Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được[r]
(1)MỤC LỤC
Nội Dung Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài
2 Mục đích đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu
4 Phạm vi đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn
Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm nâng cao chất lượng dạy học
1.Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm 2.Biện pháp 2: Đưa giải pháp
3.Biện pháp 3: Hướng dẫn theo phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Chương III Thực nghiệm sư phạm 1.mục đích thực nghiệm
2.Nội dung thực nghiệm 3.Kết thực nghiệm
PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO
(2)PHẦN I: MỞ ĐẦU 1/ Lý chọn đề tài:
Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời cơ, thách thức Để hịa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội”
Những năm gần đây, với việc thay sách giáo khoa việc sử dụng phương pháp tích cực nhằm phát huy trí lực học sinh cách chủ động, sáng tạo, thực vận động “Hai khơng” với bốn nội dung…, địi hỏi thầy giáo cần phải ngày tự hồn thiện để phù hợp với nhu cầu đổi
Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu
Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức việc giải phương trình, … Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến bốn phương pháp q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua ví dụ cụ thể, việc phân tích khơng q phức tạp khơng q ba nhân tử
Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn
(3)nghiệm dạy học tốn, tơi xin mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng đóng góp phần nhỏ bé cơng sức việc dạy học theo phương pháp mới, giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú với mơn tốn nói chung tốn phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng
2/ Mục đích nghiên cứu:
Góp phần nâng cao chất lượng dạy học bậc Trung học sở.
Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng tốn
Học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức thành nhân tử Phát huy khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt học sinh Thấy vai trị việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn từ giáo dục ý thức tự học tìm tịi sáng tạo trình học tập học sinh
Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm kiến thức mới, khơng tìm phương pháp làm tốn dạng bản, phương pháp thơng thường mà cịn phải dùng số phương pháp khó
Rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học mơn tốn giải dạng tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử , nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng tri thức vào thực tiễn sống
3/ Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu nội dung dạy học phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Tìm hiểu mạch kiến thức phần đại số mà em học từ lớp
Điều tra thực trạng: Điều tra việc nắm kiến thức học sinh phần phân tích đa thức thành nhân tử Thường xuyên kiểm tra đánh giá để nhận phản hồi học sinh, qua thấy sai lầm mà em hay mắc phải tốn phân tích đa thức thành nhân tử để tìm hướng khắc phục, tìm phương pháp phù hợp giúp nâng cao chất lượng giảng dạy
4/ Phạm vi đối tượng nghiên cứu:
Khi viết đề tài nghiên cứu trường THCS Đan Hà -Huyện Hạ Hòa- Tỉnh Phú Thọ
(4)5/ Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp mà sử dụng để nghiên cứu chủ yếu phương pháp thực nghiệm sư phạm
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận thực tiễn
Trong bối cảnh đổi Giáo dục nói chung, Giáo dục THCS nói riêng đổi phương pháp dạy học yêu cầu bắt buộc mang tính tất yếu khách quan
Nghị TW (Khóa VIII) khẳng định: “ Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”
Luật giáo dục điều 28 khoản rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo học sinh phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
Trong qúa trình giảng dạy mơn Tốn trường THCS nội dung nhiều giáo viên nghiên cứu mức độ khác họ thu kết định Song việc thực kết tùy thuộc vào nhiều yếu tố Trong việc dạy học môn Tốn giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt tự tìm tịi kiến thức mới, khơng với phương pháp bản, thông thường mà cịn phải hình thành lên số phương pháp khó hơn, phải có thủ thuật riêng đặc trưng từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học Toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng Tốn khó Đây thuận lợi cho giáo viên học sinh đổi cách dạy học
Bản thân tham vọng sâu nghiên cứu tất phương pháp hay dạng q khó khơng phù hợp học sinh THCS.Trong thực tế giảng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử toán liên quan công việc quan trọng thiếu Để làm điều người thầy phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
(5)không mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ để giải dạng tốn cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử
Qua thực tế giảng dạy kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp nhận thấy: Khi gặp dạng tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích em gặp nhiều lúng túng
Ví dụ 1: (Trong tiết 25: Luyện Tập (Toán tập 1)) Khi giáo viên đưa tập Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: x2−xy− x+y
x2+xy− x − y
Nhiều học sinh thể lúng túng gặp ví dụ trên, có học sinh giơ tay phát biểu, có vài học sinh khá, giỏi
GV đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức ta làm nào? HS: Phân tích tử mẫu thành nhân tử
Sau gợi ý, nhiều học sinh đưa lời giải nhiên bên cạnh cịn tồn nhiều lời giải sau:
x2−xy− x+y
x2
+xy− x − y =
x(x − y −1)+y
x(x+y −1)− y (lời giải sai- phân thức chưa rút gọn)
Nguyên nhân: học sinh thiếu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa học xong phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số )giáo viên đưa tập Giải phương trình sau cách phân tích vế trái thành nhân tử
a x(2x - 7) – 4x + 14 = b x2 – 5x + = 0
hay tập sau Tìm ĐKXĐ phương trình:
x2−4x+3 Học sinh gặp nhiều lúng túng chưa tìm cách giải
Vì để giải tốn học sinh cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo
Nhưng việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử thơng thường đa số em gặp nhiều khó khăn Do em quên kiến thức chưa biết vận dụng kiến thức cách hợp lý Các em biết vân dụng phương pháp riêng lẻ vào giải toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp phương pháp vào giải tốn khó với u cầu cao
Ví dụ: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa tập:
(6)x2 – y2 + 4x – = (x2 – y2)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) là lời giải sai, hay toán sau: phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử nhiều học sinh đưa lời giải sau:
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y) = x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức khơng phân tích được- đây là lời giải sai)
Khi đứng trước tốn phân tích đa thức thành nhân tử em chưa có khả nhận dạng, nhận định xem toán nên giải nào, áp dụng phương pháp để giải cho phù hợp q trình phân tích em cịn gặp nhiều sai sót lời giải cách trình bày
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2 Nhiều học sinh đưa lời giải sau
(2x - 1)2 – (x + 3)2
= 4x2 – 4x – – x2 – 6x – 9
= 3x2 – 10x – 10 (đây lời giải sai)
Học sinh biết áp dụng đẳng thức vào phân tích đa thức chưa phương pháp: lời giải
(2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = (2x – – x - 3)(2x – + x + 3)
= (x - 4)(3x + 2)
Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Một số học sinh đưa lới giải sau
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết sai)
Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Một số học sinh đưa lới giải sau
(Lời giải sai): 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y
= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai bỏ sót số 1)
Trong chương trình sgk Tốn giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử với phương pháp có tập học sinh gặp khó khăn trình giải Ví dụ 52,57 sgk tr 24,25 (Toán tập 1)
Bài 52a phân tích đa thức x2 – 3x + thành nhân tử
Với đa thức ta áp dụng phương pháp học để phân tích SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x tách = - + 6, từ đa thức dễ dàng phân tích tiếp Vậy với đa thức khác, có dạng tương tự ta làm nào?
