1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Hot Dai so to hop , xac suat

31 544 2
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 31
Dung lượng 2,9 MB

Nội dung

Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt PhÇn 1 ph¬ng tr×nh , bÊt ph¬ng tr×nh , hÖ ph¬ng tr×nh chøa Pn , Akn , Ckn Víi  Pn lµ sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö : Pn = n! = 1.2.3…nn  Ank lµ sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö : Ank = n ! (n  k) ! ( 0 ≤ k ≤ n )  Cnk lµ sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö : Cnk = n ! k!(n  k) ! ( 0 ≤ k ≤ n ) I/ Ph¬ng ph¸p TiÕn hµnh theo c¸c bíc sau :  Bíc 1 : §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc Pn , Ank , Cnk + §èi víi : Pn th× ®iÒu kiÖn : n lµ sè nguyªn d¬ng (n ≥ 1 , n  N) k k 0 k n + §èi víi : An vµ Cn th× ®iÒu kiÖn :  k, n  N  Bíc 2 : Dïng c¸c c«ng thøc sau ®Ó rót gän : + Pn = n! = 1.2.3…nn + Akn = ( 0 ≤ k ≤ n ) + Cnk = n ! k!(n  k) ! ( 0 ≤ k ≤ n )  Bíc 3 : Sau khi rót gän ta ®a vÒ ph¬ng tr×nh , bÊt ph¬ng tr×nh , hÖ ph¬ng tr×nh ®· biÕt c¸ch gi¶i Gi¶i vµ t×m nghiÖm thÝch hîp víi ®iÒu kiÖn  Bíc 4 : KÕt luËn Chó ý : §èi víi hÖ ph¬ng tr×nh ta cã thÓ gi¶i theo ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô II/ Bµi tËp Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1/ Cn3 = 5Cn1 6/ C2n + 1- A2n - 4n3 = (A12n )2 2/ C14n + C14n + 2 = 2C14n + 1 7/ Cx1 + 6Cx2  6Cx3 9x2  14x 3/ 3 Cn2 + 1+ n.P2 = 4An2 8/ x 5 - x 2 = x 14 C5 C6 C7 4/ Cn -1 4  Cn -2 3  54 An 2 2 0 9/ PxAx2 + 72 = 6(Ax2 + 2Px ) 5/ C2n.Cn-2 n  2C2n.C3n  C3n.Cn-3 n 100 10/ Cn + 4 n + 1 - Cn +3 n = 7(n + 3) Gi¶i 1/  §iÒu kiÖn : n ≥ 3 , n  N  Pt ®· cho  n! 5 n!  (n-2)(n-1) = 30   n 7 3!(n  3)! (n  1)!  n  4(loai) 1 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt  VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : n = 7 2/ 14 n  2  §iÒu kiÖn :   n  12 , n  N n N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n2 – 12n + 32 = 0   n 4 (tho¶ m·n)  n 8 3/  §iÒu kiÖn : n ≥ 2 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n2 – 15n = 0   n 0 (loai)  n 3 4/  §iÒu kiÖn : n ≥ 5 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n2 – 9n – 22 = 0   n  2 (loai)  n 11 5/  §iÒu kiÖn : n ≥ 3 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n3 – n – 60 = 0  (n- 4)(n2 + 4n + 15) = 0  n=4 6/  §iÒu kiÖn : n ≥ 2 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : 8n3 + 9n2 – 3n = 0   2  n 0 (loai) 8n  9n  3 0 (V« nghiÖm) 7/  §iÒu kiÖn : x ≥ 3 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : x(x2 – 9x + 14) = 0  x = 0 ; x = 7 ; x = 2  x = 7 8/  §iÒu kiÖn : 0  x  5 , x  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : x2 – 14x + 33 = 0   x 11 (loai)  x=3  x 3 9/  §iÒu kiÖn : x ≥ 2 , x  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : (x! - 6)(x2 – x – 12) = 0  x! 6 2  x = 3 , x = 4  x  x  12 0 10/  §iÒu kiÖn : n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : n = 12 Bµi 2 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 2 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1/ x 1 - x 1 = x 1 3/ 3 An4 24 C4 C5 C6 4 An1  Cn 23 2/ C1x + 6Cx-2 x  6Cx-3 x 46Cx-1 x  14x2 5/ PxCx+1 3 + 60 = 2(3Cx+1 x-2 + 5Px ) 4/ PxAx2 + 180 = 6(Ax2 + 5Px ) §¸p sè 3/ n = 5 1/ x = 2 4/ x = 3 ; x = 6 2/ x = 5 ; x = 9 5/ x = 3 ; x = 4 Bµi 3 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau : 1/ 1 Ax +1 3 72 2/ Cx1 + 6Cx2  6Cx3 9x2  14x 72Cx - Gi¶i 1/  §iÒu kiÖn : x ≥ 2 , x  N (*) 2 x 8  BiÕn ®æi bpt ®· cho  x + x - 72  0  -9  x  8 , giao víi (*) ®îc : 2 x  N 2/  §iÒu kiÖn : x ≥ 3 , x  N (*) 3 x 7  BiÕn ®æi bpt ®· cho  x - 9x + 14  0  2  x  7 , giao víi (*) ®îc : 2 x  N Bµi 4 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau : 1/ x 5 - x 2  x 14 2/ C2x 2 - Ax2 6x Cx3 10 C5 C6 C7 3/ Cx+2 2 + Cx +2 3  5 Ax2 4/ Cx-1 4 - Cx -1 3  54 Ax 2 2 0 2 §¸p sè 3 x 5 3 x 4  x = 3 ; x = 4 1/  2/  x  N x  N x 2 5 x 11 3/  4/  x  N x  N Bµi 5 : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : 2 Axy  5Cxy 90 2/ Cy + 1 x + 1: Cyx +1 : Cy - 1 x +1 5 : 5 : 3 1/  y 5Ax  2Cx 80y Gi¶i 1/  §iÒu kiÖn : 0 < y  x , x ; y  N (*)  §Æt : u = Axy ; v = Cxy Ta ®îc : u = 20 ; v = 10  Ta cã : u = v.y!  y! = 2  y = 2  x2 – x – 20 = 0  x = 5 ; x = - 4 (lo¹i) 3 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt x 5 VËy nghiÖm cña hÖ pt lµ :   y 2 2/  §iÒu kiÖn : 0  y  x , x ; y  N (*)  Cx + 1 y + 1 5 y Cx + 1 5 x  2 y 0 x 6  §a vÒ hÖ pt sau :  y     (tho¶ m·n) Cx + 1 5 3x  8 y  6  y 3  y-1  Cx + 1 3 Bµi 6 : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : 3Axy  2Cxy 80 ( Axy )2  (Cx2 )2  36 3Cx2 Axy 1/  y 2/  y 2 5Ax  6Cx 40y 2y  Ax  Cx  54 Cx Ax 3/ Cy + 1 x + 1: Cyx : Cy - 1 x -1 6 : 5 : 4 §¸p sè 2/ Gîi ý : 1/ x = 5 , y = 2 + §K : x ≥ 2 ; x ≥ y ; x , y  N + u = Axy ; v = Cx2 3/ x = 5 ; y = 4 + NghiÖm : x = 4 ; y = 2 PhÇn 2 NhÞ thøc newton vµ c¸c d¹ng to¸n liªn quan I/ Lý thuyÕt chung 1/ D¹ng khai triÓn : (a + b)n = C0n an + C1n an-1.b + + Ckn an-k bk + + Cn-1 n a.bn-1 + Cnn bn 2/ Mét sè nhËn xÐt trong khai triÓn nhÞ thøc Newton */ Trong khai triÓn cã n + 1 sè h¹ng */ Trong khai triÓn sè mò cña a gi¶m dÇn tõ n xuèng 0 , sè mò cña b t¨ng dÇn tõ 0 ®Õn n nhng lu«n ®¶m b¶o tæng sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng lu«n b»ng n */ Sè h¹ng tæng qu¸t (sè h¹ng ®øng thø k + 1 trong khai triÓn ) : Uk + 1 = Cnk an  k bk ( 0 ≤ k ≤ n ) 4 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt */ Sè h¹ng ®øng gi÷a trong khai triÓn +/ NÕu n lÎ th× sè h¹ng ®øng thø : n + 1 vµ n + 1 + 1 trong khai triÓn lµ hai sè 2 2 h¹ng ®øng gi÷a +/ NÕu n ch½n th× sè h¹ng ®øng thø n + 1 trong khai triÓn lµ sè h¹ng ®øng gi÷a 2 */ Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (ax + b)n lµ : (a + b)n víi a , b  R (Cho x = 1) 3/ Mét sè khai triÓn ®Æc biÖt cña nhÞ thøc Newton C n0 1 kk + + Cnn-1.xn-1 + Cnn xn * D¹ng 1 : (1 + x)n = + Cn x + + Cn x * D¹ng 2 : (1 - x)n = C n0 - 1 x + +(-1) k Cnk xk + + (-1)n-1.Cnn-1.xn-1 + (-1)n Cnn xn Cn Thay x = 1 ; x = - 1 vµo D¹ng 1 , ta ®îc : + ) C n0 1 + + Cnk + + Cnn-1 + C nn = 2n + Cn + ) C n0 1 + +(-1) k C nk + + (-1)n-1.Cnn-1 + (-1)n Cnn = 0 - Cn II/ C¸c d¹ng to¸n hay gÆp X¸c ®Þnh