Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ

Bài giảng này cung cấp cho GV, HS một lượng kiến thức đầy đủ. Và với phương pháp trình bày theo các dạng toán thì việc giải một bất phương trình chứa căn thức trong đề thi đại học sẽ trở thành dễ dàng hơn.

Chủ đề bất phơng trình vô tỉ Mở đầu Lợc đồ để giải bất phơng trình vô tỉ đợc minh hoạ sơ theo bớc: Bớc1: Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phơng trình Bớc2: Lựa chọn phơng pháp thực hiện: Phơng pháp 1: Biến đổi tơng đơng Phơng pháp 2: Đặt ẩn phụ, bao gồm: Phơng pháp 3: a Sử dụng ẩn phụ để chuyển bất phơng trình ban đầu thành bất phơng trình với ẩn phụ b Sử dụng ẩn phụ chuyển bất phơng trình ban đầu thành bất phơng trình với ẩn phụ nhng hƯ sè vÉn cßn chøa x c Sư dơng k ẩn phụ chuyển bất phơng trình ban đầu thành bất phơng trình hệ bất phơng trình với k ẩn phụ Hàm số, bao gồm: Phơng pháp 4: a Sử dụng tính đơn điệu hàm số b Sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số Đồ thị Phơng pháp 5: Điều kiện cần đủ Phơng pháp 6: Đánh giá Chú ý: Trong trờng hợp sử dụng phơng pháp biến đổi tơng ®¬ng, chóng ta cã thĨ bá qua bíc ®Ĩ giảm thiểu độ phức tạp Nếu lựa chọn phơng pháp đặt ẩn phụ thì: a Với phơng trình không chứa tham số cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ b Với phơng trình chứa tham số phải tìm điều kiện cho ẩn phụ 91 toán sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng I phơng pháp Với dạng phơng trình bản: Dạng 1: Bất phơng trình: f( x )  g(x) > < g(x) ⇔   ≤ f (x) < g2 (x) D¹ng 2: BÊt phơng trình: f( x ) g(x) <    f( x ) ≥ > g(x) ⇔  g(x) ≥     f(x) > g (x)  Lu ý: Trong phép biến đổi ta giả sử f(x) g(x) đà có nghĩa Với bất phơng trình có chứa tham số ta thực theo bớc: Bớc1: Đặt điều kiện (nếu cần) Bớc2: Bớc3: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng chuyển bất phơng trình hệ bất phơng trình đại số, từ xác định nghiệm x Kiểm tra điều kiện cho nghiệm x tìm đợc Bớc4: Kết luận II Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: 92 Giải bất phơng trình: Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ 2( x − ) ≤ x + (1) Gi¶i BÊt phơng trình tơng đơng với: x + ⇔  2  ≤ 2(x − 1) ≤ (x + 1) x ≥ −1  ⇔  | x |≥   x − 2x − ≤ x ≥ −1   | x |≥ ⇔ − 1≤ x ≤  x  =−   ≤x ≤3 Vậy, nghiệm bất phơng trình tập { 1} [1, 3] Ví dụ 2: Giải bất phơng trình: x x+ (1) Giải Biến đổi tơng đơng bất phơng trình dạng: 93 (1) ⇔   x≤ − x≤ −     x> − x> −      x+ ≤  x<      x< ⇔   x+ >   ⇔          − x≥  x+      x + 2x ≤   1    2    − x ≥  x+   2        x≥     x ≥            1   x + ≤     x − ≥  x +          ⇔ x Vậy, nghiệm bất phơng trình x Ví dụ 3: Giải biện luận bất phơng trình: m + x > x + m (1) Giải Biến đổi tơng đơng (1) thành: x+ m <   m+ 2− x ≥ 94 Giải biện luận (I) (I) x + m ≥   m + − x > (x + m)2 (II) Chđ ®Ị 2: BÊt phơng trình vô tỉ x< m (I) x ≤ m+ - Víi − m < m + m > 1, bất phơng trình cã nghiƯm x < − m - Víi − m ≥ m + ⇔ m ≤ − 1, bÊt phơng trình có nghiệm x m + Gi¶i biƯn ln (II)  x ≥ − m x≥ −m (II) ⇔  ⇔  2  x + (2m + 1)x + m − m − <  − m − < x < − m + ⇔ −m≤x< −m+1 KÕt luËn: Víi m > 1, nghiệm bất phơng trình là: - m x < − ⇔x  m −m ≤ x < − +1 < − m + Víi m 1, nghiệm bất phơng trình là: - m x ≤ m +2 ≤ − x ≤ m +2 ⇔ −m ≤ x < −m +1  −m ≤ x < − +1 m   Ví dụ 4: Giải biện luận bất phơng trình: (m + 1) x < Giải Điều kiện: − x ≥ ⇔ x ≤ Ta xÐt hai trêng hỵp:  NÕu m + ≤ ⇔ m ≤ − 1, Khi ®ã VT ≤ VP > bất phơng trình cã nghiÖm x≤2  NÕu m + > ⇔ m > − 1, Khi ®ã nhËn xÐt r»ng hai vế bất phơng trình dơng, bình phơng hai vế, ta đợc: (m + 1)2(2 x) < (m + 1)2x > 2(m + 1)2 − ⇔x> 2( m +1) −1 ( m +1) =2− (m +1)2 < 95 Do đó, bất phơng trình có nghiệm là: (m +1)2 < x ≤ Tãm l¹i: - Víi m ≤ − 1, bất phơng trình có nghiệm x - Với m > 1, bất phơng trình có nghiệm lµ − VÝ dơ 5: (m +1)2 < x Giải bất phơng trình: 5x +1 x x (1) Giải Điều kiện:  5x + ≥   4x − ≥ ⇔ x ≥ x ≥  (*) Bất phơng trình tơng đơng với: x + x −1 ≥ 5x +1 ⇔ 9x + (4x − 1) + +1 ⇔ x( x 1) 4x (*) Vậy, bất phơng trình có nghiệm x VÝ dô 6: x( x − ) ≥ 5x Giải bất phơng trình: x −3x + + x − x +3 x 5x + (1) Giải Điều kiÖn:  x − 3x + ≥    x − 4x + ≥   x − 5x + ≥  x  ≥4 ⇔  ≤1 x Trờng hợp 1: Với x Khi đó: (1) ⇔ ⇔ x −3 , 96 ( x − )( x −2) x −2 + x −3 + ( x − )( x −3) ≥2 x −4 ⇔ ≥2 x −2 − ( x − )(x −4) x −4 ≥ x −4 − Chđ ®Ị 2: Bất phơng trình vô tỉ với x4 ta đợc VT > VP < Vậy x 4, nghiệm bất phơng trình Trờng hợp 2: Víi x ≤ Khi ®ã: (1) ⇔ (1 −x )(2 −x ) + (1 −x )(3 −x ) ≥2 (1 −x )( −x ) Víi x = 1, bất phơng trình nghiệm Với x < 1, bất phơng trình có dạng x + x ≥ −x ⇔ −x − −x ≥ −x − −x NhËn xÐt r»ng víi x < VT < VP > 0, phơng trình vô nghiệm Vậy, bất phơng trình có nghiƯm x = hc x ≥ Chó ý: Không đợc nhầm lẫn: xy = x y Nên nhớ rằng, điều x, y 0, với x, y < xy = x y Phép nhân liên hợp nhiều trờng hợp tỏ hiệu Cơ thĨ ta xÐt vÝ dơ sau: VÝ dơ 7: Giải bất phơng trình: x < x Giải Điều kiện: − 4x2 ≥ − ≤ x <  ⇔   0 < x ≤  x ≠   C¸ch 1: Thực phép nhân liên hợp: 2 (1) (1 − − x )(1 + − x ) < 3(1 + x ⇔ 4x < + −4 x ⇔3 −4 x −4 x ) > 4x − 97    x <   4x − <     − 4x ≥    | x |< ⇔ ⇔    4x − ≥   x≥  2     9(1 − 4x ) > (4x − 3)     9(1 − 4x2 ) > (4x − 3)2 x≠ ←  →  − ≤ x <  0 < x ≤   C¸ch 2: Xét hai trờng hợp dựa điều kiện ã Víi − ≤ x < (1) ⇔ −4 x  − 3x > < − 3x ⇔   − 4x2 < (1 − 3x)2  x < ⇔  ⇔ x <  13x2 − 6x > Kết hợp với điều kiện xét đợc nghiệm ã