ln âm ta làm tương tự

Ví dụ 1: Chứng minh giá trị biểu thức A = 4x2 + 4x + dương với

giá trị biến, tìm GTNN biểu thức

Giải

a) A = 4x2 + 4x + = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + Đến có hai cách lập luận

Cách 1:

Nhận xét: (2x + 1)2 

với x > với x Nên (2x + 1)2 + > với x

GTNN biểu thức A 1, đạt x =1

Cách 2:

Nhận xét : (2x + 1)2

với x  (2x + 1)2 + 1 với x

 (2x + 1)2 + 1> với x GTNN biểu thức A 1, đạt x =

2

Vậy giá trị biểu thức A dương với giá trị biến

b) Gợi ý: tìm cách biến đổi biểu thức B xuất HĐT bình phương hiệu B =

2x 2x1

= 2

2 x x

   

 

 

= 1

2

2 4

x x

    

 

 

= 1

2

2 4

x x

    

 

  

=

2

1

2

2

x

   

 

 

Ví dụ 2: Chứng minh giá trị biểu thức B = – 15 – x2 + 6x âm với

giá trị biến tìm GTLN B Giải:

B = –15 –x2 + 6x = –x2 + 6x – – = 6 – (x2 – 6x + 9) = 6– (x – 3)2

Nhận xét : (x – 3)2 +  với x

 với x: -6 – (x – 3)2<

Vậy giá trị biểu thức B âm với giá trị biến GTLN B 6 đạt x3

Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau

a) B = 2x2– 2x + b) C = x2– x + c) D = 3x2– 5x +

Bài 2: Tìm GTNN biểu thức

a) M = –2x2– 2x + b) N = –4x2– 2x +

Bài 3: