Đang tải... (xem toàn văn)
- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết.. Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạ[r]
(1)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Chuyên đề 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
Đặt vấn đề:
- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác VD:
- Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Ví dụ: + Bài tốn chứng minh chia hết
+ Rút gọn biểu thức
+ Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhỏ
I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1) Phương pháp đặt nhân tử chung
*Phương pháp giải toán:
- Phương pháp đặt nhân tử chung ngược lại với phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức: A.B + A.C = A.(B + C)
- Nhân tử chung tích phần hệ số với phần biến xác định sau + Phân hệ số: Là ƯCLN hệ số có mặt hạng tử
+ Phần biến: Là phần biến có mặt tất hạng tử đa thức đó, biến lấy với sỗ mũ nhỏ
Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức thành nhân tử
a)
x x b) 2
15x y5xy20x y 10xy c) x2y23 2 yx Lời giải mẫu
a) Đa thức có hạng tử x2 5x
- Nhân tử chung phần hệ số ƯCLN(1, 5) =
- Nhân tử chung phần biến x
Vậy nhân tử chung đa thức x Ta có:
5
x xx x
b) Nhân tử chung 5xy
3 2 2
15x y5xy20x y 10xy 5xy 3x 1 4xy2y
c) Không nên khai triển đẳng thức làm tốn phức tạp Nhận thấy đổi dấu hạng tử thứ đa thức xuất nhân tử chung x2y Vậy
2
2 2
x y yx x y x y
Chú ý: - Để tìm “Nhân tử riêng” hạng tửbêntrong ngoặc ta lấy đa thức chia cho nhân tử chung
(2)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài tập áp dụng
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
3
10
2 2
)4 14 ;
)5 15 ;
)9 15 21 ;
a x x
b y y
c x y x y xy
)15 20 25 ; )9 (2 ) 12 (2 );
) ( 1) (1 );
d xy xy xy
e x y z x y z
g x x y x
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
3
2
2
)
) 4 ;
) 2 ;
a x x x
b x y x y
c x x x x
2) Phương pháp dùng đẳng thức *Phương pháp giải toán
- Ghi nhớ đẳng thức Chú ý chiều biến đổi từ tổng tích đẳng thức
Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức thành nhân tử
2
4
) 1;
) 4 ;
) ;
a x x
b x x y
c x x x
Lời giải mẫu:
a) Nhận thấy vế trái đẳng thức số Áp dụng ta có 2
2
2 1
x x x
b) Nhận thấy hạng tử hạng tử cuối đưa đươc bình phương
2
2 2 2
6 9 3
x x x x x x x x x x x x
c) Ta thấy đa thức có nhân tử chung x 4 3 2 2 2 2 2
2 1
x x x x x x x x
Bài tập áp dụng Bài
2
1) x 10x25
2
2) x 6x9
2
3) 25x 10xyy 2
4) 6a 3a2b
2
6) 81a 5a 3b
2 2 7) a2b 3ab
(3)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page
1) m 27
3 2) x 8
3 3) x 5 27
3 4) x 1 125
3 5) x4 64
6 6) x 1
3
7) x 15x 75x 125
3
8) x 3x 3x28 (M)
3) Phương pháp nhóm hạng tử
Ta tổng quát phương pháp sau: “Cho đa thức
A + B + C + D (A,B,C,D biểu thức)
Nếu A, B, C, D khơng có nhân tử chung thử với (A + B) (C + D) phép giao hốn khác Tức nhóm hạng tử có nhân tử chung lại với tạo thành đẳng thức để làm xuất nhân tử chung đa thức”
*Phương pháp giải toán
- Quan sát đa thức xem hạng tử có nhân tử chung
- Nhóm hạng tử đặt nhân tử chung cho nhóm
- Đa thức xuất nhân tử chung chưa? Nếu chưa phải nhóm lại Đơi khi, ta phải xếp lại vị trí hạng tử xuất nhân tử chung Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y) = x(x + y) – 3(x + y)
= (x + y)(x – 3)
b) 2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + 6y) + (3z + xz)
= 2y(x + 3) + z(3 + x)
= (x + 3)(2y + z)
