Đang tải... (xem toàn văn)
Ch ứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:.[r]
(1)Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân http://giasuvip.net
Bài giảng số 3: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
1) Cơng thức biến đổi tổng thành tích
cosa +cosb = 2cos 2
ab cos
2
a b
cosa – cosb = -2sin 2
ab sin
2
a b
sina +sinb = 2sin 2
ab cos
2
a b
sina –sinb = 2cos 2
ab sin
2
a b
tana + tanb = sin( ) cos cos
a b
a b
tana - tanb = sin( ) cos cos
a b
a b
2) Trường hợp đặc biệt:
cos sin 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
a a a a
cos sin 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
a a a a
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức sau thành tích
2 2
1 cos cos cos
T a a a
Bài giải
Ta có
2
2
1 cos 2 1 cos 6
cos 2 1
2 2
cos 2 cos 6
cos 2 cos cos 2 cos 2 2
cos (cos 4 cos ) 2 cos cos cos
a a
T a
a a
a a a a
a a a a a a
Ví dụ 2: Chứng minh tam giác ABC ta có:
A B C
sin A sin B sin C cos cos cos
2 2
Bài giải:
Vì
2
ABC
(2)Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân http://giasuvip.net
sin os
2 2
sin os
2 2
A B C
c
C A B
c
Khi VT = sinA + sinB + sinC
2sin os 2sin os
2 2 2 2
2 cos os 2 os os
2 2 2 2
2 os os os
2 2 2
A B A B C C
c c
C A B A B C
c c c
C A B A B
c c c
4 os os os
2 2
C A B
c c c VP
( đpcm)
Ví dụ 3: Biến đổi thành tích biểu thức sau C = +sina +cosa Bài giải
Dùng cơng thức góc nhân đơi ta có 1 sin cos
C a a
2 sin 1 cos
2sin os 2 cos
2 2 2
2 cos (sin os )
2 2 2
2 cos os 2 os os
2 4 2 2 4 2
a a
a a a
c
a a a
c
a a a a
c c c
Luyện tập:
Bài 1: Biến đổi thành tích cơng thức sau: a) B =cosa +cosb +cos(a +b) +1 b) C = +sina +cosa
c) D = sinx +sin3x +sin5x +sin7x
Bài 2: Rút gọn biểu thức : A = sin sin sin
cos cos cos
a a a
a a a
(3)Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân http://giasuvip.net
a) cos A cos B cos C sinAsinBsinC
2 2
b) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC c) cos2A + cos2B + cos2C = – 2cosA.cosBcosC Bài 4: Biến đổi tổng sau thành tích:
a T2 sin2asin 22 asin 32 a
b T4 tan3xtan2 x3 tanx3
c T5 1 cos 2asina
d T6 sin cos 3a asin cos 2a a
Bài 5: Chứng minh tam giác ABC tam giác cân thoả mãn trường hợp sau đây:
2
2
2
sin sin 1
) (tan tan )
cos cos 2 cos cos 1
) (cot cot )
sin sin 2
A B
a A B
A B
A B
b A B
A B
B CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosacosb = [cos(a b) cos(a-b)]
1
sinacosb = [sin(a b) sin(a-b)]
1
sinasinb = [cos(a b) cos(a b)]
1
Ví dụ mẫu
Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức sau
a) sinxsin( ) sin( )
3 x x
= 1sin 3
4 x
b) s in x+sin (2 x) s inx.sin( x)
3
Bài giải:
a) 1s inx.(cos2 os2 )
2
(4)Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân http://giasuvip.net
1 1
s inx.(cos2 )
2 2
1 1
s inx s inx os2
4 2
1 1
s inx (sin 3 s inx)
4 4
x
c x
x
1 sin
4 x VT
(đpcm)
b) VT s in x+sin (2 x) s inx.sin( x)
3
2 1 os 2
1 os2 3 1
os(2 ) os
2 2 2 3 3
c x
c x
c x c
=1 1 os2 1 os 2 2 os(2 ) os
2 c x c 3 x c x 3 c 3
1 3
os2 os2 sin os2 sin
2 c x 2c x x 2c x x
= 3
2
= VP (đpcm)
Ví dụ 5:Cho góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: CosC(sinA + sinB) = sinCcos(A –B) Tính T = cos A + cos B Bài giải:
Vì ABC cosC cos(AB)
sin cos
2 2
ABC C AB
Ta có: cos (sinC Asin )B sin os(C c AB)
2 cos sin cos sin cos( )
2
2 cos os cos sin os cos( )
2 2
A B A B
C C A B
C A B C C
C c c A B
cos( ).cos os cos( )
2
A B A B
A B c A B
( os
2
(5)Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân http://giasuvip.net
3 3
cos cos os cos
2 2
A B B A A B B A
c
3 3
os cos cos cos
2 2
A B A B B A B A
c
3
2 os cos cos cos
2 2
3
os cos cos cos
2 2
B A A B
c
B A A B
c
3 os 0
2 3 cos 0
2
B c
A
( os 0; os
2
A B
c c )AB600
0 1
cos cos os60 os60
2
T A B c c
Luyện tập
Bài 6: Chứng minh công thức sau:
a) cos5xcos3x +sin7xsinx = cos2xcos4x b) sin5x -2sinx(cos2x +cos4x) =sinx
c) sin2x sin (2 ) sin sin( ) 3
3 x x 3 x 4
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau
a) A = )
4 cos( ) cos( ) cos( )
cos(x x x x
b) B = )
3 cos( ) cos( ) cos( )
sin( x x x x
Bài 8: Chứng minh
a) cos5x.cos3x + sin7x.sinx = cos2x.cos4x b) sin5x – 2sinx(cos2x + cos4x = sinx
c) s inxsin( x) sin( x) 1sin 3x
3
(6)Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân http://giasuvip.net
a) cos cos5 cos7
9 9