Bài tập tổ hợp – xác xuất vận dụng cao có lời giải chi tiết - Tài Liệu Blog

[r]

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

TỔ HỢP – XÁC XUẤT VDC

(HƯỚNG DẪN GIẢI)

P

PHH ẦẦNN II.. BBÀÀII TTẬẬPP TTRRẮẮCC NN GGHH IIỆỆMM DẠẠNNGG 11:: CCÁÁCC BBÀÀII TTOOÁÁNN ĐĐẾẾM – TÍNH XÁC SUẤẤT SỐỐ CÁC CHỮỮ SỐỐ THỎỎAA MMÃÃNN ĐĐIIỀỀU KIỆỆNN CCHHOO TTRRƯƯỚỚC Loại 1: Liên quan đến tính chất chia hết

Câu Chọn C

Coi chữ số khác ô trống

Số cách chọn số có chữ số khác

7.A 17640

Số cách chọn số có chữ số khác mà có mặt chữ số (bao gồm số vị trí đầu tiên)

6

2.C A

Số cách chọn số có chữ số khác mà có mặt chữ số (mà vị trí đầu tiên)

5

2.C A

Vậy xác suất cần tìm

2 6 5

2 9600 80 17640 17640 147

C A C A

P   

Câu Chọn D

Số phần tử tập X 360

A  Lấy ngẫu nhiên số thuộc X có 360 (cách lấy) Gọi số có chữ số khác chia hết cho 45 có dạng abcd

Vì abcd chia hết cho 45 nên abcd chia hết cho Do d5 tổng a b c d   

chia hết cho Suy a b c  13 , ,a b c khác

Do đó, a b c, ,  ba số 3, 4,6 hốn vị  có số thỏa yêu cầu đề Vậy xác suất cần tìm

360 60

p 

Câu Chọn A

Ta có 43200 5 2

Mỗi ước nguyên dương số 43200 số có dạng 5i j k, i0;1;2;3;4;5;6,

0;1;2;3

j , k0;1; 2

Số ước nguyên dương số i j k; ;  chọn từ tập Suy số cách chọn

i j k; ;  từ tập 7.4.3 84 ( cách) nên số phần tử S 84 Có

84

C cách chọn ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S

Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho số 43200 số có dạng 2 5i k

-27-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Do có 21

C cách lấy hai phần tử thuộc S mà không chia hết cho Suy xác suất lấy hai số không chia hết cho S

2 21 84 C P C  Câu Chọn A

Ta có 43200 5 2

Mỗi ước nguyên dương số 43200 số có dạng 5i j k, i0;1;2;3;4;5;6,

0;1;2;3

j , k0;1; 2

Số ước nguyên dương số i j k; ;  chọn từ tập Suy số cách chọn

i j k; ;  từ tập 7.4.3 84 ( cách) nên số phần tử S 84 Có

84

C cách chọn ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S

Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho số 43200 số có dạng

2 5j k

Suy sốcác ước 43200 không chia hết cho tập S 4.3 12

Do có 12

C cách lấy hai phần tử thuộc S mà không chia hết cho Suy xác suất lấy hai số không chia hết cho S

2 12 84 C P C  Câu Chọn chữ số cịn lại có

5

A cách  có

5

4.5.A số Vậy: 3

5

4.6.A 4.5.A 2640 số Câu Chọn chữ số cịn lại có

5

A cách

Trường hợp a34 a3 6 tương tựtrường hợp a3 2 Vậy: 3

5

4.6.A 3.4.5.A 5040 số Câu Chọn A

Số số tự nhiên có chữ số 99999 10000 90000  

Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho 11 chữ sốhàng đơn vị là: abcd6

Ta có abcd6 10. abcd 6 11.abcd abcd 6 chia hết cho 11 abcd6 chia hết cho 11 Đặt abcd 6 11habcd 6 11h

Khi ta được: abcd 11h 6 1000 11 h 6 9999

 

994 9993

91, 92, , 908 11 h 11 t

     suy số cách chọn h cho số abcd6 chia hết cho 11 chữ sốhàng đơn vị 818

Vậy xác suất cần tìm là: 1286 409 90000 45000 Câu Chọn B

Số số tự nhiên có chữ số 9999 1000 9000  

Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho 13 chữ số hàng nghìn là: 8abc Ta có 8abc10.8ab c 13.8ab3.8ab c chia hết cho 13 3.8ab c 13

Đặt 3.8ab c 13h

-28-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

 

2400 2706

185, 186, , 208 13 h 13 t

     suy số cách chọn h cho số 8abcchia hết cho 13 chữ số hàng nghìn 24

Vậy xác suất cần tìm là: 24 9000375 Câu Chọn C

Số số tự nhiên có chữ số 9999 1000 9000  

Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho 17 chữ sốhàng đơn vị là: abc5 Ta có abc5 chia hết cho 17 Đặtabc5 17 h

Khi ta được: 1005abc5 9995 1005 17 h9995

 

1005 9995

60, 61, , 587 17 h 17 t

    

Mặt khác 17 5h h5 h số lẻ Do h65,75,85, ,585 Suy số cách chọn h cho abc5 chia hết cho 17là 53

Vậy xác suất cần tìm là: 53 9000 Câu 10 Chọn D

Số số tự nhiên có chữ số 99999 10000 90000  

Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho 11 chữ sốhàng trăm nghìn 9 là: 9abcd Ta có 9abcd 10.9abc d 11.9abc9abc d chia hết cho 11 9abc d 11

Đặt 9abc11h d

Khi ta được: 9000 9 abc11h d 99998991 11 h9999

 

8999 9999

818,819, , 909 11 h 11 t

     suy số cách chọn h cho số 9abcdchia hết cho 11 chữ sốhàng trăm nghìn 92

Vậy xác suất cần tìm là: 92 90000 Câu 11 Chọn C

Ta có số phần tử không gian mẫu n  94

Gọi A: "lấy số chia hết cho 15" Gọi số cần lập có dạng n abcd

Để n15 15

3 d

a b c d 

    



   a b c chia dư

Ta có a có cách chọn; b có cách chọn

Để chọn c ta xét trường hợp sau TH1: Nếu a b 3 c1;4;7

TH : Nếu a b chia chia dư c3;6;9 TH3: Nếu a b chia chia dư c2;5;8 Tóm lại c có cách chọn

-29-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Vậy xác suất cần tính    

  271 n A P A

n

 

 Câu 12 Chọn A

Số số tự nhiên có chữ số khác từ tập X 5.5! 600 (số)

Tập hợp gồm phần tử X mà tổng chữ số chia hết cho 0,1, 2, 4,5 , 1, 2,3, 4,5  

Vậy số số chia hết cho có chữ số khác tạo số X 4.4! 5! 216 

(số)

Nên lại 600 216 384  (số) không chia hết cho Ta có tập hợp M có 600 (số) lấy hai số có

600

C (cách) Số cách lấy mà hai sốđều không chia hết cho

384

C , nên xác suất để lấy hai số

không chia hết cho

2 384 600 C C Vậy xác suất cần tính

2 384 600 8847 14975 C C  

Câu 13 Chọn B

● Gọi số cần tìm có dạng n x x x x x 1 5

Ta có phương trình x1    x2 x3 x4 x5 4, 1 x1 0x x x x2, , ,3 53 3, i 3, 1,5

y y y y y y i

        

Suy số phần tử không gian mẫu 35

C 

● Để n11 x2x4  x1 x3 x511    x2 x4 x1 x3 x5

TH1: 1 x x x x x        

 có

1

C C  nghiệm TH :

1 2 x x x x x        

 có

1 3

C C  nghiệm TH 3, : x13,x14 số khơng chia hết cho 11

Do đó, số số chia hết cho 11 9  (số) Vậy xác suất cần tính

35

Nhận xét:Ở toán trên, ta sử dụng hai lý thuyết sau:

1) Dấu hiệu chia hết cho 11: Hiệu tổng chữ số hàng chẵn với tổng chữ sốở hàng lẻ

chia hết cho 11

2) Bài toán chia kẹo Euler: Số nghiệm ngun khơng âm phương trình

 

1 m ,

x   x x n m n

1 m m n

C   

Câu 14 Chọn D

Ta có số phần tử không gian mẫu n  9.105

Gọi A: "Lấy số lẻ chia hết cho 9"

-30-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Các số có sáu chữ số, chia hết cho Viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100026,

100035, …., 999999

Các số lẻ có sáu chữ số, chia hết cho lập thành cấp số cộng với số hạng đầu u1100017

, công sai d 18

Do ta có un  u1 n1d 999999 100017  n 18  n 50000 Suy n A 50.000

Vậy xác suất cần tính       181 n A P A

n

 



Câu 15 Chọn C

Lấy ngẫu nhiên thẻ 30 thẻđánh số từ đến 30:   30

n  C

Gọi A biến cố “trong thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, tâm thẻ mang số

chẵn chỉcó thẻ mang số chia hết cho 8”  

A 15 .3 12

n C C C

     153 31 122

6 30

22 145 C C C

P A

C

  

Câu 16 Chọn A

Số có có chữ sốđược tạo từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, có 6.7.7 294 số

Lấy số 294 số:   294

n  C

Gọi n abc số có chữ số khác mà tổng chữ số Ta có: a b c  9 a b c, ,  0,3, ; 0, 4,5 ; 1, 2, ; 1,3,5 ; 2,3, 4        

 Sốlượng số có chữ số khác mà tổng chữ sốđó : (2.2.1).2 3!.3 26  Gọi A biến cố” để hai sốđược chọn thuộc tập hợp S”

  26

n A C

 

Xác suất để hai sốđược chọn thuộc tập hợp S:  

2 26 294 325 43071 C P A C  

Câu 17 Chọn A

Số tự nhiên có hai chữ sốkhác lập từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 42

A  số Suy

42

C

 

Gọi A biến cố: “ tổng số lấy chia hết cho 9” Ta có: ab cd chia hết cho 9a b c d   9 Suy : a b c d; ; ;  1;4;6;7 , 2;3;6;7 , 3;4;5;6    

Với sốở ta có : chọn a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn, d có cách chọn cặp ab, cd không kể thứ tự nên có : 4! 12

2  cặp Vậy     2

42

36 12 3.12 36

287

n A P A

C

    

Câu 18 Chọn D

Gọi số có chữ sốđơi khác x abcde Ta có   10

A A

-31-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi A biến cố: x chia hết cho Các số , , , ,a b c d e lập từ cặp        1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 số 0;

Ta xét trường hợp sau:

Trường hợp 1: Trong x có chứa số 9, khơng chứa số 0 Có

5.C 4! số

Trường hợp 2: Trong x có chứa số 0, khơng chứa số Có

4.C 4! số

Do   2

4

5.C 4! 4.C 4!

n A   Xác suất cần tìm là:      

2

4

5 10

5.C 4! 4.C 4!

A A 21

n A P A n      

Câu 19 Chọn B

Mỗi số tự nhiên thuộc X có dạng x a a a a 1 4 a10 a4 chẵn

Trường hợp a4 0: Số số dạng x có a4 0 A63120

Trường hợp a42;4;8: Số số dạng trường hợp 5.5.4.3 300 Vậy X có 120 300 420  số

Số phẩn tử không gian mẫu n  420

Gọi A biến cố chọn số x a a a a 1 4 chia hết cho

x chia hết cho a a3 4 chia hết cho Do a a3 4 thuộc tập 04;08; 20; 24; 28;32;40;48;52;72;80;84

Nếu a a3 404;08; 20; 40;80 số cách chọn x

5.5 100

A 

Nếu a a3 424;28;32; 48;52;72;84 số cách chọn x 4.4.7 112 Suy n A 212

Xác suất biến cố A   212 53 420 105

P A  

Do đó, xác suất để chọn số không chia hết cho     52 105 P A  P A  Câu 20 Chọn C

Mỗi số tự nhiên thuộc X có dạng x a a a a 1 4 a10, nên X có 7.7.6.5 1470 số Số phẩn tử không gian mẫu n  1470

Gọi A biến cố chọn số x a a a a 1 4 chia hết cho

x chia hết cho a a3 4 chia hết cho Do a a3 4 thuộc tập 04;08;40;48;80;84

Nếu a a3 404;08; 40;80 số cách chọn x

6.4 120

A 

Nếu a a3 448;84 số cách chọn x 5.5.2 50 Suy n A 170

Xác suất biến cố A   170 17 1470 147

P A  

Câu 21 Chọn D

Từ chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6lập

6.A 180 số  

180 16110

n C

-32-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi A biến cố “chọn hai số có chữ số xuất hai số đơi khác có tổng chữ số 21 ”

Gọi hai số chọn thỏa mãn biến cố A abc def , suy a b c d e f     21 Do

đó a b c d e f, , , , , 1; 2;3;4;5;6

Trước hết ta chon số , ,a b ctrong tập 1; 2;3;4;5;6, sau chọn , ,a b c , ,d e f số

còn lai

Bởi vậy:  

6.3!.3! 720

n A C  Vậy   720

16110 179

P A  

Câu 22 Chọn C

Gọi số có chữ số khác abcdef , mà tổng chữ số 18 nên tập a b c d e f, , , , , 

là tập hợp sau: 0;1; 2;3;4;8; 0;1; 2;3;5;7; 0;1; 2; 4;5;6

Ứng với trường hợp có cách chọn chữ số a, chữ số cịn lại có 5! cách chọn

Suy có 3.5.5! 1800 số tự nhiên có chữ số khác mà tổng 18   n  1800 Gọi A biến cố “Số tựnhiên chọn số lẻ”

TH1: a b c d e f, , , , , 0;1; 2;3; 4;8  có 2.4.4! 192 (số) TH2: a b c d e f, , , , , 0;1; 2;3;5;7 có 4.4.4! 384 (số) TH3: a b c d e f, , , , , 0;1; 2; 4;5;6 có 2.4.4! 192 (số) Suy n A 768    

  3275 n A P A

n

  



Câu 23 Chọn A

Ta có 6     1 5  2

Vì số cần lập ln có ba chữ số 1, , nên ba chữ số cịn lại cần có chữ số thuộc 4;5;6

Trường hợp 1: Số cần lập có chữ số thuộc 4;5;6, có 3

C C 6! 6480   (số)

Trường hợp 2: Số cần lập có hai chữ số thuộc 4;5;6, có 3

C C 6! 6480   (số)

Trường hợp 3: Số cần lập có ba chữ số thuộc 4;5;6, có 6! 720 (số) Vậy số số cần lập 6480 6480 720 13680  

Câu 24 Chọn A

Ta có 5     0 4  1

Gọi số cần lập x abcdef Vì tổng ba chữ sốhàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị nên ta xét trường hợp

Trường hợp 1: d e f, , 0;1;5 d e f, , 0;2;4 def có 3! 12  cách lập

Khi a b c, , 0;1; 2; ;9 \ d e f; ;  nên abc có

A 210 cách lập

Do có 12 210 2520  (số x)

Trường hợp 2: d e f, , 1;2;3 def có 3! 6 cách lập Khi a4;5;6;7;8;9

nên a có cách lập b c, 0; 4;5;6;7;8;9 \  a nên bc có

A 30 cách lập

-33-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Vậy số số cần lập 2520 1080 3600  (số)

Câu 25 Chọn A

Số cách bốc ngẫu nhiên cầu từ 11 11

C 462 (cách) Các số 11 cầu chia hết cho 3;6;9

Để tích số cầu chia hết cho cần có số chia hết cho

Trường hợp 1: Có có số chia hết cho 3, có

C C 168 cách

Trường hợp 2: Có hai có số chia hết cho 3, có

C C 210 cách

Trường hợp 3: Có ba có số chia hết cho 3, có 3

C C 56 cách Vậy xác suất cần tính 168 210 56 31

462 33

P   

Câu 26 Chọn A

Số cách bốc ngẫu nhiên cầu từ 11 11

C 165 (cách)

Các số chia hết cho thuộc A3;6;9, số chia dư thuộc B1;4;7;10, số chia

3 dư thuộc C2;5;8;11

Để bốc ba có tổng số chia hết cho ta xét trường hợp sau

Trường hợp 1: Ba có số thuộc ba tập , ,A B C, có 3 3 4

C C C 9 cách

Trường hợp 2: Ba có số thuộc ba tập hợp , ,A B C, có 1 4

C C C  48 cách Vậy xác suất cần tính 48 19

165 55 P   Câu 27 Chọn A

Nhận thấy chín cầu cho, có hai ghi số chia hết cho (các ghi số số ), sáu lại ghi số không chia hết cho

Giả sử rút x 1 x 8, x Số cách chọn x cầu từ8 cầu hộp 8x

C ; số phần tử không gian mẫu n  C8x

Gọi A biến cố “Trong số x lấy ra, có ghi số chia hết cho 3” biến cốđối A A: “ Trong số x lấy ra, khơng có ghi số chia hết cho 3”

Số cách chọn tương ứng với biến cố A   x

n A C Ta có    

  68   

8 56

x x

n A C x x

P A

n C

 

  



Do   1     8 7  56 8 7 14

4 56

x x

P A  P A  P A        x x x  Hay 15 42 0 15 57 15 57

2

x  x     x 

Suy 3, 7 x 11,3 1 x 8, x

Giá trị nhỏ x Vậy số cầu phải rút mà ta phải tìm Câu 28 Chọn B

-34-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Giả sử rút x 1 x 7, x Số cách chọn x cầu từ cầu hộp C7x;

số phần tử không gian mẫu n  C7x

Gọi A biến cố “Trong số x lấy ra, có ghi số chia hết cho 5” biến cốđối A A: “ Trong số x lấy ra, khơng có ghi số chia hết cho 5”

Số cách chọn tương ứng với biến cố A   x

n A C Ta có    

  67

7

x x

n A C x

P A

n C



  



Do       14

3 3

x

P A  P A   P A      x Suy x4, 1 x 7, x

Giá trị nhỏ x Vậy số cầu phải rút mà ta phải tìm

Câu 29 Chọn B

Gọi số cần lập có dạng abcdef a có cách chọn

b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn

f có cách chọn

Vậy có: 1.6.6.6.6.2 2592 số Câu 30 Chọn A

Ta có số phần tử khơng gian mẫu

Có trường hợp sau:

Số cách chọn ba số chia hết cho từ sốban đầu Còn lại ba chữ số phải số khơng chia hết cho có cách

Mỗi đổi vị trí ta có số mới, có tất , số đứng đầu khơng thỏa mãn Vậy xác suất cần tính

Loại 2: Số lần xuất của chữ số

Câu 31 Chọn B

Bước 1: xét số có chữ số, số có bốn chữ số lê khác ba chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần ( kể số có chữ số đứng đầu)

Từ10 chữ số chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có 5

C C cách chọn Với cách chọn ta có: số số có chữ sốtrong có chữ số lẻ khác

chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần 7! số Vậy với

5

C C cách chọn ta tạo

5 .7! 2520005

C C  số ( kể số đứng ) Bước 2: xét số thỏa mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu

Từ sốđã cho ( bỏ số ) chọn số khác gồm số lẻ số chẵn ( có số đứng đầu ) có

5

C C cách chọn

5

6 10

A A

3 C 3 C   3

4 6! 5!6

C C 

 

3

6

6! 5! 200 567 C C

A 

-35-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số lẻ khác nhau, chữ số chẵn khác chữ số chẵn khác 0có mặt lần

6! số

+ Vậy với

C C cách chọn ta tạo

5 .6! 216004

C C  số ( ởbước 2) Từ bước suy số chữ số thảo đề là: 252000 21600 230400  số

Câu 32 Chọn C

Bước 1: xét số có chữ số, số có hai chữ số chẵn khác ba chữ số lẻ khác mà chữ số lẻ có mặt hai lần ( kể số có chữ số đứng đầu)

Từ10 chữ số chọn chữ số khác gồm số chẵn số lẻ có 5

C C cách chọn Với cách chọn ta có: số số có chữ sốtrong có chữ số chẵn khác

chữ số lẻ khác mà chữ số số có mặt lần 8!

2!.2!.2! số Vậy với

5

C C cách chọn ta tạo 5

8!

504000 2!.2!.2!

C C  số ( kể số đứng )

Bước 2: xét số thỏa mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu

Từ sốđã cho ( bỏ số ) chọn số khác gồm số chẵn số lẻ ( có số đứng đầu ) có

4

C C cách chọn

+ Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số chẵn khác nhau, chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác có mặt hai lần 7!

2!.2!.2! số + Vậy với

4

C C cách chọn ta tạo

7!

25200 2!.2!.2!

C C  số ( ởbước 2) Từ bước suy số chữ số thảo đề là: 504000 25200 478800  số

Câu 33 Chọn chữ số lại từ chữ sốđó, có ba trường hợp:

Trường hợp 1: mỗi chữ số ; ;a b c: xuất lần Khi ta có 6! 90

2!2!2! số tự nhiên Trường hợp 2: Một ba chữ số ; ;a b c xuất bốn lần, hai chữ số lại số xuất lần Khi ấy, ta có 6! 90

4!.1!.1! số tự nhiên

Trường hợp 3: Một ba chữ số ; ;a b c xuất ba lần, chữ số xuất hai lần số lại xuất lần Khi ấy, ta có 3! 6! 360

3!.2!.1! số tự nhiên Suy  

9

90 90 360 45360

A C

    

Vậy ( ) 45360 0, 08535284255 531441

A

P A    



Câu 34 Chọn chữ số cịn lại từ chữ sốđó, có ba trường hợp:

Trường hợp 1: Một chữ số ; ; ;a b c d : xuất 3lần, chữ số lại xuất lần Khi ấy, ta có 6! 480

-36-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Trường hợp 2: Hai bốn chữ số ; ; ;a b c d xuất hai lần, hai chữ số lại số

xuất lần Khi ấy, ta có

6!

1080

2!.2!.1!.1!

C  số tự nhiên Suy  

9

480 1080 196560

A C

   

Vậy ( ) 196560 0,3698623177 531441

A

P A    



Câu 35 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có bốn chữ số lập từ X 0;1; 2; 4;6;7 Số phần tử

không gian mẫu  5.63 1080

Gọi A biến cố cần tìm xác suất Ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Chữ số xuất lần

Có

C cách chọn vị trí cho chữ số Có

5

A cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có 2 60

C A  số thõa mãn

Trường hợp 2: Chữ số x (khác 0) xuất lần x vị trí hàng nghìn Có cách chọn x từ tập X

Có cách chọn thêm vị trí cho x Có

5

A cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có

5.3.A 300 số thõa mãn

Trường hợp 3: Chữ số x (khác 0) xuất lần x không nằm vị trí hàng nghìn Có cách chọn x

Có

C cách chọn vị trí cho chữ số x

Có cách chọn chữ số (khác khác )x vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có

5.4.4.C 240 số thõa mãn

Do theo quy tắc cộng, có  A 60 300 240 600   Vậy xác suất biến cố A: ( ) 600

1080

A

P A    



Câu 36 Chọn B

Trường hợp 1: Chữ số xuất lần Có

5

C cách chọn vị trí cho chữ số Có

9

A cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có 3

5 5040

C A  số thõa mãn

Trường hợp 2: Chữ số x (khác 0) xuất lần x vịtrí (vịtrí hàng trăm

nghìn)

Có cách chọn x Có

5

C cách chọn thêm hai vị trí cho x Có

9

A cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có

-37-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Trường hợp 3: Chữ số x (khác 0) xuất lần x khơng nằm vịtrí hàng trăm

nghìn

Có cách chọn x Có

5

C cách chọn vị trí cho chữ số x

Có cách chọn chữ số (khác khác )x vào vịtrí hàng trăm nghìn Có

8

A cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có

9.8 .A C 40320 số thõa mãn

Vậy theo quy tắc cộng, có 5040 45360 40320 90720   số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 37 Chọn B

Số cách chọn ba sốđôi khác từ tập A

30 4060

C  cách Số cách chọn ba số liên tiếp 28 cách

Số cách chọn ba sốtrong có hai số liên tiếp 27 27 26 756    cách Vậy xác suất cần tìm 4060 28 756 3276 117

4060 4060 145

 

 

Câu 38 Chọn chữ số lẻ, ba chữ số chẵn khác xếp vào vị trí cịn lại, có:

5C  4! 480

cách

Trong trường hợp có 480 1920  số

- Trường hợp 2: số tạo thành khơng có chữ số 0, đó: chọn chữ số lẻ với bốn chữ số chẵn xếp vào vị trí có: 5! 600  số

Vậy tất có 1920 600 2520  số thỏa mãn đề Câu 39 Chọn A

Gọi số tự nhiên cần lập X a a a a1 4, a10

Vì ai0,1, 2,3, 4,5 , i1, 2,3, 4 nên ta có trường hợp sau :

TH1 : Trong X có chữ số 0thì có 3cách xếp chữ số ; 3cách xếp chữ số ; cách xếp chữ

số

A cách xếp chữ số 1;3;5 Suy có

3.3.2A 54 TH2: Trong X khơng có chữ số

Có bốn cách xếp chữ số ; ba cách xếp chữ số

A cách xếp ba chữ số 1, 3,5 Suy có

2

4.3A 72 số.Vậy có tất 54 72 126  số

Câu 40 Chọn số tự nhiên có chữ số khác nhau:

A Tổng số cách: 46449 cách

5

46499 1400 ( )

9 6561

P A   

Câu 41 Chọn A

Gọi sốđó A a a a a a a 1 6

Theo đề bài, ta có A có nhiều chữ số lẻ

TH1 : A có chữ số lẻ:

a lẻ: số cách chọn A: 5

C P

1

a chẵn: số cách chọn A: 1 4 5

C ( ).C C P TH2 : A có chữ số lẻ:

1

a lẻ, suy a2 chẵn số cách chọn A: 1 5.C ( ).5 4

-38-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

1

a chẵn, có cách chọn vị trí không kề chữ số lẻ số cách chọn A:

1

C (C ).P A

TH3 : A có chữ số lẻ:

a lẻ, suy a2 chẵn, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số lẻ số cách chọn A:

1 2 5.C (5 4.3 ).2

C C P A

1

a chẵn, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số lẻ số cách chọn A:

1

C ( ).C P A

Suy tổng sốtrường hợp: 37800 cách Câu 42 Chọn chữ số:

2

C .

TH1: số xuất lần, số lại xuất lần:

5!

3! C TH2: số xuất lần, số lại xuất lần:

3

5!

2!.2!

C

Suy 2 3

5! 5!

( ) 5400

3! 2!.2! n A C C C 

  cách

Suy ( ) 200 2187 P A  Câu 43 Chọn A

Gọi số cần tìm có dạng Vì sốđược chọn số chẵn nên Trường hợp 1:

Chọn vị trí vị trí cịn lại để xếp hai chữ số , có cách Chọn chữ số chữ số cịn lại để xếp vào vị trí cịn lại, có cách

Do trường hợp có số Trường hợp 2:

Có vị trí để xếp chữ số Chọn chữ số chữ số lại để xếp vào vị trí cịn lại, có cách Do có số (kể số đứng đầu)

Xét riêng trường hợp chữ số vị trí Khi chữ số có cách xếp, chọn chữ số

trong chữ số lại để xếp vào vị trí cịn lại có cách Suy có số Tóm lại trường hợp có số

Trường hợp 3: nên có cách chọn

Chọn vị trí vị trí cịn lại để xếp hai chữ số , có cách Chọn chữ số chữ số cịn lại để xếp vào vị trí cịn lại, có cách Do có số (kể số

đứng đầu)

Xét riêng trường hợp chữ số vị trí Khi có cách xếp hai chữ số cho vị trí cịn lại Suy có số

Tóm lại trường hợp có số Vậy có số thỏa mãn

abcd d0; 2; 4; 6; 8

d 

2

3

A

1

7

C

2

1 .A C 42

8

d 

3

2

A

8

3.A 168

0

7

7

C

7

2.C 14

168 14 154 

2; 4; 6

d d

2

3

A

7

7

C

3

3 .A C 126

0 2!

2 3.2! 6

126 120 

-39-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Loại 3: Liên quan đến vị trí

Câu 44 Chọn A

Gọi sốđó A a a a a a a 1 6

Theo đề bài, ta có A có nhiều chữ số chẵn TH1 : A có chữ số chẵn :

1

a chẵn: số cách chọn A:

C P

1

a lẻ : số cách chọn A: 1 5

C ( C C P) TH2 : A có chữ số chẵn :

1

a chẵn, suy a2 lẻ số cách chọn A: C41.C ( ).15 C C P41 43

a lẻ , có cách chọn vị trí khơng kề chữ số chẵn số cách chọn A:

1 5

C (C ).P A

TH3 : A có chữ số chẵn:

1

a chẵn , suy a2lẻ , có cách chọn vị trí khơng kề chữ số chẵn số cách chọn

A: 1 2 4.C (5 4.3 ).2

C C P A

1

a lẻ, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số chẵn số cách chọn A:

1 5

C (C ).P A Suy tổng sốtrường hợp: 37800 cách Câu 45 Chọn A

Vì chữ số lẻđứng kề nên ta gom số lẻ thành số M, có 3

C  M Gọi số cần chọn có dạng abcd với d0; 2; 4; 6

` ● Trường hợp 1. d0, suy d có cách chọn

+) Có vị trí để xếp chữ số M , ứng với cách xếp M có 2! cách xếp hai phần tử M

+) Chọn thứ tự chữ số từ tập 2; 4; 6 để xếp vào vị trí trống cịn lại, có

A cách

Do trường hợp có

1.3.2!.A 36 số

● Trường hợp d2; 4; 6, suy d có cách chọn

+) Nếu xếp M vào vị trí nên có cách, ứng với cách xếp có 2! cách xếp hai phần tử M Chọn chữ số từ tập chữ số lại để xếp vào vị trí trống cịn lại, có

3

A cách Suy có tất

3

3.1.2!.A 36 số

+) Nếu xếp M vào vị trí thứ thứ có cách, ứng với cách xếp có 2! cách xếp hai phần tử M Chọn chữ số từ tập chữ số lại để xếp vào vị trí trống cịn lại, có

3

A cách Do

3.2.2!.A 72 số (kể số đứng đầu) Xét riêng trường hợp chữ số đứng đầu có

2

3.2.2!.A 24 số Suy có 72 24 48  số

Do trường hợp có 36 48 84  số Vậy có 36 84  360 số thỏa mãn

Câu 46 Chọn thứ tự hai chữ số từ tập 3; 4; 5; 6; \  a6 để xếp vào hai vị trí cịn lại có

A cách

Do trường hợp có

-40-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Câu 47 Chọn thêm hai chữ số từ 0; 1; 2; 6; 8 có

5

C cách Hai chữ số vừa chọn với M N có 4! cách xếp thứ tự Ứng với cách M có 3! cách xếp vị trí cho ;4; ,

N có 2! cách xếp vị trí cho 7; Do có tất

5.4!.3!.2!

C số (kể số đứng đầu)

● Trường hợp 2. Xét riêng trường hợp số đứng đầu Ta chọn thêm chữ số từ

1; 2; 6; 8 có

C cách Chữ số vừa chọn với M N có 3! cách xếp thứ tự Ứng với cách M có 3! cách xếp vị trí cho ;4; , N có 2! cách xếp vị trí cho

7; Do có

4.3!.3!.2!

C số có số đứng đầu Vậy có

5.4!.3!.2! 4.3!.3!.2! 2592

C C  số thỏa mãn

Câu 48 Chọn số lẻ số lẻ lại chọn số chẵn từ2; 4; 6; 8 sau xếp số vào

6 vị trí trống cịn lại có .6!4

C C cách Vậy số số thỏa đề là: 2

7 .6! 7.20.3.1.720 3024005  

C A C C

Câu 49 Chọn thêm hai chữ số từ 0; 1; 2; 6; 8 có

C cách Hai chữ số vừa chọn với M N có 4! cách xếp thứ tự Ứng với cách M có 3! cách xếp vị trí cho ;4; ,

N có 2! cách xếp vị trí cho 7;

Do có tất

5.4!.3!.2!

C số (kể số đứng đầu)

ii) Xét riêng trường hợp số đứng đầu Ta chọn thêm chữ số từ 1; 2; 6; 8 có

C cách Chữ số vừa chọn với M N có 3! cách xếp thứ tự Ứng với cách M có

3! cách xếp vị trí cho ;4; , N có 2! cách xếp vị trí cho 7;

Do có

4.3!.3!.2!

C số có số đứng đầu Vậy số số thỏa đề là:

5.4!.3!.2! 4.3!.3!.2! 2592

C C

Câu 50 Chọn A

Gọi sốđó A a a a a a a 1 6

i) Số cách chọn chữ số a1 có cách chọn a1 0

ii) Số cách chọn thứ tự cho a a a a a2; ; ; ; 3 4 5 6 tập A a\ 1 có 5

A cách

Trong a a a a a a1 6 có vịtrí để chữ số đứng cạnh vịtrí đầu bên trái có khảnăng 50a a a a3 6 , vị trí cịn lại hốn vị cho Do có

tất cách

Sau chọn vịtrí để hai chữ số đứng cạnh nhau, ta chọn số hốn vị chữ số cịn lại, tức có 4! cách

Vậy có: 5

5.A 9.4! 384 số số A

Câu 51 Chọn thứ tự hai chữ số từ tập 3; 4; 5; 6; \  a6 để xếp vào hai vị trí cịn lại có

A cách

Do trường hợp có

2.16.A 384 số số A Vậy có: 120 120 384 624   số số A

Câu 52 Chọn B

*) Số số tự nhiên có bảy chữ số khác lập từ chữ số 1, , 3, , 5, 6, là: 7!

*) Xét trường hợp ba chữ số chẵn đứng cạnh nhau:

-41-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI +) Xếp dãy số  với chữ số lẻthành hàng ngang ta số tự nhiên có 7 chữ

số khác nhau: có 5! cách xếp  có 3!.5! số

Vậy số số tựnhiên theo đề là: 7! 3!.5! 4320  số

Câu 53 Chọn 3 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn thành hàng ngang, ta dãy số : có A43 cách xếp

+) Xếp dãy số  với chữ số lẻ chữ số chẵn lại thành hàng ngang ta số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau: có 6! cách xếp

 có A43.6! số thỏa mãn ba chữ số chẵn đứng cạnh nhau, trường hợp chữ số chẵn

đứng cạnh tính hai lần

*) Xét trường hợp bố chữ số chẵn đứng cạnh nhau:

+) Xếp 4 chữ số chẵn thành hàng ngang, ta dãy số : có 4! cách xếp

+) Xếp dãy số  với chữ số lẻthành hàng ngang ta số tự nhiên có 8 chữ

số khác nhau: có 5! cách xếp

 có 4!.5! số thỏa mãn bốn chữ số chẵn đứng cạnh

Vậy số số tựnhiên theo đề là: 8!A43.6! 4!.5! 25920  số Câu 54 Chọn A

Chỉ xảy trường hợp sau:

Trường hợp 1: chữ số chữ số 5:

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp số 0, khoảng trống số vị trí cuối hàng (vì chữ số khơng thểđứng đầu)

+) Xếp số vào vị trí nói trên: có

C cách xếp

Suy trường hợp có

C cách xếp

Trường hợp 2: chữ số chữ số 5:

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp hai số 0, khoảng trống số vị trí

cuối hàng

+) Xếp số vào hai vị trí nói trên: có

C cách xếp

Suy trường hợp có

C cách xếp

Trường hợp 3: 3 chữ số chữ số 5:

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp ba số 0, khoảng trống số vị trí

cuối hàng

+) Xếp số 0vào ba vị trí nói trên: có

C cách xếp

Suy trường hợp có

C cách xếp

Trường hợp 4: chữ số chữ số 5:

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp bốn số 0, khoảng trống số vị trí

cuối hàng

+) Xếp số vào bốn vị trí nói trên: có

C cách xếp

Suy trường hợp có

-42-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Trường hợp 5: 5 chữ số chữ số :

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp năm số 0, khoảng trống số vị trí

cuối hàng

+) Xếp số 0vào năm vị trí nói trên: có 5

C cách xếp

Suy trường hợp có 5

C cách xếp Vậy có

9 88

C C C C C  số

Câu 55 Chọn chữ số từ tập X xếp theo thứ tự thành hàng ngang: có

A cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp số1, khoảng trống chữ sốtrên hai đầu +) Xếp số vào ba vị trí nói trên: có

4

C cách xếp

Suy trường hợp có 3

A C cách xếp Vậy có 3

8 8 58464

A C A C A C  số Câu 56 Chọn A

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác n  10.9.8.7.6.5 151200

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 1, đứng cạnh chữ

số 3, đứng cạnh  

2!.2! .4! 1440

n A  C 

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 1, đứng cạnh  

8

2! .5! 16800

n B  C 

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 3, đứng cạnh  

8

2! .5! 16800

n C  C 

Vậy xác suất đểrút thẻ có sáu chữ số khác mà chữ số 1, không đứng cạnh chữ số 3, không đứng cạnh

          248315

n n B n C n A

P

n

   

 



Câu 57 Chọn xếp chữ số khác khác chữ số 1, , thành dãy nằm ngang có

A cách

Bước 2: Xếp ba chữ số 1, , 3vào ba bốn chỗ trống gồm hai đầu kẽ dãy số tạo bước có

4

A cách Nên có 3

7 5040

A A  cách tạo dãy số thỏa mãn yêu cầu + Vậy xác suất cần tính

30 P Câu 58 Chọn B

+) 1; ; 3; ; xếp coi vách ngăn  cách +) Xếp trước 55 cách, tạo khoảng trống

+) Lần lượt xếp số 7; 8; sốcách tương ứng là: 7; cách +) Xếp số có cách

Đáp số: 5.7.8.9.9 22680 số

Loại 4: Liên quan đến lớn , nhỏ hơn.

-43-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

+ Trường hợp 1: a b c d   có 36        số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: a b c d   có 2 84

C C  C  số thỏa mãn

+ Trường hợp 3: a b c d   có 1.7 2.6 3.5 4.4 5.3 6.2 7.1 84       số thỏa mãn

+ Trường hợp 4: a b c d   có 126

C  số thỏa mãn Vậy có 330 số thỏa mãn

Câu 60 Chọn A

+ Trường hợp 1: a b c d   có 45         số thỏa mãn

+ Trường hợp 2:.a b c d   có 2 2 120

C C C  C  số thỏa mãn

+ Trường hợp 3: a b c d   có 1.8 2.7 3.6 4.5 5.4 6.3 7.2 8.1 120        số thỏa mãn

+ Trường hợp 4: a b c d   có 10 210

C  số thỏa mãn Vậy có 495 số thỏa mãn

Câu 61 Chọn B

Gọi số tự nhiên có chữ sốkhác lấy từ chữ số 0, 1, , 3, , 5, 6, abcd

Số abcd nhỏhơn 3507 ta có trường hợp:

TH1: Số có dạng 350d d1;2;4;6 nên có số: 3501, 3502, 3504, 3506 TH2: Số có dạng 3bcd b0;1;2;4 nên có 4.6.5 120 số

TH3: Số có dạng abcd với a 1;2 có 2.7.6.5 420 số Vậy có 120 420 544   số thỏa yêu cầu toán

Câu 62 Chọn A

Gọi số tự nhiên có chữ sốkhác lấy từ chữ số 0, 1, , 3, , 5, 6, abcd

Số abcd lớn 1305 ta có trường hợp: TH1: Số có dạng 130d có số: 1306, 1307

TH2: Số có dạng 13cd với c2;4;5;6;7 có 5.5 25 số TH3: Số có dạng 1bcd với b4;5;6;7 có 4.6.5 120 số

TH4: Số có dạng abcd với a2;3;4;5;6;7 có 6.7.6.5 1260 số Vậy có 25 120 1260 1407    số thỏa yêu cầu toán

Câu 63 Chọn C

Gọi số lẻ có chữ sốđôi khác lấy từ chữ số 0, 1, , 3, , abcd Vì abcd số lẻ nên d1;3;5, a0 Do có 3.4.4.3 144 số

Trong 144 số số nhỏhơn 2018 phải có dạng 201d 1bcd TH1: Số có dạng 201d có số: 2013, 2015

TH2: Số có dạng 1bcd d 3;5 nên có 2.4.3 24 số

Khi có 24 26  số lẻ có chữ số khác nhỏhơn 2018 Từđó suy xác suất cần tìm 26 13

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi số chẵn có chữ sốđơi khác lấy từ chữ số 0, 1, , 3, , abcd Vì abcd số chẵn nên d0;2;4

TH1: d 0 a1;2;3;4;5 nên có 5.4.3 60 số

TH2: d 2;4 a1;2;3;4;5 \  d nên có 2.4.4.3 96 số

Do có 60 96 156  số

Trong 156 số số lớn 2019 phải có dạng sau:

TH1: Số có dạng 20 4c c 3;5 nên có số: 2034, 2054 TH2: Số có dạng 0bc với b1;3;4;5 có 4.3 12 số TH3: Số có dạng 4bc với b1;3;5 có 3.3 9 số TH4: Số có dạng 4bcd d 0;2 nên có 2.4.3 24 số

TH5: Số có dạng abcd với a 3;5 , d0;2;4 có 2.3.4.3 72 số

Khi có 12 24 72 119     số chẵn có chữ số khác nhỏhơn 2019 Từđó suy xác suất cần tìm 119

156 Câu 65 Chọn A

  9

n M  A (số có sáu chữ số đơi khác a1 có cách chọn, a a a a a2 chỉnh

hợp chập phần tử nên có

A )

Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn

1

a a a a a a ” Ta có trường hợp sau: TH1: a6 0 a a a a a1 5 có

9

C cách chọn TH2: a6 2 a a a a a1 có

5

C cách chọn TH3: a6 4 a a a a a1 5 có

5

C cách chọn   5

9 148

n A C C C

    

Do    

  n A P A n   148 9.A  37 34020 

Câu 66 Chọn B  

9

n M  A (số có sáu chữ số đơi khác a1 có cách chọn, a a a a a2 6 chỉnh hợp chập phần tử nên có

9

A )

Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên lẻ từ tập M đồng thời thỏa mãn

1

a a  a a a a ”

Trước hết ta thấy sốđược chọn không chứa chữ số a6 6 ta có trường hợp sau:

TH1: a6 7 a a a a a1 có

C cách chọn TH2: a6 9 a a a a a1 5 có

8

C cách chọn   5

6 62

n A C C

   

Do    

-45-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Câu 67 Chọn C

  9.9!

n M 

Gọi A biến cố“được chọn có chữ số 1, ,3, ,5 xếp theo thứ tựtăng dần từ trái qua phải

nhưng chữ số 1, , 3, , 5, khơng vậy” Từ giả thiết bắt buộc 1, , 3, , 6phải đứng trước

Cách 1: Đếm theo việc xét trường hợp cho chữ số Với a10 5 có vị trí cho 1, 2,3, 4 có

8

C cách; bốn chữ số lại 0,7,8,9 có

4! cách xếp nên có

9 .4!C tính a10 Khi a1 0 có .3!C74 nên trường hợp

có 4

9 .4! .3!C  C số

Với 4

9 .4! .3!7

a   C  C

Với 4

8 .4! .3!6

a   C  C

Với 4

7 .4! .3!5

a   C  C

Với 5 .4!4

a   C

Do n A 22680 suy   22680 9.9!