c) x2 – x – y2 – y = (x2 – y2 ) – (x + y) = (x + y) (x – y) – (x +y)
= (x + y) (x – y – 1) Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
Đối với đa thức dạng phương pháp chung khai triển hai số ba hạng tử giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ làm xuất nhân tử chung chứa số hạng tử thứ ba Do đó, ta khai triển hai hạng tử đầu giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất nhân tử chung a + b:
(4)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page = b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b)
= (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b) = c(b2 – a2) + c2(b + a) – ab(a + b) = c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b) = (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b) = (a + b)(cb – ca + c2 – ab)
= (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)] = (a + b)[c(b + c) – a(c + b)]
= (a + b)(b + c)(c – a)
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
3
3
) 2;
) 1;
) 3 9;
a xy y x
b x x x
c x x x
2
3
) ;
)
)3x – 75x 6x – 150 (A) d xy xz y yz
e x xy xz x y z
f
4) Phương pháp phối hợp *Phương pháp giải toán
Để phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên ý chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên sau:
- Bước 1: Đầu tiên ta xét xem hạng tử có xuất nhân tử chung hay khơng?
Có nhân tử chung: áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau ta xem đa thức ngoặc toán quay lại với bước tiếp tục thực đến kết cuối
Nếu khơng có nhân tử chung, chuyển sang bước
- Bước 2: Nếu đa thức có dạng hàng đẳng thức áp dụng phương pháp đẳng thức Nếu khơng chuyển qua bước
- Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất đẳng thức nhân tử
chung
Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 + 4x + – 2y2
b) 2a2 – 12ab + 18b2
c) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 Lời giải mẫu:
a) Ta thấy tất hạng tử có thừa số chung, ta đặt thừa số chung tiếp tục phân tích đa thức ngoặc
2x2 + 4x + – 2y2
(5)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page = [(x2 + 2x + 1) – y2] Nhóm hạng tử thích hợp đa thức ngoặc = 2[(x + 1)2 – y2] Xuất đẳng thức
= 2(x + – y)(x + + y) Dùng đẳng thức Vậy 2x2
+ 4x + – 2y2 = 2(x + – y)(x + + y) b) 2a2 – 12ab + 18b2
Giải tương tự câu a) :
2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2) = 2(a – 3b)2
c) 5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2 = 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + + 2yz)
= 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)] = 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2]
= 5xz(x – – y + z)(x – + y – z) Bài tập áp dụng
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
2
1) 5x 10xy 5y
2
2) 6x 12xy 6y
3 2
3) 2x 4x y2xy
4 2
4) 3x y 6x y 3x y
5 3 5) 4x y 8x y 4x y
3
7) 2x 8x 8x
4
8) x 5x 15x9
5) Phương pháp tách hạng tử thành hai hạng tử
Phương pháp áp dụng cho đa thức chưa phân tích thành nhân tử Ta tách hạng tử đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng phương pháp biết
5.1) Đối với đa thức bậc hai biến (Tam thức bậc hai)
Nhận dạng: Đa thức có dạng
( )
f x ax bx c a
*Phương pháp giải toán
Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử Cơ sở: dựa vào cách suy luận ngược lại sau:
(mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq Như vậy: đa thức ax2 + bx + c, hệ số b tách thành hai hạng tử b = b