(7)Qua khảo sát thực trạng học sinh trường THCS Đàn Hà mơn Tốn tơi tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau số tiết dạy “các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
Câu 1: Em có thích học mơn Tốn khơng? Chỉ có số học sinh trả lời có, học Tốn bổ ích thú vị Bên cạch cịn nhiều học sinh trả lời khơng thích học Tốn học Tốn khó
Câu 2: Em có thích chun đề “phân tích đa thức thành nhân tử khơng” ?
Với câu hỏi đa số học sinh trả lời có Vì chun đề thú vị áp dụng vào nhiều tốn thực tiễn
Ví dụ: Tính nhanh a 37,5.6.5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)
= 375 – 75 = 300
b 452 + 402 – 152 + 80.45 = (45 + 40 )2 – 152 = 852 – 152
= (85+ 15)(85 - 15)= 100.70 = 7000
Như qua trình giảng dạy, nghiên cứu dự đồng nghiệp, trao đổi học sinh, đánh giá rút số thực trạng việc dạy học giáo viên học sinh trường THCS Đan Hà
Từ thực trạng vừa nêu theo chủ yếu nguyên nhân sau
* Nguyên nhân khách quan:
Trường THCS Đan Hà trường đóng địa bàn xã miền núi, đời sống nhân dân cịn khó khăn gia đình chưa có đầu tư quan tâm đến việc học tập cái, phong trào học tập chưa sôi
Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập nhà
* Nguyên nhân chủ quan :
Môn Tốn mơn học khó, khơ khan để học tốt mơn tốn địi hỏi học sinh phải có tư nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện
Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, thiếu kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu
(8)hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt
Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống phương pháp Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm
nâng cao chất lượng dạy học 1 Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
Tìm hiểu ham mê học toán học sinh khối
Kiểm tra kiến thức kỹ làm tập phân tích đa thức thành nhân tử
2 Biện pháp 2: Đưa giải pháp
Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán
Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử
* Đối với học sinh yếu, nhận thức chậm : Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
* Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán
Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán
Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) *Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giới thiệu phương pháp)
+ Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt hạng tử
+ Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) + Phương pháp tìm nghiện đa thức + Phương pháp hệ số bất định
+ Phương pháp xét giá trị riêng
(9)hạng tử, Phương pháp thêm bớt hạng tử) Các phương pháp lại mang tính chất giới thiệu
3 Biện pháp 3: Hướng dẫn theo phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
3.1 Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi Đa thức thành tích đa thức
3.2 Các phương pháp
3.2.1 Các phương pháp bản
3.2.1.1 Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
a Phương pháp
- Tìm nhân tử chung Đơn thức, Đa thức có mặt tất hạng tử
- Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác
- Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng )
Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
* Phương pháp tìm nhân tử chung (với Đa thức có hệ số nguyên): - Hệ số nhân tử chung ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử
- Lũy thừa chữ nhân tử chung phải lũy thừa có mặt tất hạng tử Đa thức, với số mũ nhỏ hạng tử
b Ví dụ.
Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử. Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2 = 3x2y ( 5y - 3x - y2 )
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2
= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Phân tích ví dụ
- Ta thấy hệ số nguyên dương hạng tử ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3 ƯCLN(15, 9, 3) = Vậy hệ số nhân tử chung là:
- Lũy thừa chữ hạng tử ví dụ là: x2y2 ; x3y ; x2y3. Lũy thừa chữ có mặt tất hạng tử x y, số mũ lớn x y Vậy ta có lũy thừa chữ nhân tử chung : x2y
(10)Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử
Với ví dụ lúc đầu học sinh gặp lúng túng cách xác định nhân tử chung Giái viên đưa gợi ý:
? Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) ? Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ?
(Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) không xác định )
- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) ngược lại để xuất nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ giải sau:
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y)) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )
= 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)
Chú ý: Nhiều để xuất nhân tử chung cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))
+ Một số lưu ý sử dụng phương pháp.
Ví dụ : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử. Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y
= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết sai bỏ sót số 1)
Sai lầm cách viết hạng tử lại ngoặc, Học sinh bỏ sót số (HS cho bước thứ hai đặt nhân tử chung 3x2y hạng tử thứ ngoặc lại số 0)
Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 = 3x2y ( 5y - 3x + 1)
Ví dụ : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Sai lầm học sinh là:
(11)9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 sai - Ta có: ( x – y )2 = (y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)
+ Chú ý: Bình phương hai đa thức đối nhau: A2 = (-A)2
(Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn hai Đa thức đối nhau) c Bài tập áp dụng
Dạng 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 21x2y - 27y3
2 7x(x - 1) – 4x(x - 1) x(x + y) – 5xy(y - x) x2 + 7x3 + x2y
5 52 x(y - 1) - 52 y(1 - y) 3x2(2z - y) - 21x(y - 2z)2
7 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y) Dạng 2: Tính nhanh:
1) 85.12,9 + 5.3.12,9 2) 52.143 – 52.39 – 8.26 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức:
