Gọi O I , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC.. Chứng minh rằng EQ là đường trung trực của đoạn thẳng MP.[r]
(1)Trang UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TOANMATH.com Đề thi gồm có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC: 2020 – 2021
Môn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Câu (6,0 điểm)
a) Tìm cực trị hàm số y x 2 x2 x 1.
b) Cho hàm số y x7 m m2 3x4m m2 25m3x22020 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến
Câu (6,0 điểm)
a) Giải bất phương trình
2 4 2
5
x
x x
x
b) Giải phương trình 32 cos6 sin3 3sin
2
x x x
Câu (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB3a, AD3a 2,
SA ABCD , SA4a Gọi M, N trung điểm cạnh SD AD a) Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng BMN
b) Mặt phẳng qua hai điểm B, M song song với AC Biết mặt phẳng cắt cạnh SA, SClần lượt hai điểm E, F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng BEMF Câu (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ABAC(tam giác ABC không cân ) Gọi O I, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC AD D BC( ) đường phân giác BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn O điểm E E( A) Đường thẳng d qua điểm I vuông góc với AE cắt đường thẳng BC điểm K Đường thẳng KA KE, cắt đường tròn O điểm M N M, ( A N; E) Đường thẳng ND NI, cắt đường tròn O điểm P Q P N Q N, ( ; ) Chứng minh EQ đường trung trực đoạn thẳng MP
Câu (2,0 điểm)
Cho dãy số ( )un với
1
2021 2020
2020
2020 (*)
n n n n
u
u u u u
a) Chứng minh limun b) Tính
2020 2020 2020
1
2
lim
2020 2020 2020
n n
u
u u
u u u
(2)Trang Câu (1,0 điểm)
Cho x, ,y z số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z 3 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2
(3)Trang HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
a) Tìm cực trị hàm số y x 2 x2 x 1.
b) Cho hàm số y x7 m m2 3x4m m2 25m3x22020 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến
Lời giải a) Tìm cực trị hàm số y x 2 x2 x 1
2
2
y x x x TXĐ: D
2
2
2 1
1
1
x x x x
y
x x x x
2
2
2
0 1
1 x
y x x x x x x
x x x
2
3
x x
x
0
1
x x
x
1 x
y
+∞ +∞
0
x y' y
1
+
+
∞ ∞
1 Vậy hàm số đạt cực tiểu x 1, yCT1
b) Cho hàm số y x7 m m2 3x4m m2 25m3x22020 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến
7 2 3 2 5 3 2020
y x m m x m m m x TXĐ: D
6
7 2
y x m m x m m m x
6
0 2
y x m m x m m m x
5 2
7 2
x x m m x m m m
5 2
0
7 2
x
x m m x m m m
(4)Trang Hàm số nghịch biến y0, x ( Dấu xảy hữu hạn điểm)
1
có nghiệm x0
2m m2 5m
0
2 m
m m
m m m
Thử lại:
Với m0: y x7 2020 y 7x6 0, x Hàm số nghịch biến Với m1: y x7 x4 y 7x64x3
6 3 3
0
0 7 196
7 x
y x x x x
x
Đặt 1 3196
x x2 0
x1 ∞
∞ +
+
y y'
x x2
0 0
Hàm số đồng biến 3196;0
Với
m : y x7 2020y 7x60, x Hàm số nghịch biến Vậy m0,
2
m hàm số nghịch biến
Câu 2:
a) Giải bất phương trình
2 4 2
5
x
x x
x
b) Giải phương trình 32 cos6 sin3 3sin
2
x x x
(5)Trang Do 2x 4 2 x 0, 2;2 nên bất phương trình cho tương đương với bất phương trình
2
2 4 6 4
2 2
x x x
x x x
6
2 2
x x
x x x
6x 4 5 x2 1 2x 4 2 x 0 (*)
Ta có 2x 4 2x 2 2x 4 2 x2 1 2x 4 2x24 Suy 2x 4 2 x 24 5, x 2;2
Mặt khác x2 1 5, x 2;2, x2 1 2x 4 2 x 0, x 2;2 Do (*)
3
x x
Đối chiếu với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình cho là: 2;2 S
b) Giải phương trình: 32cos6 sin 3 3sin
2
x
x x
Ta có
3
2
32 cos sin3 3sin 32 cos 3sin 4sin 3sin
2
x x x x x x x
3 3
1 cos 4sin cos sin sin cos
4 x x x x x x
2 2
2 4 4
sin 4 2
3 2 2
4
x k x k
x k
x k
x k
Vậy phương trình cho có nghiệm ;
2
x k x k k
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB3a, AD3a 2, SAABCD,
