Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau đồng nghĩa các chữ số đều khác nhau lập từ tập hợp A.. Giải: gọi số cần tìm có dạng: abc cách chữ số khác nhau.[r]
(1)Võ Thanh Bình: 0917.121.304 CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NEWTON I) TÓM TẮT LÝ THUYẾT: A/ TẬP HỢP - Ở THPT ta sử dụng khái niệm tập hợp theo nghĩa trực quan, gồm có đối tượng nhóm lại theo tính chất nào đó Mỗi đối tượng tập hợp gọi là phần tử Nếu tập hợp không có phần tử nào, gọi là tập rỗng kí hiệu là - Số tập không tính tập rỗng là: 2n với n là số phần tử tập hợp đó - Mỗi phần tử tập A là phần tử tập B và ngược lại ta nói tập A và B Kí hiệu A B - Bản thân tập A và là tập A tập nào khác A và thì gọi là tập thật A Nếu tập B có các phần tử thuộc tập A thì ta nói tập B là tập A Kí hiệu B A A B - Giao hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp Kí hiệu B A - Hợp hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc ít hai tập hợp Kí hiệu B A - Hiệu A trừ B là tập hợp các phần tử thuộc A không thuộc B Kí hiệu A \ B Nếu B A và A \ B gọi là phần bù B A kí hiệu B - Kí hiệu A là số phần tử A - Nếu A B A B A B - Nếu A B A B A B A B Ứng dụng: 1) Một lớp học sinh giỏi có: 22 học sinh gỏi Toán, 13 học sinh giỏi Văn, học sinh giỏi môn Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi Toán giỏi Văn Giải: Gọi A tập hợp học sinh giỏi Toán A 22 B là tập hợp học sinh giỏi Văn B 13 học sinh giỏi hai môn là: A B Vậy số học sinh giỏi Toán giỏi Văn là: A B A B A B 22 13 28 (hs) 2) Trong bài kiểm tra toán có hai bài toán Trong lớp có 30 em làm bài thứ và 20 em là bài thứ hai Chỉ có 10 em làm hai bài toán trên Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh Giải: Đặt A={số học sinh làm bài thứ nhất} | A | 30 B= {số học sinh làm bài thứ hai} | B | 20 Khi đó: A B {số học sinh làm hai bài toán} | A B | 10 Số học sinh lớp chính là số phần tử tập A B Áp dụng (*) ta có | A B || A | | B | | A B | 30 20 10 40 Vậy lớp có 40 học sinh B/ QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN (2) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 1/ Quy tắc cộng: giả sử công việc có thể tiến hành theo hai phương án A B Phương án A: có m cách thực Phương án B: có n cách thực Vậy: S m n ( hiểu: ta chọn phương án A thì ta không chọn B ngược lại, ta gọi là trường hợp lấy này thì bỏ nên ta dụng quy tắc cộng) 2/ Quy tắc nhân: giả sử công việc có thể tiến hành theo hai giai đoạn A và B Phương án A: có m cách thực Phương án B: có n cách thực Vậy: S m.n ( hiểu: để thực công việc ta phải thực liên tiếp các giai đoạn nên ta dùng quy tắc nhân) Ví dụ 1: Ta có sách khác nhau, đó có sách Toán, sách Lý và sách Hóa Hỏi có bao nhiêu cách chọn: a) sách b) Hai sách c) Hai sách khác môn d) Hai sách cùng môn Giải: a) để thực chọn sách ta có