1 15.91,5 + 150.0,85
2 x(x-1) – y(1 – x) x = 2001 ; y = 1999 x2 + xy + x x = 77; y = 22
4 x(x-y) + y(y-x) x = 53; y = Dạng 4: Tìm x, biết:
1.5x(x-2012) – x + 2012 = 2.x3 – 15x =
3 x + 7x2 = x + = (x + 3)2 x3 + x = 0
Dạng 5: Chứng minh tính chia hết:
1 Chứng minh dằng : 57n + 1 – 57n chia hết cho 56 (với n số tự nhiên)
2 Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho với số nguyên n
3.2.1.2 Phương pháp 2: Dùng đẳng thức
a Phương pháp:
- Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích”
(12)3 A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4 A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) b Ví dụ:
Phân tích Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: 16x2 + 8xy + y2 = (4x2) + 2.4x.y + y2 = (4x + y)2 Ví dụ 2: 9x2 - 12x + = (3x)2- 2.3x.2 + 22 = (3x - 2)2
Ví dụ 3: a (x - y)2 – (x+ y)2 = [(x - y) – (x + y)].[(x - y) + (x + y)] = (x - y – x - y)(x - y + x + y)
= (- 2y).2x = - 4xy b 9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2) c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
Ví dụ 4: 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 = (2x)3 - 3.(2x)2y + 3.2x.y2 - y3 = (2x - y)3
Ví dụ 5: 27 + 27x + 9x2 + x3 = 33 + 3.32.x +3.3.x2 + x3 = (3 + x)3
Ví dụ 6: 27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)
Ví dụ 7: - 8x3y6 = 13 – (2xy2)3 = (1 – 2xy2)[12 + 2xy2 + (2xy2)2 ] = (1 – 2xy2)(1 + 2xy2 + 4x2y4 ) + Khai thác ví dụ:
Qua ví dụ giáo viên hướng cho học sinh cách nhận dạng vận dụng cách hợp lý đẳng thức q trình phân tích đa thức thành nhân tử Khi gặp toán phân tích đa thức thành nhân tử mà: - Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng bình phương (A2 B2) hạng tử cịn lại phân tích dạng (2.A.B) (– 2.A.B ) tìm cách phân tích đưa dạng đẳng thức (1) (2) (Ví dụ 1; 2)
- Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) có dạng phân tích, đưa dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) áp dụng đẳng thức thứ (3) (Ví dụ 3)
- Nếu gặp Đa thức có hạng tử, có hạng tử có dạng (hoặc phân tích đưa dạng) lập phương (A3 B3 A3 -B3 ) hai hạng tử lại phân tích đưa dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B + 3.A.B2 ) áp dụng đẳng thức thứ (4) thứ (5) (Ví dụ 4; 5)
- Nếu gặp Đa thức có dạng hiệu tổng hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) phân tích, đưa dạng lập phương (A3 B3) áp dụng đẳng thức thứ (6) (7) (Ví dụ 6; 7)
(13)Ví dụ : Phân tích đa thức - x4y2 + 8x2y - 16 thành nhân tử: Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 - 8x2y + 16)
= - [(x2y)2 - 2.x2y.4 + 42] = - (x2y - 4)2
c Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử a x2 + 12x + 36
b 100x – 2500 – x2 a x2 + 9y2 – 6xy b 14x – 49 – x2
3 a 121x2 – 25
b (7x + 1)2 - (2x + 1)2 c 251 x2 – 49y2 a 27x3 +
27 b x3 -
8 c (a + b)3 – (a - b)3 x3 + y3 + z3 – 3xyz
Hướng dẫn: áp dụng 31 (sgk – tr 16) ta có: x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
Do : x3 + y3 + z3 – 3xyz = [(x + y)3 + z3] + [-3xy(x + y) - 3xyz]
= (x + y + z)[(x + y)2 – z(x + y) + z2] – 3xy(x + y +z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy) Tính nhanh:
1 a 252 – 152 b 372 – 132 c 20092 - 92 Tìm x biết:
1 – 49x2 = 0 x2 – x +
4 = x3 – 0,25x = 0 x2 – 10x = - 25
3.2.1.3 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a Phương pháp
Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức
b.Ví Dụ:
Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22) b xy - 5y + 2x – 10
c 2xy + z +2x +yz
(14)x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )
= x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y)
b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2) c Cách 1: nhóm (2xy + z) (2x +yz)
Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức phân tích được)
Cách 2: nhóm (2xy + 2x) (z + yz) Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – 2x + – 9y2 b. x2 + 4x – y2 + 4 Giải:
a x2 – 4x + – 9y2 = (x2 – 2x + 1) – (3y)2 = (x – 1)2 – (3y)2
= (x – – 3y)(x – + 3y) b
Cách Nhóm: (x2 + 4x) – (y2 - ) ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x) - (y2 - )
= x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) (Đa thức khơng thể phân tích tiếp)
Cách Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + – y)(x + +y) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 – 2x – 4y2 – 4y
b x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
(15)= x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức khơng phân tích tiếp được)
Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) ( - 2x - 4y ) ta có x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) b Cách 1: Nhóm (x3 – x) (3x2y + 3xy2 ) (y3 – y ) Ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
= (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y ) = x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1)
= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1) (Đa thức khơng thể phân tích tiếp )
Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) (- x - y) ta có
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y) = (x + y)3 – ( x + y)
= (x + y)[(x + y)2 - 1]
= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)
Khai thác ví dụ:
Qua ví dụ ta rút nhận xét: ví dụ a,b ta nhóm hạng tử với 2, với với với ta phân tích đa thức thành nhân tử Nhưng ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ đa thức khơng thể phân tích dược Tương tự trường hợp (1.c) ta nhóm hạng tử với với đa thức khơng thể phân tích được, đa thức phân tích ta nhóm hạng tử thứ với hạng tử thứ thứ với thứ Tương tự ví dụ cịn lại
Như đa thức phân tích tiếp sau nhóm cách hợp lý hạng tử, Việc nhóm cách hợp lý hạng tử đa thức thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà dựa vào kinh nghiệm q trình giải tốn dựa vào mối quan hệ sau:
- Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích được.
+ Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực
Chú ý: Trong q trình nhóm hạng tử, phải ý tới dấu hạng tử sau nhóm
ví dụ 3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Học sinh đưa lời giải sau
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
(16)= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai)
Sai lầm học sinh là:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng tử ngoặc thứ hai sau nhóm)
Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)
* Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục khơng thực nữa, thì cách nhóm sai bị nhầm dấu q trình nhóm, phải thực lại (Ví dụ 1c Cách1 ; Ví dụ 2b cách 1; Ví dụ 3a cách 1)
c Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử x2 – 3x – y2 – 3y
2 x2 – 4xy + 4y2 – z2 3x2 – 3xy – 7x + 7y xz + yz – 11(x + y) a3 – a2x – ay + xy
6 xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz x2 + 16x – y2 + 16
8 x2 – 6xy + 9y2 –z2 + 6zt –9 t2 5x2 + 10xy + 5y2 – 5z2
10.2x3 – 5x2 + 2x – 5
Tính nhanh giá trị đa thức
1 x2 – 2xy – 9z2 + y2 tại x = 6; y = -4; z = 30 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 x = 0,5
Tìm x ; biết
1 x(x - 5) + x - = 5x(x - 7) – x + =
Trong q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, khơng thể vận phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều tốn để phân tích cần phải có phối hợp phương pháp Vì ngồi phương pháp nêu trên, chương trình SGK tốn cịn giới thiệu thêm phương pháp nữa, là: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp
3.2.1.4 Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a Phương pháp:
(17)bài toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp
Khi phải phân tích đa thức thành nhân tử nên theo bước sau: - Đặt nhân tử chung tất hạng tử có nhân tử chung
- Dùng đẳng thức có
- Nhóm nhiều hạng tử( thường nhóm có nhân tử chung, đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc đổi dấu hạng tử
b Ví dụ: Phân tích Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ : 5xy2 - 20xy + 20x = 5x( y2 - 4y + 4) (Đặt nhân tử chung) = 5x (y - )2 (Dùng đẳng thức) Ví dụ 2: 3x2 + 6x + – 3y2 = 3(x2 + 2x + – y2) (Đặt nhân tử chung)
= 3[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm hạng tử) = 3[(x + 1)2 – y2] (Dùng đẳng thức) = 3(x + - y)(x + + y)
Ví dụ 3: 3x – 3y – x2 + 2xy – y2
= (3x – 3y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm hạng tử) = 3(x - y) – (x - y)2 (Dùng đẳng thức) = (x - y)[3 – (x - y)] (Đặt nhân tử chung)
= (x - y)(3 – x + y)
Ví dụ 4: 7x5y2 - 14x4y2 - 7x3y4 - 14x3y3z - 7x3y2z2 + 7x3y2
= 7x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) (Đặt nhân tử chung) = 7x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm hạng tử)
= 7x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] (Dùng đẳng thức) = 7x3y2(x - - y - z)(x - + y + z)
Ví dụ 5: 5x3y - 10x2y - 5xy3 - 10axy2 - 5a2xy +5xy
=5xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) (Đặt nhân tử chung) =5xy(x2 2x 1) (y 22ay a ) (Nhóm hạng tử) =5xy
2
x y a
(Dùng đẳng thức)
=5xyx 1 ya x 1 y a (Dùnghằngđẳng
thức)
= 5xy( x - - y - a)(x - + y +a )
Ví dụ 6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
(Bài tập 57- SBT-tr toán tập 1);
Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn
Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B). Giải:
(18)= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác ví dụ :
Quan sát ví dụ 1; ta thấy hạng tử đa thức có nhân tử chung Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau đặt nhân tử chung ta thấy hạng tử lại ngoặc có dạng đẳng thức) sau nhóm hạng tử thích hợp, dùng đẳng thức phân tích tiếp đa thức Ví dụ ta thấy hạng tử khơng có nhân tử chung, có hạng tử thứ hạng tử thứ hai có nhân tử chung, hạng tử cịn lại có dạng đẳng thức, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp tiến hành phân tích nhóm (bằng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức) xuất nhân tử chung, đa thức phân tích tiếp Các ví dụ cịn lại làm tương tự
Như để phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng phối hợp nhiều phương pháp không thiết phải theo trình tự định Các phương pháp sử cách phù hợp trường hợp, toán cụ thể
Lưu ý : Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó cách triệt để.
Ví dụ: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Học sinh đưa lời giải sau:
1) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) 2) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9)
= (x – 9)(x3 + x) (phân tích chưa triệt để) Cả hai lời giải đên chưa hoàn chỉnh
Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1)
c Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử x4 + 4x3 + 4x2
2 x3 – 6x2 + 9x
3 7x2 – 14xy + 7y2 – 28z2 x3 + 2x2y + xy2 – 9x x4- 2x2
(19)7 5x2 + 5xy – 3x – 3y 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2 Tìm x biết :
1 5x(x - 2) = x – 2 2(x + 4) – x2 – 4x = 0 9x3-
4 x =
4 (2x2 - 1) – (3x + 4)2 = 0 x2(x - 3) + 21 – 7x = 0 Tính nhanh :
1 x2 + x +
1
16 x = 49,75 x2 – y2 – 2y – tại x = 93 y = 6 Chứng minh :
1) (5n + 2)2 – chia hết cho với số nguyên n. 2) n3 – n chia hết cho với số nguyên n.
+ Khai thác ví dụ 6: Từ ví dụ ta mở rộng cho tập sau: 1) Chứng minh A chia hết cho với x, y, z nguyên
2) Cho x + y + z = Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)
Hướng dẫn:
Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) x + y + z = 0; x + y = – z
3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c-SBT-tr6)
Hướng dẫn: Dùng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
Trong chương trình sách giáo khoa Tốn hành giới thiệu bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp. Tuy nhiên phần tập lại có áp dụng bốn phương pháp để giải, (Chẳng hạn tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phương pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải toán
3.2.2 Các phương pháp khác (nâng cao)
3.2.2.1 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc hai ax2 + bx + c).
a Phương pháp:
- Tách hạng tử đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất dạng nhân tử chung có dạng đẳng thức
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử
(20)nhóm hạng tử Như để phân tích đa thức thành nhân tử chung ta cần phải có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử đa thức thành hay nhiều hạng tử
Giải:
Cách 1: (tách hạng tử bậc 2: x2
) x2 - 6x + = 3x2 - 6x - 2x2 + 8
= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4)
Cách 2: (tách hạng tử bậc 1: - 6x) x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x +
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: (tách đồng thời hạng tử bậc hạng tử tư do:) x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: (tách hạng tử tự do:)
x2 - 6x + = x2 - 6x + - 1
= (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử. Gợi ý ba cách phân tích (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách (tách hạng tử bậc hai : 3x2)
3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2
= (2x – 2)2 – x2
= (2x – – x)( 2x – + x) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2 (tách hạng tử bậc nhất: – 8x) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử tử do : 4) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
(21)- Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (Ví dụ 2 cách 1)
- Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (ví dụ cách 2)
- Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (ví dụ cách 3) Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất hiện phương pháp học như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết học sinh trong giải toán.
Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:
Nhận xét: Trong cách giải trên, hai ví dụ ta thấy cách là đơn giản dễ làm Ở ta tách hạng tử bậc - 8x (ví dụ 2) thành hạng tử - 6x - 2x Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số ở số hạng là: 3, – 6, –2, hệ số thứ thứ gấp - lần hệ số liền trước tỷ lệ
6
hay (– 6).( – 2)= 3.4 (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ xuất thừa số chung (x - 2)
Phân tích: - Trong đa thức 3x2 – 8x + có a = 3, b = – 8, c = 4
Tính tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b
(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa dạng
ax2 + b
1x + b2x + c cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1
a =
c
b2 hay b1b2 = ac
Trong thực hành ta làm sau:
Bước 1: Lập tích ac
Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b
Áp dụng:
Phân tích đa thức: – 6x2 + 7x – thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7) Ta có: a = – ; b = ; c = –
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = = + 3
Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x
(22)Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức
bậc biến
Ví dụ:3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải
Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)
Đa thức bậc hai ax2 + bx + c khơng phân tích thành tích nhân tử
trong phạm vi số hữu tỷ Nếu:
- Khi phân tích a.c tích thừa số ngun cách khơng có 2 thừa số có tổng b.
