Bài giảng số 2: Phân tích nhân tử trong các biểu thức chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp phân tích nhân tử trong các bài toán chứa căn để rút gọn và làm.. đơn giản biểu thức.[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 2: PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Ta thường sử dụng phương pháp phân tích nhân tử tốn chứa để rút gọn làm

đơn giản biểu thức Các cách phân tích nhân tử hay dùng:

 Thêm bớt thừa số

 sử dụng đẳng thức

 nhẩm nghiệm phương trình

 Nhân liên hợp

Bên cạnh ta cần phải ý tới số tính chất biểu thức chứa căn:

 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa A 0

 Ta ln có

 

A

A với điều kiện A  (định nghĩa bậc 2)

 Ta có đẳng thức A khi A

A A

A A  

  

 



Do

 

A

 Ta có AB  A B A0,B0.

Tuy nhiên 0,

0, A B khi A B

AB A B

A B A B

  



  

   

 

Tương tự cho quy tắc khai thương

 Ta có 2

A B

 

  

  

Do đó, để 2

A B  AB ta cần phải có điều kiện AB  (điều kiện dấu hai vế) 0

Tức

2

A B

AB

 

  

(2)

Chú ý Có trường hợp thường gặp

2

0 A

A B B

A B      

  

(điều kiện dấu hai vế)

Tuy nhiên, từ điều kiện AB2 ta suy A 0.

Do

2

B

A B

 

  

 

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Thực phép tính:

a) 216

8

  



 

  

 

b) 14 15 :

1

   



 

    

 

c) 15 10

  



Giải:

a) 216 3 6

3

8 2 2

     

  

   

     

   









3 2 1

2

2 2

  

 

 

  

 

3

2

 

  

 

6

2

 

  

 

3

2

 

2  

b) 14 15 :

1

   



 

    

 









7 1

:

2 1

   

 

 

    

(3)





7

 

 1

c) 15 10

  















2

3

5

  





3

5

  





3

5

  





5

 







 



7 10  

Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: x6 x7

Giải:

Cách 1: Ta nhận thấy x6 x 7 có nghiệm x 1, x  7 nên suy ra: x6 x 7



x



x



Cách 2: Tách thừa số.: x6 x7 x x7 x7



 



x x x

    



x



x



Ví dụ 3: Phân tích nhân tử:

2

x x  y Giải:

Ta tách thừa số thêm bớt: x2 x  6 y2 



x



x

y





6

x y

    



x

y



x

y



Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

4

2

3

a ab b

D b

a b ab

 

 

  biết a b số dương ,

(4)

Ta có











2

4

2 3

a ab b a b  ab  a b ab a b ab





4 4

3 2 0

a b ab  a b  b  , a,b  nên D



a

b



.

Ví dụ 5: Tìm x y z, , 2009 2010

x y z

 

     

Giải:

Ta có: 2009 2010

2

x y z

 

     

2 2 2009 2010

x y z x y z

         







x





y



y





z



z



               



x

 

y

 

z



          x3;y 2008;z2011

Ví dụ 6: Cho 1

1 1

x x x A

x x x x x



  

    

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A 0;

c) Tính giá trị A 12 x 



Giải:

a) Điều kiện: x0,x1





1

1 1

x x

x x x x

A

x x x x x



   

  

    



x



x



x



         x x

b) A 0 x2 x 1





1

x

(5)

c)

2 12

1

A   

  

 

2

1

  

 

 

  

 

2

1

  

  

  

 

4

6 



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Thực phép tính

1

2

9 14 14

7

A     

 

   

ĐS: A 2

2 B  4 15  4 15 ĐS: B  

3

2

4 11 7

C    

   ĐS: C  4 11 7

4 D  7  37 12 7





D 

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

1 x9 x10 ĐS:



x



x



2 x8 x ĐS:



x



x



3 x6 x ĐS:



x



x



4 x2 x  ĐS:



x



x



5

2

x x  a ĐS:



x

a



x

a



Bài 3: Chứng minh rằng:

1

2 2

4

2 2

a x a x a a

x x

a x a x

  

  

  

với x  a

2

2, a a

a a a

 

 

(6)

3 3

182 33125 182 33125 

4

2

x x y x x y

x y

2

   

  

5

3

x

5

  



nghiệm phương trình x33x 14 

6 P 16

2

   



 





2

Q :

6



 

   số vô tỉ

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ có:

a) G



x



G

b) H  x24 ĐS: Hmin 

c)

1 I

x x

 

  ĐS:

4

I  

Bài 5: Tìm giá trị x nguyên để biểu thức sau nguyên:

a)

2

x C

x  

 ĐS: x  

b)

2

x D

x

 



 ĐS: x 0

Bài 6: Cho :

1 1

a a

B

a a a a a a

   

     

        

   

a) Rút gọn B; ĐS:

1

a a

B

a

 





b) Tìm a để B 1; ĐS: a 1

c) Tìm giá trị a để B nguyên a B

a a

  

 

   

 

nguyên ĐS: a0,a4

Bài 7: Cho 3 : 2

9

3 3

y y y y

C

y

y y y

     

       



  

(7)

a) Rút gọn C; ĐS:

1 C

y  



b) Tìm y để 1;

C   ĐS: 0 y