cách chọn cho sách Toán, cách chọn cho sách Lý cách chọn cho sách Hóa Vậy số cách chọn sách là : S cách b) để thực chọn hai sách ta thực hai giai đoạn giai đoạn đầu ta chọn nghĩa là có cách chọn giai đoạn sau ta chọn ( trừ đầu ta đã chọn rồi) số cách chọn hai là: S 8.7 56 cách c) chọn khác môn ta có trường hợp TH1: Toán và Lý : S1 3.3 cách TH2: Toán và Hóa: S 3.2 cách TH3: Lý và Hóa: S 3.2 cách Vậy : S 24 cách d) chọn cùng môn ta có trường hợp TH1: chọn sách Toán: S1 3.2 cách TH2: chọn sách Lý: S1 3.2 cách TH3: chọn sách Hóa: S1 2.1 cách Vậy : S 14 cách Ví dụ 2: từ thành phố A đến thành phố C qua thành phố B có đường từ A đến B, đường từ B đến C Hỏi có bao nhiêu cách tứ A đến C A biết: a) tùy ý b) Đi và trên hai đường khác Giải: a) Giai đoạn 1: từ A đến B có cách Giai đoạn 2: Từ B đến C có cách Giai đoạn 3: Đi từ C B có cách (3) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Giai đoạn 4: từ B A có cách Vậy : S 4.3.3.4 144 cách b) Giai đoạn 1: từ A đến B có cách Giai đoạn 2: Từ B đến C có cách Giai đoạn 3: Đi từ C B có cách ( vì trừ đường đã giai đoạn 2) Giai đoạn 4: từ B A có cách ( vì trừ đường đã giai đoạn 1) Vậy : S 4.3.2.3 72 cách Ví dụ 3: có công ty du lịch A và B công ty A có xe khách, công ty B có xe khách Một người du lịch muốn thì xe công ty này, thì xe công ty Hỏi có bao nhiêu cách thế? Giải: Có trường hợp Th1: xe công ty A, xe công ty B: S1 5.7 35 cách Th2: xe công ty B, xe công ty A S 7.5 35 cách Vậy: S S1 S2 70 cách Ví dụ 3: cho tập hợp A {1,2, 3, 4,5, 6} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số lập từ tập hợp A Giải: gọi số cần tìm có dạng: abc (các chữ số không thiết phải khác nhau) Gđ 1: Chọn a {1,2, 3, 4,5, 6} nên có cách chọn a Tương tự Gđ 2: chọn b có cách và Gđ 3: chọn c có cách Vậy S 6.6.6 63 216 số Ví dụ 4: cho tập hợp A {1,2, 3, 4,5, 6} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác (đồng nghĩa các chữ số khác nhau) lập từ tập hợp A Giải: gọi số cần tìm có dạng: abc (cách chữ số khác nhau) Chọn a có cách, chọn b có cách (trừ chữ số đã chọn a) và chọn c có cách (trừ chữ số đã chọn a và b) Vậy S 6.5.4 120 số Ví dụ 5: cho tập hợp A {1,2, 3, 4,5, 6} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên M gồm chữ số khác lập từ tập hợp A biết: a) chọn tùy ý b) M là số chẳn c) M là số lẽ d) M chia hết cho e) M có chữ số tận cùng là f) M có chữ số đầu là 21 g) M lớn 3000 h) M 2000, 4000 i) M nhỏ 3256 Giải: gọi số cần tìm có dạng: abcd (cách chữ số khác nhau) a) giải tương tự VD4 ta có S 6.5.4.3 360 số b) M là số chẳn nên d {2, 4,6} d có cách chọn tiếp tục thực chọn a có cách, chọn b có cách, chọn c có cách Vậy S 3.5.4.3 180 số c) Tương tự giải giống trên với M lẻ (4) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Cách khác: ( sử dụng phần bù tập hợp hay còn gọi