[Toán 11] Các phương pháp giải toán tổ hợp - xác suất

Định nghĩa 1 (Biến cố hợp). Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh lớp 11 của trường. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Chọn ngẫu nh[r]

(1)

CHƯƠNG 4 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

BÀI 1. CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

(2)

Định nghĩa (Quy tắc cộng) Một công việc X thực theo k phương án A1,A2, ,Ak,

trong

1 Phương án A1cón1cách thực hiện;

2 Phương án A2cón2cách thực hiện;

3

4 Phương án Akcónkcách thực

Khi số cách hồn thành cơng việcXlàn(X)=n1+n2+ · · · +nk= k P i=1

nicách

Định nghĩa (Quy tắc nhân) Giả sử nhiệm vụ X hồn thành qua k giai đoạn

A1,A2, ,Ak:

1 Giai đoạnA1cón1cách làm;

2 Giai đoạnA2cón2cách làm;

3

4 Giai đoạnAkcónkcách làm

Khi cơng việcXcó số cách thực làn(X)=n1·n2·n3· · ·nk= k Q i=1

nicách

Định nghĩa (Quy tắc bù trừ) Đối tượng xcần đếm chứa đối tượng X gồm x xđối lập NếuX cómcách chọn,xcóncách chọn Vậyxcó(m−n)cách chọn

Về mặt thực hành, đề cho đếm đối tượng thỏaavàb Ta cần làm: Bài toán1: Đếm đối tượng thỏaa

Bài tốn2: Đếm đối tượng thỏaa, khơng thỏab Do đó, kết tốn=kết tốn1−kết toán2

!

Nếu toán chia từngtrường hợp khơng trùng lặp để hồn thành cơng việc dùngqui tắc cộng, tốn chia từnggiai đoạnthực ta dùngquy tắc nhân Trong nhiều tốn, ta khơng kết hợp hai quy tắc lại với để giải mà cần phân biệt cộng, nhân, trừ

“Nếu cho tập hợp hữu hạn Avà Bgiao khác rỗng Khi số phần tử A∪B số phần tử Acộng với số phần tử củaBrồi trừ số phần tử củaA∩B, tức làn(A∪B)= n(A)+n(B)−n(A∩B)” Đó quy tắc cộng mở rộng Do giải tốn đếm liên quan đến tìm số cho số số chẵn, số lẻ, số chia hếtta nên ưu tiên việc thực (chọn) chúng trướcvà nếuchứa số0nên chia2trường hợpnhằm tránh trùng lặp với Dấu hiệu chia hết:

GọiN=anan−1 .a1a0là số tự nhiên cón+1chữ số (an6=0) Khi đó: + N 2⇔a0 2⇔a0∈{0; 2; 4; 6; 8}

+ N 5⇔a0 5⇔a0∈{0; 5}

+ N (hay25)⇔a1a0 (hay25)

+ N (hay125)⇔a2a1a0 (hay125)

+ N (hay9)⇔a0+a1+ · · · +an (hay9)

(3)

1 VÍ DỤ

{DẠNG 1.1 Bài tốn sử dụng quy tắc cộng

VÍ DỤ Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm:8đề tài lịch sử,7đề tài thiên nhiên,10đề tài người và6đề tài văn hóa Hỏi

mỗi thí sinh có cách chọn đề tài? ĐS:31

Lời giải.

Mỗi thí sinh có các4phương án chọn đề tài: Chọn đề tài lịch sử có8cách chọn. Chọn đề tài thiên nhiên có7cách chọn. Chọn đề tài người có10cách chọn. Chọn đề tài văn hóa có6cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có8+7+10+6=31cách chọn đề tài. ä

VÍ DỤ Giả sử từ tỉnhAđến tỉnhBcó thể phương tiện: ô tô, tàu hỏa máy bay Mỗi ngày có10chuyến tơ,5chuyến tàu hỏa và3chuyến máy bay Hỏi có cách lựa chọn chuyến

đi từ tỉnh Ađến tỉnhB? ĐS:18

Lời giải.

Để từ AđếnBcó3phương án lựa chọn: Đi tơ có10cách chọn.

Đi tàu hỏa có5cách chọn. Đi máy bay có3cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có10+5+3=18cách chọn. ä

{DẠNG 1.2 Bài toán sử dụng quy tắc nhân

VÍ DỤ An đến nhà Bình để Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có4con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có6con đường Hỏi An có cách chọn đường từ nhà

đến nhà Cường? ĐS:24

Lời giải.

Để từ nhà An đến nhà Cường cần thực hiện2giai đoạn Đi từ nhà An đến nhà Bình có4cách.

Đi từ nhà Bình đến nhà Cường có6cách.

Theo quy tắc nhân, có4·6=24cách chọn đường đi. ä

VÍ DỤ Lớp11Acó30học sinh Tập thể lớp muốn bầu lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Hỏi có cách chọn ban cán lớp trên, biết bạn làm tối đa

vai trò? ĐS:24360

Lời giải.

Để bầu ban cán lớp cần thực hiện3giai đoạn Bầu lớp trưởng có30cách

Bầu phó có29cách Bầu thủ quỹ có28cách

(4)

{DẠNG 1.3 Bài tốn sử dụng quy tắc bù trừ

VÍ DỤ Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác mà không bắt đầu bởi12? ĐS:26880

Lời giải.

Gọia1a2a3a4a5là số cần lập.

Để lập số tự nhiên có5chữ số khác nhau, ta thực bước lần lượt: Chọna1có9cách.

Chọna2có9cách. Chọna3có8cách. Chọna4có7cách. Chọna5có6cách.

Do có9·9·8·7·6=27216số có năm chữ số khác Để lập số tự nhiên có5chữ số khác bắt đầu bằng12, ta thực bước lần lượt:

Chọna1a2có1cách. Chọna3có8cách. Chọna4có7cách. Chọna5có6cách.

Do có1·8·7·6=336số có năm chữ số khác Theo quy tắc bù trừ, có27216−336=26880số có năm chữ

số khác khơng bắt đầu bởi12. ä

VÍ DỤ Trong hộp có6bi đỏ,5bi trắng và4bi vàng Có cách lấy3viên bi từ hộp

sao cho chúng không đủ ba màu? ĐS:335

Lời giải.

Số cách lấy3bi từ15bi làC315=455.

Số cách lấy3bi từ15bi mà đủ ba màu là6·5·4=120.

Theo quy tắc bù trừ, số cách lấy3viên bi không đủ ba màu là455−120=335. ä

1 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Một hộp có12viên bi trắng,10viên bi xanh và8viên bi đỏ Một em bé muốn chọn1viên bi để chơi Hỏi có

bao nhiêu cách chọn? ĐS:30cách

Lời giải.

Để chọn1viên bi để chơi có phương án + Chọn1viên bi trắng có12cách

+ Chọn1viên bi xanh có10cách + Chọn1viên bi đỏ có8cách

Theo quy tắc cộng, số cách để chọn1viên bi để chơi là12+10+8=30cách ä

BÀI Chợ Bến Thành có4cổng vào Hỏi người chợ:

a) Có cách vào chợ? ĐS:16

b) Có cách vào chợ bằng2cổng khác nhau? ĐS:12

Lời giải.

a) Để vào chợ ta thực liên tiếp bước Vào chợ có4cách

(5)

Theo quy tắc nhân, có4·4=16cách vào chợ

b) Để vào chợ bằng2cổng khác ta thực liên tiếp bước Vào chợ có4cách

Ra chợ cổng khác có3cách

Theo quy tắc nhân, có4·3=12cách vào chợ hai cổng khác

ä

BÀI Có 8quyển sách Tốn, 7quyển sách Lí,5quyển sách Hóa Một học sinh chọn1quyển bất kỳ3loại

trên Hỏi có cách chọn? ĐS:20cách

Lời giải.

Để chọn1quyển sách trong3loại sách, ta có phương án + Chọn1quyển sách Tốn có8cách

+ Chọn1quyển sách Lí có7cách + Chọn1quyển sách Hóa có5cách

Theo quy tắc cộng, số cách để chọn1viên bi để chơi là8+7+5=20cách ä

BÀI

Cho sơ đồ mạch điện hình vẽ bên cạnh Hỏi có cách đóng

- mở5cơng tắc để có dòng điện từAđếnB ĐS:12cách A B

Lời giải.

Để dịng điện từAđếnBcó2phương án

Phương án3cơng tắc phía đóng Khi có22=4trạng thái cơng tắc phía Phương án2cơng tắc phía đóng Khi có23=8trạng thái cơng tắc phía

Theo quy tắc cộng, có4+8=12cách để dịng điện từAđếnB ä

BÀI Đề thi học kỳ mơn Hóa gồm hai phần: trắc nghiệm tự luận Trong ngân hàng đề thi có15đề trắc nghiệm

và8đề tự luận Hỏi có cách đề? ĐS:120cách

Lời giải.

Để tạo đề thi, cần thực hai bước liên tiếp Chọn đề trắc nghiệm có15cách

Chọn đề tự luận có8cách

Theo quy tắc nhân, có15·8=120cách đề ä

BÀI Một ca sĩ có30cái áo và20cái quần, có18cái áo màu xanh và12cái áo màu đỏ;12quần xanh và8 quần đỏ Có cách chọn quần áo khác màu để người ca sĩ trình diễn? ĐS:240cách

Lời giải.

Để chọn quần áo khác màu, ta có phương án Áo màu xanh quần màu đỏ có18·8=144cách Áo màu đỏ quần màu xanh có12·8=96cách

Theo quy tắc cộng, số cách chọn quần áo là144+96=240cách ä

BÀI Trong lớp11Acó39học sinh có học sinh tên Chiến, lớp11Bcó32học sinh có học sinh tên Tranh Có cách chọn tổ gồm2học sinh khác lớp mà khơng có mặt Chiến Tranh lúc? ĐS: 1247cách

Lời giải.

Để chọn tổ gồm2học sinh khác lớp, có39·32=1248cách Trong có1cách chọn tổ có mặt Chiến Tranh

Do số cách chọn tổ khơng có mặt Chiến Tranh lúc là1248−1=1247cách ä

BÀI Trong lớp11Acó50học sinh, có2học sinh tên Ưu Tiên Có cách chọn ra2học sinh thi mà có mặt nhất1trong2học sinh tên Ưu tên Tiên? ĐS:97cách

Lời giải.

Có3phương án chọn

(6)

Phương án2: Chọn có Tiên1cách, chọn bạn khác Tiên có48cách nên có1·48=48cách trường hợp

Phương án3: Có Ưu Tiên:1cách trường hợp

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu đề là48+48+1=97cách thỏa u cầu ä

BÀI Có20bơng hoa có8bơng hồng,7bơng cúc,5bơng đào Chọn ngẫu nhiên4bơng, hỏi có

cách chọn để hoa chọn có đủ ba loại? ĐS:2380cách

Lời giải.

Phương án1: Chọn2bơng hồng,1bơng cúc,1bơng đào có8·7

2! ·7·5=980cách trường hợp Phương án2: Chọn1bơng hồng,2bơng cúc,1bơng đào có7·7·6

2! ·5=840cách trường hợp Phương án3: Chọn1bông hồng,1bông cúc,2bông đào có8·7·8·7

2! =560cách trường hợp

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu đề là980+840+560=2380cách thỏa yêu cầu ä

BÀI 10 Có12học sinh giỏi gồm3học sinh khối12,4học sinh khối11,5học sinh khối10 Hỏi có cách

chọn ra6học sinh cho khối có nhất1học sinh ? ĐS:805cách

Lời giải.

Số cách chọn6học sinh từ12học sinh có12·11·10·9·8·7

6! =924cách Số cách chọn6học sinh khơng có học sinh lớp12có 9·8·7·6·5·4

6! =7cách

Do số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là924−(84+28+7)=805cách ä

BÀI 11 Có biển số xe gồm hai chữ đầu (26 chữ cái) và4chữ số theo sau (chữ số đầu không thiết khác0và chữ số cuối khác0), cho:

Chữ tùy ý bốn chữ số tùy ý tạo thành số chia hết cho2theo sau ĐS:2704000cách

1

Chữ khác và4chữ số đôi khác tạo thành số chia hết cho5tiếp theo sau ĐS:291200 cách

2

Lời giải.

Có3bước chọn

Chọn2chữ cái262cách

Chọn3chữ số có103cách

Chọn chữ số cuối thuộc{2; 4; 6; 8}có4cách Vậy có tất cả262·103·4=2704000cách.

1

Có3bước chọn

Chọn2chữ có26·25=650cách Chữ số cuối có1cách chọn số5 Chọn3chữ số cịn lại8·8·7=448cách Vậy có tất cả26·25·1·8·8·7=291200cách

2

(7)

BÀI 12 Người ta ghi nhãn cho ghế giảng đường Đại học chữ (26chữ cái) số nguyên dương theo sau mà không vượt quá100 Bằng cách ghi vậy, nhiều có

ghế ghi nhãn khác nhau? ĐS:2600cách

Lời giải.

Có26chữ và100số thỏa mãn

Vậy số cách ghi nhiều là26·100=2600cách ä

BÀI 13 Cho tập hợpA={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có số tự nhiên gồm năm chữ số lấy từ tậpA, cho chữ số này:

Tùy ý ĐS:90000số

1

Khác đôi ĐS:27216số

2

Khác đôi năm chữ số tạo thành số lẻ ĐS:13440số

3

Khác đôi năm chữ số tạo thành số chia hết cho5 ĐS:5712số

4

Khác đôi năm chữ số tạo thành số chia hết cho2 ĐS:13776số

5

Lời giải.

Gọiabcd elà số cần tìm

acó9cách chọn bcó10cách chọn ccó10cách chọn d có10cách chọn ecó10cách chọn

Vậy có9·10·10·10·10=90000số thỏa yêu cầu

1

acó9cách chọn bcó9cách chọn ccó8cách chọn d có7cách chọn ecó6cách chọn

Vậy có9·9·8·7·6=27216số thỏa mãn yêu cầu

2

ecó5cách chọn acó8cách chọn bcó8cách chọn ccó7cách chọn d có6cách chọn

Vậy có5·8·8·7·6=13440số thỏa mãn yêu cầu

(8)

Có2trường hợp: Trường hợp1:

e=0có1cách chọn acó9cách chọn bcó8cách chọn ccó7cách chọn dcó6cách chọn

Vậy có9·8·7·6·1=3024số trường hợp Trường hợp2:

e=5có cách chọn acó8cách chọn bcó8cách chọn ccó7cách chọn dcó6cách chọn

Vậy có8·8·7·6·1=2688số trường hợp Vậy có tất cả:3024+2688=5712số thỏa mãn yêu cầu

4

Có2trường hợp: Trường hợp1:

e=0có1cách chọn acó9cách chọn bcó8cách chọn ccó7cách chọn dcó6cách chọn

Vậy có9·8·7·6·1=3024số trường hợp Trường hợp2:

e∈{2; 4; 6; 8}có4cách chọn acó8cách chọn

bcó8cách chọn ccó7cách chọn dcó6cách chọn

Vậy có8·8·7·6·4=10752số trường hợp Vậy có tất cả3024+10752=13776số thỏa mãn yêu cầu

5

ä

BÀI 14 Từ chữ số0, 1, 2, , 9có thể lập số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác đơi

chữ số ln số 2? ĐS:1218số

Lời giải.

GọiA=ab2cd(a6=0)

XétA=ab2cd,abất kì,d∈{0; 4; 6; 8}

Có4cách chọnd,8cách chọna,7cách chọnb,6cách chọnc, nên có4·8·7·6=1344cách XétA=ab2cd,d∈{4; 6; 8}vàa=0

Có3cách chọnd,7cách chọnb,6cách chọnc, nên có3·7·6=126cách

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu toán là1344−126=1218số ä

BÀI 15 Cho tập hợpX={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập số tự nhiên gồm năm chữ số khác đôi từX, cho ba chữ số phải bằng1 ĐS:2280số

Lời giải.

Đặt số cần tìm làabcd e(a6=0) + Xét trường hơpabất kỳ

(9)

Xếp số cịn lại vào vị trí có7, 6, 5, 4cách Do có3·7·6·5·4=2520cách xếp

+ Xét trường hợpa=0

Xếp số1vào hai vị tríb,ccó2cách

Xếp số lại vào vị trí có6, 5, 4cách Do có2·6·5·4=240cách

Vậy có tất cả2520−240=2280số xếp thỏa yêu cầu ä

BÀI 16 Cho sáu chữ số1; 2; 3; 4; 5; Có thể tạo số gồm bốn chữ số khác nhau? Trong có

số chia hết cho5? ĐS:360số và60số

Lời giải.

Gọi số cần tìm làabcd acó6cách chọn bcó5cách chọn ccó4cách chọn dcó3cách chọn

Do có tất cả6·5·4·3=360số có4chữ số khác Trong đó, số cha hết cho5có dạngabc5

dcó1cách chọn acó5cách chọn bcó4cách chọn ccó3cách chọn

Do có1·5·4·3=60số thỏa yêu cầu ä

BÀI 17 Cho tậpA={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có số gồm sáu chữ số có nghĩa đơi khác chia hết cho5và

ln có chữ số0được lấy từ tậpA? ĐS:4680số

Lời giải.

Gọix=abcd e f

+ Xét sốxcó dạngabcd e0có1·7·6·5·4·3=2520số + Xét sốxcó dạngabcd e5

Xếp số0vào1trong5vị trí có5cách Xác vị trí cịn lại có6, 5, 4, 3cách Do có5·6·5·4·3=1800cách

+ Xét sốxdạng0bcd e5có6·5·4·3=360cách

Vậy có tất cả2520+1800−360=3960số thỏa mãn yêu cầu ä

BÀI 18 Có số tự nhiên gồm năm chữ số đơi khác nhau, chữ số1phải có mặt hai

vị trí đầu? ĐS:5712số

Lời giải.

Gọi số cần tìm làx=abcd e

+ Xétxdạng1bcd ecó1·9·8·7·6=3024số + Xétxdạnga1cd e

Vớiabất kỳ có9·1·8·7·6=3024số Vớia=0có1·1·8·7·6=336số Do có3024−336=2688số

Vậy có tất cả3024+2688=5712số thỏa mãn yêu cầu ä

BÀI 19 Có số tự nhiên gồm ba chữ số mà có hai chữ số chẵn đứng liền nhau, cịn chữ số lại

lẻ? ĐS:225số

Lời giải.

Gọi số cần tìm làabc

(10)

TH2:alẻ,b,cchẵn có5·5·5=125số

Vậy có tất cả100+125=225số thỏa yêu cầu ä

BÀI 20 Từ chữ số1; 2; 3; 4; 5có thể lập số có ba chữ số khác nằm khoảng (300; 500)? ĐS:24số

Lời giải.

Gọi số cần tìm làabc

acó2cách chọn (a=4hoặca=3) bcó4cách chọn

ccó3cách chọn

Vậy có2·3·4=24số thỏa mãn yêu cầu ä

BÀI 21 Cho chữ số1; 2; 5; 7; 8, có cách lập số gồm ba chữ số khác từ năm chữ số

cho số tạo thành số nhỏ hơn278? ĐS:20số

Lời giải.

Gọi số cần tìm làabc Trường hợp1:

a=1có1cách chọn bcó4cách chọn ccó3cách chọn

Vậy có4·3·1=12số trường hợp Trường hợp2:

a=2có1cách chọn b<7có2cách chọn ccó3cách chọn

a=2có1cách chọn b=7có1cách chọn c∈{1; 5}có2cách chọn

Vậy có1·1·2=2số trường hợp

Vậy có tất cả12+6+2=20số thỏa mãn yêu cầu ä

BÀI 22 Từ chữ số0; 1; 2; 3; 4; 5; 6có thể lập số lẻ có ba chữ số khác nhỏ hơn400?ĐS:35số

Lời giải.

Gọi số cần tìm là:abc(a∈{1; 2; 3}) Trường hợp1:

a∈{1; 3}có2cách chọn ccó2cách chọn bcó5cách chọn

a=2có1cách chọn ccó3cách chọn bcó5cách chọn

Vậy có3·5·1=15số trường hợp

(11)

BÀI 23 Có số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhỏ hơn34000? ĐS:3570số

Lời giải.

Trường hợp1: Số lập bắt đầu giá trị sau:13; 15; 17; 19; 31 Có5cách chọn hai chữ số

Có5cách chọn chữ số hàng đơn vị Có7cách chọn chữ số hàng chục Có6cách chọn chữ số hàng trăm

Vậy có5·5·7·6=1050số có5chữ số thoả mãn trường hợp

Trường hợp2: Số lập bắt đầu giá trị sau:10; 12; 14; 16; 18; 21; 23; 25; 27; 29; 30; 32 Có12cách chọn hai chữ số

Có4cách chọn chữ số hàng đơn vị Có7cách chọn chữ số hàng chục Có6cách chọn chữ số hàng trăm

Vậy có12·4·7·6=2016số có5chữ số thoả mãn trường hợp Trường hợp3: Số lập bắt đầu giá trị sau:20; 24; 26; 28

Có4cách chọn hai chữ số Có3cách chọn chữ số hàng đơn vị Có7cách chọn chữ số hàng chục Có6cách chọn chữ số hàng trăm

Vậy có4·3·7·6=504số có5chữ số thoả mãn trường hợp

Vậy có tổng cộng1050+2016+504=3570số có5chữ số thoả mãn ä

BÀI 24 Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác mà không bắt đầu bởi12? ĐS:26880số

Lời giải.

Trước hết ta đếm số số tự nhiên có5chữ số khác Có9cách chọn chữ số hàng chục nghìn

Có9cách chọn chữ số hàng nghìn Có8cách chọn chữ số hàng trăm Có7cách chọn chữ số hàng chục Có6cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có tất cả9·9·8·7·6=27216số tự nhiên có5chữ số khác

Tiếp theo, ta đếm số số tự nhiên có5chữ số khác mà bắt đầu bởi12 Có8cách chọn chữ số hàng trăm

Có7cách chọn chữ số hàng chục Có6cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có tất cả8·7·6=336số tự nhiên có5chữ số khác mà bắt đầu bởi12

Vậy có27216−336=26880số tự nhiên gồm5chữ số khác mà không bắt đầu bởi12 ä

BÀI 25 Cho tậpA={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác đôi lấy từ tậpA

và có chứa chữ số4? ĐS:1560số

Lời giải.

Trường hợp1: Chữ số4ở vị trí hàng chục nghìn Có6cách chọn chữ số hàng nghìn

(12)

Vậy có6·5·4·3=360số thoả mãn trường hợp Trường hợp2: Chữ số4khơng nằm vị trí hàng chục nghìn

Có4cách chọn vị trí cho chữ số4 Có5cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có5cách chọn chữ số thứ ba

Có4cách chọn chữ số thứ tư Có3cách chọn chữ số thứ năm

Vậy có4·5·5·4·3=1200số thoả mãn trường hợp

Vậy có tổng cộng360+1200=1560số có5chữ số thoả mãn ä

BÀI 26 Hỏi từ10chữ số0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9có thể lập số gồm6chữ số khác nhau, cho

chữ số có mặt số0và số1? ĐS:50400số

Lời giải.

Có6cách chọn vị trí cho chữ số0 Có5cách chọn vị trí cho chữ số1 Có8cách chọn giá trị cho chữ số thứ ba Có7cách chọn giá trị cho chữ số thứ tư Có6cách chọn giá trị cho chữ số thứ năm Có5cách chọn giá trị cho chữ số thứ sáu

Vậy có6·5·8·7·6·5=50400số có6chữ số khác thoả mãn ä

BÀI 27 Từ chữ số0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; 9có thể lập số tự nhiên gồm có sáu chữ số đơi khác nhau,

trong phải có mặt chữ số7? ĐS:13320số

Lời giải.

Trường hợp1: Chữ số7ở vị trí hàng trăm nghìn Có7cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có6cách chọn chữ số hàng nghìn Có5cách chọn chữ số hàng trăm Có4cách chọn chữ số hàng chục Có3cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có7·6·5·4·3=2520số thoả mãn trường hợp Trường hợp2: Chữ số7khơng nằm vị trí hàng trăm nghìn

Có5cách chọn vị trí cho chữ số7 Có6cách chọn chữ số hàng trăm nghìn Có6cách chọn chữ số thứ ba

Có5cách chọn chữ số thứ tư Có4cách chọn chữ số thứ năm Có3cách chọn chữ số thứ sáu

Vậy có5·6·6·5·4·3=10800số thoả mãn trường hợp

BÀI 28 Cho tập hợpA={0; 1; 2; 3; 4; 5}, từAcó thể lập số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau,

đó thiết phải có chữ số0và3? ĐS:480số

Lời giải.

(13)

Có3cách chọn giá trị cho chữ số thứ tư Có2cách chọn giá trị cho chữ số thứ năm

Vậy có5·4·4·3·2=480số có5chữ số khác thoả mãn ä

BÀI 29 Cho tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ chữ số thuộc tập A lập số tự nhiên có năm chữ số số

đó chia hết cho3? ĐS:216số

Lời giải.

Vì số lập chia hết cho3nên chữ số số là1; 2; 3; 4; 5hoặc0; 1; 2; 4; Trường hợp1: Các chữ số số lập là1; 2; 3; 4;

Có5cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có4cách chọn chữ số hàng nghìn Có3cách chọn chữ số hàng trăm Có2cách chọn chữ số hàng chục Có1cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có5·4·3·2·1=120số thoả mãn trường hợp Trường hợp2: Các chữ số số lập là0; 1; 2; 4;

Có4cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có4cách chọn chữ số hàng nghìn Có3cách chọn chữ số hàng trăm Có2cách chọn chữ số hàng chục Có1cách chọn chữ số hàng đơn vị

BÀI 30 Từ chữ số0; 1; 2; ; 9có thể lập số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác đơi

chữ số số2? ĐS:1218số

Lời giải.

Trường hợp1: Chữ số hàng đơn vị là0 Có1cách chọn chữ số hàng đơn vị Có1cách chọn chữ số hàng trăm Có8cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có7cách chọn chữ số hàng nghìn Có6cách chọn chữ số hàng chục

Vậy có1·1·8·7·6=336số thoả mãn trường hợp Trường hợp2: Chữ số hàng đơn vị khác0

Có3cách chọn chữ số hàng đơn vị Có1cách chọn chữ số hàng trăm Có7cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có7cách chọn chữ số hàng nghìn Có6cách chọn chữ số hàng chục

BÀI 31 Trong trường THPT A, khối11mỗi học sinh tham gia hai câu lạc Toán Tin học Có 160em tham gia câu lạc Tốn,140em tham gia câu lạc Tin học,50em tham gia hai câu lạc Hỏi khối11

có học sinh? ĐS:250học sinh

Lời giải.

(14)

BÀI 32 Một lớp có40học sinh, đăng ký chơi hai mơn thể thao bóng đá cầu lơng Có30em đăng ký mơn bóng đá,25em đăng ký mơn cầu lơng Hỏi có em đăng ký hai môn thể thao? ĐS:15học sinh

Lời giải.

Số em học sinh đăng ký hai mơn thể thao là30+25−40=15học sinh ä

BÀI 33 Có5học sinh, có An Bình Hỏi có cách xếp5học sinh lên đoàn tàu gồm 8toa, biết rằng:

1 5học sinh lên toa ĐS:8cách

2 5học sinh lên5toa đầu toa người ĐS:120cách

3 5học sinh lên5toa khác ĐS:6720cách

4 An Bình lên toa ĐS:512cách

5 An Bình lên toa, ngồi khơng có học sinh khác lên toa ĐS:2744cách

Lời giải.

1 Có8cách chọn toa tàu để cả5học sinh lên toa tàu Vậy có8cách xếp để5học sinh lên toa

2 Có5cách chọn học sinh lên toa Có4cách chọn học sinh lên toa thứ hai Có3cách chọn học sinh lên toa thứ ba Có2cách chọn học sinh lên toa thứ tư Có1cách chọn học sinh lên toa thứ năm

Vậy có5·4·3·2·1=120cách xếp để5học sinh lên5toa đầu toa người

3 Có8cách chọn toa tàu cho học sinh Có7cách chọn toa tàu cho học sinh thứ hai Có6cách chọn toa tàu cho học sinh thứ ba Có5cách chọn toa tàu cho học sinh thứ tư Có4cách chọn toa tàu cho học sinh thứ năm

Vậy có8·7·6·5·4=6720cách xếp để5học sinh lên5toa khác

4 Có1cách chọn toa tàu cho An Bình Có8cách chọn toa tàu cho học sinh thứ ba Có8cách chọn toa tàu cho học sinh thứ tư Có8cách chọn toa tàu cho học sinh thứ năm

Vậy có1·8·8·8=512cách xếp để An Bình lên toa

5 Có8cách chọn toa tàu cho An Bình Có7cách chọn toa tàu cho học sinh thứ ba Có7cách chọn toa tàu cho học sinh thứ tư Có7cách chọn toa tàu cho học sinh thứ năm

Vậy có8·7·7·7=2744cách xếp để An Bình lên toa, ngồi khơng có học sinh khác lên toa

ä

BÀI 34 Có số tự nhiên có năm chữ số, cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng

liền trước? ĐS:126số

Lời giải.

Vì chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước nên chữ số phải khác0 Trước tiên ta đếm số số có5 chữ số đơi khác khác0

(15)

Có6cách chọn chữ số hàng chục Có5cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có9·8·7·6·5=15120có5chữ số đơi khác khác0

Nhận thấy, với bộ5chữ số có5·4·3·2·1=120cách xếp vị trí cho chữ số đó, nhiên có1cách xếp chữ số thoả mãn

Vậy số số thoả mãn toán 15120

120 =126số ä

BÀI 35 Có20thẻ đựng hai hộp khác nhau, hộp chứa10 thẻ đánh số liên tiếp từ1đến10 Có cách chọn hai thẻ (mỗi hộp thẻ) cho tích hai số ghi hai thẻ số chẵn ĐS:75cách

Lời giải.

Có10cách chọn thẻ hộp thứ có10cách chọn thẻ hộp thứ hai, nên có10·10=100cách chọn hai thẻ, hộp thẻ

Có5cách chọn thẻ có số lẻ hộp thứ có5cách chọn thẻ có số lẻ hộp thứ hai, nên có5·5=25cách chọn hai thẻ, hộp thẻ tích hai số ghi hai thẻ số lẻ

Vậy có100−25=75cách chọn hai thẻ, hộp thẻ tích hai số ghi hai thẻ số chẵn ä

BÀI 36 GọiSlà tập hợp tất số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt khác lấy từ tậpA={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} HỏiScó phần tử? Có cách lấy hai phần tử từ tậpSsao cho tích hai phần tử số

chẵn? ĐS:1050cách

Lời giải.

Có6cách chọn chữ số hàng chục Có6cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy tậpScó6·6=36phần tử

Ta đếm xem tậpScó số lẻ Có3cách chọn chữ số hàng đơn vị Có5cách chọn chữ số hàng chục Vậy tậpScó3·5=15số lẻ

Có36·35=1260cách chọn hai số từ tập Svà có15·14=210cách chọn hai số từ tậpS có tích số lẻ nên có

1260−210=1050cách chọn hai số từ tậpScó tích số chẵn ä

BÀI 37 Có số tự nhiên gồm tám chữ số phân biệt cho tổng tám chữ số chia hết cho9 ĐS: 181440số

Lời giải.

Vì số lập chia hết cho9nên tổng hai chữ số không xuất số lập phải bằng9 Trường hợp1: Hai chữ số0và9không xuất số lập

Có8cách chọn chữ số hàng chục triệu Có7cách chọn chữ số hàng triệu Có6cách chọn chữ số hàng trăm nghìn Có5cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có4cách chọn chữ số hàng nghìn Có3cách chọn chữ số hàng trăm Có2cách chọn chữ số hàng chục Có1cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có8·7·6·5·4·3·2·1=40320số có8chữ số thoả mãn trường hợp

Trường hợp21: Hai chữ số không xuất số lập là(1; 8)hoặc(2; 7)hoặc(3; 6)hoặc(4; 5) Có4cách chọn hai chữ số khơng xuất

(16)

Có4cách chọn chữ số hàng nghìn

Có3cách chọn chữ số hàng trăm

Có2cách chọn chữ số hàng chục

Có1cách chọn chữ số hàng đơn vị

Vậy có4·7·7·6·5·4·3·2·1=141120số có8chữ số thoả mãn trường hợp

BÀI 2. HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

(17)

Định nghĩa (Giai thừa) Cho số tự nhiênn≥1, ta định nghĩangiai thừa, ký hiệu bởin!,

n!=n·(n−1)·(n−2)· · ·2·1

Tính chất Giai thừa có tính chất sau đây:

1 n!=n·(n−1)!=n·(n−1)·(n−2)!=n·(n−1)·(n−2)· · · · ·2·1

2 Quy ước0!=1

Định nghĩa (Hoán vị) Cho tập hợpAcónphần tử (n≥1)

1 Ta nói cách xếp thứ tự củanphần tử tập hợpAlàmột hoán vịcủanphần tử

2 Số hoán vịcủanphần tử tập hợpAđược ký hiệu bởiPn

4! Các hoán vị khác khác thứ tự xếp phần tử. Ví dụ: Hốn vị của3phần tửa,b,cgồm:a,b,c;a,c,b;b,a,c; .

Định lí (Số hốn vị) Số hốn vị củanphần tử tính theo cơng thức:

Pn=n!=n·(n−1)·(n−2)· · ·2·1

Định nghĩa (Chỉnh hợp) Cho tập hợpSgồmnphần tử (n≥1) Kết việc lấykphần tử khác từnphần tử tập hợpSvà xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chậpkcủan phần tử cho

Định lí Số chỉnh hợp chậpkcủanphần tử(1≤k≤n)là:

Akn=n(n−1) (n−k+1)= n! (n−k)!

4! Khi giải tốn chọn tậpXcónphần tử, ta dùng chỉnh hợp có dấu hiệu sau: Chỉ chọnkphần tử trongnphần tử củaX (1≤k<n).

Có thự tự phần tử chọn.

Định nghĩa (Tổ hợp) Cho tập hợpAcón(n≥1)phần tử số nguyênkvới1≤k≤n Mỗi tập Acó kphần tử gọi tổ hợp chậpkcủanphần tử A(hay tổ hợp chậpkcủaA) Ký hiệuCkn

Định lí Số tổ hợp chậpkcủa tập hợp cónphần tử(1≤k≤n)là

Ckn=A k n k! =

n(n−1)(n−2) (n−k+1)

k!

4! Với quy ướcC0

n=1thì với số ngunkthỏa0≤k≤nta có

Ckn= n! k!·(n−k)!

Tính chất Ckn=Cnn−kvới0≤k≤n

Tính chất (Cơng thức Pascal) Ckn+Ckn+1=Cnk++11với1≤k≤n

B VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ Giả sử muốn xếp3bạnA,B,Cngồi vào bàn dài có3ghế Hỏi có cách xếp cho bạn

ngồi ghế? ĐS:P3=3!=6

Lời giải.