1 + b2 cho b b1 ac Áp dụng tam thức ax2
+ bx +c có b số lẻ, a khơng bình phương số ngun Các bước tách:
(6)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bước 3: Phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách
Bước 4: Chọn hai thừa số mà tổng b Ví dụ mẫu 1: Phân tích đa thức
9x 6x8 Bước 1: Xác định a = 9; b = 6; c = 8 Bước : Tích ac = (- 8) = -72
Bước : Phân tích -72 tích hai thừa số trái dấu, thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6)
-72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) 18 = (-6).12 =(-8).9 Bước : Chọn hai thừa số mà tổng Đó -6 12
Ta có: 9x2 +6x – = 9x2 -6x + 12x – = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x2)(3x + 4) Cách 2: Tách hạng tử số thành hai hạng tử (c = c1 + c2)
Áp dụng trường hợp ngược lại với cách Bước 1: Xác định hệ số a, b, c
Bước 2: Tách c = c1 + c2 c10;c20; c1 c2 số phương
Bước 3: Nhóm thành (ax2
+ bx + c1)c2 dùng đẳng thức a2b2a b a b
Ví dụ mẫu 2: Phân tích đa thức ví dụ mẫu Bước 1: Xác định a = 9; b = 6; c = 8 Bước 2: Tách 8
Bước 3:
9x 6x 8 9x 6x 1
Vậy:
9x 6x 1 3x 1 3x1 3x4
Bài tập áp dụng
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 4x +
b) x2 – 7x + 12 c)
3x 12x9 d)
4x 12x8 e)
(7)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Chuyên đề 3: Phân tích thành nhân tử phần
5.2) Đối với đa thức bậc cao biến Cở sở: Ta thừa nhận tính chất sau
Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) a phải ước hạng tử tự (hằng số) f(x) chia hết cho đa thức xa hay f x( )B x a. trong B đa thức
Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức
2 x x Ta có Ư(4) = {-1 ; ; -2 ; ; -4 ; 4}
Thấy a2là nghiệm đa thức x32x 4 B x. 2 Ta tìm đa thức B
cách biến đổi hạng tử đa thức
2
x x xuất nhân tử chung x2 Lời giải mẫu :
x3 – 2x – = x3 – 2x – + = (x3 – 8) – (2x – 4)
= (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2) = (x – 2)(x2 + 2x + – 2)
= (x – 2)(x2+ 2x + 2) Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a)
4
x x b)
7
x x c)
5
x x x d)
3
3x 7x 17x5
5.3 ) Đối với đa thức bậc hai ẩn có dạng 2 ( )
f x ax bxycy *Phương pháp giải toán
- Coi f(x) tam thức bậc ẩn x có tham số y (hoặc ngược lại)
- Thực bước phần 5.1) Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức 2
9x 6xy8y Bước 1: Xác định a = 9; b = 6; c = 8 Bước : Tích ac = 9.(- 8y2
) = 72y2 Bước : Phân tích -72y2
tích hai thừa số trái dấu có y, thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai hệ số thừa số 6)
-72(-1y).72y(-2y).36y(-3y).24y(-4y) 18y (-6y).12y(-8y).9y Bước : Chọn hai thừa số mà tổng hệ số Đó -6 12
Ta có: 9x2 +6xy – 8y2 = 9x2 -6xy + 12xy – 8y2 = 3x(3x – 2y) + 4y(3x – 2y) = (3x2y)(3x + 4y)
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
(8)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 6) Phương pháp thêm bớt hạng tử để xuất nhân tử chung
Với đa thức cho khơng có chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức khơng thể nhóm số hạng tử Đối với đa thức dạng ta phải biến đổi đa thức cách thêm, bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết
6.1 Thêm bớt hạng tử để xuất hiệu hai bình phương *Phương pháp giải tốn
- Áp dụng với trường hợp đa thức cần phân tích có dạng x4ny4n A2nm.An
B2m
- Thêm bớt vào biểu thức 2A2nB2n để có Ví dụ mẫu : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
x b)
1 x x Lời giải mẫu