Ví dụ: đa thức x2 + 4x + có a = 1; b = => a.c = = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3)
khơng có thừa số có tổng b =
- Hoặc sau đưa đa thức bậc dạng a(x2 - k) k khơng phải là bình phương số hữu tỷ
Ví dụ: x2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) + = (x + 2)2 + = (x + 2)2 - (- 2); (-2) khơng phải bình phương số hữu tỷ Vậy đa thức x2 + 4x + không phân tích thành tích
Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thừa số : n3 – 7n + Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n +
= n(n2 – 1) – 6(n – 1)
= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6)
= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3)
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử. Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
= x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)
(23)= (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) c Bài tập áp dụng
* Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài1) a x2- 6x + b x2 + x – 10 c x2 + 7x + 8 d x2 – 14x + e 6x2 – 11x + f 9x2 + 12x – Bài 2) a 2x2 3xy + 27y2 b 2x2 – 5xy + 3y2.
Bài 3) a x2(y z) + y2(z x) + z2(x y). b xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) ;
c x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2xyz ;
d.(x + y)(x2 y2) + (y + z)(y2 z2) + (z + x)(z2 x2) ; e.x3(y z) + y3(z x) + z3(x y) ;
f.x3(z y2) + y3(x z2) + z3(y z2) + xyz(xyz 1).
Hướng dẫn: 3a Nhận xét z x = (y z) (x y) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức :
x2(y z) + y2(z x) + z2(x y)
= x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2)
= (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z)
Chú ý :
- Ở câu 3a ta tách y z = (x y) (z x) (hoặc z x= (y z) (x y))
- Đa thức câu 3.a đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức bằng Vì vậy, ngồi cách phân tích cách tách trên, ta còn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Phương pháp 10)
Bài 4) a) x3 – 4x + ; b) x3 + 7x – ; (áp dụng ví dụ 4) 3.2.2.2 Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt hạng tử a Phương pháp:
Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thường hay đưa dạng a2- b2 sau khi thêm bớt
b Ví dụ:
Thêm bớt số hạng để làm xuất đẳng thức Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử.
(24)Ta có x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2
= (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân
tử chung )
x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1)
= x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1)
= x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3: Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung)
Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x +
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) Ví dụ.2: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử.
Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung)
Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 = (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1)
= x3(x2+ x + 1) - ( x - )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + )
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: ta nhận thấy: x4 = (x2)2 = 22 để xuất đẳng thức bình phương tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 cần bớt 4x2 để giá trị đa thức không đổi
Giải:
x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Khai thác toán:
Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có tốn: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải:
Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2
= (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)
(25)4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = ( 2x2 + 9)2 - (6x)2
= (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x)
Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử.
Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + )
Ví dụ Phân tích đa thức x5 + x thành nhân tử Giải: Cách Thêm x4 , x3 , x2 bớt x4 , x3 , x2
x5 + x = x5 x4 + x3 + x4 x3 + x2 x2 + x 1
= x3(x2 x + 1) x2(x2 x + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x3 x2 1).
Cách Thêm bớt x2 :
x5 + x = x5 + x2 x2 + x = x2(x3 + 1) (x2 x + 1)
= (x2 x + 1)[x2(x + 1) 1] = (x2 x + 1)(x3 x2 1). Ví dụ 6: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử.
Giải : x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)
= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)
Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 +
1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – 1
đều có chứa nhân tử x2 + x + 1.
c) Bài tập áp dụng
Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 1) a 9x4 + ; b) 16x4 + y4 ; c.25x4 - 324 d x5 + x4 + ; e) x5 + x + ; f) x8 + x7 + ; g) x5 x4 - ; h) x7 + x5 + ; t) x8 + x4 + 1. Hướng dẫn giải:
Câu 1.a,b,c áp dụng ví dụ Câu 1.d, e ,h, f ap dụng ví dụ
Câu 1.g áp dụng ví dụ 4; câu 1.f áp dụng ví dụ
(26)Đặt ẩn phụ, đổi biến đa thức cho thành đa thức có bậc nhỏ đơn giản Thực phân tích đa thức theo phương pháp
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9x4 - 12x2 + thành nhân tử
Giải: đặt x2 = y ta 9y2 - 12y + = ( 3y - 1)(3y - 3) Vậy: 9x4 - 12x2 + = ( 3x2 - )(3x2 - 3)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x2 + 3x)2 + 3(x2 + 3x) +2 thành nhân tử. Giải: đặt x2 + 3x = y ta y2 + 3y + = (y +1)(y+2)
Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 +3 x + 1)( x2 +3 x +2) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
Hướng dẫn: Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y -12
Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12 = y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)] = (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Hướng dẫn: Biến đổi đa thức cho
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*)
Đặt x3 + 7x + 11 = y (*) = (y - 1)(y + 1) - 24 = y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)
Tương đương với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6)(x3 + 7x + 16)
Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cho có dạng :
(y 12)(y + 12) + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4)
= (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
c Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x2 + x)2 3(x2 + x) 15 ; b) x2 + 2xy + y2 x y 12 ; c) (x2 + x + 4)(x2 + x + 6) 12 ;
3.2.2.4 Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm đa thức a Phương pháp:
(27)Nếu đa thức f(x) có nghiệm a đa thức chứa nhân tử là: (x -a) - Nếu đa thức f(x)có nghiệm qp đa thức chứa nhân tử là(qx - p)
Dựa vào ta tách đa thức f(x) cho xuất hiên nhân tử (x - a) (qx - p)
Cách 2: Dựa vào định lý Bơdu
- Đa thức f(x) có nghiệm a f(x) chia hết cho (x - a) Vậy f(x) = (x-a)g(x)
Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (x-a)
- Đa thức f(x) có nghiệm qp f(x) chia hết cho (qx - p) Vậy f(x) = (qx-p)g(x)
Tìm g(x) cách lấy f(x) chia cho (qx - p) Cách tìm nghiệm đa thức
Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(a) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) a phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự
Ví dụ: xét đa thức P = x3 + 3x2 –
Nếu đa thức P có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c) hay P = (x - a)(x2 + bx + c)
=> -ac = - a ước -
Vậy đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi.(hạng tử tự do)
Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức => đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1)
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích x3 + 3x2 – thành nhân tử.
Cách 1: x3 + 3x2 - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1) +3(x - 1)(x + 1) = ( x - 1)(x + 2)2
Chú ý:
- Nếu đa thức có tổng hệ số khơng đa thức có một nghiệm (hay chứa nhân tử (x-1))
- Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng các hạng tử bậc lẻ đa thức có nghiệm (- 1) hay chứa nhân tử ( x + 1).
