- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó... Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng.[r]
(1)Chủ đề 7.3 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
① Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a MH , với H hình chiếu M đường thẳng a Kí hiệu: d M a( , ) =MH
② Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng( )a MH , với H hình chiếu M mặt phẳng ( )a .
Kí hiệu: d M( ,( )a =) MH
③ Khoảng cách hai đường thẳng song song
Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường đến đường
( ), ( , ) ( )
d a b =d M b =MH M Ỵ a
④ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song
Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng ( )a song song với khoảng cách từ điểm M thuộc đường a đến mặt phẳng ( )a :
( ) ( ) ( )
, ,
d aëêé a ùûú=d Méêë a ùúû=MH M Ỵ a ⑤ Khoảng cách hai mặt phẳng song song
Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
( ) ( ), ,( ) A,( ) ( ( ), )
déëêa b ûúù=d aëéê b úùû=déëê b úûù=AH aÌ a A aỴ
⑥ Khoảng cách hai đường thẳng chéo
- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a b, vng góc với đường thẳng gọi là đường vng góc chung a b, IJ gọi đoạn vng góc chung a b,
- Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng
H
M
M
H a
M
H a b
M
H a
A B
H K
a
a
b c
J
I a
b J
I
(2)B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước
Các bước thực hiện:
Bước Trong mặt phẳng (M d, ) hạ MH ^d với H Ỵ d.
Bước Thực việc xác định độ dài MH dựa hệ thức lượng tam giác, tứ giác,
đường tròn, …
Chú ý:
Nếu tồn đường thẳng a qua A song song với d thì:
( , ) ( ), ( )
d M d =d A d =AK A dẻ
.
Nu MA dầ =I , thì:
( )
( ) , ,
d M d MI AI d A d =
.
b Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng( )a
Các bước thực hiện:
Bước Tìm hình chiếu H O lên ( )a .
- Tìm mặt phẳng ( )b qua O vng góc với ( )a .
- Tìm D =( ) ( )a Ç b .
- Trong mặt phẳng ( )b , kẻ OH ^ D H.
H hình chiếu vng góc O lên ( )a .
Bước Khi OH khoảng cách từ O đến ( )a .
Chú ý:
Chọn mặt phẳng( )b cho dễ tìm giao tuyến với( )a . Nếu có đường thẳng d^( )a kẻ Ox/ /d cắt( )a H. Nếu OA/ /( )a thì: d O( ,( )a ) =d A( ,( )a ).
Nếu OA cắt ( )a I thì:
( )
( )
( )
( )
O, ,
d OI
AI d A
a
a =
2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo
Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b, Trường hợp a b:
- Dựng mặt phẳng ( )a chứa a vuông góc với b B.
O
H
H
O d
H
O A
K
H
O A
K I
b
a B
A
M
H a
a M A
K d
A
K d
I H
(3)- Trong ( )a dựng BA a A.
AB đoạn vng góc chung.
Trường hợp a b khơng vng góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)
- Dựng mp ( )a chứa a song song với b.
- Lấy điểm M tùy ý b dựng MM () M
- Từ M dựng b// b cắt a A. - Từ A dựng AB MM ¢/ / cắt b B.
AB đoạn vng góc chung.
Cách 2: (Hình b)
- Dựng mặt phẳng ( )a ^a O, ( )a cắt b I
- Dựng hình chiếu vng góc b b lên ( )a
- Trong mp( )a , vẽ OH b H.
- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B
- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A. AB đoạn vuông góc chung.