a) Nếu coi biểu thức thứ
x , biểu thức thứ ta thấy đa thức cịn thiếu lượng lần tích biểu thức
2x Thêm bớt lượng 2x2 vào đa thức ta
2 2 2
4 2 2 2
1 2 2 2
x x x x x x x x x x x x x
b) Tương tự ý a) ta có
2
4 2 2 2
1 1 1
x x x x x x x x x x x
Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4 + b)
4x 81 c) 4x 9x 81 6.2 Thêm, bớt nhiều hạng tử để xuất nhân tử chung *Phương pháp giải toán :
- Ta thừa nhận khẳng định sau
+ Tam thức xmxn 1 có nhân tử x2 x m n 2 3 ; + Tam thức xmxn1 có nhân tử
1
x x m n 2 m n đồng thời chia hết cho
- Biến đổi đa thức xmxn 1 dạng có nhân tử chung x2 x
1
x x tùy trường hợp cụ thể
(9)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Ta thấy m5, n 4 m n 2 18 3 x5 + x4 + có nhân tử
1
x x Ta tìm
cách thêm bớt tử
x x để đa thức có nhân tử chung
1 x x
x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) Bài tập áp dụng
a) x5 + x4 + 1; b) x8 + x4 + 1; c)x10 + x8 + b/ x5 + x +
7) Phương pháp đặt ẩn phụ
Áp dụng cho đa thức có dạng f x( ) x a x b x c x d e thỏa mãn
a d b c a d b c *Phương pháp giải toán
- Nhân x a với x d ; x b với x c được
2
( )
f x x a d x ad x b c x bc
- Đặt
2
2
x a d x ad x b c x bc
y đưa đẳng thức hiệu hai
bình phương với ẩn y, thay y biểu thức x ban đầu phân tích tiếp Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức x x 4x6x10128
Lời giải mẫu: Ta thấy a0;b4;c6;d 10
( ) 10 10 24 128
f x x x x x
Đặt 10 10 24
10 12
x x x x
y x x
2
2
2 2
10 12 ; 10 24 12
( ) 12 12 128 16 4
( ) 4 10 10 16 10
x x y x x y
f x y y y y y
f x y y x x x x x x x x
Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2 2 ) ( )
) ( ) 12
) ( ) 24
) ( ) 12 10
a k x x x y x y z x z y z
b f x x x x x
c h x x x x x
d g x x x x x x
(10)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10 Cơ sở phương pháp : Hai đa thức (viết dạng thu gọn) đồng hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức phải
Áp dụng cho đa thức không tính nghiệm nguyên Ví dụ mẫu : Phân tích đa thức x3
– 19x – 30 Lời giải mẫu :
Ta có kết phân tích có dạng:
x3 – 19x – 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn:
a + b =
c + ab = -19
ac = -30
Vì a, c Z tích ac = -30 a, c {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Với a = 2; c = -15 b = -2 thỏa mãn hệ thức trên, số phải tìm tức là: x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)
Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức a)
6 12 14 x x x x
b) 63 x x
c)x43x24
d) 2
4 12
x x x x
9) Phương pháp giá trị riêng
*Sử dụng vai trò ẩn
Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức Pab a b bc b c ac c a Lời giải mẫu:
Nếu thay a b ta có: P 0 bc b c ac c b 0nên P có nhân tử
a b , mặt khác ta thấy vai trò a, b, c nên P có nhân tử
a b b c c a
Bậc P 3, đa thức a b b c c a có bậc suy
(11)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 11 Trong đẳng thức ta cho biến nhận giá trị riêng chẳng hạn
2; 1;
a b c ta
2.1.1+ + = k.1.1 -2
2= 2k k P = a - b b - c c - a
Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức
a) 3 3 Q a b c a b c
b) 2 2 2 Kx y z y x z z xy
II Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Ứng dụng 1:Tính nhanh
+ Bước 1: Phân tích biểu thức cho thành nhân tử
+ Bước 2: Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích để tính Ví dụ mẫu: Tính nhanh
a) 732 – 272
= (73 – 27)(73 + 27)
= 46 100
= 4600
b) 20022 – = 20022 – 22