Ví dụ 2: a Đa thức:f(x) = x3 - 5x2 + 8x - có - + - = 0 Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) Giải: x3 - 5x2 + 8x - = x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4
(28)= (x - 1)(x - 2)2
b.Đa thức: f(x) = 5x3 - 5x2 + 3x + 13 có -5 + 13 = + 3
Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1). Vậy f(x) = ( x + 1).g(x)
ta có:g(x) = (5x3 - 5x2 + 3x + 13): (x + 1) = (5x2 – 10x +13) Suy ra: 5x3 - 5x2 + 3x + 13 = (x + 1)(5x2 – 10x +13)
+ Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng qp p ước hạng tử khơng đổi, q ước dương của hạng tử có bậc cao nhất.
Ví dụ 3: phân tích đa thức: 2x3 - 5x2 + 8x – thành nhân tử. Nghiệm hữu tỷ có đa thức là:(-1), 1, (
1
), (
3
),(
3
2),(- 3),
Sau kiểm tra ta thấy x = 12 nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x –
2 )
hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1)
Giải:
Cách 1: 2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3
= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
Cách 2: Áp dụng định lý Bơ du
f( x ) = 2x3 – 5x2 + 8x – có nhgiệm : Vậy f ( x ) = ( 2x – )g(x)
g(x ) = ( 2x3 – 5x2 + 8x – 3) : ( 2x – ) = x2 – 2x + 3. Suy f ( x ) = (2x – ) ( x2 – 2x + ).
Ví dụ 4:
Phân tích đa thức f ( x ) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 thành nhân tử. Giải:
f(x) = 5x3 – 15x2 – 32x – 12 có nghiệm -1 ( -1 ước của12.) f( x) = ( x + 1).g(x)
g(x) = (5x3 –15 x2 – 32x –12 ):( x +1) = 5x2 –20x –1. f(x ) = (x +1)(5x2 – 20x –1)
c Bài tập:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 – 5x + ; b) x3 + 17x – 16 ; c) x3 – 5x + 8x – ;
d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – ; h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – (giải nhiều cách).
(29)a Phương pháp:
Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai biến đổi cho đồng hệ số đa thức với hệ số đa thức
b.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Các hệ số 1; Ư(3) nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun
Như vậy, đa thức phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Phép nhân cho kết quả:
x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho ta
a + c = - ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd =
Xét bd = với b, d z; b { 1; 3}; với b = d = Hệ thành:
a + c = - ac =
a + bc = -14
2c = -14 + = - c = - 4; a = -
Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Chú ý: Khi biết kết ta trình bày lời giải toán sau:
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3 = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3) = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
c.Bài tập;
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4 7x3 + 14x2 7x + ; c) x4 8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2. 3.2.2.6 Phương pháp 10: Phương pháp xét giá trị riêng a Phương pháp:
Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số lại
b Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
Nên thay x y P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0
Như P chứa thừa số x - y Do vai trò x, y, z P nên P chứa (x – y) chứa (y – z) (z – x)
(30)Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích
(x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z Ta có:
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z
Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng ví dụ x = 1, y = 0, z = -1 Ta có: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2)
2 = - 2k => k = -
Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) Thật vậy: ta có x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) = (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chương III : Thực nghiệm sư phạm
1 Mục đích thực nghiệm
Kiểm tra hiệu đề tài nghiên cứu
Tìm thiếu sót, khuyết điểm biện pháp khắc phục để hoàn thiện đề tài ngày chất lượng
(31)GIÁO ÁN - TIẾT 11: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
( Ngày dạy : 27/09/2010) I MỤC TIÊU:
- Kiến thức: HS biết nhóm hạng tử thích hợp, phân tích thành nhân tử nhóm để làm xuất nhận tử chung nhóm
- Kỹ năng: Biến đổi chủ yếu với đa thức có hạng tử khơng qua biến
- Thái độ: Giáo dục tính linh hoạt tư lôgic II chuẩn bị:
GV: Bảng phụ
- HS: Học + làm đủ tập III Tiến trình dạy:
1) Ơn định tổ chức:
Lớp 8A1: 2) Kiểm tra cũ
- HS1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2-4x+4
b) x3+ 27
c) (a+b)2-(a-b)2
- HS2: Trình bày cách tính nhanh giá trị biểu thức: 522- 482 Đáp án: 1.a) (x-2)2 (2-c)2
b) (x+
1 3)(x2
-1
x
) c) 2a.2b=4a.b
522- 482 = (52+48)(52-48) = 400 3) Bài
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh *HĐ1.Hình thành pp PTĐTTNT Bằng
cách nhóm
GV: Em có nhận xét hạng tử đa thức
GV: Nếu ta coi biểu thức đa thức hạng tử khơng có nhân tử chung Nhưng ta coi biểu thức tổng đa thức đa thức ntn?
- Vậy ta coi đa thức cho tổng đa thức (x2- 3x)&(xy - 3y) là tổng đa thức
1) Ví dụ: PTĐTTNT x2- 3x + xy - 3y
x2- 3x + xy - 3y = (x2- 3x) + (xy - y)
= x(x - 3) + y(x -3) = (x- 3)(x + y) * Ví dụ 2: PTĐTTNT
2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + 6y) + (3z + xz)
(32)(x2+ xy) -3x- 3y hạng tử đa thức lại có nhân tử chung - Em viết đa thức thành tổng
đa thức tiếp tục biến đổi
- Như cách nhóm hạng tử lại với nhau, biến đổi để làm xuất nhận tử chung nhóm ta biến đổi đa thức cho thành nhân tử GV: Cách làm gọi PTĐTTNT P2 nhóm hạng tử.
HS lên bảng trình bày cách
+ Đối với đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử thích hợp lại với nhua để làm xuất nhân tử chung nhóm cuối cho ta kq Làm tập áp dụng
HĐ2 áp dụng giải tập
+ GV: Khi nhóm hạng tử thành nhóm phải ý nhóm hạng tử thích hợp để làm xuất nhân tử chung nhóm Do nhóm ta thử nghiệm nhẩm tính để cho nhóm số hạng hợp lý GV dùng bảng phụ
PTĐTTNT
- Bạn Thái làm: x4- 9x3+ x2- 9x = x(x3- 9x2+ x- 9)
- Bạn Hà làm: x4- 9x3+ x2- 9x = (x4- 9x3) +(x2- 9x) = x3(x- 9) + x(x- 9) = (x- 9)(x3+ x)
- Bạn An làm: x4- 9x3+ x2- 9x = (x4+ x2 )-(9x3+ 9x)
= x2(x2+1)- 9x(x2+1) = (x2+1)(x2- 9x) = x(x- 9)(x2+1) - GV cho HS thảo luận theo nhóm - GV: Quá trình biến đổi bạn Thái,
Hà, An, có sai chỗ khơng?