hÖ sè hoÆc sè h¹ng trong mét khai triÓn A- Ph¬ng ph¸p Uk + 1 = Cnk a n  k bk */ Bíc 1 : ViÕt sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : */ Bíc 2 : T×m hÖ sè cña xm ta lµm nh sau : +/ Nhãm x vµo vµ cho sè mò cña x b»ng m  T×m ®uîc k +/ Thay k vµo ta ®îc hÖ sè */ Bíc 3 : T×m sè h¹ng thø m trong khai triÓn , ta lµm nh sau : +/ Ta cho k + 1 = m  k = m – 1 +/ T×m ®îc k ta t×m ®îc sè h¹ng thø m Chó ý : §Ó t×m sè h¹ng kh«ng chøa x (Sè h¹ng ®éc lËp víi x ) trong khai triÓn ta lµm nh trªn vµ cho sè mò cña x b»ng 0  T×m ®îc k B - Bµi tËp ¸p dông 8/T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn nhÞ 1/ T×m hÖ sè cña x7 trong khai triÓn nhÞ thøc : (1 + x)19 (k = 7) thøc 1 n  3+ x5  biÕt Cn+1 - Cn+1 = 7(n +3) x  n+4 n+3  (n = 12 ; k = 8) 2/ T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai 9/Cho khai triÓn  1  x2 + 3 n x 19 Cho biÕt triÓn  1  x + 2 x  (k = 10)   tæng ba hÖ sè ®Çu tiªn cña khai triÓn b»ng 79 T×m sè h¹ng chøa x4 (n = 12 , k = 4) 5 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 3/ T×m sè h¹ng chøa x2 trong khai triÓn 10/T×m sè h¹ng ®øng gi÷a trong khai triÓn  2 + 19 10  3 x2 x3  ( k = 6)  1 + 3 x  (sè h¹ng ®øng thø 6)  5  x  4/ T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai 11/ Cho khai triÓn (x+1)(x+2)15 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a16x16 n C159 26 10 5  1 + 3 x  biÕt C3n = 5C1n triÓn  4  T×m hÖ sè a10 (a10 = + C15.2 ) x  (n = 7 ; k = 4) 5/ T×m c¸c sè h¹ng chøa x3 trong khai triÓn 12/ Cho khai triÓn (x+2)4(x+1)5 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a9x9 (1+ x + x2)10 T×m hÖ sè a6 Gi¶i 1/  Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = Ck xk ( 0  k  19) 19  HÖ sè cña x7 øng víi k = 7  HÖ sè cña x7 lµ C197 2/  Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = 2k C1k5 3 x 2k - 15 (0  k  15)  Sè h¹ng kh«ng chøa x øng víi : 3k  15 0  k = 10 2  VËy hÖ sè cÇn t×m lµ : C10 210 15 5/  ViÕt l¹i : (1+ x + x2)10 = [ 1+(x + x2) ]10 = [ 1 + x.(1 + x) ]10  Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = Ck xk(1 + x)k ( 0  k  10) 10 k  Ta l¹i cã : (1 + x)k =  Ckm.xm (0  m  k ) m = 0 k  Uk+1 = C10k  Ckm.xm + k m = 0  Theo gi¶ thiÕt , ta cã : m + k = 3 , m , k  Z vµ 0  m  k Do ®ã , ta chän : + m = 0 , k = 3 + m = 1 , k = 2 VËy hÖ sè cña x3 trong khai triÓn lµ : C103 + C2 C1 10 2 12/ 4 5 45  ViÕt (x+2)4(x+1)5 =  C4k.xk.24 - k  C5m.xm =   C4k.C5m.24 - k.xm + k k = 0 m = 0 k = 0m = 0 6 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt  Ta thÊy hÖ sè a6 lµ hÖ sè cña x6 , do m  k 6 5 0 k 4 1  Chän : 2  ®ã ta cã : 0 m 5 242 m 4 m , k  N k t×m lµ : a6 = C44 C25 20 3 4 VËy hÖ sè ph¶i 3 2 + C34 C35 21 + C24 C45 22 + C14 C55 23 = tÝnh tæng c¸c hÖ sè trong mét khai triÓn A - Ph¬ng ph¸p 1 D¹ng 1 (ax + b)n = C0n an.xn + C1n an-1.b.xn-1 + …n + Ckn an-k.bk.xn-k + …n + Cnn bn  Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn lµ : S = C0n an + C1n an-1.b + …n + Ckn an-k.bk + …n + Cnn  Cho x = 1 , ta ®îc S = (a + b)n 2 D¹ng 2 C n0 1 kk + + Cnn-1.xn-1 + Cnn xn  (1 + x)n = + Cn x + + Cn x  S = C n0 1 + + Cnk + + Cnn-1 + C nn = 2n ( Cho x = 1) + Cn  (1 - x)n = C n0 - 1 x + +(-1) k Cnk xk + + (-1)n-1.Cnn-1.xn-1 + (-1)n Cnn xn Cn  S = C n0 1 + +(-1) k C nk + + (-1)n-1.Cnn-1 + (-1)n Cnn = 0 ( Cho x = 1) - Cn * Chó ý : Khi tÝnh tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn ta cho tÊt c¶ c¸c Èn b»ng 1 B - Bµi tËp 1/ TÝnh tæng c¸c hÖ sè trong c¸c khai triÓn sau : a/ (x + 2)10 c/ (2x + 3y)2009 e/ (1 – 2x)24 b/ (2x – 5)15 d/ (x - 1 )5 f/ (x + 3x2)19 x §¸p sè c/ S = 52009 e/ S = 1 a/ S = 310 b/ S = - 315 d/ S = 0 f/ S = 419 2/ Cho khai triÓn : (x+1)(x+2)15 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a16x16 TÝnh tæng : S = a0 + a1 + a2 + …n + a16 3/ Cho khai triÓn : (x+2)4(x+1)5 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a9x9 TÝnh tæng : S = a0 + a1 + a2 + …n + a9 §¸p sè 2/ S = 2.315 3/ S = 34.25 7 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt tÝnh tæng vµ chøng minh ®¼ng thøc A - Lý thuyÕt tæ hîp D¹ng 1 : Chän khai triÓn (x + b)n , sau ®ã chän x = a 1/NhËn d¹ng  Mçi sè h¹ng cã d¹ng Cknakbn - k hoÆc Cnkan - kbk  Chän khai triÓn (x + b)n , sau ®ã chän x = a  §Æc biÖt khi mçi sè h¹ng cã d¹ng Cnkak hoÆc Cnkbn - k  Chän khai triÓn (x + 1)n sau ®ã chän x = a 2/Bµi tËp Bµi 1 : 1/ TÝnh tæng S = 20C n0 + 11 + 22C n2 + + 2nC nn 2 Cn Gi¶i  Chän khai triÓn (1 + x)n , ta cã : 00 11 22 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  Víi x = 2  S = (1 + 2)n = 3n 2/ TÝnh tæng S = 50C 2n 0 + 11 + 52C 2n2 + + 5 2n C 2n 2n 5 C2n  Chän khai triÓn (x+1)2n víi x = 5 3/ TÝnh tæng S = 2100C0100 - 299C1100 + 298C2100 - - 21C99 100  20C100 100  Chän khai triÓn (x+1)100 víi x = - 2 4/ TÝnh tæng S = C2n 0 + C2n2 + C2n4 + + C2n2n  Chän khai triÓn (x+1)2n vµ (x-1)2n víi x = 1 5/ TÝnh tæng S = 10100 + 33C3 100 + 35C5 100 + + 399C99  Chän khai triÓn (x+1)n vµ 100 3C (x-1)n víi x = 3 6/ TÝnh tæng S = 20C79 0 + 22C792 + 24C794 + + 278C7978  Chän khai triÓn (x+1)79 vµ (x-1)79 víi x = 2 Bµi 2 : Chøng minh r»ng 1/ 20 3nCn0 1 n-1 1 + 223n-2Cn2 + + 2n 30Cnn 5n  Chän khai triÓn (x + 3)n , sau ®ã + 2 3 Cn chän x = 2 20Cn0 11 22Cn2 20Cn0  7 n 2 Cn 2/ n + n - 1 + n - 2 + + 0 =   3 3 3 3 3  Chän khai triÓn (x + 1 )n , sau ®ã chän x = 2 3 3/ S = Cn1 + 7Cn2 + 25Cn3 + + (3n -2)Cnn lµ mét sè chÝnh ph¬ng  S = (2n - 1)2 8 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt D¹ng 2 : Dïng ®¹o hµm cÊp 1 , cÊp 2 1/ NhËn d¹ng  Khi trong tổng cã mét thµnh phÇn hÖ sè t¨ng ®Òu hoÆc gi¶m ®Òu th× ta dïng ®¹o hµm cÊp mét  Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè lµ tÝch cña hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp th× ta dïng ®¹o hµm cÊp hai ; hoÆc tæng ®ã mÊt C no hoÆc 1 Cn 2/ Ph¬ng ph¸p  Bíc 1 : Chän khai triÓn (x + b)n khi mçi sè h¹ng trong tæng cã d¹ng k.Cnk.ak - 1.bn - k  Bíc 2 : Lêy ®¹o hµm cÊp 1 , cÊp 2  Bíc 3 : Chän x = a  KÕt qu¶ 3/ Bµi tËp Bµi 1 : TÝnh c¸c tæng sau : 1/ S = 01 12 + 3.22.C n3 + + n.2n-1.C nn 1.2 Cn + 2.2 Cn Gi¶i  Chän khai triÓn (x+1)n , ta ®îc : 00 11 22 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  LÊy ®¹o hµm cÊp 1 hai vÕ , ta ®îc : n(1 + x)n – 1 = 0 + 1.x0 C1n + 2.x1 C2n + …n + n.xn – 1 Cnn  Chän x = 2 , ta ®îc : S = n(1 + 2)n – 1 = n.3n - 1 0n 1 n-1 + (n-2).32.Cnn-2 n-1 1 2/ S = n.3 Cn + (n-1).3 Cn + +  Chän khai triÓn (x+3)n , 1.3 Cn lÊy ®¹o hµm cÊp 1 vµ chän x = 1 3/ S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + n.