Khoảng cách hai đường thẳng chéo a b,
Cách Dùng đường vuông góc chung:
- Tìm đoạn vng góc chung AB a b, . - d a b( ), =AB
Cách Dựng mặt phẳng( )a chứa a song song với b Khi đó:d a b( ), =d b a( ,( ))
Cách Dựng mặt phẳng song song chứa a b Khi đó: d a b( ), =d a b(( ) ( ), )
3 Phương pháp tọa độ khơng gian
a) Phương trình mặt phẳng (MNP) qua điểm M x( M;y ;M zM) (,N xN;y ;N zN) (,P xP;y ;P zP):
+ Mặt phẳng (MNP) qua điểm M x( M;y ;M zM) có vtpt n=MN ÙMP =(A;B;C)
ur uuuur uuur
có dạng:
( M) ( M) ( M) z
A x x- +B y y- +C z z- = Û Ax+By C+ +D =
+ Khoảng cách từ điểm I x( I;y ;I zI) đến mặt phẳng (MNP):
( ,( )) AxI 2ByI 2CzI 2 D IH d I MNP
A B C
+ + +
= =
+ +
Cơng thức tính nhanh:
( ,( )) ( ) MN MP MI d I MNP
MN MP Ù =
Ù
uuuur uuur uuur
(4)b) Khoảng cách hai đường chéo AB CD, là:
( , ) ( ) AB CD AC d AB CD
AB CD Ù =
Ù
uuur uuur uuur
uuur uuur
c) Góc hai đường thẳng AB CD, theo công thức:
( )
cos ,
AB CD AB CD
AB CD =
uuur uuur
uuur uuur
d) Góc hai mặt phẳng (ABC) (MNP):
(ABC)
có vecto pháp tuyến n1=AB ACÙ
uur uuur uuur
; (MNP) có vtpt n2=MN ÙMP
uur uuuur uuur
, đó:
( ) ( )
( )
1
cos ,
n n ABC MNP
n n =
uur uur
uur uur 2 (( ) ( ))
2 2 2
1 1 2
,
A A B B C C
ABC MNP
A B C A B C
+ +
= Þ
+ + + + ;
e) Góc đường thẳng AB mặt phẳng (MNP) :
Tính u=AB r uuur
(MNP) có vtpt n=MN ÙMP ur uuuur uuur
, thì:
( )
( ) ( ( ))
sin , ,
un
AB MNP AB MNP
u n
= Þ
r ur
; r ur
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 600 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A 2 a
. B 4
a
. C.
3
a
. D
3
a .
Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC và SA bằng:
A
5 a
B 5 a
. C
5 10 a
. D
2 a
.
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD. Góc đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A
85 arctan
17 . B
10 arctan
17 . C
85 arcsin
17 . D
85 arccos
17 .
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD. Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A
330 arccos
110 . B
33 arccos
11 C
3 arccos
11. D
33 arccos
(5)Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA a= 3 M trung điểm cạnh
BC Góc hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.
2 11 arctan
110 . B.
110 arctan
11 . C.
2 110 arctan
33 . D
2 110 arctan
11 .
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đơi vng góc, AB a AC= , =a diện tích tam
giác SBC
2 33
6 a
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A
330 33 a
. B
330 11 a
. C
110. 33 a
D
2 330. 33 a
Câu 7. Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vng góc với mặt đáy, tam giác ABCvng cân B,
BA=BC=a , góc mp SBC( ) với mp ABC( ) 600 Gọi I tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giácSBC Tính khoảng cách hai đường thẳng AI với BC
A. a
. B
3 a
. C.
2 a
. D.
6 a
.
Câu 8. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300, góc ABO 600 AC=a 6 Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai đường thẳng
CM OA.
A
93 arctan
6 . B
31 arctan
3 . B
93 arctan
3 . D
31 arctan
2 .
Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, góc OCB 300, góc ABO 600 AC=a 6 Điểm M nằm cạnh AB cho AM = BM Tính góc hai mặt phẳng
(OCM) (ABC).
A
1 arcsin
35 B
34 arcsin
35 C
14 arcsin
35 D
3 arcsin
7
Câu 10.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Góc đường thẳng AC mp(OBC) 600, OB=a, OC a= 2 Gọi M trung điểm cạnh OB Góc đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng:
A
3 arcsin
4 7. B
1 arcsin
7. C
3 arcsin
2 7. D
1 arcsin
2 7.
Câu 11.Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc Góc đường thẳng AC ( )
mp OBC 600
, OB a , OC a 2 Gọi M là trung điểm cạnh OB Tính góc giữa hai mặt phẳng AMC ABC bằng:
A
3 arcsin
35. B
32 arcsin
35 . C
1 arcsin
35. D
34 arcsin
35 .
