Mét ngêi cã 8 pho tîng kh¸c nhau vµ muèn bµy 6 pho tîng trªn vµo 6 vÞ trÝ trªn mét kÖ trang trÝ.. Cã bao nhiªu c¸ch: a.[r]
(1)chuyên đề
Tổ hợp, khai triển nhị thức niutơn xác suất Chuyên đề
Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp I Lý thuyết
1 Hoán vị.
* Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử, kết xếp thứ tự n phần tử tậphợp A đợc gọi hoán vị n phn t ú
* Số hoán vị.
Số hoán vị n phần tử, đợc ký hiệu Pn
Pn = n!
VÝ dô 1 Có cách xếp học sinh vào chỗ ngồi bàn học sinh
Giải
Số cách xếp học sinh vào chỗ ngồi số hoán vị phần tử Vậy P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 cách xếp
2 Chỉnh hợp.
* Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)
Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự đợc gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho
* Sè chØnh hỵp.
Số chỉnh hợp chập k n phần tử đợc ký hiệu Ank
Ank =
n!
(n− k)! (1 k n)
+ ChØnh hợp chập n n phần tử hoán vị n phần tử
Ann=Pn
Vớ dụ 2: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Hỏi lập đợc số có chữ số khác
Gi¶i
Cã A73 = 5.6.7 = 210 sè cã ch÷ sốkhác
3 Tổ hợp.
* Định nghĩa:
Giả sử tập A có n phần tử (n 1) Mỗi tập gồm k phần tử A đợc gọi tổ hợp chập k n phần tử cho
* Sè c¸c tỉ hợp.
Số tổ hợp chập k n phần tử, ký hiệu Cnk
Cnk =
n!
k!(n − k)! VÝ dô 3: H·y tÝnh tổ hợp C63
Giải
Ta có: C63=6! 3!3!=
4 3=20
Ví dụ 4: Một cỗ túlơkhơ có 52 qn bài, chia cỗ thành phần (mỗi phần 13 quân) Hỏi có cách chia đợc phần cho:
a cã ¸t
b cã Ýt nhÊt mét ¸t
Giải
a Số cách chọn át từ át là: C24
Số cách chọn 11 lại 48 là: C1148 Theo quy tắc nhân ta có: C24 C1148 cách chia
(2)Số cách chia đợc phần mà khơng có át là: C1348 Vậy số cách chia đợc phần có át C5213 - C1348
* TÝnh chÊt cđa tỉ hỵp:
+ TÝnh chÊt 1: Cnk=Cnn− k + TÝnh chÊt 2: Cn −k−11+Cn −k 1=Cnk
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng Cnr+2Cnr −1+Cnr −2=Cn+r 2, 2≤ r ≤n ; n, r Z
II Các tập vận dụng: * Bài toán đếm có điều kiện:
Bài Một đội niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ
Gi¶i.
Gäi tỉnh có tên A, B, C
Chn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C124 .C31 Chọn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C84.C21 Chọn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C44.C11 Theo quy tắc nhân ta có: C124 .C31 C84.C21 C44.C11 = 207900
Bài Đội niên xung kích nhà trờng cã 12 häc sinh gåm häc sinh líp A, häc sinh líp B vµ häc sinh líp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh không lớp
Giải
Số cách chọn học sinh từ 12 häc sinh lµ C124 NÕu chän häc sinh từ lớp thì:
Số cách chọn học sinh tõ líp A, häc sinh líp B vµ học sinh lớp C là: C52.C41.C31 Số cách chọn häc sinh tõ líp A, häc sinh líp B vµ häc sinh líp C lµ: C51.C42.C31 Sè c¸ch chän häc sinh tõ líp A, häc sinh líp B vµ häc sinh líp C lµ: C51.C41.C32
Sè c¸ch chän häc sinh tõ líp lµ C52.C41.C31 + C51.C42.C31 + C15.C41.C32
VËy số cách chọn học sinh từ không líp lµ:
C124 - ( C52.C14.C31 + C51.C42.C31 + C15.C41.C32 )
Bài Một tây có 52 con, cần rút Hỏi có cách: a Rút tuỳ ý
b Có át
Giải
a Số cách rút tuỳ ý là: C525
b Ta xét trờng hợp:
- rỳt c át át là: C24.C483 - Rút đợc át át là: C34.C482 - Rút đợc át át là: C44.C481 Vậy có C24.C483 + C34.C482 + C44.C481 cách chọn
Bài Có tem th khác bì th khác Ngời ta muốn chọn từ tem th bì th, bì th dán tem Có cách nh vy?
