Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu gồm 196 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Minh Tâm, trình bày lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải các dạng toán và bài tập trắc nghiệm chuyên đề tổ hợp và xác suất (Đại số và Giải tích 11 chương 2).
★ LE MINH TAM CHƯƠNG 02 Tổ hợp & Xác suất QUY TẮC ĐẾM HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP NHỊ THỨC NEWTON BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT MỤC LỤC※※※ ※※※ BÀI 01 QUY TẮC ĐẾM I CÁC QUY TẮC ĐẾM II BÀI TẬP TỰ LUẬN III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 14 BÀI 02 TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – HOÁN VỊ 20 I HOÁN VỊ 20 II CHỈNH HỢP 21 III TỔ HỢP 22 IV BÀI TẬP TỰ LUẬN 23 Dạng BÀI TẬP VỀ HOÁN VỊ 23 Dạng BÀI TẬP VỀ CHỈNH HỢP 31 Dạng BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP 40 Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN Ank , Pn , Cnk 51 Dạng PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CÁC SỐ n !, Pn , Ank , Cnk 56 V BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 61 BÀI 03 NHỊ THỨC NEWTON 68 I CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 68 II TAM GIÁC PASCAL 69 III CÁC DẠNG BÀI TẬP 70 Dạng KHAI TRIỂN NHỊ THỨC 70 Dạng TÌM HỆ SỐ HOẶC SỐ HẠNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 71 Dạng CHỨNG MINH HOẶC TÍNH TỔNG 75 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 76 BÀI 04 BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 91 I PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU 91 II BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 91 Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT III PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 95 IV CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 95 V CÁC DẠNG BÀI TẬP 97 Dạng TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 97 Dạng CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 108 VI BÀI TẬP TỰ LUẬN 114 VII BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 128 BÀI 05 TỔNG ÔN TẬP CHƯƠNG 147 I QUY TẮC ĐẾM 147 II HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 155 III NHỊ THỨC NEWTON 171 IV XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 184 Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT BÀI QUY TẮC ĐẾM I CÁC QUY TẮC ĐẾM Quy tắc cộng Một công việc X thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak , đó: Phương án A1 có n1 cách thực Phương án A có n cách thực ……………………………………… Phương án A k có n k cách thực Số cách hồn thành cơng việc X n X n1 n2 nk cách Ví dụ Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm: đề tài lịch sử, đề tài thiên nhiên, 10 đề tài người đề tài văn hóa Hỏi thí sinh có khả chọn đề tài? Lời giải Phương án 1: Chọn đề tài lịch sử: có cách Phương án 2: Chọn đề tài thiên nhiên: có cách Phương án 3: Chọn đề tài người: có 10 cách Phương án 4: Chọn đề tài văn hóa: có cách Vậy số cách mà thí sinh chọn đề tài là: 10 31 (cách) Ví dụ Giả sử từ tỉnh đến tỉnh phương tiện: ô tô, tàu hỏa máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến tơ, chuyến tàu hỏa chuyến máy bay Hỏi ngày có cách lựa chọn từ tỉnh đến tỉnh ? Lời giải Trường hợp 1: Số cách chọn từ tỉnh A đến tỉnh B tơ: có 10 cách Trường hợp 2: Số cách chọn từ tỉnh A đến tỉnh B tàu hỏa: có cách Trường hợp 3: Số cách chọn từ tỉnh