Hot Dai so to hop , xac suat

Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt PhÇn 1 ph¬ng tr×nh , bÊt ph¬ng tr×nh , hÖ ph¬ng tr×nh chøa Pn , Akn , Ckn Víi  Pn lµ sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö : Pn = n! = 1.2.3…nn  Ank lµ sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö : Ank = n ! (n  k) ! ( 0 ≤ k ≤ n )  Cnk lµ sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö : Cnk = n ! k!(n  k) ! ( 0 ≤ k ≤ n ) I/ Ph¬ng ph¸p TiÕn hµnh theo c¸c bíc sau :  Bíc 1 : §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc Pn , Ank , Cnk + §èi víi : Pn th× ®iÒu kiÖn : n lµ sè nguyªn d¬ng (n ≥ 1 , n  N) k k 0 k n + §èi víi : An vµ Cn th× ®iÒu kiÖn :  k, n  N  Bíc 2 : Dïng c¸c c«ng thøc sau ®Ó rót gän : + Pn = n! = 1.2.3…nn + Akn = ( 0 ≤ k ≤ n ) + Cnk = n ! k!(n  k) ! ( 0 ≤ k ≤ n )  Bíc 3 : Sau khi rót gän ta ®a vÒ ph¬ng tr×nh , bÊt ph¬ng tr×nh , hÖ ph¬ng tr×nh ®· biÕt c¸ch gi¶i Gi¶i vµ t×m nghiÖm thÝch hîp víi ®iÒu kiÖn  Bíc 4 : KÕt luËn Chó ý : §èi víi hÖ ph¬ng tr×nh ta cã thÓ gi¶i theo ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô II/ Bµi tËp Bµi 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1/ Cn3 = 5Cn1 6/ C2n + 1- A2n - 4n3 = (A12n )2 2/ C14n + C14n + 2 = 2C14n + 1 7/ Cx1 + 6Cx2  6Cx3 9x2  14x 3/ 3 Cn2 + 1+ n.P2 = 4An2 8/ x 5 - x 2 = x 14 C5 C6 C7 4/ Cn -1 4  Cn -2 3  54 An 2 2 0 9/ PxAx2 + 72 = 6(Ax2 + 2Px ) 5/ C2n.Cn-2 n  2C2n.C3n  C3n.Cn-3 n 100 10/ Cn + 4 n + 1 - Cn +3 n = 7(n + 3) Gi¶i 1/  §iÒu kiÖn : n ≥ 3 , n  N  Pt ®· cho  n! 5 n!  (n-2)(n-1) = 30   n 7 3!(n  3)! (n  1)!  n  4(loai) 1 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt  VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : n = 7 2/ 14 n  2  §iÒu kiÖn :   n  12 , n  N n N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n2 – 12n + 32 = 0   n 4 (tho¶ m·n)  n 8 3/  §iÒu kiÖn : n ≥ 2 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n2 – 15n = 0   n 0 (loai)  n 3 4/  §iÒu kiÖn : n ≥ 5 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n2 – 9n – 22 = 0   n  2 (loai)  n 11 5/  §iÒu kiÖn : n ≥ 3 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : n3 – n – 60 = 0  (n- 4)(n2 + 4n + 15) = 0  n=4 6/  §iÒu kiÖn : n ≥ 2 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : 8n3 + 9n2 – 3n = 0   2  n 0 (loai) 8n  9n  3 0 (V« nghiÖm) 7/  §iÒu kiÖn : x ≥ 3 , n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : x(x2 – 9x + 14) = 0  x = 0 ; x = 7 ; x = 2  x = 7 8/  §iÒu kiÖn : 0  x  5 , x  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : x2 – 14x + 33 = 0   x 11 (loai)  x=3  x 3 9/  §iÒu kiÖn : x ≥ 2 , x  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc ph¬ng tr×nh : (x! - 6)(x2 – x – 12) = 0  x! 6 2  x = 3 , x = 4  x  x  12 0 10/  §iÒu kiÖn : n  N  Sau khi biÕn ®æi , ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : n = 12 Bµi 2 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 2 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1/ x 1 - x 1 = x 1 3/ 3 An4 24 C4 C5 C6 4 An1  Cn 23 2/ C1x + 6Cx-2 x  6Cx-3 x 46Cx-1 x  14x2 5/ PxCx+1 3 + 60 = 2(3Cx+1 x-2 + 5Px ) 4/ PxAx2 + 180 = 6(Ax2 + 5Px ) §¸p sè 3/ n = 5 1/ x = 2 4/ x = 3 ; x = 6 2/ x = 5 ; x = 9 5/ x = 3 ; x = 4 Bµi 3 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau : 1/ 1 Ax +1 3 72 2/ Cx1 + 6Cx2  6Cx3 9x2  14x 72Cx - Gi¶i 1/  §iÒu kiÖn : x ≥ 2 , x  N (*) 2 x 8  BiÕn ®æi bpt ®· cho  x + x - 72  0  -9  x  8 , giao víi (*) ®îc : 2 x  N 2/  §iÒu kiÖn : x ≥ 3 , x  N (*) 3 x 7  BiÕn ®æi bpt ®· cho  x - 9x + 14  0  2  x  7 , giao víi (*) ®îc : 2 x  N Bµi 4 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau : 1/ x 5 - x 2  x 14 2/ C2x 2 - Ax2 6x Cx3 10 C5 C6 C7 3/ Cx+2 2 + Cx +2 3  5 Ax2 4/ Cx-1 4 - Cx -1 3  54 Ax 2 2 0 2 §¸p sè 3 x 5 3 x 4  x = 3 ; x = 4 1/  2/  x  N x  N x 2 5 x 11 3/  4/  x  N x  N Bµi 5 : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : 2 Axy  5Cxy 90 2/ Cy + 1 x + 1: Cyx +1 : Cy - 1 x +1 5 : 5 : 3 1/  y 5Ax  2Cx 80y Gi¶i 1/  §iÒu kiÖn : 0 < y  x , x ; y  N (*)  §Æt : u = Axy ; v = Cxy Ta ®îc : u = 20 ; v = 10  Ta cã : u = v.y!  y! = 2  y = 2  x2 – x – 20 = 0  x = 5 ; x = - 4 (lo¹i) 3 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt x 5 VËy nghiÖm cña hÖ pt lµ :   y 2 2/  §iÒu kiÖn : 0  y  x , x ; y  N (*)  Cx + 1 y + 1 5 y Cx + 1 5 x  2 y 0 x 6  §a vÒ hÖ pt sau :  y     (tho¶ m·n) Cx + 1 5 3x  8 y  6  y 3  y-1  Cx + 1 3 Bµi 6 : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : 3Axy  2Cxy 80 ( Axy )2  (Cx2 )2  36 3Cx2 Axy 1/  y 2/  y 2 5Ax  6Cx 40y 2y  Ax  Cx  54 Cx Ax 3/ Cy + 1 x + 1: Cyx : Cy - 1 x -1 6 : 5 : 4 §¸p sè 2/ Gîi ý : 1/ x = 5 , y = 2 + §K : x ≥ 2 ; x ≥ y ; x , y  N + u = Axy ; v = Cx2 3/ x = 5 ; y = 4 + NghiÖm : x = 4 ; y = 2 PhÇn 2 NhÞ thøc newton vµ c¸c d¹ng to¸n liªn quan I/ Lý thuyÕt chung 1/ D¹ng khai triÓn : (a + b)n = C0n an + C1n an-1.b + + Ckn an-k bk + + Cn-1 n a.bn-1 + Cnn bn 2/ Mét sè nhËn xÐt trong khai triÓn nhÞ thøc Newton */ Trong khai triÓn cã n + 1 sè h¹ng */ Trong khai triÓn sè mò cña a gi¶m dÇn tõ n xuèng 0 , sè mò cña b t¨ng dÇn tõ 0 ®Õn n nhng lu«n ®¶m b¶o tæng sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng lu«n b»ng n */ Sè h¹ng tæng qu¸t (sè h¹ng ®øng thø k + 1 trong khai triÓn ) : Uk + 1 = Cnk an  k bk ( 0 ≤ k ≤ n ) 4 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt */ Sè h¹ng ®øng gi÷a trong khai triÓn +/ NÕu n lÎ th× sè h¹ng ®øng thø : n + 1 vµ n + 1 + 1 trong khai triÓn lµ hai sè 2 2 h¹ng ®øng gi÷a +/ NÕu n ch½n th× sè h¹ng ®øng thø n + 1 trong khai triÓn lµ sè h¹ng ®øng gi÷a 2 */ Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (ax + b)n lµ : (a + b)n víi a , b  R (Cho x = 1) 3/ Mét sè khai triÓn ®Æc biÖt cña nhÞ thøc Newton C n0 1 kk + + Cnn-1.xn-1 + Cnn xn * D¹ng 1 : (1 + x)n = + Cn x + + Cn x * D¹ng 2 : (1 - x)n = C n0 - 1 x + +(-1) k Cnk xk + + (-1)n-1.Cnn-1.xn-1 + (-1)n Cnn xn Cn Thay x = 1 ; x = - 1 vµo D¹ng 1 , ta ®îc : + ) C n0 1 + + Cnk + + Cnn-1 + C nn = 2n + Cn + ) C n0 1 + +(-1) k C nk + + (-1)n-1.Cnn-1 + (-1)n Cnn = 0 - Cn II/ C¸c d¹ng to¸n hay gÆp