Đề thi HSG cấp trường Toán 10 năm 2020 - 2021 trường Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh - TOANMATH.com

a) Nêu các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. b) Chứng minh ba điểm M, N, G thẳng hàng.. ---HẾT---.[r]

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN TỔ: TOÁN – TIN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 LỚP 10

MƠN THI: TỐN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Giải phương trình sau:

a) x4 3x2  4 0

b) 4 x  x c) 2 1 x x    x Bài Cho hàm số yx2mx (1 m tham số)

a) Lập bảng biến thiên hàm số cho m 4

b) Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y  x hai điểm phân biệt nằm phía trục hoành

Bài Cho hàm số y f x ax2bx c có đồ thị hình vẽ bên a) Nêu khoảng đồng biến nghịch biến hàm số cho b) Tìm giá trị nguyên tham số m để phương trình

     

2 2 3 0

f x  m f x    có nghiệm phân biệt m

Bài Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC M N, hai điểm thuộc hai cạnh AB CD, cho

6 ,

AB BM DC  DN

a) Tính độ dài vectơ  AB AD theo a b) Chứng minh ba điểm M, N, G thẳng hàng

Bài a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;1 , B1;2 Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA MB đạt giá trị nhỏ

b) Cho tam giác ABC cạnh nội tiếp đường tròn ( )O Điểm M thuộc ( )O Tìm giá trị lớn biểu thức MA MB MC   

Bài Cho hàm số y ax 2bx c có đồ thị hình vẽ Chứng minh phương trình

1c x 22b x    ln có hai nghiệm phân biệt 1 a 0

Bài Với x 0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 

x x

P

x x

  

 

 -HẾT -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, CBCT khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:……… x

y

1 O ĐỀ CHÍNH THỨC

x y

-1

2 3

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2020 – 2021

Bài Ý Nội dung Điểm

1 a 2.0

Giải phương trình sau:

4

2

3

4 x x x x           1.0đ

2 4 2

x    x (Chỉ lấy x lấy thừa x  trừ 0.5) 1.0đ b

2.0 2

0 4 x x x x x          1.0đ 2 x x x       

 (Thiếu đk không thử lại trừ 0.5)

1.0đ

c 1.0

2

1 x x    x

+ x0 nghiệm 2

2

2

1

1 5( 0)

1

1

1 5( 0)

x

x x

x x x

x x x                   

Kết luận nghiệm

3 x x         

(Chỉ xét t/h cho 0.25 Bình phương khơng thử lại trừ 0.5)

0.5đ

0.5đ

2 Cho hàm số yx2mx (1 m tham số) a

1.5

Lập bảng biến thiên hàm số cho m 4

Khi m 4 hàm số trở thành y x 24x , có bảng biến thiên sau: 1

(Sai chi tiết trừ 0.25)

0.25đ

1.25đ

b 2.0

Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng

y  x hai điểm phân biệt nằm phía trục hồnh Xét phương trình hồnh độ giao điểm

 

2

1 1

1 x

x mx x x x m

Đồ thị cắt đường thẳng hai điểm phân biệt m1

Tọa độ giao điểm A  0;1 , B 1m;2m Để hai điểm nằm phía trục hồnh 2 m   m

Vậy m2 m1 thỏa mãn (Thiếu m1 trừ 0.25)

0.5đ 0.5đ Cho hàm số y f x ax2bx c có đồ thị hình vẽ bên

a.1.0đ Nêu khoảng đồng biến nghịch biến hàm số cho

Hàm số nghịch biến khoảng ;2, đồng biến khoảng 2; 0.5đ+0.5đ  b

1.5đ

Tìm giá trị nguyên tham số m để phương trình

     

2 2 3 0

f x  m f x    có nghiệm phân biệt m Ta có:

       

 

2 2 3 0

3 f x

f x m f x m

f x m

  



     

  



Từ đồ thị hàm số y f x  ta suy đồ thị hàm số y f x  sau:

+ Phương trình f x   có hai nghiệm phân biệt

Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình

 

f x   phải có nghiệm phân biệt m

1 m m         Vậy m1;2;3

0.25đ

0.25đ

0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ

x y

-1

2 3

O

x y

3

-1

4 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác

ABC M N, hai điểm thuộc hai cạnh AB CD, cho

6 ,

AB BM DC DN

a Tính độ dài vectơ  AB AD theo a 1.5

Vậy   AB AD  AC  2a 0.75đ + 0.75đ b Chứng minh ba điểm M, N, G thẳng hàng

2.0 Ta có:

+ 1

6

MG MB BG   AB BD     

+ 2 1

3 3

GN GD DN  BD DC  BD AB

 

      

2

GN MGba điểm M, N, G thẳng hàng

0.75đ 0.75đ

0.5đ a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;1 , B1;2 Tìm tọa độ

điểm M thuộc trục hoành cho MA MB đạt giá trị nhỏ

1.5 Gọi M x ;0 Điểm 'A điểm đối xứng với A qua trục hồnh

 

' 2; A  

Khí MA MB MA MB  '  A B' Dấu “=” xẩy A M B', , thẳng hàng

Tìm M 1;0

0.5đ 0.5đ 0.5đ b Cho tam giác ABC cạnh 3 nội tiếp đường tròn ( )O Điểm M

thuộc ( )O Tìm giá trị lớn biểu thức MA MB MC    1.5 Gọi I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI

Ta có    IA IB IC  0 Với điểm M ta có

 

MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI

       



         

Khi MA MB MC      MI MI

0.5đ 0.25đ

O G

N

M

A B

Như MI lớn M trùng với điểm C

Gọi H tâm hình thoi ACBI , suy 2 3

CI  CH    Vậy giá trị lớn MA MB MC   

0.25đ 0.5đ

6

1.5

Cho hàm số

y ax bx c có đồ thị hình vẽ Chứng minh phương trình    

1c x  2b x   có hai nghiệm phân a biệt

Từ đồ thị suy a0, b0,c  0, b24ac0,c 1 Phương trình    

1c x  2b x   có a

 2    2  

2 b c a b 4ac a b c

           

(Tính  mà không chứng minh trừ 0.5)

0.5đ

1.0đ 1.0 Với x 0;1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức

1 (1 )

1

x x

P

x x

  

 



Đặt t  1 , x 0 t ta 5 1 

1

t

t t

P

t t t t



    

 

Áp dụng BĐT Cơ si ta có

 

5

5 5

t t

P

t t



    



Dấu “=” xẩy 5 t   Vậy

 0;1 5 MinP 

0.25đ + 0.25đ

0.25đ 0.25đ

x y