- Bạn làm đến kq cuối cùng, bạn chưa làm đến kq cuối
- GV: Chốt lại(ghi bảng)
C2: = (2xy + xz)+(3z + 6y) = x(2y + z) + 3(z + 2y) = (2y+z)(x+3)
2 áp dụng
Tính nhanh
15.64 + 25.100 + 36.15 + 60.100
= (15.64 + 6.15) + (25.100 + 60.100)
=15(64 + 36) + 100(25 + 60)=15.100 + 100.85 =1500 + 8500 = 10000
C2:
= 15(64 + 36) + 25.100 + 60.100 = 15.100 + 25.100 + 60.100 =100(15 + 25 + 60) =100.100 =10000
- Bạn An làm kq cuối x(x-9)(x2+1) nhân tử tích khơng thể phân tích thành nhân tử
- Ngược lại: Bạn Thái Hà chưa làm đến kq cuối nhân tử phân tích thành tích
(33)* HĐ3: Tổng kết
- GV: Kết luận
- PTĐTTNT biến đổi đa thức thành tích đa thức (có bậc khác 0) Trong tích khơng thể phân tích tiếp thành nhân tử
4) Củng cố:
- Làm tập 47, 48/SGK - Làm tập nâng cao 1) PTĐTTNT
a) xa + xb + ya + yb - za - zb b) a2+ 2ab + b2- c2+ 2cd - d2
c) xy(m2+n2) - mn(x2+y2) Tìm y biết:
a) y + y2- y3- y4= b) y(2y-7)-4y+14=0 5) Hướng dẫn nhà:
- Làm tập 49, 50/ SGK
- BT CMR n số tự nhiên lẻ A = n3+3n2-n-3 chia hết cho 8. - BT 31, 32 ,33/Tr6 SBT
GIÁO ÁN - TIẾT 14: LUYỆN TẬP (Ngày dạy: 06/10/2010)
I Mục tiêu : - Kiến thức:
+ HS rèn luyện phương pháp PTĐTTNT ( Ba phương pháp bản)
+ HS biết thêm phương pháp " Tách hạng tử" cộng, trừ thêm số hạng tử vào biểu thức
- Kỹ năng: PTĐTTNT cách phối hợp phương pháp
(34)II chuẩn bị: - GV: Bảng phụ
- HS: Học bài, làm tập nhà, bảng nhóm III.tiến trình dạy:
1) Ôn định tổ chức
Lớp 8A1: 2)Kiểm tra cũ:
GV: Đưa đề KT từ bảng phụ
- HS1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) xy2-2xy+x
b) x2-xy+x-y c) x2+3x+2
- HS2: Phân tích ĐTTNT 2.a) x4-2x2
b) x2-4x+3 Đáp án:
1.a) xy2-2xy+x=x(y2-2y+1)=x(y-1)2 b) x2-xy+x-y=x(x-y)+(x-y)
=(x-y)(x+1) 2) a) x4-2x2=x2(x2-2)
b) x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x+2)2-x =(x-x+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3) 3)B i m i.à
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh * HĐ1 Tổ chức luyện tập:
Chữa 52/Tr24 SGK. CMR: (5n+2)2- 45 nZ - Gọi HS lên bảng chữa
- Dưới lớp học sinh làm theo dõi chữa bạn
- GV: Chốt lại: Muốn CM biểu thức chia hết cho số nguyên a với giá trị nguyên biến, ta phải phân tích biểu thức thành nhân tử Trong có chứa nhân tử a
Chữa 55/Tr25 SGK. Tìm x biết
a) x3 -1
4x=0
1) Chữa 52/Tr24 SGK.
CMR: (5n+2)2- 45 nZ (5n+2)2- =(5n+2)2-22
=[(5n+2)-2][(5n+2)+2] =5n(5n+4)5n số nguyên
2) Chữa 55/Tr25 SGK.
a) x3 -1
4 x = x(x2 -1
(35)b) (2x-1)2-(x+3)2=0
c) x2(x-3)3+12- 4x
GV gọi HS lên bảng chữa?
- HS nhận xét làm bạn - GV chốt lại:
+ Muốn tìm x biểu thức =0 Ta biến đổi biểu thức dạng tích nhân tử + Cho nhân tử tìm giá trị biểu thức tương ứng
+ Tất giá trị x tìm thoả mãn đẳng thức cho Đó giá trị cần tìm cuả x
Chữa 54/Tr25
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3+ 2x2y + xy2- 9x
b) 2x- 2y- x2+ 2xy- y2 - HS nhận xét kq
- HS nhận xét cách trình bày
GV: Chốt lại: Ta cần ý việc đổi dấu mở dấu ngoặc đưa vào ngoặc với dấu(-) đẳng thức
* HĐ3: Câu hỏi trắc nghiệm
Bài tập ( Trắc nghiệm) - GV dùng bảng phụ
1) Kết kết luận sau sai
A (x+y)2- = (x+y+2)(x+y-2) B 25y2-9(x+y)2= (2y-3x)(8y+3x)
x[x2-(
2)2] = 0
x(x-1 2)(x+
1 2) = 0
x =
x-1
2= x=
x+
1
2= x=-1
Vậy x= x =
1
2 x=-1
b) (2x-1)2-(x+3)2 = 0
[(2x-1)+(x+3)][(2x-1)-(x+3)]=
(3x+2)(x-4) =
(3x+2) = 0 x=-2
(x- 4) = x = 4 c) x2(x-3)3+12- 4x
=x2(x-3)+ 4(3-x) =x2(x-3)- 4(x-3) =(x-3)(x2- 4) =(x-3)(x2-22)
=(x-3)(x+2)(x-2)=0 Ta có: (x-3) = x = 3 (x+2) = x =-2 (x-2) = x = 2
3)Chữa 54Tr/25
a) x3+ x2y + xy2- 9x =x[(x2+2xy+y2)-9] =x[(x+y)2-32]
=x[(x+y+3)(x+y-3)] b) 2x- 2y-x2+ 2xy- y2 = 21(x-y)-(x2-2xy+x2)
= 2(x-y)-(x-y)2=(x-y)(2- x+y)
(36)C xn+2-xny2 = xn(x+y)(x-y)
D 4x2+8xy-3x-6y = (x-2y)(4x-3) 2) Giá trị nhỏ biểu thức E= 4x2+ 4x +11 là:
A E = 10 x
=-1
2 B E =11
khi
x=-1
C E = x
=-1
2 D E =-10
khi
x=-1
Giá trị
- HS làm việc theo nhóm - Nhóm trưởng báo cáo kq
1
Câu D sai
Câu A
4) Củng cố:
- Nhắc lại cách làm, kiến thức vận dụng để làm tập trên? - Ngoài p2 đặt nhân tử chung, dùng HĐT, nhóm hạng tử ta cịn sử dụng p2 để PTĐTTNT?
