Một số kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Sau đây, thày giới thiệu ph ơng pháp nhanh hơn, chính xác hơn….. II..[r]

(1)

www.baigiangtoanhoc.com Hotline: 0987 708 400

Phân tích đa thức bậc hai, bậc ba phương pháp đặc biệt

I Phương pháp nhẩm nghiệm thông thường kết hợp sử dụng lược đồ hoocne a) Lược đồ Hocne

Với đa thức f(x) = n n-1 n-2

n n-1 n-2

a x + a x + a x + + a x + a chia cho nhị thức bậc x a có

th ơng g(x) = n-1 n-2 n-3

n-1 n-2 n-3

b x + b x + b x + + b x + b d r Thì ta có

n

a an-1 an-3 a2 a1 a0

a bn1an bn2abn1an2 bn3 abn2an3 b1 ab2a2 b0 ab1a1 rab0b0

Nhìn khó hiểu nh ng lại vơ dễ dàng!

Ví dụ minh họa: Tìm th ơng d phép chia

3

x  x  x cho x2

+ B ớc 1: Xác định “a” Ta có a 2

+ B ớc 2: Ghi nhớ câu thần “cắt đầu đem xuống” , “tr ớc nhân đầu, cộng trên”, xác định hệ số đa thức bị chia (Đư xếp) để điền vào bảng b ớc + B ớc 3: Lập bảng nh sau

1 4

2

a 

(Cắt đầu đem xuống)

1.( 2) 1   (tr ớc nhân đầu cộng trên)

1.( 2) 4   6 (tr ớc nhân đầu cộng trên)

6.( 2) 21     (tr ớc nhân đầu cộng trên)

+ B ớc 4: Xác định th ơng d

Ơ cuối dịng thứ số d , số d hệ số tự Trong phép chia có d 21

Các hệ số có bậc tăng dần đa thức chia Hệ số bậc 6 , bậc

Vậy phép chia có th ơng

3

x  x d d 21

Chú ý: Nếu số d phép chia phép chia hết

Khi chia đa thức đa thức ẩn bậc n cho nhị thức bậc x a th ơng ln đa thức bậc n1 số d số thực

b) Áp dụng vào phương pháp

*Cơ sở ph ơng pháp:

Nghiệm nguyên đa thức

1

( ) n n n n

(2)

Nghiệm hữu tỉ đa thức

1

( ) n n n n

f x a x a x   axa có dạng m

n m ớc số hạng tự ao n ớc an

*Định lí: Nếu a là nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho xx0 hay f x( ) có nhân tử x a

***Các bước phân tích đa thức f(x) thành nhân tử phương pháp nhẩm nghiệm minh họa ví dụ sau

Ví dụ: phân tích đa thức

( )

f x x  x - B ớc 1: Tìm nghiệm f(x)

+ ớc gồm    1; 2; 3;

+ Thấy f( 1)     1 Vậy a 1 nghiệm f x( )x37x6 hay

3

( )

f x x  x có nhân tử x     x0 x ( 1) x

- B ớc 2: Sử dụng l ợc đồ Hoocne tìm th ơng phép chia

( )

f x x  x cho x1

1 7 6

1

a 

(Cắt đầu đem xuống)

1.( 1) 0   1 (tr ớc nhân đầu cộng trên)

1.( 1)      (tr ớc nhân đầu cộng trên)

6.( 1) ( 6)      (tr ớc nhân đầu cộng trên)

B ớc 3: Kết luận

Vậy th ơng phép chia

6

x  x hay

3

7 ( 1)( 6)

x  x  x x  x tiếp tục b ớc nh để phân tích đa thức

6

x  x Ph ơng pháp dài, làm thời gian bạn Sau đây, thày giới thiệu ph ơng pháp nhanh hơn, xác hơn…

II Phương Pháp dùng máy tính bỏ túi:

*Cơ sở: Ta thừa nhận tính chất sau

Nếu đa thức  

( )

f x ax bx c a  có hai nghiệm x1; x2 f x( )a x x1xx2

Nếu đa thức  

( )

f x ax bx  cx d a có nghiệm x1; x2; x3

 1 2 3

( )

f x a xx xx xx

Vậy tìm nghiệm nh nào?

Đối với máy tính Casio Fx 500ms bạn hưy truy cập đ ờng dẫn sau

http://bitex.edu.vn/kho-ung-dung/1394/giai-cac-phuong-trinh-tren-may-tinh-casio-may-fx500ms.html

Đối với máy tính Casio Fx 570 bạn truy cập đ ờng dẫn sau:

(3)

Sau ta bắt đầu thực hành:

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử

a)

5

x  x b) 2x3x25x2 Giải

a) Các b ớc thực

+ B ớc 1: Xác định hệ số a: a1

+ B ớc 2: Sử dụng máy tính ta tìm đ ợc nghiệm

5

x  x 1

Vậy:      

5 1 6

x  x  x x  x x

b) T ơng tự   

2 2

2

x x  x  x  x x

 

Tuy nhiên thực tế giáo viên không chấp nhận cách làm trên, buộc ta phải “biến tấu” chút cho phù hợp

Các b ớc coi nh b ớc nháp Tiếp tục thực b ớc sau nháp

a) x25x 6 x1x 6

+ Nhân vào:   

1 6

x x x  x x  Hình thành tách hạng tử: Đó tách hạng tử    5x 6x x

Trình bày vào vở:     

5 6 6 6

x  x  x x  x x x   x x x OK

b)

        

1

2 2 2 2

2

x x x x x x x x x x

             

 

 

Nhân tiếp đ ợc    2

2x1 x  x 2x 2x 4xx  x từ hình thành cách tách

hạng tử Nhóm hạng tử đầu cho kết Sau lại tách tiếp

Tr ờng hợp đa thức từ bậc trở lên có nghiệm số thực, nghiệm lại số phức (dùng máy tính tìm nghiệm thấy xuất RI) ta dùng l ợc đồ hoocne

bên để chia nhằm hạ bậc đa thức cần phân tích

Ví dụ: Khi phân tích đa thức

2

x  x Bấm máy tính xuất nghiệm thực x1

thì ta nên dùng l ợc đồ Hoocne để chia đa thức

2