X¸c ®Þnh hÖ sè hoÆc sè h¹ng trong mét khai triÓn A- Ph¬ng ph¸p Uk + 1 = Cnk a n  k bk */ Bíc 1 : ViÕt sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : */ Bíc 2 : T×m hÖ sè cña xm ta lµm nh sau : +/ Nhãm x vµo vµ cho sè mò cña x b»ng m  T×m ®uîc k +/ Thay k vµo ta ®îc hÖ sè */ Bíc 3 : T×m sè h¹ng thø m trong khai triÓn , ta lµm nh sau : +/ Ta cho k + 1 = m  k = m – 1 +/ T×m ®îc k ta t×m ®îc sè h¹ng thø m Chó ý : §Ó t×m sè h¹ng kh«ng chøa x (Sè h¹ng ®éc lËp víi x ) trong khai triÓn ta lµm nh trªn vµ cho sè mò cña x b»ng 0  T×m ®îc k B - Bµi tËp ¸p dông 8/T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn nhÞ 1/ T×m hÖ sè cña x7 trong khai triÓn nhÞ thøc : (1 + x)19 (k = 7) thøc 1 n  3+ x5  biÕt Cn+1 - Cn+1 = 7(n +3) x  n+4 n+3  (n = 12 ; k = 8) 2/ T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai 9/Cho khai triÓn  1  x2 + 3 n x 19 Cho biÕt triÓn  1  x + 2 x  (k = 10)   tæng ba hÖ sè ®Çu tiªn cña khai triÓn b»ng 79 T×m sè h¹ng chøa x4 (n = 12 , k = 4) 5 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 3/ T×m sè h¹ng chøa x2 trong khai triÓn 10/T×m sè h¹ng ®øng gi÷a trong khai triÓn  2 + 19 10  3 x2 x3  ( k = 6)  1 + 3 x  (sè h¹ng ®øng thø 6)  5  x  4/ T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai 11/ Cho khai triÓn (x+1)(x+2)15 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a16x16 n C159 26 10 5  1 + 3 x  biÕt C3n = 5C1n triÓn  4  T×m hÖ sè a10 (a10 = + C15.2 ) x  (n = 7 ; k = 4) 5/ T×m c¸c sè h¹ng chøa x3 trong khai triÓn 12/ Cho khai triÓn (x+2)4(x+1)5 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a9x9 (1+ x + x2)10 T×m hÖ sè a6 Gi¶i 1/  Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = Ck xk ( 0  k  19) 19  HÖ sè cña x7 øng víi k = 7  HÖ sè cña x7 lµ C197 2/  Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = 2k C1k5 3 x 2k - 15 (0  k  15)  Sè h¹ng kh«ng chøa x øng víi : 3k  15 0  k = 10 2  VËy hÖ sè cÇn t×m lµ : C10 210 15 5/  ViÕt l¹i : (1+ x + x2)10 = [ 1+(x + x2) ]10 = [ 1 + x.(1 + x) ]10  Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = Ck xk(1 + x)k ( 0  k  10) 10 k  Ta l¹i cã : (1 + x)k =  Ckm.xm (0  m  k ) m = 0 k  Uk+1 = C10k  Ckm.xm + k m = 0  Theo gi¶ thiÕt , ta cã : m + k = 3 , m , k  Z vµ 0  m  k Do ®ã , ta chän : + m = 0 , k = 3 + m = 1 , k = 2 VËy hÖ sè cña x3 trong khai triÓn lµ : C103 + C2 C1 10 2 12/ 4 5 45  ViÕt (x+2)4(x+1)5 =  C4k.xk.24 - k  C5m.xm =   C4k.C5m.24 - k.xm + k k = 0 m = 0 k = 0m = 0 6 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt  Ta thÊy hÖ sè a6 lµ hÖ sè cña x6 , do m  k 6 5 0 k 4 1  Chän : 2  ®ã ta cã : 0 m 5 242 m 4 m , k  N k t×m lµ : a6 = C44 C25 20 3 4 VËy hÖ sè ph¶i 3 2 + C34 C35 21 + C24 C45 22 + C14 C55 23 = tÝnh tæng c¸c hÖ sè trong mét khai triÓn A - Ph¬ng ph¸p 1 D¹ng 1 (ax + b)n = C0n an.xn + C1n an-1.b.xn-1 + …n + Ckn an-k.bk.xn-k + …n + Cnn bn  Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn lµ : S = C0n an + C1n an-1.b + …n + Ckn an-k.bk + …n + Cnn  Cho x = 1 , ta ®îc S = (a + b)n 2 D¹ng 2 C n0 1 kk + + Cnn-1.xn-1 + Cnn xn  (1 + x)n = + Cn x + + Cn x  S = C n0 1 + + Cnk + + Cnn-1 + C nn = 2n ( Cho x = 1) + Cn  (1 - x)n = C n0 - 1 x + +(-1) k Cnk xk + + (-1)n-1.Cnn-1.xn-1 + (-1)n Cnn xn Cn  S = C n0 1 + +(-1) k C nk + + (-1)n-1.Cnn-1 + (-1)n Cnn = 0 ( Cho x = 1) - Cn * Chó ý : Khi tÝnh tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn ta cho tÊt c¶ c¸c Èn b»ng 1 B - Bµi tËp 1/ TÝnh tæng c¸c hÖ sè trong c¸c khai triÓn sau : a/ (x + 2)10 c/ (2x + 3y)2009 e/ (1 – 2x)24 b/ (2x – 5)15 d/ (x - 1 )5 f/ (x + 3x2)19 x §¸p sè c/ S = 52009 e/ S = 1 a/ S = 310 b/ S = - 315 d/ S = 0 f/ S = 419 2/ Cho khai triÓn : (x+1)(x+2)15 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a16x16 TÝnh tæng : S = a0 + a1 + a2 + …n + a16 3/ Cho khai triÓn : (x+2)4(x+1)5 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a9x9 TÝnh tæng : S = a0 + a1 + a2 + …n + a9 §¸p sè 2/ S = 2.315 3/ S = 34.25 7 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt tÝnh tæng vµ chøng minh ®¼ng thøc A - Lý thuyÕt tæ hîp D¹ng 1 : Chän khai triÓn (x + b)n , sau ®ã chän x = a 1/NhËn d¹ng  Mçi sè h¹ng cã d¹ng Cknakbn - k hoÆc Cnkan - kbk  Chän khai triÓn (x + b)n , sau ®ã chän x = a  §Æc biÖt khi mçi sè h¹ng cã d¹ng Cnkak hoÆc Cnkbn - k  Chän khai triÓn (x + 1)n sau ®ã chän x = a 2/Bµi tËp Bµi 1 : 1/ TÝnh tæng S = 20C n0 + 11 + 22C n2 + + 2nC nn 2 Cn Gi¶i  Chän khai triÓn (1 + x)n , ta cã : 00 11 22 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  Víi x = 2  S = (1 + 2)n = 3n 2/ TÝnh tæng S = 50C 2n 0 + 11 + 52C 2n2 + + 5 2n C 2n 2n 5 C2n  Chän khai triÓn (x+1)2n víi x = 5 3/ TÝnh tæng S = 2100C0100 - 299C1100 + 298C2100 - - 21C99 100  20C100 100  Chän khai triÓn (x+1)100 víi x = - 2 4/ TÝnh tæng S = C2n 0 + C2n2 + C2n4 + + C2n2n  Chän khai triÓn (x+1)2n vµ (x-1)2n víi x = 1 5/ TÝnh tæng S = 10100 + 33C3 100 + 35C5 100 + + 399C99  Chän khai triÓn (x+1)n vµ 100 3C (x-1)n víi x = 3 6/ TÝnh tæng S = 20C79 0 + 22C792 + 24C794 + + 278C7978  Chän khai triÓn (x+1)79 vµ (x-1)79 víi x = 2 Bµi 2 : Chøng minh r»ng 1/ 20 3nCn0 1 n-1 1 + 223n-2Cn2 + + 2n 30Cnn 5n  Chän khai triÓn (x + 3)n , sau ®ã + 2 3 Cn chän x = 2 20Cn0 11 22Cn2 20Cn0  7 n 2 Cn 2/ n + n - 1 + n - 2 + + 0 =   3 3 3 3 3  Chän khai triÓn (x + 1 )n , sau ®ã chän x = 2 3 3/ S = Cn1 + 7Cn2 + 25Cn3 + + (3n -2)Cnn lµ mét sè chÝnh ph¬ng  S = (2n - 1)2 8 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt D¹ng 2 : Dïng ®¹o hµm cÊp 1 , cÊp 2 1/ NhËn d¹ng  Khi trong tổng cã mét thµnh phÇn hÖ sè t¨ng ®Òu hoÆc gi¶m ®Òu th× ta dïng ®¹o hµm cÊp mét  Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè lµ tÝch cña hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp th× ta dïng ®¹o hµm cÊp hai ; hoÆc tæng ®ã mÊt C no hoÆc 1 Cn 2/ Ph¬ng ph¸p  Bíc 1 : Chän khai triÓn (x + b)n khi mçi sè h¹ng trong tæng cã d¹ng k.Cnk.ak - 1.bn - k  Bíc 2 : Lêy ®¹o hµm cÊp 1 , cÊp 2  Bíc 3 : Chän x = a  KÕt qu¶ 3/ Bµi tËp Bµi 1 : TÝnh c¸c tæng sau : 1/ S = 01 12 + 3.22.C n3 + + n.2n-1.C nn 1.2 Cn + 2.2 Cn Gi¶i  Chän khai triÓn (x+1)n , ta ®îc : 00 11 22 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  LÊy ®¹o hµm cÊp 1 hai vÕ , ta ®îc : n(1 + x)n – 1 = 0 + 1.x0 C1n + 2.x1 C2n + …n + n.xn – 1 Cnn  Chän x = 2 , ta ®îc : S = n(1 + 2)n – 1 = n.3n - 1 0n 1 n-1 + (n-2).32.Cnn-2 n-1 1 2/ S = n.3 Cn + (n-1).3 Cn + +  Chän khai triÓn (x+3)n , 1.3 Cn lÊy ®¹o hµm cÊp 1 vµ chän x = 1 3/ S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + + n.