(n-1).Cnn Gi¶i  Chän khai triÓn (1 + x)n , ta ®îc : 00 11 22 33 44 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  LÊy ®¹o hµm cÊp 1 hai vÕ , ta ®îc : n(1 + x)n – 1 = 0 + 1.x0 1 + 2.x1 Cn2 + 3.x2 Cn3 + 4.x3 Cn4 + …n + n.xn – 1 Cnn (*) C n  LÊy ®¹o hµm cÊp 2 c¶ hai vÕ cña (*) , ta ®îc : n.(n – 1).(1 + x)n – 1 = 0 + 1.2.x0 Cn2 + 2.3.x1 Cn3 + 3.4.x2 Cn4 + …n + (n – 1)n.xn – 2 C nn  Chän x = 1 , ta ®îc : S = (n – 1).n.2n - 1 02 13 + 4.3.32.C200 4 198 200 4/ S = 2.1.3 C200 - 3.2.3 C200  Chän khai triÓn + + 200.1993 C200 (x+1)200 , lÊy ®¹o hµm cÊp 1; cÊp 2 vµ chän x = - 3 5/ S = 21 22.Cn2 + 32.C n3 + + n 2.Cnn 1 Cn + Gîi ý : Ph©n tÝch 12 = 1.1 ; 22 = 2.2 = 2.(1+1) ; 32 = 3.3 = 3(1 + 2) ; sau ®ã ph©n tÝch S = S1 + S2 6/ S = 1 3.C100 2 + 4.C100 3 + + 101.C100 100 2.C100 + Gîi ý : Ph©n tÝch 2 = 1 + 1 ; 3 = 1 + 2 ; …n; 101 = 1 + 100 , sau ®ã ph©n tÝch S = S1 + S2 Bµi 2 : Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau : 1/ 1.Cn + 2.Cn + 3.Cn + + n.Cn n.2123 n n-1 9 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 12 34 56 99 100 99 2/ 2.2 C200 +4.2 C200 + 6.2 C200 + + 100.2 C100 50(3 1) Gîi ý : Chän khai triÓn (x+1)100 , lÊy ®¹o hµm cÊp 1 , thay x = 2 , x = - 2 LÊy (1) – (2) ta ®îc kÕt qu¶ Bµi 3 : 1/ T×m sè nguyªn d¬ng n tho¶ m·n : 01 12 23 2n 2n+1 1.2 C2n+1- 2.2 C2n+1 + 3.2 C2n+1 - + (2n+1).2 C2n+1 2005 Gîi ý : Chän khai triÓn (x+1)2n+1 , lÊy ®¹o hµm cÊp 1vµ chän x = - 2 (n = 1002) 2/ T×m sè nguyªn d¬ng n tho¶ m·n : 01 12 23 2n-1 2n 2006 + 1.2 C2n - 2.2 C2n + 3.2 C2n - + 2n.2 C2n 0 Gîi ý : Chän khai triÓn (x+1)2n , lÊy ®¹o hµm cÊp 1vµ chän x = - 2 (n = 1003) D¹ng 3 : Dïng tÝch ph©n 1/ NhËn d¹ng Khi mçi sè h¹ng cã mÉu sè t¨ng ®Òu hoÆc gi¶m ®Òu th× ta dïng tÝch ph©n 2/ C¸c bíc gi¶i  Bíc 1 : Thêng gÆp sè h¹ng tæng qu¸t cã d¹ng : β k + 1 b k + 1 - αk + 1 n - kCkn th× ta chän khai triÓn (x + b)n = β  Bíc 2 : LÊy tÝch ph©n víi cËn :  α  Bíc 3 : TÝnh gi¸ trÞ cña mçi vÕ  KÕt qu¶ 3/ Bµi tËp Bµi 1 : TÝnh c¸c tæng sau : 21  1 0 22  1 1 23  1 2 2n1  1 n 1/ S  1 Cn  2 Cn  3 Cn   n 1 Cn Gi¶i  Chän khai triÓn (1+ x)n , ta ®îc : 00 11 22 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  LÊy tÝch ph©n hai vÕ víi cËn tõ 1 ®Õn 2 , ta ®îc : 2 2 (1 + x)ndx = (C0n x 0 + 11 + C n2 x 2 + + Cnn.xn )dx Cn x 1 1 (1 + x)n + 1 2 x1 0 2 x2 1 2 x3 2 2 xn + 1 n 2  = Cn  Cn  Cn   Cn n+1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 1 3n + 1  2n + 1 21  1 0 22  1 1 23  1 2 2n + 1  1 n  n + 1  1 Cn  2 Cn  3 Cn   n 1 Cn VËy S = 3n + 1  2n + 1 n + 1 21 0 22 1 23 2 2n + 1 n 2/ S = 1 Cn + 2 Cn + 3 Cn + + n + 1Cn  Chän khai triÓn (1+ x)n vµ lÊy tÝch ph©n cËn tõ 0 ®Õn 2 10 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã ch÷ sè ®øng ®Çu tiªn lµ sè lÎ 2/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã cã ®óng 3 ch÷ sè lÎ vµ 3 ch÷ sè ch½n (ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) §¸p sè Ta lÊy c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1/ Cã 42000 sè tho¶ m·n 2/  Chän bÊt k× 3 sè lÎ trong 5 sè lÎ lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 : C53  Chän bÊt k× 3 sè lÎ trong 5 sè ch½n lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 : C53 Mçi lÇn ho¸n vÞ 6 ch÷ sè ®· chän ta sÏ cã 6! Sè míi  Cã C35 C35 6! sè cã 3 ch÷ sè ch½n vµ 3 ch÷ sè lÎ  Khi ta ho¸n vÞ nh trªn th× cã trêng hîp cã sè 0 nh¶y lªn ®øng ®Çu XÐt trêng hîp nµy cã C35 C24 5! sè VËy cã : C35 C35 6! - C35 C24 5! = 64800 sè tho¶ m·n bµi to¸n Bµi 15 : Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 7 ch÷ sè ®ång thêi tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau : 1/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 3 lµ mét sè ch½n 2/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ cuèi cïng kh«ng chia hÕt cho 5 3/ C¸c ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 4 , thø 5 vµ thø 6 ®«i mét kh¸c nhau §¸p sè Cã 10.10.5 A103 8 = 2.880.000 sè tho¶ m·n bµi to¸n D¹ng 2 : Bµi to¸n chän ngêi Bµi 1 : Mét líp häc cã 10 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷ Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 12 ngêi 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ gåm 13 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 10 n÷ vµ ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ Gi¶i 1/  Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 10 + 15 = 25 häc sinh  Chän 12 ngêi bÊt k× trong 25 ngêi cã 12 c¸ch chän C 25 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau * Trêng hîp 1 : 10 n÷ vµ 3 nam  Cã 10 3 c¸ch chän C15 C10 * Trêng hîp 2 : 11 n÷ vµ 2 nam  Cã 11 2 c¸ch chän C15 C10 * Trêng hîp 3 : 12 n÷ vµ 1 nam  Cã 12 1 c¸ch chän C15 C10 Theo quy t¾c céng cã : C1015 C310 + C1115 C210 + C1215 C110 = 426335 c¸ch chän Bµi 2 : Mét líp häc cã 8 häc sinh nam vµ 12 häc sinh n÷ Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷ 2/ Chän ra mét nhãm gåm 10 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 nam Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 20 häc sinh  C¸ch 1 : Chia ra c¸c trêng hîp + Cã 1 nam vµ 5 n÷ + Cã 2 nam vµ 4 n÷ + Cã 3 nam vµ 3 n÷ 17 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt + Cã 4 nam vµ 2 n÷ + Cã 5 nam vµ 1 n÷  Dïng quy t¾c céng  C¸ch 2 : Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ - Chän ra 6 ngêi bÊt k× trong 20 ngêi cã C20 6 c¸ch - Chän ra 6 ngêi toµn lµ nam trong 8 nam cã C86 c¸ch - Chän ra 6 ngêi toµn lµ n÷ trong 12 n÷ cã C126 c¸ch  Sè c¸ch chän 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷ lµ : C620 - C86 - C126 = 37808 c¸ch 2/ Chia ra c¸c trêng hîp  cã 183370 c¸ch chän Bµi 3 : Mét líp häc cã 6 häc sinh nam vµ 9 häc sinh n÷ trong ®ã cã B×nh Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ban ®¹i diÖn gåm 7 ngêi trong ®ã lu«n cã mÆt cña B×nh 2/ Chän ra mét nhãm gåm 8 ngêi trong ®ã cã mét tæ trëng cßn l¹i lµ thµnh viªn biÕt r»ng kh«ng cã B×nh trong ®ã Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 6 + 9 = 15 häc sinh  V× ban ®¹i diÖn lu«n cã mÆt cña B×nh nªn ta chØ cÇn chän 6 ngêi trong 14 b¹n cßn l¹i VËy cã C146 c¸ch chän ban ®¹i diÖn 2/ V× kh«ng cã B×nh tham gia nªn chØ cã 14 b¹n  Chän mét tæ trëng cã 1 c¸ch chän (cßn 13 b¹n ) C14  Chän 7 b¹n cßn l¹i trong 13 b¹n cã C137 c¸ch chän  Theo quy t¾c nh©n cã : 1 C7 = 24024 c¸ch chän C14 13 Bµi 4 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã Nam 1/ Chän ra mét tæ trùc nhËt cã 8 b¹n , trong ®ã cã mét tæ trëng vµ cßn l¹i lµ thµnh viªn Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam lu«n cã mÆt trong tæ 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ 10 ngêi trong ®ã cã 1 tæ trëng , 1 th kÝ vµ c¸c thµnh viªn Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt Gi¶i 1/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Nam lµ tæ trëng  ChØ cÇn chän 7 b¹n cßn l¹i trong 19 ngêi cßn l¹i  Cã C197 c¸ch chän  Trêng hîp 2 : Nam kh«ng lµ tæ trëng - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cßn l¹i cã 1 c¸ch chän C19 - Chän 6 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C186 c¸ch chän  Cã C1 C6 c¸ch chän 19 18 VËy theo quy t¾c céng cã : C197 + C1 C6 c¸ch chän 19 18 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Nam lµ tæ trëng - Chän mét th kÝ trong 19 ngêi cã 1 c¸ch chän C19 18 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt - Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C188 c¸ch  Cã C1 C8 c¸ch chän 19 18  Trêng hîp 2 : Nam lµ th kÝ - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã 1 c¸ch chän C19 - Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C188 c¸ch  Cã C1 C8 c¸ch chän 19 18  Trêng hîp 3 : Nam lµ thµnh viªn - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã 1 c¸ch chän C19 - Chän mét th kÝ trong 18 ngêi cã 1 c¸ch chän C18 - Chän 7 thµnh viªn trong 17 ngêi cßn l¹i cã C177 c¸ch  Cã C1 C1 C7 c¸ch chän 19 18 17 Bµi 5 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã 2 c¸n bé líp Hái cã bao nhiªu c¸ch chän 3 ngêi ®i dù ®¹i héi sinh viªn cña trêng sao cho trong 3 ngêi ®ã cã Ýt nhÊt mét c¸n bé líp Gi¶i Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Cã 1 c¸n bé líp - Chän 1 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã 1 c¸ch chän C 2 - Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã C182 c¸ch chän  Cã C1 C2 c¸ch chän 2 18 Trêng hîp 2 : Cã 2 c¸n bé líp - Chän 2 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã C22 c¸ch chän - Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã C182 c¸ch chän  Cã C2 C2 c¸ch chän 2 18 VËy theo quy t¾c céng cã : C1 C2 + C2 C2 = 324 c¸ch chän 2 18 2 18 Bµi tËp tù gi¶i Bµi 6 : Mét ®éi v¨n nghÖ cã 20 ngêi trong ®ã cã 10 nam vµ 10 n÷ Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ra 5 ngêi sao cho : 1/ Cã ®óng 2 nam 2/ Cã Ýt nhÊt 2 nam vµ Ýt nhÊt 1 n÷ trong ®ã §¸p sè 1/ C2 C3 = 5400 c¸ch 10 10 2/ C2 C3 + C3 C2 + C4 C1 = 12900 c¸ch 10 10 10 10 10 10 Bµi 7 : Mét tËp thÓ gåm 14 ngêi trong ®ã cã 6 nam vµ 8 n÷ trong ®ã cã Thanh vµ Th¬ , ngêi ta muèn chän mét tæ c«ng t¸c gåm 6 