là phương pháp lựa thóc) M là số có chữ số khác nhau: S1 6.5.4.3 360 số M là số có chữ số khác và là số chẵn: S 3.5.4.3 180 số Vậy giá trị cần tìm là: S S1 S 180 số Nhận xét: giả sử C A B Ta cần tìm B vì lý nào đó ta đã có C và A nên tìm B C A d) M chia hết cho nên d {5} d có cách chọn tiếp tục thực chọn a có cách, chọn b có cách, chọn c có cách Vậy S 1.5.4.3 60 số e) Theo giả thuyết M có dạng: abc (cách chữ số khác nhau) Có cách chọn a, cách chọn b và cách chọn c Vậy S 5.4.3 60 số f) Theo giả thuyết M có dạng: 21cd (cách chữ số khác nhau) Có cách chọn c và cách chọn d Vậy S 4.3 12 số g) theo giả thuyết abcd 3000 đó: a {3, 4,5, 6} a có cách chọn tiếp tục có cách chọn b, cách chọn c và cách chọn d Vậy S 4.5.4.3 240 số h) theo giả thuyết 2000 abcd 4000 đó: a {2, 3} a có cách chọn tiếp tục có cách chọn b, cách chọn c và cách chọn d Vậy S 2.5.4.3 120 số i) theo giả thuyết abcd 3256 Th1: a 3, b 2, c thì d có cách chọn ( trừ a,b,c) S1 (số) Th2: a 3, b {3, 4, 5,6} b có cách chọn, thì c có cách chọn (trừ a,b) và d có cách chọn ( trừ a,b,c) S 4.4.3 48 (số) Th3: a {4,5, 6} a có cách chọn, lúc đó b có cách chọn (trừ a), thì c có cách chọn (trừ a,b) và d có cách chọn ( trừ a,b,c) S 3.5.4.3 180 (số) Vậy S S1 S2 S 48 180 231 (số) Ví dụ 6: cho tập hợp A {0,1,2, 3, 4, 5,6} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên M gồm chữ số khác và chia hết cho Giải: gọi số cần tìm có dạng: abcd (cách chữ số khác nhau) Cách 1: abcd Th1: d a có cách chọn ( trừ d) b có cách chọn ( trừ d,a) c có cách chọn ( trừ d,a,b) S1 6.5.4 120 (số) Th2: d a có cách chọn ( trừ d, 0) b có cách chọn ( trừ d,a) c có cách chọn ( trừ d,a,b) Vậy S2 5.5.4 100 (số) Vậy: S S1 S2 120 100 220 (số) (5) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Ví dụ 7: có bao nhiêu số khác gồm chữ số cho tổng các chữ số số là số chẵn? Giải: Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2a3a 4a5a6a7 Gọi A {0,1,2, 3, 4, 5,6, 7, 8,9} Theo giả thuyết a1 a2 a a a a a nên với số a1a2a3a4a5a6 ta có số có tổng là số chẳn.( số còn lại có tổng là số lẻ) a1 B \ {0} có cách chọn a a2 , a , a 4, a 5, a B có 10 cách chọn chữ số Vậy: S 5.9.105 4500000 (số) C/ GIAI THỪA Cho A {1,2, 3, 4, , n } Số các hoán vị các phần tử tập hợp A n! (đọc là giai thừa n) Ta có: n ! 1.2.3 n với n N Thí dụ ! 1.2.3.4.5 120 Người ta qui ước ! Ngoài ta còn có công thức lùi giai thứa: n ! n.(n 1).(n 2) (n k )! thí dụ 8! 8.7.6! 56 6! 6! Ví dụ 1: Tính: A ! ! ! ! 10 ! ! 5! !7 ! Giải: ! ! !.1.2.3.4 10! 10.9.8.7 ! 30 8! 8.7.6.5! 56 3! 5! 1.2.3.5! 9! 9.8.7 ! 36 2!7 ! 1.2.7 ! Vậy A 56 36 30 x ! (x 1)! Ví dụ 2: giải phương trình (x 1)! Giải: x x (x 1)! (x 1)! Đk: PT đã cho tương đương: x N * (x 1).x (x 1)! (x 1)! x 1 x 1 x 5x (x 1).x (x 1)! (x 1).x Ta có: x x (6) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Ví dụ 3: giải bất phương trình (n 4)! 