Góc giữa 2 mặt phẳng

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó... Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng.[r]

Chủ đề 7.3 KHOẢNG CÁCH – GÓC

TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN

A.

KIẾN THỨC CƠ BẢN

① Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a MH , với H hình chiếu M đường thẳng a Kí hiệu: d M a

(

,

)

=MH

② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

( )

a MH , với H hình chiếu M mặt phẳng

( )

a .

Kí hiệu: d M

(

,

( )

a =

)

MH

③ Khoảng cách hai đường thẳng song song

Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường đến đường

( )

,

(

,

)

(

)

d a b =d M b =MH M Ỵ a

④ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng

( )

a song song với khoảng cách từ điểm M thuộc đường a đến mặt phẳng

( )

a :

( )

( )

(

)

, ,

d aëêé a ùûú=d Méêë a ùúû=MH M Ỵ a ⑤ Khoảng cách hai mặt phẳng song song

Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

( ) ( )

, ,

( )

A,

( )

(

( )

,

)

déëêa b ûúù=d aëéê b úùû=déëê b úûù=AH aÌ a A aỴ

⑥ Khoảng cách hai đường thẳng chéo

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a b, vng góc với đường thẳng gọi là đường vng góc chung a b, IJ gọi đoạn vng góc chung a b,

- Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

 H

M 

M

H a



M

H a b



M

H a



A B

H K



a

a

b c

J

I a

b J

I



B.

KỸ NĂNG CƠ BẢN

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước

Các bước thực hiện:

Bước Trong mặt phẳng

(

M d,

)

hạ MH ^d với H Ỵ d.

Bước Thực việc xác định độ dài MH dựa hệ thức lượng tam giác, tứ giác,

đường tròn, …

 Chú ý:

 Nếu tồn đường thẳng a qua A song song với d thì:

(

,

)

( )

,

(

)

d M d =d A d =AK A dẻ

.

Nu MA dầ =I , thì:

(

)

( )

, ,

d M d MI AI d A d =

.

b Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

( )

a

Các bước thực hiện:

Bước Tìm hình chiếu H O lên

( )

a .

- Tìm mặt phẳng

( )

b qua O vng góc với

( )

a .

- Tìm D =

( ) ( )

a Ç b .

- Trong mặt phẳng

( )

b , kẻ OH ^ D H.

 H hình chiếu vng góc O lên

( )

a .

Bước Khi OH khoảng cách từ O đến

( )

a .

 Chú ý:

 Chọn mặt phẳng

( )

b cho dễ tìm giao tuyến với

( )

a .  Nếu có đường thẳng d^

( )

a kẻ Ox/ /d cắt

( )

a H.  Nếu OA/ /

( )

a thì: d O

(

,

( )

a

)

=d A

(

,

( )

a

)

.

 Nếu OA cắt

( )

a I thì:

( )

(

)

( )

(

)

O, ,

d OI

AI d A

a

a =

2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo

 Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b, Trường hợp a  b:

- Dựng mặt phẳng

( )

a chứa a vuông góc với b B.

 



O

H

 H

O d

 H

O A

K

 H

O A

K I

b

a

B

A





M

H a

a M A

K d

A

K d

I H

- Trong

( )

a dựng BA  a A.

 AB đoạn vng góc chung.

 Trường hợp a b khơng vng góc với nhau.

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp

( )

a chứa a song song với b.

- Lấy điểm M tùy ý b dựng MM  () M

- Từ M dựng b// b cắt a A. - Từ A dựng AB MM ¢/ / cắt b B.

 AB đoạn vng góc chung.

Cách 2: (Hình b)

- Dựng mặt phẳng

( )

a ^a O,

( )

a cắt b I

- Dựng hình chiếu vng góc b b lên

( )

a

- Trong mp

( )

a , vẽ OH  b H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A.  AB đoạn vuông góc chung.

 Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b,

Cách Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vng góc chung AB a b, . - d a b

( )

, =AB

Cách Dựng mặt phẳng

( )

a chứa a song song với b Khi đó:d a b

( )

, =d b a

(

,

( )

)

Cách Dựng mặt phẳng song song chứa a b Khi đó: d a b

( )

, =d a b

(

( ) ( )

,

)

3 Phương pháp tọa độ khơng gian

a) Phương trình mặt phẳng

(

MNP

)

qua điểm M x

(

M;y ;M zM

) (

,N xN;y ;N zN

) (

,P xP;y ;P zP

)

:

+ Mặt phẳng

(

MNP

)

qua điểm M x

(

M;y ;M zM

)

có vtpt n=MN ÙMP =

(

A;B;C

)

ur uuuur uuur

có dạng:

(

M

)

(

M

)

(

M

)

z

A x x- +B y y- +C z z- = Û Ax+By C+ +D =

+ Khoảng cách từ điểm I x

(

I;y ;I zI

)

đến mặt phẳng

(

MNP

)

:

(

,( )

)

AxI 2ByI 2CzI 2 D IH d I MNP

A B C

+ + +

= =

+ +

Cơng thức tính nhanh:

(

,( )

)

(

)

MN MP MI d I MNP

MN MP Ù =

Ù

uuuur uuur uuur

b) Khoảng cách hai đường chéo AB CD, là:

(

,

)

(

)

AB CD AC d AB CD

AB CD Ù =

Ù

uuur uuur uuur

uuur uuur

c) Góc hai đường thẳng AB CD, theo công thức:

(

)

cos ,

AB CD AB CD

AB CD =

uuur uuur

uuur uuur

d) Góc hai mặt phẳng

(

ABC

)

(

MNP

)

:

(

ABC

)

có vecto pháp tuyến n1=AB ACÙ

uur uuur uuur

;

(

MNP

)

có vtpt n2=MN ÙMP

uur uuuur uuur

, đó:

(

) (

)

(

)

1

cos ,

n n ABC MNP

n n =

uur uur

uur uur 2

(

(

) (

)

)

2 2 2

1 1 2

,

A A B B C C

ABC MNP

A B C A B C

+ +

= Þ

+ + + + ;

e) Góc đường thẳng AB mặt phẳng

(

MNP

)

:

Tính u=AB r uuur

(

MNP

)

có vtpt n=MN ÙMP ur uuuur uuur

, thì:

(

)

(

)

(

(

)

)

sin , ,

un

AB MNP AB MNP

u n

= Þ

r ur

; r ur

C.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)

Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 600 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 2 a

. B 4

a

. C.

3

a

. D

3

a .

Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC và SA bằng:

A

5 a

B 5 a

. C

5 10 a

. D

2 a

.

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD. Góc đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:

A

85 arctan

17 . B

10 arctan

17 . C

85 arcsin

17 . D

85 arccos

17 .

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD. Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

A

330 arccos

110 . B

33 arccos

11 C

3 arccos

11. D

33 arccos

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA a= 3 M trung điểm cạnh

BC Góc hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:

A.

2 11 arctan

110 . B.

110 arctan

11 . C.

2 110 arctan

33 . D

2 110 arctan

11 .

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi vng góc, AB a AC= , =a diện tích tam

giác SBC

2 33

6 a

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A

330 33 a

. B

330 11 a

. C

110. 33 a

D

2 330. 33 a

Câu 7. Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABCvng cân B,

BA=BC=a , góc mp SBC( ) với mp ABC( ) 600 Gọi I tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giácSBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AI với BC

A. a

. B

3 a

. C.

2 a

. D.

6 a

.

Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300, góc ABO 600 AC=a 6 Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng

CM OA.

A

93 arctan

6 . B

31 arctan

3 . B

93 arctan

3 . D

31 arctan

2 .

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300, góc ABO 600 AC=a 6 Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai mặt phẳng

(OCM) (ABC).

A

1 arcsin

35 B

34 arcsin

35 C

14 arcsin

35 D

3 arcsin

7

Câu 10.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) 600, OB=a, OC a= 2 Gọi M trung điểm cạnh OB Góc đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng:

A

3 arcsin

4 7. B

1 arcsin

7. C

3 arcsin

2 7. D

1 arcsin

2 7.