(6)Câu 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ABCD vuông A B Biết AD2a, AB BC SA a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, gọi M trung điểm AD Tính
khoảng cách h từ M đến mặt phẳng SCD
A.
6 a h
B.
6 a h
C.
3 a h
D.
a h
Câu 13.Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB a OC a , 3 Cạnh OA vng góc với mặt phẳng (OBC), OA a 3, gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB OM.
A.
5 a h
B.
3 a h
C.
15 a h
D.
3 15 a h
Câu 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng
ABCD
, SA2a Gọi F trung điểm SC, tính góc hai đường thẳng BF AC. A 600 B. 900 C 300 D 450
Câu 15.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy và
SA a Gọi M trung điểm SC Tính cơsin góc đường thẳng BM mặt
phẳng ABC.
A.
21 cos
7
B
5 cos
10
C
7 cos
14
D
5 cos
7
Câu 16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy và SA a Tính góc hai mặt phẳng SBC SDC .
A 900 B. 600 C 300 D 450
Câu 17.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD 1200 Các mặt
phẳng SAB SAD vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm SD, thể tích khối
chóp S.ABCD
3 3
3 a
Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng SBC theo a.
A.
228 38 a h
B.
228 19 a h
C.
2 5
a h
D.
2 19 a h
Câu 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD 1200 Các mặt
phẳng SAB SAD vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD
3
2 3
a Hãy tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC theo a.
A
2 5
a h
B.
3 a h
C.
6 a h
D.
6 a h
(7)Câu 19.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB a Hai mặt phẳng SAB
và SAC vng góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC
2 a
Tính góc tạo hai đường thẳng SB AC.
A. 450 B. 900 C. 300 D 600 D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5
1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63
(8)II –HƯỚNG DẪN GIẢI
KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc mặt bên với mặt đáy 600
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A 2 a
. B 4
a
. C.
3
a
. D
3
a . Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy G hình chiếu của S mặt phẳng (ABC) Gọi I trung điểm BC suy góc (SBC) với (ABC) góc SIG.
Tam giác ABC cạnh a nên
1 3.
3
a a
GI = =
Theo SIG =· 600, suy
·
.tan tan60
6
a a
SG GI= SIG= =
Vì
( )
3 AG SBC I
AI GI
ì Ç =
ïï ïí
ï =
ïïỵ nên d A SBC( ,( )) ( ,(= d G SBC))
Gọi H hình chiếu G (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI) Suy ra
2
2
3
2 6
( ,( ))
4 12 a a
GS GI a
d G SBC GH
a a GS GI
= = = =
+ +
, suy
( ,( )) ( ,( ))
a d A SBC = d G SBC =
[Cách 2] Phương pháp thể tích.
Ta có:
3
1 1 .sin60
3 2 24
S ABC
a a
V = aa =
,
3
cos60
GI a
SI = =
, suy
2 3
6
SBC
a SD =
Vậy
3
2
3
3 8
( ;( ))
4 S ABC
SBC
a
V a
d A SBC
SD a
= = =
[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với I º O,
, ; / /
Ox IA Oy IC Oz GSº º (Hình vẽ)
Khi đó,
3;0;0 a
Aổỗỗỗ ữữữữử ữ
ỗố ứ,
A C
S
B
G I
H
A
C S
B
G I
z
(9)0; ;0 a Cổỗỗỗố ửữữữứ
;
3 ;0;
6
a a
Sổỗỗỗ ửữữữữ ữ ỗố ứ, suy ra
ổ ửữ
ỗ ữ
=ỗỗ ữữ
ữ
ỗố ứ
uur 3
;0;0 a IA
,
ỉ ư÷
ỗ
=ỗỗố ữữứ uur
0; ;0 a IC
ổ ửữ
ỗ ữ
=ỗỗ ữữ
ữ
ỗố ứ
uur 3
;0;
6
a a
IS
, suy
, 3 ( ,( ))
4 ,
IC IS IA a d A SBC
IC IS
é ù
ê ú
ë û
= =
é ù
ê ú
ë û
uur uur uur
uur uur
Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) 600 Khoảng cách hai đường thẳng GC và SA bằng:
A
5 a
B 5 a
. C
5 10 a
. D
2 a
. Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N trung điểm hai cạnh AB BC Gọi H hình chiếu G lên đường thẳng qua A song song với CG GK đường cao tam giác GHS.