(n-1).Cnn Gi¶i  Chän khai triÓn (1 + x)n , ta ®îc : 00 11 22 33 44 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  LÊy ®¹o hµm cÊp 1 hai vÕ , ta ®îc : n(1 + x)n – 1 = 0 + 1.x0 1 + 2.x1 Cn2 + 3.x2 Cn3 + 4.x3 Cn4 + …n + n.xn – 1 Cnn (*) C n  LÊy ®¹o hµm cÊp 2 c¶ hai vÕ cña (*) , ta ®îc : n.(n – 1).(1 + x)n – 1 = 0 + 1.2.x0 Cn2 + 2.3.x1 Cn3 + 3.4.x2 Cn4 + …n + (n – 1)n.xn – 2 C nn  Chän x = 1 , ta ®îc : S = (n – 1).n.2n - 1 02 13 + 4.3.32.C200 4 198 200 4/ S = 2.1.3 C200 - 3.2.3 C200  Chän khai triÓn + + 200.1993 C200 (x+1)200 , lÊy ®¹o hµm cÊp 1; cÊp 2 vµ chän x = - 3 5/ S = 21 22.Cn2 + 32.C n3 + + n 2.Cnn 1 Cn + Gîi ý : Ph©n tÝch 12 = 1.1 ; 22 = 2.2 = 2.(1+1) ; 32 = 3.3 = 3(1 + 2) ; sau ®ã ph©n tÝch S = S1 + S2 6/ S = 1 3.C100 2 + 4.C100 3 + + 101.C100 100 2.C100 + Gîi ý : Ph©n tÝch 2 = 1 + 1 ; 3 = 1 + 2 ; …n; 101 = 1 + 100 , sau ®ã ph©n tÝch S = S1 + S2 Bµi 2 : Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau : 1/ 1.Cn + 2.Cn + 3.Cn + + n.Cn n.2123 n n-1 9 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 12 34 56 99 100 99 2/ 2.2 C200 +4.2 C200 + 6.2 C200 + + 100.2 C100 50(3 1) Gîi ý : Chän khai triÓn (x+1)100 , lÊy ®¹o hµm cÊp 1 , thay x = 2 , x = - 2 LÊy (1) – (2) ta ®îc kÕt qu¶ Bµi 3 : 1/ T×m sè nguyªn d¬ng n tho¶ m·n : 01 12 23 2n 2n+1 1.2 C2n+1- 2.2 C2n+1 + 3.2 C2n+1 - + (2n+1).2 C2n+1 2005 Gîi ý : Chän khai triÓn (x+1)2n+1 , lÊy ®¹o hµm cÊp 1vµ chän x = - 2 (n = 1002) 2/ T×m sè nguyªn d¬ng n tho¶ m·n : 01 12 23 2n-1 2n 2006 + 1.2 C2n - 2.2 C2n + 3.2 C2n - + 2n.2 C2n 0 Gîi ý : Chän khai triÓn (x+1)2n , lÊy ®¹o hµm cÊp 1vµ chän x = - 2 (n = 1003) D¹ng 3 : Dïng tÝch ph©n 1/ NhËn d¹ng Khi mçi sè h¹ng cã mÉu sè t¨ng ®Òu hoÆc gi¶m ®Òu th× ta dïng tÝch ph©n 2/ C¸c bíc gi¶i  Bíc 1 : Thêng gÆp sè h¹ng tæng qu¸t cã d¹ng : β k + 1 b k + 1 - αk + 1 n - kCkn th× ta chän khai triÓn (x + b)n = β  Bíc 2 : LÊy tÝch ph©n víi cËn :  α  Bíc 3 : TÝnh gi¸ trÞ cña mçi vÕ  KÕt qu¶ 3/ Bµi tËp Bµi 1 : TÝnh c¸c tæng sau : 21  1 0 22  1 1 23  1 2 2n1  1 n 1/ S  1 Cn  2 Cn  3 Cn   n 1 Cn Gi¶i  Chän khai triÓn (1+ x)n , ta ®îc : 00 11 22 nn (1 + x)n = Cn.x + Cn.x + Cn.x + + Cn.x  LÊy tÝch ph©n hai vÕ víi cËn tõ 1 ®Õn 2 , ta ®îc : 2 2 (1 + x)ndx = (C0n x 0 + 11 + C n2 x 2 + + Cnn.xn )dx Cn x 1 1 (1 + x)n + 1 2 x1 0 2 x2 1 2 x3 2 2 xn + 1 n 2  = Cn  Cn  Cn   Cn n+1 1 1 1 2 1 3 1 n 1 1 3n + 1  2n + 1 21  1 0 22  1 1 23  1 2 2n + 1  1 n  n + 1  1 Cn  2 Cn  3 Cn   n 1 Cn VËy S = 3n + 1  2n + 1 n + 1 21 0 22 1 23 2 2n + 1 n 2/ S = 1 Cn + 2 Cn + 3 Cn + + n + 1Cn  Chän khai triÓn (1+ x)n vµ lÊy tÝch ph©n cËn tõ 0 ®Õn 2 10 