SA a Gọi M, N trung điểm cạnh SD AD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng BMN
4 Mặt phẳng qua hai điểm B, M song song với AC Biết mặt phẳng cắt cạnh SA, SClần lượt hai điểm E, F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng BEMF
(6)Trang Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng BMN
1
tan
3 2
DC a
A
AD a
; tan1 2
3
AB a
N
AN a
1
tan tanA N
A N1 190
1 90
A N
ACBN
Ta có:
MN // SA
AC BN
AC MN
ACBMNAC BMN, 90
2 Mặt phẳng qua hai điểm B, M song song với AC Biết mặt phẳng cắt cạnh SA, SClần lượt hai điểm E, F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
BEMF
Trong (SAC) qua H kẻ đường thẳng song song với SA cắt SC T Vì HT // MN (//SA) T
Trong (BMN) gọi R HT EF
Trong (SAC) qua R kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA, SC theo thứ tự E, F
BEMF
Kẻ HK BM NQ, BMHK // NQ
Vì AC EF // , EF d C , d H , Ta có:
, //
HK BM
HQ EF HQ AC AC EF
NQ BEMF
d H , HK d C , HK
2
2 9 3
2
a a
(7)Trang
2
2 . 6
3
AB a
AB BH BN BH a
BN
2 2 2
1 1 35 27 108 NQ NB NM a a a
6 35 a NQ
Ta có: HK BH HK NQ BH
NQ BN BN
,
35 a
d C HK
Câu 4:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC(tam giác ABC không cân ) Gọi O I, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC AD D BC( ) đường phân giác
BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn O điểm E E( A) Đường thẳng d qua điểm
I vng góc với AE cắt đường thẳng BC điểm K Đường thẳng KA KE, cắt đường tròn O điểm M N M, ( A N; E) Đường thẳng ND NI, cắt đường tròn
O điểm P Q P N Q N, ( ; ) Chứng minh EQ đường trung trực đoạn thẳng MP
Lời giải
Từ tốn, ýAB AC, AI NI phân giác góc BNC
P
điểm BAC EQ đường kính O IN KE
KM KA KN KE. . KI2IM KAIMKN nt KI
QNM AKI
Có d d d
2 2
BKN s CE s BN s NEBAN
ADNK nt AKD AND
(8)Trang Lại có IKD900IDK900 IAC ACB
1 1
2sdQBE 2sdCE 2sd AE
2sdQBE 2sd BE 2sd AB
2sd AQ ANQ
AKI INQ MNI INP Q
điểm MP Mà QE đường kính
EQ
đường trung trực đoạn thẳng MP
Câu 5: Cho dãy số ( )un với 2021 2020
1
2020
2020 (*)
n n n n
u
u u u u
c Chứng minh limun d Tính
2020 2020 2020
1
2
lim
2020 2020 n n 2020
u u u
u u u
Lời giải
a Từ giả thiết dễ dàng suy un 0 với n 1 Do ta có un1un 2020 với
1
n Hay ta có dãy ( )un đơn điệu tăng Suy
lim
lim nn 2020
u
u a
Giả sử limun a 2020 Qua giới hạn hai vế (*) ta 2021 2020 2020
a a a a Điều tương đương a 0 a 2020 (Vô lý) Vậy limun
b Từ điều kiện (*) ta có với k 1
2021 2020
1 2020
k k k k
u u u u
2020
1
( 2020)
k k k k
u u u u
Từ suy
2020 2020
1
1 1
1
( 2020)
2020 ( 2020)( 2020) ( 2020)( 2020)
1 1
2020 2020
k k
k k k
k k k k k
k k
u u
u u u
u u u u u
u u Suy
2020 2020 2020
1
2
lim 2020 2020 n 2020
n
u u u
u u u
1 2
1 1 1
lim 2020 2020 2020 2020 2020 2020
n n
u u u u u u
(9)Trang
1
1 1
lim
2020 n 2020 4040
u u
Câu 6: Cho x, ,y z số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z 3 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2
3 x y z 2 x y y z z x 3 Lời giải
Vì x, y, z vai trị nhau, khơng tính tổng qt giả sử x y z Suy x y z 3x 3 3x x 1 *
Ta có 3x2y2z2 2 x y2 2y z2 2z x2 23
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
3 3 2
3 2 3 2 2 3
x y z x y y z z x x y z x y z y z
y z x y z x y z x yz x y z x
Áp dụng BĐT AM-GM cho số dương y z ta được:
2 2
3
2 2
y z x x
yz yz
1 3 23 2 2 2 23 2 2 2 3 3
2
x x
VT x x x x f x
Xét
2
2 3
3 2 2 3
2
x x
f x x x x x
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
1 1
3 3 3 3 3
2 4
1 3
3 3 3 1
2 4
3 3
1 3 1 17 13 1 14
8 8
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
Mà 3x214x 1 1x x 11x 1 0 với x 0;1 Vậy 31 2 3 14 1 0
8 x x x với x 0;1
Từ suy f x 0 với x 0;1, hay VT 1 0 với x 0;1 Đẳng thức xảy x y z