Khi đó, d GC SA( , )=d GC SAH( ,( ))=GK Ta có:
3 a AG =
; ·
(SA ABC,( ))=SAG· =600Þ SG=AG.tan600=a,
2 a GH =AM =
, suy
2
( , )
5 GS GH a d GC SA GK
GS GH
= = =
+
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Gº O, Ox GA Oy NC Oz GSº , / / , º (Hình vẽ)
Khi ú,
3;0;0 a
Aổỗỗỗ ữữữữử ữ
ỗố ứ,
3; ;0
a a
Cổỗỗỗ- ửữữữữ ữ
ỗố ứ;S(0;0;a)
, suy GS(0;0;a) uur
,
3; ;0
a a
GCổỗỗỗ- ửữữữữ ữ
ỗố ứ
uuur
, A
S
B
C
M G N
H K
S
A
B
C K
H
G z
x
(10)3;0; a
ASổỗỗỗ- aữữữữử ữ
ỗố ứ
uuur
suy
, 5
( , )
5 ,
GC AS GS a d SA GC
GC AS é ù ê ú ë û = = é ù ê ú ë û
uuur uuur uur
uuur uuur
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD. Góc đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A
85 arctan
17 . B
10 arctan
17 . C
85 arcsin
17 . D
85 arccos
17 . Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M trung điểm CD, kẻ GK song song với SO cắt OM K, suy K hình chiếu G mp(ABCD),
suy ·
(BG ABCD,( ))=GBK· Ta có: 2 a AO = , 10 a SO = , 10 a GK = SO=
,
vì
2 OK = OM
nên
a OK =
, suy
34 a BK = ·
( ) · 85
tan ,( ) tan
17 GK
BG ABCD GBK
BK
= = =
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox OC Oy OD Oz OSº , º , º Khi đó,
2
0; ;0
2 a
Bổỗỗỗ - ửữữữữ ữ
ỗố ứ,
2; 2; 10
6 6
a a a
Gổỗỗỗ ửữữữữ ữ ỗố ứ; 10 0;0; a Sổỗỗỗ ửữữữữ
ữ
ỗố ứ.
Suy ( )
2 2 10 2
; ; 1;4;
6 6
a a a a a
BGổỗỗỗ ửữữ=ữữ = n
ữ
ỗố ứ
uuur r
,
( )
10 10 10
0;0; 0;0;1
2 2
a a a
OSổỗỗỗ ửữữ=ữữ = k ữ
ỗố ứ
uur r
· · 17 · 85
sin( ,( )) cos( ,( )) tan( ,( ))
22 22 17
n k
BG ABCD BG ABCD BG ABCD
n k
= = Þ = Þ =
r r
r r
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA a= 3 Gọi G trọng tâm tam giác SCD.
Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A
330 arccos
110 . B
33 arccos
11 C
3 arccos
11. D
33 arccos
22 Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M trung điểm CD Gọi E =BD AMÇ , suy GE/ /SA Suy (·BG SA, )=(·BG GE, )
(11)Vì G, E trọng tâm tam giác SCD ACD nên
1
3
a GE= SA=
Kẻ GK song song với SO cắt OM K,
suy K hình chiếu G mp(ABCD)
Ta có:
2 a AO =
,
10 a SO =
,
1 10
3
a GK = SO=
2 a BE =
Vì
2 OK = OM
nên
a OK =
, suy
34 11
6
a a
BK = Þ BG=
Xét tam giác BEG, có
2 a BE =
,
3 a GE =
,
11 a BG =
,
suy
· 2 33
cos
2 11
BG GE BE
BGE
BG GE
+
-= =
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz,
với Ox OC Oy OD Oz OSº , º , º
Khi đó,
2
0; ;0
2 a
Bổỗỗỗ - ửữữữữ ữ
ỗố ứ
2 10
; ;
6 6
a a a
Gổỗỗỗ ửữữữữ ữ
ỗố ứ;
10 0;0;
2 a Sổỗỗỗ ửữữữữ
ữ
ỗố ứ,
2;0;0 a
Aổỗỗỗ- ửữữữữ ữ
ỗố ứ,
suy ( )
2 2 10 2
; ; 1;4;
6 6
a a a a a
BGổỗỗỗ ửữữ=ữữ = n
ữ
ỗố ứ
uuur r
,
( )
2;0; 10 1;0; 5 2.