Với < x (1) ⇔ 98 −4 x > − 3x ≤ x < Chñ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ  x >   − 3x <     1 1  − 4x ≥    − ≤ x ≤ 3 < x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < x  0 < x ≤       − 3x ≥ x≤  2     − 4x > (1 − 3x)     13x − 6x < Kết hợp với điều kiện xét đợc nghiệm < x Vậy, bất phơng trình có tập nghiệm [ 1 , 0) ∪ (0 ] 2 Chú ý: Trong cách giải ta ®· dùa vµo ®iỊu kiƯn cđa Èn sè ®Ĩ biÕn đổi tơng đơng bất phơng trình Ví dụ minh hoạ việc sử dụng đẳng thức để khử dấu Ví dụ 8: Giải bất phơng trình: x +2 + x− x −2 x− > (1) Giải Viết lại bất phơng trình díi d¹ng: x − +2 ⇔ x − +1 ( x −1 +1)2 + + x − −2 ( §iỊu kiƯn x − ≥ ⇔ x Khi đó, phơng trình trở thành: x − +1 x − − )2 1 > > 3 (*) 99 x −1 + + | x −1 − 1| >  x− 1− 1≥   x− >   x ≥2 ⇔  ⇔    ⇔ ∀x KÕt hỵp với điều kiện (*) đợc x nghiệm bất phơng trình Nhận xét: Trong ví dụ việc thêm bớt vào biểu thức căn, đà nhận đợc biểu thức có dạng A2 để A = |A|, nhiên có biểu thức nh nhng dới dạng có ẩn hơn, ví dụ: x 2ax a bạn đọc hÃy thực việc biến dạng A2 để sử dụng phần tập đề nghị III Bài tập trắc nghiệm tự luận Bài tập 1: Bất phơng trình: x +4 x −3 > 2x − cã nghiƯm lµ: 14 b ≤ x ≤ Bµi tËp 2: Bất phơng trình: x +3 x + x có nghiệm là: c Đáp số khác a x Bài tập 3: Bất phơng trình: c Đáp số khác a x < 2x x +1 −1 b ≤ x ≤ > 2x + cã nghiƯm lµ: a < x < 100 b < x < c Đáp số khác Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ ⇔ x −1 x  =1 = x + ⇔ x2 − 6x + = ⇔  =5 x  VËy ®Ĩ u ≠ v, ta ph¶i cã x ∈ [ , + ∞) \ {1, 5} Vậy, nghiệm bất phơng trình x ∈ [ VÝ dô 3: , + ∞) \ {1, 5} Giải bất phơng trình: x −2 x +x≥x x + x −2 x (1) Giải Điều kiện: x 2x ≥ ⇔ x ≥   x ≥ (*) Đặt: u = x 2x , ®iỊu kiƯn u, v ≥   v = x Khi đó, bất phơng trình có dạng: uv + v2 ≥ v3 + u ⇔ (v − 1)(u − v2) ≥   v − ≥       u − v ≥   ⇔ ⇔     v − ≤       u − v ≤      x − 2x − x ≥   ⇔  x − 1≤   x − 2x − x ≤   x − 1≥ x≥ x − 2x ≥ x x≤ x − 2x ≤ x 121  x ≥ ⇔  x − 2x ≥ x x≥ ⇔ , v« nghiệm x (*) Vậy, bất phơng trình vô nghiệm III Bài tập trắc nghiệm tự luận Bài tập 1: Bất phơng trình: 7x + + 7x + 49 x + 7x − 42 < 181 − 14x cã nghiƯm lµ: a ≤ x < b ≤ x < c Đáp số khác Bài tập 2: Bất phơng trình: x −6 x +8 − x ≤x−2 cã nghiÖm là: a x Bài tập 3: Bất phơng tr×nh: b x = x −10x +16 x c Đáp số khác x3 có nghiệm là: b Vô nghiệm a x Bài tập 4: Cho bất phơng trình m x + m+ x c Đáp số khác a Giải bất phơng trình với m = b Xác định m để bất phơng trình có nghiệm Bài tập 5: Cho bất phơng trình x x x < x2 mx.2x + mx.2x x −x a Gi¶i bÊt phơng trình với m = b Xác định m để bất phơng trình có nghiệm x > IV hớng dẫn đáp số Bài tập 1: Điều kiện: 122 Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ 7x + x   7x − ≥ (*) Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ: u= 7x + vµ v = 7x −6 , víi u, v Khi đó, bất phơng trình có dạng: u + v + 2uv < 181 − (u2 + v2 − 1) ⇔ (u + v)2 + (u + v) − 182 < ⇔ (u + v + 14)(u + v − 13) < ⇔ u + v < 13 ⇔ 7x + ⇔ 49 x + 7x − 42 < 84 − 7x + 7x −6 < 13 ⇔ 14x + + 49 x + 7x − 42 < 169 Gi¶i tiếp, ta nhận đợc nghiệm x < Bài tập 2: Điều kiện x Biến đổi bất phơng trình dạng : 2( x 2)2 +2 x x2+ (*) x (2) Đặt u = x ≥   v = x Khi đó, bất phơng trình có dạng: 2u + 2v  u + v ≥  u + v ≥ ≤u+v ⇔  ⇔ 2   2u + 2v ≤ (u + v)  (u − v)2 ≤  x − ≥  x ≥ ⇔u=v≥0⇔  ⇔ ⇔x=4  x = x −  x − 5x + = VËy, nghiƯm cđa bất phơng trình x = Bài tập 3: Viết lại bất phơng trình dới dạng: 123 2( x − ) +2( x −3)2 ≤ Sư dơng phÐp biến đặt ẩn phụ u = 124 x + x − x −1 vµ v = x − Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ toán sử dụng tính chất đơn điệu hàm số I phơng pháp Sử dụng tính chất hàm số để bất giải bất phơng trình dạng toán quen thuộc Ta có hớng áp dơng sau: Híng 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Chuyển bất phơng trình dạng: f(x) > k (1) Bíc 2: XÐt hµm sè y = f(x) Dïng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử ®ång biÕn) Bíc 3: NhËn xÐt: Víi x≤x0 ⇔ f(x) f(x0) = k, bất phơng trình vô nghiệm Víi x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) = k, bất phơng trình nghiệm Vậy x > x0 nghiệm bất phơng trình Hớng 2: Thực theo bớc: Bớc 1: Chuyển bất phơng trình dạng: f(u) < f(v) (2) Bớc 2: Xét hàm số y = f(x) khoảng xác định f Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bớc 3: Khi đó: (2) ⇔ u < v II VÝ dơ minh ho¹ Ví dụ 1: Giải bất phơng trình: x +9 + 2x + > Giải Điều kiện: x+ ⇔ x ≥ −   2x + ≥ XÐt hµm sè y = f(x) = x +9 (1) + 2x + , 125 thÊy hàm số đồng biến miền x − Ta cã f(0) = 5, ®ã:  NÕu x > th× f(x) > f(0) ⇔ nghiƯm  NÕu − ≤ x ≤ th× f(x) f(0) nghiệm x +9 + x +9 2x + + 2x + > 5, nên x > 5, nên − ≤ x ≤ VËy, nghiƯm cđa bÊt ph¬ng trình x > Nhận xét: Lẽ đơng nhiên hoàn toàn thực toán phơng pháp biến đổi tơng đơng, cụ thể: x +9 ⇔2 + 2x + > ⇔ x + + 2x + + ( x +9)(2 x +4) > 25  12 − 3x <  > 12 − 3x ⇔  12 − 3x ≥    4(x + 9)(2x + 4) > (12 − 3x)2  ( x +9)(2 x +4) x > Do bạn đọc nên hiểu ví dụ mang tính minh hoạ cho phơng pháp Ví dụ 2: Giải bất phơng trình: x −2 x +3 − x −6 x +11 > x x (1) Giải Điều kiÖn: x− 1≥ ⇔ ≤ x ≤ x (*) Viết lại bất phơng trình dới dạng: x 2 x +3 (2) + (x −1)2 +2 XÐt hµm sè y = f(t) = x −1 + > x −1 t2 + + x −6 x +11 > (3 −x )2 +2 t Thấy hàm số đồng biến [1, 3] Khi (2) đợc biến đổi nh sau : 126 + −x + −x Chđ ®Ị 2: Bất phơng trình vô tỉ f(x 1) > f(3 − x) ⇔ x − > − x x > Vậy, nghiệm bất phơng trình < x III