Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên. Chứng minh[r]
(1)Bài giảng số 2: Những đẳng thức đáng nhớ
A Lý thuyết
1) đẳng thức đáng nhớ Bình phương tổng:
2 2 2
A + B = A + 2AB + B
Bình phương hiệu:
2 2 2
A - B = A - 2AB + B
Hiệu hai bình phương:
2
A - B = A - B A + B
Lập phương tổng:
3 2
A + B = A + 3A B + 3AB + B
Lập phương hiệu:
3 3 2 2 3
A - B = A - 3A B + 3AB - B
Tổng hai lập phương:
3 2
A + B = A + B A - AB + B
Hiệu hai lập phương:
3 2
A - B = A - B A + AB + B
Chú ý : Hai số có bình phương chúng đối ngược lại hai số đối nhau, có bình phương
2 2
A - B = B - A Hằng đẳng thức số 4, viết dạng
(A + B)3 = A3
+ B3+ 3AB(A+B) (A – B)3
= A3 - B3
- 3AB(A-B ) - Các đẳng thức vận dụng theo hai chiều ngược
2) Một số đẳng thức mở rộng
2 2 2 2
A + B + C = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC
3 3 3 3
A + B + C = A + B + C + A + B B + C A + C
3 3 2
A + B + C - 3ABC = A + B + C A + B + C - AB - BC - AC II Bài tập
Dạng 1: Dạng rèn kỹ viết đẳng thức, áp dụng đẳng thức để thu gọn biểu thức đai số
*Phương pháp giải
- Ghi nhớ đẳng thức đẳng thức mở rộng
(2)- Nếu cần đưa biểu thức dạng tổng vế biểu thức dạng tích ta ý vế phải đẳng thức số 1, 2, 4, vế trái đẳng thức thứ 3, 6, Nếu cần đưa biểu thức từ dạng tích dạng tổng ta ý đến vế trái đẳng thức 1, 2, 4, vế phải đẳng thức thứ 2, 6,
- Để viết biểu thức dạng tổng biểu thức dạng tích có kinh nghiệm sau đa thức có hạng tử ta ý đến đẳng thức số 3, 6, 7; đa thức có hạng tử ý đến đẳng thức thứ 2; đa thức có hạng tử ý đến đẳng thức thứ 6,
- Để viết biểu thức dạng tích dạng tổng có kinh nghiệm sau tích hai đa thức bậc ý đẳng thức số 3, tích đa thức bậc với đa thức bậc hai ý đẳng thức số 6,
Ví dụ 1: Viết đẳn thức sau dạng tổng
2
)
a x y b) x2x2 c) 2 xy3 2
) 2
d x y x xy y Giải:
2 2 2 2
2 2
2 2 3
3 2
2
2 2
3 3 3
) .3
) 2
) 2 3.2
=8x 12
) 2 2
=
a x y x x y y x xy y
b x x x x
c x y x x y x y y
x y xy y
d x y x xy y x y x xy y
x y x y
Bài 1.Viết biểu thức sau dạng tổng vận dụng đẳng thức
2 2 2 2 2 2
A + B = A + 2AB + B ; A - B = A - 2AB + B
1) (x + 2y)2 2) (4x + 1)2 3) (x2 + 3x)2 4) (x3 + 2x)2 5) (4x + y + z)2
7) 1 x y 8) 2 2x x x
09) (2 + xy)2 10) (3x + 2)2 11) (2x + 3)2 12) (2x +5y)2 13) (3+2x)2 14) (x2 +x )2 15) (x + 2y)2 16) (x - 2y)2 17) x14
18) (3 -xy)2 19) (3x - 2)2 20) (2x - 3)2 21) (4x - 5y)2 22) (3 - 2x)2 23) (x2 - x )2 24) (x – 2y) 25) x24
26)
2 x - +1
y 27) 2 2x x x
2
28) ax - by - c
Bài 2.Viết biểu thức sau dạng tích vận dụng HĐT 2
A - B = A - B A + B
1) x2 - y22) 22 - x2 3) 16 - y2
4)
4y 16x
5)
225 y
6)
25 y
7)x y2 24
8) 2
4y x
9) 2
3
x x
10) 2
225x y 1
11)
2
x x y 12)x22x 5 y24y
13) 2
2 4
x x y y
Bài Viết biểu thức sau dạng tổng vận dụng đẳng thức
3 2 3 2
(3)1) ( x + 2y)3 2) (2 - xy)3
3) (3x + 2)3 4) (2x - 3)3 5) (2x +5y)3
6) (4x - 1)3 7) (3 - 2x)3 8) (x2 - x )3 9) 3
1 27
x x
10) (x - 2y)3
11) (x2 - 3)3 12) (x2 + 2x)3
13) 7y2314) (
2
xy - 1)3 15) (x - y)3
16) (x + 2y)3 17) 8x3 + 13
8
18) (x3 + 2x).3 19) (x + 5)3 20) (
1
y + x)
321) (7x + 4)3
22) (4x + y)323) (x + 7)3 24) (1
y + 4)3
25) (y + x)
3
26) (x3
+ 2y3)3 27) (
2
x + 1)3 28) (4x + y)3 29) 3 y y 30) 3
3y x x 3y
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau
1) (x + 2y)2 - (2 + xy)2 2) (3x + 2)2 + (2x + 3)2 3) (2x +5y)2 +(4x + 1)2 4) (3+2x)2 - (x2 +x )2 5) (x + 2y)2 + (x + 2y)2 6) (x2 + 3x)2 - (x2 - 2x)2 7) 7y22- (