P A 

144 

Cách 2: Đếm loại trừ

Đếm tất số thỏa mãn điều kiện 1, ,3, ,5 theo thứ tự (ởđây số theo thứ

tự khơng), ta có:

- Kể a10 hay a1 0 có

10 30240

C P 

- Riêng a1 0 có

1 .C P 3024

 có 30240 3024 27216  số mà 1, ,3, ,5 theo thứ tự

Đếm tất số thỏa mãn điều kiện 1, ,3, ,5,6 xếp theo thứ tự  có 6

10 .9 4536

C P  C P  số mà 1, ,3, ,5,6 xếp theo thứ tự Vậy n A 27216 4536 22680  ( ) 22680

9.9! P A

 

144 

Cách 3: Đếm chữ số cịn lại Có cách xếp vị trí cho chữ số0 Có

9

A cách xếp vị trí cho chữ số7,8,9

Cịn lại vịtrí để xếp chữ số 1, ,3, ,5,6: chữ số xếp cuối cùng, nên ta có

cách xếp vị trí cho chữ số 6, cách xếp chữ số 1, ,3, Vậy  

9 .5

n A  A 22680 ( ) 22680 9.9! P A

 

144 

Cách 4: Đếm tổng thể xem có bị loại

Có thảy 9.P9 số có 10 chữ sốđôi khác Các chữ số 1, ,3, ,5,6 tạo 6! hoán hốn vịđó chỉcó hốn vị tạo số mà 1, ,3, đứng trước thỏa mãn yêu cầu nên   5.9 22680

6! P

n A   ( ) 22680 9.9! P A

 

144  Câu 68 Chọn B

+) 1; ; 3; ; xếp coi vách ngăn  cách +) Xếp trước 55 cách, tạo khoảng trống

-46-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Đáp số: 5.7.8.9.9 22680 số Câu 69 Chọn A

Từ chữ số 0,1, ,3, ,5 lập

5.A 300 số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác Suy  

300

n  C 44850

Số số tự nhiên có bốn chữ sốđơi khác lập từ chữ số 0,1, ,3, ,5 nhỏ 2015

5

1.A 1.1.1.3 63

Gọi A biến cố “trong hai số chọn có số lớn 2015”   63

n A C

1953



Do n A n  n A  44850 1953 42897 Vậy   42897

44850

P A  14299 14950



Câu 70 Chọn B

Từ chữ số 0,1, ,3, ,5,6,7,8 lập

8.A 2688 số tự nhiên có bốn chữ số đơi

một khác Suy   2688

n  C 3611328

Số số tự nhiên có bốn chữ sốđơi khác lập từ chữ số 0,1, ,3, ,5,6,7

,8 nhỏhơn 2018

1.A 1.1.1.6 342

Gọi A biến cố “trong hai số chọn có số lớn 2018”   342

n A C

58311



Do n A n  n A  3611328 58311 3553017 Vậy   3553017

3611328

P A  0, 98385 Câu 71 Chọn C

Từ chữ số 0,1, ,3, ,5,6,7,8 lập

8.A 2688 số tự nhiên có bốn chữ số đơi

một khác Suy   2688

n  C 3611328

Số số tự nhiên lẻ có bốn chữ sốđơi khác lập từ chữ số 0,1, ,3, ,5,6,

7,8

4.7.A 1176

Số số tự nhiên lẻ có bốn chữ sốđơi khác lập từ chữ số 0,1, ,3, ,5,6,

7,8 nhỏhơn 2018

1.3.A 1.1.1.3 129

Gọi A biến cố “trong hai sốđược chọn có sốbé 2018 hai sốđều số

lẻ”     129 129 1176 129

n A C   143319 Vậy   143319

3611328

P A  0, 03969 Câu 72 Chọn B

Số phần tử không gian mẫu   10

n  C

Đặt T a a a1; ;2 3| , ,a a a1 2 3A a; 1a2a a3; 2 a1 2,a3a22

Với a a a1, ,2 3, xét tương ứng với b b b1, ,2 3 cho b1a b1;  a2 1;b3  a3

-47-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI +) Với a a a1, ,2 3 cho tương ứng với b b b1, ,2 3 công thức

1 1; 2 1; 3

b a b  a b  a

+) Ngược lại, với b b b1, ,2 3cho tương ứng với a a a1, ,2 3 công thức

1 1, 2 1, 3

a b a  b a  b

Đặt B0;1; 2;3; 4;5;6;7 Tập b b b1, ,2 3là tập có phần tử B Vậy số tập a a a1, ,2 3cần tìm là:

8 56

C 

Vậy xác suất để chọđược ba số thỏa mãn yêu cầu toán

3 10 15 C P C   Câu 73 Chọn B

Số phần tử không gian mẫu   10

n  C

Đặt T a a a a1; ; ;2 3 4| ; ; ;a a a a1 2 3 4A a; 1a2 a3 a a4; 2 a1 2;a3a2 2;a4a3 2

Với a a a a1; ; ;2 3 4, xét tương ứng với b b b b1; ; ;2 3 4 cho

1 1; 2 1; 3 2; 4

b a b a  b  a b  a

Lúc ta có: 0    b1 b2 b3 b4 6và tương ứng tương ứng 1 do: +) Với a a a a1; ; ;2 3 4 cho tương ứng với b b b b1; ; ;2 3 4 công thức

1 1; 2 1; 3 2; 4

b a b a  b  a b  a

+) Ngược lại, với b b b b1; ; ;2 3 4cho tương ứng với a a a a1; ; ;2 3 4 công thức

1 1; 2 1; 3 2; 4

a b a  b a  b a  b

Đặt B0;1;2;3; 4;5;6 Tập b b b b1; ; ;2 3 4là tập có phần tử B Vậy số tập a a a a1; ; ;2 3 4cần tìm là:

7

C

Vậy xác suất để chọđược ba số thỏa mãn yêu cầu toán

4 10 C P C   DẠẠNG 2: CÁC BÀI TỐN ĐĐẾẾM SỐỐ PHƯƯƠƠNG ÁN

TÍNH XÁC SUẤẤT LIÊN QUAN ĐĐẾẾN NGƯƯỜỜI HOẶẶC ĐĐỒỒ VẬẬT Câu 74 Chọn B

Để học sinh nhận sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thành ba loại :

Toán + Lý ; Tốn + Hóa; Lý + Hóa

Gọi x y z, , ( , ,x y z) số học sinh nhận phần thưởng Toán + Lý ; Tốn + Hóa; Lý + Hóa Khi đó, ta có hệ sau :

7                   

x y x

x z y

y z z

Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh : .15

C C Vậy số phần tử không gian mẫu

9 ( ) 

n C C

-48-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

TH1 : A B nhận Tốn+Lý có

C C cách phát

TH2: A B nhận Tốn+Hóa có

C C cách phát

TH3 : A B nhận Lý-Hóa có

C cách phát

  4

7 7

n S C C C C C

   

Vậy xác suất biến cố S là:

2 4 7

4 5 ( ) 18  

C C C C C  P S

C C

Câu 75 Chọn ngẫu nhiên hai loại sách (trong số sách tham khảo Toán giống nhau, sách tham khảo Hóa giống nhau, sách tham khảo Lý giống nhau) chia cho 11 học sinh”

Số phần tử không gian mẫu là:   4

11 .7 11550

n  C C C 

Gọi A biến cố: “ An Việt có phần thưởng giống nhau” TH1: Phần thưởng Tốn+Lí: có

9 .7

C C C TH2: Phần thưởng Tốn+Hóa: có 4

9 .8

C C C TH3: Phần thưởng Hóa+Lí: có

9 C C C

  4 4

9 .7 .8 .7 3150

n A C C C C C C C C C 

Xác suất biến cố A là:  

11

P A 

Xác suất để An Việt có phần thưởng khác là:     11 11

P A  P A    Câu 76 Chọn C

Nhóm thứ có nữ nam, có 2

C C cách Nhóm thứ hai có nữ nam, có

2

C C cách Nhóm thứ ba có cách chọn

Vậy   2

4 .8 6720

n  C C C C 

Gọi A: “Hoa Nam nhóm”

Trường hợp 1: Hoa Nam với bạn nam bạn nữ thành nhóm: + Có 1

7

C C cách

+ Nhóm thứ hai có

C C cách

Suy trường hợp có 1

C C 840

C C  cách

Trường hợp 2: Hoa Nam với bạn nam lập thành nhóm + Có

7

C cách

+ Nhóm thứ hai có 2

C C cách

Suy trường hợp có

C 2 630

C C  cách

Do n A 840 630 1470 

Vậy       327 n A P A

n

 



Câu 77 Chọn B

Số phần tử không gian mẫu   20

-49-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Bây giờ, ta tính số cách chọn mà có cặp vợ chồng

Có cách chọn cặp vợ chồng từ cặp vợ chồng Có 18 cách chọn người thứba 18 người cịn lại Suy có 4.18 72 cách chọ mà có cặp vợ chồng

Vậy xác suất đểtrong người chọn khơng có cặp vợ chồng

3 20 20 72 89 95 C P C   

Câu 78 Chọn B

Số phần tử không gian mẫu 14

C

Trường hợp 1: Tổ có B mà khơng có A Số cách chọn thành viên lại:

12

C Số cách chọn tổtrưởng cách Vậy có

12

6.C

Trường hợp 2: Tương tự có 12

6.C Vậy có tất cả:

12

2.6.C 9504 Câu 79 Chọn A

Gọi x sốđiểm bạn đạt (0 x 10)(x )  Bạn trả lời x câu trả lời sai 10x câu +) Xác suất câu bạn là:

3; sai +) Có 10

x

C cách chọn x câu Do xác suất x điểm là:

10 10

10 10

1 10!

( )

3 3 !(10 )!

x x x

x

P x C

x x                 

Do ( )P x lớn nên ( ) ( 1) ( ) ( 1) P x P x P x P x

           10 10 10 10 11 10 10

10! 10!

3 !(10 )! !(9 )!

10! 10!

3 !(10 )! !(11 )!

x x

x x

x x x x

x x x x

                   

1

2(x 1) 10

10

1 11

2 11

11

x

x x

x x

x x x

x                        11

3 x

   Mà x nên x3

Vậy, xác suất bạn đạt điểm lớn Câu 80 Chọn A

Gọi x số câu trả lời đúng, suy 50x số câu trả lời sai Ta có sốđiểm Hoa 0, 2.x0,1 50 x  4 x 30

Do bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu

Không gian mẫu sốphương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên Mỗi câu có phương án trả lời nên có 450 khảnăng

Suy số phần tử không gian mẫu  450

Gọi X biến cố '' Bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu '' Vì câu có phương

án trả lời, câu sai có phương án trả lời Vì có 30  20 50

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Suy số phần tử biến cố X 30 20

50 X C

 

Vậy xác suất cần tính    

20 30 50 X

P X   C



Câu 81 Chọn A

Không gian mẫu sốphương án trả lời thi Suy số phần tử không gian mẫu  410

Gọi A biến cố '' Học sinh làm thi câu hỏi '' nên ta có trường hợp sau

đây thuận lợi cho biến cố A

● Học sinh làm câu hỏi, tức làm câu sai câu Mỗi câu có phương

án trả lời, câu sai có phương án trả lời

Trường hợp có  2 10

C khảnăng thuận lợi cho biến cố

● Học sinh làm câu hỏi, tức làm câu sai câu Trường hợp có

10.3

C khảnăng thuận lợi cho biến cố

● Học sinh làm 10 câu hỏi, tức làm hết 10 (khơng sai câu nào)

Trường hợp có 10 10

C khảnăng thuận lợi cho biến cố Suy số phần tử biến cố A  2 10

10 10.3 10 436

A C C C

    

Vậy xác suất cần tính   43610 109 262144

A

P A    



Câu 82 Chọn A

Xác suất trả lời câu hỏi

4, trả lời sai

4 Ta có trường hợp:

● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu

5 5 10 ; 4 C       

   

● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu

6 10 ; 4 C       

   

● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu

7 10 ; 4 C       

   

● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu

8 10 ; 4 C       

   

● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu

9 10 ; 4 C   

 

● Xác suất thí sinh A trả lời 10 10 câu

10 10 10

1 C   

  Cộng xác suất ta xác suất cần tính P0, 078 Câu 83 Chọn D

+) Gọi số câu trả lời x x ,x10 số câu sai 10x  sốđiểm đạt là: x0,5 10 x1,5x   5 x Xác suất

-51-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

+) Trường hợp 1: câu đúng, câu sai xác suất

8 10 4 C       

   

+) Trường hợp 2: câu đúng, câu sai xác suất

9 10 4 C   

 

+) Trường hợp 3: 10 câu đúng xác suất

10       Vậy xác suất cần tính :

8 10

8

10 10

1 3

4 4 4

C        C      

       

109 262144



Câu 84 Chọn 5người có người biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy

3

7 9 1596 A C C C C C

    

Xác suất cần tìm   1596 19 4368 52

A

P A    

 Câu 85 Chọn A

Gọi x số học sinh giỏi cảTốn Văn Khi

Số học sinh giỏi mơn Tốn Văn là: 18 12  x 30x Số học sinh giỏi Văn Toán là: 30  x x 30  x

Số học sinh lớp là: 30 x 10 40 x

Số cách chọn học sinh giỏi Toán Văn là: 30 x

C 

Số cách chọn học sinh có em giỏi Tốn Văn là: 1 30

x x

C C  Theo giả thiết ta có:

1 30 2 30 23 x x x C C x C     

Vậy, số học sinh lớp 11A là: 40 34. 

Câu 86 Chọn D Ta có:

Gọi x, y, z số thí sinh nhận phần thưởng sách Tốn – Vật lí, Tốn – Hóa học, Vật lí – Hóa học

Từ giả thiết ta có:

7

6

5

x y x

x z y

y z z

                  

Do đó, số thí sinh nhận phần thưởng : 9.  

Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho học sinh”, suy

9 .5 1260

C C C

  

Xét biến cố A: “An nhận sách Toán”

TH1: An nhận sách Tốn – Vật lí, có 3 .5 560

C C C  TH2: An nhận sách Tốn – Hóa, có 2

8 .3 210

C C C  Suy ra,  A 560 210 770. 

Xác suất cần tìm   770 11 1260 18

A

P A    

 Câu 87 Chọn D

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số học sinh nhận thước kẻ bút z

Vì có vở, 5chiếc bút 7thước kẻ nên ta có:

4

5

7

x y x

x z y

y z z

                   Xét phép thử: “ Số cách phát quà học sinh”, suy

8 .7 280

C C C

  

Xét biến cố A: “Hà khơng nhận bút” Khi đó, Hà có thểđược nhận vởvà thước kẻ Suy ra,

7 .5 105 A C C C

  

Xác suất   105 280

A

P A    

 Câu 88 Chọn C

Không gian mẫu số cách chọn ngẫu nhiên 10 sách tặng cho học sinh Suy số phần tử không gian mẫu

10 30240

A

  

Gọi A biến cố '' Sau tặng sách ba loại sách thầy giáo cịn lại '' Để tìm số phần tử A, ta tìm số phần tử biến cố A, tức sau tặng sách có mơn khơng cịn lại Vì tổng số sách hai loại lớn nên

chọn cho hết loại sách Do mơn hết sách, ta có khảnăng:

Cách tặng cho khơng cịn sách Toán, tức ta tặng sách toán, cịn lại Lý Hóa

+) sách Toán tặng cho người người, có

A cách

+) người lại tặng (Lý Hóa), có

A Suy có

5 720

A A  cách tặng cho khơng cịn sách Tốn  Tương tự, có

5 2520

A A  cách tặng cho khơng cịn sách Lý  Tương tự, có

5 2520

A A  cách tặng cho không cịn sách Hóa Suy số phần tử biến cố A  A 720 2520 2520 5760  

Suy số phần tử biến cố A      A A 30240 5760 24480  Vậy xác suất cần tính   24480 17

30240 21

A

P A    



Câu 89 Chọn viên bi đỏ, viên bi xanh viên bi trắng

Do trường hợp có 1 .6

C C C cách

Suy số phần tử biến cố A 2 1

5 .6 .6 3360 A C C C C C C

   

Vậy xác suất cần tính   3360 40 18564 221

A

P A    



Câu 90 Chọn sinh viên nam sinh viên nam chọn sinh viên nữ sinh viên nữ

Sau chọn lớp lớp để bố trí cho sinh viên vừa chọn vào Do có .4

C C C cách

Giai đoạn thứ hai Còn lại sinh viên ( nam nữ) xếp vào lớp học lại Mỗi sinh viên có cách chọn lớp học Do có

3 cách chọn Suy số phần tử biến cố A

5 .34 A C C C

-53-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Vậy xác suất cần tính  

3 4

9

.3 1215

0, 074 16384

A C C C

P A    

 

Câu 91 Chọn toa đểkhơng có khách bước lên, có

C cách

+) Hai toa lại ta cần xếp hành khách lên toa có hành khách, có

5

2 C 30

Do trường hợp có

3.30 90

C  cách

Suy số phần tử biến cố A   A 90 93

Suy số phần tử biến cố A      A A 234 93 150  Vậy xác suất cần tính   150 50

243 81

A

P A    

 Câu 92 Chọn C

Người khách thứ có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứ hai có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứ ba có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứtư có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứnăm có cách chọn cửa hàng để vào

Theo quy tắc nhân có: 55 3125 khảnăng khác xảy cho người vào cửa hàng Suy

ra số phần tử không gian mẫu là:  3125

Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách Vậy:

5 100

C C C  khảnăng xảy Vậy xác suất cần tính là: 100

3125

P

125



Câu 93 Chọn A

Người khách thứ có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứ hai có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứ ba có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứtư có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứnăm có cách chọn cửa hàng để vào