15 (*) n !(n 2)! (n 1)! Giải: n (n 4)(n 3)(n 2)! 15 Đk: (*) n N * n(n 1)!(n 2)! (n 1)! (n 4)(n 3) 15n n 8n 12 n Do n N * n {3, 4,5} D/ HOÁN VỊ 1/ Hoán vị không lặp: - cho tập hợp A gồm n phần tử xếp n phần tử này thành dãy (không kín) thì ta gọi nó là hoán vị tập hợp A kí hiệu: Pn n ! (*) Chứng minh (*) phương pháp quy nạp toán học Với n ta có A {a1} thì có cách xếp các phần tử A thành dãy Mặt khác 1! P1 1! định lí đúng với n Giả sử định lí đúng với n k Tức là Pk k ! Xét tập A gồm (k 1) phần tử, tức là: A {a1, a 2, a 3, , ak , ak 1} Vì tập A có (k 1) phần tử nên có (k 1) cách chọn phần tử đầu tiên, ứng với cách chọn phần tử đầu tiên ta có k cách chọn cho phần tử kế… Theo giả thiết quy nạp, có k ! cách xếp k phần tử này Do đó : (k 1).k ! (k 1)! cách xếp (k 1) phần tử tập A tức là định lí đúng với n k 1 Vậy: Pn n ! (đpcm) - cho tập hợp A gồm n phần tử xếp n phần tử này thành mạch khép kín thì ta gọi nó là hoán vị tập hợp A kí hiệu: Pn (n 1)! vì trừ phần tử luôn đặt vị trí cố định Ví dụ 1: cho A {1,2, 3} Hỏi có bao nhiêu số có chữ số khác lập từ tập A Giải: Số có chữ số cần tìm lập từ phần tử tập A nên là hoán vị P3 ! (số) Các số đó là: 123, 132, 213, 231, 312, 321 Ví dụ 2: cho A {0,1,2, 3, 4} Hỏi có bao nhiêu số có chữ số khác lập từ tập A và số đó là số chẳn Giải: Cách 1: TH1: số cần tìm có dạng abcd Vị trí a,b,c,d lấy từ {1,2, 3, 4} P4 ! 24 (số) TH2: số cần tìm có dạng abcde Do abcde chẳn nên e {2, 4} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn a {1,2, 3} a có cách chọn ( trừ và e) ứng với cách chọn e,a Vị trí b,c,d lấy từ phần tử còn lại ( trừ e và a) P3 ! cách chọn b,c,d S 2.3.6 36 (số) Vậy S 24 36 60 (số) Cách 2: (pp lựa thóc) (7) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 - chọn a tùy ý ( tức là a có thể là 0) số cần tìm có dạng abcde Do abcde chẳn nên e {0,2, 4} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn vị trí a,b,c,d lấy từ phần tử còn lại ( trừ e) P4 ! 24 cách chọn a,b,c,d S1 3.24 72 (số) - chọn a là tức là số cần tìm có dạng 0bcde Do 0bcde chẳn nên e {2, 4} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn vị trí b,c,d lấy từ phần tử còn lại ( trừ e và chọn lúc đầu) P3 ! cách chọn b,c,d S 2.6 12 (số) - vậy: S S1 S 72 12 60 (số) Ví dụ 3: có bao nhiêu cách xếp học sinh vào : a) dãy ghế cái b) Một bàn tròn Giải: a) xếp học sinh vào dãy ghế cái (không kín) nên ta có hoán vị P5 ! 120 cách b) Sắp xếp học sinh vào bàn tròn (mạch kín) Chọn học sinh vị trí cố định Còn học sinh ta hoán vị P4 ! 24 cách Ví dụ 4: có học sinh A, B, C, D, E hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh đó vào dãy ghế Biết: a) xếp tùy ý b) C không ngồi vị trí đầu và cuối dãy c) A,B ngồi cạch d) A,B không ngồi cạnh Giải: a) tương tự VD3 ta có: P5 ! 