= (2002 + 2)(2002 – 2)
= 2004 2000
= 4008000
Ứng dụng 2: Tính giá trị biểu thức Tương tự cách giải dạng
Ví dụ mẫu: Tính giá trị biểu thức sau a) 15.91,5 + 150.0,85
= 15.91,5 + 15.8,5
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500
b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x), với x = 2010; y = 2011; z = -1 Ta có: 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x)
= 5x5 (x – 2z + 2z – x) = 5x5.0 =
Với x = 2010; y = 2011; z = -1 biểu thức
c)
2
2
43-11 43+11
43 -11 32.54 32
= = =
(12)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 12
d)
2
3 97 +83 97 -97.83+83
97 +83
-97.83 = -97.83
180 180
180.8247
= -97.83 = 8247 -97.83 = 8247 -8051 =196 180
Ví dụ mẫu: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) x = 2000, y = 1999 Ta có x(x – 1) – y(1- x) = x(x – 1) + y(x – 1)
= (x – 1)(x + y)
Thay x = 2001, y = 1999 ta
(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Ứng dụng 3:Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước
+ Chuyển tất hạng tử đẳng thức vế trái vế phải + Sao phân tích vế trái thành nhân tử để dạng A(x).B(x) =
+ Sao tìm x đẳng thức A(x) = B(x) = ta kết Ví dụ: Tìm x, biết
a) x(x – 2) + x – =
Ta có x(x – 2) + x – = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)
Nên (x – 2)(x + 1) = hoặc x = x = -
b) 5x(x – 3) – x + =
Ta có 5x(x – 3) – x + = 5x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(5x – 1)
Nên (x – 3)(5x – 1) = hoặc x = x
Ứng dụng 4: Chứng minh chia hết
+ Phân tích biểu thức thừa số nguyên tố để xuất số chia
+ Số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b0) có số nguyên k cho a = b.k
Ví dụ:
a) Chứng minh 55n + – 55n chia hết cho 54 với số tự nhiên n b) Chứng minh (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n
Lời giải mẫu:
a) Ta có: 55n + – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 chia hết cho 54
b) (5n + 2)2 – = (5n + – 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho với số nguyên n
(13)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 13 Ví dụ mẫu:
CMR a3
+ b3 + c3 = 3abc a = b = c a + b + c = Lời giải mẫu:
Từ đẳng thức cho suy ra: a3
+ b3 + c3 – 3abc = Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 – bc)
= (b + c)[(b + c)2 – 3bc] = (b + c)3 – 3bc(b + c) a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3)
= a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c)
= (a + b +c) [a2 – a(b + c) + (b + c)2] – 3bc(a + b +c) = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Do a3 + b3 + c3 – 3abc = a + b + c = hoặc:
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a) = suy a = b = c
Bài tập áp dụng phần II Bài 1: Tính nhẩm
a) 12,6.12412,6.24
b) 179, 21.45 179, 21.55
Bài 1: Tính giá trị biểu thức
c) 37,5.6,5 - 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5
d) 452 + 402 – 152 + 80.45
Bài 2: Cho x số dương thỏa mãn x25x 6 0
Tính giá trị biểu thức M x3 34x 12 x
Bài 3: Tính giá trị biểu thức
a) Qxyxz2x y z với x101; y100; z98
d) 2
2 6 1
Px x x x x x x Với 2x26x99
Bài 4: Tìm x, biết a)
4x 490 b)
36 12 x x
c) x22 2 x
d) x9 x8 x 1 0
(14)Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 14 Bài 6: Chứng minh
1
n với n số tự nhiên lẻ
Bài 7: Chứng minh
n với n số tự nhiên
Bài 8: Cho 2
a b c ab bc ca , chứng minh a b c
Bài 9: Cho x, y, z thỏa mãn 1 1
x y z x y z Chứng minh
2013 2013 2013 2013 2013 2013
1 1