B. MODULE TRÊN MIỀN DEDEKIND
2.1Định nghĩa module tựa tự do trên miền Dedekind
2.1.1 Định nghĩa. Cho D là miền Dedekind, module trên D là module tựa tự do nếu nó phân tích được thành tổng trực tiếp của các module cyclic.
Như vậy, module tựa tự do có thể xem như là một khái niệm mở rộng của module tự do
2.1.2 Ví dụ. Z2⊕Z3là một module như là tổng trực tiếp của các Z-module (Z là
miền ideal chính nên cũng là miền Dedekind), là module tựa tự do nhưng không phải là module tự do vì nó xoắn.
2.1.3 Mệnh đề. Cho M là module trên miền Dedekind D, P là ideal nguyên tố của
D. Khi đó, M P là D-module t[ ] ựa tự do
Chứng minh. Ta có với mọi x∈M P[ ]thì px=0, với mọi p∈P. Do D là miền Dedekind nên P cũng là ideal tối đại của D hay D
P là trường. Khi đó, M P[ ] có cấu trúc D
P-module với phép nhân ngoài như sau:
( )
ax= a+P x=ax, với mọi x∈M P[ ], với mọi a a P D P
= + ∈
Phép nhân ngoài trên không phụ thuộc vào đại diện của các lớp ghép. Thật vậy: Lấy a P b P D
P
+ = + ∈ . Suy ra a b− ∈P, do đó ax−bx =(a−b x) =0. Vậy
ax=bx
Mặt khác, D
P là trường nên M P[ ] là không gian vec tơ trên D
P, do đó [ ]
M P có cơ sở { }xi i I∈ trên D
P. Ta chứng minh { }xi i I∈ là cơ sở của module [ ] M P Giả sử i i 0 i I a x ∈ = ∑ , suy ra i i 0 i I a x ∈ = ∑ , suy ra ai = + = ∀ ∈ai P 0, i I hay , i
a ∈ ∀ ∈P i I . Từ đó, a xi i = ∀ ∈0, i I. Suy ra { }xi i I∈ là hệ độc lập của module [ ]
M P
Hơn nữa, với mọi x∈M P[ ], thì i i
i I
x a x
∈
=∑ (trong đó có hữu hạn a xi i khác 0). Theo định nghĩa phép nhân ngoài , ta có i i i i
i I i I
x a x a x
∈ ∈ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
=∑ =∑ . Do đó, { }xi i I∈ là hệ sinh của module M P[ ]. Vậy { }xi i I∈ là cơ sở của module M P[ ]nên theo mệnh đề 1.8.11, ta có [ ] 1,..., ,...i i
i I i I
M P x x ∈ x
∈
Vậy M P[ ] là module tựa tự do.