120 cách b) Gđ 1: C không ngồi vị trí đầu và cuối dãy Nên có cách vị trí cho C Gđ 2: vị trí còn lại xếp học sinh A,B,D,E nên P4 ! 24 Vậy S 3.24 72 cách c) Ta có trường hợp A, B ngồi cạnh ứng với trường hợp có P3 cách xếp C,D,E Vậy S 8.6 48 cách d) - xếp học sinh tùy ý: P5 ! 120 cách - xếp học sinh cho A,B ngồi cạnh nhau: 48 cách - Vậy xếp học sinh cho A,B không ngồi cạnh nhau: 120 48 72 cách Ví dụ 5: Có 12 sách khác nhau, đó gồm sách Toán, sách Lý và sách Hóa Hỏi có bao nhiêu cách xếp lên kệ sách đủ 12 cuốn, biết: a) tùy ý b) Cách cùng môn cạnh Giải: a) P12 12 ! cách b) chúng ta có môn P3 ! cách các môn ứng với cách xếp trên có: P3 ; P4 ; P5 lần lược số cách xếp các môn Toán, Lý, Hóa Vậy S ! ! ! 5! cách (8) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 2/ Hoán vị có lặp: Có k phần tử Hỏi có bao nhiêu cách xếp k phần tử vào n vị trí (k n ) Giả sử đó có phần tử k1, k2 lặp lại a lần, b lần, cách phần tử còn lại k có mặt lần n! cách ( Ta có thể chứng minh pp quy nạp toán học) a !b ! Ví dụ 1: từ “BENZEN” Hỏi có bao nhiêu từ không cần nghĩa lập từ ký tự trên Giải: Từ cần tìm có vị trí lập từ ký tự trên Trong đó có “E” có mặt lần, từ N có mặt lần, các từ 6! khác có mặt đúng lần từ 2!2! Ví dụ 2: Từ A {0;1;2; 3;4;5} có thể lập bao nhiêu số có chữ số mà đó số phải có mặt lần, số có mặt lần và các số khác có mặt đúng lần Giải: 9! - chọn a tùy ý ( tức là a có thể là 0) Theo giả thiết ta có S1 3!2! 8! - chọn a là ta có S 3!2! - Vậy S S1 S2 Vậy số cách xếp đó là: E/ CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP: 1/ Chỉnh hợp: chọn k phần tử từ n phần tử (k n ) có thứ tự ta gọi là chỉnh hợp chập k n - chỉnh hợp không lặp: các phần tử chọn k không có phần tử nào giống Thì đây là n! chỉnh hợp không lặp kí hiệu Ank ( Ta có thể chứng minh pp quy nạp toán (n k )! học) - Chỉnh hợp có lặp: các phần tử chọn k có thể là các phần tử giống Thì đây là chỉnh hợp lặp kí hiệu Ak n k ( Ta có thể chứng minh pp quy nạp toán học) Ví dụ 1: cho bốn chữ số: 1, 2, 3, Hỏi có bao nhiêu số có chữ số: a) tùy ý lấy từ chữ số trên b) Khác lấy từ chữ số trên Giải: gọi số cần tìm có dạng: ab a) vị trí a: chọn phần tử phần tử vị trí b: chọn phần tử phần tử ( vì b có thể giống a) => đây là chỉnh hợp có lặp chập Vậy 42 16 số b) ( a và b khác nên đây là chỉnh hợp không lặp) Chọn phần tử phần tử ( có thứ tự) là chỉnh hợp chập 4! Vậy A42 12 số (4 2)! Ví dụ 2: có bao nhiêu cách xếp hạng nhất, nhì, ba cho vận động viên thể thao thi Biết thành tích vận động viên khác Giải: (9) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Để xếp vào các vị trí nhì ba ta chọn vận động viên vận động viên (có thứ tự) => đây là chỉnh hợp chập 8! Vậy A83 cách (8 3)! 2/ Tổ hợp: chọn k phần tử từ n phần tử (k n ) không cần thứ tự ta gọi là tổ hợp chập k n - Tổ hợp không lặp: các phần tử chọn k không có phần tử nào giống Thì đây là Tổ Ank n! k hợp không lặp kí hiệu C n ( Ta có thể chứng minh pp quy nạp toán k! k !(n k )! học) - Tổ hợp có lặp: các phần tử chọn k có thể là các phần tử giống Thì đây là Tổ hợp lặp kí hiệu C 'kn C kkn 1 ( chú ý: k có thể lớn n) ( Ta có thể chứng minh pp quy nạp toán học) Ví dụ 1: có chiến sĩ công an Hỏi có bao nhiêu cách cử chiến sĩ trực khu A Giải: chọn chiên sĩ chiến sĩ (không cần thứ tự) để trực A, đây là tổ hợp chập 8! Vậy C 83 cách !(8 3)! Ví dụ 2: để khuyến khích cho các em học sinh giỏi Nhà trường thưởng em dụng cụ học tập chọn từ: thước, viết, tập, bút chì, sách Hỏi có bao nhiêu cách trao thưởng Giải: Mỗi học sinh chọn dụng cụ từ dụng cụ ( không cần thứ tự và có thể các dụng cụ giống như: chọn viết và tập) nên đây là tổ hợp có lặp chập Vậy C '53 C 73 cách F/ NHỊ THỨC NEWTON (a b )n C n0a n C n1a n 1b C n2a n 2b C n3a n 3b C nnbn n C nka n kb k k 0 n (a b )n C n0a n C n1a n 1b C n2a n 2b C n3a n 3b (1)n C nnbn (1)k C nka n kb k k 0 (x 1)n x nC n0 x n 1C n1 x n 2C n2 C nn n C nk x n k k 0 (x 1)n x nC n0 x n 1C n1 x n 2C n2 (1)nC nn (1 x )n C n0 xC n1 x 2C n2 x nC nn n (1)k C nk x n k k 0 n C nk x k k 0 n (1 x )n C n0 xC n1 x 2C n2 (1)n x nC nn (1)k C nk x k k 0 Công thức pascal: C nk C nk 1 Chú ý: C n0 C nn C nk 11 C nk C nn k (10) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Ví dụ 1: II) CÁC DẠNG BÀI TẬP QUEN THUỘC VÀ TOÁN THI ĐẠI HỌC A/ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ LƯỢNG Bài 1: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập bao nhiêu số chẳn, số gồm chữ số khác đôi Giải: Gọi A {0;1;2; 3;4;5;6} Số phải tìm có dạng abcde a tùy ý: Do abcde chẵn nên e {0;2; 4;6} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn vị trí còn lại từ tập A \ e nên ta A64 Vậy S1 4.A64 a là 0: lúc này số cần tìm có dạng 0bcde Do 0bcde chẵn nên e {2;4;6} e có cách chọn ứng với cách chọn e ta chọn vị trí còn lại từ tập A \ {e, 0} nên ta A53 Vậy S 3.A53 Vậy kết chúng ta có là: S S1 S 4.A64 3A53 1260 số Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm có chữ số mà các chữ số lớn và đôi khác nhau? Tính tổng tất các số tự nhiên nói trên Giải: Số cần tìm có dạng abcde và các chữ số a,b,c,d,e {5, 6,7, 8, 9} Vậy P5 ! 120 số Trong 120 số có 60 cặp, mà cặp có tổng là: 56789 98765 155554 Vậy tổng cần tìm : S 60.15554 9333240 Bài 3: cho chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi có bao nhiêu số gồm có chữ số khác và chúng chia hết cho Giải: Những nhóm có chữ số chia hết cho từ chữ số trên là: {1,2, 3},{1, 3,5},{2, 3, 4},{3, 4, 5} Mỗi nhóm ta có P3 ! số Vậy S 4.6 24 số Bài 4: (11) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 (12) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 (13)