ngêi T×m sè c¸ch chän trong mçi trêng hîp sau : 1/ Trong tæ ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ 2/ Trong tæ ph¶i cã 1 tæ trëng , 5 tæ viªn h¬n n÷a Thanh vµ Th¬ kh«ng ®ång thêi cã mÆt trong tæ §¸p sè 19 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1/ Cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ  Cã 2974 c¸ch tho¶ m·n bµi to¸n 2/ Híng dÉn (cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ) - Bíc 1 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn (A) - Bíc 2 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn trong ®ã c¶ Thanh vµ Th¬ cïng cã mÆt (B) KÕt qu¶ : A – B = 15048 c¸ch Bµi 8 : Mét líp häc cã 30 häc sinh gåm 3 lo¹i : Cã 5 häc sinh giái , 10 häc sinh trung b×nh vµ 15 häc sinh yÕu 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 5 häc sinh cã ®ñ c¶ ba lo¹i vµ kh«ng cã qu¸ 2 häc sinh yÕu 2/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 7 häc sinh cã ®óng 2 häc sinh yÕu , cã Ýt nhÊt 1 häc sinh giái vµ cã Ýt nhÊt mét häc sinh trung b×nh §¸p sè 1/ C1 C1 C3 + C1 C2 C2 + C1 C3 C1 + C2 C1 C2 + C2 C2 C1 15 5 10 15 5 10 15 5 10 15 5 10 15 5 10 2/ C2 C1 C4 + C2 C2 C3 + C2 C3 C2 + C2 C4 C1 15 5 10 15 5 10 15 5 10 15 5 10 D¹ng 3 : Bµi to¸n ®Õm sè ®iÓm , sè ®a gi¸c , sè c¹nh Bµi 1 : TÝnh sè ®êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi n c¹nh Gi¶i  Nèi hai ®Ønh bÊt k× cña ®a gi¸c ta ®îc mét ®êng chÐo hoÆc mét c¹nh  VËy sè ®êng chÐo vµ sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ : Cn2  Sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ n  Sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c lµ : Cn2 - n = n(n  3) 2 Bµi 2 : Trªn mét ®êng trßn cho 10 ®iÓm Hái cã bao nhiªu tam gi¸c nhËn c¸c ®iÓm ®ã lµm ®Ønh  NhËn thÊy 10 ®iÓm trªn mét ®êng trßn th× kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng  Cø 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng t¹o thµnh mét tam gi¸c  Sè tam gi¸c ph¶i t×m lµ : C103 = 120 Bµi 3 : Cho hai ®êng th¼ng song song Trªn ®êng thø nhÊt cã 10 ®iÓm , trªn ®êng thø hai cã 15 ®iÓm Hái cã bao nhiªu tam gi¸c t¹o bëi c¸c ®iÓm ®· cho 20 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 ... to? ?n Bµi tập tự giải Bài : Tìm tất số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lớn 70.000 Đáp số Các chữ sè lÊy lµ : 0,1 , 2,3 , 4,5 , 6,7 , 8,9  Cã 4386 số thoả mÃn Bài 10 : Từ chữ số 1,2 , 3,4 , 5,6 ,7 ... {( 1,3 ,5 ) ; ( 2,3 ,4 )}  Trêng hỵp : Chän bé ( 1,3 ,5 ) cã P3 = A33 = sè tho¶ m·n  Trêng hỵp : Chän bé ( 2,3 ,4 ) cã P3 = A33 = sè tho¶ m·n Theo quy t¾c céng cã : + = 12 số thoả mÃn Bài : Với số 0,1 , 2,3 , 4,5 ,6 ... c¸ch chän (1 , , ) - NÕu a2 = th× a3 có cách chọn ( 2,4 , 5,6 ) Có số dạng 31a3 thoả mÃn - Nếu a2 = a3 cã c¸ch chän ( 1,4 , 5,6 )  Cã sè dạng 32a3 thoả mÃn - Nếu a2 = a3 có cách chọn ( 1,2 ) Có số

Ngày đăng: 19/09/2013, 21:10

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác là 2 - Hot Dai so to hop , xac suat
y số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh của đa giác là 2 (Trang 26)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w