Câu 11.Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc Góc đường thẳng AC ( )

mp OBC 600

, OB a , OC a 2 Gọi M là trung điểm cạnh OB Tính góc giữa hai mặt phẳng



AMC





ABC



bằng:

A

3 arcsin

35. B

32 arcsin

35 . C

1 arcsin

35. D

34 arcsin

35 .

Câu 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ABCD vuông A B Biết AD2a, AB BC SA a   Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD Tính

khoảng cách h từ M đến mặt phẳng



SCD



A.

6 a h 

B.

6 a h 

C.

3 a h 

D.

a h 

Câu 13.Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB a OC a ,  3 Cạnh OA vng góc với mặt phẳng (OBC), OA a 3, gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB OM.

A.

5 a h 

B.

3 a h 

C.

15 a h 

D.

3 15 a h 

Câu 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng



ABCD



, SA2a Gọi F trung điểm SC, tính góc  hai đường thẳng BF AC. A  600 B.  900 C  300 D  450

Câu 15.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy và

SA a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc  đường thẳng BM mặt

phẳng



ABC



.

A.

21 cos

7 

B

5 cos

10 

C

7 cos

14 

D

5 cos

7  

Câu 16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy và SA a Tính góc  hai mặt phẳng



SBC





SDC



.

A  900 B.  600 C  300 D  450

Câu 17.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD  1200 Các mặt

phẳng



SAB





SAD



vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm SD, thể tích khối

chóp S.ABCD

3 3

3 a

Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng



SBC



theo a.

A.

228 38 a h 

B.

228 19 a h 

C.

2 5

a h 

D.

2 19 a h 

Câu 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD  1200 Các mặt

phẳng



SAB





SAD



vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD

3

2 3

a Hãy tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC theo a.

A

2 5

a h 

B.

3 a h 

C.

6 a h 

D.

6 a h 

Câu 19.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB a Hai mặt phẳng



SAB



và



SAC



vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng



SBC



2 a

Tính góc  tạo hai đường thẳng SB AC.

A.  450 B.  900 C.  300 D  600

D.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN 3.5

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A

61 62 63

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)

Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 600

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

A 2 a

. B 4

a

. C.

3

a

. D

3

a . Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy G hình chiếu của S mặt phẳng (ABC) Gọi I trung điểm BC suy góc (SBC) với (ABC) góc SIG.

Tam giác ABC cạnh a nên

1 3.

3

a a

GI = =

Theo SIG =· 600, suy

·

.tan tan60

6

a a

SG GI= SIG= =

Vì

( )

3 AG SBC I

AI GI

ì Ç =

ïï ïí

ï =

ïïỵ nên d A SBC( ,( )) ( ,(= d G SBC))

Gọi H hình chiếu G (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI) Suy ra

2

2

3

2 6

( ,( ))

4 12 a a

GS GI a

d G SBC GH

a a GS GI

= = = =

+ +

, suy

( ,( )) ( ,( ))

a d A SBC = d G SBC =

[Cách 2] Phương pháp thể tích.

Ta có:

3

1 1 .sin60

3 2 24

S ABC

a a

V = aa =

,

3

cos60

GI a

SI = =

, suy

2 3

6

SBC

a SD =

Vậy

3

2

3

3 8

( ;( ))

4 S ABC

SBC

a

V a

d A SBC

SD a

= = =

[Cách 3] Phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I º O,

, ; / /

Ox IA Oy IC Oz GSº º (Hình vẽ)

Khi đó,

3;0;0 a

Aổỗỗỗ ữữữữử ữ

ỗố ứ,

A C

S

B

G I

H

A

C S

B

G I

z

0; ;0 a Cổỗỗỗố ửữữữứ

;

3 ;0;

6

a a

Sổỗỗỗ ửữữữữ ữ ỗố ứ, suy ra

ổ ửữ

ỗ ữ

=ỗỗ ữữ

ữ

ỗố ứ

uur 3

;0;0 a IA

,

ỉ ư÷

ỗ

=ỗỗố ữữứ uur

0; ;0 a IC

ổ ửữ

ỗ ữ

=ỗỗ ữữ

ữ

ỗố ứ

uur 3

;0;

6

a a

IS

, suy

, 3 ( ,( ))

4 ,

IC IS IA a d A SBC

IC IS

é ù

ê ú

ë û

= =

é ù

ê ú

ë û

uur uur uur

uur uur

Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC và SA bằng:

A

5 a

B 5 a

. C

5 10 a

. D

2 a

. Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi M, N trung điểm hai cạnh AB BC Gọi H hình chiếu G lên đường thẳng qua A song song với CG GK đường cao tam giác GHS.