Giải
Số cách chọn tem th tem th C53
Số cách chän phong b× th phong b× th là: C 36
Số cách dán 3!
(3)Bài Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đợc đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, dễ trung bình) số câu hỏi dễ khơng
Gi¶i
Trong đề kiểm tra, số câu hỏi dễ Ta có trờng hợp nh sau:
- Trêng hỵp 1: Đề gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C152 .C102 C51 - Trờng hợp 2: Đề gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C152 .C101 C52 - Trờng hợp 3: Đề gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C153 C101 C51
Vậy ta có C152 C102 C51 + C152 C101 C52 + C153 C101 C51 = 56785 đề thi
* Bài toán xếp:
Bài
a Một ngời có tợng khác muốn bày tợng vào dÃy vị trí kệ trang trí Hỏi có cách xếp?
b Một ngời có tợng khác muốn bày tợng vào vị trí kệ trang trí Hỏi có cách xếp?
Giải
a Số cách bày tợng khác vào dÃy vị trí kệ trang trí là: A64 b Số cách chọn tợng tợng là: C86
Số cách bày tợng vào vị trí là: 6! Vậy có C86 6! = 20160 cách
Bài Có cách : a Mời số n bạn thân b Tặng m vËt cho n ngêi
Gi¶i
a Víi mét ngời có cách mời: mời không mời Vậy với n ngời bạn thân có 2n cách mời.
b Với đồ vật tặng cho n ngời: có n cách tặng Do có n.n.n….n = nm cách tặng.
Bµi Mét tỉ cã 10 học sinh Có cách: a Xếp thành hàng dọc
b Ngồi quanh bàn tròn 10 ghế
Giải
a Số cách xếp 10 häc sinh thµnh hµng däc lµ 10!
b Ngời thứ có cách chọn, khơng kể vị trí ngồi đâu giống Khi ngời thứ ngồi vị trí cịn lại cho ngời ngồi, có 9!
VËy cã 1.9! = 9!
Bài Có n nam n nữ ngồi vào dãy ghế đối diện Có cách xếp: a Nam nữ ngồi tuỳ ý
b Nam nữ ngồi đối diện
Gi¶i
a Cã c¸ch chän d·y ghÕ
Tổng cộng có 2n ngời, cần chọn n ngời có C2nn cách chọn Xếp n ngời vào n vỉtí dãy là: n!
VËy cã: C2nn n! cách
b Bớc 1: Xếp n nam vào dÃy có n! cách Bớc 2: Xếp n nữ vào dÃy có n! cách
Bc 3: đổi chỗ n cặp nam nữ có 2.2….2 = 2n cỏch.
Vậy có n!.n!.2n cách. * Bài toán phân phối.
Bài 10 Có cách tặng quà khác cho ngời mà ngời có quà
Giải
Chia quµ cho ngêi, ngêi nµo cịng cã quµ, ta có cách chia nh sau:
(4)- Có cách chọn ngời nhận quà - Có cách cho ngời nhận quà
- Có C24 cách cho quà ngời nhận quà thứ
- Có cách cho ngêi cuèi cïng
cã 3.5 C24 = 90 cách
Trờng hợp 2: Một ngời nhận quà, hai ngời ngời nhận quà - Có cách chọn ngời nhận quà
- Có C53 cách cho ngời nhận quà
- Cã c¸ch cho ngêi nhËn mãn quà thứ - Có cách cho ngời nhận quµ thø hai
cã C53 = 60 c¸ch VËy cã 90 + 60 = 150 c¸ch
Bài 11 Cho cầu màu trắng khác cầu xanh khác Ta xếp cầu vào hàng ch cho trc
a Có cách xÕp kh¸c nhau?