A đến tỉnh B máy bay: có cách Vậy số cách lựa chọn từ tỉnh A đến tỉnh B là: 10 18 cách Quy tắc nhân Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi đó, cơng việc thực theo n.m cách Ví dụ An đến nhà Bình để Bình đến nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường từ nhà đến nhà Cường? Lời giải Giai đoạn 1: An từ nhà đến nhà Bình có cách Giai đoạn 2: An từ nhà Bình đến nhà Cường có cách Vậy số cách An lựa chọn đường từ nhà đến nhà Cường là: 4.6 24 cách Ví dụ Lớp 11A có 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Hỏi có cách chọn ban cán trên? Lời giải Giai đoạn 1: Chọn lớp trưởng có 30 cách Giai đoạn 2: chọn lớp phó, có 29 cách Giai đoạn 3: chọn thủ quỹ có 28 cách Vậy số cách chọn ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ là: 30.29.28 24360 cách Các toán đếm Ta thường gặp toán sau: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x a1 an ta cần lưu ý: 0,1, 2, , 9 a1 01 x số chẵn an số chẵn x số lẻ an số lẻ x chia hết cho a1 a2 an chia hết cho x chia hết cho an1an chia hết cho x chia hết cho an 0, 5 x chia hết cho x số chẵn chia hết cho x chia hết cho an an1an chia hết cho x chia hết cho a1 a2 an chia hết cho Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT x chia hết cho 11 tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11 x chia hết cho 25 hai chữ số tận 00, 25, 50, 75 02 Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế 03 Đếm số phương án liên quan đến hình học Ta thường gặp tốn đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải toán ta thường giải theo hai cách sau: Cách 1: Đếm trực tiếp Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm Đếm số phương án thực trường hợp Kết tốn tổng số phương án đếm cách trường hợp Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau: Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a b II BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 01 Một người có áo có áo trắng cà vạt có cà vạt vàng Hỏi người có cách chọn áo cà vạt, nếu: ⓵ Chọn áo được, cà vạt ⓶ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt vàng Lời giải ⓵ Chọn áo được, cà vạt Số cách chọn áo cà vạt là: 7.5 35 ⓶ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt vàng Số cách chọn áo trắng không chọn cà vạt vàng là: 3.3 Số cách chọn áo cà vạt cho áo trắng cà vạt cà vạt là: 4.5 20 Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Số cách chọn áo cà vạt cho áo trắng không chọn cà vạt vàng là: 20 29 Bài 02 Giả sử bạn muốn màu áo sơ mi cỡ 39 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi bạn có lựa chọn (về màu cỡ áo)? Lời giải Áo cỡ 39 có cách chọn Áo cỡ 40 có cách chọn Vậy có tất cách chọn màu cỡ áo Bài 03 Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ ⓵ Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? ⓶ Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? Lời giải ⓵ Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? Học sinh nam có 280 cách chọn Học sinh nữ có 325 cách chọn Chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố có 280 325 605 cách ⓶ Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? Học sinh nam có 280 cách chọn Học sinh nữ có 325 cách chọn Chọn hai học sinh có nam nữ dự trại hè là: 280.325 91000 cách Bài 04 Mỗi bảng số xe gắn máy thành phố X có cấu tạo sau Phần đầu gồm hai chữ bảng chữ cái, phần sau gồm chữ số chữ số : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ví dụ: SA0979, EY3535, Hỏi có cách tạo bảng số xe theo cấu tạo trên? ( Giả sử bảng chữ có tất 26 chữ cái) Lời giải Chọn hai chữ cho phần đầu có 262 ( chữ số có 26 cách chọn) Cọn chữ số cho phần có 104 (mỗi chữ số có 10 cách chọn) Vậy tạo 262.104 6760000 cách Bài 05 Trong đồ lập theo kỹ thuật số thành phố X , nhà thành phố lập địa “địa số” nhà dãy gồm 16 chữ số lấy từ hai chữ Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT số Ví dụ: 0000110000111100 ( chữ số , chữ số , chữ số , chữ số , chữ số ) Hỏi thành phố X có tối đa nhà? Lời giải Ta có: “địa số” nhà dãy gồm 16 chữ số Mà chữ số có cách chọn ( ) Nên theo quy tắc nhân, thành phố X có tối đa: 216 nhà Bài 06 Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn? Lời giải Gọi a1a2 số thỏa yêu cầu toán Chọn a1 2; 4; 6; 8 có: cách Chọn a2 0; 2; 4; 6; 8 có: cách Vậy theo quy tắc nhân có: 4.5 20 số thỏa u cầu tốn Bài 07 Có số nguyên dương n gồm chữ số có nghĩa (chữ số phải khác ) trường hợp sau đây: ⓵ Khơng có u cầu thêm ⓶ Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị n giống hệt ⓷ Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị n giống hệt hai chữ số khác chữ số hàng trăm n Lời giải Gọi tập X 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 n a1a2 a3 số thỏa yêu cầu sau: ⓵ Khơng có u cầu thêm Chọn a1 X \0 có: cách Chọn a2 X có: 10 cách Chọn a3 X có: 10 cách Theo quy tắc nhân có: 9.10.10 900 số ⓶ Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị n giống hệt Chọn a1 X \0 có: cách Chọn a2 X có: 10 cách Chọn a3 a2 có: cách Theo quy tắc nhân có: 9.10.1 90 số ⓷ Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị n giống hệt hai chữ số khác chữ số hàng trăm n Chọn a1 X \0 có: cách Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Chọn a2 X \a1 có: cách Chọn a3 a2 có: cách Theo quy tắc nhân có: 9.9 81 số Bài 08 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số nguyên dương n trường hợp sau đây: ⓵ n gồm chữ số đôi khác bắt đầu 56 65 ⓶ n gồm chữ số đôi khác tận chữ số khác ⓷ n gồm chữ số đôi khác phải có đứng cạnh nhau, không kể thứ tự trước sau Gọi tập X 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Lời giải ⓵ n gồm chữ số đôi khác bắt đầu 56 65 Gọi n a1a2 a3 a4 số thỏa yêu cầu toán Chọn a1a2 56; 65 có: cách Chọn a3 X \a1 ; a2 có: cách Chọn a4 X \a1 ; a2 ; a3 có: cách Theo quy tắc nhân có: 2.7.6 84 số ⓶ n gồm chữ số đôi khác tận chữ số khác Gọi n a1a2 a3a4 a5 số thỏa yêu cầu toán Chọn a5 X \3 có: cách Chọn a1 X \a5 có: cách Chọn a2 X \a1 ; a5 có: cách Chọn a3 X \a1 ; a5 ; a2 có: cách Chọn a4 X \a1 ; a5 ; a2 ; a3 có: cách Theo quy tắc nhân có: 8.8.7.6.5 13440 số ⓷ n gồm chữ số đơi khác phải có đứng cạnh nhau, không kể thứ tự trước sau Gọi n a1a2 a3a4 a5 a6 số thỏa u cầu tốn Chọn vị trí cạnh từ vị trí (từ a1 a6 ) có: cách Xếp số vào vị trí vừa chọn có: cách Chọn số cho vị trí từ tập X \1; 3 có: 7.6.5.4 840 cách Theo quy tắc nhân có: 5.2.840 8400 số Bài 09 Le Minh Tam – Trang Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Có số nguyên dương n gồm chữ số có nghĩa (chữ số phải khác ) trường hợp sau đây: ⓵ n không chia hết cho 10 ⓶ n bội số ⓷ n số lẻ Lời giải Gọi tập X 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 n a1a2 a3a4 a5 số thỏa yêu cầu sau: ⓵ n không chia hết cho 10 Chọn a1 X \0 có: cách Chọn a2 X có: 10 