Mỗi cách xếp chỗ cho3bạn gọi hốn vị vị trí của3bạn

Như ta có số cách xếp chỗ làP3=3!=6cách ä

(18)

1 Các sách xếp tùy ý? ĐS:P12

2 Các sách môn xếp cạnh nhau? ĐS:P5·P4·P3·P3

Lời giải.

1 Số cách xếp sách tùy ý hoán vị của12phần tử, nên ta cóP12cách xếp

2 Vì sách môn xếp cạnh nên ta coi môn phần tử, ta cóP3cách xếp

Ngồi mơn, ta có hốn vị sách, ta cóP5·P4·P3cách xếp

Vậy ta cóP5·P4·P3·P3cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu đề

ä

VÍ DỤ Giả sử muốn chọn3bạn trong5bạn A,B,C, D,E sắp3bạn vào bàn dài Hỏi có bao

nhiêu cách? ĐS:A3

5

Lời giải.

Mỗi cách xếp3bạn trong5bạn vào bàn dài chỉnh hợp chập3của5phần tử, nên ta cóA35cách ä

VÍ DỤ Cho tập X={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}có thể lập số tự nhiên gồm bốn chữ số, cho

1 Đôi khác nhau? ĐS:A47

2 Số tự nhiên lẻ đôi khác nhau? ĐS:4·A36

Lời giải.

1 Mỗi cách chọn4số khác từ7số chỉnh hợp chập4của7phần tử Do ta cóA47số tạo thành

2 Để số cần lập số tự nhiên lẻ chữ số tận số lẻ, ta có4cách chọn chữ số tận Mỗi cách chọn3chữ số lại chỉnh hợp chập3của6phần tử nên ta cóA36cách

Vậy có4·A36số tạo thành

ä

VÍ DỤ Có cách lập ban chấp hành gồm3người chi đồn có14đồn viên? ĐS:C314

Lời giải.

Mỗi cách lập ban chấp hành gồm3người tổ hợp chập3của14nên ta cóC314cách ä

VÍ DỤ Vịng chung kết bóng đá Euro có24đội bóng thi đấu Hỏi có cách dự đốn4đội bóng vào

chung kết? ĐS:C424

Lời giải.

Mỗi cách dự đoán4đội vào chung kết tổ hợp chập4của24nên ta cóC424cách ä

VÍ DỤ Một lớp học có30học sinh, cần lập tổ cơng tác gồm5học sinh Hỏi có cách? ĐS: C530

Lời giải.

Mỗi cách lập tổ công tác tổ hợp chập5của30nên ta cóC530cách ä

VÍ DỤ Trong không gian, cho tập hợp Xgồm10điểm, khơng có3điểm thẳng hàng Hỏi:

1 Có đường thẳng tạo thành? ĐS:C210

2 Có tam giác tạo thành? ĐS:C310

Lời giải.

1 Để tạo thành đường thẳng, ta chọn2điểm trong10điểm nên số đường thẳng tạo thành làC210

2 Để tạo thành tam giác, ta chọn3điểm trong10điểm nên số tam giác tạo thành làC310

(19)

C DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 2.1 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Bước 1.Tìm điều kiện Ta có điều kiện thường gặp sau:

Các kí hiệu cơng thức Điều kiện

◦n!=n·(n−1)·(n−2)· · ·3·2·1 n∈N

◦Pn=n! n∈N

◦Akn= n! (n−k)!

( n,k∈N 1≤k≤n

◦Ckn= n! (n−k)!k!

( n,k∈N 0≤k≤n

◦Ckn=Cnn−k

( n,k∈N 0≤k≤n

◦Ckn+1=Ckn+Ckn−1

( n,k∈N 1≤k≤n

Bước 2.Thu gọn dựa vào công thức đưa phương trình đại số Giải phương trình đại số tìm biến.

Bước 3.So với điều kiện để nhận giá trị cần tìm.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Thu gọn biểu thứcD=7!4! 10!

à 8! 3!5!

9! 2!7!

ả

ĐS:D=2

3

Lời giải.

D=7!4! 10!

à 8! 3!5!

9! 2!7!

ả = 4!

8·9·10 µ6

·7·8 3! −

8·9 2!

¶

=4·6·7 9·10 −

3·4 10 =

28 15−

6 5=

2

ä

VÍ DỤ Giải phương trình(n+1)!

(n−1)!=72 ĐS:n=8

Lời giải.

Điều kiện:n≥1,n∈N

(n+1)!

(n−1)!=72⇔(n+1)n=72⇔n

2

+n−72=0⇔ "

n=8(nhận) n= −9(loại)

ä

VÍ DỤ Giải phương trình sau:

P2·x2−P3·x=8; ĐS:x= −1hoặcx=4

1 2 C32n=20C2n; ĐS:n=8

Cxx+2Cx−1

x +Cxx−2=Cx2+x−23; ĐS:x=3

3 Px−Px−1

Px+1 =

1

6; ĐS:x=3

4

72A1x−A3x+1=72 ĐS:x=8

5

Lời giải.

1

P2·x2−P3·x=8⇔2!·x2−3!·x−8=0⇔2x2−6x−8=0⇔

(20)

2 Điệu kiện:n≥2,n∈N

C32n=20C2n⇔ (2n)!

3!(2n−3)!=20· n! 2!(n−2)!⇔

2n(2n−1)(2n−2)

6 =

20n(n1) (2n1)(2n2)=30(n1)

à

vỡn3 ả

⇔2n2−36n+32=0⇔ "

n=8(nhận) n=1(loại)

3 Điều kiện:x≤5,x∈N

Cxx+2Cxx−1+Cxx−2=C2x+x−23⇔Cxx+Cxx−1+Cxx−1+Cxx−2=C2xx+−23⇔Cxx+1+Cxx+−11=C2xx+−23 ⇔Cxx+2=C2xx+−23⇔

"

x=2x−3

x=x+2−(2x−3)⇔ 



x=3(nhận)

x=5 (loại)

4 Điều kiện:x≥1,x∈N Px−Px−1

Px+1 =

1 6⇔

x! (x+1)!−

(x−1)! (x+1)!=

1 6⇔

1 x+1−

1 (x+1)x=

1 6⇔x

2

−5x+6=0⇔ "

x=3 x=2

5 Điều kiện:x≥2,x∈N

72A1x−A3x+1=72⇔72· x! (x−1)!−

(x+1)!

(x−2)!=72⇔72x−(x+1)x(x−1)=72⇔x

3

−73x+72=0⇔ 

 

x=8(nhận) x=1(loại) x= −9(loại)

ä

VÍ DỤ Giải phương trình C5x−

2 Cx6=

14

C7x ĐS:x=3

Lời giải.

Điều kiện:x≤5,x∈N C5x−

2 C6x=

14 Cx7⇔

5 5! x!(5−x)!

− 6!2 x!(6−x)!

= 147! x!(7−x)!

⇔5 1−

2 (6−x)

= 614 ·7 (6−x)(7−x)

⇔5−2(6−x)

6 =

14(7−x)(6−x)

6·7 ⇔15−(6−x)=(7−x)(6−x)⇔x

2

−14x+33=0⇔ "

x=11(loại) x=3(nhận)

ä

VÍ DỤ Giải bất phương trình sau:

A3n+15<15n; ĐS:n=3hoặcn=4

1 2 A3n+5A2n<21n; ĐS:n=3

2C2x+1+3A2x−20<0 ĐS:x=2

3

Lời giải.

1 Điều kiện:n≥3,n∈N

A3n+15<15n⇔ n!

(n−3)!+15<15n⇔n(n−1)(n−2)+15<15n

⇔n3−3n2−13n+15<0⇔(n−5)(n+3)(n−1)<0⇔ "

n< −3 1<n<5

Giao với điều kiện ta được3≤n<5,n∈Nhayn=3hoặcn=4

2 Điều kiện:n≥3,n∈N

A3n+5A2n<21n⇔ n! (n−3)!+5·

n!

(n−2)!<21n⇔n(n−1)(n−2)+5n(n−1)<21n

⇔n3+2n2−24n<0⇔n(n−4)(n+6)<0⇔ "

n< −6 0<n<4

(21)

3 Điều kiện:x≥2,x∈N

2C2x+1+3A2x−20<0⇔2· (x+1)! 2!(x−1)!+3·

x!

(x−2)!−20<0 ⇔x(x+1)+3x(x−1)−20<0⇔4x2−2x−20<0⇔ −2<x<5

2 Giao với điều kiện ta được2≤x<5

2,x∈Nhayx=2

ä

VÍ DỤ Giải hệ phương trình sau: (

2Axy+5Cyx=90

5Axy−2Cyx=80; ĐS:x=5;y=2

1 C

y x+1

6 = Cxy+1

5 = Cxy−1

2 ; ĐS:x=8;y=3

2

(

5Cxy−2=3Cxy−1

Cyx=Cyx−1 ĐS:

x=7;y=4

3

Lời giải.

1 Điều kiện:x≥y≥0vàx,y∈N (

2Axy+5Cyx=90 5Axy−2Cyx=80

⇔ (

Ayx=20 Cyx=10

⇔        x! (x−y)!=20

x!

y!(x−y)!=10 ⇔        x! (x−y)!=20 20

y! =10

⇔ (

x(x−1)=20

y!=2 ⇔

(

x2−x−20=0

y=2 ⇔

( x=5

y=2 (nhận)∨ (

x= −4 y=2 (loại)

2 Điều kiện:x≥y+1, y≥0vàx,y∈N Cxy

+1

6 = Cyx+1

5 = Cyx−1

2 ⇔       

(x+1)! 6·y!(x−y+1)!=

x!

5(y+1)!(x−y−1)! (x+1)!

6·y!(x−y+1)!=

x!

2(y−1)!(x−y+1)!

⇔       

x+1

6(x−y+1)(x−y)= 5(y+1) x+1

3y =1

⇔  



3y−1+1

6(3y−1−y+1)(3y−1−y)= 5(y+1) x=3y−1

⇔  



x=3y−1 2·2(2y−1)=

1 5(y+1)

⇔ (

x=3y−1 8y−4=5y+5⇔

( x=8

y=3 (nhận)

3 Điều kiện:x≥y,y≥2,x, y∈N (

5Cyx−2=3Cyx−1 Cyx=Cyx−1

⇔       

5· x!

(y−2)!(x−y+2)!=3·

x! (y−1)!(x−y+1)! x!

y!(x−y)!=

x! (y−1)!(x−y+1)!

⇔        x−y+2=

3 y−1

y= x−y+1

⇔ (

3x−8y= −11 x−2y= −1 ⇔

( x=7

y=4 (nhận)

ä 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Thu gọn biểu thứcD= 2011! 2010!−2009!·

2009

2011 ĐS:D=2010

Lời giải.

D= 2011! 2010!−2009!·

2009 2011=

2011·2010·2009! 2009!(20010−1) ·

2009

2011=2010

(22)

BÀI Giải phương trình x!−(x−1)! (x+1)! =

1

6 ĐS:x=3hoặcx=2

Lời giải.

Điều kiện:x≥1,x∈N

Khi đó, phương trình cho tương đương với (x−1)!(x−1)

(x+1)! = 6⇔

x−1 x(x+1)=

1

6⇔6x−6=x

2

+x⇔x2−5x+6=0⇔ "

x=3

x=2 (nhận)

ä

BÀI Giải phương trình Cx4−

1 Cx5=

1

Cx6 ĐS:x=2

Lời giải.

Điều kiện:0≤x≤4vàx∈N

Khi phương trình cho tương đương với x!(4−x)!

4! −

x!(5−x)! 5! =

x!(6−x)!

6! ⇔

x!(4−x)! 4!

·

1−5−x −

(6−x)(5−x) 6.5

¸ =0 ⇔30−6(5−x)−(6−x)(5−x)=0⇔ −x2+17x−30=0⇔

"

x=2(nhận) x=15(loại)

ä

BÀI Giải phương trình sau:

A3n=20n; ĐS:n=6

1 2 4C8x=5C7x−1; ĐS:x=10

A3n+5A2n=2(n+15); ĐS:n=3

3 4 2C2x−1−C1x=79; ĐS:x=11

2A2x+50=A22x ĐS:x=5

5

Lời giải.

1 Điều kiện:n≥3vàn∈N

Khi phương trình cho tương đương với n!

(n−3)!=20n⇔n(n−1)(n−2)=20n

⇔n(n2−3n+2−20)=0⇔n(n2−3n−18)=0⇔ 

 

n=0(loại) n=6(nhận) n= −3(loại)

2 Điều kiện:x≥8vàx∈N

Khi phương trình cho tương đương với 4· x!

8!(x−8)!=5·

(x−1)! 7!(x−8)!⇔4·

x

8=5⇔x=10(nhận)

Khi phương trình cho tương đương với n!

(n−3)!+5· n!

(n−2)!=2(n+15)⇔n(n−1)(n−2)+5n(n−1)=2n+30 ⇔n3+2n2−5n−30=0⇔(n−3)(n2+5n+10)=0⇔n=3(nhận)

Khi phương trình cho tương đương với 2· (x−1)!

2!(x−3)!−x=79⇔(x−1)(x−2)−x=79⇔x

2

−4x−77=0⇔ "

x=11(nhận) x= −7(loại)

Khi phương trình cho tương đương với 2· x!

(x−2)!+50= (2x)!

(2x−2)!⇔2x(x−1)+50=2x(2x−1)⇔2x

2

−50=0⇔ "

(23)

ä

BÀI Giải bất phương trình sau:

A3n<A2n+12; ĐS:n=3

1 2 2C2x+1+3A2x<30; ĐS:x=2

1 2A

2 2x−A2x≤

6 xC

3

x+10 ĐS:x=3hoặcx=4

3

Lời giải.

Khi bất phương trình cho tương đương với n!

(n−3)!< n!

(n−2)!+12⇔n(n−1)(n−2)<n(n−1)+12 ⇔n3−4n2+3n−12<0⇔(n−4)(n2+3)<0⇔n<4

Kết hợp với điều kiện suy ra3≤n<4, hayn=3

Khi bất phương trình cho tương đương với 2· (x+1)!

2!(x−1)!+3· x!

(x−2)!<30⇔x(x+1)+3x(x−1)<30⇔4x

2

−2x−30<0⇔ −5

2<x<3

Kết hợp với điều kiện suy ra2≤x<3, hayx=2

Khi bất phương trình cho tương đương với

2· (2x)! (2x−2)!−

x! (x−2)!≤

6 x·

x!

3!(x−3)!+10⇔

2·2x(2x−1)−x(x−1)≤(x−1)(x−2)+10 ⇔x(2x−1)−x2+x≤x2−3x+2+10⇔3x≤12⇔x≤4

Kết hợp với điều kiện suy ra3≤x≤4, hayx=3hoặcx=4

ä

BÀI Giải hệ phương trình sau: (

2Axy+Cyx=180

Ayx−Cxy=36 ; ĐS:x=9;y=2

1 Cm+1

n+1 : C

m n+1: C

m−1

n+1 =5 : : 3; ĐS:m=3;n=6

2

(

7A5y−x3=A5y−x2

4C5y−x2=7C5y−x3 ĐS:

x=2;y=6

3

Lời giải.

1 Điều kiện: y≤xvàx,y∈N, x≥1

Khi hệ phương trình tương đương với (

Axy=72 Cxy=36

⇔ (

Cxy·y!=72 Cxy=36

⇔ (

y!=2 Cxy=36

⇔ (

y=2 C2x=36⇔

( y=2

x=9 (nhận)

2 Điều kiện:n≥m≥1vàn,m∈N

Khi hệ phương trình tương đương với 





Cmn++11: Cmn+1=1 Cmn+1: Cmn+−11=5 ⇔       

(n+1)! (m+1)(n−m)!·

m!(n−m+1)! (n+1)! =1 (n+1)!

m!(n+1−m)!·

(m−1)!(n+2−m)! (n+1)! =

5 ⇔       

n−m+1 m+1 =1 n+2−m

m =

5

⇔ (

n−m+1=m+1 3n+6−3m=5m⇔

(

n−2m=0 3n−8m= −6⇔

( m=3

(24)

3 Điều kiện:5x≥y−2, y≥3vàx,y∈N, x≥1 Khi hệ phương trình tương đương với

      

7· (5x)! (5x−y+3)!=

(5x)! (5x−y+2)! 4· (5x)!

(5x−y+2)!(y−2)!=7·

(5x)! (5x−y+3)!(y−3)!

⇔       

(5x−y+3)=1

(y−2)= (5x−y+3)

⇔ (

5x−y+3=7

4(5x−y+3)=7(y−2)⇔ (

5x−y=4

20x−11y= −26⇔ (

x=2

y=6 (nhận)

ä 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Thu gọn biểu thức sau: D= 5!

m(m+1)·

(m+1)!

(m−1)!3!; ĐS:D=20

1 D=¡ 7!

m2+m¢·

(m+2)!

4!(m−1)!; ĐS:D=210(m+2)

2

D= 6! m(m+1)·

(m+1)!

4!(m−1)!; ĐS:D=30

3 D=(n+1)C

2

n n¡

n2−1¢ ĐS:D=

1

4

BÀI Giải phương trình sau: n!

(n−2)!− n!

(n−1)!=3; ĐS:n=3

1 n3+ n!

(n−2)!=10 ĐS:n=2

2

BÀI Giải phương trình sau: Cx+4

10+x=C

2x−10

10+x ; ĐS:x=14∨x=8

1 Ck14+Ck+2

14 =2C

k+1

14 ; ĐS:k=4

2

A3n+2C2n=16n; ĐS:n=5

3 4 A3x+Cxx−2=14x; ĐS:x=5

A2x−2+Cx−2

x =101; ĐS:x=10

5 6 2C2x−1−C1x=79; ĐS:x=11

Pn+2

Ann−−41·P3

=210; ĐS:n=5

7

C228x C224x−4=

225

11 ; ĐS:n=7

8

x2−Cx4·x+C32·C13=0; ĐS:x∈∅

9 Cx−2

x+1+2C

x−1=7(x−1); ĐS:x=5

10

6C2x+6C3x=7x2−7x; ĐS:x=6

11 12 C1x+6C2x+6Cx3=9x2−14x; ĐS:x=7 2¡

A3n+3A2n¢

=Pn+1; ĐS:x=4

13 14 2Pn+6A2n−Pn·An2=12 ĐS:x=3hoặcx=2

BÀI 10 Giải phương trình sau:

C1x −

C2x+1=

6C1x+4; ĐS:x=8hoặcx=3

1 C4n−1−C3n−1−5

4A

2

n−2=0; ĐS:x=11hoặcx=3

2

C1x+C2x+C3x=7

2x; ĐS:x=4

3 Cx−1

x +Cxx−2+Cxx−3+ · · ·Cxx−10=1023 ĐS:x=20

4

BÀI 11 Giải bất phương trình sau:

4≤n!+(n+1)!<50; ĐS:n=2hoặcn=3

1 2 72A1x−A3x+1≤72; ĐS:n∈[−2; 1]∪[8;+∞]

n3+ n!

(n−2)!≤10; ĐS:x=2

3 A

4

n+4

(n+2)!< 15

(n−1)!; ĐS:n∈(2; 6)

4

A4x+4 (x+1)!≤

42 Px

; ĐS:x=0

5 Pn+5

(n−k)!≤60A k+2

n+3; ĐS:∀n∈N

6

12 x C

3

x−3A2x≥ 2A

2

2x−81; ĐS:x∈[3; 5]

7 C4x−1−C3x−1−5

4A

2

x−2<0; ĐS:x∈[5; 11]

8

An−2

n+1

C2n−1≥2Pn; ĐS:n∈∅

9 A

4

n+2

Pn+2−

143 4Pn−1<

0 ĐS:n∈[2;+∞)

10

(25)

  

 

Axy Px+1+

Cyy−x=147 Px+1=720

; ĐS:x=5;y=9

1 2 Cyx+1: Cyx+1: Cxy−1=6 : : 2; ĐS:x=8;y=3

      

Cxy: Cxy+2=1 Cxy: Axy=

24

; ĐS:x=4;y=8

3     

Cmn++11=Cmn+1 Cmn+1 Cm−1

n+1

=5

; ĐS:m=3;n=6

4     

Axy+1 Px +

Cyy−x−1=126 Px+2=720

; ĐS:x=4;y=7

5       

C4n−1−C3n−1<5 4A

2

n−2

Cnn−+41≥ 15A

3

n+1

; ĐS:n=1

6

(

Cyx−Cxy+1=0 4Cxy−5Cyx−1=0

; ĐS:x=17;y=8

7

 

 ¡

Cxx−1¢2

+2³Cyy−1´2=3Axx−1·Cyy−1 2¡

Cxx−1¢3

=Ayy−1+1

ĐS:x=1;y=1

8

{DẠNG 2.2 Các toán sử dụng hốn vị

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Có cách xếp5bạn học sinh A,B,C,D,Evào ghế dài cho:

1 BạnCngồi giữa? ĐS:24

2 Hai bạn AvàEngồi hai đầu ghế? ĐS:12

Lời giải.

1 Xếp bạnCngồi giữa: có1cách

Xếp4bạn cịn lại vào4vị trí cịn lại: có4!cách Vậy có1×4!=24cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán

2 Xếp hai bạnAvàEở hai đầu ghế: có2!cách Xếp3bạn cịn lại vào3vị trí cịn lại: có3!cách Vậy có2!×3!=12cách xếp thỏa mãn u cầu tốn

ä

VÍ DỤ Có cách xếp12học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết

đó phải có5em định trước đứng kề nhau? ĐS:4838400

Lời giải.

Chưa kể thứ tự giữa5em nhóm “định trước”, để xếp5em đứng kề ta có8!cách xếp; Lại có5!cách xếp5em

Vậy có tất cả5!×8!=4838400cách xếp thỏa mãn u cầu tốn ä

VÍ DỤ Trên kệ sách dài có5quyển sách Tốn,4quyển sách Lí,3quyển sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên:

1 Một cách tùy ý ĐS:479001600

2 Theo môn? ĐS:103680

3 Theo môn sách Toán nằm giữa? ĐS:34560

Lời giải.

1 Trên kệ có tất cả5+4+3=12quyển sách

(26)

2 Xem loại sách khối thống nhất, ta có3!cách xếp3khối Có5!cách xếp sách tốn, có4!cách xếp sách Lí có3!cách xếp sách Văn Vậy có tất cả3!×5!×4!×3!=103680cách xếp thỏa mãn u cầu tốn

3 Xem loại sách khối thống nhất, ta có2!cách xếp hai mơn cịn lại hai bên sách Tốn; Ứng với cách, có5!cách xếp sách Tốn; có4!cách xếp sách Lí có3!cách xếp sách Văn Do có2!×5!×4!×3!=34560cách xếp thỏa mãn u cầu tốn

ä

VÍ DỤ Hỏi có cách xếp6cặp vợ chồng ngồi xung quanh bàn tròn cho:

1 Nam nữ ngồi xen kẽ nhau? ĐS:86400

2 Mỗi bà ngồi cạnh chồng mình? ĐS:7680

Lời giải.

1 Cố định người, có5!cách xếp5người giới cịn lại vào5vị trí cịn lại; Có6!cách xếp6người khác giới cịn lại vào vị trí xen kẽ

Vậy có tất cả5!×6!=86400cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán

2 Ta tiến hành theo hai công đoạn:

Công đoạn 1: Xếp6người chồng xung quanh bàn trịn: có5!cách

Cơng đoạn 2: Xếp vợ ngồi gần chồng hai vợ chồng đổi vị trí cho nhau: có26cách Vậy có tất cả5!×26=7680cách

ä

VÍ DỤ Cho tập hợpE={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, biết

tổng ba chữ số số bằng9? ĐS:18

Lời giải.

Các ba số khác trongEcó tổng bằng9là Trường hợp 1:1+2+6=9

Trường hợp 2:1+3+5=9 Trường hợp 3:2+3+4=9

Mỗi số lập được3!số tự nhiên gồm ba chữ số khác

Vậy có3×3!=18số ä

VÍ DỤ Từ chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6thiết lập tất số có sáu chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số1và6không đứng cạnh nhau? ĐS:480

Lời giải.

Có6!=720số có sáu chữ số khác lập từ chữ số cho Ta xác định số có6chữ số mà1và6đứng cạnh

Có5cách chọn2vị trí cạnh trong6vị trí Có2!cách xếp hai chữ số1và2vào2vị trí Có4!cách xếp4chữ số cịn lại vào4vị trí cịn lại

Suy có5×4!×2!=240các số mà hai chữ số1và6đứng cạnh

Vậy số số mà hai chữ số1và6khơng đứng cạnh là720−240=480 ä

VÍ DỤ Cho số0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập số gồm tám chữ số chữ số5lặp lại ba

lần, chữ số cịn lại có mặt lần? ĐS:5880

Lời giải.

Xét dãy số0, 1, 2, 3, 4, 5, 5,

Nếu coi dãy gồm chữ số khác ta lập được7×7!=35280số Ba chữ số5có số lần số lặp lại là3!

Vậy có35280

(27)

BÀI Có hai dãy ghế, dãy5ghế Xếp5nam,5nữ vào2dãy ghế Hỏi có cách xếp cho:

1 Nam nữ xếp tùy ý? ĐS:10!

2 Nam dãy ghế, nữ dãy ghế? ĐS:28800

Lời giải.

1 Có thảy10người gồm nam nữ

Do có10!cách xếp tùy ý10người vào10ghế

2 Chưa kể thứ tự nam thứ tự nữ, có2!cách xếp nam vào dãy nữ vào dãy Có5!cách xếp nam,5!cách xếp nữ

Vậy có2!×5!×5!=28800cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán

ä

BÀI Cho bàn dài có10ghế và10học sinh có5học sinh nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho10học sinh cho:

1 Nam nữ ngồi xen kẽ nhau? ĐS:28800

2 Những học sinh giới ngồi cạnh nhau? ĐS:28800

Lời giải.

1 Có2!cách lựa chọn nam nữ đứng ngồi tính từ bên trái tính qua phải (hoặc từ phải qua trái); Có5!cách xếp5học sinh nam, có5!cách xếp5học sinh nữ

Vậy có2!×5!×5!=28800cách

2 Chưa kể thứ tự học sinh giới có2!cách xếp; Ứng với cách xếp trên, có5!cách xếp nam và5!cách xếp nữ Vậy có2!×5!×5!=28800cách xếp thỏa mãn u cầu tốn

ä

BÀI Cho tậpA={1, 2, 3, 4, 5, 6} Có số tự nhiên gồm bốn chữ số khác lấy từ tậpAsao cho tổng

các chữ số bằng14? ĐS:72

Lời giải.

Các bốn số khác trongAcó tổng bằng14là Trường hợp 1:1+2+5+6=14

Trường hợp 2:1+3+4+6=14 Trường hợp 3:2+3+4+5=14

Mỗi số lập được4!số tự nhiên gồm bốn chữ số khác

Vậy có3×4!=72số ä

BÀI Cho hai tậpA{1, 2, 3, 4, 5, 6},B={0, 1, 2, 3, 4, 5} Có số gồm sáu chữ số phân biệt cho:

1 Hai chữ số1và6đứng cạnh lập từ tậpA? ĐS:240

2 Chữ số2đứng cạnh chữ số3được lập từ tậpB? ĐS:192

Lời giải.

1 Mỗi số có6chữ số khác lập từAlà cách xếp6chữ số Avào6vị trí Có5cách chọn2vị trí cạnh trong6vị trí

Có2!cách xếp hai chữ số1và2vào2vị trí Có4!cách xếp4chữ số cịn lại vào4vị trí cịn lại

Suy có5×4!×2!=240các số mà hai chữ số1và6đứng cạnh

2 Coi hai chữ số2, 3đứng cạnh chữ số làx Từ5chữ số0, 1,x, 4, 5lập được4×4!=96số

(28)

Vậy có2×4×4!=192số

ä

BÀI Từ tập hợp A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, lập số tự nhiên chia hết cho5, gồm năm chữ số đôi khác cho ln có mặt chữ số1, 2, 3và chúng đứng cạnh nhau? ĐS:66

Lời giải.

Xét trường hợp sau:

1 Trường hợp chữ số0đứng cuối

Có2cách chọn vị trí cho ba chữ số1, 2, Có3!cách xếp vị trí cho ba chữ số1, 2,

Có3cách chọn thêm số ba số4, 5, 6và xếp vào vị trí cịn lại Suy có2×3!× =36số

2 Trường hợp chữ số5đứng cuối Coi3chữ số1, 2, 3đứng cạnh chữ sốx Khi số cần lập số có 3chữ số dạngab5trong có chữ sốx

Nếua=xthì có3cách chọnb∈{0, 4, 6} Nếub=xthì có2cách chọna∈{4, 6}

Suy có5chữ số cho ln có mặt chữ sốxvà chữ số5đứng cuối Có3!cách xếp vị trí cho ba chữ số1, 2,

Do có5×3!=30số

Vậy có36+30=66số thỏa mãn ä

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Một trường trung học phổ thơng có4học sinh giỏi khối12, có5học sinh giỏi khối11, có6học sinh giỏi khối 10 Hỏi có cách xếp20học sinh thành hàng ngang để đón đồn đại biểu, nếu:

1 Các học sinh xếp bất kì? ĐS:15!

2 Các học sinh khối phải đứng kề nhau? ĐS:12441600

BÀI Xếp6học sinhA,B,C,D,E,F vào ghế dài, có cách xếp nếu:

1 6học sinh ngồi bất kì? ĐS:720

2 AvàFln ngồi hai đầu ghế? ĐS:48

3 AvàFluôn ngồi cạnh nhau? ĐS:240

4 A,B,Cluôn ngồi cạnh nhau? ĐS:144

5 A,B,C,Dluôn ngồi cạnh nhau? ĐS:144

BÀI Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước gồm: Mỹ5người, Nga5người, Anh4người, Pháp6người, Đức4người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 4!×5!×5!×4!×6!×4!

BÀI Xét số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ chữ số1,2,3,4,5 Hỏi số có số:

1 Bắt đầu chữ số5? ĐS:4!

2 Không bắt đầu chữ số1? ĐS:5!−4!

3 Bắt đầu bằng23? ĐS:3!

4 Không bắt đầu bằng234? ĐS:5!−2!

BÀI 10 Cho tậpX={1; 2; 3; 4; 7} Hỏi có số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác chia hết cho3được

lập từX? ĐS:24

BÀI 11 Cho tập hợpE={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, biết tổng

(29)

{DẠNG 2.3 Các toán sử dụng chỉnh hợp

Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng cơng thức tính chỉnh hợpAkn= k! (n−k)!.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Trong khơng gian cho bốn điểmA,B,C,D Từ điểm ta lập véc-tơ khác #»0 Hỏi có

được véc-tơ? ĐS:A24

Lời giải.

Chọn cách có thứ tự2trong4điểmA,B,C,Dta véc-tơ

Do số cách chọn véc-tơ từ điểm làA24cách ä

VÍ DỤ Một nhóm học sinh có7em nam và3em nữ Hỏi có cách xếp10em hàng ngang, cho hai vị trí đầu cuối hàng em nam khơng có em nữ ngồi cạnh nhau?ĐS:7!·A36

Lời giải.

Giả sử em nam vị trí|như hình sau:

| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |

Khi ta cần xếp em nữ vào vị trí∗để thỏa u cầu tốn Do số cách xếp em nữ làA3

6

Số cách xếp em nam là7!

Vậy số cách xếp 10 em là7!·A36 ä

VÍ DỤ Có cách xếp chỗ cho bạn nữ bạn nam vào 10 ghế mà hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, nếu:

Ghế xếp thành hàng ngang? ĐS:6!·A45

1

Ghế xếp quanh bàn tròn? ĐS:5!·A46

2

Lời giải.

Giả sử em nam vị trí|như hình sau:

| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |

Khi ta cần xếp em nữ vào vị trí∗để thỏa u cầu tốn Do số cách xếp em nữ làA45

Số cách xếp em nam là6!

Vậy số cách xếp 10 em là6!·A45

(30)

Sắp xếp em nữ vào vị trí khoảng hai dấu chấm để thỏa yêu cầu toán Do số cách xếp em nữ làA46

Số cách xếp em nam thứ vào bàn (vì xếp em ngồi ghế nhau) Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn cịn lại ghế

Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn Số cách xếp em nam thứ sáu vào bàn Do số cách xếp em nam vào bàn tròn là5! Vậy số cách xếp 10 em là5!·A46

2

ä

VÍ DỤ Cho tập X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ X

mà chia hết cho5? ĐS:1560

Lời giải.

Xét số tự nhiên gồm năm chữ sốx=a1a2a3a4a5,a16=0thỏa yêu cầu toán

Trường hợp 1:a5=0

Số cách chọna1là7cách

Số cách chọn số cịn lại làA36cách

Do số cách chọn trường hợp là1·7·A36=840cách Trường hợp 2:a5=5

Số cách chọn số cịn lại làA36cách

Do số cách chọn trường hợp là1·6·A36=720cách

Vậy số cách chọn sốxthỏa u cầu tốn là840+720=1560cách ä

VÍ DỤ Cho tập X={0; 1; ; 9} Có số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từX

bé hơn475? ĐS:268

Lời giải.

Xét số tự nhiên gồm ba chữ sốx=a1a2a3,a16=0thỏa yêu cầu toán

Trường hợp 1:a1<4⇒a1∈{1; 2; 3}

Số cách chọn chữ số cịn lại làA29

Do số cách chọn sốxtrong trường hợp là3·A29=216cách

Trường hợp 2:a1=4,a2=7

Khi đóa3∈{0; 1; 2; 3}

Do số cách chọn sốxtrong trường hợp là1·1·4=4cách

Trường hợp 3:a1=4,a2∈{0; 1; 2; 3; 5; 6}

Do số cách chọn sốxtrong trường hợp là1·6·8=48cách

(31)

BÀI Từ 20học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trường, lớp phó thư kí Hỏi có cách

chọn? ĐS:A320

Lời giải.

Chọn cách có thứ tự học sinh 20 học sinh ta chọn ban đại diện lớp

Do số cách chọn ban đại diện lớp làA320cách ä

BÀI Có nam, nữ có ba bạn tên A,B,C Hỏi có cách xếp thành hàng dọc để vào lớp cho:

Các bạn nữ không đứng cạnh ĐS:6!·A67

1

Đầu hàng cuối hàng nam ĐS:10!·A26

2

Đầu hàng cuối hàng phái ĐS:2·10!·A26

3

Đầu hàng cuối hàng khác phái ĐS:2·6·6·10!

4

A,B,Cluôn đứng cạnh ĐS:10!·3!

5

A,Bđứng cách người ĐS:10·10!·2!

6

Lời giải.