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã ch÷ sè ®øng ®Çu tiªn lµ sè lÎ 2/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã cã ®óng 3 ch÷ sè lÎ vµ 3 ch÷ sè ch½n (ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) §¸p sè Ta lÊy c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1/ Cã 42000 sè tho¶ m·n 2/  Chän bÊt k× 3 sè lÎ trong 5 sè lÎ lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 : C53  Chän bÊt k× 3 sè lÎ trong 5 sè ch½n lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 : C53 Mçi lÇn ho¸n vÞ 6 ch÷ sè ®· chän ta sÏ cã 6! Sè míi  Cã C35 C35 6! sè cã 3 ch÷ sè ch½n vµ 3 ch÷ sè lÎ  Khi ta ho¸n vÞ nh trªn th× cã trêng hîp cã sè 0 nh¶y lªn ®øng ®Çu XÐt trêng hîp nµy cã C35 C24 5! sè VËy cã : C35 C35 6! - C35 C24 5! = 64800 sè tho¶ m·n bµi to¸n Bµi 15 : Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 7 ch÷ sè ®ång thêi tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau : 1/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 3 lµ mét sè ch½n 2/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ cuèi cïng kh«ng chia hÕt cho 5 3/ C¸c ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 4 , thø 5 vµ thø 6 ®«i mét kh¸c nhau §¸p sè Cã 10.10.5 A103 8 = 2.880.000 sè tho¶ m·n bµi to¸n D¹ng 2 : Bµi to¸n chän ngêi Bµi 1 : Mét líp häc cã 10 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷ Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 12 ngêi 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ gåm 13 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 10 n÷ vµ ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ Gi¶i 1/  Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 10 + 15 = 25 häc sinh  Chän 12 ngêi bÊt k× trong 25 ngêi cã 12 c¸ch chän C 25 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau * Trêng hîp 1 : 10 n÷ vµ 3 nam  Cã 10 3 c¸ch chän C15 C10 * Trêng hîp 2 : 11 n÷ vµ 2 nam  Cã 11 2 c¸ch chän C15 C10 * Trêng hîp 3 : 12 n÷ vµ 1 nam  Cã 12 1 c¸ch chän C15 C10 Theo quy t¾c céng cã : C1015 C310 + C1115 C210 + C1215 C110 = 426335 c¸ch chän Bµi 2 : Mét líp häc cã 8 häc sinh nam vµ 12 häc sinh n÷ Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷ 2/ Chän ra mét nhãm gåm 10 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 nam Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 20 häc sinh  C¸ch 1 : Chia ra c¸c trêng hîp + Cã 1 nam vµ 5 n÷ + Cã 2 nam vµ 4 n÷ + Cã 3 nam vµ 3 n÷ 17 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt + Cã 4 nam vµ 2 n÷ + Cã 5 nam vµ 1 n÷  Dïng quy t¾c céng  C¸ch 2 : Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ - Chän ra 6 ngêi bÊt k× trong 20 ngêi cã C20 6 c¸ch - Chän ra 6 ngêi toµn lµ nam trong 8 nam cã C86 c¸ch - Chän ra 6 ngêi toµn lµ n÷ trong 12 n÷ cã C126 c¸ch  Sè c¸ch chän 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷ lµ : C620 - C86 - C126 = 37808 c¸ch 2/ Chia ra c¸c trêng hîp  cã 183370 c¸ch chän Bµi 3 : Mét líp häc cã 6 häc sinh nam vµ 9 häc sinh n÷ trong ®ã cã B×nh Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ban ®¹i