Đang tải... (xem toàn văn)
Tính diện tích tứ giác được tạo thành bởi hai đường thẳng Δ,Δ ' và hai trục tọa độ.. Chọn ngẫu nhiên một số từ T , tính xác suất để số đó chia hết cho 9.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN
TỔ: TOÁN – TIN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN TỐN LỚP 11
(Thời gian làm : 150 Phút) (Đề có câu )
Câu (4.5 điểm) Giải phương trình sau:
a) sin 2xcosx b)
3 sin 2x2cos x c)
2
4 x 70
x x
C A . Câu (3.0 điểm)
a) Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niutơn 8
13
2x x
b) Cho hai đường thẳng song song d d Trên 1, 2 d lấy điểm phân biệt d lấy điểm
phân biệt Hỏi từ 14 điểm cho tạo tam giác?
Câu (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng Δ : 2x3y Gọi Δ ' ảnh Δ qua phép tịnh tiến theo vectơ u 1;3 Tính diện tích tứ giác tạo thành hai đường thẳng Δ,Δ ' hai trục tọa độ
Câu (1.5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N trung , điểm SB SD Tìm giao điểm P đường thẳng , SC với mặt phẳng AMN tính tỉ số SP
SC
Câu (2.0 điểm) Tìm m để phương trình : sin 3x2sin 2x 5 4msinx có ba nghiệm thuộc khoảng π; π
2
Câu (4.0 điểm)
a) Gọi T tập hợp số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 Chọn ngẫu nhiên số từ T , tính xác suất để số chia hết cho
b) Tính tổng: 1
2!.2019! 4!.2017! 6!.2015! 2020!
S
Câu (2.0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a cạnh bên a Gọi M trung điểm SB Gọi P mặt phẳng chứa CM song song với SA Tính theo a diện tích thiết diện tạo P hình chóp S ABCD
Câu (1.5 điểm) Cho A B C , , 0
90
C ba góc tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức:
2
2cos 2sin
sin
A B
P
C
-HẾT -
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, giám thị khơng giải thích thêm
(2)TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN TỔ: TOÁN – TIN
KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021 Đáp án môn: Toán 11
Thời gian làm 150 phút
Câu Nội dung Điểm
Câu 1a (1.5 điểm)
Giải phương trình sau:
a) sin 2xcosx 0 cosx2sinx 1 0,5
2π
cos
π
2π
1 6
sin
2 5π
2π
x k x
x k
x
x k
Vậy … 1,0
Câu 1b (1.5 điểm)
b) 3sin 2x2cos2 x 3 3sin 2xcos 2x2 0,5
sin 2
6 6
x x k x k
Vậy… 1,0
Câu 1c (1.5 điểm)
c) x 2 23 70
x x
C A ĐK: x,x 1
2
2
2 ! !
4 70 70
2! ! !
x
x x
x x
C A
x x
2 x x x x 70
0,5
2 72 0
9
x Tm
x x
x L
Vậy… 0,5
Câu 2a (1.5 điểm)
Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niutơn 8
13
2x x
Số hạng tổng khai triển
13
2x x
là:
13 26
1 13k k k k
k
T C x 0,5
Hệ số x8 tương ứng với 26 3 k k 0,5 Vậy Tìm hệ số x4 khai triển cho C136 37 0,5
Câu 2b 1.5 điểm
Cho hai đường thẳng song song d d Trên 1, 2 d lấy điểm phân biệt
d lấy điểm phân biệt Hỏi từ 14 điểm cho tạo tam giác?