Đặt tùy ý bạn nam có6!cách

Giữa bạn nam lại cóA67cách chọn bạn nữ Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu tốn là6!·A67cách

1

Chọn có thứ tự bạn nam đầu hàng cuối hàng cóA26cách Số cách xếp 10 bạn lại là10!cách

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu toán là10!·A26cách

2

Trường hợp 1:Đầu hàng cuối hàng ln nam Theo câu ta có10!·A26cách xếp cho trường hợp Trường hợp 2:Đầu hàng cuối hàng ln nữ

Chọn có thứ tự bạn nữ đầu hàng cuối hàng cóA26cách Số cách xếp 10 bạn lại là10!cách

Do có10!·A26cách xếp cho trường hợp

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu toán là2·10!·A26

3

Trường hợp 1:Đầu hàng nam, cuối hàng nữ có6cách chọn vị trí đầu hàng và6cách chọn vị trí cuối hàng

Số cách xếp 10 bạn cịn lại là10!cách Do có6·6·10!cách xếp cho trường hợp

Tương tự cho trường hợp đầu hàng nữ, cuối hàng nam ta có6·6·10!cách xếp Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu toán là2·6·6·10!cách

4

CoiA,B,Clà nhóm người

Khi cách xếp9người nhóm người là10!cách Hốn vị A,B,Cta có3!cách

Do số cách xếp thỏa yêu cầu toán là10!·3!cách

5

CoiA,Bvà người nhóm

Khi số cách chọn người giữaAvàBlà10cách Số cách xếp9người lại nhóm là10!cách Hốn vị AvàBta có2!cách

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu toán là10·10!·2!cách

6

ä

BÀI Có cách xếp bạn nam bạn nữ ngồi xung quanh bàn trịn cho khơng có

bạn nữ ngồi cạnh nhau? ĐS:4!·A35

Lời giải.

Khoảng bạn nam có vị trí Sắp xếp em nữ vào vị trí để thỏa u cầu Do số cách xếp em nữ làA35cách

(32)

Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn là4(vì cịn lại ghế) Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn là3

Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn là2 Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn là1

Do số cách xếp em nam vào bàn tròn là4!cách

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu toán là4!·A35cách ä

BÀI Cho tậpX={0; 1; ; 9} Cho số tự nhiên có năm chữ số lập từ Xsao cho:

Các chữ số khác đôi một? ĐS:9·A49

1

Các chữ số khác đôi số số lẻ? ĐS:5·8·A38

2

Các chữ số khác đôi phải có đủ chữ số1; 2; 3? ĐS:A35·A27−6·A34

3

Lời giải.

Xét số cần tìm làx=a1a2a3a4a5,a16=0

Số cách chọna1là9cách (vìa16=0)

Số cách chọn số lại làA49cách

Vậy số cách chọn sốxthỏa yêu cầu là9·A49cách

1

Số cách chọna5là5cách (vìa5∈{1; 3; 5; 7; 9}

Số cách chọna1là8cách (vìa16=0vàa16=a5))

Số cách chọn cho số cịn lại làA38cách

Vậy số cách chọn sốxthỏa yêu cầu là5·8·A38cách

2

Chọn3trong5vị trí chữ số1;2;3(kể khia1=0) cóA35cách chọn

Chọn2chữ số cịn lại cóA27cách chọn

Trường hợpa1=0: chọn3trong4vị trí chữ số1;2;3cóA34cách

Số cách chọn số cịn lại có6cách chọn

Vậy số cách chọnxthỏa yêu cầu làA35·A27−6·A34cách

3

ä

BÀI Cho tập X={0; 1; 2; 3; 5; 7; 8} Có số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác chia hết cho

không lớn 4000 lập từX? ĐS:120

Lời giải.

Xét số cần tìm làx=a1a2a3a4,a16=0

Doxchia hết cho5nêna4∈{0; 5}

Dox<4000nêna1∈{1; 2; 3}

a2có5cách chọn

a3có4cách chọn

Vậy số cách chọnxthỏa yêu cầu là2·3·5·4=120cách ä

BÀI Một khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có ngăn hình quạt với màu khác Hỏi có cách bày

6 loại bánh kẹo vào ngăn đó? ĐS:5!

BÀI Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ngồi hàng ngang có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho học sinh cho học sinh lớp 12 ngồi hai học sinh lớp 11? ĐS:6!·A35

BÀI Từ số1; 3; 5; 6; 7có thể lập số có chữ số khác lớn số6000? ĐS:2·A34+A55

BÀI Cho tậpX={0; 1; ; 9} Có số tự nhiên lẻ gồm năm chữ số khác đôi tạo từX lớn

hơn70000? ĐS:4368

BÀI 10 Có thể lập số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu là0908, chữ số lại khác đôi một, đồng thời khác với chữ số đầu thiết phải có mặt chữ số 6? ĐS:6·A56

BÀI 11 Từ sáu chữ số0; 1; 3; 5; 7; 9có thể lập số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác không

chia hết cho 5? ĐS:4·4·A24

BÀI 12 Với sáu chữ số0; 1; 2; 3; 4; 5có thể lập số tự nhiên có chữ số khác thỏa điều kiện:

Số số chẵn? ĐS:312

1

Số bắt đầu bởi24? ĐS:24

2

Số bắt đầu bởi345? ĐS:6

(33)

BÀI 13 Cho tập hợpX={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập sốngồm chữ số khác đôi lấy từX trường hợp sau:

nlà số chẵn? ĐS:3000

1

Một ba chữ số phải số 1? ĐS:2280

2

BÀI 14 Có số tự nhiên có chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền hai chữ số

1 3? ĐS:7440

BÀI 15 Cho tậpE={1; 2; 3; 4; 7} Có số tự nhiên gồm ba chữ số:

Đôi khác nhau? ĐS:A35

1

Đôi khác chia hết cho3? ĐS:24

2

BÀI 16 Cho tậpA={0; 1; 2; 3; 4; 5} Từ tập Acó thể lập số tự nhiên gồm chữ số đơi khác

mà phải có chữ số chữ số 3? ĐS:A25·A34−4·A34

{DẠNG 2.4 Các toán sử dụng tổ hợp

Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng công thức tính tổ hợpCkn= k! k!·(n−k)!.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Ơng X có 11người bạn Ơng muốn mời5người số họ chơi xa Trong11 người có có người khơng muốn gặp Hỏi ơngXcó phương án mời5người bạn? ĐS:378

Lời giải.

Cách 1:Giả sử hai người không muốn gặp làA,B Nếu chọn ra5người khơng có cảAvàBthì cóC59cách

Nếu chọn ra5người có hai ngườiA,Bthì cóC49·2cách Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn u cầu tốn là2C49+C59=378cách Cách 2:Chọn5người cóC511cách

Chọn5người có cảAvàBcóC39cách Vậy cóC511−C39=378cách chọn thỏa u cầu tốn

ä

VÍ DỤ Một nhóm có6học sinh nữ và7học sinh nam Có cách chọn tổ học tập có5học sinh, có tổ trưởng, tổ phó, thủ quỹ hai tổ viên, biết tổ trưởng phải nam

thủ quỹ phải nữ ĐS:C17·C61·C111·C210

Lời giải.

Chọn1bạn nam làm tổ trưởng, cóC17cách Chọn1nữ làm thủ quỹ, cóC16cách

Chọn1bạn trong11bạn cịn lại làm tổ phó, cóC111cách Chọn1bạn trong10bạn cịn lại làm tổ viên, cóC110cách

Theo quy tắc nhân cóC17·C16·C111·C110cách thỏa mãn ä

VÍ DỤ Một lớp có20 học sinh có14 nam,6nữ Hỏi có cách lập1đội gồm4học sinh có:

Số nam số nữ nhau? ĐS:C214·C26

1

Ít nữ? ĐS:3844

2

(34)

Chọn ngẫu nhiên2học sinh nam, cóC214cách Chọn ngẫu nhiên2học sinh nữ, cóC26cách

Khi đó, theo quy tắc nhân cóC214·C26cách thỏa mãn

1

Chọn4học sinh cóC420cách

Chọn4học sinh khơng có học sinh nữ cóC414cách Vậy cóC420−C414=3844cách lập đội thỏa u cầu tốn

2

ä

VÍ DỤ Một lớp có50học sinh chia thành5tổ, tổ có10học sinh Có cách chia tổ? ĐS: C1050·C1040·C1030·C1020·C1010

Lời giải.

Chọn10học sinh xếp vào tổ1cóC1050cách Chọn10học sinh xếp vào tổ2cóC1040cách Chọn10học sinh xếp vào tổ3cóC1030cách Chọn10học sinh xếp vào tổ4cóC1020cách Chọn10học sinh xếp vào tổ5cóC1010cách

Theo quy tắc nhân, số cách thỏa mãn yêu cầu toán làC1050·C1040·C3010·C1020·C1010 ä

VÍ DỤ Từ 5bơng hồng vàng, 3bơng hồng trắng,4bông hồng đỏ (các hồng xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn ra1bó hoa hồng gồm7bơng Có cách chọn:

1bó hoa có bơng hồng đỏ ĐS:112

1

1bó hoa có nhất3bơng hồng vàng nhất3bông hồng đỏ ĐS:150

2

Lời giải.

Số cách chọn hồng đỏ làC14

Số cách chọn6bông hồng màu đỏ làC68

Theo quy tắc nhân, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu làC14·C68=112

1

Bó hoa7bơng thỏa mãn u cầu tốn có trường hợp: ◦3bơng vàng,3bơng đỏ,1bơng trắng: cóC53·C34·C13cách chọn ◦3bơng vàng,4bơng đỏ: cóC35·C44cách chọn

◦4bơng vàng,3bơng đỏ: cóC45·C34cách chọn

Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu toán làC35·C34·C13+C53·C44+C45·C34=150

2

ä

VÍ DỤ Cho tập X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Từ tậpX lập số tự nhiên gồm5chữ số đơi khác số có hai chữ số chẵn ba chữ số lẻ? ĐS: 2592

Lời giải.

Trong tậpX có4số chẵn,4số lẻ

Giả sử số có5chữ số, đơi khác làabcd e(a6=0) Chọn2chữ số chẵn cóC24cách

Chọn2vị trí trong5vị trí để xếp số chẵn cóA25cách Chọn3chữ số lẻ vào3vị trí cịn lại cóA34cách

Suy cóC24·A25·A34=2880cách chọn số có đúng2chữ số chẵn và3chữ số lẻ

Tương tự, ta chọn số có dạng0bcd evớibcd ethỏa mãn có đúng1chữ số chẵn,3chữ số lẻ cóC31·A14·A34=288số

Vậy ta có2880−288=2592số thỏa mãn u cầu tốn ä

BÀI Một đội văn nghệ gồm20người, có10nam,10nữ Hỏi có cách chọn ra5người, cho:

Có đúng2nam trong5người đó? ĐS: 5400

1

Có nhất2nam, nhất1nữ trong5người đó? ĐS:12900

(35)

Lời giải.

Chọn2nam và3nữ cóC210·C310=5400cách

1

Các trường hợp chọn thỏa mãn yêu cầu toán: ◦Chọn2nam và3nữ, cóC210·C310cách

◦Chọn3nam và2nữ, cóC310·C210cách ◦Chọn4nam và1nữ, cóC410·C110cách

Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu toán làC210·C310+C310·C210+C410·C110=12900

2

ä

BÀI Một tổ có8học sinh trồng Khi trồng cần có2em học sinh Có cách chia tổ thành

cặp vậy? ĐS:2520

Lời giải.

Chọn2học sinh cho tổ1cóC28cách Chọn2học sinh cho tổ2cóC26cách Chọn2học sinh cho tổ3cóC24cách Chọn2học sinh cho tổ4cóC22cách

Khi đó, số cách thỏa mãn yêu cầu toán làC28·C26·C24·C22=2520 ä

BÀI Một hộp đựng15viên bi khác gồm4bi đỏ,5bi trắng và6bi vàng Tính số cách chọn4viên bi từ hộp

đó cho khơng có đủ3màu ĐS:645

Lời giải.

Chọn4bi trong15b, cóC415=1365cách Các trường hợp chọn4bi có đủ ba màu:

◦2bi đỏ,1bi trắng,1bi vàng: cóC42·C15·C16cách ◦1bi đỏ,2bi trắng,1bi vàng: cóC41·C25·C16cách ◦1bi đỏ,1bi trắng,2bi vàng: cóC41·C15·C26cách Vậy cóC24·C15·C16+C14·C52·C16+C14·C15·C26=720cách

Khi đó, số cách chọn4bi khơng có đủ ba màu là1365−720=645cách ä

BÀI Một hộp đựng11viên bi đánh số từ1đến11 Có cách chọn ra4viên bi cho tổng số

trên4bi số lẻ? ĐS:160

Lời giải.

Trong11bi cho, có6bi đánh số lẻ,5bi đánh số chẵn Lấy ra4bi, để tổng số trên4bi lẻ cách chọn: ◦1bi lẻ,3bi chẵn: cóC16C35cách

◦3bi lẻ,1bi chẵn: cóC36C15cách

Khi đó, số cách chọn thỏa mãn làC16·C35+C36·C15=160 ä

BÀI Cho10điểm khơng gian, khơng có3điểm thẳng hàng

Có đường thẳng tạo thành? ĐS:C210

1

Có véctơ tạo thành? ĐS:A210

2

Có tam giác tạo thành? ĐS:C310

3

Nếu trong10điểm khơng có4điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành? ĐS:C410

4

Lời giải.

2điểm xác định đường thẳng nên số đường thẳng tạo thành làC210

1

2điểm (có kể thứ tự điểm đầu, điểm cuối) xác định véc-tơ nên số véc-tơ tạo thành làA210

2

3điểm không thẳng hàng xác định tam giác nên số tam giác tạo thành làC3 10

3

Bốn điểm không đồng phẳng xác định tứ diện nên số tứ diện tạo thành làC410

4

ä

BÀI Trong hộp có100viên bi đánh số từ1đến100 Có cách chọn ba viên bị cho:

Ba viên bi bất kì? ĐS:C3100

1

Tổng ba số ba bi chia hết cho2? ĐS:C350+C150·C250

2

(36)

Chọn3viên trong100viên cóC3100cách

1

Trong100bi, có50bi đánh số chẵn,50bi đánh số lẻ

Để chọn ra3bi có tổng số chia hết cho2thì chọn: ◦3bi đánh số chẵn: cóC350cách

◦2bi đánh số lẻ và1bi đánh số chẵn: cóC1

50·C250cách

Khi đó, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán làC350+C150·C250

2

ä

BÀI Cho hai đường thẳnga∥b Trên đường thẳngacó5điểm phân biệt đường thẳngbcó10điểm phân biệt Hỏi tạo tam giác có đỉnh điểm hai đường thẳngavàbđã cho? ĐS:325

Lời giải.

3điểm không thẳng hàng xác định tam giác nên ta chọn:

◦1điểm thuộc đường thẳngavà2điểm thuộc đường thẳngb: cóC15·C210cách ◦2điểm thuộc đường thẳngavà1điểm thuộc đường thẳngb: cóC25·C110cách

Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu toán làC15·C210+C25·C110=325 ä

BÀI Một lớp học có40học sinh, gồm25nam và15nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm4em Hỏi có cách chọn, nếu:

Gồm4học sinh tuỳ ý? ĐS: C440

1 2 Có1nam và3nữ? ĐS:C125·C315

Có2nam và2nữ? ĐS:C225·C215

3 4 Có nhất1nam? ĐS:C440−C415

Có nhất1nam và1nữ? ĐS:C4

40−C425−C415

5

BÀI Một lớp học có40học sinh gồm25nam và15nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn5học sinh lập thành đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng Hỏi có cách:

Chọn ra5học sinh, có không quá3nữ? ĐS: C540−C125·C415−C515

1

Chọn ra5học sinh, có3nam và2nữ? ĐS:C215·C325

2

Chọn ra5học sinh, có nam? ĐS:C540−C515

3

Chọn ra5học sinh, anhAvà chịBkhơng thể tham gia đoàn đại biểu? ĐS:C338+C538

4

BÀI 10 Một đội cảnh sát giao thông gồm15người có12nam Hỏi có cách phân đội cảnh sát giao thơng về3chốt giao thơng cho chốt có4nam và1nữ? ĐS:C412·C13·C48·C12·C44·C11

BÀI 11 Có9viên bi xanh,5viên bi đỏ,4bi vàng có kích thước đơi khác Có cách chọn ra6viên bi cho:

Có đúng2viên bi màu đỏ? ĐS:C25·C413

1

Số bi xanh số bi đỏ? ĐS:C19·C15·C44+C92·C25·C42+C39·C35

2

BÀI 12 Trong ngân hàng đề kiểm tra30 phút mơn Vật Lí có10 câu hỏi, có4câu lý thuyết và6bài tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm3câu hỏi, thiết phải có 1câu lý thuyết và1bài tập Hỏi tạo đề thi có dạng trên? ĐS: C24·C16+C14·C26

BÀI 13 Trong mơn học, thầy giáo có30câu hỏi khác gồm5câu hỏi khó,10câu hỏi trung bình,15câu hỏi dễ Từ30câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm5câu hỏi khác thiết phải có đủ3loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng hơn2?

ĐS:C15·C110·C315+C15·C210·C215+C52·C110·C215

BÀI 14 Đội niên xung kích trường phổ thơng có12học sinh, gồm5học sinh lớp A,4học sinh lớp B và3học sinh lớp C Cần chọn4học sinh làm nhiệm vụ, cho4học sinh thuộc không quá2trong3lớp Hỏi có cách chọn vậy? ĐS:C412−C15·C14·C23−C51·C24·C13−C25·C14·C13

BÀI 15 Hội đồng quản trị công ty TNHHAgồm12người, có5nữ Từ hội đồng quản trị người ta bầu ra1chủ tịch hội đồng quản trị,1phó chủ tịch hội đồng quản trị và2ủy viên Hỏi có cách bầu cho trong4người bầu thiết phải có nữ? ĐS:A212·C210−A27·C25

(37)

Mỗi bảng ba đội? ĐS:C39·C36·C33

1

Mỗi bảng ba đội và3đội bóng Việt Nam ba bảng khác nhau? ĐS:C13·C26·C12·C24·C11·C22

2

BÀI 17 Trong thi “Rung chuông vàng”, độiX có20bạn lọt vào vịng chung kết, có5bạn nữ và15bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia bạn thành4nhómA,B,C,D, nhóm có5bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Hỏi có bao cách chia nhóm, cho:

Thành viên nhóm bất kì? ĐS:C520·C155 ·C510·C55

1

Năm bạn nữ nhóm? ĐS:4·C515·C510·C55

2

BÀI 18 Trong hộp có50tấm thẻ đánh số từ1đến50 Có cách lấy ba thẻ cho có đúng2

thẻ mang số chia hết cho8? ĐS:C26·C144

BÀI 19 Có30tấm thẻ đánh số từ1đến30 Có cách chọn ra10tấm thẻ cho có5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho10? ĐS:C155 ·C13·C412

BÀI 20 Trong hộp có20viên bi đánh số từ1đến20 Có cách lấy ra5viên bi cho có đúng3 viên bi mang số lẻ,2viên bi mang số chẵn có viên bi mang số chia hết cho4? ĐS:C103 ·C15·C15

BÀI 21 Trong hộp có40tấm thẻ đánh số từ1đến40 Có cách chọn3tấm thẻ hộp thỏa:

Ba thẻ bất kì? ĐS:C340

1

Tổng ba số ghi ba thẻ chia hết cho3? ĐS:C313+C314+C313+C113·C114·C113

2

BÀI 22 Cho hai đường thẳng song songd1,d2 Trênd1lấy17điểm phân biệt, trênd2lấy20điểm phân biệt Tính

số tam giác có đỉnh là3điểm số37điểm chọn trênd1vàd2? ĐS:C217·C120+C117·C220 BÀI 23 Cho hai đường thẳng song songd1vàd2 Trên đường thẳng d1có10điểm phân biệt, đường thẳngd2

cónđiểm phân biệt (n≥2) Biết có2800tam giác có đỉnh điểm cho Tìmn ĐS:n=20

BÀI 24 Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho10 đường thẳng song song cắt8đường thẳng song song khác Hỏi có hình bình hành tạo thành từ đường thẳng trên? ĐS:C210·C28

BÀI 25 Cho2đường thẳngd1∥d2 Trên đường thẳngd1có10điểm phân biệt, đường thẳngd2cónđiểm phân

biệt (n∈N,n≥2) Biết có1725tam giác có đỉnh điểm cho Hãy tìmn ĐS:n=15

BÀI 26 Trong không gian cho hai đường thẳngavàbsong song với Trên đường thẳng lấy5điểm cách khoảng bằngx Hỏi thành lập hình bình hành tạo thành từ10điểm trên?ĐS: 30

BÀI 27 Cho tậpX={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có số tự nhiên có7chữ số có nghĩa, biết chữ số2có mặt đúng2lần, chữ số3có mặt đúng3lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần? ĐS: C27·C53·A28−7·C26·C34

BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON

A NHỊ THỨC NEWTON Choa,blà số thực vàn∈N∗ Ta có

(a+b)n= n X k=0

Cknan−kbk=Cn0an+C1nan−1b+C2nan−2b2+ · · · +Cnn−1abn−1+Cnnbn

VÍ DỤ Khai triển nhị thức sau (x+1)4

1 2 (x+2y)5

à x+1

x ả6

3

à 2x1

x ả6

4

Li giải.

1 (x+1)4=C04·x4+C41·x3·1+C24·x2·12+C34·x·13+C44·14=x4+4x3+6x2+4x+1

(38)

3

à x+1

x ả6

=C06x6+C16x5 à1

x ¶

+C26x4 µ1

x ¶2

+C36x3 µ1

x ả3

+C46x2 à1

x ả4

+C56x à1

x ả5

+C66 à1

x ¶6

=x6+6x4+15x2+20+15 x2+

6 x4+

1 x6

4

à 2x1

x ả6

=C06(2x)6+C16(2x)5 µ

−1 x ¶

+C26(2x)4 µ

−1 x

ả2

+C36(2x)3

1 x

ả3

+C46(2x)2

1 x

ả4

+C56(2x)

1x ả5

+C66

1x ¶6

=64x6−192x4+240x2−160+60 x2−

12 x4+

1 x6

ä Nhận xét.

Trong khai triển(a±b)n cón+1số hạng hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối Tức làCkn=Cnn−k.

Số hạng tổng quát làTk+1=Cknan−kbkvà số hạng thứNthìk=N−1.

Trong khai triển(a−b)nthì dấu đan nhau, nghĩa là+, rồi−, rồi+, .

Số mũ củaagiảm dần, số mũ củabtăng dần tổng số mũ củaavàbbằngn.

Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán choavàbnhững giá trị đặc biệt thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn như

• (a+b)n=C0nan+C1nan−1b+ · · · +Cnnbna==⇒1,b=1C0n+C1n+ · · · +Cnn=2n

• (a−b)n=C0nan−C1nan−1b+ · · · +(−1)nCnnbna==⇒1,b=1C0n−C1n+ · · · +(−1)nCnn=0

B TAM GIÁC PASCAL

Các hệ số khai triển(a+b)0,(a+b)1,(a+b)2, ,(a+b)ncó thể xếp thành tam giác gọi tam giác Pascal

n=0 : n=1 : 1 n=2 : n=3 : 3 n=4 : n=5 : 10 10 n=6 : 15 20 15 n=7 : 21 35 35 21

HẰNG ĐẲNG THỨC PASCAL Ckn−−11+Ckn−1=Ckn

VÍ DỤ Viết đầy đủ dạng khai triển nhị thức sau (a+b)6

1 2 (a+b)7

Lời giải.

1 (a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

2 (a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

ä C DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 3.1 Tìm hệ số số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Bước Viết công thức số hạng tổng quát.

(39)

Bước Dựa vào điều kiện cho trước để tìm số hạng thỏa mãn tốn.

!

Chú ý

Vớin∈N∗vàx6=0thìx−n =

xn.

Vớim∈Z,n∈N∗vàx>0thì pnxm =xmn.

Với điều kiện xác định thì

aman=am+n

• a

m

an =a m−n

• • (ab)n=anbn

³a b

´n =a

n

bn

• • (am)n=amn=(an)m

Tính chất phân phối phép nhân phép cộng:x n X k=0

ak= n X k=0

xak.

1 VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ Tìm hệ số số hạng khai triển

1 (2x−3y)17 chứax8y9 ĐS:−2839C917

2 Ă3xx2Â12

chax15 S:39C312

3

à x22

x ¶10

,∀x6=0 chứax11 ĐS:−23C310

4

³p3

x−2+x´7 chứax2. ĐS: C4

7

Lời giải.

1 Số hạng tổng quát khai triển(2x−3y)17làCk17(2x)17−k(

−3y)k=Ck17217−k(

−3)kx17−kyk. Để có số hạng chứax8y9thìk=9

Vậy hệ số số hạng chứax8y9làC917·28·(−3)9= −2839C917

2 Số hạng tổng quát khai triển¡

3x−x2¢12 Ck12(3x)12−k¡

−x2¢k=Ck12312−k(−1)kx12−k¡

x2¢k=C12k 312−k(−1)kx12+k Để có số hạng chứax15thì12+k=15⇔k=3

Vậy hệ số số hạng chứax15là−39C312

3 Số hạng tổng quát khai triển µ

x22 x

ả10 l

C10k Ă x2Â10k

à 2x

ảk

=Ck10(2)kx202kxk=(2)kCk10x203k cú s hng chứax11thì20−3k=11⇔k=3

4 Số hạng tổng quát khai triển³p3x−2+x´7là

Ck7³p3 x−2´7−kxk

=Ck7³x−23

´7−k

xk=Ck7x−143+5k.

Để có số hạng chứax2thì−14+5k

3 =2⇔ −14+5k=6⇔k=4 Vậy hệ số số hạng chứax2làC47

(40)

VÍ DỤ Tìm hệ số số hạng chứax4trong khai triển¡

1+x+3x2¢10

ĐS:1695

Lời giải.

Ta có

¡

1+x+3x2¢10 = £

1+¡

x+3x2đô10

=

10

X k=0

³

Ck10110−k¡

x+3x2¢k´

=

10

X k=0

Ã Ck10

k X j=0

Ckjxk−j¡ 3x2¢j

!

=

10

X k=0

Ã k X j=0

3jCk10Ckjxk+j !

Để có số hạng chứax4thì

(

k+j=4

0≤j≤k≤10⇔(j;k)∈{(0; 4), (1; 3), (2; 2)} Do đó, số hạng chứax4là30C410C04x4+31C310C13x4+32C102 C22x4=1695x4

Vậy hệ số số hạng chứax4là1695 ä

VÍ DỤ Tìm hệ số số hạng chứax10trong khai triển¡

1+x+x2+x3¢5

ĐS:101

Lời giải.

Ta có

¡

1+x+x2+x3¢5

= £(1+x)¡

1+x2đơ5

=(1+x)5¡ 1+x2¢5

= Ã 5

X k=0

Ck515−kxk ! Ã 5

X j=0

C5j15−j¡ x2¢j

!

=

5

X k=0

Ã Ck5xk

5

X j=0

C5jx2j !

=

5

X k=0

Ã 5 X j=0

Ck5C5jxk+2j !

Để có số hạng chứax10thì

  

 

k+2j=10 0≤k≤5 0≤j≤5

⇔(j;k)∈{(3; 4), (4; 2), (5; 0)}

Do đó, số hạng chứax10làC45C35x10+C25C45x10+C05C55x10=101x10

Vậy hệ số số hạng chứax10trong khai triển là101 ä

BÀI Tìm hệ số số hạng khai triển

1 (x+y)25 chứax12y13 ĐS:C13

25

2 (x−3)9 chứax4 ĐS:−35C59

3 (1−3x)11 chứax6 ĐS:36C611

4 Ăx22xÂ10

chax16 S:28C810

5

à x+

x2

¶40

,∀x6=0 chứax31 ĐS:C340

6 ¡2+px−3x2¢5

,∀x6=0 chứax2 ĐS:−230

(41)

1 Số hạng tổng quát khai triển(x+y)25làC25k x25−kyk. Để có số hạng chứax12y13thìk=13

Vậy hệ số số hạng chứax12y13làC1325

2 Số hạng tổng quát khai triển(x−3)9làCk9x9−k(

−3)k=C9k(−3)kx9−k. Để có số hạng chứax4thì9−k=4⇔k=5

3 Số hạng tổng qt khai triển(1−3x)11làC11k 111−k(−3x)k=Ck11(−3)kxk Để có số hạng chứax6thìk=6

Vậy hệ số số hạng chứax6là36C611

4 Số hạng tổng quát khai triển¡

x2−2x¢10 C10k ¡

x2¢12−k

(−2x)k=Ck10(−2)kx24−2kxk=Ck10(−2)kx24−k Để có số hạng chứax16thì24−k=16⇔k=8

Vậy hệ số số hạng chứax16là28C810

x+ x2

ả40 l

C40k x40k 1

x2

¶k

=Ck40x40−kx−2k=Ck40x40−3k Để có số hạng chứax31thì40−3k=31⇔k=3

Vậy hệ số số hạng chứax31làC340

6 Ta có

¡

2+px−3x2¢5

= ê2+âpx−3x2đô5

=

5

X k=0

Ck525−k³x12−3x2

´k

=

5

X k=0

Ã 25−kCk5

k X j=0

Ckj³x12

´k−j ¡

−3x2¢j !

=

5

X k=0

Ã k X j=0

25−k(−3)jCk5Cj kx

k+3j

2

!

Để có số hạng chứax2thì  

 k+3j

2 =2 0≤j≤k≤5

⇔ (

k+3j=4

0≤j≤k≤5⇔(j;k)∈{(0; 4), (1; 1)}

Do đó, số hạng chứax2là21(−3)0C45C04x2+24(−3)1C15C11x2= −230x2

Vậy hệ số số hạng chứax2là−230 ä

BÀI Tìm số hạng không chứa x(độc lập vớix) khai triển nhị thức

1

µ 2x2−3

x ¶9

vớix6=0 ĐS:2336C69

2

µ x y2−

x y ¶8

vớix y6=0 ĐS:C48y4

3

µ 1

3

p x2+

4

p x3

¶17

vớix>0 ĐS:C817

Lời giải.

1 Số hạng tổng quát khai trin

2x23 x

ả9 l

Ck9Ă 2x2Â9k

à

x ảk

=Ck929k(3)kx182kxk=29k(3)kC9kx183k có số hạng khơng chứaxthì18−3k=0⇔k=6

(42)

x y2− x y

¶8

C8k¡ x y2Â8k

à x y1

ảk

=C8k(1)kx8ky162kxkyk=(1)kCk8x82ky163k có số hạng khơng chứaxthì8−2k=0⇔k=4

Vậy số hạng khơng chứaxlà(−1)4C84y4=C48y4

3 Số hạng tổng quát khai triển µ 1

3

p x2+

4

p x3

ả17 l

C17k 1

3

p x2

¶17−k ³p4

x3´k=Ck

17x−

2 3·(17−k)x

3 4·k=Ck

17x

−136+17k

12 .

Để có số hạng khơng chứaxthì −136+17k

12 =0⇔ −136+17k=0⇔k=8 Vậy số hạng khơng chứaxlàC8

17

ä

BÀI Tìm số hạng chứax5trong khai triển x(1−2x)5+x2(1+3x)10 ĐS:3310x5

Lời giải.

Ta có

x(1−2x)5+x2(1+3x)10 = x

5

X j=0

C5j15−j(−2x)j+x2

10

X k=0

Ck10110−k(3x)k

=

5

X j=0

(−2)jC5jxj+1+

10

X k=0

3kCk10xk+2

Để có số hạng chứax5thì (

j+1=5 k+2=5⇔

( j=4 k=3

Vậy số hạng chứax5là(−2)4C45x5+33C310x5=3310x5 ä

BÀI Tìm hệ số số hạng chứax5trong khai triển(2x+1)4+(2x+1)5+(2x+1)6+(2x+1)7 ĐS:896

Lời giải.

Ta có

(2x+1)4+(2x+1)5+(2x+1)6+(2x+1)7 =

7

X k=4

(2x+1)k

=

7

X k=4

Ã k X j=0

Ckj1k−j(2x)j !

=

7

X k=4

Ã k X j=0

2jCkjxj !

Để có số hạng chứax5thì (

j=5

0≤j≤k≤7⇔(j;k)∈{(5; 5), (5; 6), (5; 7)} Do đó, số hạng chứax5là25C55x5+25C56x5+25C57x5=896x5

Vậy hệ số số hạng chứax5là896 ä

BÀI Tìm hệ số số hạng khai triển

1 (2x+y)13 chứax6y7 ĐS:26C713

2 ¡x3−x y¢15

chứax25y10 ĐS:C1015

3

à px y

+x y

ả10

vix y≥0vày6=0 chứax6y2 ĐS:C2

10

4 ¡1+x+2x2¢10

chứax17 ĐS:27C1010C710+28C910C89

5 ¡x2+x−1¢5

chứax3 ĐS:C15C01+C35C33

6 ¡1+x2−x3¢8

(43)

7

µ

1−x4−1 x

¶12

,x6=0 chứax8 ĐS:−C412C41−C812C48−C1212C712

BÀI Tìm số hạng không chứa x(độc lập vớix) khai triển nhị thức

1

µ x+1

x ¶12

, vớix6=0 ĐS:C612

2

µ x3−

x2

¶5

, vớix6=0 ĐS:−C35

3

à 2x1

x ả10

, vix6=0 ĐS:−25C510

4

µx 3+

3 x

ả12

, vix6=0 S:C612

5

à1 x3+x

2

¶10

, vớix6=0 ĐS:C610

6

à x+

x3

ả12

, vớix6=0 ĐS:23C312

7

µ x3−

x2

ả5

, vix6=0 S:23C35

8

à

2px+

3

px ¶20

, vớix>0 ĐS:28312C1220

9

µ1 x+

p x

ả12

, vix>0 S:C812

10

à 2x+

5

px ¶18

, vớix>0 ĐS:C1518

11

µ

3

p x+p41x

¶7

, vớix>0 ĐS:C47

{DẠNG 3.2 Tìm hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn(a+b)n

Sử dụng số hạng tổng quát khai triển làCknan−kbk. Từ giả thiết tìm giá trịk.

4! Nhị thức Niu-tơn

(a+b)n=C0nan+C1nan−1b+ · · · +Cnn−1abn−1+Cnnbn =

n X k=0

Cknan−kbk

Hệ quả

Vớia=b=1, ta có2n=C0n+C1n+ · · · +Cn−1

n +Cnn.

Vớia=1;b= −1, ta có0n=C0n−C1n+ · · · +(−1)kCkn+ · · · +(−1)nCnn.

NếuP(x)=a0+a1x+a2x2+ · · · +anxnthì tổng hệ số khai triển làP(1).