Khi đó, d GC SA( , )=d GC SAH( ,( ))=GK Ta có:

3 a AG =

; ·

(

SA ABC,( )

)

=SAG· =600Þ SG=AG.tan600=a,

2 a GH =AM =

, suy

2

( , )

5 GS GH a d GC SA GK

GS GH

= = =

+

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Gº O, Ox GA Oy NC Oz GSº , / / , º (Hình vẽ)

Khi ú,

3;0;0 a

Aổỗỗỗ ữữữữử ữ

ỗố ứ,

3; ;0

a a

Cổỗỗỗ- ửữữữữ ữ

ỗố ứ;S

(

0;0;a

)

, suy GS

(

0;0;a

)

uur

,

3; ;0

a a

GCổỗỗỗ- ửữữữữ ữ

ỗố ứ

uuur

, A

S

B

C

M G N

H K

S

A

B

C K

H

G z

x

3;0; a

ASổỗỗỗ- aữữữữử ữ

ỗố ứ

uuur

suy

, 5

( , )

5 ,

GC AS GS a d SA GC

GC AS é ù ê ú ë û = = é ù ê ú ë û

uuur uuur uur

uuur uuur

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD. Góc đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:

A

85 arctan

17 . B

10 arctan

17 . C

85 arcsin

17 . D

85 arccos

17 . Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi M trung điểm CD, kẻ GK song song với SO cắt OM K, suy K hình chiếu G mp(ABCD),

suy ·

(

BG ABCD,( )

)

=GBK· Ta có: 2 a AO = , 10 a SO = , 10 a GK = SO=

,

vì

2 OK = OM

nên

a OK =

, suy

34 a BK = ·

(

)

· 85

tan ,( ) tan

17 GK

BG ABCD GBK

BK

= = =

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox OC Oy OD Oz OSº , º , º Khi đó,

2

0; ;0

2 a

Bổỗỗỗ - ửữữữữ ữ

ỗố ứ,

2; 2; 10

6 6

a a a

Gổỗỗỗ ửữữữữ ữ ỗố ứ; 10 0;0; a Sổỗỗỗ ửữữữữ

ữ

ỗố ứ.

Suy

(

)

2 2 10 2

; ; 1;4;

6 6

a a a a a

BGổỗỗỗ ửữữ=ữữ = n

ữ

ỗố ứ

uuur r

,

(

)

10 10 10

0;0; 0;0;1

2 2

a a a

OSổỗỗỗ ửữữ=ữữ = k ữ

ỗố ứ

uur r

· · 17 · 85

sin( ,( )) cos( ,( )) tan( ,( ))

22 22 17

n k

BG ABCD BG ABCD BG ABCD

n k

= = Þ = Þ =

r r

r r

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD.

Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

A

330 arccos

110 . B

33 arccos

11 C

3 arccos

11. D

33 arccos

22 Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi M trung điểm CD Gọi E =BD AMÇ , suy GE/ /SA Suy

(

·BG SA,

)

=

(

·BG GE,

)

Vì G, E trọng tâm tam giác SCD ACD nên

1

3

a GE= SA=

Kẻ GK song song với SO cắt OM K,

suy K hình chiếu G mp(ABCD)

Ta có:

2 a AO =

,

10 a SO =

,

1 10

3

a GK = SO=

2 a BE =

Vì

2 OK = OM

nên

a OK =

, suy

34 11

6

a a

BK = Þ BG=

Xét tam giác BEG, có

2 a BE =

,

3 a GE =

,

11 a BG =

,

suy

· 2 33

cos

2 11

BG GE BE

BGE

BG GE

+

-= =

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz,

với Ox OC Oy OD Oz OSº , º , º

Khi đó,

2

0; ;0

2 a

Bổỗỗỗ - ửữữữữ ữ

ỗố ứ

2 10

; ;