Theo quy tắc nhân có: 55 3125 khảnăng khác xảy cho người vào cửa hàng Suy

ra số phần tử không gian mẫu là:  3125

TH1: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách

Vậy: .5 200

C C C C  khảnăng xảy

TH2: Một cửa hàng có khách, hai cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách

Vậy:

5 .P5 600

C C C  khảnăng xảy Vậy xác suất cần tính là: 800

3125

P 32

125



Câu 94 Chọn A

3

-54-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi A biến cố : “Cần phải bắt đến thỏ”  A TTT NTTT TNTT TTNT, , , 

4 31

( ) ( )

35 35

P A P A

   

Câu 95 Chọn môn chung mã đề có cách Mơn có mã đềdo

+ Xác suất chung mã đề mở môn

6 khác mã đềở môn

Đáp số : .1 5 6 18

P 

Câu 96 Chọn D

+) Xác suất Việt thắng 0,3; xác suất Nam thắng 0,  Xác suất hòa 0,3

+) Để dừng chơi sau hai ván thì: - Ván hịa xác suất 0,3

- Ván khơng hịa (Việt thắng Nam thắng) xác suất 0,3 0, 0, 7  Vậy xác suất cần tính: P0,3.0, 0, 21

DẠẠNNGG 33 :: CCÁÁCC BBÀÀII TTOOÁÁNN ĐĐẾẾM SỐỐ PHPHƯƯƠƠNNGG ÁÁNN TÍNH XÁC SUẤẤTT LLIIÊÊNN QQUUAANN ĐĐẾẾNN ĐĐAA GGIIÁÁCC Câu 97 Chọn A

Số tam giác có đỉnh thuộc  H Cn3

Số tam giác có 3đỉnh thuộc  H có hai cạnh cạnh  H n Theo giả thiết ta có Cn315n n 11( giá trị n 8 loại)

Câu 98 Chọn B

Số tam giác có đỉnh thuộc  H Cn3 Số tam giác có đỉnh thuộc  H có hai cạnh cạnh  H n

Số tam giác có đỉnh thuộc  H có cạnh cạnh  H n n 4 Suy sốcác tam giác có ba đỉnh thuộc  H khơng có cạnh cạnh  H

 

3 4

n

C  n n n

Theo giả thiết ta có Cn3 n n n 410n n 4

Giải phương trình ta n65( giá trị n4 loại) Câu 99 Chọn C

Gọi  không gian mẫu  

16 1820

n C

   

Gọi :A ” tứgiác chọn có bốn đỉnh bốn đỉnh  H khơng có cạnh cạnh  H ”

-55-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Xét tứ giác thỏa mãn yêu cầu đề có đỉnh A1 Khi A A2, 16 khơng phải đỉnh tứ

giác Ta cần chọn thêm đỉnh ,A A Ai j, k thỏa mãn:

3 1 15 i i j j k k             

( hai đỉnh tứ

giác phải có đỉnh đa giác )

Do bộ3 đỉnh ,A A Ai j, k chỉđược lấy 11 đỉnh nên có 11 165

C  cách

Vì đa giác  H có 16 đỉnh đỉnh tứgiác đếm lặp lại lần theo đỉnh nên số tứ

giác cần tìm 16.165 660    660

n A

 

Vậy   660 33 1820 91

p A  

Câu 100 Chọn C

Gọi  không gian mẫu  

16 1820

n C

   

Gọi :A ” tứgiác chọn có bốn đỉnh bốn đỉnh  H khơng có cạnh cạnh  H ”

Gọi đỉnh đa giác  H là: A A A1, , , ,2 3 A16

Xét tứ giác thỏa mãn yêu cầu đề có đỉnh A1 Khi A A2, 16 đỉnh tứ

giác Ta cần chọn thêm đỉnh ,A A Ai j, k thỏa mãn: 1 15 i i j j k k             

( hai đỉnh tứ

giác phải có đỉnh đa giác )

Do bộ3 đỉnh ,A A Ai j, k chỉđược lấy 11 đỉnh nên có 11 165

C  cách

Vì đa giác  H có 16 đỉnh đỉnh tứgiác đếm lặp lại lần theo đỉnh nên số tứ

giác cần tìm 16.165 660    660

n A

 

Vậy   660 33 1820 91

p A  

Câu 101 Chọn A

Giả sửcác đỉnh đa giác đánh số A A1, , ,2 A20

Cốđịnh đỉnh A A1 2 ta đường thẳng song song với A A1 2 gồmA A A A3 20; 4 19; ;A A11 12 Suy số hình thang cân nhận A A1 2có đáy A A1 2 song song với A A1 2 là:

10 40

C   Số tất hình thang là: 20.40 400

2  Xác suất là: 4

-56-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Câu 102 Chọn A

Số tam giác tạo thành có đỉnh đỉnh đa giác

n C Số tam giác tạo thành có cạnh cạnh đa giác n Số tam giác tạo thành có cạnh cạnh đa giác n n 4

Suy số tam giác tạo thành cạnh cạnh đa giác  4

n

C  n n n Theo giả thiết, ta có  4 5.  4

n

C  n n n  n n

 

3 6. 4

n

C n n n

     !   4

3! !

n

n n n n

   

  2 1  

6

6

n n

n

 

    39 140 0 35

4 n n n n           

Do n4 nên ta chọn n35 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 103 Chọn A

: “là tập tam giác có đỉnh đỉnh đa giác”  

18 816

n C

   

A: “chọn tam giác từ tập X tam giác cân không tam giác đều” Tìm sốtam giác cân tạo thành:

Cốđịnh điểm đỉnh tam giác cân Số cách chọn điểm 18 18

C 

Ứng với đỉnh vừa chọn, có cặp điểm tạo với điểm thành tam giác cân Số cách chọn cặp điểm

8

C  Số tam giác cân là: 144

Tìm sốtam giác tạo thành: Sốtam giác tạo thành 18

3  Vậy n A 144 138    23

136 P A

 

Câu 104 Chọn A

Số phần tử không gian mẫu là:  

20 1140

n  C 

Đa giác 20 đỉnh có 10 đường chéo xuyên tâm, với đường chéo số tam giác vng 18 nên số tam giác vng thỏa mãn u cầu tốn là: 10.18 180

Xác suất cần tính là: 180 1140

P

19  Câu 105 Chọn C

Không gian mẫu số cách chọn đỉnh 2n đỉnh đa giác

Suy số phần tử không gian mẫu   2n

n  C

Gọi A biến cố ''Ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông'' Đểba đỉnh chọn tạo thành tam giác vng chỉkhi có hai đỉnh ba đỉnh hai đầu mút đường kính đường trịn ngoại tiếp đa giác đỉnh lại số 2n2 đỉnh lại đa giác Đa giác có 2n đỉnh nên có

2 n

n

 đường kính

● Số cách chọn 1đường kính n

C n

● Số cách chọn 1đỉnh lại 2n2 đỉnh

2n 2

-57-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Suy số phần tử biến cố A n A  n n2 2

Do xác suất biến cốA    

   

2

n

n A n n

P A

n C



 



Theo giả thiết, ta có    

  

3

2 2

8 2 2

n

n n n n

n

C n n n

      

 

Vậy n8 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 106 Chọn B

  10 120

n  C 

Số tam giác vuông là: 10 2  40

Vậy xác suất để chọn tam giác vuông 40

120 3

Câu 107 Chọn B

Sốtam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 12 220

C  tam giác Số phần tử tập M n M 220

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp

đỉnh đối xứng với qua đường thẳng OA, hay có5 tam giác cân đỉnh A Như với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân

Sốtam giác có đỉnh đỉnh đa giác 12

3  tam giác

Tuy nhiên, tam giác cân xác định có cảtam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm ba lần

Suy sốtam giác cân tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giácđã cho là: 5.12 3.4 48 

Vậy xác suất để chọn tam giác cân tam giác từ tập M là: 48 12

220 55

P 

Câu 108 Chọn B

Sốtam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là:

21 1330

C  tam giác Số phần tử tập M n M 1330

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có 10 cặp

đỉnh đối xứng với qua đường thẳng OA, hay có10 tam giác cân đỉnh A Như với đỉnh đa giác có 10 tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân

Sốtam giác có đỉnh đỉnh đa giác 21

3  tam giác

Tuy nhiên, tam giác cân xác định có cảtam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm ba lần

Suy sốtam giác cân tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 10.21 3.7 189 

Vậy xác suất để chọn tam giác cân tam giác từ tập M là: 189 27

1330 190

P 

-58-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Không gian mẫu  

24

n  C

Gọi A biến cố“4 đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng” Gọi O tâm của đa giác

Vì đa giác sốđỉnh chẵn, nên có 12 cặp điểm đối xứng qua O, tạo thành đường kính, lấy đường kính chúng đường chéo hình chữ nhật Do số hình chữ nhật

12

C Suy  

12

n A C Vậy       12 24 161

n A C

P A

n C

  

 Câu 110 Chọn B

Đầu tiên ta xét loại tam giác tạo thành Số tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh  H là:

22 1540

C  tam giác bao gồm loại sau: Loại tam giác có cạnh cạnh  H , loại tam giác có cạnh cạnh  H , tam giác khơng có cạnh cạnh  H , cụ thểta làm sau:

Cứ đỉnh  H với đỉnh liên tiếp (kề bên) tạo thành tam giác có cạnh cạnh  H

.Các tam giác trùng Mà  H có 22 đỉnh nên có 22 tam giác có cạnh cạnh  H

Xét cạnh  H , bỏ đỉnh liên tiếp bên cạnh đó,nối đỉnh cịn lại  H với

đầu mút

cạnh xét ta có tam giác có cạnh cạnh  H ,nên ta có 22 18 396  tam giác thỏa ycbt

Do số tam giác khơng có cạnh cạnh  H 154022 396 1122 tam giác Ta có số phần tử không gian mẫu  

1540

n  C

Gọi A biến cố “chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác  H tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác  H ” suy   1

396 1122

n A C C Vậy    

  1 396 1122 21540 748 1995

n A C C

P A

n C

  

 Câu 111 Chọn C

+) Sốtam giác tạo từ3 đỉnh 12 đỉnh: 12

C

+) Sốtam giác có đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: cứ3 đỉnh liên tiếp cho tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác

+) Sốtam giác có đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: cạnh, trừđi đỉnh kể, đỉnh, với đỉnh đầu mút cạnh cho tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 8.12 tam giác

Vậy sốtam giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh cạnh đa giác

12 12 8.12

C  

Vậy kết

-59-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Câu 112 Chọn C

Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 20 đỉnh nội tiếp đường trịn tâm O có

đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Suy số hình chữ nhật nói số cặp đường chéo

10

C Vậy xác suất cần tính

2 10 20 C P C 323  

Câu 113 Chọn B

Gọi đa giác A A A1 2 20

Số phần từ không gian mẫu  

20 1140

n  C 

Gọi A biến cố chọn tam giác có ba cạnh màu, ba cạnh màu đỏ Gọi B biến cố chọn tam giác có cạnh màu xanh (cạnh đa giác)

Giả sử xét cạnh màu xanh A A1 2, ta có 16cách chọn đỉnh Ai AiA A4; ; ;5 A19 Nên số phần tử B n B 20.16 320.

Gọi C biến cố chọn tam giác có hai cạnh màu xanh, tam giác có hai cạnh hai cạnh liên tiếp đa giác, nên n C 20

Ta có n A       n B n C  n

Suy số phần tử biến cố A n A       n  n B n C 1140 320 20 800  

Vậy xác suất biến cố A       5740 n A P A

n

 



Câu 114 Chọn A

Sốđường chéo đa giác n cạnh n

C n điều kiện n2,n có sốđường chéo 135 Ta  

 

2 27 ! 27

2! !

n n C n n     

 1

27 n n n        

2 2 54 3 54 0

6

n N

n n n n n

n L                Xét khai triển   18 17 16

0 18

2

x  x a x a x a x   a Ta có:

15

a x hệ sốđứng trước x3

có số hạng tổng quát :

   

9

9 .3 k i i k i k

k

C C  x   x    2  

9 .3 .3

i i

k i k k i i k i k k i

k k

C C   x   C C   x  Số hạng chứa

x khai triển ứng với ,i k thỏa mãn hệ: , i k i k i k i i k N

k                       

Hệ số số hạng chứa

x 3 6 3 7 2

9 .3 23 9.C 32 804816

C C  C    

Câu 115 Chọn A

Ta có: Số phần tử không gian mẫu 10

-60-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Đểba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác có bốn cách chọn sau:

3,5,7 3;7;9;5,7,93,5,9

Gọi A biến cố chọn ba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác Vậy xác suất đểba đoạn xếp thành hình tam giác là:  

10 P A  Câu 116 Chọn A

Ta có: Số cách chọn ba điểm từ 2n điểm phân biệt 2n

C

Trong 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng nên có n

C mặt phảng trùng

Vậy số mặt phẳng tạo từ 2n điểm phân biệt 3 2n n

C C 

Ta có phương trình: 23      

2 2 2

1 505 505

1.2.3 1.2.3 3024

n n

n n n n n n

C C

n n n

   

     

      

VẬY n8 Câu 117 Chọn A

Ta có: Số cách chọn ba điểm từ 2n điểm phân biệt 2n

C

Trong 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng nên có n

C mặt phảng trùng

Vậy số mặt phẳng tạo từ 2n điểm phân biệt 3 2n n

C C  Câu 118 Chọn A có 2018 cách

Đánh thứ tự từ12017 kể từđiểm cạnh A theo chiều kim đồng hồ Gọi vị trí ,B C có thứ tự 1,

a a   1 a1 a2 2017   1 a1 a2 1121 2017 1121 

1

1 a a 1121 896

      Số cách chọn ,B Clà

896

C Vậy có 896

2018.C tam giác

DẠẠNNGG 44 :: CCÁÁCC BBÀÀII TTOỐÁNN ĐĐẾẾM – TÍNH XÁC SUẤẤT L

LIIÊÊNN QQUUAANN ĐĐẾẾN XẾẾP CHẦẦ , VỊỊ TRÍ Câu 119 Chọn A

Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 2n3 học sinh vào 2n3 chỗ ngồi

đánh số suy n    2n3 !

Gọi A biến cố “số ghế Bình trung bình cộng số ghế Anh số ghế Chi” ta có

- Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n2 cách có 1.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n1 cách có 2.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có 3.2! cách xếp An Bình …………

-61-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Suy 2     n.2!n1 2! n1 2!2 cách xếp để số ghế Bình trung bình cộng số ghế An Chi

Với cách xếp có  2 !n cách xếp học sinh lại Vậy ta có n A 2n1 !  2 n

Theo giả thiết ta có phương trình    

 

2

2 ! 12 ! 575

n n n      11 48 479 539 49

48 n n n n L             Suy số học sinh 2.11 25  Câu 120 Chọn B

Số phần tử không gian mẫu n  25!

Gọi A biến cố “số ghế Bình trung bình cộng số ghế Anh số ghế Chi” ta có

- Xếp Bình ghế số ghế thứ 24 cách có 1.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 23 cách có 2.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 22 cách có 3.2! cách xếp An Bình

- Xếp Bình ghế thứ 12 ghế thứ 14 cách có 11.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế thứ13 có 12.2! cách xếp An Bình

Suy 2 11 2! 12.2! 288        cách xếp để số ghế Bình trung bình cộng số ghế An Chi

Với cách xếp có 22! cách xếp học sinh cịn lại Vậy ta có n A 288.22!

Khi   288.22! 12

25! 575

P A  

Câu 121 Chọn C

Số phần tử không gian mẫu n  10!

Gọi A biến cố thỏa yêu cầu toán

- Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách

(Sau xếp có vị trí trống (4 ởhai đầu), chẳng hạn 1C2C3C4C5C6

- Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương

tự xếp từ phía bên phải (23456) cũng có 5! Cách xếp

- Nếu xếp học lớp A B vào vị trí 2345 trong có vị trí xếp học sinh có 4.2!.2.3

A cách

Suy    

5! 2.5! 2!.2.3 63360

n A  A 

Vậy   63360 11 10! 630

P A  

Vậy ( ) 2.5!.5! 10! 126

P A  

-62-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI - Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách

(Sau xếp có vị trí trống (4 ởhai đầu), chẳng hạn 1C2C3C4C5C6

- Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương

tự xếp từ phía bên phải (23456) cũng có 5! Cách xếp

- Nếu xếp học lớp A B vào vị trí 2345 trong có vị trí xếp học sinh có 4.2!.2.3

A cách

Suy    

5! 2.5! 2!.2.3 63360

n A  A 

Câu 123 Chọn D

Xếp 30 truyện khác có số cách 30!

Để xếp 1, 3, 5, 7cạnh nhau, coi chúng nhóm X  có 4! nhóm X khác

Xếp nhóm X với 26 cịn lại: có 27!cách xếp

Do số cách xếp cho 1, 3, 5, cạnh 4!.27!

Tóm lại có 30! 4!.27! cách xếp thỏa mãn Câu 124 Chọn D

Số cách chọn nam đứng ởđầu cuối là: A72 Lúc lại nam nữ, đểđưa 10 người vào hàng trước tiên cho 5nam đứng riêng thành hàng ngang, sốcách đứng

5! Sau xếp 5nữ vào khoảng trống đầu, cuối hàng nam này, khoảng trống xếp 1nữ không xếp, có tất khoảng trống nên số cách xếp vào A65 Số cách xếp 10 người thành hàng ngang mà nữ khơng đứng cạnh là: 5!.A65

Đưa 10 người vào nam đầu cuối chọn, số cách xếp là: A72.5!.A65 3628800 Câu 125 Chọn C

Coi bạn nam nhóm X  có 4! nhóm X khác Coi bạn nữ nhóm Y  có 2! nhóm Y khác

Khi đó, có ghế coi có vị trí

Số cách xếp để hai nhóm X Y có hai ghế 3.2! Vậy số cách xếp theo yêu cầu là: 2!.4!.3.2! 288 Câu 126 Chọn C

Số cách xếp 2n3 bạn vào dãy ghế gồm 2n3 ghế đánh số từ đến 2n3 2n3 !

Số ghế n2

TH1: Hùng ngồi ghế từ đến n1 có số cách xếp là: 2    n   !n TH2: Hùng ngồi ghế từ n3 đến 2n2 có số cách xếp là: 2    n   !n TH3: Hùng ngồi có số cách xếp 2n1 !  n

Ta có      

 

2 2 ! !

2 ! 195

n n n n

n                

2 2 ! ! 7

2 ! 195

n n

n n n

n



 

 

-63-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI 2 21 3 1957

n

n n



 

 

Từđây tìm n6  nhóm bạn có 2.6 15  người Câu 127 Chọn D

Số cách chia 16 đội vào bảng, bảng đội 4 4 16 12

C C C C tức   4 4

16 12 63063000

n  C C C C 

Gọi A biến cố “bảng A có đội bóng khối 10 đội bóng khối 11” Ta có n A C C C C C52 52 124 84 44 3465000

Suy    

  630630003465000 915 n A

P A n

  



Câu 128 Chọn A

Số phần tử không gian mẫu n  9.103 9000

Gọi A biến cố “sốđược chọn có chữ số lặp lại 3lần”

TH1: Chữ số lặp lại chữ số 0,khi n A 1 9 TH2: Chữ số lặp lại khác

Giả sử chữ số lặp lại

+ Nếu chữ số cịn lại chữ số có số lập từ1,1,1,0 + Nếu chữ số lại khác có 4.8 32 số thỏa mãn

Vậy trường hợp chữ số lặp lại lần có 35 số thỏa mãn

Tương tựnhư với trường hợp chữ số lặp lại 2,3, 4, Vậy có n A 2 9.35 315 số

     1 315 324

n A n A n A    Suy   324

9000

P A  Câu 129 Chọn B

Số phần tử không gian mẫu n Ω 11!

Gọi A: “khơng có sách môn đặt cạnh nhau”

Bước 1: Xếp Anh trước: có 5! cách, tạo khoảng trống Bước 2: Xếp sách lại  chia TH:

TH1: sách lại chèn vào 6khoảng trống, khoảng trống quyển: có 6! 720 cách

TH2: chèn sách cịn lại vào 4khoảng trốngở giữa, có 2khoảng trống chứa

sách: có    

4 3.3.2! 2.2.2! 2! 1728

C  cách

TH3: chèn sách lại vào 5khoảng trống liền nhau, có 1khoảng trống chứa

sách: có  

2 C 3.3.2! 4!  4320 cách

  5! 720 1728 4320  812160 n A

     cách

  812160 47

11! 2310

P A  

Câu 130 Chọn A

-64-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số phần tử không gian mẫu n( ) 8! 