1 VÍ DỤ VÍ DỤ

Tìm số hạng chứax10trong khai triển µ

x3− x2

¶n

,x6=0biếtC4n=13C2n ĐS:−6435x10

(44)

x3+ x2

¶n

,x6=0, biếtC0n+C1n+C2n=11 ĐS:6x2

2

Tìm số hạng chứax8trong khai triển¡

x2+2¢n, biếtA3n−8C2n+C1n=49 ĐS:280x8

3

Lời giải.

x3− x2

¶n

,x6=0biếtC4n=13C2n Điều kiệnn∈N,n≥4 Khi

C4n=13C2n ⇔ n(n−1)(n−2)(n−3)

4! =13·

n(n−1) ⇔ n2−5n−150=0⇔

"

n= −10 (loại) n=15 (nhận)

Khi số hạng tổng quát khai triển làCk15(x3)15−k µ

−1 x2

¶k

=C15k (−1)kx45−5k. Số hạng chứax10ứng với45−5k=10⇔k=7

Vậy số hạng chứax10trong khai triển làC715(−1)7x10= −6435x10

1

Tìm số hạng chứax2trong khai trin

x3+ x2

ản

,x6=0, biếtC0n+C1n+C2n=11 Điều kiệnn∈N,n≥2 Khi

C0n+C1n+Cn2=11 ⇔ 1+n+n(n−1) =11 ⇔ n2+n−20=0⇔

"

Khi số hạng tổng quát khai trin lCk4(x3)4k à1

x2

ảk

=C4kx125k. S hạng chứax2ứng với12−5k=2⇔k=2

Vậy số hạng chứax2trong khai triển làC24x2=6x2

2

Tìm số hạng chứax8trong khai triển¡

x2+2¢n, biếtA3n−8C2n+C1n=49 Điều kiệnn∈N,n≥3 Khi

A3n−8C2n+C1n=49 ⇔ n(n−1)(n−2)−8·n(n−1)

2 +n=49 ⇔ n3−7n2+7n−49=0⇔n=7 (nhận)

Khi số hạng tổng quát khai triển làCk7(x2)7−k(2)k

=Ck72kx14−2k. Số hạng chứax8ứng với14−2k=8⇔k=3

Vậy số hạng chứax8trong khai triển làC3723x8=280x8

3

ä

VÍ DỤ Xác định số nguyên dươngnđể khai triển(1+x2)ncó hệ số củax8bằng6lần hệ số củax4 ĐS:n=11

Lời giải.

Điều kiệnn∈N,n≥4

Khi số hạng tổng quát khai triển làCkn¡

x2¢k=Cknx2k Hệ số củax8làC4n Hệ số củax4làC2n

Do hệ số củax8bằng6lần hệ số củax4nên

C4n=6C2n ⇔ n(n−1)(n−2)(n−3)

4! =6·

n(n−1) 2! ⇔ n2−5n−66=0

"

(45)

VÍ DỤ

Biết tổng hệ số khai triển(1+x2)n là1024 Tìm hệ số củax12 ĐS:210

1

Tìm hệ số củax6trong khai triển µ1

x+x

3

¶n

vớinlà số nguyên dương biết tổng hệ số

khai triển bằng1024 ĐS:120

2

Lời giải.

Biết tổng hệ số khai triển(1+x2)n là1024 Tìm hệ số củax12 ĐặtP(x)=(1+x2)n Tổng hệ số khai triểnP(x)làP(1)=2n Do tổng hệ số khai triển(1+x2)nlà1024nên2n=1024⇔n=10 Khi số hạng tổng quát khai triển làC10k ¡

x2¢k=C10k x2k Số hạng chứax12ứng với2k=12⇔k=6

Vậy hệ số củax12làC610=210

1

Tìm hệ số củax6trong khai trin à1

x+x

3ản vinl s nguyờn dng biết tổng hệ số khai

trin bng1024 tP(x)=

à1 x+x

3ản Tng cỏc hệ số khai triểnP(x)làP(1)

=2n Do tổng hệ số khai triển là1024nên2n=1024⇔n=10 Khi số hạng tổng quát khai triển làC10k

µ1 x

ảk Ă

x3Âk=Ck10x2k S hng chax6ng vi2k=6k=3

Vy hệ số củax6làC310=120

2

ä

VÍ DỤ ChoP(x)=(1+2x)n,n∈N∗ Khai triểnP(x)ta đượcP(x)=a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn Tínhnvàa11biết

rằnga0+

a1

2 + a2

22+

a3

23+ · · · · +

an

2n =4096 ĐS:24576

Lời giải.

Điều kiệnn∈N,n≥11 Ta cúP

à1 ả

=2n Mt khỏcP

à1 ả

=a0+

a1

2 + a2

22+

a3

23+ · · · · +

an

2n =4096⇔2

n=4096⇔n=12. Khi đó, số hạng tổng quát khai triểnP(x)làCk12(2x)k=Ck12(2)kxk Ta suy raa11=C1112211=24576

Vậyn=12,a11=24576 ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI

Tìm hệ số củax4trong khai triển µ2

x−x

3¶n,

∀x6=0, biếtCn−6

n−4+n·A

n=454 ĐS:−1792

1

Tìm số hạng khơng chứaxtrong khai triển µ 2

n−5

3

p x+p41x

¶n

,x>0, biếtC3n=5C1n ĐS:35

2

Tìm số hạng khơng chứaxtrong khai triển µ

x+ x3

¶n

, vớin∈N∗,x6=0, biếtA2

n+1+C2n+1=18P3 ĐS:252

3

Tìm hệ số củax10trong khai trin

2x3 x2

ản

,x6=0, biết3C2n+2A2n=3n2+15 ĐS:1088640

4

(46)

Tìm hệ số củax4trong khai triển

µ2 x−x

3

¶n

,∀x6=0, biếtCn−6

n−4+n·A2n=454 Điều kiệnn∈N,n≥2 Khi

Cnn−−64+n·A2n=454 ⇔ (n−4)(n−5)

2 +n·n(n−1)=454

⇔ 2n3−n2−9n−888=0⇔n=8 (nhận)

Khi số hạng tổng quát khai trin lCk8 à2

x ả8k

Ă

x3Âk=C8k28k(1)kx4k8 Số hạng chứax4ứng với4k−8=4⇔k=3

Vậy hệ số củax4trong khai triển làC3825(−1)3= −1792

1

Tìm số hạng khơng chứaxtrong khai triển µ 2

n−5

3

p x+

4

p x

¶n

,x>0, biếtC3n=5C1n Điều kiệnn∈N,n≥3 Khi

C3n=5C1n ⇔ n(n−1)(n−2)

3! =5n

⇔ n3−3n2−28n=0⇔ 

 

n= −4 (loại) n=0 (loại) n=7 (nhận)

Khi số hạng tổng qt khai triển làCk7¡p3x¢7−k µ 1

4

px ¶k

=Ck7x2812−7k.

Số hạng không chứaxứng với 28−7k

12 =0⇔k=4 Vậy số hạng không chứaxtrong khai triển làC47=35

2

Tìm số hạng khơng chứaxtrong khai triển µ

x+ x3

¶n

, vớin∈N∗,x6=0, biếtAn2+1+C2n+1=18P3

Điều kiệnn∈N,n≥1 Khi

A2n+1+C2n+1=18P3 ⇔ (n+1)n+

n(n+1)

2! =18·3! ⇔ n2+n−72=0⇔

"

Khi số hạng tổng quát khai trin lCk8(x)8k à3

x3

ảk

=Ck83kx84k. Số hạng không chứaxứng với8−4k=0⇔k=2

Vậy số hạng không chứaxtrong khai triển làC2832=252

3

Tìm hệ số cax10trong khai trin

2x3 x2

ản

,∀x6=0, biết3C2n+2A2n=3n2+15 Điều kiệnn∈N,n≥2 Khi

3C2n+2A2n=3n2+15 ⇔ 3·n(n−1)

2! +2·n(n−1)=3n

2

+15 ⇔ n2−7n−30=0⇔

"

Khi số hạng tổng quát khai triển làCk10¡

2x3Â10k

3 x2

ảk

=Ck10210k(

−3)kx30−5k. Số hạng chứax10ứng với30−5k=10⇔k=4

Vậy hệ số củax10trong khai triển làC41026(−3)4=1088640

4

ä

BÀI TínhA2016n biết hệ số củax2trong khai triển(1+3x)nlà90 ĐS:A52016

Lời giải.

(47)

Hệ số củax2làC2n32

Do hệ số củax2bằng90nên

C2n32=90 ⇔ n(n−1) 2! =10 ⇔ n2−n−20=0⇔

"

VậyA2016n =A52016 ä

BÀI Trong khai triển nhị thức(1+2ax)n, (x6=0)ta có số hạng đầu là1, số hạng thứ hai là48x, số hạng thứ

ba là1008x2 Tìmnvàa ĐS:n=8,a=3

Lời giải.

Khi số hạng tổng quát khai triển làCkn(2ax)k=Ckn(2a)kxk

Số hạng đầu là1nênC0n=1

Số hạng thứ hai là48xnênC1n(2a)=48 Số hạng thứ ba là1008x2nênC2n(2a)2=1008 Ta suy

(

C1n(2a)=48

C2n(2a)2=1008 ⇔ (

an=24

n(n−1)a2=2016

⇔ (

an=24

an(an−a)=504⇔ (

an=24 a=3 ⇔

( n=8 a=3

Vậy (

n=8

a=3 ä

BÀI Tìm số hạng khơng chứa xtrong khai triển µ

x+1 x

¶n

, biết hiệu hệ số số hạng thứ ba thứ hai bằng35 ĐS:252

Lời giải.

Khi số hạng tng quỏt khai trin lCknxnk à1

x ảk

=Cknxn−2k.

Hệ số số hạng thứ ba làC2n Hệ số số hạng thứ hai làC1n

Do hiệu hệ số số hạng thứ ba thứ hai bằng35nên C2n−C1n=35 ⇔ n(n−1)

2 −n=35

⇔ n2−3n−70=0⇔ "

Khi số hạng khơng chứaxlàC510=252 ä

BÀI Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiệnC1n+C2n+C3n+· · ·+Cnn=2047.Tìm số hạng chứax10y6trong khai

triển(2x2+y)n ĐS:14784x10y6

Lời giải.

DoC1n+C2n+C3n+ · · · +Cnn=2n−1=2047⇔n=11 Khi số hạng tổng quát khai triển làCk11¡

2x2¢11−k

yk=Ck11211−kx22−2kyk. Ta suy số hạng chứax10y6trong khai triển làC61125x10y6=14784x10y6

ä

BÀI Cho khai triển nhị thức: (1−2x+x3)n=a0+a1x+a2x2+ · · · +a3nx3n Xác định n tìma6, biết rằng:a0+

a1

2 + a2

22+ · · · +

a3n 23n =

µ1

¶15

ĐS:−31

(48)

ĐặtP(x)=(1−2x+x3)n Suy raP à1 ả = à1 ả3n

Mt khỏcP

à1 ả

=a0+

a1

2 + a2

22+ · · · +

a3n 23n =

à1 ả15 µ1

¶3n =

µ1

¶15

⇔n=5

Khi đóP(x)= P5 k=0

C5k¡ x3¢5−k

(1−2x)k= P5 k=0

C5kx15−3kPk i=0

Cik(−2x)i= P5 k=0

k P i=0

Cik(−2)i(x)15−3k+i. Ta suy raa6=C34(−2)3+C05(−2)0= −31

ä

BÀI Tìm hệ số số hạng tìm số hạng

1 Tìm số hạng khơng chứaxtrong khai triển µ

3

px +p2x

¶n

,x>0, biếtC6n+3C7n+3C8n+C9n=2C8n+2 ĐS:320320

2 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:6Cnn−+11=A2n+160 Tìm hệ số củax7trong khai triển(1−2x3)(2+x)n ĐS:−2224

3 Chon∈N∗vàa,b(b>0) Biết khai triển nhị thc Niu-tn

à a p

b+b ản

có hạng tử chứaa4b9, tìm số hạng

chứa tíchavàbvới số mũ ĐS:5005a6b6

4 Chonlà số nguyên dương thỏa mãnCn−3

n −C2n−1=C

n−1C

n+2

n+3 Tìm hệ số số hạng chứax

11trong khai triển

x3³xn−8− n 3x

´n

,x6=0 ĐS:32440320

Lời giải.

1 Tìm số hạng khơng chứaxtrong khai triển µ

3

px +p2

x ¶n

,x>0, biếtC6n+3C7n+3C8n+C9n=2C8n+2 Điều kiệnn∈N,n≥9 Khi

C6n+3C7n+3C8n+C9n=2C8n+2 ⇔ C6n+C7n+2¡

C7n+C8n¢

+C8n+C9n=2C8n+2 ⇔ C7n+1+2C8n+1+C9n+1=2C8n+2

⇔ C7n+1+C8n+1+C8n+1+C9n+1=2C8n+2 ⇔ C8n+2+Cn9+2=2C8n+2

⇔ C9n+2=C8n+2 ⇔ 9!(n(n+2)!

−7)!= ·

(n+2)! 8!(n−6)! ⇔ n−6=9⇔n=15 (nhận)

Khi số hạng tổng quát khai triển lCk15Ăp3xÂ15k 2

p x

ảk

=Ck152kx5(66k).

Số hạng không chứaxứng với 5(6−k)

6 =0⇔k=6

Vậy số hạng không chứaxtrong khai triển làC61526=320320

2 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:6Cnn−+11=A2n+160 Tìm hệ số củax7trong khai triển(1−2x3)(2+x)n Điều kiệnn∈N,n≥2 Khi

6Cnn−+11=A2n+160 ⇔ 6·(n+1)n

2! =n(n−1)+160

⇔ n2+2n−80=0⇔ "

Khi số hạng tổng quát khai triển

(1−2x3)C8k28−kxk=Ck828−kxk−Ck829−kxk+3 Vậy hệ số củax7trong khai triển là2C78−25C48= −2224

3 Chon∈N∗vàa,b(b>0) Biết khai triển nhị thức Niu-tơn µ a

p b+b

¶n

có hạng tử chứaa4b9, tìm số hạng

(49)

Khi số hạng tổng quát khai triển làCk n

à a p

b ảnk

bk=Ck nankb

3k−n

2 .

Trong khai triển có hạng tử chứaa4b9nên  



n−k=4 3k−n

2 =9 ⇔

( n=15 k=11

Khi số hạng tổng quát làCk15a15−kb3k−215.

Số hạng chứaavàbvới số mũ khi15−k=3k−15

2 ⇔k=9 Vậy số hạng chứaavàbvới số mũ làC915a6b6=5005a6b6

4 Chon số nguyên dương thỏa mãnCnn−3−C2n−1=C1n−1Cnn++23 Tìm hệ số số hạng chứax11trong khai triển x3³xn−8− n

3x ´n

,x6=0

Điều kiệnn∈N,n≥3 Khi

Cnn−3−C2n−1=C1n−1Cnn++23 ⇔ n(n−1)(n−2)

3! −

(n−1)(n−2)

2! =(n−1)·(n+3) ⇔ n3−12n2−n+12=0⇔



 

n= −1 (loại) n=1 (loại) n=12 (nhận)

Khi số hạng tổng quỏt khai trin lx3Ck12Ă x4Â12k

à

x ¶k

=Ck12(−4)kx51−5k Số hạng chứax11ứng với51−5k=11⇔k=8

Vậy hệ số củax11trong khai triển làC812(−4)8=32440320

ä

BÀI Trong khai triển nhị thức(1+ax)n, ta có số hạng đầu bằng1, số hạng thứ hai bằng24x, số hạng thứ ba

252x2 Tìmnvàa ĐS:n=8,a=3

Lời giải.

Khi số hạng tổng quát khai triển làCk

n(ax)k=Cknakxk Số hạng đầu là1nênC0n=1

Số hạng thứ hai là48xnênC1na=24

Số hạng thứ ba là252x2nênC2na2=252

Ta suy

(

C1na=24 C2na2=252 ⇔

( an=24

n(n−1)a2=504

⇔ (

an=24 a=3 ⇔

( n=8 a=3

Vậy (

n=8

a=3 ä

BÀI Biết hệ số củaxn−2trong khai triển(x−2)nbằng220 Tìm hệ số củax2 ĐS:67584

Lời giải.

Khi số hạng tổng quát khai triển làCknxn−k( −2)k Do hệ số củaxn−2trong khai triển bằng220nên

C2n(−2)2=220 ⇔ n(n−1)=110

⇔ n2−n−110=0⇔ "

(50)

BÀI 10 Biết hệ số củaxn−2trong khai triển

à x1

4 ản

bng31 Tỡm s nguyên dươngn ĐS:n=32

Lời giải.

Khi số hạng tổng quát khai triển làCknxn−k µ

−1

¶k Do hệ số củaxn−2trong khai triển bằng31nên

C2n µ

−1

¶2

=31 ⇔ n(n−1)=992

⇔ n2−n−992=0⇔ "

Vậyn=32 ä

BÀI 11 Trong khai triển nhị thức µ

x2−2 x

¶n

cho biết tổng hệ số ba số hạng khai triển

bằng97 Tìm hệ số số hạng có chứax4 ĐS:1120

Lời giải.

Khi số hạng tổng quát khai triển làCkn¡ x2¢n−k

à

x ảk

=Ckn(2)kx2n3k. Do tng h số ba số hạng khai triển bằng97nên

C0n+C1n(−2)+C2n(−2)2=97 ⇔ 1−2n+2n(n−1)=97 ⇔ 2n2−4n−96=0⇔

"

Khi hệ số củax4trong khai triển làC48(−2)4=1120 ä

BÀI 12 Tìm hệ số số hạng tìm số hạng

1 Biếtnnguyên dương thỏa mãn điều kiệnC1n+C2n+· · · ·+Cn−1

n +Cnn=4095 Tìm hệ số số hạng chứax8trong khai triểnP(x)=

µ2 x3+

p x5

¶n

vớix>0 ĐS:14784

2 Biết rằngn số nguyên dương thỏa 3nC0n−3n−1C1n+3n−2C2n−3n−3C3n+ · · · +(−1)nCnn=2048.Tìm hệ số x10

trong khai triển nhị thức(2+x)n, ĐS:1320

3 Tìm hệ số củax10trong khai triển¡px−3x2¢n,(x>0), biết rằngnlà số nguyên dương tổng hệ số

khai triển bằng−2048 ĐS:−4455

4 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiệnC12n+1+C32n+1+C52n+1+ · · · +C2n+1

2n+1=1024 Tìm hệ số củax 7trong

khai triển đa thức(2−3x)2n ĐS:−2099520

Lời giải.

1 Biếtnnguyên dương thỏa mãn điều kiệnC1n+C2n+· · · ·+Cn−1

n +Cnn=4095 Tìm hệ số số hạng chứax8trong khai triểnP(x)=

µ2 x3+

p x5

¶n

vớix>0 DoC1n+C2n+ · · · +Cn−1

n +Cnn=2n−1=4095⇔n=12 Khi số hạng tổng quát khai triển làCk

12

µ2 x3

¶12−k ³p

x5´k=Ck

12212−kx

−72+11k

2

Số hạng chứax8trong khai triển ứng với −72+11k

2 =8⇔k=8 Ta suy hệ số củax8trong khai triển làC81224=7920

2 Biết rằngn số nguyên dương thỏa 3nC0n−3n−1C1n+3n−2C2n−3n−3C3n+ · · · +(−1)nCnn=2048.Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức(2+x)n

Ta có(a+b)n=C0nan+C1nan−1b+C2nan−2b2+C3nan−3b3+ · · · +Cnnbn Choa=3,b= −1ta

3nC0n−3n−1C1n+3n−2C2n−3n−3C3n+ · · · +(−1)nCnn=2n=2048⇔n=11 Khi số hạng tổng quát khai triển làCk11211−kxk

(51)

3 Tìm hệ số củax10trong khai triển¡px−3x2¢n,(x>0), biết nlà số nguyên dương tổng hệ số khai triển bằng−2048

ĐặtP(x)=¡p

x−3x2¢n Tổng hệ số khai triểnP(x)làP(1)=(−2)n Do tổng hệ số khai triển là−2048nên(−2)n= −2048⇔n=11 Khi số hạng tổng quát khai triển làC11k ¡p

x¢11−k¡

−3x2¢k=Ck11(−3)kx11+23k Số hạng chứax10ứng với 11+3k

2 =10⇔k=3 Vậy hệ số củax10làC311(−3)3= −4455

4 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiệnC12n+1+C32n+1+C52n+1+ · · · +C2n+1

2n+1=1024 Tìm hệ số củax 7trong

khai triển đa thức(2−3x)2n Ta có(a+b)2n+1=C0

2n+1a2n+1+C12n+1a2nb+C22n+1a2n−1b2+C32n+1a2n−2b3+ · · · +C22nn++11b2n+1

Choa=1,b=1ta đượcC02n+1+C12n+1+C22n+1+C32n+1+ · · · +C22nn++11=22n+1 (1).

Choa=1,b= −1ta đượcC0

2n+1−C12n+1+C22n+1−C32n+1+ · · · −C22nn++11=0 (2)

Từ (1) (2) suy raC12n+1+C32n+1+C52n+1+ · · · +C2n+1 2n+1=2

2n

=1024⇔n=5 Khi số hạng tổng quát khai triển làC10k (2)10−k(

−3x)k Ta suy hệ số củax7trong khai triển làC71023(−3)7= −2099520

ä {DẠNG 3.3 Chứng minh tính tổng

• (a+b)n=C0nan+C1nan−1b

+C2nan−2b2

+ · · · +Cn−1

n abn−1+Cnnbn. • Ckn=Cn−k

n .

• C0n+C1n+C2n+ · · · +Cnn=2n.

• C0n−C1n+C2n+ · · · +(−1)nCnn=0.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Chứng minh

1 C02n+C12n+C22n+C32n+ · · · +C22nn−1+C22nn=4n

2 C0n·3n−C1n·3n−1

+ · · · +(−1)nCnn=C0n+C1n+ · · · +Cnn

Lời giải.

1 Xét nhị thức

(x+1)2n=C02nx2n+C12nx2n−1+C22nx2n−2+C32nx2n−3+ · · · +C22nn−1x+C22nn Thayx=1ta

C02n+C12n+C22n+C32n+ · · · +C22nn−1+C22nn=22n VậyC02n+C12n+C22n+C32n+ · · · +C2n−1

2n +C

2n

2n=4 n.

2 Xét nhị thức(x−1)n=C0nxn−C1nxn−1+ · · · +(−1)nCnn Thayx=3ta

C0n·3n−C1n·3n−1+ · · · +(−1)nCnn=2n Lại cóC0n+C1n+ · · · +Cnn=2n

VậyC0n·3n−C1n·3n−1+ · · · +(−1)nCnn=C0n+C1n+ · · · +Cnn

ä

VÍ DỤ Tính tổng sau

1 S=C05+C15+C25+ · · · +C55 ĐS:S=32

2 S=2C12010+23C32010+25C52010+ · · · +22009C20092010 ĐS:S=3

2010

−1

2

(52)

1 Ta cóS=C05+C15+C25+ · · · +C55=25=32

2 Xét nhị thức

(1+x)2010=C02010+C12010x+C22010x2+C32010x3+ · · · +C20092010x2009+C20102010x2010 Thayx=2ta

C02010+2C12010+22C22010+23C20103 + · · · +22009C20092010+22010C20102010=32010 (1) Thayx= −2ta

C02010−2C12010+22C22010−23C32010+ · · · −22009C20092010+22010C20102010=1 (2) Trừ hai vế(1)và(2)suy

2¡

2C12010+23C32010+25C52010+ · · · +22009C20092010¢

=32010−1 VậyS=3

2010−1

2

ä

VÍ DỤ Tìm số nguyên dươngnthỏa mãn điều kiện sau

1 C1n+C2n+C3n+ · · · +Cnn−1+Cnn=4095 ĐS:n=12

2 C12n+1+C32n+1+C52n+1+C72n+1+ · · · +C22nn++11=1024 ĐS:n=5

Lời giải.

1 Ta có

C1n+C2n+C3n+ · · · +Cnn−1+Cnn=4095

⇔ C0n+C1n+C2n+C3n+ · · · +Cnn−1+Cnn=4095+C0n ⇔ 2n=4096=212⇔n=12

2 Ta có (

C02n+1+C12n+1+C22n+1+C32n+1+ · · · +C22nn+1+C22nn++11=22n+1 C02n+1−C12n+1+C22n+1−C23n+1+ · · · +C22nn+1−C22nn++11=0 Trừ hai vế ta

2¡

C12n+1+C23n+1+ · · · +C22nn+1−C22nn++11¢ =22n+1 ⇔ C12n+1+C32n+1+ · · · +C22nn+1−C22nn++11=22n ⇔ 22n=1024=210⇔n=5

ä

VÍ DỤ Chứng minh Ckn=Cn−k

n

1 k(k−1)Ckn=n(n−1)Ck−2

n−2

2

Lời giải.

1 Ta cóCkn=Cnn−k⇔ n! (n−k)!k!=

n!

k!(n−k)! (ln đúng) Suy điều phải chứng minh

2 Ta có

k(k−1)Ckn=n(n−1)Cnk−−22 ⇔ k(k−1)· n!

(n−k)!k!=n(n−1)·

(n−2)! (n−k)!(k−2)! ⇔ k(k−1)n!

(n−k)!k(k−1)(k−2)!=

n(n−1)(n−2)! (n−k)!(k−2)! ⇔ (n n!

−k)!(k−2)!=

n!

(n−k)!(k−2)!(luôn đúng)

Suy điều phải chứng minh

(53)

VÍ DỤ Cho khai trin à1

3+ 2x

3 ả11

=a0+a1x+a2x2+ · · · +a11x11 Hãy tìm hệ số lớn số a0,

a1, .,a11? ĐS:a7=

C711·27 311 ,a8=

C811·28 311

Lời giải.

Số hạng tổng quát khai triển µ1

3+ 2x

3 ¶11

là

Tk+1=C11k Ã

à1

ả11k Ã

à2x

¶k

=C11k · k

311·x

k.

Do hệ số số hạng tổng quát làak=C11k · 2k 311=

Ck11·2k 311

Xét ak ak+1<

1⇔ C k

11·2

k

Ck11+1·2k+1<1⇔

k+1

2(11−k)<1⇔k<7 Suy raa0<a1< · · · <a6<a7 Tương tự ak

ak+1>

1⇔k>7 Suy raa8>a9> · · · >a11

Lại có a7 a8=

8

8=1⇒a7=a8, nêna0<a1< · · · <a6<a7=a8> · · · >a11 Vậy hệ số lớn làa7=

C711·27

311 vàa8=

C811·28

311 ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Chứng minh

C02n+C22n+ · · · +C22nn=C12n+C23n+ · · · +C22nn−1=22n−1

1

(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+ · · · +(Cnn)2=Cn2n,∀n≥2,n∈N

2

Lời giải.

Ta có (

C02n+C12n+C22n+C32n+ · · · +C22nn−1+C22nn=22n (1) C02n−C12n+C22n−C32n+ · · · −C22nn−1+C22nn=0 (2) Cộng hai vế(1)và(2)ta

2¡

C02n+C22n+ · · · +C22nn¢

=22n⇔C02n+C22n+ · · · +C22nn=22n−1 Trừ hai vế(1)và(2)ta

2¡

C12n+C32n+ · · · +C22nn−1¢

=22n⇔C12n+C32n+ · · · +C22nn−1=22n−1 VậyC02n+C22n+ · · · +C22nn=C12n+C32n+ · · · +C2n−1

2n =2

2n−1.

1

Xét nhị thức(1+x)2n=C02n+C12nx+ · · · +C2nnxn+ · · · +C22nnx2n Trong khai triển hệ số củaxnlàC2nn (1) Mặt khác

(1+x)2n = (1+x)n·(x+1)n = ¡

C0n+C1nx+C2nx2+ · · · +Cnnxn¢ ·¡

C0nxn+C1nxn−1+C2nxn−2+ · · · +C0n¢ Hệ số củaxntrong tích là(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+ · · · +(Cnn)2 (2)

Từ(1)và(2)suy

(C0n)2+(C1n)2+(Cn2)2+ · · · +(Cnn)2=Cn2n

2

ä

BÀI Tính tổng sau

S=C02010+2C12010+22C20102 + · · · +22010C20102010 ĐS:S=32010

1

S=C610+C710+C810+C910+C1010 ĐS:S=386

2

(54)

Xét nhị thức

(1+x)2010=C02010+C12010x+C22010x2+ · · · +C20102010x2010 Thayx=2ta

C02010+2C12010+22C22010+ · · · +22010C20102010=32010 VậyS=32010

1

XétS1=C010+C110+C210+ · · · +C1010=210

Áp dụng công thứcCkn=Cn−k n , ta có

S=C610+C710+C810+C910+C1010=C410+C310+C102 +C110+C010

Do đóS1=2S+C510⇒S=

S1−C510

2 =386

2

ä 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Chứng minh

C02n−C12n+C22n−C32n+ · · · −C2n−1 2n +C

2n

2n=0

1

316C016−315C116+314C216− · · ·3C1516+C1616=216

2

C02n+C22n·32+C42n·34+ · · · +C22nn·32n=22n−1

·(22n+1)

3

C02001+32C22001+34C42001+ · · · +32000C20002001=22000·(22001−1)

4

2nC0n+2n−2C2

n+2n−4C4n+ · · · +Cnn= 3n+1

2

5

BÀI Tính tổng sau

S=C05+2C15+22C25+ · · · +25C55 ĐS:S=35

1

S=40C08+41C18+42C28+ · · · +48C88 ĐS:S=58

2

S=C02010+C12010+C22010+ · · · +C20102010 ĐS:S=22010

3

S=C0100+C2100+C4100+ · · · +C100100 ĐS:S=299

4

S=

2!·2012!+

4!·2010!+ · · · + 2012!·2!+

1

2014! ĐS:S=

22013−1 2014!

5

BÀI Tìm số nguyên dươngnthỏa mãn điều kiện

3nC0n−3n−1C1n+3n−2C2n−3n−3C3n+ · · · +(−1)nCnn=2048 ĐS:n=11

1

C02n+C22n+C42n+C62n+ · · · +C22nn=512 ĐS:n=5

2

C22014+C42014+C62014+C82014+ · · · +C10062014=2503n−1 ĐS:n=4

3

C12n+1+C22n+1+C32n+1+ · · · +C2nn+1=220−1 ĐS:n=10

4

BÀI Chứng minh Ckn+1=Ckn+Ck−1

n

1 Ckn+3Ck+1

n +3Ckn+2+Cnk+3=Ckn++33

2

kCkn=nCkn−−11

3 4 k2Ckn=n(n−1)Cnk−−22+nCkn−−11

BÀI Cho khai triển(1+2x)n=a0+a1x+ · · · +anxn, với hệ sốa0,a1, .,anthỏa mãna0+

a1

2 + · · · + an

2n =4096 Hãy tìm số lớn sốa0,a1, .,an? ĐS:n=12,a8=C812·28

BÀI 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A PHÉP THỬ

(55)

VÍ DỤ Phép thử “Gieo súc sắc cân đối đồng chất” Tìm khơng gian mẫu phép thử

Lời giải.

Không gian mẫu phép thử làΩ={1; 2; 3; 4; 5; 6} ä

VÍ DỤ Xét phép thử “Gieo hai đồng xu phân biệt” Nếu ký hiệuSlà mặt sấp,N mặt ngửa Tìm khơng gian mẫu phép thử

Lời giải.

Không gian mẫuΩ={N N,SN,N S,SS} ä

VÍ DỤ Xét phép thửT“Gieo3đồng xu phân biệt” Tính số phần tử khơng gian mẫu ĐS:8

Lời giải.

Mỗi đồng xu có hai khả xuất mặtShayN⇒khơng gian mẫu phép thử

Ω={N N N,N SN,SN N,SSN,N N S,N SS,SN S,SSS}

Do số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=8 ä

B BIẾN CỐ

Định nghĩa Biến cố tập khơng gian mẫu

VÍ DỤ Xét phép thửT “Gieo súc sắc cân đối đồng chất” Gọi Alà biến cố “Số chấm mặt xuất số chấm chẵn” Liệt kê tất kết thuận lợi biến cốA

Lời giải.

Biến cốA={2; 4; 6} ä

!

1 Biến cố Aliên quan đến phép thửTlà biến cố mà việc xảy hay không xảy củaAtùy thuộc vào kết củaT

2 Mỗi kết phép thửTlàm cho Axảy gọi kết thuận lợi củaA

3 Biến cốAcó ngồi cách cho mơ tả, choAdưới dạng liệt kê tất kết thuận lợi củaA

C XÁC SUẤT

Định nghĩa Xét phép thử Tcó khơng gian mẫuΩ tập hữu hạn kết đồng khả Biến cố Aliên quan đến phép thử,A⊂Ω Xác suất biến cốAlà

P (A)=n(A) n(Ω)

!

1 Với biến cố Acủa phép thử có khơng gian mẫu làΩ Ta ln có0≤P (A)≤1

2 P (A)=1−P³A´, đóAlà biến cố đối biến cốA

3 VớiA,Blà hai biến cố ta cón(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

(56)

Số chấm

1 2 3 4 5 6

1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)

2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)

3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)

4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)

5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)

6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

Không gian mẫu phép thử làΩ={(i;j)|i,j=1; 6} Số phần tử không gian mẫu là36

Biến cốA: “Tổng số chấm xuất mặt bằng7” Ta cóA={(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)}⇒n(A)=6 Xác suất biến cốAlàP (A)=n(A)

n(Ω)=

VÍ DỤ Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố

1 A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện” ĐS:

2

2 B: “Mặt xuất có số chấm chia hết cho3” ĐS:

3

3 C: “Mặt xuất có số chấm lớn hơn2” ĐS:

3

Lời giải.

1 A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện”

Số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=6 Biến cốA={1; 3; 5}⇒n(A)=3

Xác suất củaAlàP(A)=n(A) n(Ω)=

1

2 B: “Mặt xuất có số chấm chia hết cho3” Biến cốB={6; 3}⇒n(B)=2

Xác suất biến cốBlàP (B)=1

3 C: “Mặt xuất có số chấm lớn hơn2” Biến cốC={3; 4; 5; 6}⇒P (C)=n(C)

n(Ω)=

ä

VÍ DỤ Từ hộp chứa4quả cầu trắng,3quả cầu đỏ và2quả cầu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để

lấy màu trắng ĐS:4

9

1 lấy cầu xanh ĐS:1

3

2

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=9

1 Quả cầu lấy có màu trắng, số cách lấy là4 Xác suất lấy cầu trắng

(57)

2 Quả cầu lấy có màu đỏ, số cách lấy là3 Xác suất lấy cầu đỏ

9=

ä

VÍ DỤ Trong đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm ngành y tế chợX Ban quản lí chợ lấy ra15mẫu thịt lợn có4mẫu quầyA,5mẫu quầyBvà6mẫu quầyC Mỗi mẫu thịt có khối lượng để hộp kín có kích thước giống hệt Đồn kiểm tra lấy ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem thịt lợn có chứa chất tạo nạc (Clenbuterol) hay khơng Tính xác suất để

3hộp lấy có đủ ba loại thịt quầyA,B,C ĐS: 24

91

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=C315

GọiXlà biến cố “Cả ba hàng có mẫu thịt lấy” Số phần tử củaX làn(X)=C14.C15·C16=120

Xác suất củaX làP(X)=n(X) n(Ω)=

24

91 ä

VÍ DỤ Trong hộp có chứa10 cầu có kích thước nhau, đánh số từ 1đến 10 Lấy ngẫu nhiên ra3quả cầu hộp Tính xác suất để số ghi trên3quả cầu lấy độ dài ba cạnh

một tam giác vuông ĐS:

45

Lời giải.