6 6

a a a

Gổỗỗỗ ửữữữữ ữ

ỗố ứ;

10 0;0;

2 a Sổỗỗỗ ửữữữữ

ữ

ỗố ứ,

2;0;0 a

Aổỗỗỗ- ửữữữữ ữ

ỗố ứ,

suy

(

)

2 2 10 2

; ; 1;4;

6 6

a a a a a

BGổỗỗỗ ửữữ=ữữ = n

ữ

ỗố ứ

uuur r

,

(

)

2;0; 10 1;0; 5 2.

2 2

a a a a

ASổỗỗỗ ửữữ=ữữ = k ữ

ỗố ứ

uuur r

Suy

·

cos( , )

11

nk BG SA

n k

= =

r r

r r

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA a= 3 M trung điểm cạnh BC Góc hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:

A.

2 11 arctan

110 . B.

110 arctan

11 . C.

2 110 arctan

33 . D

2 110 arctan

11 . Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình

Gọi O tâm hình vng ABCD, Gọi E=AC DMÇ suy E trọng tâm tam giác BCD Gọi

I hình chiếu O lên mặt phẳng (SBC), I thuộc đường thẳng SM, suy hình chiếu H E

lên mặt phẳng (SBC) nằm đoạn thẳng CI

2 CH

CI = . A

B C

D S

O

G

K E

Kẻ HK ^SM K



HK CM/ /



, ·

(

(SDM),(SBC)

)

=(HK EK· , )

Ta có:

2 10

2 a SO= SA - OA =

, 2

2 110

3 33

SOOM a EH OI SO OM = = = + a HK = CM =

Suy

·

(

)

·

tan (SDM),(SBC) =tan(HK EK, ) tan· 110 11 HKE

= =

[Cách 2] Phương pháp thể tích.

Đặt

·

(

(SDM),(SBC)

)

j =

suy

( ,( )) sin

( , ) d C SDM

d C SM j =

Ta có ( ; )

a d C SM =CM =

,

3

( ;( )) C SDM

SDM

V d C SDM

S =

3

1. . 10.

3 24

S CDM CDM

a

V = SO SD =

Tam giác SDM có

11 a SM = , a DM =

và SD=a 3, suy

2 51

8

SDM

a SD =

, suy 10 ( ,( )) 51 C SDM SDM V a

d C SDM

S

= =

suy

j = ( ,( ))=2 10 sin

( , ) 51 d C SDM

d C SM

j

Þ tan =2 110 11 .

[Cách 3]Phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox OC Oy OB Oz OSº , º , º

Khi đó,

2

0; ;0

2 a

Dổỗỗỗ - ửữữữữ ữ

ỗố ứ,

2; 2;0

4

a a

Mổỗỗỗ ửữữữữ ữ ỗố ứ; 10 0;0; a Sổỗỗỗ ửữữữữ

ữ

ỗố ứ, 0; ;0 ;2 2;0;0

a a

Bỗổốỗỗ ổứ ốữữữCỗỗỗ ữữữửứ

suy

(

)

ổ ửữ ỗ ữ =ỗỗ ữữ= = ữ ỗố ứ

uuuur 2 2 2 2 ur

; ;0 1;3;0

4 4

a a a a

DM x , ổ ữử ỗ ữ =ỗỗ - ữữ ữ ỗố ứ

uuur 2 2 10

; ;

4

a a a

SM

(

)

= 1;1; 5- = .ur

4

a a y

(

)

ổ ửữ

ỗ

=ỗỗố - ứữữ= - =

uuur r

; ;0 1; 1;0

2 2

a a a a

(

)

ỉ ư÷

ỗ ữ

=ỗỗ - ữữ= - =

ữ

ỗố ứ

uur 10 r

;0; 1;0; 10

2 2

a a a a

SC v

, n=[ , ]x y = -

(

5;2 5; 2-

)

r ur ur

(

)

[ , ] 10; 10; kr= u vr r =

- Suy

11 cos

51

n k n k

j = =

r r

r r 2 110

tan

11 j