Gọi E biến cố khơng có học sinh lớp đứng cạnh Ta có cách xếp sau:C-C-C-C(Trong dấu – vị trí trống)

Số cách xếp học sinh lớp 12C 4! (cách)Để xếp học sinh lớp 12A lớp 12B vào vị trí cịn lại hàng ta có hai trường hợp

TH1: Có học sinh phía ngồi ( cuối phía bên phải cuối phía bên trái)

B C B C A C B C

Số cách xếp cho học sinh lớpAvà B 4!.2

TH2: Có cặp gồm học sinh lớpAvà học sinh lớp Bở vị trí trống bên hàng

C AB C A C B C

Số cách xếp cho học sinh trường Avà B

1 .2!.2!.31

C C Số phần tử thuận lợi cho biến cố Elà   1

1

( ) 4!(2.4! 2!.2!.3)

n E C C

Xác suất biến cố Elà  



( )

( )

( ) 20

n E P E

n

Câu 131 Chọn u1 có 2018 cách chọn, chọn u3 có 1008 cách chọn số chẵn lẻ với u1

Khi

2 u u

u   có cách chọn

Còn lại 2015còn lại ta chọn số xếp có thứ tựđể hồn tất việc chọn Vì số kết

2015

2018.1007.A

Câu 132 Chọn u1 3, u3 12 u u u4, ,5 6 sắp xếp tùy ý 15 số cịn lại nên có

15 2730

A  cách

Trong trường hợp

2 u u

u   có cách chọn Vì số kết 8190 5460 2730 16380  

Câu 133 Chọn D

Số phần tử không gian mẫu n  6! 720

Gọi A biến cố hai sách môn không xếp cạnh Ta tính n A 

Sách hóa nhiều nên ta trước đểtránh trường hợp chúng cạnh nhau, ta xếp sau

TH :

H H H

Có ! cách xếp sách hóa, thỏa mái xếp sách cịn lại nên có ! cách xếp sách cịn lại Vậy trường hợp có 6.636cách

TH2 :

H H H

Có ! cách xếp sách hóa, thỏa mái xếp sách cịn lại nên có ! cách xếp sách cịn lại Vậy trường hợp có 6.636cách

TH3 :

H H Đ

Có ! cách xếp sách hóa, có 2.2 cách xếp sách toán lý vào hai ô trống liền kề ô lại xếp sách vật lý cịn lại Vậy trường hợp có 5.2.224cách

TH4 :

-65-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Có ! cách xếp sách hóa, có 2.2 cách xếp sách tốn lý vào hai trống liền kề ô lại xếp sách vật lý lại Vậy trường hợp có 5.2.224cách

Vậy tổng cộng n A 36.2 24.2 120 

Do    

  120720 16

n A P A

n

  



Câu 134 Chọn D

Xếp sách gần có khơng gian mẫu n  6! 720 Xếp hai sách vật lý gần có cách chọn

Xếp ba sách hóa học gần có 3! 6 cách chọn

Khi ta phải xếp sách có thứ tự 3! 6 Vậy n A 2.6.6 72

Do    

  72072 101

n A P A

n

  



Câu 135 Chọn B

Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí: ( ) 10!n   cách

Gọi A biến cố: “Trong 10 học sinh khơng có hai học sinh lớp đứng cạnh nhau” Xếp học sinh lớp 12C vào vị trí có 5! cách

Ứng với cách xếp học sinh 12C có khoảng trống gồm vịtrí đứng vị trí

hai đầu để xếp học sinh lại

C1 C2 C3 C4 C5

Trường hợp 1: xếp học sinh lớp 12B vào vị trí trống đứng (khơng xếp vào hai đầu), có

3

A cách

Ứng với cách xếp chọn học sinh lớp 12A xếp vào vị trí trống thứ có cách Học sinh lớp 12A cịn lại có vịtrí để xếp, có cách

Theo quy tắc nhân, ta có

5!A  2 cách

Trường hợp 2: Xếp học sinh lớp 12B vào vị trí trống xếp học sinh cịn lại

vào đầu, có

C A  cách

Ứng với cách xếp cịn trống vịtrí đứng giữa, xếp học sinh lớp 12 vào vịtrí đó, có

cách

Theo quy tắc nhân, ta có

5!C A 2   cách

Do đó, số cách xếp khơng có học sinh lớp ngồi gần là:

3

4

( ) 5!A 5!C A 63360 n A         cách Vậy ( ) ( ) 63360 11

( ) 10! 630 n A

P A n

  



Câu 136 Chọn D

Ta có: Xếp học sinh vào hàng ngang có ( ) 9!n   cách

Gọi A biến cố: “Các học sinh lớp không đứng cạnh nhau” Xếp học sinh lớp 11A đứng vào hàng ngang có 5! Cách

Mỗi cách xếp học sinh lớp 11A có 4! Cách xếp học sinh lớp 11B đứng xen kẻ học sinh lớp 11A

-66-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Do đó: ( ) ( ) 5! 4! ( ) 9! 126 n A P A n     

Câu 137 Chọn A

Ta có: Xếp 11 học sinh ngồi vào ghế dài có ( ) 11!n   cách Gọi A biến cố: “Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau” Xếp học sinh lớp nam ngồi vào ghế dài có 7! cách

Mỗi cách xếp học sinh nam có chỗ trống để xếp học sinh nữ, có

A cách xếp nữ Suy

8

( ) 7!A

n A  cách

Do đó:

4 7!A

( )

( )

( ) 11! 33

n A P A

n

  



Câu 138 Chọn B

Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí: ( ) 10!n   cách

Gọi A biến cố: “Trong 10 học sinh khơng có hai học sinh lớp đứng cạnh nhau” Xếp học sinh lớp 12C vào vị trí có 5! cách

Ứng với cách xếp học sinh 11C có khoảng trống gồm vịtrí đứng vị trí

hai đầu để xếp học sinh cịn lại

C1 C2 C3 C4 C5

Trường hợp 1: xếp học sinh lớp 11B vào vị trí trống đứng (khơng xếp vào hai đầu), có

3

A cách

Ứng với cách xếp chọn học sinh lớp 11A xếp vào vị trí trống thứ có cách Học sinh lớp 12A cịn lại có vịtrí để xếp, có cách

Theo quy tắc nhân, ta có

5!A  2 cách

Trường hợp 2: Xếp học sinh lớp 11B vào vị trí trống xếp học sinh cịn lại

vào đầu, có

C A  cách

Ứng với cách xếp cịn trống vịtrí đứng giữa, xếp học sinh lớp 12 vào vịtrí đó, có

cách

Theo quy tắc nhân, ta có

5!C A 2   cách

Do đó, số cách xếp khơng có học sinh lớp ngồi gần là:

3

4

( ) 5!A 5!C A 63360 n A         cách Vậy ( ) ( ) 63360 11

( ) 10! 630 n A

P A n

  



Câu 139 Chọn B

Gọi A biến cố “khơng có học sinh giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hồng Lan

khơng đứng cạnh xếp 10 học sinh thành hàng ngang” Số phần tử không gian mẫu: ( ) 10!n  

Tính ( )n A :

- Xếp học sinh nam, có 5! cách xếp Sau xếp học sinh nam, để khơng có học sinh giới đứng cạnh nhau, ta xếp học sinh nữ xen vị trí học sinh nam Ta có 2.5! cách xếp Do ta có 2.(5!)2 cách xếp nam nữđứng xen kẽ

- Bây ta đếm số cách xếp nam nữ đứng xen kẽ Hồng Lan đứng cạnh

-67-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI học sinh nữ vào vị trí 1,2,3,4,5,6 cho nam nữ xen kẽnhau Hoàng Lan đứng cạnh nhau:

1 A B C D E

Nếu Hồng xếp vị trí A, Lan vị trí 1, bạn nữ cịn lại xếp vị trí (2,3,4,5); Lan vị

trí 2, bạn nữ cịn lại xếp vị trí (3,4,5,6) (1,3,4,5) Trường hợp có 3.4!.4! cách xếp

Nếu Hồng xếp vị trí E, Lan vị trí 1, bạn nữ cịn lại xếp vị trí (2,3,4,5); Lan vị

trí 2, bạn nữ cịn lại xếp vị trí (3,4,5,6) (1,3,4,5) Trường hợp có 3.4!.4! cách xếp

Nếu Hồng xếp vị trí B, Lan vị trí 2, bạn nữ cịn lại xếp vị trí (1,3,4,5) (3,4,5,6); Lan vị trí 3, bạn nữ cịn lại xếp vị trí (2,4,5,6) (1,2,4,5) Trường hợp có 4.4!.4! cách xếp Tương tự Hồng vị trí C, D có 4.4!.4! cách xếp

Do có 2.3.4!.4! 3.4.4! 18.4!.4!  cách xếp cho nam nữ xen kẽ Hoàng Lan

đứng cạnh

Từđó ta có n A( ) 2.(5!) 218.4!.4!

Xác suất cần tìm: ( ) ( ) ( ) 1575 n A

P A n

 



Câu 140 Chọn B

Gọi X biến cố "chia 20 bạn thành nhóm A, B, C, D nhóm bạn cho bạn nữ

thuộc nhóm"

Ta có khơng gian mẫu 5 5 20 15 10

( )

n  C C C C Ta có 5

15 10

C C C cách chia bạn nam vào nhóm cịn lại Do vai trị nhóm nhau, có 5

15 10

4C C C cách chia bạn vào nhóm A; B; C; D

đó bạn nữ thuộc nhóm Xác suất cần tìm   5

20 3876 P X C  

Câu 141 Chọn A

Số phần tử không gian mẫu n  8!

Gọi E: “Không có hai học sinh lớp đứng cạnh nhau”

Khi đó,

Xếp học sinh lớp 12C có 4! (cách xếp) Khi đó, học sinh lớp 12C có khoảng trống

C C C C

TH1: Có hai học sinh lớp 12C đứng ởhai đầu, ta có 3! cách xếp cho học sinh lớp 12B cách xếp cho học sinh lớp 12A Trong trường hợp có 4!.3!.6 (cách xếp)

TH2: Có sinh lớp 12C đứng đầu cuối hàng, ta có 2.4! cách xếp cho học sinh lớp 12B học sinh lớp 12A Trong trường hợp có 4!.2.4! (cách xếp)

Suy n E 4!.3!.6 4!.2.4!

Xác suất biến cố E       201 n E P E

n

 



Câu 142 Chọn D

Số phần tử S

-68-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Vì sốđược chọn có chữ số nên phải có hai chữ số chẵn, khơng có hai chữ số

chẵn đứng cạnh nên sốđược chọn có tối đa chữ số chẵn

TH1: Sốđược chọn có chữ số chẵn, gọi số cần tìm abcdef Xếp số lẻtrước ta có 4! cách

Xếp số chẵn vào khe trống số lẻ có 2 5 4

C A  C cách

Trong trường hợp có  2 1 5

4! C A 4.C 4416 (số)

TH2: Sốđược chọn có chữ số chẵn, gọi số cần tìm abcdef Xếp chữ số lẻtrước ta có

4

A cách

Xếp chữ số chẵn vào khe trống số lẻ có 3 2

C A C A cách

Trong trường hợp có  3 2

4 4896

A C A C A  (số)

Vậy có tất 9312 số có chữ số cho khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh Xác suất cần tìm 9312 97

53760 560

Câu 143 Chọn D

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào bàn trịn có 9! (cách xếp) Suy n  9! Gọi A: “khơng có học sinh lớp đứng cạnh nhau”

Xếp học sinh lớp 12C có 4! (cách xếp)

Với cách xếp học sinh lớp Cnói hai học sinh có khoảng trống, ta

có 5 khoảng trống

Cần phải xếp học sinh lớp A B cho khơng có hai học sinh lớp đứng cạnh nên có 5! cách xếp

Vậy n A 4!.5!

Vậy xác suất cần tìm       n A P A n   4!.5! 9! 126  

Câu 144 Chọn D

Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C A, B, C Số phần tử không gian mẫu n  8!

Gọi Elà biến cố học sinh lớp 12C khơng đứng cạnh Ta có cách xếp sau:

C-C-C-C

(Trong dấu – vị trí trống) Số cách xếp học sinh lớp 12C 4! (cách)

Để xếp học sinh lớp 12A 12B vào vị trí cịn lại ta có trường hợp

TH1. Có học sinh phía ngồi (Cuối bên phải bên trái) là: Số cách xếp cho học sinh lớp 12A, 12B là: 4!.2 (cách)

B C B C A C B C

TH2. Có cặp học sinh gồm HS 12A HS 12B vị trí trống bên hàng

C AB C B C B C

Số cách xếp cho học sinh lớp 12A, 12B là: 1

1 .2!.2!.33

C C (cách) lẻ lẻ lẻ lẻ

-69-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

TH3. Có cặp học sinh lớp 12B vị trí trống

C A C BB C B C

Số cách xếp cho học sinh lớp 12A, 12B là:

3.2!.2!.3

C (cách)

Số phần tử thuận lợi biến cố E    1  3

4! 2.4! 2!.2!.3 2!.2!.3

n E  C C C

Xác suất biến cố là:       141 n E P E

n

 



Câu 145 Chọn B

Số phần tử không gian mẫu là: n  9!

Xếp nhóm học sinh 12A cạnh có 2! (cách) Xếp nhóm học sinh 12C cạnh có 4! (cách)

Xếp hai nhóm vào hàng có (cách) (Nhóm12A-Nhóm 12C Nhóm 12C-Nhóm 12A)

Sau đưa học sinh lớp 12B vào hàng để hai nhóm có học sinh lớp B, ta chia

hai trường hợp sau:

TH1 Giữa hai nhóm có học sinh lớp 12B, số cách xếp 3! (cách) TH2 Giữa hai nhóm có học sinh lớp 12B, số cách xếp

3.2!.2

C (cách) Số kết thuận lợi biến cố    

3

2!.4!.2 3! 2!.2

n E  C

Xác suất là:       2101 n E

P E n

 



Câu 146 Chọn A

Cách

Xếp học sinh lớp A có (cách)

Xếp học sinh thứ lớp B có (cách) Xếp học sinh thứ hai lớp B có (cách) Xếp học sinh thứ ba lớp B có (cách) Xếp học sinh thứ lớp C có (cách) Xếp học sinh thứ hai lớp C có (cách) Xếp học sinh thứ ba lớp C có (cách) Xếp học sinh thứtư lớp C có (cách) Vậy có tất 2.2.3.4.6.7.8.9 145152 (cách)

Cách

Xếp học sinh lớp A B trước, để học sinh lớp B không xen vào học sinh lớp A ta tạm

xem hai học sinh lớp A liền Số cách xếp 2!.4! (cách)

Đưa học sinh theo thứ tựđã xếp vào ghế có:

C (cách) Cón lại vị trí xếp học sinh lớp C vào có 4! (cách)

Vậy số cách xếp là:

2!.4!.C 4! 145152 (cách) Câu 147 Chọn A

Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần ượt A, B, C Số phần tử không gian mẫu n  10!

Gọi E biến cố khơng có học sinh trường đứng cạnh Ta có cahs xếp sau:

C - C - C - C - C

(trong vị trí – vị trí trống)

-70-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Để xếp học sinh lớp 12A lớp 12B vào vị trí cịn lại hàng ta có bốn trường hợp TH1: Có học sinh phái ngồi (cuối phái bên phải cưới phái bên trái)

A C B C A C B C B C

Số cách xếp cho học sinh lớp 12A 12B là:5!.2

TH2: Có cặp gồm học sinh lơp-s 12A học sinh 12B vị trí trống bên hàng

C AB C A C B C B C

Số cách xếp cho học sinh lớp 12A 12B là: 1

2 .2!.3!.43

C C

TH3: Có cặp gồm học sinh 12A vị trí tróng bên hàng

C AA C B C B C B C

Số cách xếp cho học sinh lớp 12A 12B là: 3!.4

TH4: Có cặp gồm lớp 12B vị trí trống bên hàng

C BB C A C A C B C

Số cách xếp cho học sinh lớp 12A 12B là: 3.3!.4

C

Số phần tử thuận lợi cho biến cố A    1  3

5! 2.5! 2!.3!.4 3!.4

n A  C C C

Xác suất biến cố A       63011 n A

P A n

 



Câu 148 Chọn B

Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần ượt A, B, C Số phần tử không gian mẫu n  9!

Gọi E biến cố khơng có học sinh lớp đứng cạnh Ta có bước xếp sau:

- Xếp học sinh lớp 12C ngồi vào bàn cho học sinh ghế trống Số cách xếp là: 4!

- Xếp học sinh lại vào bàn Số cách xếp 5!

Số phần tử thuận lợi cho biến cố A       1261 n A

P A n

 



Câu 149 Chọn viên bi cộng số viên bi thu số lẻ”

Trong 11 viên bi có viên bi mang số lẻđó 1;3;5;7;9;11 viên bi mang số chẵn 2;4;6;8;10

* Trường hợp 1: 1 viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp

6

C C cách

* Trường hợp 2: 3 viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp 3

6

C C cách

* Trường hợp 3: 5 viên bi mang số lẻ viên bi mang số chẵn Số cách chọn trường hợp

6

C C cách Suy   3

6 6 200 30 236

n A C C C C C C    

2

3! .1 540 A C C

   

Bước 3: Tính xác suất   236 118 462 231

A

P A    



Câu 150 Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn 15 445

-71-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi Alà biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Sốtrường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

*Trường hợp 1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là:

C C *Trường hợp 2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là:

8

C C *Trường hợp 3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là:

8

C Sốtrường hợp thuận lợi cho biến cố A   2

8 8 420

C C C C C

n A    

Vậy  

1 2 8

3 15

12

13

C C C C C

P A

C

 

 

Câu 151 Chọn học sinh mà khối 12, có 11

C cách

Gọi A biến cố “ học sinh chọn, khối có học sinh” Sốtrường hợp thuận lợi cho A    8 8

18 13 12 11 41811

n A C  C C C  Vậy xác suất cần tìm    

  18 41811 1267 1326 n A P A n C    

Câu 152 Chọn D

Số cách chọn học sinh mà khơng có điều kiện 50

C cách 50

C

  

Ta loại trừ trường hợp có cặp anh em sinh đôi Đầu tiên ta chọn cặp sinh đơi có cách chọn Sau chọn học sinh cịn lại từ 48học sinh, có 48 cách chọn

Vậy số cách chọn em học sinh thỏa yêu cầu đề là:

50 4.48 19408

C  

Vậy xác suất cần tìm 3

50 19408 1213 1225 A P C     

Câu 153 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm hai học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 12Bvà năm học sinh lớp 12Ctrên bàn tròn Xác suất để học sinh lớp ln ngồi cạnh

A 11

630 B

126 C

28 D 14

Lời giải

Chọn B

Xếp ngẫu nhiên 10 học sinhvào bàn tròn Số phần tử không gian mẫu là: ( )n 9! Gọi E biến cố: học sinh lớp ln ngồi cạnh Ta có bước xếp

sau

+) Xếp học sinh lớp 12C cạnh có: 5! cách

+) Xếp học sinh lớp 12B cạnh cạnh học sinh lớp 12C có: 3!.2 cách +)Xếp học sinh lớp 12 vào hai vị trí cịn lại có: cách

( ) 5!.3!.2.2 n E

  Vậy xác suất biến cố Elà: P E( )n En( )( ) 5!.3!.2.29! 1261 Câu 154 Chọn B

Xếp ngẫu nhiên 11 học sinh vào bàn trịn Số phần tử khơng gian mẫu là: ( ) 10!n  Gọi E biến cố: học sinh lớp ln ngồi cạnh Ta có bước xếp

sau

+) Xếp học sinh lớp 12C cạnh có: 5! cách

-72-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI ( ) 5!.3!.2.3!

n E

  Vậy xác suất biến cố Elà: P E( )n En( )( ) 5!.3!.2.3!10!  4201 Câu 155 Chọn B

Xếp ngẫu nhiên học sinh vào bàn tròn Số phần tử không gian mẫu là: ( )n  5! Gọi E biến cố: Một học sinh lớp 12Cngồi giữa hai học sinh lớp 12B Ta có bước xếp sau

+) Lấy học sinh lớp 12C làm chuẩn xếp hai học sinh lớp 12B ngồi hai bên học sinh lớp 12C : 2! cách

+)Xếp học sinh lớp 12 vào ba vị trí cịn lại có: 3! cách ( ) 2!.3! 12

n E

   Vậy xác suất biến cố Elà: P E( )n En( )( ) 125!101 Câu 156 Chọn B

Xếp ngẫu nhiên học sinh vào bàn trịn Số phần tử khơng gian mẫu là: ( )n  5! Gọi E biến cố: Một học sinh lớp 12Cngồi giữa 12Cba học sinh lớp 12 Ta có bước xếp sau

+) Lấy học sinh lớp 12C làm chuẩn chọn hai học sinh lớp 12 xếp ngồi hai bên học sinh lớp 12C:

3.2!