diÖn gåm 7 ngêi trong ®ã lu«n cã mÆt cña B×nh 2/ Chän ra mét nhãm gåm 8 ngêi trong ®ã cã mét tæ trëng cßn l¹i lµ thµnh viªn biÕt r»ng kh«ng cã B×nh trong ®ã Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 6 + 9 = 15 häc sinh  V× ban ®¹i diÖn lu«n cã mÆt cña B×nh nªn ta chØ cÇn chän 6 ngêi trong 14 b¹n cßn l¹i VËy cã C146 c¸ch chän ban ®¹i diÖn 2/ V× kh«ng cã B×nh tham gia nªn chØ cã 14 b¹n  Chän mét tæ trëng cã 1 c¸ch chän (cßn 13 b¹n ) C14  Chän 7 b¹n cßn l¹i trong 13 b¹n cã C137 c¸ch chän  Theo quy t¾c nh©n cã : 1 C7 = 24024 c¸ch chän C14 13 Bµi 4 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã Nam 1/ Chän ra mét tæ trùc nhËt cã 8 b¹n , trong ®ã cã mét tæ trëng vµ cßn l¹i lµ thµnh viªn Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam lu«n cã mÆt trong tæ 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ 10 ngêi trong ®ã cã 1 tæ trëng , 1 th kÝ vµ c¸c thµnh viªn Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt Gi¶i 1/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Nam lµ tæ trëng  ChØ cÇn chän 7 b¹n cßn l¹i trong 19 ngêi cßn l¹i  Cã C197 c¸ch chän  Trêng hîp 2 : Nam kh«ng lµ tæ trëng - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cßn l¹i cã 1 c¸ch chän C19 - Chän 6 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C186 c¸ch chän  Cã C1 C6 c¸ch chän 19 18 VËy theo quy t¾c céng cã : C197 + C1 C6 c¸ch chän 19 18 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Nam lµ tæ trëng - Chän mét th kÝ trong 19 ngêi cã 1 c¸ch chän C19 18 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt - Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C188 c¸ch  Cã C1 C8 c¸ch chän 19 18  Trêng hîp 2 : Nam lµ th kÝ - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã 1 c¸ch chän C19 - Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C188 c¸ch  Cã C1 C8 c¸ch chän 19 18  Trêng hîp 3 : Nam lµ thµnh viªn - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã 1 c¸ch chän C19 - Chän mét th kÝ trong 18 ngêi cã 1 c¸ch chän C18 - Chän 7 thµnh viªn trong 17 ngêi cßn l¹i cã C177 c¸ch  Cã C1 C1 C7 c¸ch chän 19 18 17 Bµi 5 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã 2 c¸n bé líp Hái cã bao nhiªu c¸ch chän 3 ngêi ®i dù ®¹i héi sinh viªn cña trêng sao cho trong 3 ngêi ®ã cã Ýt nhÊt mét c¸n bé líp Gi¶i Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Cã 1 c¸n bé líp - Chän 1 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã 1 c¸ch chän C 2 - Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã C182 c¸ch chän  Cã C1 C2 c¸ch chän 2 18 Trêng hîp 2 : Cã 2 c¸n bé líp - Chän 2 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã C22 c¸ch chän - Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã C182 c¸ch chän  Cã C2 C2 c¸ch chän 2 18 VËy theo quy t¾c céng cã : C1 C2 + C2 C2 = 324 c¸ch chän 2 18 2 18 Bµi tËp tù gi¶i Bµi 6 : Mét ®éi v¨n nghÖ cã 20 ngêi trong ®ã cã 10 nam vµ 10 n÷ Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ra 5 ngêi sao cho : 1/ Cã ®óng 2 nam 2/ Cã Ýt nhÊt 2 nam vµ Ýt nhÊt 1 n÷ trong ®ã §¸p sè 1/ C2 C3 = 5400 c¸ch 10 10 2/ C2 C3 + C3 C2 + C4 C1 = 12900 c¸ch 10 10 10 10 10 10 Bµi 7 : Mét tËp thÓ gåm 14 ngêi trong ®ã cã 6 nam vµ 8 n÷ trong ®ã cã Thanh vµ Th¬ , ngêi ta muèn chän mét tæ c«ng t¸c gåm 6 ngêi T×m sè c¸ch chän trong mçi trêng hîp sau : 1/ Trong tæ ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ 2/ Trong tæ ph¶i cã 1 tæ trëng , 5 tæ viªn h¬n n÷a Thanh vµ Th¬ kh«ng ®ång thêi cã mÆt trong tæ §¸p sè 19 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 1/ Cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ  Cã 2974 c¸ch tho¶ m·n bµi to¸n 2/ Híng dÉn (cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ) - Bíc 1 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn (A) - Bíc 2 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn trong ®ã c¶ Thanh vµ Th¬ cïng cã mÆt (B) KÕt qu¶ : A – B = 15048 c¸ch Bµi 8 : Mét líp häc cã 30 häc sinh gåm 3 lo¹i : Cã 5 häc sinh giái , 10 häc sinh trung b×nh vµ 15 häc sinh yÕu 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 5 häc sinh cã ®ñ c¶ ba lo¹i vµ kh«ng cã qu¸ 2 häc sinh yÕu 2/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 7 häc sinh cã ®óng 2 häc sinh yÕu , cã Ýt nhÊt 1 häc sinh giái vµ cã Ýt nhÊt mét häc sinh trung b×nh §¸p sè 1/ C1 C1 C3 + C1 C2 C2 + C1 C3 C1 + C2 C1 C2 + C2 C2 C1 15 5 10 15 5 10 15 5 10 15 5 10 15 5 10 2/ C2 C1 C4 + C2 C2 C3 + C2 C3 C2 + C2 C4 C1 15 5 10 15 5 10 15 5 10 15 5 10 D¹ng 3 : Bµi to¸n ®Õm sè ®iÓm , sè ®a gi¸c , sè c¹nh Bµi 1 : TÝnh sè ®êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi n c¹nh Gi¶i  Nèi hai ®Ønh bÊt k× cña ®a gi¸c ta ®îc mét ®êng chÐo hoÆc mét c¹nh  VËy sè ®êng chÐo vµ sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ : Cn2  Sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ n  Sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c lµ : Cn2 - n = n(n  3) 2 Bµi 2 : Trªn mét ®êng trßn cho 10 ®iÓm Hái cã bao nhiªu tam gi¸c nhËn c¸c ®iÓm ®ã lµm ®Ønh  NhËn thÊy 10 ®iÓm trªn mét ®êng trßn th× kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng  Cø 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng t¹o thµnh mét tam gi¸c  Sè tam gi¸c ph¶i t×m lµ : C103 = 120 Bµi 3 : Cho hai ®êng th¼ng song song Trªn ®êng thø nhÊt cã 10 ®iÓm , trªn ®êng thø hai cã 15 ®iÓm Hái cã bao nhiªu tam gi¸c t¹o bëi c¸c ®iÓm ®· cho 20 Bïi Th¸i Nam – THPH Lôc Ng¹n sè 2 ... to? ?n Bµi tập tự giải Bài : Tìm tất số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác lớn 70.000 Đáp số Các chữ sè lÊy lµ : 0,1 , 2,3 , 4,5 , 6,7 , 8,9  Cã 4386 số thoả mÃn Bài 10 : Từ chữ số 1,2 , 3,4 , 5,6 ,7 ... {( 1,3 ,5 ) ; ( 2,3 ,4 )}  Trêng hỵp : Chän bé ( 1,3 ,5 ) cã P3 = A33 = sè tho¶ m·n  Trêng hỵp : Chän bé ( 2,3 ,4 ) cã P3 = A33 = sè tho¶ m·n Theo quy t¾c céng cã : + = 12 số thoả mÃn Bài : Với số 0,1 , 2,3 , 4,5 ,6 ... c¸ch chän (1 , , ) - NÕu a2 = th× a3 có cách chọn ( 2,4 , 5,6 ) Có số dạng 31a3 thoả mÃn - Nếu a2 = a3 cã c¸ch chän ( 1,4 , 5,6 )  Cã sè dạng 32a3 thoả mÃn - Nếu a2 = a3 có cách chọn ( 1,2 ) Có số