2
xy + 1)2 8) (x + 5)2
+ (y - x)2 9) (7x + 4)2
+ (2x + 1)2 10) (4x + y)2
- (x + 7)2
11) (x + 2y)3+(
2
x + 1)3
12) (4x + y)3
-3
1 1
3y y
13) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ;
14) (4x + y)2
15) (a+b+c)3+(a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3
16) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)
Bài 5: Viết biểu thức sau dạng tích
1 1003xy2
27x 27x 3x1
3
3) x 3x 3x1
2
2
2
4
5
m n
x x x x
2
6 16
7 64 16
x y y 2 8) 1, 24 0, 24
1 9)
8 x 2 10) 11) x x x x
12) 3 27x a b
13)
4 4;
x x 14) x16y16
15) 2
9a 24a b 16b 16)
64 ;
8x
17) 2
8x 60x y150xy 125y
18) x y z22x y xy z yz2 19) x y x 2 yz2
20) x324x 3 21)25 10 x 1 x12
22) x222x2x2 x22 23) 2 2
3
(4)Bài 6: Rút gọn biểu thức :
A = (a + b + c)3
+ (a - b – c)3
- 6a(b + c)2
Bài Điền vào dấu ? biểu thức để đẳng thức , có cách điền
a ( x + ) ? b x x ? c
2
x x ? d ( x - ) ? e
2
x x ? g 4x ? h
1
x x ? i ? + 8x + 16
Dạng 2: Dạng áp dụng đẳng thức vào tính giá trị biểu thức
Phương pháp giải
- Nắm dạng để phát dạng đẳng thức
- Dựa vào HĐT biến đổi biểu thức cho theo chiều từ tích thành tổng từ tổng
thành tích
- Thay số tính giá trị
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:
a) x2– 4y2 x = 70, y = 15 b)742 + 242– 48.7
Giải
a) x2– 4y2 = x2– (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y)Thay x = 70, y = 15 ta có : giá trị biểu thức: (70 + 2.15)(70 - 2.15) = 100.40 = 4000 b) 742 + 242– 48.74 = 742 + 242– 2.24.74 = (74 – 24) = 502 = 2500
Bài : Dựa vào đẳng thức để tính nhanh
a 252 - 152 b 2055 - 952 c 362 - 142 d 9502 - 8502
e 2
1, 24 2, 48.0, 240, 24 Bài
a, Cho x – y = Tính giá trị biểu thức A = x(x + 2) + y(y – 2) – 2xy + 37
b) Cho x + y = x2 + y2 = Tính x3 + y3
Bài 3: a+b =1 Tính giá trị M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)
Bài 4: Cho x+y=9 ; xy=14 Tính giá trị biểu thức sau:
a) x-y ; b) x2 +y2
; c)x3 +y3
Bài 5:Tính giá trị biểu thức
a) A = 12 22 + 32 42 + … 20042 + 20052
b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) 264
Bài 6:
Tính nhanh
a) 1272
+146.127 + 732 ; b) 98.28 - (184 - 1)(184+ 1) ; c) 1002
- 992 + 982
- + 22 - 12 d) (202
+182
+ +42 +22
) – (192 +172
+ +32 +12
(5)e)
2
2
780 220
125 150.125 75
Dạng 3: Tìm x
Phương pháp giải:
- Bước 1: Phát đẳng thức có mặt - Bước 2: Vận dụng đẳng thức để đơn giản đa thức
- Bước 3: Thực tốn tìm x hướng dẫn chuyên đề trước Chú ý
* A = k2 (k R) A 2– k2 =
(A – k)(A + k) = A – k =0 A + k = A = k A = – k * (A + B)3 =
A + B =
Ví dụ 3: Tìm x, biết
4
x x
Giải:
2 2
2
.4
2
2
2
x x x x
x x
x
x x
Bài 1: Tìm x, biết:
a) x2 – 2x + = 25 b) x3 – 3x2 = -3x +1
2
c) 5x + - 5x + 5x - = 30
d) x + x - 3x + - x x - x + = 15
e) x2 - = 8(x - 2) f) x2 - 4x + = 9(x - 2) g) 4x2 - 12x + = (5 - x)2
Bài 2:Tìm x, biết
6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) =
Bài 3: Tìm x, biết x thỏa mãn
x2+ 2x + 4n- 2n1+2 =
Dạng 4: Áp dụng dẳng thức chứng minh tính chia hết, chứng minh đẳng thức
*Phương pháp chứng minh
- Để chứng minh biểu thức B chia hết cho số c ta phải dựa vào đẳng thức để biến đổi biểu thức dạng tổng dạng tích (cách nhận biết giới thiệu dạng 1) mà tích có chứa thừa số c chứng tỏ tích chia hết cho số c
- Ngồi ta sử dụng số đẳng thức tổng quát hệ