C cách

+)Xếp học sinh cịn lại vào ba vị trí cịn lại có: 3! cách

2

( ) 2!.3! 36

n E C

   Vậy xác suất biến cố Elà: P E( )n En( )( ) 365!103 Câu 157 Chọn C

Xếp ngẫu nhiên học sinh vào bàn trịn Số phần tử khơng gian mẫu là: ( )n  9! Gọi E biến cố: hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớp

Xét trường hợp sau :

TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh có 2!.8! cách TH2: Giữa hai học sinh lớp A có học sinh lớp C có

4

2! .7!A cách TH3: Giữa hai học sinh lớp A có hai học sinh lớp C có

4

2! .6!A cách TH4: Giữa hai học sinh lớp A có ba học sinh lớp C có

4

2! .5!A cách TH5: Giữa hai học sinh lớp A có bốn học sinh lớp C có

4

2! .4!A cách Vậy theo quy tắc cộng có  

4 4

2! 8!A7!A 6!A 5!A 4! 145152 cách ( ) 145152

n E

  Vậy xác suất biến cố Elà: P E( )n En( )( ) 1451529! 52

Câu 158 Chọn khe để xếp học sinh lớp 12Bvào học sinh lớp 12Asẽ tạo thành nhóm số cách chọn xếp hoc sinh 12B

7.3!

C

Số phần tử thuận lợi cho biến cố E   8! .3!

n E  C Xác suất    

  337

n E P E

n 

 

Câu 159 Chọn khe trống có cách chọn sau chọn hai khe trống để xếp học sinh lại lớp 12A có

6

A có 2

4.7

-73-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số phần tử thuận lợi cho biến cố E    2

7

8! 4.2 .3!

n E  C A A

Xác suất       3599

n E P E

n 

 

Câu 160 Chọn B

- Không gian mẫu:

Xếp 60 thùng hàng thành hàng ngang, tạo 59 khoảng trống( khơng tính phía đầu) dùng

5 vách ngăn đưa vào 59 khoảng trống đó, Cửa hàng nhận thùng hàng

Ta có   59

 

n C

- Phân phối để Cửa hàng nhận thùng hàng:

Trước tiên phân phối cho cửa hàng thùng hàng; 30 thùng, lại 30 thùng Xếp 30 thùng hàng thành hàng ngang, tạo 29 khoảng trống( khơng tính phía

đầu) dùng vách ngăn đưa vào 29 khoảng trống đó, Cửa hàng nhận thùng hàng Vậy số cách chia để cửa hàng nhận thùng là:

  29

 n A C

Xác suất là:  

5 29 59 585 24662

C 

p A C Câu 161 Chọn C

Xếp ngẫu nhiên10 học sinh vào hai dãy ghế có số cách xếp 10! Số phần tử không gian mẫu n  10!

Đánh số hai dãy ghếđối diện nhau, dãy ghếtheo sơ đồ:

1

10

Do học sinh cạnh nhau, đối diện khác lớp nên xảy trường hợp xếp:

TH1: Các học sinh lớpA xếp vào ghế có số chẵn, học sinh lớp B xếp vào ghế có số lẻ nên có 5!.5! cách xếp

TH1: Các học sinh lớpA xếp vào ghế có số lẻ, học sinh lớp B xếp vào ghế có số chẵn nên có 5!.5! cách xếp

Số phần tử thuận lợi cho biến cố học sinh cạnh nhau, đối diện khác lớp 2.5!.5! Xác suất 2.5!.5!

10! 

P

Câu 162 Chọn học sinh lớp B xếp mối học sinh vào khoảng trống nói : có

A cách

Xếp học sinh lại vào hai đầu hàng xếp : có cách

 có

6

6! .2A cách xếp thỏa mãn Vậy xác suất cần tìm

5

6! .2 12! 462

A 

Câu 163 Chọn A

Xếp sách Tiếng anh thành hàng ngang : có 8! cách xếp Khi có khoảng trống sách

Xếp sách Văn học Tốn học vào khoảng trống nói cho khoảng

trống xếp sách : có 7! cách xếp

-74-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Vậy xác suất cần tìm 8!.7!

15! 6435

Câu 164 Chọn khe trống khe trống , sau xếp học sinh trường A vào khe trống Số cách chọn xếp

8.C 2!.2!.34

C

Số phần tử thuận lợi cho biến cố E là:

( ) 7! .C 2!.2!.3 n E  C

Xác suất A ( ) ( ) 28 ( ) 55 n E P E

n

 



Câu 165 Chọn khe trống số khe trống sau xếp học sinh nữ vào khe trống Số cách chọn xếp

6.4!

C

Số kết thuận lợi cho biến cố E   5! 4!

n E  C Xác suất    

  425 n E P E

n

 



Câu 166 Chọn lấy người đàn ơng để xếp cạnh Em bé có

C cách - Xếp người đàn ông vừa chọn cạnh Em bé có 2! cách

- Cuối xếp người đàn bà người đàn ơng cịn lại vào 3vị trí cịn lại có 3! cách - Suy số phần tử biến cố A

3

( ) 2!.3! n A C Vậy xác suất cần tính   ( ) 36

( ) 5! n A P A

n

 



Câu 167 Chọn lấy học sinh nữđể xếp cạnh Cô giáo có

C cách - Xếp học sinh nữ vừa chọn cạnh Cơ giáo có 2! cách

- Cuối xếp 11người lại vào 11 vị trí cịn lại có 11! cách - Suy số kết thuận lợi cho biến cố A

8

( ) 2!.11!

n A C

- Vậy xác suất cần tính   ( ) 14 ( ) 39 n A P A

n

 



Câu 168 Chọn 1cây số17 cây, đánh dấu E Có hai trường hợp xảy ra:

TH1.Cây E khơng bị chặt Khi xét 16 lại Ta chặt số 16 cho khơng có hai kề bị chặt Giả sửđã chặt thỏa yêu cầu nói trên, lúc hàng cịn lại 12 (khơng kể E) Việc phục hồi hàng đặt chặt vào vị trí chặt, số cách làm với sốcách đặt vào 13 vị trí xen kẽ 12 nên số cách chặt ởtrường hợp

13

C

TH2: Cây E bị chặt Khi số lại 16 Ta chặt số 16 cịn lại cho khơng có kề bị chặt (2cây hai phía E khơng chặt) Giả

sửđã chặt thỏa yêu cầu nói trên, lúc hàng lại 13cây Hai hai phía E vừa chặt khơng chặt Xét hàng gồm 11 lại

Lập luận tương tựnhư trường hợp thứ nhất, ta có số cách chặt 12

C Suy số kết thuận lợi cho biến cố A

13 12

( )

n A C C Vậy xác suất   ( ) 11

( ) 28 n A P A

n

 



-75-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Câu 169 Chọn D

Nhận xét: Để di chuyển đến đích, kiến phải có hành trình 8m Vì hai kiến xuất phát thời điểm vận tốc di chuyển nên chúng gặp kiến

đều di chuyển 4m (sau phút) Do chúng gặp giao điểm

đường chéo chạy từgóc bên trái đến góc bên phải A A1 5 Xác suất để sau phút, kiến thứ đến vị trí A1  

0 1 24

C P A  ; Xác suất để sau phút, kiến thứhai đến vị trí A1   40

2 24

C P A  ; Xác suất để hai kiến gặp vị trí A1      

 0 1 256

C

P A P A P A 

Tương tự xác suất để hai kiến gặp vị trí A2, A3, A4, A5 là:     256 C

P A  ;    

2 256 C

P A  ;    

2 4 256 C

P A  ;    

2 4 256 C

P A 

Vậy xác suất để hai kiến gặp là:    1  2  3  4  5

P A P A P A P A P A P A          

2 2 2

0

4 4 4

256

C  C  C  C  C

 35

128  Câu 170 Chọn C

Nhận xét: Để di chuyển đến đích, kiến phải có hành trình 8m Vì hai kiến xuất phát thời điểm vận tốc di chuyển nên chúng gặp kiến

đều di chuyển 4m (sau phút) Do chúng gặp giao điểm

-76-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Xác suất để sau phút, kiến thứ đến vị trí A1  

0 1 24

C P A  ; Xác suất để sau phút, kiến thứhai đến vị trí A1   40

2 24

C P A  ; Xác suất để hai kiến gặp vị trí A1        

2 1 256

C

P A P A P A 

Tương tự xác suất để hai kiến gặp vị trí A2, A3, A4, A5 là:     256 C

P A  ;    

2 256 C

P A  ;    

2 4 256 C

P A  ;    

2 4 256 C

P A 

Xác suất để hai kiến gặp là:

   1  2  3  4  5

P A P A P A P A P A P A          

2 2 2

0

4 4 4

256

C  C  C  C  C

 35

128 

Vậy xác suất để hai kiến không gặp là: P A  1 P A  35 128

  93

128  Câu 171 Chọn C

Số phần tử không gian mẫu   6.2 1728

Sốtrường hợp xảy để lượt tung thu súc sắc mặt chấm xu ngửa Sốtrường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu ngửa 3.1.1.11 3.11

Sốtrường hợp xảy để lượt tung có lượt súc sắc mặt chấm xu ngửa

3.1.11.11 3.11

Xác suất để lượt gieo vậy, có lượt gieo kết súc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt ngửa là:

2

1 3.11 3.11 397 12 1728

P   

Vậy xác suất cần tìm 397 1331 1728 1728

P  

Câu 172 Chọn C

Nhận thấy điểm cần tìm nằm đường thẳng y m , với m0,10 Dễ thấy đường y0;y1; ; y10 có 91;90; ;81 điểm Vậy xác suất cần tìm: 91 90 81 86

11.101 101

P    

Câu 173 Chọn C

Cách ngắn từ A đến B có: 24

C cách

Cách ngắn từ E đến F có: 24

C cách

Cách ngắn từ A đến B qua I có: 14 10

C C cách

Cách ngắn từ E đến F qua I có: 17

C C cách Vậy xác suất cần tìm:

 

3 6 14 10 17

2 24

C C C C P

C

-77-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

PHẦẦN II BÀI TẬẬP TỰỰ LUẬẬN

DẠẠNNGG 11:: CCÁÁCC BBÀÀII TTOOÁÁNN ĐĐẾẾM – TÍNH XÁC SUẤẤT SỐỐ CÁC CHỮỮ SỐỐ THỎỎAA MMÃÃNN ĐĐIIỀỀU KIỆỆNN CCHHOO TTRRƯƯỚỚC Loại 1: Liên quan đến tính chất chia hết

Câu 1: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ngãi lớp 11 năm học 2015 – 2016) Gọi số cần tìm abcdef với a b c d e f, , , , , 1,3, 4,8

Sắp xếp chữ số vào vị trí, có

C cách Sắp xếp chữ số 1; ; vào vị trí cịn lại có 3! Cách Vậy có tất

6.3! 120

C  số

Một số chia hết cho hai chữ số tận tạo thành số chia hết cho Trong số trên, số lấy chia hết cho có tận 48 , 84 Trong trường hợp có

3 4

C  cách xếp chữ số vào vị trí cịn lại, suy có số chia hết cho Gọi A biến cố: “Số lấy chia hết cho ”

Vậy số kết thuận lợi cho A  A Số phần tử không gian mẫu  120 Xác suất biến cố A

120 15

A A

P    



Câu 2: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2010 – 2011)

Trước hết ta tính n A  Với số tự nhiên có chín chữ sốđơi khác chữ sốđầu tiên có cách chọn có

9

A cho vị trí cịn lại Vậy  

9 n A  A

Giả sử B0;1; 2; ;9 ta thấy tổng phần tử B 45 3 nên số có chín chữ sốđơi

một khác chia hết cho sẽđược tạo thành từ chữ số tập B\ 0 ; B\ 3 ;  

\

B ; B\ 9  nên số số loại

9 3.8

A  A Vậy xác suất cần tìm

9 8 3.8 11 27 A A A  

Câu 3: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2016-2017) Ta có 43200 5 2

Mỗi ước nguyên dương số 43200 số có dạng 5i j k, i0;1; 2;3; 4;5;6,

0;1; 2;3

j , k0;1;2

Số ước nguyên dương số i j k; ;  chọn từ tập Suy số cách chọn

i j k; ;  từ tập 7.4.3 84 ( cách) nên số phần tử S 84 Có

84

C cách chọn ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S

Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho số 43200 số có dạng 2 5i j 0

Suy sốcác ước 43200 không chia hết cho tập S 7.4 28

Do có 28

C cách lấy hai phần tử thuộc S mà không chia hết cho Suy xác suất lấy hai số không chia hết cho S

2 28 84 23 C P C  

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi số cần tìm là: n a a a a a a

Số n có tính chất: + Lẻ  a61;3;5;7

+a3 chia hết cho  a3 0;6 * Trường hợp 1: a3 0

6

a có cách

1

a có cách

#Chọn chữ số cịn lại có

A cách

* Trường hợp : a3 6

a có cách

1

a có cách a1 0;a1a a3; 1a6 #Chọn chữ số cịn lại có

5

A cách  có

5

4.5.A số Vậy: 3

5

4.6.A 4.5.A 2640 số

Câu 5: (Đề thi học sinh giỏi Bình Định lớp 12 năm học 2017 – 2018) Số số tự nhiên có chữ số 9999 1000 9000  

Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ sốhàng đơn vị là: abc1

Ta có abc1 10. abc 1 3.abc7.abc1 chia hết cho 3.abc1 chia hết cho Đặt

3 h

abc  habc h  số nguyên h 3 1t

Khi ta được: abcd   7t 100 7  t 999

 

98 997

14, 15, , 142 t t

     suy số cách chọn t cho số abc1 chia hết cho chữ sốhàng đơn vị 129

Vậy xác suất cần tìm là: 129 43 9000 3000

Câu 6: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2011 – 2012) Số số tự nhiên có chữ số 99999 10000 90000  

Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ sốhàng đơn vị là: abcd1

Ta có abcd1 10. abcd 1 3.abcd 7.abcd1 chia hết cho 3.abcd1 chia hết cho Đặt

3 h

abcd  habcd h  số nguyên h 3 1t

Khi ta được: abcd   7t 1000 7  t 9999

 

998 9997

143, 144, , 1428

7 t t

     suy số cách chọn t cho số abcd1 chia hết cho chữ sốhàng đơn vị 1286

Vậy xác suất cần tìm là: 1286 0,015 90000 

Câu 7: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Long lớp 11 năm học 2014 – 2015)

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số cần tìm có dạng abc, chọn a E a , 0 có cách

#Chọn số số lại E\ a xếp vào hai vị trí b c, có

A cách Vậy có

5

5.A 100 số

● Tính số lập chia hết cho Số cần tìm có dạng abc a b c,   3

Xét tập gồm phần tử tập E 0,1, 2,3, 4,5, ta thấy có tập sau thỏa mãn

điều kiện tổng chữ số chia hết cho là:  

1 0,1,

A  , A2 0,1,5, A3 0, 2, 4, A4 0, 4,5, A5 1, 2, 3, A6 1, 3, 5,

 

7 2,3,

A  , A8 3, 4,5

Khi a b c A A A A, ,  1, 2, ,3 4 trường hợp lập số thỏa mãn yêu cầu Khi a b c A A A A, ,  5, 6, 7, 8 trường hợp lập số thỏa mãn yêu cầu Vậy có 4.4 4.6 40  số

Suy số không chia hết cho 100 40 60  số Xác suất cần tính 60 0,6

100

P 

Câu 8: (Đề thi học sinh giỏi Hà Nam lớp 11 năm học 2016 – 2017) Ta có số phần tử khơng gian mẫu n  8!

Giả sử số tự nhiên n a a a a b b b b 4 chia hết cho 1111 a a a a b b b b1, , , , , , ,2 4

thuộc 1;2;3;4;5;6;7;8

Ta có 36 9         9999 1111 n n n       

Đặt x a a a a y b b b b 4;   

10 9999

n x y x x y

     

  9999 9999

n  x y  , 0  x y 2.9999  x y 9999 1 2 3 4

a b a b a b a b

         Có cặp số có tổng        1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5

Có 4! cách chọn cặp số trên, cặp số có hốn vị nên có 4!.24 số chia hết cho 1111

Gọi A: "Số tựnhiên lấy chia hết cho 1111"  

4!.2 n A

 

Xác suất biến cố A   105 P A 

Câu 9: (Đề thi học sinh giỏi Cẩm Xuyên lớp 11 năm học 2016 - 2017) Ta chia 20 số từ đến 20 thành nhóm sau:

3;6;9;11;15;18

A Nhóm chia hết cho , n A 6 1; 4;7;10;13;16;19

B Chia cho dư 1, n B 7 2;5;8;11;14;17;20

C Chia cho dư 2, n C 7 Tổng sốđã cho chia hết cho có trường hợp sau: TH1: số thuộc A

Có 20

-80-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Có

7 35

C  cách chọn TH3: số thuộc C Có

7 35

C  cách chọn

TH4: số thuộc A, số thuộc B, số thuộc C Có 1

6 7 294

C C C  cách chọn

Vậy tất có 20 35 35 294 384    cách chọn số thỏa mãn yêu cầu đề Câu 10: (Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 11 năm học 2017- 2018)

Gọi số có chữ số phân biệt có dạng là: x a a a a 1 2 7 8 Có  

10

n  A A

A biến cố “x chia hết cho ”

Các số a a1, , ,2 a8 lập từ cặp          0;9 , 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 Trường hợp : Trong x khơng có chữ số

 có 8! số

Trường hợp :Trong x có chứa chữ số + #Chọn cặp cịn lại có

4

C

+ Xếp số chọn thành số có chữ số có 8! 7!  có 3 

4 8! 7!

C    8 7

10

8! 4(8! 7!) P A A A      

Câu 11: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2015 – 2016)

Mỗi số tự nhiên thuộc X có dạng x a a a a a10 a4 chẵn Trường hợp a4 0: Số số dạng x có a4 0

6 120

A 

Trường hợp a42; 4;8: Số số dạng trường hợp 5.5.4.3 300

Vậy X có 120 300 420  số

Số phẩn tử không gian mẫu n  420

Gọi A biến cố chọn số x a a a a chia hết cho

x chia hết cho a a3 chia hết cho Do a a3 thuộc tập

04;08;20;24;28;32; 40; 48;52;72;80;84

Nếu a a3 404;08; 20;40;80 số cách chọn x

5.5 100

A 

Nếu a a3 424;28;32; 48;52;72;84 số cách chọn x 4.4.7 112 Suy n A 212

Vậy xác suất biến cố A   212 53 420 105

P A  

Câu 12: (Đề thi học sinh giỏi Hà Nam lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Gọi số có chữ số khác abcdef , mà tổng chữ số 18 nên tập a b c d e f, , , , ,  tập hợp sau: 0;1;2;3; 4;8; 0;1;2;3;5;7; 0;1;2;4;5;6

Ứng với trường hợp có cách chọn chữ số a, chữ số lại có 5! cách chọn

-81-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI A

 biến cố “Số tựnhiên chọn số lẻ”

TH1: a b c d e f, , , , , 0;1; 2;3;4;8  có 2.4.4! 192 (số) TH2: a b c d e f, , , , , 0;1; 2;3;5;7  có 4.4.4! 384 (số) TH3: a b c d e f, , , , , 0;1; 2; 4;5;6 có 2.4.4! 192 (số) Suy n A 768    

  3275 n A P A

n

  



Vậy     43 75 P A  P A 

Câu 13: (Đề thi HSG Bà Rịa Vũng Tàu lớp 12 năm học 2017 – 2018) Ta có 6     1 5  2

Gọi số cần lập abcdef Vì tổng ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn hàng trăm

bằng nên bcd có 3! 18  cách lập

Khi đó, a e f, , 1; 2; ;9 \ ; ; b c d nên vị trí cịn lại có

A 120 cách lập Vậy số số cần lập 18 120 2160  (số)

Câu 14: (Đề thi HSG Cao Bằng lớp 12 năm học 2017 – 2018) Số cách bốc ngẫu nhiên cầu từ 11

11

C 462 (cách)

Trong 11 cầu có quảđánh số chẵn quảđánh số lẻ Để bốc mà tổng số số lẻ phải có số quảđánh số lẻ số lẻ Ta xét trường hợp sau

Trường hợp 1: Bốc có số lẻ, có

C C 6 cách

Trường hợp 2: Bốc có số lẻ, có 3

C C 200 cách

Trường hợp 3: Bốc có số lẻ, có

C C 30 cách Vậy xác suất cần tính 200 30 118

462 231

P   

Câu 15: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa dự bị lớp 12 năm học 2014 – 2015)

Nhận thấy chín cầu cho, có hai ghi số chia hết cho (các ghi số số ), bảy cịn lại ghi số khơng chia hết cho

Giả sử rút x 1 x 9, x Số cách chọn x từ hộp C9x; số phần

tử không gian mẫu n  C9x

Gọi A biến cố “Trong số x lấy ra, có ghi số chia hết cho ” biến cốđối A A: “ Trong số x lấy ra, ghi số chia hết cho ”

Số cách chọn tương ứng với biến cố A   x

n A C Ta có    

  97   

9

72

x x

n A C x x

P A

n C

 

  

 Do    

6 P A  P A 

  9 8 

6 72

x x

P A  

    x217x60 0   5 x 12

Suy 6 x 1 x 9, x

-82-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Loại 2: Số lần xuất chữ số

Câu 16: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 11 năm học 2016-2017)

Bước 1: xét số có chữ số, số có hai chữ số lê khác ba chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần ( kể số có chữ số đứng đầu)

Từ 10 chữ số chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có 5

C C cách chọn Với cách chọn ta có: số số có chữ sốtrong có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần 8!

