1/ Định nghĩa
- Cho phép thử T với không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn phần tử và các kết quả của phép thử T là đồng khả năng .
- Gọi A là một biến cố liên quan đến phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A .
- Khi đó xác suất của A là một số , kí hiệu P(A) , đợc xác định bởi công thức :
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
Giải tích tổ hợp – Xác suất
Trong đó
+ΩA là số phần tử của ΩA . +Ω là số phần tử của Ω .
Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép thử T ta làm theo các bớc sau :
- Xác định không gian mẫu Ω và đếm số phần tử của nó ( số kết quả có thể xảy ra của phép thử T ) .
- Xác định số kết quả thuận lợi cho A ( là số phần tử của ΩA) . - áp dụng công thức (1) .
2/ Chú ý
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ω) = 1 , P(∅) = 0
• Xác suất là một số dơng nhỏ hơn 1 , xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1 , xác suất của biến cố không thể bằng 0 .
3/ Ví dụ
Ví dụ 1 :
“ Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất ” a/ Mô tả không gian mẫu .
b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn . b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố .
( Chú ý : Số nguyên tố là số nguyên dơng chỉ có hai ớc là 1 và chính nó và số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất )
Giải
a/ Không gian mẫu : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} . ⇒ Số phần tử của không gian mẫu : Ω = 6 b/
• Gọi A là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn ” .
• Tập mô tả A là : ΩA = {2 , 4 , 6} ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 3 ⇒ Xác suất của A là : P(A) = 3
6 = 1 1
2 = 0,5 .
c/
• Gọi B là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố ” .
• Tập mô tả B là : ΩB = {2 , 3 , 5} ⇒ Số kết quả thuận lợi cho B là : ΩB = 3 ⇒ Xác suất của A là : P(B) = 3
6 = 1 1
2 = 0,5 .
Ví dụ 2 :
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
28
P(A) = ΩA
Giải tích tổ hợp – Xác suất
“ Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất ” . Tính xác suất để : a/ Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn . b/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 .
Giải
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : Ω = 62 = 36 . a/
• Gọi A là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn ” .
• Tập mô tả A là : ΩA = {(2,2) ; (2,4) ; (4,2) ; (2,6) ; (6,2) ; (4,6) ; (6,4) ; (6,6) } ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 8 .
⇒ Xác suất của A là : P(A) = 8
36 = 2 2 9
b/
• Gọi B là biến cố : “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 ” .
• Tập mô tả A là : ΩA = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3) } ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 6 .
⇒ Xác suất của A là : P(A) = 6
36 = 1 1 6
Bài tập áp dụng
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dơng nhỏ hơn 9 . Tính xác suất để : 1/ Số đợc chọn là số nguyên tố .
2/ Số đợc chọn chia hết cho 3 .
Giải
• Không gian mẫu : Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8}
⇒ Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : Ω = 8 . 1/
• Gọi A là biến cố : “số đợc chọn là số nguyên tố ”
• Tập mô tả A là : ΩA = {2,3,5,7}
⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 4 . ⇒ Xác suất của A là : P(A) = 4
8 = 1 1
2 = 0,5
2/
• Gọi B là biến cố : “số đợc chọn chia hết cho 3 ”
• Tập mô tả A là : ΩB = {3,6}
⇒ Số kết quả thuận lợi cho B là : ΩB = 2 . ⇒ Xác suất của B là : P(B) = 2
8 = 1 1
4 = 0,25 .
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
Giải tích tổ hợp – Xác suất
Bài 2 : “ Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất “ . Tính xác suất để : a/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc ≤ 7 .
b/ Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .c/ Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm . c/ Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
Giải
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : Ω = 62 = 36 . a/
• Gọi A là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn ” .
• Tập mô tả A là : ΩA = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (5,1) ; (5,2)} ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 21 .
⇒ Xác suất của A là : P(A) = 21
36 = 7 7 12
b/
• Gọi B là biến cố : “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” .
• Tập mô tả B là :
ΩB = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) } ⇒ Số kết quả thuận lợi cho B là : ΩB = 10 .
⇒ Xác suất của B là : P(B) = 10
36 = 5 5 18 .
c/
• Gọi C là biến cố : “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” . Có hai khả nẳng xảy ra :
+ Có một con xuất hiện mặt 6 chấm . + Cả hai con xuất hiện mặt 6 chấm .
• Tập mô tả C là :
ΩC = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) ; (6;6) } ⇒ Số kết quả thuận lợi cho C là : ΩC = 11 .
⇒ Xác suất của C là : P(C) = 11
36 .
Bài 3 : Chọn ngẫu nhiên 5 ngời có tên trong danh sách 20 ngời đợc đánh số từ 1 đến 20 . Tính xác xuất để năm ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 .
Giải
• Số kết quả có thể sảy ra là số cách chọn 5 ngời bất kì trong 20 ngời . Vậy Ω = C520 .
