Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử Môn: Đại số Giáo viên dạy: Qn I Mét sè kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử Thế phân tích đa thức thành nhân tử ? Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức khác Phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thông thờng : a Đặt nhân tử chung b Dùng đẳng thức c Nhóm hạng tử d.Phối hợp phơng pháp Các phơng pháp khác ã ã ã ã ã Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Thêm, bớt hạng tử Đặt ẩn phụ Dùng phơng pháp hệ số bất định Nhẩm nghiệm II Phơng pháp: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử : Phơng pháp thờng đợc áp dụng để phân tích đa thức có dạng: x2 + px +q ax2 + bx + c ( a 0; a ) thành nhân tử Trớc tiên ta xét dạng toán phân tích đa thức x + px + q thành nhân tử: 1> Phân tích đa thức x2 + px + q thành nhân tử: -Nếu hệ số p tách đợc p = m + n cho m.n = q ta viết lại đa thức : x2 + px + q = x2 + ( m + n)x + m.n = ( x + m )( x + n ) * Ví dụ 1> Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 10 b) x2 - 9x + 20 c) x2 + 13x + 36 Gi¶i a) x2 + 7x + 10 = x2 + ( + )x + 2.5 = ( x + )( x + ) b) x2 - 9x + 20 = x2 + ( - - 5)x + ( - )( -5 ) = ( x - )( x - ) c) x2 + 13x + 36 = x2 + ( + )x + 4.9 = ( x + )( x + ) 2> Phân tích đa thøc ax2 + bx + c ( víi a 0; a 1) thành nhân tử * Cách làm: Bíc 1: LÊy tÝch a.c = t Bíc 2: Ph©n tích t thành hai nhân tử: t = pi qi Bớc 3: Tìm cặp nhân tử pi, qi mét cỈp pk , qk cho pk + qk = b Bíc 4: ViÕt ax2 + bx + c = ax2 + pk x + qkx + c Bíc 5: Nhóm số hạng đa nhân tử chung Ví dụ 2> Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 -3x-1 b) 3x2 - 10x - Gi¶i a) 4x2 -3x-1 B1: Ta cã : ( - ) = - B2: - = ( - 2) = ( - 4) = ( - 1).4 B3: Ta thÊy: (- 4) + = - ( = b ) B4 + B5: Do ®ã ta viÕt : 4x2 -3x-1 = 4x2 - 4x + x - = (4x2 - 4x) + (x – 1) = 4x( x - 1) + ( x - ) = ( x - )( 4x + ) * Cách làm: ã Bíc 1: LÊy tÝch a.c = t • Bíc 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = pi qi ã Bớc 3: Tìm cặp nhân tử pi, qi mét cỈp pk , qk cho pk + qk = b • Bíc 4: ViÕt ax2 + bx + c = ax2 + pkx + qkx + c ã Bớc 5: Nhóm số hạng đa nhân tử chung ã ã ã ã b) 3x2 - 10x - B1: ( - ) = - 24 B2: - 24 = (- ) 12 = ( - 12 ).2 = (-4).6 = ( - ).4 = ( -3 ).8 = ( -8 ).3 = ( -1).24 = ( -24).1 B3: Ta thÊy - 12 + = - 10 ( = b ) B4 + B5: 3x2 - 10x - =3x2 - 12x + 2x - = (3x2 - 12x) + (2x - 8) = 3x( x - ) +2(x - ) = ( x - )( 3x - ) Mét vµi øng dơng cđa phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Ví dụ 3> Giải phơng trình sau: a) x2 + 11x + 28 = b) 4x2 + 22x + 30 = - Đây phơng trình bậc 2, phơngGiải pháp giải phơng trình em cha học Tuy nhiên, nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử em đa phơng trình dạng phơng trình tích giải đợc chúng theo phơng pháp đà biết : A(x ) B(x) = A(x) = hc B(x) = a) x2 + 11x + 28 = x2 + ( + )x + 4.7 = ( x + )( x + ) = x + = hc x + = x = - hc x = -7 Vậy phơng trình đà cho có tập nghiƯm lµ S = 4; 7 b) 4x2 + 22x + 