2!.2!.2! số Vậy với

5

C C cách chọn ta tạo 5

8!

504000 2!.2!.2!

C C  số ( kể số đứng )

Bước 2: xét số thỏa mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu

Từ sốđã cho ( bỏ số ) chọn số khác gồm số lẻ số chẵn ( có số

đứng đầu ) có 2

C C cách chọn

+ Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số lẻ khác nhau, chữ số chẵn khác chữ số chẵn khác có mặt hai lần 7!

2!.2! số + Vậy với 2

5

C C cách chọn ta tạo 2

7!

75600 2!.2!

C C  số ( ởbước 2) Từ bước suy số chữ số thảo đề là: 504000 75600 428400  số

Câu 17: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2013-2014)

Xét phép thử :T "#Chọn ngẫu nhiên số tựnhiên có năm chữ số mà chữ sốđều khác 0" Số phần tử không gian mẫu  95 59049

Gọi A biến cố cần tìm xác suất

Số cách chọn chữ số phân biệt a b c; ; từ chữ số khác

C #Chọn chữ số lại từ

3 chữ sốđó, có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Cả hai chữ số lại ba chữ số a b c; ; : có cách; hốn vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn a a a b c; ; ; ; tạo số tự nhiên n);

3! hoán vị vị trí mà ; ;a a a chiếm chỗ tạo số n, nên TH1 có 3.5! 60

3! số tự nhiên

Trường hợp 2: Một hai chữ số lại ba chữ số a b c; ; chữ số chữ số khác ba chữ sốđó: có cách; hốn vị từ 5! hoán vị chữ số

(chẳng hạn a a b b c, , , , tạo số tự nhiên n); 2! hốn vị vị trí mà b b,

chiếm chỗ tạo số n, nên TH2 có 5! 90

2!.2! số tự nhiên Suy  

9

60 90 150.84 12600

A C

    

Vậy ( ) 12600 0,213382106 59049

A

P A    



-83-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Có

3

C cách chọn vị trí cho chữ số Có

9

A cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có 2 216

C A  số thõa mãn

Trường hợp 2: Chữ số x (khác 0) xuất lần x vịtrí (vị trí hàng nghìn) Có cách chọn x

Có cách chọn thêm vị trí cho x Có

9

A cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có

9.3.A 1944 số thõa mãn

Trường hợp 3: Chữ số x (khác 0) xuất lần x khơng nằm vị trí hàng nghìn Có cách chọn x

Có

C cách chọn vị trí cho chữ số x

Có cách chọn chữ số (khác khác x) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại

Suy trường hợp có

9.8.8.C 1728 số thõa mãn

Vậy theo quy tắc cộng, có 216 1944 1728 3888   số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 19: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 11 năm học 2015-2016)

Số cách chọn ba sốđôi khác từ tập A

20 1140

C  cách Số cách chọn ba số liên tiếp 18 cách

Số cách chọn ba sốtrong có hai số liên tiếp 17 17 16 306    cách Vậy xác suất cần tìm 1140 18 306 816 68

11400 1140 95

   

Câu 20: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2008-2009) Ta kí hiệu số A a a a a a a1

- Có khảnăng chọn chữ số lẻ

- Mỗi cách chọn chữ số lẻ chữ số chẵn có p6 6! cách xếp để tạo thành số

Như có 5P6 5.6! cách tạo số mà có chữ số lẻ,

chữ số có thểở vị trí a1

Do tính bình đẳng chữ sốđã chọn nên có

6 số số mà chữ số vị trí a1 Suy ra, số số cần tìm

1

5.6! 5.6! 3000

 

Câu 21: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2013 – 2014)

Ta có trường hợp sau:

*) Trường hợp 1: số 6đứng vịtrí có

A cách cho số số lại

*) Trường hợp 2: số từ vị trí thứhai đến thứ năm có  3

4 A A số Vậy có tất  3

6

4 A A A 1560 số thỏa mãn đề

Câu 22: (Đề thi học sinh giỏi Diễn Châu 3_Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017) Ta có số phần tử khơng gian mẫu

9

-84-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số cách chọn ba số lẻ từ sốban đầu

5

C Còn lại ba chữ số phải số chẵn có

4

C cách Vậy xác suất cần tính

3

.6! 10 21 C C

A 

Câu 23: ( Đề thi học sinh giỏi Đà Nẵng lớp 11 năm học 2010 – 2011)

Cách 1:

Không gian mẫu: Số số tự nhiên có chữ số mà chữ sốđều khác : n( ) 9  5.

Gọi A biến cố :’’#Chọn số tự nhiên có mặt chữ số khác nhau’’: #Chọn chữ số:

9

C

TH1: số xuất lần, số lại xuất lần:

5!

3! C TH2: số xuất lần, số lại xuất lần:

3

5!

2!.2!

C

Suy 3

5! 5!

( ) 12600

3! 2!.2! n A C C C 

  cách

Suy ( ) 1400 6561 P A 

Cách 2:

#Chọn số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số:

C #Chọn số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số: TH1: số xuất lần, số xuất lần:

9

5!

4! C C TH2: số xuất lần, số xuất lần:

9

5!

2!.3!

C C

#Chọn số tự nhiên có chữ số có mặt chữ số (1 số xuất lần, lại xuất lần):

9

5!

2! C C

#Chọn số tự nhiên có chữ số khác nhau:

A Tổng số cách: 46449 cách

5

46499 1400 ( )

9 6561

P A   

Vậy xác suất cần tính

3

.6! 10 21 C C

A 

Loại 3: Liên quan đến vị trí

Câu 24: (Đề thi khảo sát đội tuyển học sinh giỏi lần Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2017 – 2018) Có số tự nhiên có chữ sốkhác số kề không số lẻ?

Lời giải Gọi sốđó A a a a a a a

Theo đề bài, ta có A có nhiều chữ số lẻ TH1 : A có chữ số lẻ:

1

a lẻ: số cách chọn A: 5

-85-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

1

a chẵn: số cách chọn A: 1 4 5

C ( ).C C P TH2 : A có chữ số lẻ:

1

a lẻ, suy a2 chẵn số cách chọn A:

1 1 5.C ( ).5 4

C C C P

1

a chẵn, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số lẻ số cách chọn A:

1

C (C ).P A

TH3 : A có chữ số lẻ:

1

a lẻ, suy a2 chẵn, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số lẻ số cách chọn A: 1 2

5.C (5 4.3 ).2

C C P A

1

a chẵn, có cách chọn vị trí khơng kề chữ số lẻ số cách chọn A:

1

C ( ).C P A

Suy tổng sốtrường hợp: 37800 cách

Câu 25: (Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 12 năm học 2011 – 2012)

Ta đặt chữ sốvào ô đểđược số thỏa mãn yêu cầu Trường hợp 1: Số0 đứng vị trí số

Số có cách chọn vịtrí đểkhơng đứng cạnh Hai cịn lại có

4

A cách chọn Trường hợp 2: Số0 đứng cuối

Số có hai vịtrí khơng đứng cạnh (ô thứ thứ hai) Hai ô cịn lại có

4

A cách chọn Vậy có 2

4

2.A 2.A 48 số

Câu 26: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Long lớp 11 năm học 2015 – 2016) Trường hợp 1: Số phải tìm chứa 123

Lấy chữ số thuộc 0; 4;5;6;7;8;9: có

A cách

Cài 123 vào vịtrí đầu, cuối hai số liền đơi chữ số: có cách

Suy có

5.A 4200 số có chữ số khác đơi chứa số 123 Trong số có

6

4.A 480 số có chữ số đứng đầu

Vậy có 4200 480 3720  số có chữ số cần tìm chứa số 123 Trường hợp 2: Số phải tìm chứa 321

Lập luận tương tự ta có: 3720 số có chữ số cần tìm chứa số 321 Kết luận: có 3720.2 7440 số cần tìm

Câu 27: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Nam lớp 12 năm học 2015 – 2016) Số hoán vị chữ số lẻ 1, 1, 1, , 5!

3!

Ứng với hốn vị có vịtrí đầu, cuối xen kẻ chữ số lẻ Do có

A cách xếp ba chữ số chẵn , , , vào vịtrí đểđược số thỏa đề

Vậy số số thỏa đề là:

5!

2400 3! A 

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Gọi sốđó A a a a a a a Từ giả thiết suy A có hoặc chữ số lẻ

TH1: A có chữ số lẻ: i) a1 lẻ: Số số A

5 600

C P 

ii) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Số số A   5

4 C C P 2400 Tổng có: 600 2400 3000  số số A có chữ số lẻ

TH2: A có chữ số lẻ:

i) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 chẵn Vậy số số A  3

4 4

5.5 C C P 9600

ii) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ

2

a a a a a Vậy số số A  

4 C 6.P A 11520 Tổng có: 9600 11520 21120  số số A

TH3: A có chữ số lẻ:

i) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a a a a3 Vậy số số A  

2 4

5.5 C 3.P A 10800

ii) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn ba vị trí khơng kề ba số lẻ

2

a a a a a Vậy số số A  

4 C 1.P A 2880 Tổng có: 10800 2880 13680  số số A

Tóm lại có: 3000 21120 13680 37800   số số A Câu 29: (Đề thi học sinh giỏi Lào Cai lớp 11 năm học 2017 – 2018)

Gọi A tập hợp số gồm bảy chữ số khác Ta có n A 7! B tập số gồm chữ số khác mà số lẻkhông đứng cạnh

C tập số gồm chữ số khác mà chữ số lẻđứng cạnh CA D tập số gồm chữ số khác mà chữ số lẻđứng cạnh DC Khi số hoán vị theo yêu cầu là: n B n A   n C

Tính n C :

+) Gọi  a a a1, ,2 3, với a a a1, ,2 31, 3,5, 7, suy 4

C  cách chọn  Với  có 3! hốn vị, nên số cách chọn  4.3! 24 cách chọn +) Với  , số hoán vị dạng , , , ,a a a a4 5 6 7 5! hốn vị

Suy có 24.5! 2880 số, chữ số lẻđứng cạnh nhau, số mà số lẻđứng cạnh kể hai lần

Tính n D :

+) Gọi  a a a a1, , ,2 4, với a a a a1, , ,2 41,3,5, 7, suy 4! 24 hoán vị 

+) Với , số hoán vị dạng , , ,a a a5 7 là: 4! 24 hoán vị 

  4!.4! 576

n D  

Vậy n C 2880 576 2304 

Do số hốn vị theo u cầu n B  7! 2304 2736

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập

Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Trường hợp 1: chữ số chữ số :

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có 10 vị trí xếp số1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào 10 vị trí nói trên: có

10

C cách xếp

Suy trường hợp có 10

C cách xếp

Trường hợp 2: chữ số chữ số :

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp hai số1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào hai vị trí nói trên: có

9

C cách xếp

Suy trường hợp có

C cách xếp

Trường hợp 3: chữ số chữ số :

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp ba số1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào ba vị trí nói trên: có

8

C cách xếp

Suy trường hợp có

C cách xếp

Trường hợp 4: chữ số chữ số :

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp bốn số1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào bốn vị trí nói trên: có

7

C cách xếp Suy trường hợp có

7

C cách xếp

Trường hợp 5: chữ số chữ số :

+) Xếp chữ số thành hàng ngang: có cách xếp

Khi đó, ta có vị trí xếp năm số1, khoảng trống số hai đầu +) Xếp số vào năm vị trí nói trên: có

6

C cách xếp

Suy trường hợp có

C cách xếp Vậy có

10 143

C C C C C  số

Câu 31: (Đề học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Lạng Sơn năm 2015- 2016)

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác n  10.9.8.7.6.5 151200

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 1, đứng cạnh chữ

số , đứng cạnh  

2!.2! .4! 1440

n A  C 

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số 1, đứng cạnh  

8

2! .5! 16800

n B  C 

+ Số cách lập dãy số có sáu chữ số khác mà chữ số , đứng cạnh  

8

2! .5! 16800

n C  C 

Vậy xác suất đểrút thẻ có sáu chữ số khác mà chữ số 1, không đứng cạnh chữ số , không đứng cạnh

          248315

n n B n C n A

P

n

   

 



Câu 32: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2017 – 2018)

-88-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

TH1: a5 0

+ #Chọn vị trí xếp số cịn lại có cách (loại a a1, 4) + Còn vị trí xếp chữ số có

5

A cách

Trường hợp có

2.A số

TH2: a5 0 suy a5 có cách chọn

+ #Chọn vị trí khơng cạnh từ a a a2 4 để xếp số có cách (vào a2 a4) + Còn chữ số xếp vào vị trí có

4

A cách

Trường hợp có:

2.A số

Do xác suất cần tìm là:

3

4

2 144 5.6 6480 45

A A

P   

Loại 4: Liên quan đến lớn , nhỏ hơn

Câu 33: (Đề học sinh giỏi Quảng Ngãi lớp 12 năm 2017- 2018)

+ Trường hợp 1: a b c d   có 36        số thỏa mãn

+ Trường hợp 2: a b c d   có 2 84

C C  C  số thỏa mãn

+ Trường hợp 3: a b c d   có 1.7 2.6 3.5 4.4 5.3 6.2 7.1 84       số thỏa mãn

+ Trường hợp 4: a b c d   có 126

C  số thỏa mãn Vậy có 330 số thỏa mãn

Câu 34: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2012 – 2013)

Gọi số tự nhiên có chữ sốkhác lấy từ chữ số , 1, , , , , abcd Số abcd không lớn 2503 ta có trường hợp:

TH1: Số có dạng 250d có số: 2501, 2503

TH2: Số có dạng 2bcd b0;1;3;4 nên có 4.5.4 80 số TH3: Số có dạng 1bcd có 6.5.4 120 số

Vậy có 80 120 202   số thỏa yêu cầu toán

Câu 35: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2011 – 2012)

Gọi số chẵn có chữ sốđôi khác lấy từ chữ số , 1, , , abcd TH1: Nếu d 0 có 4.3.2 24 số

TH2: Nếu d 0 d 4, trường hợp có 2.3.3.2 36 số

Do có 60 số chẵn theo giả thiết toán

Trong 60 số số nhỏhơn 2012 phải có dạng: 1bcd

Vì d , , nên có 3.3.2 18 sốnhư vậy, suy số lớn 2012 42 Từđó suy xác suất cần tìm 42

60 10

Câu 36: (Đề thi HSG Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2014 – 2015)  

9

9

n M  A (số có sáu chữ số đơi khác a1 có cách chọn, a a a a a2 6 chỉnh hợp chập phần tử nên có

9

A )

Gọi A biến cố “chọn số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn

1

-89-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI TH1: a6 0 a a a a a1 có

5

C cách chọn TH2: a6 2 a a a a a1 có

5

C cách chọn TH3: a6 4 a a a a a1 có

5

C cách chọn   5

9 148

n A C C C

    

Do    

  n A P A n   148 9.A  37 34020 

Câu 37: (Đề thi HSG Nam Định lớp 12 năm học 2014 – 2015) Từ chữ số ,1, ,3 , ,5 lập

5

5.A 300 số tự nhiên có bốn chữ số đôi khác Suy  

300

n  C 44850

Số số tự nhiên có bốn chữ sốđơi khác lập từ chữ số ,1, ,3 , ,5 nhỏ 2015

5

1.A 1.1.1.3 63

Gọi A biến cố “trong hai số chọn có số lớn 2015 ”   63

n A C 1953



Do n A n  n A  44850 1953  42897 Vậy   42897

44850

P A  14299 14950



Câu 38: (Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 - 2018)

Đặt T a a a1; ;2 3| , ,a a a1 2 3A a; 1a2 a a3; 2 a1 2,a3a2 2

Với a a a1, ,2 3, xét tương ứng với b b b1, ,2 3 cho b1 a b1; 2 a21;b3 a32 Lúc ta có: 0 b1 b2  b3 7và tương ứng tương ứng 1 do:

+) Với a a a1, ,2 3 cho tương ứng với b b b1, ,2 3 công thức

1 1; 2 1; 3

b a b a  b a 

+) Ngược lại, với b b b1, ,2 3cho tương ứng với a a a1, ,2 3 công thức 1, 2 1, 3

a b a  b a  b

Đặt B0;1; 2;3; 4;5;6;7 Tập b b b1, ,2 3là tập có phần tử B Vậy số tập a a a1, ,2 3cần tìm là:

8 56

C 

Câu 39: (Đề thi thử THPT Quốc gia chuyên Hạ Long – Quảng Ninh năm học 2017 – 2018)

Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcd,

trong 1    a b c d

Lời giải

Do 1    a b c d 9          1 a b c d 12 Số cách chọn a b c d; ; ; 

12

C Xác suất cần tìm:

4 12

3 0,055

9.10 C

-90-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI DẠẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ĐĐẾẾM SỐỐ PHƯƯƠƠNG ÁN

TÍNH XÁC SUẤẤT LIÊN QUAN ĐĐẾẾN NGƯƯỜỜI HOẶẶC ĐĐỒỒ VẬẬT Câu 40: (Đề thi học sinh giỏi Hải Phòng lớp 12 năm học 2017 - 2018)

Toán + Lý ; Tốn + Hóa; Lý + Hóa

Gọi , ,x y z ( , ,x y z) số học sinh nhận phần thưởng Toán + Lý ; Tốn + Hóa; Lý + Hóa Khi đó, ta có hệ sau :

7

6

5

x y x

x z y

y z z

                  

Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh : .15

C C Vậy số phần tử không gian mẫu

9

( ) n  C C

Gọi S biến cố “ hai học sinh A B có phần thưởng giống nhau”

TH1 : A B nhận Tốn+Lý có

C C cách phát

TH2: A B nhận Tốn+Hóa có

C C cách phát

TH3 : A B nhận Lý-Hóa có

C cách phát   4

7 7

n S C C C C C

   

Vậy xác suất biến cố S là:

2 4 7

4

5 ( )

18

C C C C C

P S

C C

 

 

Câu 41: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 - 2016) Số phần tử không gian mẫu  

40

n  C

Giả sử có hai cặp vợ chồng A B,  C D,  A C, chồng

Trường hợp 1: #Chọn cặp vợ chồng A B, 

Cần chọn người số 38 người cịn lại (trừA B, ) mà khơng có cặp C D,  - Số cách chọn người 38 người