• Gọi A là biến cố : “ 5 ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 ”
⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là số cách chọn 5 trong 10 ngời có số thứ tự từ 1 đến 10 .
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
Giải tích tổ hợp – Xác suất
Vậy ΩA = C105 .
Khi đó xác suất của A là : P(A) =
510 10 5 20 C C .
Bài 4 : Một hộp đựng 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh . Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu . Tính xác xuất để trong 4 quả đó có cả đỏ và xanh .
Giải
• Tổng số quả cầu trong hộp là : 10 quả
• Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là số cách chọn ngẫu nhiên 4 quả trong 10 quả . Vậy : Ω = C104
• Gọi A là biến cố : “ Bốn quả đợc chọn ra có cả đỏ và xanh ” .
Ta tìm số kết quả thuận lợi cho A tức là số cách chọn ra 4 quả có cả đỏ và xanh .
+ Tr ờng hợp 1 : Chọn 1 đỏ và 3 xanh ⇒ Có 1 4 C . 3 6 C cách chọn . + ờng hợp 2Tr : Chọn 2 đỏ và 2 xanh ⇒ Có C24.C26 cách chọn . + ờng hợp 3Tr : Chọn 3 đỏ và 1 xanh ⇒ Có 3 4 C . 1 6 C cách chọn . ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = C14.C36 + C24.C26 + C34.C16
Vậy P(A) = 1 3 2 2 3 1 4 6 4 6 4 6 4 10 C C + C C C C C + = 97 105 .
Bài 5 : “ Gieo đồng thời ba con súc sắc cân đối đồng chất “ . Tính xác suất để tổng số nút xuất hiện trên mặt ba con là 8 .
Đáp số P(A) = 213
6 = 7 7 72
Bài 6 : Ba cửa hàng bán xe máy nh nhau . Có 3 ngời khách A1 , A2 , A3 độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe . Tính xác suất để :
1/ Ba ngời vào cùng một cửa hàng .
2/ Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng kia .
Giải
Ta đánh số ba cửa hàng là : 1 , 2 , 3 .
• Ba ngời khách A , B , C độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe nên số khả năng có thể xảy ra là : 33 = 27
Có thể liệt kê nh sau : Ω = {(1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) , … , (3,3,3)} .
1/ Gọi A là biến cố : “ Ba ngời vào cùng một cửa hàng ” ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là :
ΩA = 3 ( Có 3 khả năng là (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) ) . ⇒ P(A) = 3
27 = 1 1 9 .
2/ Gọi B là biến cố : “Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng kia” . Số kết quả thuận lợi cho B chính là số cách chọn hai ngời vào cùng một cửa hàng và ngời còn lại vào cửa hàng kia .
Bùi Thái Nam – THPH Lục Ngạn số 2
Giải tích tổ hợp – Xác suất
Ta chia các trờng hợp sau :
• ờng hợp 1Tr : (1,1,2) tức là 2 ngời vào cửa hàng 1 , một ngời vào cửa hàng 2 . Có 3 cách chọn trờng hợp này .
+ A1 , A2 vào của hàng 1 và A3 vào cửa hàng 2 . + A1 , A3 vào của hàng 1 và A2 vào cửa hàng 2 . + A2 , A3 vào của hàng 1 và A1 vào cửa hàng 2 . Hoàn toàn tơng tự :
• ờng hợp 2Tr : (1,1,3) có 3 cách • ờng hợp 3Tr : (2,2,1) có 3 cách • ờng hợp 4Tr : (2,2,3) có 3 cách • ờng hợp 5Tr : (3,3,1) có 3 cách • ờng hợp 6Tr : (3,3,2) có 3 cách Vậy có cả thảy : 6.3 = 18 cách ⇒ P(B) = 18 27 = 2 3 .
Bài 7 : Công ty FPT cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 ngời nộp đơn , trong đó có 4 nam và 2 nữ . Giả sử khả năng ứng cử là nh nhau . Tính xác suất để :
1/ Hai ngời trúng tuyển là nam . 2/ Hai ngời trúng tuyển đều là nữ . 3/ Hai ngời trúng tuyển có ít nhất 1 nữ .
Đáp số : 1/ P(A) = 2 5 ; 2/ P(B) = 1 15 ; 3/ P(C) = 1 5
III.Biến cố đối 1/ Định nghĩa
Cho A là một biến cố . Khi đó biến cố “ không xảy ra A ”, kí hiệu là A , đợc gọi là biến cố đối của A .
Ví dụ : “ Gieo một đồng xu”
- Xét biến cố A : “ Mặt ngửa xuất hiện ”
⇒ Biến cố đối của A là : “ Mặt ngửa không xuất hiện ”
2/ Nhận xét
• Gọi Ω là không gian mẫu
• Gọi ΩA là tập kết quả thuận lợi cho A Khi đó tập kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = Ω \ ΩA