1/ Biến cố giao
a/ Khái niệm : Cho hai biến cố A và B . Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra ” gọi là biến cốgiao của hai biến cố A và B và kí hiệu là : AB . giao của hai biến cố A và B và kí hiệu là : AB .
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
32
ΩA
A
Ω
Giải tích tổ hợp – Xác suất
Vậy AB là biến cố : “ Cả A và B cùng xảy ra ” .
b/ Nhận xét : Gọi ΩA và ΩB lần lợt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợpcác kết quả thuận lợi cho biến cố giao AB là : ΩAB = ΩA∩ΩB . các kết quả thuận lợi cho biến cố giao AB là : ΩAB = ΩA∩ΩB .
c/ Ví dụ
Chọn ngẫu nhiên một em học sinh trong lớp .
- Gọi A là biến cố : “ Bạn đó là học sinh giỏi Toán ” . - Gọi B là biến cố : “ Bạn đó là học sinh giỏi Văn ” .
⇒ Biến cố giao của A và B là “ Bạn đó học giỏi cả Văn và Toán” .
Tổng quát
Cho k biến cố A1 , A2 , … , Ak . Khi đó biến cố giao của k biến cố là : Tất cả k biến “
cố A1 , A2 , … , Ak đều xảy ra , kí hiệu : A” 1A2…Ak .
2/ Hai biến cố độc lập
a/ Khái niệm : Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia . ra của biến cố này không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia .
b/ Ví dụ
Xét phép thử T là : “ Gieo hai đồng xu cùng một lúc ” . - Gọi A là biến cố : “ Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp ”. - Gọi B là biến cố : “ Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa ”.
Khi đó rõ ràng A và B chẳng liên quan gì đến nhau . A và B là hai biến cố độc lập .
c/ Nhận xét
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B ; A và B ; A và B cũng độc lập với nhau .
Tổng quát
Cho k biến cố A1 , A2 , … , Ak ; k biến cố này đợc gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không của mỗi biến cố không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại .
3/ Quy tắc nhân xác suất
• Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì :
• Nếu A1 ; A2 ; A3 là ba biến cố đôi một độc lập với nhau thì :
Bài tập áp dụng
Bài 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một ngời bắn cung là 0,2 . Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1/ Ngời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần .2/ Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần . 2/ Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần .
Giải
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
33
P(AB) = P(A).P(B)
Giải tích tổ hợp – Xác suất
• Gọi A1 ; A2 ; A3 là biến cố ngời đó bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ nhất , thứ hai và thứ ba
• Khi đó A1 ; A2; A3 là biến cố ngời đó bắn không bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ nhất , thứ hai và thứ ba .
• Theo giả thiết ta có : P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0,2
và P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1 – 0,2 = 0,8 1/ Gọi B là biến cố : “ Ngời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần ” . Khi đó : B = A1A2 A3 ∪ A1 A2A3 ∪ A1 A2 A3
Vậy P(B) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 + 0,8.0,8.0,2 = 0,384
2/ Gọi C là biến cố : “ Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần ” .
Nhận xét : Biến cố đối của C là C : “ Ngời đó không bắn trúng hồng tâm lần nào ” Khi đó : P(C) = A1 A2 A3 = 0,8.0,8.0,8 = 0,512
⇒ P(C) = 1 - P(C) = 1 – 0,512 = 0,488 .
Bài 2 : Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập . Tính xác suất để : 1/ Cả ba đồng xu đều sấp .
2/ Có ít nhất một đồng xu sấp .
Giải
Do đồng xu cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp (S) và mặt ngửa (N) là bằng nhau P(S) = P(N) = 0,5 .
1/ Gọi A là biến cố : “ Cả ba đồng xu đều sấp ” . Khi đó : A = SSS Vậy P(A) = P(SSS) = P(S).P(S).P(S) = 0,53 = 0,125
2/ Gọi B là biến cố : “ Có ít nhất một đồng xu sấp ” .
Nh vậy biến cố đối của B là B : “ Cả ba đồng xu đều ngửa ” ⇒ P(B) = P(NNN) = P(N).P(N).P(N) = 0,53 = 0,125 .
Vậy P(B) = 1 - P(B) = 1 – 0,125 = 0,875
Bài tập tự giải
Bài 1 : Một hộp chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong hộp . Tính xác suất để :
1/ Lấy đợc cả 3 viên bi đỏ .
2/ Lấy đợc cả 3 viên bi không phải bi đỏ .
3/ Lấy đợc một viên bi trắng , một đen và một đỏ .
Đáp số 1/ P(A) = 1 560 2/ P(B) = 143 280 3/ P(C) = 9 40
Bài 2 : Một hộp chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp . Tính xác suất để :
1/ Lấy đợc đúng một viên bi trắng . 2/ Lấy đợc đúng 2 viên bi trắng . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đáp số
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
Giải tích tổ hợp – Xác suất
1/ P(A) = 21
65 2/ P(B) =
27 65
Bài 3 : Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập {1 , 2 , … , 11} . Tính xác suất để : 1/ Tổng ba số đợc chọn là 12 . 2/ Tổng ba số đợc chọn là số lẻ . Đáp số 1/ P(A) = 7 165 2/ P(B) = 16 33
Bài 4 : Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất . Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Xét phơng trình : x2 + bx + 2 = 0 (1) . Tính xác suất sao cho :
1/ Pt (1) có nghiệm . 2/ Pt (1) vô nghiệm . 3/ Pt (1) có nghiệm nguyên . Gợi ý + b ∈ {1,2,3,4,5,6} + Tính ∆ = b2 – 8 . Xét dấu của ∆ Đáp số 1/ P(A) = 2 3 2/ P(B) = 1 3 3/ P(C) = 1 6
Bài 5 : Có hai hộp chứa quả cầu . Hộp thứ nhất có 6 cầu trắng , 4 đen . Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng , 6 quả đen . Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả . Tính xác suất để :
1/ Hai quả lấy ra là cùng màu . 2/ Hai quả lấy ra là khác màu .
Đáp số
1/ P(A) = 12
25 2/ P(B) =
13 25
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2