Bài tập trắc nghiệm tự luận Bài tập 1: Bất phơng trình: x +1 >7−x cã nghiƯm lµ: a x > Bài tập 2: Bất phơng trình: x +1 b x < c Đáp số khác 2x + x2 − x3 cã nghiƯm lµ: a x Bài tập 3: Bất phơng trình: x +1 + b x ≥ x +3 cã nghiÖm là: a x < Bài tập 4: Bất phơng trình: x c Đáp số khác >5 b x > c Đáp số khác + x − x cã nghiƯm lµ: a x ≤ b x Bài tập 5: Giải bất phơng trình: a x + b x x + c Đáp số khác x ≥ (x + 1)(3 − x) IV híng dÉn vµ đáp số Bài tập 1: x > Bài tập 2: x ≤ Bµi tËp 3: x > Bài tập 4: x 127 toán sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số I phơng pháp Với bất phơng trình có chøa tham sè: f(x, m) ≤ g(m), chóng ta thùc theo bớc sau: Bớc 1: Xét hàm số y = f(x, m): Bớc 2: Tìm miền xác định hàm số Tính đạo hàm y', giải phơng trình y' = Lập bảng biến thiên hàm số Kết luận cho trờng hợp nh sau: Bất phơng trình có nghiệm y g(m) x D Bất phơng trình nghiệm ®óng víi mäi x ⇔ max y ≤ g(m) x∈ D Tơng tự cho bất phơng trình f(x, m)g(m) với lời kết luận: Bất phơng trình có nghiệm max y g(m) x D Bất phơng trình nghiƯm ®óng víi mäi x ⇔ y ≥ g(m) x∈ D Chó ý: Ta ph¶i cã gi¶ thiÕt y max y tồn x D x D II Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm m để bất phơng trình: (2 +x )( x ) ≤ x2 − 2x + m − 18 nghiÖm ®óng víi mäi x ∈ [ − 2, 4] Gi¶i §Ỉt t = (2 +x )( −x ) , với x [ 2, 4] ta nhận đợc ®iỊu kiƯn cđa t lµ ≤ t ≤ Khi đó, bất phơng trình có dạng: t2 4t + 10 ≤ m XÐt hµm sè y = t2 4t + 10 Miền xác định D = [0, 3] Đạo hàm: y' = 2t 128 Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ y' = ⇔ 2t − = ⇔ t = Bảng biến thiên: t +∞ y' + − − 10 y Vậy, để bất phơng trình nghiệm với x ∈ [ − 2, 4] lµ m ≥ 10 Ví dụ 2: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm: mx m+1 x Giải Đặt X = điều kiện X x Viết lại bất phơng trình dới dạng: X +1 m(X2 + 2) ≤ X + ⇔ XÐt hµm sè y = X +1 X2 + X2 + ≥ m (2) Miền xác định D = [0, + ) Đạo hàm: y' = X 2X + ( X + )2 , y' = ⇔ − X2 − 2X + = ⇔ X = − ±  B¶ng biÕn thiªn x −∞ −1− y −1 −1 + − y' +∞ + + − +1 Tõ ®ã bất phơng trình có nghiệm m +1 Chó ý: Cịng cã thĨ kh«ng cần sử dụng ẩn phụ toán Cụ thĨ: Víi ®iỊu kiƯn x ≥ 3, ta biÕn ®ỉi bất phơng trình dạng: + x m x −1 (3) 129 + x −3 x Xét hàm số y = Miền xác định D = [3, + ) Đạo hàm: x x −3 −x y' = x − = x −3 ( x −1)2 (x − 1)2 y' = ⇔ − x = ⇔ x = Bảng biến thiên: x +∞ y' + − − y(5) 1/2 y Vậy bất phơng trình có nghiệm +1 ⇔ y(5) ≥ m ⇔ m ≤ III Bài tập tự luận Bài tập 1: Xác định m để bất phơng trình sau có nghiệm a x −2 + b x +1 ≤ m < m − x 16 −4 x Bµi tËp 2: Tìm m để bất phơng trình ( +x )(6 −x ) ≤ x2 − 2x + m nghiÖm ®óng víi mäi x∈ [ − 4, 6] Bµi tËp 3: Tìm m để bất phơng trình (3 +x )(7 −x ) ≤ x2 − 4x + m