Giả sử3số ghi cầu chọn làa,b,cvớia<b<cthỏa mãna2+b2=c2 Có hai khả năng(a;b;c)=(3; 4; 5)hoặc(a;b;c)=(6; 8; 10)

GọiXlà biến cố: “3số ghi trên3quả cầu chọn độ dài3cạnh tam giác vuông” Số phần tử củaX làn(X)=2

Xác suất biến cốX làP(X)=n(X) n(Ω)=

2 C210=

2

45 ä

VÍ DỤ 10 Trong hộp6viên bi đỏ,5viên bi vàng và4viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp ra4 viên bi Tính xác suất để trong4viên lấy không đủ ba màu ĐS: 43

91

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=C415 GọiAlà biến cố: “4viên lấy không đủ ba màu” Biến cốAxảy trường hợp

Trường hợp 1:4viên màu, số cách lấy làC46+C45+C44=21 Trường hợp 2:4viên có hai màu

+ Hai màu đỏ-vàng, cóC411−C46−C45=310 + Hai màu đỏ-trắng, cóC410−C46−C44=194 + Hai màu vàng-trắng, cóC49−C45−C44=120

Tổng số cách lấy4viên hai màu là310+194+120=624 Số phần tử biến cốAlàn(A)=624+21=645

Xác suất biến cốAlàP (A)=n(A) n(Ω)=

43

91 ä

{DẠNG 4.1 Chọn xếp đồ vật

D LÍ THUYẾT •Phương pháp:

(58)

Đếm số phần tử không gian mẫu, số phần tử biến cố P (A)=n(A)

n(Ω)

2 Phương pháp2:Tính xác suất biến cố đối

P (A)=1−P³A´

Phương pháp nên dùng xét trực tiếp có nhiều trường hợp khác

3 Phương pháp3:Áp dụng quy tắc cộng qua tắc nhân xác suất •Kiến thức bổ sung:

1 Cơng thức đếm số phần tử hợp hai tập hợp

n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)

2 Công thức đếm số phần tử hợp ba tập hợp

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(B∩C)−n(C∩A)+n(A∩B∩C)

3 Phương pháp đặt song ánh1−1

Khi cần đếm tậpAtrực tiếp khó khăn ta tập có tương ứng1−1với tậpBvà cần đếmB

E VÍ DỤ

VÍ DỤ Một bình đựng6viên bi khơng giống nhau, có2xanh,2vàng và2đỏ Lấy ngẫu nhiên2 viên bi Tính xác suất để lấy

2viên bi xanh ĐS:

15

1 2viên bi khác màu ĐS:4

5

2

Lời giải.

1 Xác suất lấy được2viên bi xanh

Số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=C26 GọiAlà biến cố “2viên bi lấy bi xanh” Số phần tử biến cốAlàn(A)=C2

2

1 15

2 Xác suất lấy hai viên bi khác màu GọiBlà biến cố “2viên bi lấy khác màu”

Biến cốBxảy khi2viên bi lấy là1xanh -1vàng;1xanh -1đỏ;1vàng -1đỏ Số phần tử củaBlàn(B)=C23×2×2=12

Xác suất biến cốBlàP (B)=n(B) n(Ω)=

4

ä

VÍ DỤ Một hộp đựng 6quả cầu trắng,4quả cấu đỏ, 2quả cầu đen, cầu khác Chọn ngẫu nhiên6quả cầu Tính xác suất để chọn được3quả cầu trắng,2quả cầu đỏ và1quả cầu đen ĐS: 20

77

Lời giải.

GọiAlà biến cố “Lấy được3quả cầu trắng,2quả cầu đỏ và1quả cầu đen” Số phần tử biến cốAlàn(A)=C36·C24·C12

20

(59)

VÍ DỤ Cho hộp đựng12 viên bi, có7viên bi đỏ,5viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần3 viên bi Tính xác suất trong2trường hợp

Lấy được3viên bi màu đỏ ĐS: 44

1 Lấy nhất2viên bi màu đỏ ĐS:

11

2

Lời giải.

1 Xác suất lấy được3viên bi màu đỏ

Số phần tử không gian mẫun(Ω)=C312=220 GọiAlà biến cố “Lấy được3viên bi màu đỏ” Số phần tử biến cốAlàn(A)=C37=35 Xác suất biến cố AlàP (A)=n(A)

n(Ω)= 44

2 Xác xuất lấy nhất2viên bi màu đỏ

GọiBlà biến cố “Lấy hai viên bi màu đỏ” Số phần tử biến cốBlàn(B)=C37+C27·C15=140 Xác suất biến cốBlàP (B)= n(B)

n(Ω)= 11

ä

VÍ DỤ Một hộp chứa cầu kích thước khác gồm3quả cầu đỏ, 6quả cầu xanh và9quả cầu vàng Chọn ngẫu nhiên2quả cầu Tính xác suất để hai cầu chọn khác màu ĐS: 11

17

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫun(Ω)=C218=153

GọiAlà biến cố “Hai cầu chọn không màu” Biến cố đốiAcủaAlà “2viên bi lấy màu” Ta cón³A´=C23+C26+C29=54

Xác suất biến cốAlàP (A)=1−n³A´=1− n³A´ n(Ω)=

11 17 ! Có thể tính trực tiếpn(A)=C13·C16+C13·C19+C19·C16

ä

VÍ DỤ Một hộp đựng15viên bi, có7viên bi xanh và8viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên3viên bi Tính

xác suất để trong3viên bi lấy có viên bi đỏ ĐS: 12

13

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫun(Ω)=C315=455

GọiAlà biến cố “Có viên bi màu đỏ lấy” Biến cố đối củaAlàA“3viên bi lấy màu xanh” Số phần tử củaAlàn³A´=C37=35

Xác suất biến cốAlàP (A)=1− n³A´

n(Ω) = 12

13 ä

VÍ DỤ Một hộp đựng20 viên bi, có7viên bi xanh 8viên bi đỏ và5viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên9viên bi Tính xác suất trường hợp

9viên bi lấy có đúng2màu ĐS: 297 8398

1 9viên bi lấy có đủ3màu ĐS:8101

8398

2

Lời giải.

1 Xác suất9viên bi lấy có đúng2màu

(60)

+ Số cách lấy9viên có hai màu xanh - đỏ làC915 + Số cách lấy9viên có hai màu xanh - vàng làC912 + Số cách lấy9viên có hai màu đỏ - vàng làC913

Do số phần tử biến cốAlàn(A)=C915+C913+C912=5940 Xác suất biến cốAlàP (A)=n(A)

n(Ω)= 297 8398

2 Xác suất9viên bi lấy có đủ3màu

GọiBlà biến cố “9viên bi lấy có đủ cả3màu”

Do số viên bi màu nhỏ hơn9nên khơng thể xảy trường hợp9viên màu Do số phần tử củaBlàn(B)=n(Ω)−n(A)=162020

Xác suất củaBlàP (B)= n(B) n(Ω)=

8101 8398

ä F BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Một hộp chứa11viên bi đánh số thứ tự từ1đến11 Chọn6viên bi cách ngẫu nhiên cộng số trên6viên bi rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ ĐS: 118

231

Lời giải.

Gọim,nlần lượt số thẻ có ghi sốchẵn, số thẻ có ghi sốlẻđược chọn

Ta cóm+n=6 Do tổng số trên6thẻ số lẻ nên cặp(m;n)∈{(1; 5), (3; 3), (5; 1)} GọiAlà biến cố “Tổng số ghi trên6thẻ số lẻ”

Ta cón(A)=C15·C56+C35·C36+C55·C16=236 Xác suất cần tính n(A)

n(Ω)= 118

231 ä

BÀI Từ hộp chứa4viên bi xanh,3viên bi đỏ,2viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên2viên bi Tính xác suất biến cố

A: “hai viên bi lấy màu xanh” ĐS:1

1 B: “hai viên bi lấy màu đỏ ” ĐS:

12

2

C: “hai viên bi lấy màu” ĐS: 18

3 D: “hai viên bi lấy khác màu” ĐS:13

18

4

Lời giải.

1 A: “hai viên bi lấy màu xanh” Số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=C29 Số phần tử củaAlàn(A)=C24

Xác suất biến cốAlàP(A)=n(A) n(Ω)=

1

2 B: “hai viên bi lấy màu đỏ ” Số phần tử củaBlàn(B)=C23

Xác suất biến cốBlàP (B)= n(B) n(Ω)=

1 12

3 C: “hai viên bi lấy màu” Ta cón(C)=C24+C23+C22=10 Xác suất củaClàP (C)=n(C)

n(Ω)= 18

4 D: “hai viên bi lấy khác màu”

Biến cố đối củaDlà “Hai bi lấy màu” Suy xác suất biến cốDlàP(D)=1−P (C)=13

18

ä

BÀI Từ hộp13bóng đèn, có6bóng hỏng, lấy ngẫu nhiên5bóng khỏi hộp Tính xác suất cho Có nhiều hai bóng hỏng ĐS: 84

143

1 Có bóng khơng hỏng ĐS: 427

429

2

(61)

1 Xác suất có nhiều hai bóng hỏng lấy Số phần tử khơng gian mẫun(Ω)=C513

GọiAlà biến cố “Có nhiều hai bóng hỏng lấy” Số phần tử biến cốAlàC16·C47+C37·C26+C06·C57=756 Xác suất biến cố AlàP(A)=n(A)

n(Ω)= 84 143

2 Có bóng khơng hỏng

GọiBlà biến cố “Có bóng hỏng lấy trong5bóng lấy ra” Biến cố đối củaBlàB: “Cả5bóng hỏng”

Số phần tử củaBlàn³B´=C56

Xác suất củaBlàP (B)=1−B=1− n³B´ n(Ω)=

427 429

ä

BÀI Trong hộp có 8viên bi đỏ và6viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên4viên bi từ hộp Tính xác suất để

viên bi lấy có bi xanh bi đỏ ĐS: 916

1001

Lời giải.

Số phần tử biến cốA: “4viên bi lấy có bi xanh, bi đỏ”

n(A)=C414−C48−C46=916

916

1001 ä

BÀI Trong hộp có6bi đỏ,5bi vàng và4bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp ra4viên bi Tính xác suất để

trong4viên bi lấy không đủ cả3màu ĐS: 48

91

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu làn(Ω)=C415 GọiAlà biến cố “4viên bi lấy có đủ cả3màu”

Trường hợp 1:Có đúng1bi đỏ, số cách lấy làC16·C25·C14+C16·C15·C24=420 Trường hợp 2:Có đúng2bi đỏ chọn, số cách lấy làC26·C15·C14=300 Số phần tử biến cốAlàn(A)=720

48 91

!

Có thể giải tốn cách gián tiếp Biến cố đốiAlà “Bốn viên bi chọn có màu hai màu”

Điều có nghĩa ta đếm số cách chọn4bi có màu; số cách chọn4bi có hai màu Cách giải thể ưu điểm số bị chọn lớn

ä

BÀI Một hộp chứa4viên bi trắng,5viên bi đỏ và6viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra4viên bi Tính xác suất để4viên bi chọn có đủ cả3màu số bi đỏ nhiều ĐS: 16

91

Lời giải.

GọiAlà biến cố: “4viên bi chọn có đủ cả3màu số bi đỏ nhiều nhất”

Số bi đỏ nhiều trong4bi chọn đủ ba màu có đúng2bi đỏ chọn Do đó, số phần tử biến cốAlàn(A)=C25·C16·C16=240

16

91 ä

BÀI Một hộp đựng3viên bi xanh,4viên bi đỏ và5viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên5viên bi từ hộp Tính xác suất

để trong5bi lấy có đủ3màu số bi xanh số bi đỏ ĐS: 35

132

Lời giải.

(62)

Trường hợp 1:1bi đỏ,1bi xanh và3bi vàng chọn Số cách chọn làC13·C14·C35=120 Trường hợp 2:2bi đỏ,2bi xanh và1bi vàng chọn Số cách chọn làC23·C24·C15=90 Số phần tử biến cốAlà120+90=210

Xác suất biến cốAlàP(A)= n(A) n(Ω)=

35

132 ä

BÀI Cho hai hộp bi, hộp thứ có4viên bi đỏ và3viên bi trắng Hộp thứ hai có2viên bi đỏ và4viên bi trắng Chọn ngẫu nhiên hộp1viên Tính xác suất để hai viên bi chọn có màu ĐS: 10

21

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu:n(Ω)=C17·C16=42

GọiAlà biến cố: "Hai viên bi chọn có màu" Trường hợp 1: Hai bi chọn màu đỏ:C14·C12=8 Trường hợp 2: Hai bi chọn màu trắng:C13·C14=12 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C14·C21+C13·C14=20

VậyP(A)=n(A) n(Ω)=

10

21 ä

BÀI Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm5hộp sữa cam, 4sữa dâu và3sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm lấy ngẫu nhiên3hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để3hộp

được chọn có cả3loại ĐS:

11

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu:n(Ω)=C312=220 GọiAlà biến cố: "3hộp chọn có cả3loại" Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C1

5·C14·C13=60

3

11 ä

G BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 10 Trong lơ hàng có12sản phẩm khác nhau, có đúng2phế phẩm Lấy ngẫu nhiên6sản phẩm từ lơ hàng Hãy tính xác suất để trong6sản phẩm lấy có khơng q phế phẩm ĐS: 17

22

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu:n(Ω)=C612=924

GọiAlà biến cố: "6sản phẩm lấy có khơng q phế phẩm" Trường hợp 1:6sản phẩm lấy khơng có phế phẩm nào:C610=210 Trường hợp 2:6sản phẩm lấy có đúng1phế phẩm:C12·C510=504 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C610+C12·C510=714

17

22 ä

BÀI 11 Trong đợt kiểm tra chất lượng sản xuất sản phẩm tiêu dùng, đồn tra lấy ngẫu nhiên 5sản phẩm từ1lơ hàng cơng ty để kiểm tra Tính xác suất để đồn tra lấy nhất2phế phẩm Biết lơ hàng có100sản phẩm, có95chính phẩm và5phế phẩm ĐS: 357319

18821880

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "5sản phẩm lấy có nhất2phế phẩm"

Suy biến cố đốiAlà biến cố "5sản phẩm lấy có khơng q1phế phẩm" Trường hợp 1:5sản phẩm lấy khơng có phế phẩm nào:C595=57940519 Trường hợp 2:5sản phẩm lấy có đúng1phế phẩm:C15·C495=15917725 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C595+C15·C495=73858244

VậyP(A)=1−P(A)=1−n(A) n(Ω)=

357319

18821880 ä

BÀI 12 Một đơn vị vận tải có10xe ô tô có 6xe tốt Họ điều động ngẫu nhiên 3xe cơng tác Tính xác

suất cho3xe điều động phải có nhất1xe tốt ĐS: 29

30

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "3xe điều động phải có nhất1xe tốt"

(63)

Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C34=4

29

30 ä

BÀI 13 Trên giá sách có5quyển sách tốn học,4quyển Vật lý và3quyển Hóa học Lấy ngẫu nhiên4quyển Tính xác suất cho:

ít nhất1quyển Tốn học ĐS: 92

99

1

có đúng2quyển Vật lý ĐS: 56

165

2

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "Lấy ngẫu nhiên4quyển sách cho có nhất1quyển Tốn học"

Biến cố đối Alà biến cố "Lấy ngẫu nhiên4quyển sách cho khơng có Tốn học nào" Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C47=35

92 99

1

GọiBlà biến cố: "Lấy ngẫu nhiên4quyển sách cho có đúng2quyển Vật lý" Số phần tử biến cốBlà:n(B)=C24·C28=168

VậyP(B)=n(B) n(Ω)=

56 165

2

ä

BÀI 14 Trên kệ sách có12quyển sách khác nhau, gồm4quyển tiểu thuyết,6quyển truyện tranh và2quyển truyện cổ tích Lấy ngẫu nhiên3quyển từ kệ sách Tính xác suất cho cho3quyển lấy:

đôi khác loại ĐS: 12

55

1

đúng2quyển loại ĐS: 37

55

2

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu Ta cón(Ω)=C312=220

GọiAlà biến cố "Lấy ngẫu nhiên3quyển cho3quyển sách đôi khác loại" Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C14·C16·C12=48

12 55

1

GọiBlà biến cố "Lấy ngẫu nhiên3quyển sách cho có đúng2quyển loại"

Trường hợp 1:2quyển tiểu thuyết,1quyển truyện tranh hoặc1quyển truyện cổ tích:C24·C18=48 Trường hợp 2:2quyển truyện tranh,1quyển tiểu thuyết hoặc1quyển truyện cổ tích:C2

6·C16=90

Trường hợp 3:2quyển truyện cổ tích,1quyển tiểu thuyết hoặc1quyển truyện tranh:C22·C110=10 Số phần tử biến cốBlà:n(B)=C24·C18+C62·C16+C22·C110=148

VậyP(B)=n(B) n(Ω)=

37 55

2

ä

BÀI 15 Một ngân hàng đề thi gồm có20câu hỏi Mỗi đề thi gồm có4câu lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi Thí sinhAđã học thuộc10câu ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí sinh Arút ngẫu nhiên đề thi

có nhất2câu học thuộc ĐS:229

323

Lời giải.

GọiBlà biến cố: "Thí sinh Arút ngẫu nhiên đề thi có nhất2câu học" Trường hợp 1: Thí sinhArút được2câu học thuộc:C210·C210=2025

Trường hợp 2: Thí sinhArút được3câu học thuộc:C3

10·C110=1200

Trường hợp 3: Thí sinhArút được4câu học thuộc:C410=210 Số phần tử biến cốBlà:n(B)=C210·C210+C310·C110+C410=3435 VậyP(B)=n(B)

n(Ω)= 229

(64)

BÀI 16 Mỗi đề thi gồm4câu lấy ngẫu nhiên từ15câu hỏi ngân hàng đề thi gồm15câu hỏi Bạn Thủy học thuộc8câu ngân hàng đề thi Tính xác suất để bạn Thủy rút ngẫu nhiên đề thi có

nhất2câu thuộc ĐS: 10

13

Lời giải.

GọiAlà biến cố "Bạn Thủy rút ngẫu nhiên đề thi có nhất2câu thuộc" Trường hợp 1: Bạn Thủy rút được2câu học thuộc:C28·C27=588

Trường hợp 2: Bạn Thủy rút được3câu học thuộc:C38·C17=392 Trường hợp 3: Bạn Thủy rút được4câu học thuộc:C48=70 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C28.C27+C38.C17+C48=1050 VậyP(A)=n(A)

n(Ω)= 10

13 ä

BÀI 17 Đề cương ơn tập cuối năm mơn Lịch sử12có40câu hỏi khác Đề thi kiểm tra học kỳ2gồm3câu hỏi trong40câu hỏi Một học sinh học20câu đề cương ôn tập Giả sử câu hỏi đề cương có khả chọn làm câu hỏi thi Tính xác suất để có2câu hỏi đề thi kiểm tra học kỳ2

nằm số20câu hỏi mà em học sinh học ĐS:1

2

Lời giải.

GọiAlà biến cố "ít có2câu hỏi đề thi kiểm tra học kỳ2nằm số20câu hỏi mà em học sinh học"

Trường hợp 1: Rút được2câu hỏi số20câu học:C2

20·C120=3800

Trường hợp 2: Rút được3câu hỏi số20câu học:C320=1140 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C220.C120+C320=4940

1

2 ä

BÀI 18 Một đề thi toán học sinh giỏi lớp12mà đề gồm5câu, chọn từ15câu dễ,10câu trung bình 5câu khó Một đề thi gọi “Tốt” đề thi có cả3câu dễ, trung bình khó, đồng thời số câu dễ khơng hơn2 Lấy ngẫu nhiên đề thi đề Tìm xác suất để đề thi lấy đề thi “Tốt” ĐS: 625

1566

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu:n(Ω)=C530=142506 GọiAlà biến cố "đề thi lấy đề thi Tốt"

Vì đề thi Tốt có cả3câu dễ, trung bình khó, đồng thời số câu dễ khơng hơn2nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cốA

Trường hợp 1: Đề thi gồm3câu dễ,1trung bình,1khó:C315·C110.C15=22750 Trường hợp 2: Đề thi gồm2câu dễ,2trung bình,1khó:C215·C210.C15=23625 Trường hợp 3: Đề thi gồm2câu dễ,1trung bình,2khó:C215·C110.C25=10500 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C315.C110.C15+C215.C210.C15+C215.C110.C25=56875 VậyP(A)=n(A)

n(Ω)= 625

1566 ä

BÀI 19 Trong kì thi THPT Quốc Gia, Khoa làm đề thi trắc nghiệm mơn Hóa Đề thi gồm50câu hỏi, câu có4 phương án trả lời, có1phương án đúng, trả lời câu được0, 2điểm Khoa trả lời hết câu hỏi chắn đúng45câu,5câu lại Khoa chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để điểm thi Hóa Khoa khơng

dưới9, 5điểm ĐS: 53

512

Lời giải.

Bạn Khoa không dưới9, 5điểm trong5câu trả lời ngẫu nhiên, khoa trả lời nhất3câu Xác suất trả lời câu là0, 25, trả lời sai là0, 75

Xác suất Khoa trả lời đúng3câu trên5câu là:C35.(0, 25)3.(0, 75)2= 45 512 Xác suất Khoa trả lời đúng4câu trên5câu là:C45.(0, 25)4.(0, 75)= 15

1024 Xác suất Khoa trả lời đúng5câu là:C55.(0, 25)5=

1024

Vậy xác suất Khoa không dưới9, 5điểm là:C35.(0, 25)3.(0, 75)2+C45.(0, 25)4.(0, 75)+C55.(0, 25)5= 53 512

(65)

H LÍ THUYẾT

I VÍ DỤ

VÍ DỤ Một lớp có30học sinh, có8em giỏi,15em và7em trung bình Chọn ngẫu nhiên3em dự đại hội Tính xác suất để:

Cả3em học sinh giỏi ĐS:

145

1

Có nhất1học sinh giỏi ĐS: 18

29

2

Khơng có học sinh trung bình ĐS: 253

580

3

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "Cả3em chọn học sinh giỏi", ta cón(A)=C38=56 Vậy xác suất biến cốAlà:P(A)=n(A)

n(Ω)= 145

1

GọiBlà biến cố: "Trong cả3em chọn có nhất1học sinh giỏi"

Suy raBlà biến cố "Trong cả3em chọn khơng có học sinh giỏi", ta cón(B)=C322=1540 Vậy xác suất biến cốBlà:P(B)=1−P(B)=1−n(B)

n(Ω)= 18 29

2

GọiClà biến cố: "Trong cả3em chọn học sinh trung bình", ta cón(C)=C323=1771 Vậy xác suất biến cốClà:P(C)=n(C)

n(Ω)= 253 580

3

ä

VÍ DỤ Một đội ngũ cán khoa học gồm8nhà toán học nam,5nhà vật lý nữ và3nhà hóa học nữ Chọn từ đó4người cơng tác Tính xác suất trong4người chọn phải có nữ có đủ ba mơn.ĐS:

7

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "Trong4người chọn phải có nữ có đủ ba môn"

Trường hợp 1: Số cách chọn4người có2nhà tốn học,1nhà vật lý,1nhà hóa học là:C82·C15·C13=420 Trường hợp 2: Số cách chọn4người có1nhà tốn học,2nhà vật lý,1nhà hóa học là:C81·C25·C13=240 Trường hợp 3: Số cách chọn4người có1nhà tốn học,1nhà vật lý,2nhà hóa học là:C81·C15·C23=120 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C28·C15·C13+C18·C25·C13+C18·C15·C23=780

3

7 ä

VÍ DỤ Một lớp có20 nam sinh và15 nữ sinh Giáo viên gọi ngẫu nhiên4học sinh lên bảng giải tập

Tính xác suất để4học sinh gọi có nam nữ ĐS: 4615

5236

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "4học sinh gọi lên bảng có nam nữ"

Trường hợp 1: Số cách chọn4bạn lên bảng có3học sinh nam,1học nữ là:C320·C115=17100 Trường hợp 2: Số cách chọn4bạn lên bảng có2học sinh nam,2học nữ là:C220·C215=19950 Trường hợp 3: Số cách chọn4bạn lên bảng có1học sinh nam,3học nữ là:C1

20·C315=9100

Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C320.C115+C202 C215+C120·C315=46150 VậyP(A)=n(A)

n(Ω)= 4615

(66)

VÍ DỤ Một đội văn nghệ có15người gồm9nam và6nữ Chọn ngẫu nhiên8người hát đồng ca Tính xác suất để trong8người chọn có số nữ nhiều số nam ĐS: 12

143

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "8người chọn có số nữ nhiều số nam" Trường hợp 1:2học sinh nam và6học sinh nữ chọn:C29·C66=36 Trường hợp 2:3học sinh nam và5học sinh nữ chọn:C39·C56=504 Số phần tử biến cốAlàn(A)=C29·C66+C39·C56=540

12

143 ä

VÍ DỤ Cần chọn ngẫu nhiên5học sinh lớp học có15nam và10nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất cho5học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số học sinh nam ĐS: 325

506

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "5học sinh chọn có nam lẫn nữ số học sinh nữ số học sinh nam" Trường hợp 1:1học sinh nữ và4học sinh nam chọn:C110·C415=13650

Trường hợp 2:2học sinh nữ và3học sinh nam chọn:C210·C315=20475 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C110·C154 +C210·C315=34125

325

506 ä

J BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Một chi đồn có15đồn viên, có7nam và8nữ Người ta chọn ra4người chi đồn để lập đội niên tình nguyện Tính xác suất cho trong4người chọn có nữ ĐS: 38

39

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "4người chọn có nữ"

Suy biến cố đốiAlà biến cố: "4người chọn khơng có nữ nào" Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C47=35

38

39 ä

BÀI Một lớp học có20học sinh nam và15học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra5học sinh để lập tốp ca chào mừng ngày22tháng12 Tính xác suất cho tốp ca có học sinh nữ ĐS:2273

2387

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "5người chọn có nữ"

Suy biến cố đốiAlà biến cố:"5người chọn khơng có nữ nào" Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C520=15504

2273

2387 ä

BÀI Một đội văn nghệ trường THPT Năng Khiếu gồm5học sinh nữ và10học sinh nam Chọn ngẫu nhiên8 học sinh đội văn nghệ để lập tốp ca Tính xác suất để tốp ca có nhất3học sinh nữ ĐS: 82

143

Lời giải.

GọiAlà biến cố: "có nhất3học sinh nữ chọn"

Suy biến cố đốiAlà biến cố:"có khơng q2học sinh nữ chọn" Trường hợp1: khơng có học sinh nữ chọn:C810=45

Trường hợp2:1học sinh nữ và7học sinh nam chọn:C15·C710=600 Trường hợp3:2học sinh nữ và6học nam chọn:C25·C610=2100 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C810+C15·C710+C25·C610=2745

82

(67)

BÀI Một tổ có11học sinh, có5nam và6nữ Giáo viên chọn5học sinh làm trực tuần Tính xác suất để

chọn nhiều nhất2học sinh nam ĐS:281

462

Lời giải.

GọiAlà biến cố "5học sinh chọn có nhiều nhất2học sinh nam" Trường hợp1: khơng có học sinh nam chọn:C56=6

Trường hợp2:1học sinh nam và4học sinh nữ chọn:C15·C46=75 Trường hợp3:2học sinh nam và3học nữ chọn:C25·C36=200 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C56+C15·C46+C25·C36=281 VậyP(A)=n(A)

n(Ω)= 281

462 ä

BÀI Trong kì thi thử TN THPT QG lần I năm2017tại trường THPT X có13 học sinh đạt điểm9, 0mơn Tốn, khối12có8học sinh nam và3học sinh nữ, khối11có2học sinh nam Chọn ngẫu nhiên3học sinh để trao thưởng, tính xác suất để trong3học sinh chọn có nam nữ, có khối11và khối12 ĐS:

286

Lời giải.

GọiAlà biến cố "3học sinh chọn có nam nữ, có khối11và khối12" Trường hợp1:1học sinh nam khối11và2học sinh nữ khối12:C12·C23=6

Trường hợp2:2học sinh nam khối11và1học sinh nữ khối12được chọn:C22·C13=3 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C12·C32+C22·C13=9

9

286 ä

BÀI Tổ có3học sinh nam và4học sinh nữ Tổ hai có5học sinh nam và2học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên tổ học sinh làm nhiệm vụ Tính xác suất cho chọn hai học sinh có nam nữ ? ĐS: 26

49

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu:n(Ω)=C17·C17=49

GọiAlà biến cố: "Hai học sinh chọn có nam nữ, có tổ tổ hai " Trường hợp1:1học sinh nam tổ và1học sinh nữ tổ hai:C13·C12=6

Trường hợp2:1học sinh nữ tổ và1học sinh nam tổ hai:C14·C15=20 Số phần tử biến cốAlà:n(A)=C13·C21+C14·C15=26

26

49 ä

BÀI Trong tổ lớp 12A có12học sinh gồm có7học sinh nam và5học sinh nữ, có A (nam) tổ trưởng B (nữ) tổ phó Chọn ngẫu nhiên5học sinh tổ để tham gia hoạt động tập thể trường ngày thành lập Đồn 26 tháng Tính xác suất để cho nhóm học sinh chọn có3học sinh nam và2học sinh nữ, phải có bạn A bạn B khơng có hai ĐS:P= 85

396

Lời giải.

Không gian mẫu là|Ω| =C512

Ta xét hai trường hợp xảy cho yêu cầu tốn

TH1:Có bạn A khơng có bạn B, ta cần chọn thêm2học sinh nam và2học sinh nữ Vậy cóC26×C24 cách chọn

TH1:Có bạn B khơng có bạn A, ta cần chọn thêm3học sinh nam và1học sinh nữ Vậy cóC36×C14 cách chọn

Vậy số cách chọn để yêu cầu toán thỏa mãn là|ΩA| =C26×C24+C36×C14=170 Vậy ta suy xác suất cần tìm làP=170

C512 = 85

396 ä

BÀI Một đồn cảnh sát gồm có9người, có2trung tá An Bình Trong nhiệm vụ cần huy động3 đồng chí thực nhiệm vụ địa điểm C,2đồng chí thực nhiệm vụ địa điểm D và4đồng chí cịn lại trực đồn Tính xác suất cho hai trung tá An Bình không khu vực làm nhiệm vụ ĐS:P=13

18

Lời giải.

Số cách chia9người làm việc ba địa điểm làC39×C26×C44

Xét tình hai trung tá An Bình làm việc địa điểm, ta có ba trường hợp TH1:An Bình làm việc địa điểm C, ta cóC17×C26×C44

(68)

TH3:An Bình làm việc địa điểm E, ta cóC37×C24×C22

Vậy xác suất để phân công nhiệm vụ cho An Bình khơng làm chung địa điểm P=1−C

1

7×C26×C44+C37×C44+C37×C24×C22

C39×C26×C44 = 13 18

ä

BÀI Bốn bạn nam bốn bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành hàng ngang, trong8bạn có hai bạn tên An Bình Tìm xác suất cho

Nam nữ ngồi xen kẽ ĐS:P1=

1 35

1 Bốn bạn nam ngồi cạnh ĐS:P2=

1 14

2

Đầu ghế cuối ghế bắt buộc phải nam ĐS: P3=

3 14

3 Tất bạn nữ không ngồi cạnh ĐS:

P4=

13 14

4

Hai đầu ghế phải khác giới ĐS:P5=

4

5 Các bạn nam ngồi cạnh bạn nữ

luôn ngồi cạnh ĐS:P6=

1 35

6

An Bình ln ngồi gần ĐS:P7=

1

7 An bình khơng ngồi cạnh ĐS:P8=

3

8

Lời giải.

Số cách xếp chỗ cách tùy ý cho8bạn là8!cách

1 Để bạn nam nữ ngồi xen kẽ nhau, ta có2×4!×4!cách, suy xác suất P1=

2×4!×4!

8! =

1 35

2 Xem bốn bạn nam nhóm, ta xếp nhóm với bạn nữ có5!cách xếp Trong nhóm bốn bạn nam, có4!cách đổi chỗ bạn, nên có tổng cộng5!×4!cách xếp để bốn bạn nam ngồi cạnh Suy xác suất làP2=

5!×4! 8! =

1 14

3 Để chọn hai bạn nam cho vị trí đầu cuối, ta cóA24cách, xếp6bạn cịn lại vào vị trí giữa, ta có6!cách xếp Vậy cóA24×6!cách, suy xác suất làP3=

A24×6! 8! =

3 14

4 Xem bốn bạn nữ nhóm, ta xếp nhóm với bạn nam có5!cách xếp Trong nhóm bốn bạn nữ, có 4!cách đổi chỗ bạn, nên có tổng cộng5!×4!cách xếp để bốn bạn nữ ngồi cạnh Suy xác suất để tất bạn nữ khơng ngồi cạnh làP4=1−

5!×4! 8! =

13 14

5 Hai đầu ghế khác giới nên có hai trường hợp xảy ra, có2×4×4cách xếp cho hai ghế đầu Các ghế cịn lại có6!cách xếp, nên có2×4×4×6!cách xếp

Suy xác suất làP5=

2×4×4×6!

8! =

4

6 Xem bốn bạn nam nhóm, bốn bạn nữ nhóm, xếp hai nhóm ta có2!cách xếp, nhóm, có 4!cách xếp chỗ thành viên đó, nên tổng cộng có2!×4!×4!cách xếp

Suy xác suất làP6=

2!×4!×4!

8! =

1 35

7 Xem hai bạn An Bình nhóm, xếp nhóm chung với bạn cịn lại có7!cách, sau hai bạn đổi chỗ với nên có2!cách xếp Vậy tổng cộng có7!×2!cách xếp, suy xác suất làP7=

7!×2! 8! =

1

8 Xem hai bạn An Bình nhóm, xếp nhóm chung với bạn cịn lại có7!cách, sau hai bạn đổi chỗ với nên có2!cách xếp Vậy tổng cộng có7!×2!cách xếp, suy xác suất để An Bình khơng ngồi cạnh làP8=1−

7!×2! 8! =

3

ä

(69)

Đứa bé ngồi hai người phụ nữ ĐS:P1=

1 15

1 Đứa bé ngồi hai người đàn ông ĐS:P2=

1

2

Lời giải.