30 = 2x2 + 11x + 15 = 2x2 + 6x + 5x + 15 = 2x( x + 3) + 5( x + ) = ( x + )( 2x + 5) = x + = hay 2x + = 5 x = - hay x = Vậy tập nghiệm phơng trình đà cho 5 S 3; 2 VÝ dụ 4> Tính giá trị biểu thức sau: A = 18x3 + 24x2 - 10x t¹i x = Gặp toán nh ta thay trực tiếp giá trị x vào biểu thức ban đầu làm nhGithế ii dẫn đến phép tính toán phức tạp Vì bắt buộc ta phải phân tích đa thức đà cho thành nhân tử thay giá trị x vào biểu thức đà đợc phân tích Thật vËy, ta cã: A = 18x3 + 24x2 - 10x = 2x( 9x2 + 12x - 5) = 2x( 9x2 + 15x - 3x - ) = 2x( 3x + 5)( 3x - ) Ta thay x =- vµo biĨu thøc 2x( 3x + 5)( 3x - ) ta đợc 16 A= IV Một số cách giải khác hai dạng toán trên: * Trên hai dạng toán thờng gặp phổ biến chơng trình toán 8, nhờ ph ơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử nêu mà giải đ ợc dạng toán cách nhanh chóng hiệu Tuy nhiên, gặp toán dạng lúc sử dụng phong pháp Tùy theo đặc thù toán mà phân tích theo nhiều phơng pháp khác miễn cách ®ã nhanh nhÊt vµ dƠ hiĨu nhÊt ThËt vËy, ta phân tích toán sau theo cách khác, chẳng hạn: Ví dụ 5> Phân tích đa thức thành nhân tử a x2 -7x+12 b 4x2 -3x-1 a x2 -7x+12 C¸ch 1: Ta cã: x2 - 7x + 12 = x2 + ( - -3 )x + ( -4)( - ) = ( x - )( x - ) C¸ch 2: T¸ch sè hạng -7x thành - 4x-3x Ta có x2 -7x+12 =x2 -4x-3x +12 =(x2 -4x)-(3x -12) = x(x-4)-3(x-4) =(x-4)(x-3) C¸ch 3: Tách số hạng 12 thành 21- x2 -7x+12 =x2 -7x +21-9 =(x2 -9) - (7x-21) =(x-3) (x+3) -7(x-3) =(x-3) (x -4) ã b 4x2 -3x-1 Cách 1: Tách 4x2 thµnh x2 +3x2 Ta cã 4x2 -3x-1 =x2 +3x2 -3x-1 =(x2 -1) + (3x2 -3x) =(x-1)(x+1) +3x(x-1) =(x-1)( 4x +1) Cách 2: Tách -3x thành - 4x +x 4x2 -3x-1 = 4x2 -4x +x -1 = 4x(x-1)+ (x -1) = (x -1)(4x+1) Cách 3: Tách số hạng -1 thành - +3 4x2 -3x-1 =4x2 -3x -4 +3 =4(x-1)(x+1) -3 (x-1) =(x-1)(4x+1) * Củng cố: Nhắc lại hai dạng toán đà đợc áp dụng phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử đà trình bày tiết học ãDạng 2: Phân tích đa thức ax2 + bx + c với * Dạng 1: Phân tích đa thức dạng: x2 + px + q thành nhân tử Cách làm: T¸ch p = m + n cho m.n = q ta viết lại x2 + px + q = x2 + ( m + n)x + m.n = ( x + m )( x + n ) a vµ a 1 thµnh nhân tử Cách làm: Bớc 1: Lấy tích a.c = t Bớc 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = pi qi Bớc 3: Tìm cặp nhân tử pi , qi cặp pk , qk cho pk + qk = b Bíc 4: ViÕt ax2 + bx + c = ax2 + pkx + qkx + c Bớc 5: Nhóm số hạng đa nhân tử chung Dặn dò: Về nhà xem lại dạng toán đà giải làm tập sau: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: a) x3 – 8x2 + 12x b) 5x2 + x - 18 c) 6x2 + 23x + d) 7x2 + 15x + ... mà giải đ ợc dạng toán cách nhanh chóng hiệu Tuy nhiên, gặp toán dạng lúc sử dụng phong pháp Tùy theo đặc thù toán mà phân tích theo nhiều phơng pháp khác miễn cách nhanh dễ hiểu Thật vậy, ta... + 28 = b) 4x2 + 22x + 30 = - Đây phơng trình bậc 2, phơngGiải pháp giải phơng trình em cha học Tuy nhiên, nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử em đa phơng trình dạng phơng trình tích giải