38

C

- Số cách chọn người số38 người mà có cặp C D,  36

C

Suy số cách chọn người số38 người mà khơng có cặp C D,  38 36

C C

Trường hợp 2: #Chọn cặp vợ chồng C D, 

Tương tự ta có số cách chọn 38 36

C C Vậy xác suất cần tìm  

3 38 36

5 40

2 C C P

C 



Câu 42: (Đề thi học sinh giỏi Cà Mau lớp 12 năm học 2017 - 2018)

a Số cách chọn An Bình giữ chức vụbí thư phó bí thư cách

Số cách lập ban chấp hành với sốủy viên n7 38

A Vậy có tất :

38

2.A cách

b Số phần tử không gian mẫu 38 38

n

A C

#Chọn người từ38 người để giữ chức vụbí thư phó bí thư có 38

-91-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI #Chọn thêm ủy viên có

36 n

C  ( trừbí thư, phó bí thư An, Bình) Vậy xác suất đểđược ban chấp hành đạt chuẩn A0 là:

2 38 36 40 38 78 n n A C n A C     Câu 43: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định lớp 12 năm học 2017 – 2018)

Số phần tử không gian mẫu n( )   10

Gọi A biến cố“Thí sính đạt từ7,0 điểm trở lên” Thí sinh chọn câu, sai câu có

10.1.3.3.3 1080

C  cách Thí sinh chọn câu, sai câu có

10.1.3.3 405

C  cách Thí sinh chọn câu, sai câu có

10.1.3 30

C  cách Thí sinh chọn 10 câu có cách

Vậy, (A) 1080 405 30 1516 ( ) ( ) 151610 ( ) n A

n P A

n

       



Câu 44: (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh lớp 12 năm học 2016 – 2017) Trong câu xác suất trả lời

4 Trong câu xác suất trả lời sai

4 Học sinh thi đỗ trường hợp sau:

Trường hợp 1: câu sai câu

Số cách chọn câu 10 câu 10

C

Xác suất để6 câu đồng thời câu lại đề sai là:

6 4            

Suy trường hợp có xác suất

6 10 4 P C       

   

Tương tự:

Trường hợp 2: câu sai câu có xác suất là:

7 10 4 P C       

   

Trường hợp 3: câu sai câu có xác suất là:

8 10 4 P C       

   

Trường hợp 4: câu sai câu có xác suất là:

9 10 4 P C       

   

Trường hợp 5: 10 câu có xác suất là:

10 10 10

1 P C   

 

Do trường hợp biến cố biến cốđó xung khắc nên xác suất để học sinh thi

đỗ là:

1

6 10

6 10

10 10 10 10 10 10

1 3 3 20686

4 4 4 4 4

P P P P P P

C C C C C

    

                 

                      

                 

-92-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Sốngười biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 30 14 16  (người)

Sốngười biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 15 16 7   (người) Sốngười biết tiếng Anh tiếng Pháp là: 16 9  (người)

Xét phép thử: “ người chọn biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy

5

16 4368

C

  

Xét biến cố: “#Chọn 5người có 3người biết tiếng Anh tiếng Pháp”, suy

3

7 1260 A C C

  

Xác suất cần tìm   1260 15 4368 52

A

P A    



Câu 46: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 12 năm học 2015 – 2016) Ta có:

Gọi , ,x y zlần lượt số học sinh nhận phần thưởng sách Tốn – Vật lí, Tốn – Hóa học, Vật lí – Hóa học

Từ giả thiết ta có:

7

6

5

x y x

x z y

y z z

                  

Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho học sinh”, suy

9 .5 1260

C C C

  

Xét biến cố: “An Bình có phần thưởng giống nhau” TH1: An Bình nhận sách Tốn – Vật lí, có

7 .5 210

C C C  TH2: An Bình nhận sách Tốn – Hóa, có

7 .3 105

C C C  TH3: An Bình nhận sách Vật lí – Hóa học, có

7 35

C C  Suy ra,  A 210 105 35 350.  

Xác suất cần tìm   350 1260 18

A

P A    



Câu 47: (Đề thi học sinh giỏi Nghệ An lớp 11 năm học 2016 – 2017) Số phần tử không gian mẫu:  

15

n  C

Gọi A biến cố: Số sách lại thầy X có đủ mơn Xét khảnăng xảy ra:

Khảnăng 1: sách cịn lại chỉcó Văn Sử Số cách chọn là:

C Khảnăng 2: sách cịn lại chỉcó Văn Địa Số cách chọn là: 10

C Khảnăng : sách cịn lại chỉcó Địa Sử Số cách chọn là:

11

C Vậy    

7 7 10 11

8 15

5949

1

6435

C C C

P A P A

C

 

    

Câu 48: (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 11 năm học 2013 – 2014) Gọi A biến cố cần tính xác suất

Số cách xếp khách lên toa là:  45

Số cách chọn ba khách để xếp lên toa là: 10

C  Số cách chọn toa để xếp ba người là:

4

C 

Số cách xếp hai người (mỗi người toa) vào ba toa lại là:

-93-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Suy  A 10.4.6 240

Vậy xác suất cần tìm   240 155 64

A

P A    



Câu 49: (Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 2015-2016)

Người khách thứ có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứ hai có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứ ba có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứtư có cách chọn cửa hàng để vào

Người khách thứnăm có cách chọn cửa hàng để vào

Theo quy tắc nhân có: 55 3125 khảnăng khác xảy cho người vào cửa hàng Suy

ra số phần tử khơng gian mẫu là:  3125

Để có cửa hàng có nhiều khách vào có trường hợp sau:

TH1: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách

Vậy: .5 200

C C C C  khảnăng xảy

TH2: Một cửa hàng có khách, hai cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách

Vậy:

5 .P5 600

C C C  khảnăng xảy

TH3: Một cửa hàng có khách, cửa hàng có khách, ba cửa hàng cịn lại khơng có khách

Vậy: .5 100

C C C  khảnăng xảy

TH4: Một cửa hàng có khách, cửa hàng khác khơng có khách Vậy:

5

C  khảnăng xảy

Suy có tất 200 600 100 5   905 khảnăng thuận lợi cho biến cố “ có cửa hàng có nhiều người khách vào ”

Vậy xác suất cần tính là: 905 3125

P 181

625 

Câu 50:

10

( ) 120

n  C  , có mã

8 112 112 111

( )

120 120 119 120 119 118

P A   

DẠẠNG : CÁC BÀI TOÁN ĐĐẾẾM SỐỐ PHƯƯƠƠNG ÁN TÍNH XÁC SUẤẤT LIÊN QUAN ĐĐẾẾN ĐĐA GIÁC Câu 51: (Đề thi học sinh giỏi Bắc Giang lớp 12 năm học 2014 – 2015)

Sốtam giác có đỉnh thuộc  H n

C Sốcác tam giác có đỉnh thuộc  H có hai cạnh cạnh  H n

Sốcác tam giác có đỉnh thuộc  H có cạnh cạnh  H n n 4 Suy sốcác tam giác có ba đỉnh thuộc  H khơng có cạnh cạnh  H

 

3 4

n

C  n n n

Theo giả thiết ta có  4 5  4 n

-94-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Giải phương trình ta n35( giá trị n4 loại)

Câu 52: (Đề thi HSG Hòa Bình lớp 12 năm học 2017-2018) Tính số phần tử không gian mẫu:  

14 364

n  C 

Gọi A biến cố:” Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác “

Suy A biến cố“Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác “

TH1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10 140 tam giác thỏa mãn

Suy n A 14 140 154 

Vậy số phần tử biến cố A : n A( )  n( ) n A 210 Suy    

  1526 n A P A

n

 



Câu 53: (Đề thi học sinh giỏi Thái Nguyên lớp 12 năm học 2017 -2018) Gọi  không gian mẫu  

10 120

n C

   

Gọi A:” tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho”

Các tam giác tập X có ba loại: Tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác, tam giác có

một cạnh cạnh đa giác, tam giác có hai cạnh cạnh đa giác

Ứng với cạnh đa giác có 10 4 đỉnh đa giác tạo thành tam giác có cạnh cạnh đa giác nên số tam giác có cạnh cạnh đa giác là: 10 10 4  60 Có 10 tam giác có hai cạnh cạnh đa giác là: A A A1 2 3; A A A2 3 4; … ; A A A10 2

  120 60 10 50 n A

    

Vậy   50 120 12

p A  

Câu 54: (Đề thi học sinh giỏi Thái Bình lớp 12 năm học 2017 - 2018) Số phần tử tập S là:

2n

C

Số phần tử không gian mẫu   2n

n  C Gọi A biến cố: “#Chọn tam giác vng”

Đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O

Mỗi tam giác vuông tạo hai đỉnh nằm đường chéo qua tâm O 2n2 đỉnh lại

Suy số tam giác vuông n n2 2

Theo đề ta có:    3 

2

2

20 13

n

n n

P A n

C 

   

Câu 55: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2015-2016) Sốtam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là:

15 455

C  tam giác Số phần tử tập M n M 455

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp

-95-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Sốtam giác có đỉnh đỉnh đa giác 15

3  tam giác

Tuy nhiên, tam giác cân xác định có cảtam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm ba lần

Suy sốtam giác cân tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho là: 7.15 3.5 90 

Vậy xác suất để chọn tam giác cân tam giác từ tập M là: 90 18

455 91

P 

Câu 56: (Đề thi học sinh giỏi Yên Lạc – Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 2015 – 2016) Không gian mẫu  

24

n  C

Gọi Alà biến cố “4 đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng” Gọi Olà tâm đa giác

Vì đa giác sốđỉnh chẵn, nên có 12 cặp điểm đối xứng qua O, tạo thành đường kính, lấy đường kính chúng đường chéo hình chữ nhật Do số hình chữ nhật

12

C Suy  

12

n A C Vậy       12 24 161

n A C

P A

n C

  



Câu 57: (Đề thi học sinh giỏi Nam Định năm học 2015 – 2016)

Đầu tiên ta xét loại tam giác tạo thành

Số tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh  H là:

22 1540

C  tam giác bao gồm loại sau: Loại tam giác có cạnh cạnh  H , loại tam giác có cạnh cạnh

 H , tam giác khơng có cạnh cạnh  H , cụ thểta làm sau:

Cứ đỉnh  H với đỉnh liên tiếp (kề bên) tạo thành tam giác có cạnh cạnh  H

.Các tam giác trùng nhau.Mà  H có 22 đỉnh nên có 22 tam giác có cạnh cạnh  H

Xét cạnh  H ,bỏ đỉnh liên tiếp bên cạnh đó,nối đỉnh cịn lại  H với

2 đầu mút

cạnh xét ta có tam giác có cạnh cạnh  H ,nên ta có 22 18 396  tam giác thỏa ycbt

Do số tam giác khơng có cạnh cạnh  H 154022 396 1122 tam giác Ta có số phần tử không gian mẫu  

1540

n  C

Gọi Alà biến cố “chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác  H tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác  H ” suy   1

396 1122

n A C C Vậy    

  1 396 1122 21540 748 1995

n A C C

P A

n C

  



-96-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Số phần từ không gian mẫu  

24 2024

n  C 

Gọi A biến cố chọn tam giác có ba cạnh màu, ba cạnh màu đỏ Gọi B biến cố chọn tam giác có cạnh màu xanh (cạnh đa giác)

Giả sử xét cạnh màu xanh A A1 2, ta có 20 cách chọn đỉnh Ai AiA A4; ; ;5 A23

Nên số phần tử B n B 24.20 480.

Gọi C biến cố chọn tam giác có hai cạnh màu xanh, tam giác có hai cạnh hai cạnh liên tiếp đa giác, nên n C 24

Ta có n A     n B n C n 

Suy số phần tử biến cố A n A n      n B n C 2024 480 24 1520   Vậy xác suất biến cố A    

  190253 n A

P A n

 



Câu 59: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa dự bị lớp 12 năm học 2016-2017) Sốđường chéo đa giác 2n cạnh

2n

C  n

Đường chéo có độ dài lớn đường chéo qua tâm đa giác đều, có nđường chéo

vậy Từ giả thiết ta có 2

2

1

n

n

C  n   

1 2

n

n n n

 

 

1

6 2n n

   

 Xét khai triển

6 x x      

  có số hạng tổng quát :  

6

6

1

.2

i k i

k i k k i k k i

k k

C C x C C x

x



     

    Số hạng chứa x5trong khai triển ứng với i k, thỏa mãn hệ:

3

1 , k i i i k k i k N

                 Hệ số số hạng chứa x5là 3

6 .23 480

C c 

Câu 60: (Đề thi học sinh giỏi Lâm Đồng lớp 12 năm học 2017 – 2018) Ta có: Số phần tử không gian mẫu

5 10

C 

Đểba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác có bốn cách chọn sau:

3,5, 7 3;7;9;5, 7,93,5,9

Gọi A biến cố chọn ba đoạn thẳng xếp thành hình tam giác Vậy xác suất đểba đoạn xếp thành hình tam giác là:  

10 P A  Câu 61: (Đề thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 2017 – 2018)

Ta có: Số cách chọn ba điểm từ 2n điểm phân biệt 2n

C

Trong 2n điểm phân biệt có n điểm thuộc mặt phẳng nên có n

C mặt phảng trùng

Vậy số mặt phẳng tạo từ 2n điểm phân biệt 3 2n n

C C 

Ta có phương trình: 23      

2 2 2

1 505 505

1.2.3 1.2.3 3024

n n

n n n n n n

C C

n n n

   

     

      

-97-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI DẠẠNG : CÁC BÀI TỐN ĐĐẾẾM – TÍNH XÁC SUẤẤT

LIÊN QUAN ĐĐẾẾN XẾẾP CHỖỖ , VỊỊ TRÍ Câu 62: (Đề thi học sinh giỏi Bến Tre lớp 12 năm học 2017 – 2018)

Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 2n3 học sinh vào 2n3 chỗ ngồi

đánh số suy n    2n3 !

Gọi A biến cố “số ghế Bình trung bình cộng số ghế Anh số ghế Chi” ta có

- Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n2 cách có 1.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n1 cách có 2.2! cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế số ghế thứ 2n cách có 3.2! cách xếp An Bình ……

- Xếp Bình ghế thứ n1 ghế thứ n3 cách có 2!n cách xếp An Bình - Xếp Bình ghế thứ n2 cách có n1 2! cách xếp An Bình

Suy 2     n.2!n1 2! n1 2!2 cách xếp để số ghế Bình trung bình cộng số ghế An Chi

Với cách xếp có  2 !n cách xếp học sinh cịn lại Vậy ta có n A  2 n1 !  2 n

Theo giả thiết ta có phương trình    

 

2

2 ! 12 ! 575

n n n      11 48 479 539 49

48 n n n n L             Suy số học sinh 2.11 25 

Câu 63: (Đề thi học sinh giỏi Thanh Hóa lớp 11 năm học 2017 – 2018) Số phần tử không gian mẫu n  10!

Gọi A biến cố thỏa yêu cầu toán

- Xếp học sinh lớp 11C vào hàng có 5! cách

(Sau xếp có vị trí trống (4 ởhai đầu), chẳng hạn 1C2C3C4C5C6

- Nếu xếp xen kẽ học sinh lớp A B từ phía tận bên trái (12345) có 5! cách xếp, tương

tự xếp từ phía bên phải (23456) cũng có 5! Cách xếp

- Nếu xếp học lớp A B vào vị trí 2345 trong có vị trí xếp học sinh có 4.2!.2.3

A cách

Suy    

5! 2.5! 2!.2.3 63360

n A  A 

Vậy   63360 11 10! 630

P A  

Vậy ( ) 2.5!.5! 10! 126

P A  

-98-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI

Đánh số ghế hàng ngang theo thứ tự từ đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào ghế số 1, , 13

Gọi A biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh không ngồi cạnh nhau”

Xét trường hợp: * Bạn Minh ngồi ghế số

+ Số cách xếp ba bạn nữ cịn lại là: 3! + Có cách xếp vị trí Hải

+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào vị trí cịn lại Suy số cách xếp 3! 8!

- Bạn Minh ngồi ghế số 13 có số cách xếp 3! 8! * Bạn Minh ngồi ghế số (Ghế số tương tự)

+ Có 3! cách xếp bạn nữ, có cách xếp vị trí Hải, có 8! cách xếp bạn nam cịn lại, số cách xếp 3!.7.8!

Số phần tử biến cố A là: n A 2.3!.7.8! 2.3!.7.8! Xác suất cần tìm là:    

  8581 n A

P A n

 



Câu 65: (Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 năm học 2017 – 2018) Gọi A biến cố: “ Hạnh Phúc ngồi hai bàn xếp cạnh nhau”

Số cách xếp 36 học sinh vào 36 bàn lớp số phần tử không gian mẫu  36!

* Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng ngang

Có cách chọn dãy bàn nằm ngang để hai bạn ngồi cạnh

Có hai bạn Hạnh Phúc ngồi cạnh nhóm X ,  có nhóm X khác có cách xếp chỗ cho nhóm X

Có 34! cách xếp chỗ cho 34 học sinh cịn lại vào 34 bàn Vậy trường hợp 6.2.5.34! 60.34! cách xếp

* Nếu Hạnh Phúc ngồi cạnh theo hàng dọc Tương tự ta có 60.34! cách xếp Số phần tử A n A 120.34!

Vậy xác suất cần tìm là:    

  120.34!36! 35.36120 212 n A

P A n

   



Câu 66: (Đề thi học sinh giỏi Chu Văn An lớp 11 năm học 2015 – 2016) Khơng gian mẫu có số phần tử   18 18

52 34

n  C C

Nếu Thành Đạt ngồi chung phịng phịng   16 18 50 34

n A  C C Nếu Thành Đạt ngồi chung phịng   18 18

2 50 32

n A C C Gọi A biến cố“Thành Đạt chung phòng”

     1

n A n A n A      

16 18 18 18 50 34 50 32

18 18 52 34

2 71

221

n A C C C C

P A

n C C



   



Câu 67: (Đề thi học sinh giỏi chuyên Bắc Ninh lớp 11) Tổng số cách xếp viên bi thành hàng 6!3 90

2  (hoặc

2 90

-99-Chuyên đề TỔ HỢP – XÁC XUẤT DÀNH CHO HS KHÁ VÀ GIỎI Kí hiệu: A1 tập hợp viên bi xanh cạnh nhau; A2là tập hợp viên bi đỏ cạnh nhau; A3 tập hợp viên bi vàng cạnh

Số cách xếp khơng hợp lệ (có viên màu cạnh nhau) là:

 

1 3 2 3 1

A A A  A  A  A  A A  A A  A A  A A A Với

5! 30

A  A  A  

1 2 3

4! 12 A A  A A  A A  

1 3!

A A A  

1 90 3.12 60

A A A

      

Vậy, số cách xếp hợp lý A A A1 .2 90 60 30 

Câu 68: (Đề thi học sinh giỏi Triệu Sơn lớp 11 năm học 2017 – 2018)

1, ,2

u u u lập thành cấp số cộng u1u32u2 Do u u1, chẵn

cùng lẻ Số tất cấp số cộng theo thứ tự số cặp số(có thứ tự) u u1, 3

#Chọn u1 có 2012 cách chọn, chọn u3 có 1005 cách chọn số chẵn lẻ với u1

Khi

2 u u

u   có cách chọn

Còn lại 2009 lại ta chọn số xếp có thứ tựđể hồn tất việc chọn Vì số kết

2009

2012.1005.A

Câu 69: (Đề thi kỳ Yên Phong1_Bắc Ninh lớp 12 năm học 2017 – 2018) Số phần tử không gian mẫu n   6! 720

Gọi A biến cố hai xe màu khơng xếp cạnh Ta tính n A 

Xe màu đỏ nhiều nên ta trước đểtránh trường hợp chúng cạnh nhau, ta xếp sau

TH :

Đ Đ Đ

Có ! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe cịn lại nên có ! cách xếp xe lại Vậy trường hợp có 6.6 36 cách

TH2 :

Đ Đ Đ

Có ! cách xếp xe màu đỏ, thỏa mái xếp xe lại nên có ! cách xếp xe cịn lại Vậy trường hợp có 6.6 36 cách

TH3 :

Đ Đ Đ

Có ! cách xếp xe màu đỏ, có 2.2 cách xếp xe màu xanh vàng vào hai ô trống liền kề cịn lại xếp xe màu vàng cịn lại Vậy trường hợp có 5.2.2 24 cách

TH4 :

Đ Đ Đ

Có ! cách xếp xe màu đỏ, có 2.2 cách xếp xe màu xanh vàng vào hai trống liền kề cịn lại xếp xe màu vàng lại Vậy trường hợp có 5.2.2 24 cách