Số cách xếp chỗ tùy ý cho6người là6!cách

1 Để đứa bé ngồi hai người phụ nữ, ta xem đứa bé hai người phụ nữ nhóm Ta xếp nhóm với3 người đàn ơng, có4!cách

Trong nhóm em bé phụ nữ, ta có2!cách xếp vị trí cho hai người phụ nữ Vậy có4!×2!cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai phụ nữ làP1=

4!×2! 6! =

1 15

2 Để đứa bé ngồi hai người đàn ông, ta xem đứa bé hai người đàn ơng nhóm Để chọn hai đàn ơng đứng hai bên em bé, ta cóA23cách, xếp nhóm với 2người phụ nữ người đàn ơng cịn lại, có 4! cách

Vậy cóA23×4!cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai đàn ông làP2=

A23×4! 6! =

1

ä K BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 11 Trong Thể dục, tổ I lớp 11A có12học sinh gồm7học sinh nam và5học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên theo hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng cuối hàng học sinh nam ĐS:P=

22

Lời giải.

Số cách xếp chỗ tùy ý cho12học sinh là12!cách

Để người đứng đầu hàng cuối hàng nam, ta cóA27cách chọn học sinh xếp vào hai vị trí Các học sinh cịn lại xếp vào giữa, có10!cách xếp

Suy xác suất để tốn xảy làP=A

2 7×10!

12! =

22 ä

BÀI 12 Đội tuyển học sinh giỏi trường THPT X có8học sinh nam và4học sinh nữ Trong buổi lễ trao phần thưởng, học sinh xếp thành hàng ngang Tính xác suất để xếp cho hai học sinh nữ không

đứng cạnh ĐS:P=14

55

Lời giải.

Số cách xếp chỗ tùy ý cho12học sinh là12!cách Ta xếp8học sinh nam vào hàng ngang, có8!cách xếp

Các học sinh nữ xếp vào khe hỡ bạn nam, có9vị trí để bạn nữ đứng, nên cóA49cách xếp bạn nữ

Suy xác suất để toán xảy làP=8!×A

4

12! = 14

55 ä

BÀI 13 Xếp ngẫu nhiên3học sinh nam và2học sinh nữ thành hàng ngang Tính xác suất để có2học sinh nữ

đứng cạnh ĐS:P=2

5

Lời giải.

Số cách xếp chỗ tùy ý cho5học sinh là5!cách

Ta xem hai học sinh nữ nhóm, xếp nhóm chung với bạn nam, ta có4!cách xếp Trong nhóm hai học sinh nữ, hai bạn có2!cách để đổi chỗ cho

Suy xác suất để tốn xảy làP=4!×2! 5! =

2

5 ä

BÀI 14 Một tổ học sinh có5em nữ và8em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để khơng có hai em

nữ đứng cạnh nhau? ĐS:P= 14

143

Lời giải.

Các học sinh nữ xếp vào khe hỡ bạn nam, có9vị trí để bạn nữ đứng, nên cóA59cách xếp bạn nữ

Suy xác suất để tốn xảy làP=8!×A

5

13! = 14

143 ä

BÀI 15 Một tổ học sinh có4em nữ và5em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để có hai em nữ A B đứng cạnh nhau, em nữ cịn lại khơng đứng cạnh không đứng cạnh A B.ĐS:P=

21

(70)

Các học sinh nữ xếp vào khe hỡ bạn nam, có6vị trí để bạn nữ đứng

Xét hai bạn A B nhóm, ta có cóA46cách xếp bạn nữ Ở vị trí nhóm hai bạn A B đứng, hai bạn có 2!cách đổi chỗ cho nhau, nên có tất cảA46×2!cách xếp nữ thỏa u cầu toán

Suy xác suất để tốn xảy làP=5!×A

4 6×2!

9! =

5

21 ä

BÀI 16 Xếp ngẫu nhiên3người đàn ông,2người đàn bà và1đứa bé vào ngồi trên6cái ghế xếp quanh bàn trịn Tính xác suất cho:

Đứa bé ngồi hai người đàn bà ĐS:P1=

1 10

1 Đứa bé ngồi hai người đàn ông ĐS:P2=

3 10

2

Lời giải.

Số cách xếp chỗ tùy ý cho6người lên bàn tròn là5!cách

1 Để đứa bé ngồi hai người phụ nữ, ta xem đứa bé hai người phụ nữ nhóm Ta xếp nhóm với3 người đàn ơng vào bàn trịn, có3!cách

Trong nhóm em bé phụ nữ, ta có2!cách xếp vị trí cho hai người phụ nữ Vậy có3!×2!cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai phụ nữ làP1=

3!×2! 5! =

1 10

2 Để đứa bé ngồi hai người đàn ông, ta xem đứa bé hai người đàn ông nhóm Để chọn hai đàn ơng đứng hai bên em bé, ta cóA23cách, xếp nhóm với2người phụ nữ người đàn ơng cịn lại, có3! cách

Vậy cóA23×3!cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai đàn ơng làP=A

2 3×3!

5! = 10

ä

BÀI 17 Có5bạn nam và5bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn Tính xác suất cho nam, nữ ngồi

xen kẽ ĐS:P=

126

Lời giải.

Số cách ngồi tùy ý của10bạn là|Ω| =9!

Để xếp chỗ cho bạn nam nữ ngồi xen kẽ nhau, ta làm qua hai bước Xếp5bạn nam vào bàn trịn, ta có4!cách xếp

Để xếp bạn nữ xen kẽ với bạn nam, ta xếp bạn nữ ngồi xen kẽ vào bạn nam, có5! cách xếp bạn nữ

Vậy nên ta có4!×5!cách xếp thỏa tốn, suy xác suất cần tìm làP=4!×5! 9! =

1

126 ä

BÀI 18 Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh – sinh viên có8người tham gia, có hai bạn tên Việt Nam Các vận động viên chia làm hai bảng A B, bảng gồm4người Giả sử việc chia bảng việc bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai bạn Việt Nam nằm chung bảng đấu ĐS: P=3

7

Lời giải.

Số cách chia8người thành hai bảng đấu cách tùy ý làC48×C44 Để A B thuộc vào bảng đấu, ta làm bước sau

Chọn bảng đấu có A B đó, ta có2cách để chọn

Trong bảng có A B, chọn thêm hai người nữa, ta cóC26cách chọn Bốn người cịn lại bảng cịn lại nên có1cách chọn

Vậy có2×C26cách chia bảng để A B thuộc bảng đấu, suy xác suất làP= 2×C

2

C4 8×C44

=37 ä

BÀI 19 Chuẩn bị đón tết Bính Thân 2016, đội niên tình nguyện trường THPT X gồm9học sinh, có3học sinh nữ chia thành3tổ làm công tác vệ sinh môi trường nghĩa trang liệt sĩ huyện Tính

xác suất để tổ có nữ ĐS:P=

28

(71)

Số cách chia ba nhóm làm việc làC39×C36×C33cách

Để chia việc thỏa mãn nhu cầu tốn ta cần chia tổ hai bạn nam bạn nữ Vậy nên cóC26×C13×C24×C12×C22×C11cách, suy xác suất cần tìm

P=C

2 6×C

1 3×C

2 4×C

1 2×C

2 2×C

1

C39×C36×C33 = 28

ä

BÀI 20 Trong giải bóng truyền VTV Cup gồm12đội bóng tham dự, có9đội nước ngồi và3đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm để chia thành3bảng A, B, C, bảng4đội Tính xác suất để3đội bóng Việt Nam

ở3bảng khác ĐS:P=16

55

Lời giải.

Số cách chia12đội thành ba bảng đấu cách tùy ý làC412×C48×C44

Để ba đội bóng Việt Nam thuộc vào ba bảng đấu khác nhau, ta làm bước sau Chia ba đội Việt Nam ba bảng đấu, ta có3!cách chia

Trong bảng chọn thêm ba đội nữa, ta cóC39×C36×C33cách chọn

Vậy có 3!×C39×C36×C33 cách chia bảng để đội Việt Nam thuộc ba bảng đấu khác nhau, suy xác suất P=3!×C

3

9×C36×C33

C412×C48×C44 = 16

55 ä

BÀI 21 Trong thi “Tìm kiếm tài Việt”, có20bạn lọt vào vịng chung kết, có5bạn nữ và15bạn nam Để xếp vị trí thi đấu, ban tổ chức chia thành4nhóm A, B, C, D, nhóm có5bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để5bạn nữ thuộc nhóm ĐS:P=

3876

Lời giải.

Số cách chia20bạn thành bốn nhóm cách tùy ý làC520×C155 ×C510×C55 Để cả5bạn nữ thuộc nhóm, ta làm bước sau

Ta có4cách chọn nhóm cho5bạn nữ

Chọn thêm ba nhóm nữa, ta cóC515×C510×C55cách chọn

Vậy có4×C515×C510×C55cách chia nhóm để bạn nữ thuộc nhóm, suy xác suất làP= 4×C

5

15×C510×C55

C520×C515×C510×C55=

3876 ä

BÀI 22 Để chuẩn bị tiêm phòng dịch Sởi – Rubella cho học sinh khối 11 khối 12 Bệnh viện tỉnh A điều động 12bác sỹ đến truờng THPT B để tiêm phòng dịch gồm9bác sỹ nam và3bác sỹ nữ Ban đạo chia12bác sỹ thành3nhóm, nhóm4bác sỹ làm 3cơng việc khác Tính xác suất để chia ngẫu nhiên ta

nhóm có bác sỹ nữ ĐS:P=16

55

Lời giải.

Số cách chia ba nhóm làm việc làC4

12×C48×C44cách

Để chia việc thỏa mãn nhu cầu tốn ta cần chia tổ ba bác sĩ nam bác sĩ nữ Vậy nên cóC39×C13×C36×C12×C33×C11cách, suy xác suất cần tìm

P=C

3 9×C

1 3×C

3 6×C

1 2×C

3 3×C

1

C4

12×C48×C44

=1655

ä

BÀI 23 Trong giải thể thao cấp toàn quốc, có17 thí sinh tham gia có5thí sinh nữ Ban tổ chức tiến hành chia thí sinh vào hai bảng A B, bảng có8thí sinh, cịn lại1thí sinh vào vịng Tính xác suất để thí sinh nữ và4thí sinh nữ lại nằm bảng A ĐS:P=

442

Lời giải.

Số cách chia bảng tùy ý làC817×C89

Để u cầu tốn xảy ra, ta thực bước sau Chọn thí sinh đặc cách, ta có5cách chọn

(72)

Vậy có5×C412cách chia nhóm thỏa tốn, suy xác suất làP= 5×C

4 12

C817×C89=

442 ä

BÀI 24 Trong buổi giao lưu văn nghệ, có5giáo viên Tốn,3giáo viên Văn,2giáo viên Ngoại Ngữ đăng kí hát song ca Nhằm tạo khơng khí giao lưu thân mật, ban tổ chức tiến hành bốc thăm ngẫu nhiên chia thành5cặp đánh số theo thứ tự từ1đến5 Tính xác suất để cả5cặp gồm2giáo viên dạy khác môn ĐS:P=

945

Lời giải.

Số cách chia thành5cặp tùy ý làC210×C28×C26×C24×C22

Để cặp hai giáo viên khác môn giáo viên Tốn hát chung với mốn khác Vậy có5!cách chia5 giáo viên mơn Văn Ngoại Ngữ hát chung với5giáo viên Toán

Suy xác suất làP= 5!

C210×C28×C62×C24×C22=

945 ä

BÀI 25 Trong giải quần vợt quốc tế, có16vận động viên mà có3vận động viên “hạt giống” số 1, 2, mùa giải Vận động viên X số16vận động viên hạt giống Ban tổ chức chia ngẫu nhiên vận động viên vào bốn bảng A, B, C, D, bảng có4vận động viên Tính xác suất để X

không chung bảng với vận động viên hạt giống ĐS:P=41

91

Lời giải.

Số cách chia bảng tùy ý làC416×C412×C48×C44

Để u cầu tốn xảy ra, ta thực bước sau Ta có4cách chọn bảng cho thí sinh X

Chọn thêm3thí sinh cho bảng thí sinh X, ta cóC312cách chọn Ta chia vận động viên cịn lại (có A, B, C, D) thành ba nhóm, cóC4

12×C48×44cách chia

Vậy có4×C312×C124 ×C48×44cách chia nhóm thỏa tốn, suy xác suất P=4×C

3

12×C412×C48×C44

C416×C412×C48×C44 = 44 91

ä

BÀI 26 Một tàu điện gồm3toa tiến vào sân ga, có12hành khách chờ lên tàu Giả sử hành khách lên tàu cách ngẫu nhiên độc lập với nhau, toa cịn nhất12 chổ trống Tìm xác suất xảy tình sau

Tất lên toa thứ II ĐS:P1=

1 531441

1 Tất lên toa ĐS:P2=

1 177147

2

Toa I có4người, toa II có5người, cịn lại toa III ĐS:P3=

3080 59049

3 Toa I có4người ĐS:P4=

C412×28

312 ≈0,238

4

Hai hành khách A B lên toa ĐS: P5=

1

5 Một toa4người, toa5người, toa3người

ĐS:P6=

6160 19683

6

Lời giải.

Số cách chọn toa để ngồi cách tùy ý hành khách là312

1 Để tất lên toa thứ II, ta có đúng1cách chọn, suy xác suất làP1=

1 312=

1 531441

2 Để tất lên toa, ta có3cách chọn, suy xác suất làP2=

3 312=

1 177147

3 Ta cóC412cách chọn4hành khách cho toa I, cóC58cách chọn5hành khách cho toa II, lại ngồi vào toa thứ III

Vậy cóC412×C58cách xếp chỗ, suy xác suất làP3=

C412×C58 312 =

3080 59049

4 Ta cóC412cách chọn4hành khách cho toa I, hành khách lại ngồi tùy ý toa thứ II thứ III nên có28 cách chọn

Vậy cóC412×28cách xếp chỗ, suy xác suất làP4=

(73)

5 Để chọn toa cho hai hành khách A B, ta có3cách chọn Các hành khách lại lên tàu cách tùy ý nên có310cách chọn Suy xác suất làP5=

3×310 312 =

1

6 Để chia12người thành ba nhóm đề bài, ta có C412×C58×C33 Phân phối nhóm người lên ba toa tàu, ta có3!cách Suy xác suất làP6=

C412×C58×C33×3!

312 =

6160 19683

ä

BÀI 27 Bốn bạn nam bốn bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên vào8ghế xếp thành hai dãy đối diện Tính xác suất cho

Nam nữ ngồi đối diện ĐS:P1=

8 35

1 Nữ ngồi đối diện ĐS:P2=

6 35

2

Lời giải.

Xem hai dãy ghế đối diện làA1,B1,C1,D1vàA2,B2,C2,D2

Số cách xếp tùy ý8bạn vào hai dãy ghế là8!cách

1 Vị tríA1có8cách chọn, suy vị tríA2có4cách chọn

Vị tríB1có6cách chọn, suy vị tríB2có3cách chọn

Vị tríC1có4cách chọn, suy vị tríC2có2cách chọn

Vị tríD1có2cách chọn, suy vị tríD2có1cách chọn

Vậy xác suất làP1=

8×4×6×3×4×2×2×1

8! =

8 35

2 Do nữ ngồi đối diện nên hai nam ngồi đối diện

Chọn hai cặp vị trí đối diện cho nữ ngồi, ta cóA24cách, sau đó, ta có4!cách xếp4bạn nữ vào4vị trí

Ở vị trí cịn lại dành cho nam, ta có4!cách xếp4bạn nam vào4vị trí Vậy xác suất làP2=

A24×4!×4!

8! =

6 35

ä {DẠNG 4.3 Chọn xếp số

L LÍ THUYẾT

•Một số kiến thức liên quan

1 Chom∈N, ta cóm 2⇔chữ số hàng đơn vị củamlà chữa số chẵn

2 Chom∈N, ta cóm 5⇔chữ số hàng đơn vị củambằng0hoặc bằng5

3 Chom∈N, ta cóm 4⇔hai chữ số cuối tạo thành số chia hết cho4

4 Chom∈N, ta cóm 3⇔tổng chữ số củamchia hết cho3

5 Chom∈N, ta cóm 9⇔tổng chữ số củamchia hết cho9

6 Cho m∈N, ta cóm 11⇔tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ (tính từ trái qua phải)

7 Chom∈N,mđược phân tích thành thừa số nguyên tố dạngm=pi1

1 p

i2

2 · · ·p

in n

Khi ước số củamứng với bộ(j1;j2; ;jn)trong đó0≤j1≤i1; ; 0≤jn≤in

8 Số nghiệm nguyên dương phương trình

(74)

làCnm−−11

9 Mỗi bộnsố thực ln có cách xếp thứ tự từ bé đến lớn

10 Chonlà số tự nhiên khác0, tập số tự nhiênN phân lớp thành tập: +X0gồm số chiamhết chon,m=k·n,k∈N

+X1gồm số tự nhiênmchiandư1,m=k·n+1,k∈N

+Xn−1gồm số tự nhiênmchiandưn−1,m=k(n−1),k∈N

M VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tập hợpAgồm tất số tự nhiên có ba chữ số khác đôi lập từ số1;2;3; 4;5;6 Chọn ngẫu nhiên phần tử A Tính xác suất để phần tử số chẵn ĐS:P=1

2

Lời giải.

Gọiabclà số thuộc vào tậpA, ta cóA36=120số Vậy số cách chọn tùy ý số từ tậpAlà120cách

Gọicd elà số chẵn thuộc vào tậpA, ta có3×A25=60số Suy xác suất để chọn số thỏa mãn toán làP= 60

120=

2 ä

VÍ DỤ GọiSlà tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số1;2;3;4;5; 6;7 Xác định số phần tử củaS Chọn ngẫu nhiên số từS, tính xác suất để chọn số chẵn ĐS: P=3

7

Lời giải.

Gọiabclà số thuộc vào tậpS, ta cóA37=210số Vậy số cách chọn tùy ý số từ tậpSlà210cách

Gọicd elà số thỏa mãn yêu cầu tốn thuộc vào tậpS, ta có3×A26=90số Suy xác suất để chọn số thỏa mãn toán làP= 90

210=

7 ä

VÍ DỤ Cho tập hợp Agồm tất số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác lập từ số0;1; 2;3;4;5;6 Chọn ngẫu nhiên từAhai phần tử Tính xác suất để hai phần tử lấy từAcó số chẵn

và số lẻ ĐS:P=175

719

Lời giải.

Gọiabcdlà số thuộc vào tập A, ta có6×A36=720số Vậy số cách chọn tùy ý hai số tùy ý từ tậpAlàA2720cách

Gọicd elà số lẻ thuộc vào tậpA, ta có3×5×A52=300số, có720−300=420số chẵn tậpA Suy xác suất để chọn hai số thỏa mãn toán làP=300×420

A2720 = 175

719 ä

VÍ DỤ Từ hộp chứa 16thẻ đánh số từ1đến16, chọn ngẫu nhiên4thẻ Tính xác suất để4thẻ

được chọn đánh số chẵn ĐS:P=

26

Lời giải.

Số cách chọn tùy ý4thẻ làC416cách

Do có8số chẵn số từ1đế16nên để chọn được4thẻ đánh số chẵn, ta cóC48cách Suy xác suất để chọn được4thẻ mang số chẵn làP= C

4

C416=

26 ä

VÍ DỤ GọiX tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ0;1;2;3;4;5;6 Lấy ngẫu nhiên hai phần tử củaX Tính xác suất để hai số lấy số chẵn ĐS:P=1

(75)

Lời giải.

Gọiablà số thuộc vào tậpX, ta có6×6=36số Vậy số cách chọn tùy ý hai số từ tậpXlàC236

Gọicd số chẵn thuộc vào tậpX TH1:Số có dạngc0, ta có6số TH2:Xétd6=0, ta có3×5=15số

Vậy có6+15=21số chẵn tập hợpX

Suy xác suất để chọn hai số chẵn từ tậpX làP=C

2 21

C2 36

=1

3 ä

VÍ DỤ GọiSlà tập hợp số tự nhiên gồm có2chữ số Chọn ngẫu nhiên số từS Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng đơn vị hàng chục chữ số chẵn ĐS:P=2

9

Lời giải.

Gọiablà số thuộc vào tậpS, ta có9×10=90số Vậy số cách chọn tùy ý số từ tậpSlà90cách

Gọicd số thỏa mãn yêu cầu tốn thuộc vào tậpS, ta có4×5=20số Suy xác suất để chọn số thỏa mãn toán làP=20

90=

9 ä

VÍ DỤ ChoElà tập hợp số có3chữ số khác đôi lấy từ:0, 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên1 phần tử củaE Tính xác suất để phần tử chọn số có3chữ số chẵn ĐS:

25

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên1phần tử củaE" GọiAlà biến cố “số chọn số có3 chữ số chẵn" Giả sử số có ba chữ số thuộcEcó dạngabc, ta có

acó5cách chọn,bcó5cách chọn,ccó4cách chọn Do đó, số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=5·5·4=100 Số chọn(abc)có3chữ số chẵn lấy từ số{0, 2, 4} Do đóacó2cách chọn,bcó2cách chọn ccó1 cách chọn Số kết thuận lợi biến cố AlànA=2·2·1=4

Suy ra, xác suất cần tìm

P(A)=nA nΩ=

4 100=

1 25 Vậy xác suất để chọn số có3chữ số chẵn từElà

25 ä

VÍ DỤ Có20thẻ đựng trong2hộp khác nhau, hộp chứa10thẻ đánh số liên tiếp từ1đến10 Lấy ngẫu nhiên2thẻ từ2hộp (mỗi hộp1thẻ) Tính xác suất lấy hai thẻ có tích hai số ghi hai thẻ

một số chẵn ĐS:

4

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên2thẻ từ2hộp (mỗi hộp1thẻ)" GọiAlà biến cố “lấy hai thẻ có tích hai số hai thẻ số chẵn" Để lấy hai thẻ có tích hai số ghi hai thẻ số chẵn, ta có trường hợp sau đây:

Hai thẻ lấy thẻ chẵn, có5·5=25(cách)

Thẻ lấy hộp thứ thẻ chẵn, hộp thứ hai thẻ lẻ, có5·5=25(cách) Thẻ lấy hộp thứ thẻ lẻ, hộp thứ hai thẻ chẵn, có5·5=25(cách) Do vậy, số kết thuận lợi biến cốAlànA=25+25+25=75

Lại có, số phần tử không gian mẫu lànΩ=10·10=100 Suy ra, xác suất cần tìm:

P(A)=nA nΩ=

75 100=

3

Vậy xác suất để lấy hai thẻ có tích hai số ghi hai thẻ số chẵn

(76)

VÍ DỤ Một hộp gồm có9thẻ đánh số liên tiếp từ1đến9 Rút ngẫu nhiên hai thẻ (không kể thứ tự), nhân hai số ghi hai thẻ lại với Tính xác suất để kết nhận số chẵn.ĐS:13

18

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “rút ngẫu nhiên hai thẻ (không kể thứ tự), nhân hai số ghi hai thẻ lại với nhau" GọiAlà biến cố “lấy hai thẻ có tích số ghi hai thẻ số chẵn" Ta có

Số phần tử không gian mẫu lànΩ=C29=36

Trong hai thẻ lấy ra, ta xét trường hợp sau đây: Một thẻ lẻ thẻ chẵn, cóC15·C14=20(cách) Hai thẻ mang số chẵn, cóC24=6(cách)

Do vậy, số kết thuận lợi biến cốAlànA=26 Suy ra, xác suất cần tìm

P(A)=nA nΩ=

26 36=

13 18

ä

VÍ DỤ 10 GọiS tất số tự nhiên gồm2chữ số khác lập từ0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên2số

từ tậpS Tích xác suất để tích2số chọn số chẵn ĐS:5

6

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên2số từ tậpS" Gọi Alà biến cố “tích2số chọn số chẵn" Giả sử số có hai chữ số thuộcScó dạngab Ta có:

Số phần tử củaSlànS=6·6=36

Số số chẵn thuộcS(xét hai trường hợpb=0vàb6=0) là6+5·3=21 Số số lẻ thuộcSlà36−21=15

Trong hai số chọn, ta xét trường hợp sau: Có số chẵn số lẻ, cóC121·C115=315(cách) Có hai số chẵn, cóC221=210(cách)

Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=315+210=525 Xác suất cần tìm

P(A)=nA nΩ=

525 630=

5

ä N BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợpS Tính xác suất để số chọn chứa3chữ số lẻ.ĐS:10

21

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ tậpX" Khi đó, số phần tử khơng gian mẫu số cách đưa9số vào6chỗ nênnΩ=A96=60480 GọiAlà biến cố “số chọn chứa3chữ số lẻ"

Chọn3số lẻ đôi từ số1, 3, 5, 7, 9cóC35(cách)

(77)

Vậy xác suất cần tìm làP(A)=nA nΩ=

28800 60048=

10

21 ä

BÀI Cho 100tấm thẻ đánh số liên tiếp từ1đến100, chọn ngẫu nhiên3thẻ Tính xác suất để tổng số

ghi thẻ chọn số chia hết cho2 ĐS:

2

Lời giải.

GọiΩ không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba thẻ từ 100 thẻ" Khi đó:nΩ=C3100=161700 GọiAlà biến cố “tổng số ghi trên3thẻ chọn số chia hết cho2" Gọix,y,zlà ba số ghi ba thẻ rút Khi

(

1≤x,y,z≤100

x+y+zchia hết cho2

Từ1đến100có50số chia hết cho2 (N1),50số chia cho2dư1 Ta xét trường hợp sau:

Cả3sốx,y,zcùng thuộc loạiN1có:C350=19600(cách)

Trong3sốx,y,zcó số chia hết chia2và2số chia2dư1, có:C150·C250=61250(cách)

⇒Số kết thuận lợi biến cốAlànA=19600+61250=80850 Vậy xác suất cần tìm làP(A)=nA

nΩ= 80850 161700=

1

2 ä

BÀI Trong hộp có40tấm thẻ đánh số từ1đến40, chọn ngẫu nhiên3thẻ hộp Tính xác suất để tổng

3 số thẻ lấy số chia hết cho3 ĐS:127

380

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba thẻ từ40tấm thẻ" Khi đó, số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=C340=9880 Gọi Alà biến cố “tổng số ghi trên3thẻ chọn số chia hết cho3"

Gọix,y,zlà ba số ghi ba thẻ rút Khi (

1≤x,y,z≤40

Từ1đến40có13số chia hết cho3 (N1),14số chia cho3dư1 (N2),13số chia cho3dư2(N3) Ta xét trường hợp

sau:

Cả3sốx,y,zcùng thuộc loạiN1,N2hoặcN3có:C313+C314+C313=936(cách)

3sốx,y,zmỗi số thuộc loại, có:C113·C114·C113=2366(cách)

⇒Số kết thuận lợi biến cốAlànA=936+2366=3302 Vậy xác suất cần tìm làP(A)=nA

nΩ= 3302 9880=

127

380 ä

BÀI Trong hộp có 50 viên bi đánh số từ đến 50, chọn ngẫu nhiên viên bi hộp Tính xác suất để

tổng số viên bi chọn số chia hết cho3 ĐS: 796

2450

Lời giải.

GọiΩ không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ50viên bi" Khi đó, số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=C350=19600 GọiAlà biến cố “tổng số ghi trên3viên bi chọn số chia hết cho3"

Gọix,y,zlà ba số ghi ba viên bi chọn Khi đó: (

1≤x,y,z≤50

Từ1đến50có16số chia hết cho3 (N1),17số chia cho3dư1 (N2),16số chia cho3dư2(N3) Ta xét trường hợp

sau:

Cả3sốx,y,zcùng thuộc loạiN1,N2hoặcN3có:C316+C317+C316=1800(cách)

3sốx,y,zmỗi số thuộc loại, có:C116·C117·C116=4352(cách)

⇒Số kết thuận lợi biến cốAlànA=1800+4352=6152 Vậy xác suất cần tính làP(A)=nA

nΩ= 6152 19600=

796

2450 ä

BÀI GọiXlà tập hợp số tự nhiên gồm có4chữ số khác đơi tạo thành từ chữ số1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên từ tập X số Hãy tính xác suất để lấy số tự nhiên từ tậpXcó tổng chữ số bằng14

ĐS:

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên từ tậpX số", gọiAlà biến cố “số chọn có tổng chữ số bằng14 Ta có

(78)

Số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=C1360=360

Để tổng chữ số số chọn bằng14, ta có số:{2, 3, 4, 5}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 6} Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=4!+4!+4!=72

Xác suất cần tìm làP(A)=nA nΩ=

72 360=

1

5 ä

BÀI Chọn ngẫu nhiên3số từ tậpS={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Tính xác suất để tổng3số chọn

12 ĐS: 14

55

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba số từ tậpS" Gọi Alà biến cố “tổng số được chọn có tổng bằng12" Ta có:

Số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=C311=165

Để tổng ba số chọn bằng12, ta có số:{1, 2, 9},{1, 3, 8},{1, 4, 7},{1, 5, 6},{2, 3, 7},{2, 4, 6},{3, 4, 5} Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=7·3!=42

42 165=

14 55

ä

BÀI Cho tập hợp E={1, 2, 3, 4, 5, 6}và M tập hợp tất số gồm2chữ số phân biệt thuộc tập E Lấy ngẫu nhiên số thuộcM Tính xác suất để tổng hai chữ số số chọn có giá trị lớn hơn7 ĐS:2

5

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số thuộcM", gọiAlà biến cố “tổng hai chữ số số chọn lớn hơn7" Ta có:

Số phần tử củaMlàA26=30

Số phần tử không gian mẫu làC130=30

Để tổng chữ số số chọn lớn hơn7, ta có số:{2, 6},{3, 5},{3, 6},{4, 5},{4, 6},{5, 6} Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=6·2!=12

12 30=

2

5 ä

BÀI Elà tập số tự nhiên gồm5chữ số khác lấy từ số{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Lấy ngẫu nhiên số

trongEtính xác suất để lấy số chia hết cho5 ĐS: 13

49

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn số tự nhiên có5chữ số lập từ{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}", gọi Alà biến cố “số chọn chia hết cho5" Gọi số có5chữ số thuộcEcó dạnga1a2a3a4a5 Ta có:

Số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=A58−A47=5880

Để số chia hết cho5, ta có:

– a5là5,a1có6cách chọn,a2có6cách chọn,a3có5cách chọn,a4có4cách chọn

Số kết thuận lợi biến cốAlà7·6·5·4+6·6·5·4=1560

1560 5880=

13

49 ä

BÀI GọiE tập hợp số tự nhiên gồm3chữ số phân biệt lập từ số1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên hai số khác thuộc tậpE Tính xác suất để hai số chọn có số có chữ số5 ĐS:0,488

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có3chữ số lập từ{1, 2, 3, 4, 5}", gọiAlà biến cố “hai số chọn có số có chữ số5" Gọi số có ba chữ số thuộcEcó dạnga1a2a3 Ta có:

Số phần tử củaElàA35=60

(79)

Để số có ba chữ số từE sốkhơngcó mặt5, ta có: a1,a2,a3 số thuộc{1, 2, 3, 4} Do đó, có tất

A34=24số

Số kết thuận lợi biến cố AlàC136·C124=864

864 1770=

144

295≈0,488 ä

BÀI 10 GọiElà tập hợp số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từ chữ số1, 2, 3, 4, TậpE có phần tử? Chọn ngẫu nhiên phần tử củaE, tính xác suất chọn chia hết cho3 ĐS:

5

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có3chữ số khác lập từ{1, 2, 3, 4, 7}", gọiAlà biến cố “số chọn chia hết cho3" Gọi số có ba chữ số thuộcEcó dạnga1a2a3 Ta có:

Số phần tử củaElàA35=60

Gọix,y,zlà ba số số chọn thỏa mãn u cầu tốn Khi (

x,y,z∈{1, 2, 3, 4, 7} x+y+zchia hết cho3 Ta có:

Có4bộ số:{1, 2, 3},{1, 4, 7},{2, 3, 4},{2, 3, 7}lập thành số có3chữ số chia hết cho3

Đưa số vào ba chỗa1a2a3có3!cách Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlà4·3!=24

24 60=

2

5 ä

O BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI 11 Có30tấm thẻ đánh số từ1đến30 Chọn ngẫu nhiên ra10tấm thẻ Hãy tìm xác suất để có5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn có đúng1tấm thẻ mang số chia hết cho10 ĐS:0,148

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên10tấm thẻ từ30tấm cho", gọi Alà biến cố “có5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn có đúng1tấm thẻ mang số chia hết cho10" Ta có:

Trong30tấm thẻ cho có15tấm thẻ lẻ,12tấm thẻ chẵn khơng chia hết cho10,3tấm thẻ chẵn chia hết cho 10

Số kết thuận lợi biến cố AlàC515·C412·C13=4459455

4459455 300450015=

99

667≈0,148 ä

BÀI 12 Có40tấm thẻ đánh số thứ tự từ1đến40 Chọn ngẫu nhiên ra10tấm thẻ Tính xác suất để lấy được5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho6 ĐS:0,11

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên10tấm thẻ từ40tấm cho", gọi Alà biến cố “có5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn có đúng1tấm thẻ mang số chia hết cho6" Ta có:

Số phần tử không gian mẫu làC1040

Trong40tấm thẻ cho có20tấm thẻ lẻ,14tấm thẻ chẵn khơng chia hết cho6,6tấm thẻ chẵn chia hết cho6 Số kết thuận lợi biến cố AlàC520·C414·C16

C520·C414·C16 C1040 =

126

1147≈0,11 ä

BÀI 13 Có20tấm thẻ đánh số liên tiếp từ1đến20 Chọn ngẫu nhiên ra5tấm thẻ Tính xác suất để trong5 thẻ chọn có3tấm thẻ mang số lẻ,2tấm thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia

hết cho4 ĐS:0,193

Lời giải.

(80)

Trong20tấm thẻ cho có10tấm thẻ lẻ,5tấm thẻ chẵn khơng chia hết cho4,5tấm thẻ chẵn chia hết cho4 Số kết thuận lợi biến cốAlàC310·C15·C15=3000

3000 15504=

125

646≈0,193 ä

BÀI 14 GọiElà tập hợp số có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tậpE Tính xác suất

để chọn số thuộcEvà số chia hết cho9 ĐS:1

9

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử: “Chọn ngẫu nhiên số từ tậpE" GọiAlà biến cố “số chọn chia hết cho9" Ta có

Số phần tử không gian mẫu lànΩ=9·9·8·7· · ·3=9·9!