b Có cách xếp cho hai cầu đứng cạnh không màu? c Có cách xếp cho cầu trắng đứng cạnh
Gi¶i
a Có 9! = 362880 cách
b Gọi vị trí cần xếp 123456789
Vì có cầu màu trắng, cầu màu xanh nên vị trí số 1, 3, 5, 7, cầu trắng, vị trí 2, 4, 6, cầu màu xanh
Để xếp cầu trắng có 5! cách Để xếp cầu xanh có 4! cách Vậy có 5!4! = 2880 cách
c Ta gọi cầu trắng vị trí a, nh với vị trí nh có vị trí số vị trí a Xếp cầu trắng vào vị trí a có 5! cách
Xếp cầu xanh vào vị trí số 4! Có chọn vị trí a
Vậy có 5.5!4! = 14400 c¸ch
* Bài tốn đếm số:
Bài 12: với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập đợc bao nhiêu: a Số lẻ gồm chữ số khác
b Số chẵn gồm chữ số khác nhau:
Giải
Gọi số có chữ số abcd a Số cần lập số lẻ nên:
Có c¸ch chän sè d Cã c¸ch chän sè a Cã A42 c¸ch chän sè bc VËy cã: A42 = 144 số b Số cần lập số chẵn: Trờng hợp 1: d =
Số cách lập đợc số có chữ số với d = A53 Trờng hợp d
Cã c¸ch chän sè d Cã c¸ch chän sè a Cã A42 c¸ch chän bc
cã 2.4 A42 = 96 sè VËy cã A53 + 96 = 156 số
Bài 13 Có ớc nguyên dơng số 23.34.56.781112.1314 Giải
c nguyờn dơng số 23.34.56.781112.1314 phân tích thừa số ngun tố có dạng:
2a.3b.5c.7d11e.13f
(5)Víi sè d cã thĨ chän 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, th× cã c¸ch chän Víi sè e cã thĨ chän 0, 1, 2, 3, …., 10, 11, 12 th× cã 13 c¸ch chän Víi sè f cã thĨ chän 0, 1, 2, 3, ., 12, 13, 14 có 15 cách chän VËy cã 4.5.7.9.13.15 = 245700 íc sè
* Bài tốn đếm số có điều kiện:
Bµi 14 Có số có chữ số khác mà có mặt chữ số chữ số
Giải
Gọi số cần lập A = a1a2a3a4a5a6
Trêng hỵp a1 = a2a3a4a5a6
Cã vÞ trÝ chän sè
4 vị trí lại chọn số lại có A84
A84
Trêng hỵp a1 9, a2 = a19a3a4a5a6
Sè cã vÞ trÝ
4 vÞ trÝ lại có A84 cách chọn
A84
Vì số vị trí a2 a3 a4 a5 a6 nh sau nên ta có 5.4 A84 sè
VËy cã A84 + 5.4 A84 = 42000 sè
Bài 15 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập đợc số tự nhiên có chữ số, số có mặt lần số khác có mặt lần
Gi¶i
Gäi sè cã chữ số a1a2a3a4a5a6a7 Trờng hợp a1 = 1
Chän vÞ trÝ vÞ trÝ cho số C62
vị trí lại cho số 0, 2, 3, cã 4! c¸ch
C62 4!
Trêng hợp a1 1
Chọn vị trí cho số C63 Có vị trí cho số
3 vị trí lại cho số lại 3! Cách
C63 3!
VËy cã C62 4! + C63 3! = 720 c¸ch
Bài 16 Có thể thành lập số có chữ số, chữ số chữ số có mặt lần, chữ số 2, 3, 4, cómặt ln
Giải
Chọn vị trí số có C82 cách Chọn vị trí số có C62 cách
4 vị trí lại chọn cho số lại 4! cách Vậy có C82 C62 4! = 10.080 c¸ch
Bài 17 Có số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần
Gi¶i
Gäi số cần lập B = a1a2a3a4a5a6a7
Chọn vị trí cho số có C72 cách
Chọn vị trí cho số có C53 cách
Hai vị trí lại chọn cho số lại, tính a1 có A82 c¸ch cã C72 C53 A82 c¸ch
NÕu a1 = 0
(6)Chän vÞ trí cho sô có C34
Vị trí lại chọn cho số lại, có cách chän
C62 C34
VËy sè số cần lập là: C72 C53 A82 - C62 C34 = 11340 sè
* Bài toán chia hết
Bi 18 T cỏc ch số từ đến 9, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau, có số:
a Chia hết cho b Số đứng chớnh gia
Giải
a số số chia hÕt cho lµ: A88 = 40320 sè
b Chữ số có cách chọn, vị trí lại cho số
số số thoả mÃn yêu cầu A88 = 40320 sè
Bài 19 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập đợc số tự nhiên có chữ số đơi khác chia hết cho
Gi¶i
Gọi số có chữ số chia hết cho lµ sè abc, víi a + b +c ⋮ VËy {a, b, c} = {0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}
Víi tËp {0, 4, 5} cã 2.2.1 = sè
Víi c¸c tËp{1, 3, 5} {2, 3, 4}, tập có 3! Sè VËy cã + 2.3! = 16 sè
* Bài toán đếm số hơn, kém.
Bài 20 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập đợc số có chữ số khác nhau, có số bé 345
Gi¶i
Gọi số cần lập abc , abc < 345 nên ta có trờng hợp: Trờng hợp 1: a
a cã thĨ lµ có cách chọn a
bc chän sè cã A52
cã A52 = 40 sè
Trêng hỵp a = 3, v× 3bc < 345 NÕu b = {1, 2,} b có cách chọn Chữ số c có c¸ch chän
2.4 = c¸ch chän
Nếu b = có cách chọn c cã sè
cã + = 10 sè
VËy cã 10 + 40 = 50 số cần lập
* Bài toán giải phơng trình, bất phơng trình:
Bài 21 Tìm số tù nhiªn n cho:
n+1
(n+1)! (n −3)!4!−
n!
24(n−3) (n −4)!=5(n−2)
Bµi 22 Giải phơng trình sau: C1x+C2x+C3x=7
2x
2 C14k +C14k+2=2C14k+1
3 C1x+6C2x+6C3x=9x2−14x PxA2x+72=6(A2x+2Px)
5 A2x.Cxx−1=48
6 Ax
4
Ax+3 1−Cxx 4= 24 23
7 C12x=C123 Bài 23 Giải bất phơng trình:
1 A3x+5Ax221x0 2
2A2x
− Ax
2
≤6 x.Cx
3
+10
Bài 24 Tìm số hạng: a d¬ng cđa d·y xn =
4 An −2 −C
n −1 +C
n −1
(7)b ©m cđa d·y yn = An+4
4
Pn+2− 143
4Pn , n * Bài toán giải hệ phơng trình:
Bài 25 Giải hệ phơng trình sau:
a
¿ 2Axy+5Cxy=90 5Axy−2Cxy=80
¿{ ¿
b Cx+y 1:Cxy+1:Cxy −1=6:5:2
Bµi tËp vỊ nhà
Bài Giả phơng trình sau:
a
C4x
− C5x
= C6x
b C1x+6Cxx −2+6Cxx −3=46Cxx −1−14x2 c C2xCxx −2+2Cx2C3x+C3xCxx −3=100 d PxAx2 + 180 = 6(Ax2 + 5Px)
Bài Tính giá trị biểu thức A = An+1
4
+3An3
(n+1)!
Biết Cn2+1+2Cn2+2+2Cn2+3+Cn+2 4=149 Bài Cho dãy {xn} xác định : xn =
An+4
Pn+2− 143
4Pn , với n Z +.
Tìm số âm dÃy số
(H An Ninh – A - 2001) III Giải đề thi
Bài Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập đợc số chẵn, số gồm chữ số khác
(§H An ninh – A - 1997) HD: Gäi sè ch½n cần lập a1a2a3a4a5
TH 1: Nếu a5 = cã A64 sè.
TH 2: NÕu a5 cã 3.5. A53
VËy cã A64 + 3.5. A53 = 1260 sè
Bài Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập đợc số có chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần
(ĐH An Ninh D - 2001)
Bài
a Chøng minh: Cnk+2Cnk −1+Ck −n 2=Cnk+2 (2 k n)
b Hỏi với 10 chữ số từ đến lập đợc số tự nhiên có chữ số khác
(ĐH Cảnh sát ND A - 1999)
Bi Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có chữ số, chữ số khác đôi Hỏi
(8)(9)(10)a Số tạo thành số chẵn
(11)(ĐH Thái nguyên A - 1997)
Bài 16 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đoàn công tác gồm ngời cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lý Hỏi có cách?
(ĐH Y Hà Nội B - 2000)
Bài 17 Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập đợc số chẵn có chữ số khác v khụng ln hn 789
(ĐH Y Hà nội – B - 2001)
Bài 18 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập đợc số chẵn gồm chữ số đơi khác nhau, chữ số phi khỏc
(ĐH Y Dợc TP HCM B - 1997)
Bài 19 Cho đa giác A1A2…A2n nội tiếp đờng tròn (O, R) Biết số tam giác có
đỉnh 2n điểm A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh
trong 2n điểm A1, A2, , A2n, tìm n?
(Đề §H + C§ - B - 2002)
Bµi 20 Cho tËp A gåm n phÇn tư (n 4) BiÕt r»ng, sè tËp gåm phÇn tư cđa A b»ng 20 lÇn sè tËp gåm phÇn tư cđa tËp A T×m k {1, 2, 3, …, n} cho sè tËp gåm k phÇn tư cđa A lµ lín nhÊt