Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

Bài giảng này cung cấp cho GV, HS một lượng kiến thức đầy đủ. Và với phương pháp trình bày theo các dạng toán thì việc giải một phương trình chứa căn thức trong đề thi đại học sẽ trở thành dễ dàng hơn.

Chủ đề 1 phơng trình vô tỉ Mở đầu Lợc đồ để giải các phơng trình vô tỉ có thể đợc minh hoạ sơ bộ theo các bớc: Bớc1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình. Bớc2: Lựa chọn phơng pháp thực hiện: Phơng pháp 1: Biến đổi tơng đơng. Phơng pháp 2: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ: a. Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành một phơng trình với một ẩn phụ. b. Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với một ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x. c. Sử dụng k ẩn phụ chuyển phơng trình ban đầu thành hệ phơng trình với k ẩn phụ. d. Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phơng trình ban đầu thành hệ phơng trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x. Phơng pháp 3: Hàm số, bao gồm: a. Sử dụng tính liên tục của hàm số. b. Sự dụng tính đơn điêu của hàm số. c. Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. d. Sử dụng định lý Lagrange. e. Sử dụng định lý Rôn. Phơng pháp 4: Đồ thị. Phơng pháp 5: Điều kiện cần và đủ. Phơng pháp 6: Đánh giá. Chú ý: 9 1. Trong trờng hợp sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng, chúng ta có thể bỏ qua bớc 1 để giảm thiểu độ phức tạp. 2. Nếu lựa chọn phơng pháp đặt ẩn phụ thì: a. Với phơng trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ. b. Với phơng trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. Thí dụ, nếu đặt t = 5x2x 2 + thì: a. Với phơng trình không chứa tham số có thể chỉ cần điều kiện t 0. b. Với phơng trình chứa tham số phải cần điều kiện t 2. tuy nhiên trong những trờng hợp có thể các em học sinh hãy chỉ ra điều kiện đúng cho ẩn phụ. 10 Chủ đề 1: Các ph ơng pháp giải ph ơng trình chứa căn thức bài toán 1 sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng I. phơng pháp Với các dạng phơng trình cơ bản: Dạng 1: Phơng trình: )m,x(f = )m,x(g f(x, m) = g(x,m)0 = )m,x(g)m,x(f (*)Dx . Lu ý rằng: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x, m) 0 và g(x, m) 0, thí dụ với phơng trình mx = 3mx2x 2 + Ta lựa chọn phép biến đổi: += 3mx2xmx 0mx 2 =+++ 0m3x)1m2(x mx 2 . Dạng 2: Phơng trình : )m,x(f = g(x,m) = )m,x(g)m,x(f 0)m,x(g&nghiaco)m,x(g 2 . Lu ý rằng: Không cần đặt điều kiện f(x, m)0. Dạng 3: Phơng trình : )m,x(f + )m,x(g = )m,x(h 11 =++ )m,x(h)m,x(g)m,x(f2)m,x(g)m,x(f 0)m,x(gvànghĩacó)m,x(g 0)m,x(fvànghĩacó)m,x(f Lu ý rằng: Không cần h(x, m)0. II. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2x3x 2 + = 2 xxm2 + . Giải Phơng trình đợc biến đổi tơng đơng về dạng: x 2 + 3x 2 = 2m + x x 2 0 += + 1mx 02x3x 2 += 1mx 2x1 . Do đó, để phơng trình có nghiệm, điều kiện là: 1 m + 1 2 0 m 1. Vậy, với 0 m 1, phơng trình có nghiệm. Chú ý: Nh vậy trong lời giải trên chúng ta đã sử dụng phơng pháp biến đổi t- ơng đơng dạng 1 cùng với việc lựa chọn điều kiện x 2 + 3x 2 0, điều này đã làm giảm đáng kể độ phức tạp của lời giải. Ví dụ 2: Cho phơng trình: 1x 2 x = m (1) a. Giải phơng trình với m = 1. b. Giải và biện luận phơng trình. Giải Phơng trình viết lại dới dạng: 1x 2 = x + m += + 22 )mx(1x 0mx = )2(1mmx2 mx 2 . (I) 12 Chủ đề 1: Các ph ơng pháp giải ph ơng trình chứa căn thức a. Với m = 1, hệ (I) đợc chuyển về dạng: = 2x2 1x x = 1. Vậy, với m = 1 phơng trình có nghiệm x = 1. b. Ta xét các trờng hợp: Với m = 0 Khi đó (2) vô nghiệm, do đó (1) vô nghiệm. Với m 0 Khi đó (I) có nghiệm (2) có nghiệm thoả mãn x m m2 1m 2 + m m2 1m 2 0 < 0m1 1m . Kết luận: - Với m 1 hoặc 1 m < 0, phơng trình có nghiệm x = m2 1m 2 + . - Với m < 1 hoặc 0 m < 1, phơng trình vô nghiệm. Ví dụ 3: Cho phơng trình: 3mxx2 2 + = x m (1) a. Giải phơng trình với m = 1. b. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm. Giải Phơng trình đợc biến đổi tơng đơng thành: =+ 22 )mx(3mxx2 0mx =+= )2(0m3mx3x)x(f mx 22 . (I) a. Với m = 1, hệ (I) đợc chuyển về dạng: =+ 04x3x 1x 2 x = 1. Vậy với m = 1 phơng trình có nghiệm x = 1. b. Phơng trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm thoả mãn xm. 13 Nhận xét rằng: (2) luôn có hai nghiệm trái dấu x 1 < x 2 . Do đó ta xét bài toán ngợc: Phơng trình (1) vô nghiệm (I) vô nghiệm (2) có nghiệm thoả mãn x 1 < x 2 < m < > m 2 S 0)m(f < > m 2 m3 03m3 2 m > 1. Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi m 1. Chú ý: Nh vậy trong bài toán trên để tìm tập D m ta đã đi xác định tập R\D m bởi điều kiện cho bài toán ngợc đợc tìm thấy đơn giản hơn Đây là một ý tởng hay cho những bài toán cần phải thực hiện nhiều điều kiện để cho phơng trình có nghiệm. Ví dụ 4: Giải phơng trình: 4x + x1 = x21 . Giải Phơng trình viết lại dới dạng: x1 + x21 = 4x + +=++ 4x)x21)(x1(2x21x1 0x21 0x1 += 1x2)x21)(x1( 2 1 x 1x += + 2 )1x2()x21)(x1( 01x2 2 1 x =+ 0x7x2 2 1 x 2 1 2 x = 0. Vậy, phơng trình có nghiệm x = 0. Chú ý: Nếu các em học sinh thấy cách thực hiện nh vậy hơi gò bó thì có thể trình bày nh sau: Điều kiện: 14 Chủ đề 1: Các ph ơng pháp giải ph ơng trình chứa căn thức + 0x21 0x1 04x 4 x 2 1 . Phơng trình viết lại dới dạng: x1 + x21 = 4x + )x21)(x1( = 2x + 1 += + 2 )1x2()x21)(x1( 01x2 =+ 0x7x2 2 1 x 2 = = 2 7 x 0x 2 1 x x = 0. Vậy, phơng trình có nghiệm x = 0. III. Bài tập trắc nghiệm và tự luận Bài tập 1: Phơng trình: 1x 2 = x 1 có nghiệm là: a. x = 1. b. x = 1. c. Đáp số khác. Bài tập 2: Phơng trình: x 3x2 + = 0 có nghiệm là: a. x = 6. b. x = 3. c. Đáp số khác. Bài tập 3: Phơng trình: x 2 + 1x + = 1 có nghiệm là: a. x = 2 51 . b. x = 0, x = 1. c. Đáp số khác. Bài tập 4: Phơng trình: x3 + + x6 = 3 có nghiệm là: a. x = 3. b. x = 6. c. Đáp số khác. Bài tập 5: Phơng trình: 15 2x3 + 1x = 3 có nghiệm là: a. x = 1. b. x = 2. c. Đáp số khác. Bài tập 6: Phơng trình: x3 + x2 = 1 có nghiệm là: a. x = 3. b. x = 1. c. Đáp số khác. Bài tập 7: Phơng trình: 9x + = 5 4x2 + có nghiệm là: a. x = 0. b. x = 2. c. Đáp số khác. Bài tập 8: Phơng trình: 4x3 + 1x2 + = 3x + có nghiệm là: a. x = 2 1 . b. x = 3. c. Đáp số khác. Bài tập 9: Phơng trình: (x + 3) 2 x10 = x 2 x 12 có nghiệm là: a. x = 3. b. x = 4. c. Đáp số khác. Bài tập 10: Phơng trình: ( x1 + x1 + 2)log 2 (x 2 x) = 0 có nghiệm là: a. x = 2 51 . b. x = 2 51 + . c. Đáp số khác. Bài tập 11: Giải và biện luận phơng trình: m 2x3x 2 + = x. Bài tập 12: Giải và biện luận phơng trình: x1 + + x1 = a. IV. hớng dẫn và đáp số Bài tập 1: x = 1. Bài tập 2: Phơng trình đợc biến đổi tơng đơng: 16 Chủ đề 1: Các ph ơng pháp giải ph ơng trình chứa căn thức 3x2 + = x =+ 2 x3x2 0x = 03x2x 0x 2 = = 3x 1x 0x x = 3. Vậy, phơng trình có nghiệm x = 3. Bài tập 3: Phơng trình đợc biến đổi tơng đơng: 1x + = 1 x 2 =+ 22 2 ) x1(1x 0x1 =+ 0]1)1 x)(1x)[(1x( 1|x| 22 =+ 0)1xx )(1x(x 1|x| 2 = = = 2 51 x 1x 0x . Vậy, phơng trình có nghiệm x = 0, x = 1, x = 2 51 . Bài tập 4: x = 3 và x = 6. Bài tập 5: x = 2. Bài tập 6: x = 1. Bài tập 7: x = 0. Bài tập 8: Điều kiện: + + + 03x 01x2 04x3 x 2 1 . Phơng trình đợc chuyển về dạng: 3x + + 1x2 + = 4x3 + (x + 3) + (2x + 1) + 2 )1x2)(3x( ++ = 3x + 4 )1x2)(3x( ++ = 0 (x + 3)(2x + 1) = 0 17 ⇔      −= −= 2 1 x 3x ⇔ x = − 2 1 . VËy, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = − 2 1 . Bµi tËp 9: x = − 3. Bµi tËp 10: x = 2 51 − . 18 . ơng pháp giải ph ơng trình chứa căn thức bài toán 1 sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng I. phơng pháp Với các dạng phơng trình cơ bản: Dạng 1: Phơng trình: . Chủ đề 1: Các ph ơng pháp giải ph ơng trình chứa căn thức bài toán 2 sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ Dạng 1 I. phơng pháp Phơng pháp dùng ẩn phụ dạng 1