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1)
(6)
1 1 1 …
Mỗi dòng bắt đầu kết thúc
Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền
Kết luận: Với a, b Z, n N: an – bn chia hết cho a – b( ab)
a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a-b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a) (a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1
Ví dụ: Chứng minhA= 3(n+2) – 3n chia hết cho
A= 3(n+2) – 3n = 3n(321) = 8.3n
=> A chia hết cho
Bài 1: Chứng minh với số nguyên n biểu thức 4n3225chia hết cho Bài 2: Chứng minh với số nguyên n biểu thức 2n329 chia hết cho
Bài 3: Biết số tự nhiên a chia cho dư 1, số tự nhiên b chia cho dư Chứng minh
rằng tổng bình phương hai số a b chia hết cho
Bài 4: Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết
cho
Bài 5: Biết số tự nhiên n chia cho dư Hỏi n2 chia cho dư bao nhiêu? n3 chia cho dư bao nhiêu?
a) 7.52n + 12.6n 19 ( n N) b) 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)
Bài 6: Cho a , b số nguyên Chứng minh
a3 + b3 chia hết cho a+b chia hết cho
Bài 7:
a) Cho a2+ b2+ c2= ab + bc + ca Chứng minh a = b = c b) Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c
Dạng 5: Ứng dụng đẳng thức đáng toán chứng minh tam thức bậc hai (đa thức bậc hai ẩn) âm, ln dương; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tam thức bậc hai
* Phương pháp chứng minh tam thức bậc hai f(x) dương tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) f(x):
Biến đổi f(x) = a(x + b)2
(7)Nhận xét f(x): (x + b)20 với x
a(x + b)2 với x a(x + b)2 + m m với x
Nếu toán yêu cầu chứng minh f(x) ln dương ta cần m có giá trị dương
Nếu tốn u cầu tìm GTNN f(x) ta kết luận giá trị nhỏ f(x) m, đạt 2
x + b = 0x = -b
Đối với biểu thức chứa nhiều biến cách tìm giá trị nhỏ chứng minh giá trị biểu thức dương ta làm tương tự
* Phương pháp chứng minh tam thức bậc hai f(x) ln âm tìm GTLN (Giá trị lớn nhất) f(x):
Biến đổi f(x) = na(x + c)2 ( a > 0, b m số) Nhận xét f(x): (x + c)20 với x
a(x + c)2 với x na(x + c)2n với x
Nếu toán yêu cầu chứng minh f(x) ln âm ta cần n có giá trị âm Nếu tốn u cầu tìm GTLN f(x) ta kết luận giá trị lớn f(x) n, đạt 2
x + c = 0x = -c
Đối với biểu thức chứa nhiều biến cách tìm giá trị lớn chứng minh giá trị biểu thức ln âm ta làm tương tự
Ví dụ 1: Chứng minh giá trị biểu thức A = 4x2 + 4x + dương với
giá trị biến, tìm GTNN biểu thức
Giải
a) A = 4x2 + 4x + = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + Đến có hai cách lập luận
Cách 1:
Nhận xét: (2x + 1)2
với x > với x Nên (2x + 1)2 + > với x
GTNN biểu thức A 1, đạt x =1
Cách 2:
Nhận xét : (2x + 1)2
với x (2x + 1)2 + 1 với x
(2x + 1)2 + 1> với x GTNN biểu thức A 1, đạt x =
2
Vậy giá trị biểu thức A dương với giá trị biến
b) Gợi ý: tìm cách biến đổi biểu thức B xuất HĐT bình phương hiệu B =
2x 2x1
= 2
2 x x
= 1
2
2 4
x x
= 1
2
2 4
x x
(8)=
2
1
2
2
x
Ví dụ 2: Chứng minh giá trị biểu thức B = – 15 – x2 + 6x âm với
giá trị biến tìm GTLN B Giải:
B = –15 –x2 + 6x = –x2 + 6x – – = 6 – (x2 – 6x + 9) = 6– (x – 3)2
Nhận xét : (x – 3)2 + với x
với x: -6 – (x – 3)2<
Vậy giá trị biểu thức B âm với giá trị biến GTLN B 6 đạt x3
Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau
a) B = 2x2– 2x + b) C = x2– x + c) D = 3x2– 5x +
Bài 2: Tìm GTNN biểu thức
a) M = –2x2– 2x + b) N = –4x2– 2x +
Bài 3: