CHUYÊN đề tổ hợp và xác SUẤT

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I ) TÓM TẮT LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP: A/ TẬP HỢP - Ở THPT ta sử dụng khái niệm tập hợp theo nghĩa trực quan, gồm có đối tượng nhóm lại theo tính chất Mỗi đối tượng tập hợp gọi phần tử Nếu tập hợp khơng có phần tử nào, gọi tập rỗng kí hiệu � - Số tập khơng tính tập rỗng là: 2n - với n số phần tử tập hợp - Mỗi phần tử tập A phần tử tập B ngược lại ta nói tập A B Kí hiệu A = B - Bản thân tập A � tập A tập khác A � gọi tập thật A Nếu tập B có phần tử thuộc tập A ta nói tập B tập A Kí hiệu B �A A �B - Giao hai tập hợp A B tập hợp phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp Kí hiệu B �A - Hợp hai tập hợp A B tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp Kí hiệu B �A - Hiệu A trừ B tập hợp phần tử thuộc A khơng thuộc B Kí hiệu A \ B Nếu B �A A \ B gọi phần bù B A kí hiệu B - Kí hiệu A số phần tử A - Nếu A �B = �� A �B = A + B - B A B A B A Nếu A ǹ���=+-� Nếu A �ǹ����=++-�-�-�+�� B C A B C A B B C A B B C C A A B C … Ứng dụng: ?1 Một lớp học sinh giỏi có: 22 học sinh gỏi Toán, 13 học sinh giỏi Văn, học sinh giỏi mơn Hỏi lớp có học sinh giỏi Toán giỏi Văn Giải: Gọi A tập hợp học sinh giỏi Toán � A = 22 B tập hợp học sinh giỏi Văn � B = 13 � học sinh giỏi hai môn là: A �B = Vậy số học sinh giỏi Toán giỏi Văn là: A �B = A + B - A �B = 22 + 13 - = 28 (hs) ?2 Trong kiểm tra toán có hai tốn Trong lớp có 30 em làm thứ 20 em thứ hai Chỉ có 10 em làm hai tốn Hỏi lớp có học sinh Giải: Đặt A={số học sinh làm thứ nhất} �| A | 30 B= {số học sinh làm thứ hai} �| B | 20 Khi đó: A �B  {số học sinh làm hai toán} �| A �B | 10 Số học sinh lớp số phần tử tập A �B Áp dụng (*) ta có | A �B || A |  | B |  | A �B | 30  20  10  40 Vậy lớp có 40 học sinh B/ QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1/ Quy tắc cộng: giả sử cơng việc tiến hành theo hai phương án A B Phương án A: có m cách thực Phương án B: có n cách thực Vậy: S = m + n ( hiểu: ta chọn phương án A ta khơng chọn B ngược lại, ta gọi trường hợp lấy bỏ nên ta dụng quy tắc cộng) 2/ Quy tắc nhân: giả sử cơng việc tiến hành theo hai giai đoạn A B Phương án A: có m cách thực Phương án B: có n cách thực Vậy: S = mn ( hiểu: để thực công việc ta phải thực liên tiếp giai đoạn nên ta dùng quy tắc nhân) ?3 Ta có sách khác nhau, có sách Tốn, sách Lý sách Hóa Hỏi có cách chọn sách Giải: Để thực chọn sách ta có cách chọn cho sách Toán, cách chọn cho sách Lý cách chọn cho sách Hóa Vậy: số cách chọn sách : S = + + = cách ?4 Từ thành phố A đến thành phố C qua thành phố B có đường từ A đến B, đường từ B đến C Hỏi có cách tứ A đến C A biết: a) tùy ý b) Đi hai đường khác Giải: a) Giai đoạn 1: từ A đến B có cách Giai đoạn 2: Từ B đến C có cách Giai đoạn 3: Đi từ C B có cách Giai đoạn 4: từ B A có cách Vậy : S = 4.3.3.4 = 144 cách b) Giai đoạn 1: từ A đến B có cách Giai đoạn 2: Từ B đến C có cách Giai đoạn 3: Đi từ C B có cách ( trừ đường giai đoạn 2) Giai đoạn 4: từ B A có cách ( trừ đường giai đoạn 1) Vậy : S = 4.3.2.3 = 72 cách ?5 Có cơng ty du lịch A B cơng ty A có xe khách, cơng ty B có xe khách Một người du lịch muốn xe cơng ty này, xe cơng ty Hỏi có cách thế? Giải: Ta có trường hợp TH1: xe công ty A, xe công ty B: S1 = 5.7 = 35 cách TH2: xe công ty B, xe công ty A S2 = 7.5 = 35 cách Vậy: S = S1 + S2 = 70 cách ?6 Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5,6} Hỏi có số tự nhiên có chữ số lập từ tập hợp A Giải: Gọi số cần tìm có dạng: abc (các chữ số không thiết phải khác nhau) Gđ 1: Chọn a �{1,2,3,4,5,6} nên có cách chọn a Tương tự Gđ 2: chọn b có cách Gđ 3: chọn c có cách Vậy S = 6.6.6 = 63 = 216 số ?7 Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5,6} Hỏi có số tự nhiên có chữ số đơi khác (đồng nghĩa chữ số khác nhau) lập từ tập hợp A Giải: Gọi số cần tìm có dạng: abc (cách chữ số khác nhau) Chọn a có cách, chọn b có cách (trừ chữ số chọn a) chọn c có cách (trừ chữ số chọn a b) Vậy S = 6.5.4 = 120 số ?8 Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5,6} Hỏi có số tự nhiên M gồm chữ số khác lập từ tập hợp A biết: a) chọn tùy ý b) M số chẳn c) M số lẽ d) M chia hết cho e) M có chữ số tận f) M có chữ số đầu 21 g) M lớn 3000 h) M �( 2000,4000) i) M nhỏ 3256 Giải: Gọi số cần tìm có dạng: abcd (cách chữ số khác nhau) a) giải tương tự VD4 ta có S = 6.5.4.3 = 360số b) M số chẳn nên d �{2,4,6} � d có cách chọn tiếp tục thực chọn a có cách, chọn b có cách, chọn c có cách Vậy S = 3.5.4.3 = 180số c) Tương tự giải giống với M lẻ Cách khác: ( sử dụng phần bù tập hợp hay gọi phương pháp lựa thóc) M số có chữ số khác nhau: S1 = 6.5.4.3 = 360 số M số có chữ số khác số chẵn: S2 = 3.5.4.3 = 180 số Vậy giá trị cần tìm là: S = S1 - S2 = 180số Nhận xét: giả sử C = A + B Ta cần tìm B lý ta có C A nên tìm B =C - A d) M chia hết d �{5} � d có cách chọn tiếp tục thực chọn a có cách, chọn b có cách, chọn c có cách Vậy S = 1.5.4.3 = 60số e) Theo giả thuyết M có dạng: abc4 (cách chữ số khác nhau) Có cách chọn a, cách chọn b cách chọn c Vậy S = 5.4.3 = 60số f) Theo giả thuyết M có dạng: 21cd (cách chữ số khác nhau) Có cách chọn c cách chọn d Vậy S = 4.3 = 12 số g) theo giả thuyết abcd > 3000 đó: a �{3,4,5,6} � a có cách chọn tiếp tục có cách chọn b, cách chọn c cách chọn d Vậy S = 4.5.4.3 = 240 số h) theo giả thuyết 2000 < abcd < 4000 đó: a �{2,3} � a có cách chọn tiếp tục có cách chọn b, cách chọn c cách chọn d Vậy S = 2.5.4.3 = 120số i) theo giả thuyết abcd > 3256 Th1: a = 3,b = 2,c = d có cách chọn ( trừ a,b,c) S1 = (số) Th2: a = 3,b = {3,4,5,6} � b có cách chọn, c có cách chọn (trừ a,b) d có cách chọn ( trừ a,b,c) S2 = 4.4.3 = 48(số) Th3: a = {4,5,6} � a có cách chọn, lúc b có cách chọn (trừ a), c có cách chọn (trừ a,b) d có cách chọn ( trừ a,b,c) S3 = 3.5.4.3 = 180 (số) Vậy S = S1 + S2 + S3 = + 48 + 180 = 231(số) ?9 Cho tập hợp A = {0,1,2,3,4,5,6} Hỏi có số tự nhiên M gồm chữ số khác chia hết cho Giải: Gọi số cần tìm có dạng: abcd (cách chữ số khác nhau) Cách 1: abcdM5 Th1: d = � a có cách chọn ( trừ d) � b có cách chọn ( trừ d,a) � c có cách chọn ( trừ d,a,b) � S1 = 6.5.4 = 120 (số) Th2: d = � a có cách chọn ( trừ d, 0) � b có cách chọn ( trừ d,a) � c có cách chọn ( trừ d,a,b) Vậy � S2 = 5.5.4 = 100(số) Vậy: S = S1 + S2 = 120 + 100 = 220(số) ?10 Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn? Giải: Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2a3a4a5a6a7 Gọi A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Theo giả thuyết a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 M2 nên với số a1a2a3a4a5a6 ta có số có tổng số chẳn.( số cịn lại có tổng số lẻ) a1 �B \ {0} � có cách chọn a a2,a3,a4,a5,a6 �B � có 10 cách chọn chữ số Vậy: S = 5.9.105 = 4500000 (số) C/ GIAI THỪA Cho A = {1,2,3,4, , n} Số hoán vị phần tử tập hợp A n! (đọc giai thừa n) Ta có: n ! = 1.2.3 n với n �N Thí dụ 5! = 1.2.3.4.5 = 120 Người ta qui ước 0! = Ngồi ta cịn có cơng thức giai thứa: n ! = n.(n - 1).(n - 2) (n - k)! thí dụ 8! 8.7.6! = = 56 6! 6! � 7!4!�8! 9! � � � ?11 Tính: A = 10! � � � 3!5! 2!7!� � � Giải: 7!4! 7!.1.2.3.4 Ta có: � = = 10! 10.9.8.7! 30 8! 8.7.6.5! � = = 56 3!5! 1.2.3.5! 9! 9.8.7! � = = 36 2!7! 1.2.7! Vậy A = ( 56 - 36) = 30 x !- (x - 1)! ?12 Giải phương trình (x + 1)! = Giải: � x �1 x.(x - 1)!- (x - 1)! � = Đk: � PT cho tương đương: � x � N * ( x + ) x ( x )! � ( x - 1) = � x - 5x + = � � = � (x + 1).x (x + 1).x.(x - 1)! (x - 1)!( x - 1) ?13 Giải bất phương trình (n + 4)! 15 < (*) n !(n + 2)! (n - 1)! Giải: � n >1 (n + 4)(n + 3)(n + 2)! 15 � < Đk: � (*) � � n �N * n(n - 1)!(n + 2)! (n - 1)! � � (n + 4)(n + 3) < 15n � n2 - 8n + 12 < � < n < Do n �N * � n = {3,4,5} D/ HOÁN VỊ � x = � � x=3 � � 1/ Hốn vị khơng lặp: - Cho tập hợp A gồm n phần tử xếp n phần tử thành dãy (khơng kín) ta gọi hốn vị tập hợp A kí hiệu: Pn = n ! (*) Chứng minh (*) phương pháp quy nạp tốn học Với n = ta có A = {a1} có cách xếp phần tử A thành dãy Mặt khác 1! = � P1 = 1! � định lí với n = Giả sử định lí với n = k �1 Tức Pk = k ! Xét tập A gồm (k + 1) phần tử, tức là: A = {a1,a2,a3, ,ak,ak+1} Vì tập A có (k + 1) phần tử nên có (k + 1) cách chọn phần tử đầu tiên, ứng với cách chọn phần tử ta có k cách chọn cho phần tử kế… Theo giả thiết quy nạp, có k ! cách xếp k phần tử Do : (k + 1).k ! = (k + 1)! cách xếp (k + 1) phần tử tập A tức định lí với n = k +1 Vậy: Pn = n ! (đpcm) - cho tập hợp A gồm n phần tử xếp n phần tử thành mạch khép kín ta gọi hốn vị tập hợp A kí hiệu: Pn = (n - 1)! trừ phần tử ln đặt vị trí cố định ?14 Cho A = {1,2,3} Hỏi có số có chữ số khác lập từ tập A Giải: Số có chữ số cần tìm lập từ phần tử tập A nên hoán vị P3 = 3! = (số) Các số là: 123, 132, 213, 231, 312, 321 ?15 Cho A = {0,1,2,3,4} Hỏi có số có chữ số khác lập từ tập A số số chẳn Giải: Cách 1: TH1: số cần tìm có dạng abcd0 Vị trí a,b,c,d lấy từ {1,2,3,4} � P4 = 4! = 24 (số) TH2: số cần tìm có dạng abcde Do abcde chẳn nên e ή {2,4} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn a ή {1,2,3} a