Do0+1+ · · · +9=45chia hết cho9 Do đó, để có số có8chữ số đơi khác chia hết cho9thì: Trong10số từ0đến9chỉ cần bỏ đi2số có tổng bằng9, cụ thể ta bỏ cặp số:{0, 9}, {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} Có4bộ số có mặt chữ số0, có7·7!số

Bộ khơng có số0là(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)có8!số

Số kết thuận lợi biến cốAlànA=4·7·7!+8!=181440

181440 9·9!

2 =1

9 ä

BÀI 15 Cho tập hợp X={0, 1, 2, 4, 5, 7, 8} Ký hiệuGlà tập hợp tất số có bốn chữ số đôi khác lấy từ tậpX, chia hết cho5 Lấy ngẫu nhiên số tậpG, tính xác suất để lấy số không lớn hơn4000.ĐS:

6 11

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số tậpG" GọiAlà biến cố “lấy số không lớn hơn4000" Gọiabcdlà số có4chữ số khác đơi lấy từ chữ số chia hết cho5 Ta có:

Nếud=0thìabccóA36=120cách chọn

Nếud=5thìacó5cách chọn,bcó5cách chọn vàccó4cách chọn⇒có100số Do đó, tậpGcó tất cả220số

Giả sửabcd∈Gvàabcd≤4000 Khi đó: a∈{1, 2, 3}nên có3cách chọn d có2cách chọn

bccóA25=20cách chọn

Vậy nên có tất cả120số lấy từGmà nhỏ hơn4000

Xác suất cần tìm làP(A)= nA nΩ=

120 220=

6

11 ä

BÀI 16 GọiE tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ chữ số:1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ số lập Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng nghìn nhỏ hơn5 ĐS:

7

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ số thuộcE" GọiAlà biến cố “số chọn có chữ số hàng nghìn nhỏ hơn5" Gọi số thỏa mãn tốn có dạngabcd Ta có:

Số phần tử không gian mẫunΩ=A47=840

Sốa∈{1, 2, 3, 4}nên có4cách chọn Đưa6số cịn lại vào3vị trí cóA36cách Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlà4·A36=480

480 840=

4

(81)

BÀI 17 GọiE tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ chữ số:1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợpE Tính xác suất để số chọn số lớn số2016 ĐS:

7

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ tập hợpE" GọiAlà biến cố “số chọn số lớn số2016" Ta có:

Số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=A47

Số nhỏ hơn2016thì số bắt đầu số1, số cách đưa số lại vào ba chỗ trống làA36 Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=A36

Xác suất cần tìm làP(A)=1−P(A)=1−nA nΩ=1−

A36 A47=

6

7 ä

BÀI 18 Từ chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6lập số có4chữ số khác Lấy ngẫu nhiên1số số lập, tính

xác suất để số lấy có2chữ số chẵn,2chữ số lẻ ĐS:

5

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số có4chữ số khác lấy từ{1, 2, 3, 4, 5, 6}" Gọi Alà biến cố “số lấy có2chữ số chẵn,2chữ số lẻ" Gọi số có4chữ số thỏa mãn tốn làa1a2a3a4 Ta có:

Số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=A46=360

Chọn hai số chẵn từ bộ{2, 4, 6}cóC23=3cách Chọn2trong4chỗ để đưa hai số chẵn vào cóC24=6cách Đưa hai số chẵn vào hai chỗ có2!cách Đưa ba số lẻ từ bộ{1, 3, 5}vào2vị trí cịn lại cóA23=6cách

Do đó, số kết thuận lợi biến cố Alà3·6·2·6=216

216 360=

3

5 ä

BÀI 19 GọiXlà tập số tự nhiên gồm chữ số phân biệt từ chữ số:1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên số từX

Tính xác suất để lấy số có mặt chữ số6 ĐS:

3

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số từX" Gọi Alà biến cố “số chọn có mặt chữ số 6"

Ta có số phần tử củaX làA46=360

Số kết thuận lợi biến cốA=A45=120 Xác suất cần tìm

P(A)=1−P(A)=1−nA nΩ=1−

120 360=

2

ä

BÀI 20 Cho tậpX gồm số có4chữ số đơi khác lập từ chữ số0, 1, 2, 3, 4, Lấy ngẫu nhiên2

số từX Tìm xác suất để2số lấy có nhất1số chẵn ĐS:0,77

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên hai số từX" GọiAlà biến cố “có nhất1số chẵn hai số chọn"

Ta có, số phần tử củaX lànX=5·5·5·4·3=300

Giả sửb1b2b3b4là số lẻ thuộc tập X Khi đó,b4 có3cách chọn,b1có4cách chọn,b2 có4cách chọn,b3có3cách

chọn Suy ra, số phần tử biến cốAlànA=3·4·4·3=144 Suy ra, xác suất để chọn hai số lẻ

P(A)=nA nΩ=

C2144 C2300=

132 575 Xác suất cần tìm làP(A)=1−P(A)=443

575≈0,77 ä

BÀI 21 GọiElà tập hợp số tự nhiên gồm9chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từE Tính xác suất để số chọn có đúng4chữ số lẻ chữ số0đứng giữa2chữ số lẻ (các chữ liền trước liền sau chữ số0là

chữ số lẻ) ĐS:

54

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từE", gọi Alà biến cố “số chọn có đúng4chữ số lẻ chữ số0đứng giữa2chữ số lẻ" Xét số có9chữ số khác nhau, ta có:

(82)

CóA89cách để đưa9chữ số cịn lại vào8vị trí cịn lại

Do đó, số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=9·A89=3265920

Xét số thỏa mãn toán:

Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số0, chữ số0khơng thể đứng đầu đứng cuối nên có7cách xếp Ta cóA25cách chọn2số lẻ đưa vào hai vị trí bên cạnh chữ số0

Chọn hai trong6vị trí cịn lại cóC26cách Chọn hai trong3số lẻ cịn lại đưa vào hai vị trí vừa chọn cóA23cách Vậy có tất cảC26·A23=90cách để chọn hai số lẻ xếp vào hai trong6vị trí cịn lại

Cuối cùng, đưa4chữ số chẵn cịn lại vào4vị trí có4!cách

Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=7·A25·90·4!=302400

Vậy xác suất cần tìm làP(A)=nA nΩ=

302400 3265920=

5

54 ä

BÀI 22 Từ chữ số1, 2, 3, 4, 5có thể lập số tự nhiên có5chữ số, chữ số3có mặt đúng3 lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q1lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất

để số chọn chia hết cho3 ĐS:1

2

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số có5chữ số theo u cầu tốn" GọiAlà biến cố “số chọn chia hết cho3" Ta có:

Chọn ba vị trí để đưa ba chữ số3vào cóC35cách Chọn2trong4số để đưa vào2vị trí cịn lại cóA2

4cách

Số phần tử không gian mẫu lànΩ=C35·A24=120

Để số chọn chia hết cho3thì tổng chữ số phải chia hết cho3 Do số chọn có3chữ số3nên hai số cịn lại phải chia hết cho3 Ta có:

Chọn ba vị trí để đưa ba chữ số3vào cóC35cách Hai số cịn lại thuộc số:(1, 2),(1, 5),(2, 4) Số kết thuận lợi biến cốAlàC35·3·2!=60

60 120=

1

2 ä

BÀI 23 Từ chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6có thể lập số có7chữ số chữ số4có mặt đúng2lần, chữ số cịn lại có mặt lần Trong số tự nhiên trên, chọn ngẫu nhiên1số, tìm xác suất để số chọn

khôngbắt đầu số12 ĐS: 41

42

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên1số từ số có7chữ số lập từ1, 2, 3, 4, 5, 6thỏa mãn đề bài" Gọi A biến cố “số chọn không bắt đầu số12" Gọi số có7chữ số thuộc khơng gian mẫu có dạng a1a2a3a4a5a6a7, ta có:

Chọn2vị trí để đưa số4vào cóC27cách

Đưa5chữ số cịn lại vào5vị trí cịn lại có5!cách

Do đó, số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=C27·5!=2520

Xét trường hợp số có7chữ số bắt đầu số12thì: Đưa số12vào2vị tría1a2có1cách chọn

Chọn2vị trí trong5vị trí cịn lại để đưa hai số4vào cóC25cách Đưa3số cịn lại vào3vị trí cịn lại có3!cách

Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=nΩ−nA=2520−C25·3!=2460

2460 2520=

41

(83)

BÀI 24 GọiElà tập hợp số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ chữ số{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Chọn ngẫu nhiên phần tử tậpE Tìm xác suất để phần tử số không chia hết cho5 ĐS: 11

36

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn số tự nhiên có5chữ số lập từ{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}", gọiAlà biến cố “số chọn chia hết cho5" Gọi số cần tìm có dạnga1a2a3a4a5 Ta có:

Số phần tử khơng gian mẫu lànΩ=A57−A46=2160

Để số chia hết cho5, ta có:

Số kết thuận lợi biến cố Alà6·5·4·3+5·5·4·3=660

Xác suất cần tìm làP(A)= 660 2160=

11

36 ä

BÀI 25 Có12số tự nhiên khác có5số chẵn và7số lẻ, chọn ngẫu nhiên3số Tính xác suất để tổng

3số chọn số chẵn ĐS: 23

44

Lời giải.

Khơng gian mẫuΩcó tổng số phần tử lànΩ=C312=220.GọiAlà biến cố “tổng ba số chọn số chẵn" Ta xét trường hợp sau:

Chọn ba số chẵn, có:C35=10(cách)

Chọn số chẵn hai số lẻ, có:C15·C27=105(cách) Số kết thuận lợi biến cốAlà10+105=115

115 220=

23

44 ä

BÀI 26 Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất cho:

1 Tổng số chấm lần gieo ĐS:

6

2 Ít lần gieo xuất mặt chấm ĐS:

3

3 Tổng số chấm ĐS:

6

4 Tổng số chấm nhỏ ĐS:

3

5 Tổng số chấm chia hết cho ĐS:

9

6 Lần đầu số nguyên tố, lần sau số chẵn ĐS:

6

7 Có mặt chấm xuất ĐS:

18

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần" Ta cónΩ=6·6=36

1 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo bằng6" Ta có: Các số có tổng số chấm bằng6là:{1, 5},{2, 4},{3, 3} Số kết thuận lợi biến cốAlànA=3·2!=6

6 36=

1

2 GọiAlà biến cố “ít lần gieo xuất mặt chấm" Ta có:

(84)

12 36=

1

3 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo bằng7" Ta có: Các số có tổng số chấm bằng7là:{1, 6},{2, 5},{3, 4} Số kết thuận lợi biến cốAlànA=3·2!=6

6 36=

1

4 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo nhỏ hơn6" Ta có:

Các số có tổng số chấm nhỏ hơn6là:{1, 1},{1, 2},{1, 3},{1, 4},{2, 2},{2, 3} Số kết thuận lợi biến cốAlànA=6·2!=12

12 36=

1

5 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo chia hết cho5" Ta có: Các số có tổng số chấm chia hết cho5là:{1, 4},{2, 3}

Số kết thuận lợi biến cốAlànA=2·2!=4

4 36=

1

6 GọiAlà biến cố “lần gieo đầu số nguyên tố, lần2là số chẵn" Ta có: Các số nguyên tố nhỏ hơn6có ba số là{2, 3, 5}

Từ1đến6có tất cả3số chẵn

Số kết thuận lợi biến cốAlànA=3·3=6

6 36=

1

7 GọiAlà biến cố “có mặt6chấm xuất hiện" Ta có:

Các số có xuất số6là:{6, 1},{6, 2},{6, 3},{6, 4},{6, 5} Số kết thuận lợi biến cốAlànA=5·2=10

10 36=

5 18

ä

BÀI 27 GọiE tập hợp số tự nhiên gồm5chữ số khác mà chữ số lớn hơn4 Hãy xác định số phần tử tậpE Chọn ngẫu nhiên phần tử tậpE, tính xác suất để số chọn có ba chữ số lẻ đứng kề

nhau ĐS:

10

Lời giải.

Lập số tự nhiên gồm5chữ số khác từ bộ5số{5, 6, 7, 8, 9} Số phần tử củaElà5!=120

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên phần tử thuộcE", gọi Alà biến cố “số chọn có ba chữ số lẻ đứng kề nhau" Xét số thỏa mãn đề có dạngabcd e Ta xét trường hợp:

abclà3chữ số lẻ Chọnabccó3!=6cách Chọnd ecó2!=2 Do đó, số kết trường hợp là6·2=12 Các trường hợpbcdvàcd elà số lẻ có kết tương tự trường hợp

Vậy số kết thuận lợi biến cốAlànA=12·3=36 Số phần tử không gian mẫu lànΩ=C1120=120

36 120=

3

10 ä

BÀI 28 Cho tập hợpE={1, 2, 3, 4, 5, 6} GọiMlà tập hợp số tự nhiên có nhiều ba chữ số, chữ số đôi khác thành lập từ tậpE Lấy ngẫu nhiên số thuộc tập hợpM Tính xác suất lấy số thuộc

tậpM, cho tổng chữ số số bằng10 ĐS:1

6

Lời giải.

(85)

Số phần tử củaMlàA36+A26+A16=156

Để tổng chữ số số chọn là10, ta có số:{4, 6},{1, 3, 6},{1, 4, 5},{2, 3, 5},{3, 4, 5} Do đó, số kết thuận lợi biến cốAlànA=2!+4·3!=26

26 156=

1

6 ä

BÀI 29 GọiElà tập hợp số có ba chữ số khác lập từ chữ số1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập hợpE, tính xác suất để ba số chọn có số có mặt chữ số4 ĐS:0,29

Lời giải.

GọiΩlà không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên ba số từ tậpE", gọi Alà biến cố ‘trong ba số chọn có số có mặt chữ số4" Ta có:

Số phần tử tậpElàA35=60

Số phần tử khơng gian mẫu làC360=34220 Các số thuộcEkhơng có chữ số4làA34=24

Các số thuộcEcó mặt chữ số4là60−24=36

Số kết thuận lợi biến cố AlànA=C136·C224=9936

9936

34220≈0,29 ä

BÀI 5. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

Định nghĩa (Biến cố hợp) Cho hai biến cố AvàB Biến cố “AhoặcBxảy ra”, kí hiệu A∪Bđược gọi hợp hai biến cốAvàB Khi đóΩA∪ΩB⊂Ω

ΩA ΩB

VÍ DỤ Chọn ngẫu nhiên bạn học sinh lớp11 trường GọiAlà biến cố: “Bạn học sinh giỏi tốn” vàBlà biến cố: “Bạn học sinh giỏi Lý”

Khi đóA∪Blà biến cố: “Bạn học sinh giỏi Tốn giỏi Lý”

Định nghĩa (Biến cố xung khắc) Cho hai biến cố AvàB Hai biến cố A vàBđược gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy Khi đóΩA∩B=∅

ΩA ΩB

(86)

Định nghĩa (Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc)

NếuAvàBlà hai biến cố xung khắc xác suất biến cốA∪BlàP(A+B)=P(A)+P(B) Chonbiến cốA1,A2, ,Anđôi biến cố xung khắc với Khi

P(A1∪A2∪A3∪ .∪An)=P(A1)+P(A2)+P(A)+ .+P(An)

VÍ DỤ Cho hộp đựng4viên bi xanh và3bi đỏ Lấy ngẫu nhiên3viên bi Tính xác suất để có

nhất2viên bi xanh ĐS: 22

35

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu là:n(Ω)=C37=35

GọiAlà biến cố: “3viên bi lấy có nhất2viên bi xanh” Có trường hợp sau: Lấy được2viên bi xanh và1viên bi đỏ, số cách chọn làC24·C13=18

Lấy được3viên bi xanh, số cách chọn làC34=4 Theo quy tắc cộng ta cón(A)=18+4=22

Vậy xác suất củaAlàP(A)=n(A) n(Ω)=

22

35 ä

VÍ DỤ Trên kệ sách có 7quyển sách Tốn, 6quyển sách Lý và4 sách Hóa Lấy ngẫu nhiên từ kệ sách hai sách Tính xác suất để lấy hai sách môn ĐS: 21

68

Lời giải.

GọiAlà biến cố: “Lấy hai sách mơn” Có trường hợp sau: Lấy được2quyển sách Tốn, cóC27=21cách

Lấy được2quyển sách Lý, cóC26=15cách Lấy được2quyển sách Hóa, cóC24=6cách Theo quy tắc cộng ta cón(A)=21+15+6=42 Vậy xác suất củaAlàP(A)=n(A)

n(Ω)= 42 136=

21

68 ä

Định nghĩa (Biến cố đối) Cho Alà biến cố Khi biến cố “khơng A”, kí hiệu A, đươc gọi biến cố đối củaA Ta nóiAvàAlà hai biến cố đối

Khi đóΩA=Ω\ΩA⇒P(A)=1−P(A)

Ω

A A

Câu hỏi 1:Hai biến cố đối có phải hai biến cố xung khắc?

Lời giải.

Hai biến cố đối hai biến cố xung khắc ä

Câu hỏi 2:Hai biến cố xung khắc có phải hai biến cố đối?

Lời giải.

Hai biến cố xung khắc hai biến cố đối ä

VÍ DỤ Một xạ thủ bắn vào bia viên đạn với xác suất

7 Khi xác suất bắn trượt bao nhiêu? ĐS:5

(87)

Lời giải.

Gọi A biến cố: “Một xạ thủ bắn vào bia viên đạn” thìP(A)=2

7 Khi xác suất bắn trượt làP(A)= 1−P(A)=1−2

7=

7 ä

VÍ DỤ Từ hộp có6quả cầu trắng và4quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên lúc 4quả Tính xác suất cho:

a) Bốn lấy màu ĐS:

105

b) Bốn lấy có đủ hai màu ĐS: 97

105

Lời giải.

a) GọiAlà biến cố: “Bốn lấy màu” Có hai trường hợp: Bốn lấy màu trắng, cóC46=15cách chọn Bốn lấy màu xanh, cóC44=1cách chọn

Theo quy tắc cộng thìn(A)=15+1=16cách chọn Vậy xác suất củaAlàP(A)=n(A) n(Ω)=

16 210=

8 105 b) GọiBlà biến cố: “Bốn lấy có đủ hai màu” thìB=A

Suy raP(B)=P(A)=1−P(A)=1− 105=

97 105

ä 2 QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT

Định nghĩa (Biến cố giao) Cho hai biến cốAvàB Biến cố “AvàBcùng xảy ra”, kí hiệu A∩B(hayAB) gọi giao hai biến cốAvàB

ΩA ΩA∩ΩB ΩB

VÍ DỤ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp11của trường Gọi Alà biến cố: “Bạn học sinh giỏi Toán” gọiBlà biến cố: “Bạn học sinh giỏi Lý”

Khi đó:A∩Blà biến cố: “Bạn học sinh giỏi Tốn giỏi Lý”

Định nghĩa (Hai biến cố độc lập) VÍ DỤ Gieo đồng xu liên tiếp2lần GọiAlà biến cố: “Lần gieo thứ xuất mặt sấp” gọiBlà biến cố: “Lần gieo thứ hai xuất mặt ngửa” Khi A vàBlà2biến cố độc lập

Hai biến cố gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng xác suất xảy biến cố

Nếu hai biến cốAvàBđộc lập với AvàB,AvàB,AvàBcũng độc lập

Định nghĩa (Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập) NếuAvàBlà hai biến cố độc lập với ta ln có:P(AB)=P(A)·P(B)

Chonbiến cốA1,A2,A3 ,An độc lập với đơi Khi đó: P(A1A2A3· · ·An)=P(A1)·P(A2)·P(A3)· · ·P(An)hayP

µ n Q i=1

Ai ¶

= n Q i=1

(88)

VÍ DỤ Một cầu thủ sút bóng vào cầu môn hai lần Biết xác suất sút vào cầu mơn Tính xác suất để cầu thủ sút hai lần bóng vào cầu mơn ĐS:

64

Lời giải.

GọiAlà biến cố: “Cầu thủ sút bóng vào cầu mơn lần thứ nhất” thìP(A)=3 GọiBlà biến cố: “Cầu thủ sút bóng vào cầu mơn lần thứ hai” thìP(B)=3

8 Suy raABlà biến cố: “Cầu thủ sút hai lần bóng vào cầu mơn” VìAvàBlà hai biến cố độc lập nên xác suất củaABlàP(AB)=P(A)·P(B)=3

8· 8=

9

64 ä

VÍ DỤ 10 Có hai xạ thủ bắn bia Xác suất xạ thủ thứ bắn trúng bia là0,8 Xác suất xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là0,7 Tính xác suất để:

a) Cả hai xạ thủ bắn trúng ĐS:0,56

b) Cả hai xạ thủ không bắn trúng bia ĐS:0,06

c) Có xạ thủ bắn trúng bia ĐS:0,94

Lời giải.

GọiAlà biến cố: “Xạ thủ thứ bắn trúng” vàBlà biến cố: “Xạ thủ thứ hai bắn trúng” thìP(A)=0,8và P(B)=0,7 Ta cóAvàBlà hai biến cố độc lập

a) Biến cố: “Cả hai xạ thủ bắn trúng” làABnênP(AB)=P(A)·P(B)=0,8·0,7=0,56 b) Biến cố: “Cả hai xạ thủ không bắn trúng bia” làAB

DoAvàBlà độc lập nênAvàBcũng độc lập Suy raP(AB)=P(A)·P(B)=0,2·0,3=0,06 c) Biến cố: “Có xạ thủ bắn trúng bia” làA∪B

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0,8+0,7−0,56=0,94

ä

!

Áp dụng nguyên tắc tính xác suất để giải tốn, thường ta làm theo bước sau: Bước 1.GọiAlà biến cố cần tính xác suất vàAi,(i=1,n)là biến cố liên quan đếnAsao cho:

+ Biến cốAbiểu diễn theo biến cố Ai,(A1,A2, ,An) + Hoặc xác suất biến cốAitính tốn dễ dàng so vớiA Bước 2.Biểu diễn biến cốAtheo biến cốAi

Bước 3.Xác định mối liên hệ biến cố áp dụng nguyên tắc: + NếuA1, A2xung khắc(A1∩A2=∅)thìP(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)

+ NếuA1, A2bất kỳ thìP(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1·A2)

+ NếuA1, A2độc lập thìP(A1·A2)=P(A1)·P(A2

+ NếuA1, A2đối thìP(A1)=1−P(A2)

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Một cặp vợ chồng mong muốn sinh trai (sinh trai khơng sinh nữa, chưa sinh sinh tiếp) Xác suất sinh trai lần sinh là0,51 Tìm xác suất cho cặp vợ chồng

mong muốn sinh trai lần sinh thứ2 ĐS:0,2499

Lời giải.

Xác suất sinh gái là1−0,51=0,49

Xác suất để cặp vợ chồng sinh trai lần sinh thứ2là0,49·0,51=0,2499 ä

BÀI Ba xạ thủ độc lập bắn vào bia Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ là0,6

Tính xác suất để xạ thủ bắn có xạ thủ bắn trúng mục tiêu ĐS:0,288

(89)

Muốn mục tiêu bị phá hủy hồn tồn phải có hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu Tính xác suất để mục

tiêu bị phá hủy hoàn toàn ĐS:0,648

2

Lời giải.

GọiXilà xạ thủ thứibắn trúng bia Khi đóXilà xạ thủ thứ ikhơng bắn trúng bia Ta cóP(Xi)=0,6; P(Xi)= 0,4

GọiAlà biến cố "3xạ thủ bắn có xạ thủ bắn trúng mục tiêu"

Ta cóP(A)=P(X1.X2·X3)+P(X1·X2·X3)+P(X1·X2·X3)=0,6·0,4·0,4+0,4·0,6·0,4+0,4·0,4·0,6=0,288

1

Gọi B biến cố "mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn"

P(B)=P(X1.X2·X3)+P(X1.X2·X3)+P(X1·X2·X3)+P(X1·X2·X3)=0,63+3·0,6·0,6·0,4=0,648

2

ä

BÀI Hai xạ thủ AvàBcùng bắn vào bia người phát Xác suất bắn trúng bia xạ thủ Alà0,7 Tìm xác suất bắn trúng bia xạ thủB Biết xác suất có người bắn trúng bia là0,94 ĐS:0,8

Lời giải.

GọiXA xạ thủAbắn trúng bia⇒XAlà xạ thủAkhông bắn trúng bia⇒P(XA)=0,7, P(XA)=0,3 GọiXBlà xạ thủBbắn trúng bia⇒XBlà xạ thủ B không bắn trúng bia

GọiElà biến cố "có người bắn trúng bia".Elà biến cố "không bắn trúng bia" ⇒P(E)=0,94⇒P(E)=0,06

Ta cóP(E)=P(XA)·P(XB)=0,3·P(XB)=0,06⇒P(XB)=0,2⇒P(XB)=0,8 ä

BÀI Hai người độc lập bắn người viên đạn vào bia Xác suất ban trúng bia họ

3và

5 Tính xác suất biến cố sau

A: "cả hai bắn trúng" ĐS:

15

1

B: "cả hai bắn trượt" ĐS:

15

2

C: "ít người bắn trúng" ĐS:

15

3

D: "có người bắn trúng" ĐS:2

5

4

Lời giải.

A: "cả hai bắn trúng" Khi đóP(A)=1 3·

1 5=

1 15

1

B: "cả hai bắn trượt" Khi đóP(B)= µ

11 ả

Ã

11 5=

1 15

¶ =2

3· 5=

8 15

2

C: "ít người bắn trúng" Ta có biến cốBchính biến cố đối củaC Khi P(C)=1−P(B)=1−

15= 15

3

D: "có người bắn trúng" tức người thứ bắn trúng người thứ bắn trật người thứ bắn trật người thứ hai bắn trúng Ta cóP(D)=1

3· 5+

2 3·

1 5=

2

4

ä

BÀI Có3người câu cá; xác suất Câu cá người thứ là0,5; xác suất câu cá người thứ hai là0,4; xác suất câu cá người thứ ba là0,2 Tính xác suất biến cố:

Có người câu cá ĐS:0,46

1

2

Người thứ ln ln câu cá ĐS:0,2

3

4

(90)

GọiXilà người thứicâu cá Khi đóXilà người thứikhơng câu cá Ta có P(X1)=0,5; P(X2)=0,4; P(X3)=0,2; P(X1)=0,5; P(X2)=0,6; P(X3)=0,8

GọiAlà biến cố "có người câu cá" Ta có

P(A)=P(X1.X2·X3)+P(X1·X2·X3)+P(X1·X2·X3)=0,5·0,6·0,8+0,5·0,4·0,8+0,5·0,6·0,2=0,46

1

GọiBlà biến cố "có người câu cá" Ta cóP(B)=P(X1·X2·X3+X1.X2·X3)+P(X1·X2·X3)+P(X1·X2·X3)=

=0,5·0,4·0,2+0,5·0,6·0,2+0,5·0,4·0,8=0,26

2

GọiClà biến cố "người thứ luôn câu cá" Khi đóP(D)=P(X3)=0,2

3

Gọi D biến cố "có người câu cá"⇒Dlà biến cố "khơng câu cá" Ta có P(D)=1−P(D)=P(X1)·P(X2)·P(X3)=1−0,5·0,6·0,8=1−0,24=0,76

4

ä

BÀI Một xạ thủ bắn vào bia4lần độc lập; xác suất bắn trúng lần là0,3 Tính xác suất biến cố:

Cả4lần bắn trượt ĐS:0,2401

1

Có đúng3lần bắn trúng ĐS:0,0756

2

Lần thứ1bắn trúng, lần thứ2bắn trượt ĐS:0,21

3

Ít nhất2lần bắn trúng ĐS:0,2601

4

Lời giải.

GọiXilà xạ thủ bắn trúng bia lần thứi Khi đóXilà xạ thủ khơng bắn trúng bia lần thứi Ta cóP(Xi)=0,3, P(Xi)=0,7

Gọi A biến cố "Cả4lần bắn trượt" Ta cóP(A)=P(X1·X2·X3·X4)=0,7·0,7·0,7·0,7=0,2401

1

Gọi B biến cố "Có đúng3lần bắn trúng".⇒P(B)=4.(0,7·0,33)=0,0756

2

Gọi C biến cố "Lần thứ1bắn trúng, lần thứ2bắn trượt".⇒P(C)=0,3·0,7=0,21

3

Gọi D biến cố "Ít nhất2lần bắn trúng" P(D)=P(X1·X2·X3·X4)+P(B)+

+(P(X1·X2·X3·X4)+P(X1·X2·X3·X4)+P(X1·X2·X3·X4)+P(X1·X2·X3·X4)+P(X1·X2·X3·X4)+P(X1·X2·X3·X4))

=(0,3)4+0,0756+4.(0,3·0,3·0,7·0,7)=0,2601

4

ä

BÀI Có hai hộp đựng thẻ, hộp đựng12thẻ đánh số từ 1đến12 Từ hộp rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để trong2thẻ rút có thẻ đánh số12 ĐS:14423

Lời giải.

GọiXilà từ hộp thứirút thẻ ghi số12 Khi đóXilà từ hộp thứirút thẻ không ghi số12 Ta cóP(Xi)=

1

12⇒P(Xi)= 11 12

GọiAlà biến cố "2thẻ rút có thẻ đánh số12"⇒Alà biến cố "2thẻ rút khơng có thẻ đánh số12" Ta cóP(A)=P(X1·X2)=

11 12·

11 12=

121

144⇒P(A)=1−P(A)=1− 121 144=

23

144 ä

BÀI Có ba xạ thủ bắn vào bia Xác suất trúng đích người là0,6;0,7và0,8 Tính

xác suất để có người bắn trúng bia ĐS:0,976

Lời giải.

GọiXilà xạ thủ thứibắn trúng bia Khi Xilà xạ thủ thứikhơng bắn trúng bia Ta cóP(X1)=0,6; P(X2)=0,7; P(X3)=0,8, P(X1)=0,4; P(X2)=0,3; P(X3)=0,2

Gọi A biến cố "có người bắn trúng bia"⇒Alà biến cố không bắn trúng bia

Ta cóP(A)=1−P(A)=P(X1)·P(X2)·P(X3)=1−0,4·0,3·0,2=1−0,024=0,976 ä BÀI Có xạ thủ tập bắn, bắn vào bia Xác suất trúng đích là0,2 Tính xác suất để ba lần bắn:

Ít lần trúng bia ĐS:0,488

1

Bắn trúng bia lần thứ ĐS:0,2

2

(91)

GọiXilà lần thứixạ thủ bắn trúng bia Khi đóXilà lần thứixạ thủ khơng bắn trúng bia Ta có P(Xi)=0,2; P(Xi)=0,8

Gọi A biến cố "ít lần trúng bia"⇒Alà biến cố khơng bắn trúng bia Ta có P(A)=1−P(A)=P(X1)·P(X1)·P(X1)=1−0,83=1−0,512=0,488

1

Gọi B biến cố "bắn trúng bia lần thứ nhất" Ta cóP(B)=P(X1)=0,2

2

ä

BÀI 10 Việt Nam thi đấu với trận bóng bàn, người thắng trước séc thắng trận Xác suất Nam thắng séc là0,4(giả sử khơng có séc hịa) Tính xác suất Nam thắng trận? ĐS:0,11008

Lời giải.

Xác suất Nam thắng séc là0,4, xác suất Nam không thắng séc là1−0,4=0,6 Xác suất Nam thắng cả3séc đầu:0,43=0,064.

Xác suất Nam thắng3séc trong4séc đầu:0,43·0,6=0,0384 Xác suất Nam thắng cả3séc trong5séc:0,43·0,62=0,02304

Vậy xác suất Nam thắng trận là:0,064+0,0384+0,02304=0,11008 ä

BÀI 11 Một nhóm xạ thủ gồm có10người có xạ thủ loạiIvà7xạ thủ loạiI I Xác suất bắn trúng đích lần bắn xạ thủ loạiIvà loạiI Ilần lượt là0,9và0,8 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ trong10người

và cho bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn trúng đích? ĐS:0,83

Lời giải.

Xác suất chọn1xạ thủ loạiIvà bắn trúng

10·0,9=0,27 Xác suất chọn1xạ thủ loạiI Ivà bắn trúng

10·0,8=0,56

Vậy xác suất để viên đạn trúng đích là0,27+0,56=0,83 ä

BÀI 12 Có ba lơ hàng Người ta lấy cách ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Biết xác suất để sản phẩm có chất lượng tốt lô hàng là0,5; 0,6và0,7 Tính xác suất để ba sản phẩm lấy

có sản phẩm có chất lượng tốt? ĐS:0,94

Lời giải.

GọiXilà biến cố chọn sản phẩm có chất lượng tốt lơ hàng thứi Khi đóXilà biến cố chọn sản phẩm có chất lượng chưa tốt lơ hàng thứi

Ta cóP(X1)=0,5, P(X2)=0,6, P(X3)=0,7, P(X1)=0,5, P(X2)=0,4, P(X3)=0,3

GọiAlà biến cố "lấy có sản phẩm có chất lượng tốt"⇒Alà biến cố "lấy có sản phẩm có chất lượng chưa tốt"

Ta cóP(A)=1−P(A)=P(X1)·P(X2)·P(X3)=1−0,5·0,4·0,3=1−0,06=0,94 ä BÀI 13 Một hộp chứa11bi đánh số từ1đến11 Chọn6bi cách ngẫu nhiên, cộng số trên6bi

rút với Tính xác suất để kết thu số lẻ ĐS:118

231

Lời giải.

Từ1đến11có6số lẻ,5số chẵn Số phần tử không gian mẫun(Ω)=C611=462

Gọi A biến cố chọn6bi cách ngẫu nhiên, cộng số trên6bi rút với số lẻ

1 Trường hợp 1:1số lẻ,5số chẵnC16·C55=6

⇒n(A)=6+200+30=236 Vậy xác suất để kết thu số lẻ làP(A)=n(A) n(Ω)=

118

231 ä

BÀI 14 Một hộp có đựng4chính phẩm và2phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm một, không bỏ trở lại để kiểm tra lấy hai phế thơi Tính xác suất biến cố việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ2 ĐS:

9

Lời giải.

Xác suất lấy phẩm 6=

2

3, xác suất lấy phế phẩm 6=

1 Vậy xác suất biến cố việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ2là

3· 3=

1

9 ä

(92)

Anh ta mở kho lần thứ3 ĐS:0,147

1

Anh ta mở kho mà không quá3lần mở ĐS:0,657

2

Lời giải.

GọiXilà biến cố chọn chìa khóa thứimở kho Khi đóXilà biến cố chọn chìa khóa thứikhơng mở kho Ta cóP(Xi)=0,3; P(Xi)=0,7

GọiAlà biến cố "mở kho lần thứ3"⇒Alà biến cố không bắn trúng bia Ta có P(A)=P(X1)·P(X2)·P(X3)=0,7·0,7·0,3=0,147

1

GọiBlà biến cố "mở kho mà khơng q3lần mở" Ta cóP(B)=0,3+0,7·0,3+0,7·0,7·0,3=0,657

2

ä

BÀI 16 Một nồi có3van bảo hiểm hoạt động độc lập với xác suất hỏng van1, van 2, van3trong khoảng thời gianttương ứng là0,1;0,2và0,3 Nồi hoạt động an tồn van khơng hỏng Tìm xác suất để

nồi hoạt động an toàn khoảng thời giant? ĐS:0,994

Lời giải.