TH1: Hai đỉnh thuộc d đỉnh thuộc 1 d có 2 C C tam giác 62 81 0,5 TH2: Hai đỉnh thuộc d đỉnh thuộc 2 d có 1 C C tam giác 61 82 0,5 Vậy có C C62 81C C61 82 288 tam giác 0,5
Câu 1.5 điểm
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng Δ : 2x3y Gọi Δ ' ảnh Δ qua phép tịnh tiến theo vectơ u 1;3 Tính diện tích tứ giác tạo thành hai đường thẳng Δ,Δ ' hai trục tọa độ
(3)Biểu thức tọa độ Tu là: '
'
x x
y y
Lấy A 3;0 Khi A' 4;3 ảnh A qua Tu A' ' '
qua A, song song trùng ' : 2x3y17 0
0,5
Ta có: A 3;0 ,B 0;2 giao điểm với Ox Oy ,
17 17
;0 , 0;
2
D C
giao điểm ' với Ox Oy ,
0,5
Ta có:
2
OAB
S OA OB , 289
2 12
OAB
S OC OD
289 253
3
12 12
ABCD OCD OAB
S S S
(đvdt)
0,5
Câu 1,5 điểm
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N lần , lượt trung điểm SB SD Tìm giao điểm P đường thẳng , SC với mặt phẳng AMN tính tỉ số SP
SC
1,5
Gọi O giao điểm AC BD Trong mặt phẳng SBD có SO cắt
MN I
0,5
Trong mặt phẳng SAC có AI cắt SC P Điểm P giao điểm
của đường thẳng SC với mặt phẳng AMN 0,5
Trong mặt phẳng SAC , kẻ đường thẳng qua O , / / AP cắt SC Q
Ta có:
2
CQ CO
CQ QP
CP CA
1
SP SI
SP PQ
SQ SO
1 SP SC
0,5
Câu (2.0 điểm)
Tìm m để phương trình : sin 3x2sin 2x 5 4msinx có ba nghiệm thuộc khoảng π; π
2
PT
2
sin
sin cos cos
cos cos
x
x x x m
x x m
0,5
I
O S
A
B
D
C M
N P
(4)PT: sinx0 có nghiệm x khoảng π; π
PT cho có ba nghiệm thuộc khoảng π; π
2
cos xcosx m 1 * có hai nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng π
; π
0,5
Đặt t cosx, π; π 1;1
x t
2
* m t t ** Xét hàm số f t t2 t 1, t 1;1
BBT:
(*) có hai nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng π; π
(**) có nghiệm kép thuộc 0;1 có nghiệm thuộc 0;1 nghiệm cịn lại khơng thuộc 1;1 hai nghiệm phân biệt thuộc 1;0
0,5
Từ BBT m / 0,5
Câu 6a (2.0điểm)
Gọi T tập hợp số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 Chọn ngẫu nhiên số từ T , tính xác suất để số chia hết cho
8
8 161280
n A 0,5
Đặt A0;1;2;3;4;5;6;7;8
Ta có: 36 chia hết cho Do đó, số cần lập chia hết cho tạo thành từ tập sau: A\ 1;8 , A\ 2;7 ,A\ 3;6 ,
\ 4;5
A
0,5
Mỗi tập tạo thành6.6! số có chữ số khác chia hết cho 0,5
1
0
1 1/2
3
1
3/4
- y x
O 1/2
-1
y
(5) có 4.6.6! 17280 số
Vậy xác suất cần tìm 17280 161280 28
P 0,5
Câu 6b (2.0 điểm)
Tính tổng: 1
2!.2019! 4!.2017! 6!.2015! 2020!
S
Ta có: 2020
2021 2021 2021 2021
.2021!
S C C C C 0,5
Do 2020 2021 2021
2021 2021 2021 2021 2021 2021 2021 2021
C C C C C C C C
và C20210 C20211 C20212 C20213 C20214 C20215 C20212020C20212021 0 0,5
0 2020 2021
2021 2021 2021 2021 2021 2021 2021 2021
2021
2020
2
2
C C C C C C C C
0,5
2020
2 2020 2020
2021 2021 2021 22021!1
C C C S
0,5
Câu (2.0điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a cạnh bên a Gọi M trung điểm SB Gọi P mặt phẳng chứa CM song song với SA Tính theo a diện tích thiết diện tạo P hình chóp
S ABCD
0,5
Gọi N trung điểm AB , / /
MN SA
thiết diện cần tìm tam giác CMN
0,5
Ta có: ,
2
a a
MN MC 2
2 a
CN BC BN 0,5
2
cos
2
MN MC CN
CMN
MN MC
33
sin
6
CMN
Diện tích tam giác CMN .sin 11
2 16
a
S MN MC CMN (đvdt)
Cho A B C C, , 900 ba góc tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức:
2
2cos 2sin
sin
A B
P
C
S
A B
D C
M
(6)Câu
(1,5điểm)
cos cos
sin 2cos cos
sin
sin 2cos cos
sin 2cos cos *
A B
P P C A B A B
C
P C C A B
P C A B C P
0,5đ
(*) có nghiệm P2 4cos2A B P12 P12 P2 4
3 P
0,5đ
0
3
3sin 4cos
2 90
A B A B
P
C C C
với
3 sin
5
Vậy max P
0,5đ