5) Hướng dẫn nhà:
- Làm tập 56, 57, 58 SGK
- Đọc trước chia đơn thức cho đơn thức 3 Kết thực nghiệm :
BÀI TẬP KIỂM TRA (Thời gian : 45 phút) Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3 + 5x2 + x + 5 b) x2+ y2 + 2xy - x - y
c) x4 + 4x2 – 5 d) x3 – 6x2 + 11x -6 Câu 2: Tìm x biết 2(x + 5) - x2 - 5x = 0
Câu 3: Chứng tỏ 4x - x2 - < với x KẾT QUẢ KIỂM TRA
(37)STT Họ tên Điểm ST T
H v tờn im
1 Phạm Thái An 8 21 Ngun Thanh Hun 6
2 Cao ThÞ Lan Anh 8.5 22 Bïi Thanh Hïng 4.5
3 NguyÔn ViÖt Anh 7 23 Cao ViÖt Hïng 5
4 Cao Trí Bảo 4.5 24 Phạm Duy Hng 4
5 Nguyễn Xuân Duy 8.5 25 Lê Thanh Hơng 7
6 Khuất Thị Duyên 8 26 Đào Ngọc Kiên 7
7 Ph¹m Anh Dịng 7 27 Ngun Trung Kiên 8.5
8 Phạm Tiến Dũng 6.5 28 Chu Thị Lơng 6
9 Cao Hải Đăng 8 29 Ngun ThÕ Qun 9.5
10 Ph¹m Trêng Giang 7 30 Hoàng Hồng Thanh 8
11 Bùi ThịThanh Hằng 8 31 Ngun Thu Thủ 7
12 Hoµng Hµ Thu H»ng 7.5 32 Chu ThÞ ThuThủ 8
13 Ngun ThÞ Thu H»ng 7 33 Phïng Anh Tn 4
14 Đặng Thị Hoà 7.5 34 Ngô Trọng Anh Tuấn 9.5
15 Trịnh Đức Hoàng 9 35 Nguyễn Đức Tuệ 8
16 Nguyễn Khánh Hoàng 8 36 Cao Thị Kim Tuyến 8
17 Đỗ Quang Huy 5.5 37 Ng« Träng Anh Tó 9
18 Ngun Quang Huy 6.5 38 Ngun Ngäc Tó 7
19 Ngun Xu©n Huy 5 39 Ngun Ngäc Vinh 5
20 Bùi Thị Thanh Huyền 7.5 40 Bùi Đăng Vợng 8.5
THỐNG KÊ
- Điểm xuất sắc từ trở lên : 17em/40em ( tỉ lệ :42,5%) - Điểm từ trở lên : 36em/40em ( tỉ lệ : 90%)
- Điểm chưa đạt yêu cầu : 03em/40em ( tỉ lệ : 7,5%)
* Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau:
Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6,
Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, đẳng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức
(38)- Quan sát đặc điểm toán:
Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến)
- Nhận dạng toán:
Xét xem toán cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp)
- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán
Kinh nghiệm giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử
* Trong toán phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức
- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức
- Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức
Chý ý:
-Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền
-Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền -Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền
* Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử
* Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp
Xây dựng cho học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác
(39)dẫn giải theo đường ngắn Có học sinh tích cực tìm tịi, phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tới phương pháp giải tốn nhanh hơn, thơng minh
* Trong q trình giảng dạy tơi động viên em học sinh theo đối tượng, hướng dẫn học sinh tự học, tìm tịi tìm lời giải khác cho tập nên kết học tập em tiến rõ rệt
* Các kiến thức làm tảng cho em học tiếp chuyên để khác việc ngày u thích mơn học
* Áp dụng đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học sinh đại trà, chất lượng học tập môn học sinh nâng cao hơn, đào tạo nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, điều thể cụ thể qua kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thống kê
* So sánh :
a.Chưa áp dụng giải pháp
( Lớp năm học 2010 - 2011) Thời gian
Đầu học kỳ I đến học kỳ I
TS HS
Điểm trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%)
Chưa áp dụng giải pháp 40 25 62,5
* Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm kỹ phân tích toán, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải cịn lung tung
b) Áp dụng giải pháp
(Lớp năm học 2011 - 2012) Thời gian
Đầu học kỳ I đến học kỳ I
TS HS
Điểm trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%)
Kết áp dụng giải pháp 40 36 90
* Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn, biết nhận xét đánh giá toán trường hợp, trình bày hợp lý
Tóm lại:
(40)số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy khả tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán
PHẦN III : KẾT LUẬN
Dạy học nghệ thuật, để đạt kết cao học người thầy phải đầu tư nhiều thời gian, với cần có phương pháp thích hợp riêng để trị tự tìm kiến thức cơng sức mình, em nhớ lâu vận dụng tốt
Đối với học sinh yếu kém: Cần có q trình liên tục củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm phương pháp, vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải tốn, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tương tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK
Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm chắc phương pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
(41)tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển tư cách toàn diện cho trình tự nghiên cứu em
Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng học sinh trình cung cấp thơng tin có liên quan chương trình đại số đề cập
Giáo viên phải định hướng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán rèn luyện kĩ phân tích cách tường minh dạng tập để tìm hướng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh phát triển tư cách toàn diện, gợi say mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học tốn
Mơn tốn nói chung phân mơn đại số nói riêng rộng, phong phú bổ ích, để tiếp cận tìm hiểu nhiều hay cịn tùy thuộc vào lực, lương tâm thầy cô giáo hàng ngày đứng bục giảng
Đất nước cần đặt niềm tin vào nghiệp giáo dục Chính mà chúng ta, thầy giáo cần làm tốt nữa, thường xuyên học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy để nâng cao trình độ chun mơn góp phần đào tạo hệ học trị có đức, có tài, xứng đáng với niềm tin yêu Đảng nhân dân
Rất mong góp ý đồng nghiệp./
Đan Hà, ngày 15 tháng năm 2012 TỔ TRƯỞNG CHUYÊN MÔN NGƯỜI VIẾT
Bùi Bích Thủy Hoàng Quốc Huy
(42)TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS mơn tốn – Bộ GD&ĐT 2008
- Sách GV, SGK, SBT Toán8 THCS - Phan Đức Chính – Tơn Thân – Nhà xuất GD
- Nâng cao phát triển Tốn - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất GD
- Những vấn đề chung đổi giáo dục THCS mơn Tốn – Nhà xuất GD
5 – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 chu kỳ 2004 – 2007 mơn Tốn
6 – Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất ĐHSP
(43)