2 2
a a a a
ASổỗỗỗ ửữữ=ữữ = k ữ
ỗố ứ
uuur r
Suy
·
cos( , )
11
nk BG SA
n k
= =
r r
r r
Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SA a= 3 M trung điểm cạnh BC Góc hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A.
2 11 arctan
110 . B.
110 arctan
11 . C.
2 110 arctan
33 . D
2 110 arctan
11 . Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi O tâm hình vng ABCD, Gọi E=AC DMÇ suy E trọng tâm tam giác BCD Gọi
I hình chiếu O lên mặt phẳng (SBC), I thuộc đường thẳng SM, suy hình chiếu H E
lên mặt phẳng (SBC) nằm đoạn thẳng CI
2 CH
CI = . A
B C
D S
O
G
K E
(12)Kẻ HK ^SM KHK CM/ / , ·
((SDM),(SBC))=(HK EK· , )
Ta có:
2 10
2 a SO= SA - OA =
, 2
2 110
3 33
SOOM a EH OI SO OM = = = + a HK = CM =
Suy
·
( ) ·
tan (SDM),(SBC) =tan(HK EK, ) tan· 110 11 HKE
= =
[Cách 2] Phương pháp thể tích.
Đặt
·
((SDM),(SBC))
j =
suy
( ,( )) sin
( , ) d C SDM
d C SM j =
Ta có ( ; )
a d C SM =CM =
,
3
( ;( )) C SDM
SDM
V d C SDM
S =
3
1. . 10.
3 24
S CDM CDM
a
V = SO SD =
Tam giác SDM có
11 a SM = , a DM =
và SD=a 3, suy
2 51
8
SDM
a SD =
, suy 10 ( ,( )) 51 C SDM SDM V a
d C SDM
S
= =
suy
j = ( ,( ))=2 10 sin
( , ) 51 d C SDM
d C SM
j
Þ tan =2 110 11 .
[Cách 3]Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox OC Oy OB Oz OSº , º , º
Khi đó,
2
0; ;0
2 a
Dổỗỗỗ - ửữữữữ ữ
ỗố ứ,
2; 2;0
4
a a
Mổỗỗỗ ửữữữữ ữ ỗố ứ; 10 0;0; a Sổỗỗỗ ửữữữữ
ữ
ỗố ứ, 0; ;0 ;2 2;0;0
a a
Bỗổốỗỗ ổứ ốữữữCỗỗỗ ữữữửứ
suy ( ) ổ ửữ ỗ ữ =ỗỗ ữữ= = ữ ỗố ứ
uuuur 2 2 2 2 ur
; ;0 1;3;0
4 4
a a a a
DM x , ổ ữử ỗ ữ =ỗỗ - ữữ ữ ỗố ứ
uuur 2 2 10
; ;
4
a a a
SM
( )
= 1;1; 5- = .ur
4
a a y
( )
ổ ửữ
ỗ
=ỗỗố - ứữữ= - =
uuur r
; ;0 1; 1;0
2 2
a a a a
(13)( )
ỉ ư÷
ỗ ữ
=ỗỗ - ữữ= - =
ữ
ỗố ứ
uur 10 r
;0; 1;0; 10
2 2
a a a a
SC v
, n=[ , ]x y = -( 5;2 5; 2- ) r ur ur
( )
[ , ] 10; 10; kr= u vr r =
- Suy
11 cos
51
n k n k
j = =
r r
r r 2 110
tan
11 j