GọiXilà biến cố van thứibị hỏng Khi đóXilà biến cố van thứikhơng bị hỏng Ta cóP(X1)=0,1; P(X2)=0,2; P(X3)=0,3

GọiAlà biến cố "nồi hoạt động an toàn khoảng thời giant"⇒Alà biến cố3van bị hỏng Ta có

P(A)=1−P(A)=P(X1)·P(X2)·P(X3)=1−0,1·0,2·0,3=1−0,006=0,994 ä BÀI 17 Trong thời gian có dịch bệnh vùng dân cư Cứ100người bệnh phải có20người cấp cứu Xác suất để gặp người cấp cứu mắc phải dịch bệnh vùng là0,08 Tìm tỉ lệ mắc bệnh vùng dân cư đó.ĐS:0,016

Lời giải.

Tỉ lệ mắc bệnh vùng dân cư 20

100·0,08=0,016 ä

BÀI 18 Một máy bay có5động gồm3động bên cánh trái hai động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng là0,09; động bên cánh trái có xác suất hỏng là0,04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an tồn hai động làm việc Tính xác suất để máy

bay thực chuyến bay an toàn ĐS:0,9999590464

Lời giải.

GọiAlà biến cố máy bay bay an tồn Khi đóAlà biến cố máy bay bay khơng an tồn

1 Trường hợp 1:5động hỏng0,093·0,042

2 Trường hợp 2:4động hỏng0,093·0,04·0,96+0,092·0,91·0,042 ⇒P(A)=0,093·0,042+0,093·0,04·0,96+0,092·0,91·0,042

⇒P(A)=1−P(A)=0,9999590464 ä

BÀI 19 Ba cầu thủ sút phạt luân lưu11 mét, người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng làx;yvà0,6 (vớix>y) Biết xác suất để ba cầu thủ ghi bàn là0,976và xác suất để ba cầu thủ đêu ghi bàn

0,336 Tính xác suất để có hai cầu thủ ghi bàn? ĐS:

Lời giải.

Xác suất để3cầu thủ ghi bàn làx·y·0,6=0,336⇔x·y=0,56 (1)

Xác suất để khơng có cầu thủ ghi bàn là(1−x)(1−y)(1−0,6)=1−0,976 (2)

Từ(1), (2)ta có (

x·y=0,56

(1−x)(1−y)=0,06⇔ (

x y=0,56

−x−y+x y= −0,94⇔ (

x y=0,56 x+y=1, 5⇔

   

  

x=4 y=

10

ä

BÀI 20 Một trắc nghiệm có10câu hỏi, câu hỏi có4phương án lựa chọn có1đáp án Giả sử câu trả lời được5điểm câu trả lời sai trừ2điểm Một học sinh không học nên đánh hú họa câu trả lời Tìm xác suất để học sinh nhận điểm dưới1 ĐS: 85293

1048576

Lời giải.

Gọixlà số câu trả lời đúng(0≤x≤10), số câu trả lời sai là10−x Để học sinh làm dưới1điểm số câu trả lời thỏa mãn bất phương trình5x+(10−x)(−2)<1⇔7x<21⇔x<3⇒x∈{0; 1; 2}}

1 x=0khơng có câu ỳng à3

4 ả10

2 x=1cú1cõu ỳng à1

4 ả à3

4 ả9

(93)

3 x=2cú2cõu ỳng à3

4 ả2à3

4 ¶8

Vậy xác suất để hc sinh ny nhn im di1l à3

4 ả10

+ à1

4 ả à3

4 ả9

+ à1

4 ả2à3

4 ả8

= 85293

1048576 ä

BÀI 21 Trong lớp học có60sinh viên, có40sinh viên học tiếng Anh,30sinh viên học tiếng Pháp 20sinh viên học hai tiến Anh Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất biến cố sau:

A: "Sinh viên chọn học tiếng Anh" ĐS:2

3

1

B: "Sinh viên chọn học tiếng Pháp" ĐS:1

2

C: "Sinh viên chọn học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp" ĐS:1

3

D: "Sinh viên chọn không học tiếng Anh Tiếng Pháp" ĐS:1

4

Lời giải.

Theo đề số học sinh học tiếng Anh là40, số học sinh học tiếng Pháp là30, số học sinh học môn Anh, Pháp là20, số học sinh không học môn Anh, Pháp là60−(40+30−20)=10

Xác suất chọn sinh viên học tiếng Anh 40 60=

2

1

Xác suất chọn sinh viên học tiếng Pháp 30 60=

1

2

Xác suất chọn sinh viên học tiếng Anh 20 60=

1

3

Xác suất chọn sinh viên không học tiếng Anh Tiếng Pháp 10 60=

1

4

ä

BÀI 22 Trong kì kiểm tra chất lượng hai khối lớp, khối có25%học sinh trượt Tốn,15%trượt Lý,10%trượt Lý lẫn Toán Từ khối chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho:

Hai học sinh trượt Tốn ĐS:

16

1

Hai học sinh bị trượt mơn ĐS:1

4

2

Hai học sinh khơng bị trượt mơn ĐS:1

4

3

Có hai học sinh bị trượt mơn ĐS:3

4

Lời giải.

Kí hiệu A1, A2, A3lần lượt biến cố: Học sinh chọn từ khốiI trượt Tốn, Lí Hóa;B1,B2,B3,

các biến cố: Học sinh chọn từ khốiI Itrượt Toán, Lí Hóa Rõ ràng với mọi(i,j), biến cốAivàBj độc lập

Ta cóP(A1B1)=P(A1)·P(B1)=

1 4·

1 4=

1 16

1

Xác suất cần tính

P ((A1∪A2∪A3)∩(B1∪B2∪B3))

=P (A1∪A2∪A3)·(B1∪B2∪B3)

=1 2·

1 2=

1

(94)

ĐặtA=A1∪A2∪A3,B=B1∪B2∪B3

Cần tínhP³A∩B´ DoA,Bđộc lập, ta có:

PAB=PAÃPB

=[1P(A)]2= à1 ả2 =1 3

Cần tínhP(A∪B) Ta có:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

=12+12−14=34

4

ä

BÀI 23 Trong kì thi THPT Quốc Gia, bạnX làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa Đề thi gồm50câu hỏi, câu có4 phương án trả lời, có1phương án đúng, trả lời câu được0,2điểm BạnX trả lời hết câu hỏi chắn đúng45câu,5câu lạiX chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để điểm thi Hóa X khơng

9,5điểm ĐS: 53

512

Lời giải.

Thí sinhX khơng dưới9,5điểm trong5câu trả lời ngẫu nhiên có nhất3câu Xác suất trả lời đúng1câu hỏi là1

4, trả lời sai

4 Ta có trường hợp: Xác sut thớ sinhXtr li ỳng3trờn5cõu lC35

à1 ả3 Ã à3 ả2 Xỏc sut thớ sinhXtr li ỳng4trờn5cõu lC45

à1

ả4 Ã3

4 Xác suất thí sinhXtrả lời đúng5trên5câu làC55

µ1

ả5

Vy xỏc sut cn tớnhP=C35 à1 ả3 Ã à3 ả2

+C45 à1

4 ả4

Ã3 4+C

5 à1 ¶5 = 53

512 ä

BÀI 24 Trong kì thi THPT Quốc Gia, bạn X dự thi hai mơn trắc nghiệm mơn Hóa Lí Đề thi câu gồm 50câu hỏi, câu hỏi có4phương án lựa chọn, có1phương án đúng, làm câu được0,2điểm Mỗi môn thi bạn X làm hết câu hỏi chắn đúng45câu,5câu lạiX chọn ngẫu nhiên Tính xác suất

để tổng hai mơn thi củaXkhơng dưới19điểm ĐS:81922

410

Lời giải.

Thí sinhX không dưới19điểm trong10câu trả lời ngẫu nhiên hai mơn Hóa Lí có nhất5 câu Xác suất trả lời đúng1câu hỏi

4, trả lời sai

4 Ta có trường hợp: Xác suất thí sinhXtrả li ỳng5trờn10cõu lC510

à1 ả5 Ã à3 ¶5 Xác suất thí sinhXtrả lời đúng6trên10câu làC610

à1 ả6 Ã à3 ả4 Xỏc sut thớ sinhXtr li ỳng7trờn10cõu lC710

à1 ả7 Ã µ3 ¶3 Xác suất thí sinhXtrả lời đúng8trên10câu lC810

à1 ả8 Ã à3 ả2 Xác suất thí sinhXtrả lời đúng9trên10câu làC910

µ1

¶9 ·34 Xác suất thí sinhXtrả lời đúng10trên10câu làC1010

à1

ả10 Vy xỏc sut cn tớnh l

P=C510 à1 ả5 Ã à3 ¶5

+C610 µ1 ¶6 · µ3 ¶4

+C710 à1 ả7 Ã à3 ả3

+C810 à1 ả8 Ã à3 ả2

+C910 µ1

4 ¶9

·3 4+C

10 10 µ1 ¶10 =81922

(95)

BÀI 6. BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 2

BÀI Xếp ngẫu nhiên ba người nam hai người nữ vào dãy năm ghế kê theo hàng ngang Tính xác suất để

được kiểu xếp mà hai người nam có đúng1người nữ ĐS:

10

Lời giải.

Số cách xếp3nam và2nữ vào5ghế là5!cách

GọiAlà biến cố hai người nam có đúng1người nữ:

Xếp3nam vào3ghế số1, 3, 5là3!cách Xếp2nữ vào vào2ghế số2, 4là2!cách Suy ran(A)=3!2!

VậyP(A)=3!2! 5! =

1

10 ä

BÀI GọiAlà tập hợp tất số gồm năm chữ số mà chữ số3có mặt đúng3lần, hai chữ số lại khác thuộc tập hợp chữ số1,2,4,5 Chọn ngẫu nhiên số từ A Tính xác suất để số chọn chia hết cho3

ĐS:

Lời giải.

GọiAlà tập hợp số xcó dạngabcd ethỏa yêu cầu Ta cón(Ω)=C35A24

Đểxchia hết cho3thì(a+b+c+d+e) 3, hai chữ số năm chữ số chọn trong4bộ số{1; 2}, {1; 5}, {2; 4}, {4; 5} Do đón(A)=C35C142!

VậyP(A)=C

3 5C142!

C35A24 =

4 ä

BÀI Trong kì thi THTP Quốc Gia, Thành đồn thành lập tổ công tác gồm5người chọn ngẫu nhiên từ15 cán đoàn trường học và10cán quận, huyện để tìm chỗ trọ miễn phí cho thí sinh có điều kiện khó khăn Tính xác suất để trong5người chọn có khơng q2cán đồn trường ĐS: 381

1265

Lời giải.

Ta cón(Ω)=C525

GọiAlà biến cố trong5người chọn có khơng q2cán đồn trường, có3phương án:

Trong5người chọn khơng có cán đồn trường:C510 Trong5người chọn có1cán đồn trường:C4

10C115

Trong5người chọn có2cán đồn trường:C310C215 Do đón(A)=C510+C410C115+C310C215

VậyP(A)=C

5

10+C410C115+C310C215

C525 =

381

1265 ä

BÀI Trong dự án nhà xã hội gồm có5tầng, tầng gồm có6căn hộ loạiAvà4căn hộ loạiB Một người mua nhà rút ngẫu nhiên hộ Tính xác suất để hộ rút tầng1hoặc hộ loạiA

ĐS: 17 30

Lời giải.

Kí hiệuA,B, biến cố: rút hộ tầng1, rút hộ loạiA Cần tínhP(A∪B) Ta có:n(Ω)=60,n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=10+30−6=34 VậyP(A∪B)=34

60= 17

30 ä

BÀI Thực đơn ăn sáng tự chọn khách sạn gồm4món xúp,5món bánh và2món cơm Một khách hàng chọn ngẫu nhiên3món Tính xác suất để3món chọn có xúp, bánh cơm ĐS:

33

Lời giải.

GọiAlà biến cố chọn được3món khác Ta có số phần tử không gian mẫu:n(Ω)=C311 Số phần tử biến cốA: n(A)=C14C15C12

VậyP(A)=C

1 4C15C12

C311 =

(96)

BÀI Trong kì thi THPT Quốc Gia, hội đồng coi thi có216thí sinh tham gia dự thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT, trường X có65thí sinh dự thi Sau buổi thi mơn Tốn, phóng viên vấn ngẫu nhiên3học sinh Tính xác suất để3học sinh vấn có nhất2học sinh trường X ĐS: 208

963

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu:n(Ω)=C3216 GọiAlà biến cố “có nhất2học sinh trườngX” Số phần tử biến cốA: n(A)=C265C1151+C365

VậyP(A)=C

2 65C

1 151+C

3 65

C3216 = 208

963 ä

BÀI Có hai đơn vị cung cấp thực phẩm phục vụ ăn trưa cho công nhân nhà máy Đơn vị thứ cung cấp3loại thực phẩm, đơn vị thứ hai cung cấp4loại thực phẩm Người phụ trách bếp ăn lấy loại thực phẩm mẫu để kiểm tra người kiểm tra chọn3mẫu Tính xác suất để hai đơn vị cung cấp có mẫu

được chọn ĐS:6

7

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu:n(Ω)=C37

GọiAlà biến cố “cả hai đơn vị cung cấp có mẫu chọn” Có hai phương án: Có1loại đơn vị thứ và2loại đơn vị thứ hai:C13C24

Có2loại đơn vị thứ và1loại đơn vị thứ hai:C23C14 Số phần tử biến cốA: n(A)=C13C42+C23C14

VậyP(A)=C

1

3C24+C23C14

C37 =

7 ä

BÀI Trong đợt tình nguyện tiếp sức mùa thi, trường học có4em lớp11A, em lớp11B, em lớp11Cđăng kí tham dự Hỏi có cách cử7em làm nhiệm vụ cổng trường đại họcX cho lớp có

em ĐS: 661

715

Lời giải.

GọiAlà biến cố “mỗi lớp có em chọn”

ThìAlà biến cố “có lớp khơng có em chọn” Do đón(A)=C79+C710+C711

VậyP(A)=1−P(A)=1−C

7 9+C

7 10+C

7 11

C715 = 661

715 ä

BÀI Ban chấp hành Đoàn trường THPT cần chọn nhóm học sinh tình nguyện gồm5học sinh từ 9học sinh lớp10và7học sinh lớp11 Tính xác suất để nhóm chọn có học sinh lớp11 ĐS: 101

104

Lời giải.

GọiAlà biến cố “có học sinh lớp11được chọn” ThìAlà biến cố “khơng có học sinh lớp11được chọn” Do đón(A)=C59

VậyP(A)=1−P(A)=1− C

5

C516= 101

104 ä

BÀI 10 Trong buổi liên hoan có10cặp nam nữ, có4cặp vợ chồng Chọn ngẫu nhiên ba người để biểu diễn tiết mục văn nghệ Tính xác suất để3người chọn khơng có cặp vợ chồng ĐS: 89

95

Lời giải.

GọiAlà biến cố “khơng có cặp vợ chồng trong3người chọn” ThìAlà biến cố “có cặp vợ chồng trong3người chọn” Cách chọn:

Bước1 :Chọn cặp vợ chồng từ4cặp:C14 Bước2 :Chọn người thứ ba từ18người cịn lại:C118 Do đón(A)=C14C118

1 4C118

C320 = 89

(97)

BÀI 11 Một lớp học có 40 học sinh, có4 cặp anh em sinh đôi Trong buổi họp đầu năm, thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra3học sinh để làm cán lớp gồm có lớp trưởng, lớp phó bí thư Tính xác suất để chọn ra3học sinh làm cán lớp mà khơng có cặp anh em sinh đôi ĐS: 64

65

Lời giải.

Số phần tử khơng gian mẫu:n(Ω)=C340(Có xét hay khơng xét thứ tự không làm xác suất thay đổi) GọiAlà biến cố “trong3học sinh khơng có cặp sinh đơi nào”

ThìAlà biến cố “trong3học sinh có1cặp sinh đơi” Cách chọn: Bước1 :Chọn cặp sinh đôi từ4cặp:C14

Bước2 :Chọn người thứ ba từ38người cịn lại:C138 Do đón(A)=C1

4C138

1 4C138

C340 = 64

65 ä

BÀI 12 Một người có10đơi giày khác lúc du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên4chiếc Tính xác suất để

4chiếc giày lấy có đơi ĐS: 99

323

Lời giải.

Cách 1:

GọiAlà biến cố “trong4chiếc giày lấy có đơi”

ThìAlà biến cố “khơng có đơi trong4chiếc giày lấy ra” Cách chọn:

Lấy4chiếc giày khơng có đơi chứng tỏ4chiếc lấy từ4đơi khác đơi một, cóC410cách chọn

Mỗi đơi lại có2cách chọn giày đơn nên4đơi có24cách chọn Do đón(A)=24C410

VậyP(A)=1−P(A)=1−2

4C4 10

C420 = 99 323 Cách 2:

20=4845

GọiAlà biến cố “trong4chiếc giày lấy có đơi”

ThìAlà biến cố “khơng có đơi trong4chiếc giày lấy ra” Cách chọn: Chiếc thứ1có20cách chọn

Chiếc thứ2có18cách chọn (do loại1đơi) Chiếc thứ3có16cách chọn (do loại2đơi) Chiếc thứ4có14cách chọn (do loại3đơi)

Do cách chọn4chiếc giày khơng xét tính thứ tự nên thực tến(A)=20·18·16·14

4! =3360 VậyP(A)=1−P(A)=1−3360

4845= 99

323 ä

BÀI 13 Tìm số nguyên dương n để:C0n+2C1n+4C2n+ .+2nC0n=243 ĐS:n=5

Lời giải.

Ta có:

(x+1)n= n X k=0

Cknxk

Chox=2ta được:

3n= n X k=0

Ckn2k=C0n+2Cn1+4C2n+ .+2nC0n ⇒3n=243=35⇔n=5

ä

BÀI 14 Cho đa giác A1A2 .A2n, (n>2,n∈Z+)nội tiếp đường tròn(O) Biết số tam giác có đỉnh là3 trong2nđiểmA1A2 .A2n nhiều gấp20lần số hình chữ nhật có đỉnh là4trong2nđiểmA1A2 .A2n Tìmn?

ĐS:n=8

(98)

Số tam giác có đỉnh là3trong2nđiểmA1,A2 ,A2nlàC32n

Gọi đường chéo đa giác đềuA1A2 .A2n qua tâm đường trịn (O)là đường chéo lớn đa giác cho cón đường chéo lớn

Mỗi hình chữ nhật có đỉnh là4trong2nđiểm A1A2 .A2n có đường chéo đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có đầu mút chúng là4đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đường chéo lớn đa giácA1A2 .A2ntứcC2n

Theo giả thiết thì:

C32n=20C2n⇔ (2n)! 3!(2n−3)!=20

n! 2!(2n−3)!⇔

2n(2n−1)(2n−2)

6 =20

n(n−1)

2 ⇔2n−1=15⇔n=8

ä

BÀI 15 Cho khai triển nhị thức:³2x−21+2−

x

3

´

=C0n2x−21+C1n2

¡x−1

¢n−1

2−3x+ .+Cn−1

n x−1

2

³ 2−x3

´n−1

+Cnn2(−3x)

n

(vớinlà số nguyên dương), biết khai triển đó:C3n=5C1nvà số hạng thứ tư bằng20n Tìmnvàx ĐS:n=7,x=4

Lời giải.

TừC3n=5C1nta cón≥3và

n! 3!(n−3)!=5

n! (n−1)!⇔

n(n−1)(n−2)

6 =5n⇔n

2

−3n−28=0 ⇒n1= −4(loại) hoặcn2=7

Vớin=7ta có

C37³2x−21

´4³ 2−3x

´3

=140⇔35·22x−2·2−x=140⇔2x−2=4⇔x=4

ä

BÀI 16 Tìm hệ số số hạng chứa x8trong khai triển nhị thức Newton µ1

x3+

p x5

¶n

, biết rằngCn+1

n+4−C

n n+3=

7(n+3), (nlà số nguyên dương vàx>0) ĐS:495

Lời giải.

Ta có

n! 3!(n−3)!=5

n! (n−1)!⇔

n(n−1)(n−2)

6 =5n⇔n

2

−3n−28=0 ⇒(n+2)(n2! +3)=7(n+3)⇔n+2=7·2!=14⇔n=12

ä Số hạng tổng quát khai triển làCk12¡

x−3¢k ·

³ x52

´12−k

=C12k x60−211k

Ta cóx60−211k=x8⇒60−11k

2 =8⇒k=4

Do hệ số số hạng chứax8làC412= 12!

4!(12−4)!=495

BÀI 17 Vớinlà số nguyên dương, gọia3n−3là hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức

¡

x2+1¢n(x+2)n

Tìmnđểa3n−3=26n ĐS:n=5

Lời giải.

Ta cú Ă

x2+1Ân(x+2)n=x3n

1+ x2

ảnà 1+2

x ản

=x3n " n

X i=0

Cin µ1

x2

ả2 n X k=0

Ckn à2

x ảk#

=x3n " n

X i=0

Cinx−2i n X k=0

Ckn2kx−k #

Trong khai triển trên, lũy thừa củaxlà3n−3khi−2i−k= −3, hay2i+k=3 Ta có hai trường hợp thỏa điều kiện lài=0,k=3hoặci=1,k=1 Nên hệ số củax3n−3làa

3n−3=C0n·C3n·23+C1n·C1n·2 Do đóa3n−3=26n⇔

2n(2n2−3n+4)

3 =26n⇔



 n=5

n= −7

Vậyn=5là giá trị cần tìm (vìnnguyên dương) ä

BÀI 18 Tìm hệ số củax8trong khai triển thành đa thức của£

1+x2(1x)Ô8

S:a8=238

Li gii.

Ê

1+x2(1x)Ô8

=C08+C18x2(1x)+C28x4(1x)2+C83x6(1x)3+C48x8(1x)4+C58x10(1x)5 +C68x12(1x)6+C78x14(1x)7+C88x16(1x)8

Bc caxtrong3s hng u nhỏ hơn8, bậc củaxtrong4số hạng cuối lớn hơn8 Vậyx8chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng làC38·C23, C48·C04

(99)

BÀI 19 Trong mơn học, thầy giáo có30 câu hỏi khác gồm5câu hỏi khó,10câu hỏi trung bình,15câu hỏi dễ Từ30câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm5câu hỏi khác nhau, cho đề thi thiết phải có đủ3loại (khó, trung bình, dễ) số câu dễ khơng hơn2? ĐS:56875

Lời giải.

Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là2hoặc3nên có trường hợp sau

Đề có2câu dễ,2câu trung bình,1câu khó số chọn làC215·C210·C15=23625 Đề có2câu dễ,1câu trung bình,2câu khó số chọn làC215·C110·C25=10500 Đề có3câu dễ,1câu trung bình,1câu khó số chọn làC315·C110·C15=22750

Vì cách chọn đơi khác nau nên số đề kiểm tra lập là23625+10500+22750=56875 ä

BÀI 20 Tìm số hạng khơng chứaxtrong khai triển µ

3

p x+p41x

¶7

vớix>0 ĐS:35

Lời giải.

Số hạng tổng quát khai triển

Ck7(p3x)7−kµ

4

p x

¶k

=C7kx7−3kx−4k=Ck

7x

28−7k

12 , (k∈Z, 0≤k≤7).

Số hạng không chứaxlà số hạng tương ứng vớik, (k∈Z, 0≤k≤7)thỏa mãn: 28−7k

12 =0⇔k=4

Số hạng không chứaxcần tìm làC47=35 ä

BÀI 21 Tìm số nguyên dươngn, biết

C12n+1−2·2C22n+1+3·22C32n+1−4·23C42n+1+ · · · +(2n+1)·22nC22nn++11=2005

ĐS:1002

Lời giải.

Ta có(1+x)2n+1=C02n+1+C12n+1x+C22n+1x2+C32n+1x3+ .+C22nn++11x2n+1 ∀x∈R Đạo hàm hai vế ta

(2n+1)(1+x)2n=C12n+1+2C22n+1x+3C32n+1x2+ .+(2n+1)C22nn++11x2n, ∀x∈R Thayx= −2ta có

C12n+1−2.2C22n+1+3.22C32n+1−4.23C24n+1+ .+(2n+1)·22nC22nn++11=2n+1

Theo giả thiết ta có2n+1=2005⇔n=1002 ä

BÀI 22 Một đội niên tình nguyện có15 người gồm 12nam 3nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ3tỉnh miền núi, cho tỉnh có4nam và1nữ? ĐS:207900

Lời giải.

CóC13C412cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ

Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ cóC12C48cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ hai

Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ nhất, thứ hai cóC11C44 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ ba

Số cách phân cơng đội niên tình nguyện về3tỉnh thỏa mãn u cầu toán C13·C412·C12·C48·C11·C44=207900

ä

BÀI 23 Tính giá trị biểu thức: M = A

4

n+1+3A3n

(n+1)! , biết số nguyên dương n thỏa mãn:

C2n+1+2C2n+2+2Cn2+3+C2n+4=149 ĐS:

4

(100)

Điều kiệnn≥3 Ta có

C2n+1+2C2n+2+2C2n+3+C2n+4=149 ⇔ 2!(n(n+1)!

−1)!+2 (n+2)!

2!n! +2

(n+3)! 2!(n+1)!+

(n+4)! 2!(n+2)!=149 ⇔ n2+4n−45=0

⇔ "

n=5 (nhận) n= −9 (loại)

Vớin=5ta đượcM=A

4 6+3A35

6! = 6! 2!+3·

5! 2!

6! =

3

4 ä

BÀI 24 Tìm hệ số số hạng chứax26trong khai triển nhị thc Niutn ca à1

x4+x

7ản, bit rngC1 2n+1+C

2 2n+1+

C32n+1+ · · · +Cn2n+1=220−1 ĐS:210

Lời giải.

Ta cóCkn=Cnn−knênC12n+1=C22nn+1, C22n+1=C22nn−+11, , C2nn+1=Cn2n++11 Suy raC1

2n+1+C22n+1+ .+C2nn+1=C22nn+1+C22nn+−11+ .+C2n+n+11

Ta có

(1+x)2n+1=C02n+1+¡

C12n+1+C22n+1+ .+Cn2n+1¢ +¡

C22nn+1+C22nn−+11+ .+Cn2n++11¢ +C22nn++11 =2+2¡

C12n+1+C22n+1+ .+Cn2n+1Â

Chox=1ta c22n+1

=2+2Ă 2201Â

=221n=10 à1

x4+x

ả10 Ta cú

à1 x4+x

7

ả10 =Ăx4

+x7Â10 =

10

X k=0

Ck10¡ x−4¢k¡

x7¢10−k =

10

X k=0

Ck10x70−11k Số hạng chứax26ứng với70−11k=26⇔k=4

Vậy hệ số số hạng chứax26làC410=210 ä

BÀI 25 Đội niên xung kích trường phổ thơng có12học sinh, gồm5học sinh lớpA,4học sinh lớp Bvà3học sinh lớpC Cần chọn4học sinh làm nhiệm vụ, cho4học sinh thuộc không quá2trong3lớp

trên Hỏi có cách chọn vậy? ĐS:225

Lời giải.

Số cách chọn4học sinh từ12học sinh cho làC412=495

số cách chọn4học sinh mà lớp có em tính sau:

LớpAcó2học sinh, lớpB,Cmỗi lớp có1học sinh, số cách chọn làC25·C14·C13=120

LớpBcó2học sinh, lớpA,Cmỗi lớp có1học sinh, số cách chọn làC15·C24·C13=90

LớpCcó2học sinh, lớpA,Bmỗi lớp có1học sinh, số cách chọn làC15·C14·C23=60

Số cách chọn4học sinh mà lớp có học sinh là120+90+60=270

Vậy, số cách chọn phải tìm là495−270=225 ä

BÀI 26 Tìm hệ số số hạng chứax10trong khai triển nhị thức Newton của(2+x)n, biết3n·C0n+3n−1

·C1n+3n−2

· C2n−3n−3

·C3n+ · · · +(−1)n·Cnn=2048 ĐS:2C1011

Lời giải.

Trong khai triển nhị thức Newton(a+b)nchoa=3,b= −1ta kết

(3−1)n=3nC0n−3n−1C1n+3n−2C2n−3n−3C3n+ .+(−1)nCnn=2048=211⇒n=11

Do tìm hệ số số hạng chứax10trong khai triển(2+x)11là2C1011 ä

BÀI 27 Tìm hệ số sốx5trong khai triểnx·(1−2x)5+x2·(1+3x)10 ĐS:3320

Lời giải.

Hệ số củax5trong khai triểnx·(1−2x)5là(−2)4C45=80 Hệ số củax5trong khai triểnx2·(1+3x)10là33C310=3240

Hệ số củax5trong khai triểnx·(1−2x)5+x2·(1+3x)10là80+3240=3320 ä

BÀI 28 Cho khai triển(1+2x)n=a0+a1x+· · ·+anxn, đón∈N∗và hệ sốa0,a1,a2, ,anthỏa mãn hệ thức a0+

a1

2 + a2

4 + · · · · + an

(101)

Lời giải.

Ta có(1+2x)n=C0n+2C1nx+22C2nx2+ .+2nCnnxn Theo đề(1+2x)n=a

0+a1x+a2x2+ .+anxnsuy raa0=C0n, a1

2 =C

1

n, , an 2n =C

n n Vì thếa0+

a1

2 + .+ an

2n =4096⇔C

0

n+C1n+ .+Cnn=4096⇔2n=212⇔n=12 Khi ta có khai triển(1+2x)12=X12

0

Ck122kxk⇒ak=Ck122k

Xét bất phương trìnhak<ak+1⇔Ck122k<Ck12+12k+1⇔k<

23 Tương tựak>ak+1⇔k>

23

3 Dok∈Znênk=8 Do đóa0<a1< .<a7<a8>vàa8>a9>a10> .>a12

Vậy hệ số lớn hệ sốa0,a1, ,an làa8=28C812=126720 ä BÀI 29 Tìm số nguyên dươngnthỏaC12n+C32n+C25n+ · · · +C22nn−1=2048 ĐS:n=6

Lời giải.

Ta có

0 = (1−1)2n=C02n−C12n+ .−C22nn−1+C22nn 22n = (1+1)2n=C02n+C12n+ .+C22nn−1+C22nn ⇒C12n+C32n+ .+C22nn−1=22n−1

Từ giả thiết suy ra22n−1=2048⇔n=6 ä

BÀI 30 Cho n số nguyên dương thỏa mãn5Cn−1

n =C3n Tìm số hạng chứa x5trong khai triển nhị thức Newton: ànx2

14 x

ản

,∀x6=0 ĐS:−35

16x

5

Lời giải.

5Cnn−1=Cn3⇔5n=n(n−1)(n−2)

6 ⇔n=7 (vìnngun dương)

Khi µnx2

14 x

ản =

àx2 − x ¶7 = X k=0

C7k àx2

2 ả7kà

1x ảk

=

7

X k=0

(−1)kC7k 27−k x

14−3k Số hạng chứax5ứng với14−3k=5⇔k=3

Do số hạng cần tìm (−1)

3

·C37 24 x

5

= −3516x5 ä

BÀI 31 Trong lớp học gồm có15học sinh nam và10học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên4học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để4học sinh gọi có nam nữ ĐS:443

506

Lời giải.

Số cách chọn4học sinh lớp làC4

25=12650

Số cách chọn học sinh có nam nữ làC115·C310+C215·C210+C315·C110=11075 Vậy xác suất cần tính làP=11075

12650= 443

506 ä

BÀI 32 GọiSlà tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ số1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử củaS Chọn ngẫu nhiên số từS, tính xác xuất để số chọn số chẵn ĐS:

7

Lời giải.

Số phần tử củaSlàA37=210

Số cách chọn số chẵn từSlà3·6·5=90 Xác suất cần tính 90

210=

7 ä

BÀI 33 Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa4viên bi đỏ và3viên bi trắng, hộp thứ hai chứa2viên bi đỏ và4viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra1viên bi Tính xác suất để lấy hai viên bi màu.ĐS:10

21

Lời giải.

Số cách chọn viên bi, viên từ hộp là7·6=42 Số cách chọn viên bi đỏ, viên từ hộp là4·2=8 Số cách chọn viên bi trắng, viên từ hộp là3·4=12 Xác suất để viên bi lấy có màu làP=8+12

42 = 10

21 ä

BÀI 34 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm5hộp sữa cam,4 hộp sữa dâu và3hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên3hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất

để3hộp sữa chọn có cả3loại ĐS:

(102)

Lời giải.

Số cách chọn hộp sữa có đủ loại làC15·C14·C13=60 Do xác suất cần tính làP= 60 220=

3

11 ä

BÀI 35 Từ hộp chứa16thẻ đánh số từ1đến16, chọn ngẫu nhiên4thẻ Tính xác suất để4thẻ chọn

đều đánh số chẵn? ĐS:

26

Lời giải.

Số phần tử không gian mẫu làC416=1820 GọiElà biến số “4 thẻ đánh số chẵn”

Số kết thuận lợi cho biến cố “4 thẻ đánh số chẵn” làC4 8=70

Xác suất cần tính làP(E)=n(E) n(Ω)=

70 1820=

1

26 ä

BÀI 36 Trong đợt ứng phó dịch MERS – CoV, Sở Y tế thành phố chọn ngẫu nhiên ba đội phòng chống dịch động số5đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội trung tâm y tế sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có hai đội trung tâm y tế sở chọn ĐS: 209

230

Lời giải.

Không gian mẫuΩcó số phần tử làn(Ω)=C325=2300

GọiElà biến cố: có hai đội trung tâm y tế sở chọn Số kết thuận lợi cho biến cốElàC220·C15+C320=2090

VậyP(E)=n(E) n(Ω)=

2090 2300=

209

230 ä

BÀI 37 Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp Bảng gồm10nút, nút ghi số từ0đến9và khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp3nút khác cho3số trên3nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất

đểBmở cửa vào phịng học ĐS:

90

Lời giải.

Khơng gian mẫuΩcó số phần tử làn(Ω)=A310=720 GọiElà biến cố: “Bmở cửa phòng học” Ta có

E={(0; 1; 9), (0; 2; 8), (0; 3; 7), (0; 4; 6), (1; 2; 7), (1; 3; 6), (1; 4; 5), (2; 3; 5)}

Do đón(E)=8 VậyP(E)=n(E) n(Ω)=

1

Định dạng
Số trang	102
Dung lượng	806,59 KB