có cách chọn ( trừ e) ứng với cách chọn e,a Vị trí b,c,d lấy từ phần tử lại ( trừ e a) � P3 = 3! = cách chọn b,c,d � S2 = 2.3.6 = 36 (số) Vậy S = 24 + 36 = 60 (số) Cách 2: (pp lựa thóc) - chọn a tùy ý ( tức a 0) số cần tìm có dạng abcde Do abcde chẳn nên e ή {0,2,4} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn vị trí a,b,c,d lấy từ phần tử cịn lại ( trừ e) � P4 = 4! = 24 cách chọn a,b,c,d � S1 = 3.24 = 72 (số) - chọn a tức số cần tìm có dạng 0bcde Do 0bcde chẳn nên e ή {2,4} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn vị trí b,c,d lấy từ phần tử lại ( trừ e chọn lúc đầu) � P3 = 3! = cách chọn b,c,d � S2 = 2.6 = 12 (số) - vậy: S = S1 - S2 = 72 - 12 = 60 (số) ?16 Có cách xếp học sinh vào : a) dãy ghế b) Một bàn tròn Giải: a) xếp học sinh vào dãy ghế (khơng kín) nên ta có hốn vị P5 = 5! = 120 cách b) Sắp xếp học sinh vào bàn tròn (mạch kín) Chọn học sinh vị trí cố định Cịn học sinh ta hốn vị P4 = 4! = 24 cách ?17 Biết: a) b) c) d) Giải: a) b) Có học sinh A, B, C, D, E hỏi có cách xếp học sinh vào dãy ghế xếp tùy ý C khơng ngồi vị trí đầu cuối dãy A,B ngồi cạch A,B không ngồi cạnh tương tự VD3 ta có: P5 = 5! = 120 cách Gđ 1: C khơng ngồi vị trí đầu cuối dãy Nên có cách vị trí cho C Gđ 2: vị trí cịn lại xếp học sinh A,B,D,E nên P4 = 4! = 24 Vậy S = 3.24 = 72 cách c) Ta có trường hợp A, B ngồi cạnh ứng với trường hợp có P3 = cách xếp C,D,E Vậy S = 8.6 = 48 cách d) - xếp học sinh tùy ý: P5 = 5! = 120 cách - xếp học sinh cho A,B ngồi cạnh nhau: 48 cách - Vậy xếp học sinh cho A,B không ngồi cạnh nhau: 120 - 48 = 72 cách ?18 Có 12 sách khác nhau, gồm sách Toán, sách Lý sách Hóa Hỏi có cách xếp lên kệ sách đủ 12 cuốn, biết: a) tùy ý b) Cách môn cạnh Giải: a) P12 = 12! cách b) có mơn � P3 = 3! cách môn ứng với cách xếp có: � P3;P4;P5 lần lược số cách xếp mơn Tốn, Lý, Hóa Vậy S = 3!3!4!5! cách 2/ Hốn vị có lặp: Có k phần tử Hỏi có cách xếp k phần tử vào n vị trí (k < n) Giả sử có phần tử k1, k2 lặp lại a lần, b lần, cách phần tử lại k có mặt lần Vậy số cách xếp là: ?19 n! cách ( Ta chứng minh pp quy nạp toán học) a !b! Từ “BENZEN” Hỏi có từ khơng cần nghĩa lập từ ký tự Giải: Từ cần tìm có vị trí lập từ ký tự Trong có “E” có mặt lần, từ N có mặt lần, 6! từ khác có mặt lần = từ 2!2! ?20 Từ A = {0;1;2;3;4;5} lập số có chữ số mà số phải có mặt lần, số có mặt lần số khác có mặt lần Giải: - chọn a tùy ý ( tức a 0) Theo giả thiết ta có S1 = - chọn a ta có S2 = 9! 3!2! 8! 3!2! - Vậy S = S1 - S2 E/ CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP: 1/ Chỉnh hợp: chọn k phần tử từ n phần tử (k �n) có thứ tự ta gọi chỉnh hợp chập k n - chỉnh hợp không lặp: phần tử chọn k khơng có phần tử giống Thì n! k chỉnh hợp khơng lặp kí hiệu An = ( Ta chứng minh pp quy nạp tốn (n - k)! học) - Chỉnh hợp có lặp: phần tử chọn k phần tử giống Thì chỉnh hợp lặp kí hiệu Ak = nk ( Ta chứng minh pp quy nạp toán học) ?21 Cho bốn chữ số: 1, 2, 3, Hỏi có số có chữ số: a) tùy ý lấy từ chữ số b) Khác lấy từ chữ số Giải: Gọi số cần tìm có dạng: ab a) vị trí a: chọn phần tử phần tử vị trí b: chọn phần tử phần tử ( b giống a) => chỉnh hợp có lặp chập Vậy 42 = 16 số b) ( a b khác nên chỉnh hợp không lặp) Chọn phần tử phần tử ( có thứ tự) chỉnh hợp chập 4! = 12 số Vậy A4 = (4 - 2)! ?22 Có cách xếp hạng nhất, nhì, ba cho vận động viên thể thao thi Biết thành tích vận động viên khác Giải: Để xếp vào vị trí nhì ba ta chọn vận động viên vận động viên (có thứ tự) => chỉnh hợp chập 8! Vậy A8 = cách (8 - 3)! 2/ Tổ hợp: chọn k phần tử từ n phần tử (k �n) không cần thứ tự ta gọi tổ hợp chập k n - Tổ hợp không lặp: phần tử chọn k khơng có phần tử giống Thì Tổ Ank n! k hợp khơng lặp kí hiệu C n = ( Ta chứng minh pp quy nạp tốn = k ! k !(n - k)! học) - Tổ hợp có lặp: phần tử chọn k phần tử giống Thì Tổ hợp lặp kí hiệu C 'kn = C kk+n- ( ý: k lớn n) ( Ta chứng minh pp quy nạp tốn học) ?23 Có chiến sĩ cơng an Hỏi có cách cử chiến sĩ trực khu A Giải: Chọn chiên sĩ chiến sĩ (không cần thứ tự) để trực A, tổ hợp chập 8! Vậy C = cách 3!(8 - 3)! ?24 Để khuyến khích cho em học sinh giỏi Nhà trường thưởng em dụng cụ học tập chọn từ: thước, viết, tập, bút chì, sách Hỏi có cách trao thưởng Giải: Mỗi học sinh chọn dụng cụ từ dụng cụ ( khơng cần thứ tự dụng cụ giống như: chọn viết tập) nên tổ hợp có lặp chập Vậy C '53 = C 73 = cách ?25 Một lớp có 40 học sinh, 25 nam 15 nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh Hỏi có cách chọn học sinh đó: a) Bầu học sinh làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư thủ quỹ b) Trực nhật c) Đi thi học sinh giỏi có nữ d) Dự đại hội thể thao có nam Giải: a) theo yêu cầu toán ta chọn học sinh 40 học sinh (có thứ tự: bầu chọn chức vụ) = 2193360 nên chỉnh hợp chập 40: A40 b) theo yêu cầu toán ta chọn học sinh 40 học sinh (khơng cần có thứ tự) nên tổ hợp = 91390 chập 40: C 40 c) Giai đoạn 1: chọn nữ 15 nữ: C 15 Giai đoạn 2: chọn nữ 25 nữ: C 25 C 25 = 34500 Vậy: số cách chọn thỏa YCBT là: C 15 d) Cách 1: C 15 TH1: chọn nam- nữ: C 25 2 C 15 TH2: chọn nam- nữ: C 25 C 15 TH3: chọn nam- nữ: C 25 C 15 TH4: chọn nam: C 25 - 2 C 15 +C 25 C 15 +C 25 C 15 +C 25 C 15 = 90025 Vậy: S = C 25 Cách 2: chọn học sinh tùy ý ( nghĩa học sinh toàn nam, toàn nữ, hai): C 40 - chọn học sinh toàn nữ: C 15 - 4 - C 15 = 90025 : số cách chọn học sinh có nam là: S = C 40 II ) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM : ... E/ CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP: 1/ Chỉnh hợp: chọn k phần tử từ n phần tử (k �n) có thứ tự ta gọi chỉnh hợp chập k n - chỉnh hợp không lặp: phần tử chọn k khơng có phần tử giống Thì n! k chỉnh hợp khơng... xếp vào vị trí nhì ba ta chọn vận động viên vận động viên (có thứ tự) => chỉnh hợp chập 8! Vậy A8 = cách (8 - 3)! 2/ Tổ hợp: chọn k phần tử từ n phần tử (k �n) không cần thứ tự ta gọi tổ hợp. .. hợp chập k n - Tổ hợp không lặp: phần tử chọn k khơng có phần tử giống Thì Tổ Ank n! k hợp khơng lặp kí hiệu C n = ( Ta chứng minh pp quy nạp tốn = k ! k !(n - k)! học) - Tổ hợp có lặp: phần