nghiƯm ®óng víi mäi x ∈ [ − 3, 7] Bµi tËp 4: Giải biện luận theo a dơng bất phơng tr×nh: n x − n x − a ≥ n 2a n a IV hớng dẫn đáp sè Bµi tËp 4: XÐt hµm sè f(x) = n x n x a Đạo hàm: f'(x) = 130 ( n n x n −1 − n (x − a )n −1 ) Chñ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ Trờng hợp Nếu n chẵn Miền xác định D = [a, + ) Đạo hàm: f'(x) = ( n x n n Bảng biến thiên x a y' − − 2a − n y n − (x − a )n −1 ) < 0, ∀x ∈ D \ {a} +∞ 2a − n a Tõ bảng biến thiên bất phơng trình tơng đơng với: f(x) ≥ f(2a) ⇔ a ≤ x ≤ 2a Trêng hợp Nếu n lẻ Miền xác định D = R Đạo hàm: f'(x) = ( n n x n −1 − n (x − a ) n− ) < ⇔ n < x n −1 n (x − a )n −1 ⇔ (x − a)n − < xn − ⇔ |x − a| < |x| ⇔ (x − a)2 < (x)2 a ⇔ − 2ax + a2 < x > Bảng biến thiên x −∞ a/2 a 2a −a y' + + + 0 || − || − y y(−a) ®ã y( − a) = y(2a) = − +∞ y(a) n 2a n a Từ bảng biến thiên bất phơng trình tơng đơng với: f( a) f(x) ≤ f(2a) ⇔ − a ≤ x ≤ 2a Vậy, nghiệm bất phơng trình a x 2a 131 toán sử dụng phơng pháp đồ thị I phơng pháp Với bất phơng trình vô tỉ chứa tham số sử dụng phơng pháp đồ thị thờng đợc thực theo bớc sau: Bớc 1: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng, biến đổi bất phơng trình hệ (gọi hệ (I)) bất phơng trình đại số Bớc 2: Xét hệ trục toạ độ Oxm ã Biểu diễn điểm M(x, m) thoả mÃn bất phơng trình (I) Giả sử tập X1, X2, , Xn ã Xác định miền X = X1 X2 Xn ã Chiếu vuông góc tập X lên trục m, giả sử đợc Im Bớc 3: Khi đó: ã Để hệ vô nghiệm m Im ã Để hệ có nghiệm m Im ã Để hệ có nghiệm đờng thẳng m = cắt tập X điểm II Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm m để bất phơng trình sau cã nghiÖm: −x ≥ m − x y Giải Đặt y = x , điều kiện y0 Khi bất phơng trình đợc chuyển thành hÖ:  x + y = (2)   x + y − m ≥ (3) 2 O x x+y=m Các điểm thoả mÃn (2) (ký hiệu X 1) thuộc nửa đờng tròn (lấy với y0) đơn vị (C) có Tam O(0,0)  BKinh R = 132 Chđ ®Ị 2: BÊt phơng trình vô tỉ Các điểm thoả mÃn (3) (ký hiệu X1) tập hợp điểm phía phơng trình đờng thằng (d): x + y m = lÊy víi y ≥ VËy, bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiƯm ⇔ X1 ∩ X2 ≠ ∅ ⇔ m Ví dụ 2: Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm: a x + x +a > a v Giải C A Đặt: D O B u  u = a + x , ®iỊu kiƯn u, v ≥   v = a x u+v=a Khi bất phơng trình đợc chuyển thành hệ: u + v > a (4)  2  u + v = 2a (5) (I) (4) tập hợp điểm phía đoạn AB đờng thẳng (d): u + v = a (5) tập hợp điểm thuộc cung CD đờng tròn (C): u2 + v2 = 2a VËy hƯ (I) cã nghiƯm vµ chØ khi: d(O, (d)) < 2a ⇔ | −a | < 2a ⇔ a2 − 4a < ⇔ < a < III Bµi tËp tù luËn Bµi tập 1: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiƯm: −x ≥ x − m Bµi tËp 2: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm nhÊt: 12 −3x ≤ x − m Bµi tập 3: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiƯm: x −9 > x − m 133 bµi toán sử dụng phơng pháp điều kiện cần đủ I phơng pháp Phơng pháp điều kiện cần đủ thờng tỏ hiệu cho lớp dạng toán " Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1: Bất phơng trình có nghiệm Dạng 2: Bất phơng trình nghiệm với xD Dạng 3: Bất phơng trình tơng đơng với phơng trình bất phơng trình khác Khi ta thực theo bớc: Bớc1: Đặt điều kiện để biểu thức bất phơng trình có nghĩa Bớc2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa việc đánh giá tÝnh ®èi xøng cđa hƯ Bíc3: KiĨm tra ®iỊu kiƯn đủ, bớc cần có đợc số kỹ có II Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm m để bất phơng trình có nghiệm nhất: x 2 m mx2 (1) Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x = x suy − x0 cịng lµ nghiƯm cđa phơng trình (1) Vậy (1) có nghiệm x0 = − x0 ⇔ x0 = Thay x0 = vào (1), ta đợc: m = Đó điều kiện cần để phơng trình có nghiệm Điều kiện đủ: Giả sử m = 0, (1) có dạng: x2 x = nghiệm bất phơng trình Vậy với m = bất phơng trình có nghiệm 134 Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ Ví dụ 2: Tìm m để bất phơng trình (2 +x )(4 −x ) ≤ x2 − 2x + m (1) nghiƯm ®óng víi mäi x∈ [ − 2, 4] Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x∈[ − 2, 4] ⇒ x = lµ nghiƯm phơng trình (1), đó: m m Đó điều kiện cần để bất phơng trình nghiệm với x [ 2, 4] Điều kiện đủ: Giả sử m 4, đó: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái, ta đợc: VT = (2 +x )( −x ) ≤ (2 + x ) + ( − x ) = BiÕn đổi vế phải dạng: VP = x2 2x + m = (x − 1)2 + m − ≥ Suy ra: (2 +x )( −x ) ≤ x2 − 2x + m VËy, víi m ≥ bất phơng trình nghiệm với x [ 2, 4] Ví dụ 3: Tìm m để tập nghiệm bất phơng trình x 2 mx chứa đoạn [ > x (1) , 1] Giải Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiÖm x∈[ 1 , 1] suy x = vµ x = lµ 4 nghiƯm cđa (1), ®ã:  m  − > 1−  16   − 2m > − m< −1  ⇔ ⇔m< m< Đó điều kiện cần để nghiệm bất phơng trình chứa [ , 1] Điều kiện đủ: Giả sử m < 1, viết lại (1) có dạng: 135 ... x = VËy, nghiệm bất phơng trình x = Ví dụ 2: Giải bất phơng trình: sinx Giải Nhận xÐt r»ng: 138 x +1 (1) Chñ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ sin x ≤   x + ≥ Do bất phơng trình tơng đơng với:... Bµi tËp 5: Giải phơng trình: a 1 x b 2(x + > 3x −x x2 + a2 )≤ − 5a x + a2 Bài tập 6: Cho bất phơng trình: mx 112 x m + c Đáp số khác Chủ đề 2: Bất phơng trình vô tỉ a Giải bất phơng trình với... 2: Giải bất phơng trình: x2 2x x 2 x Bài tập 3: Giải bất phơng trình: (4x − 1) x +1 ≤ 2x3 + 2x + Bài tập 4: Giải biện luận bất phơng trình: x2 + mx (x + m) 118 x −4 Chđ ®Ị 2: Bất phơng trình