cách Chọn a3 X có: 10 cách Chọn a4 X có: 10 cách Chọn a5 X \0 có: cách Theo quy tắc nhân có: 9.10.10.10.9 81000 số ⓶ n bội số Chọn a1 X \0 có: cách Chọn a2 X có: 10 cách Chọn a3 X có: 10 cách Chọn a4 X có: 10 cách Chọn a5 0; 5 có: cách Theo quy tắc nhân có: 9.10.10.10.2 18000 số ⓷ n số lẻ Chọn a1 X \0 có: cách Chọn a2 X có: 10 cách Chọn a3 X có: 10 cách Chọn a4 X có: 10 cách Chọn a5 1; 3; 5; 7; 9 có: cách Theo quy tắc nhân có: 9.10.10.10.5 45000 số Bài 10 Từ chữ số 1, 4, 5, 8, lập số nguyên dương n trường hợp sau đây: ⓵ n gồm bốn chữ số ⓶ n gồm bốn chữ số đôi khác ⓷ n 800 gồm chữ số đôi khác Le Minh Tam – Trang 10 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT 1 n! 1 n! k k 1 k k! k! k ! n k ! n n n k ! n Nhận xét Cnk n k 1 n k n nk (đúng) n 1 1 Vậy từ (*) ta có 1 1! ! n! n Bài 22 Tìm hệ số x khai triển thành đa thức x 1 2x x2 1 3x 10 Trích đề ĐH KHỐI D – năm 2007 Lời giải 5 Ta có x(1 2x)5 x C5k ( 2x)k C5k ( 2)k x k 1 1 k 0 k 0 10 10 j 0 j 0 x2 (1 3x)10 x C10j (3x) j C10j 3j x j Từ 1 suy số hạng chứa x x 1 2x x 1 3x 10 C54 ( 2)4 x5 , C103 33 x5 Do số hạng chứa x khai triển x 1 2x x2 1 3x 10 C54 ( 2)4 x5 C103 33 x5 16C54 27C103 x5 3320 x Hệ số cần tìm: 3320 Bài 23 Với n số nguyên dương, gọi a3 n hệ số x3n3 khai triển thành đa thức x 1 x 2 n n Tim n để a3n3 26n Trích đề ĐH KHỐI D – năm 2003 Lời giải x 2 Ta có x n n n n n k Cnk x Cnj xn j j k 0 j 0 Khi nhân vào số hạng vế trái 1 có dạng Cnk x2n2 k Cnj xn j j Cnk Cnj j x3n2 k j Để x3n2 k j x3n3 , điĉ̀u kiện cần đủ 3n 2k j 3n (chú ý n, k , j ; k n; j n) k k 2k j j j 1 Vậy số hạng chứa x3n3 Cn0 Cn3 23 x3n3 C1n C1n 21 x3n3 Cn0 Cn3 23 C1n C1n 21 x3n3 Le Minh Tam – Trang 182 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT n! n! Do C C C C 26n 2 26n ! n 3 ! 1! n 1 ! n n n n 1 n n n n>0 2n2 26n n2 3n 6n 78 n 4n 6n 70 2n 3n 35 n (l) Kết luận: n 2 Bài 24 Cho khai triển : (1 2x)n a0 a1x a2 x2 thoả mãn hệ thức: a0 a1 an 2n an xn , dó n * hệ số a0 , a1 , , an 4096 Hãy tìm số lớn số a0 , a1 , , an Trích đề ĐH KHỐI A – năm 2008 Lời giải Từ 1 2x a0 a1x a2 x n an x , lấy x , ta n n a1 1 1 a0 2 an 2n Do theo giả thiết 2n 4096 2n 212 n 12 12 12 Ta có 1 2x C12k ( 2x)k C12k 2k x k 12 k 0 k 0 Số hạng chứa x k Tk C x k , k 0,1,,12 Do ak C12k 2k k 12 k Lúc ta có tương đương sau: ak ak 1 ( k , k 11) C12k 2k C12k 1 2k 1 12 ! 12 !.2 23 k 24 2k 3k 23 k k ! 12 k ! k 1 ! 11 k ! 12 k k 1 a a a a3 a4 a5 a6 a7 a8 Vậy ak ak 1 k {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Tức a8 a9 a10 a11 a12 8 495.256 126720 Vậy hệ số ak lớn a8 C12 Bài 25 k Tìm k {0,1, 2, , 2005} cho C2005 đạt giá trị lớn Trích đề DỰ BỊ ĐH KHỐI D – năm 2005 Lời giải k k 1 C2005 Với k {0,1, 2, , 2005} , điều kiện cần đủ để C2005 2005 ! 2005 ! 1 2005 k k k ! 2005 k ! k 1 ! 2005 k 1 ! 2005 k k 2004 k k 1002 k {1002 ,1003, , 2004} Le Minh Tam – Trang 183 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vậy C1002 C1003 C1004 2005 2005 2005 2005 C2005 Tương tự ta có 2005 ! 2005 ! 1 k !( 2005 k )! ( k 1)!( 2005 k 1)! 2005 k k 2005 k k 2004 k k 1002 k {0 ,1, ,1002} k k 1 C2005 C2005 Vậy C2005 C12005 C2005 C1002 2005 Tóm lại C2005 C12005 C2005 C1002 C1003 C1004 2005 2005 2005 2005 C2005 k Mà C1002 nên C2005 lớn k 1002 k 1003 C1003 2005 2005 IV XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài 01 Tiến hành thí nghiệm ngẫu nhiên: Gieo súc sắc lần ⓵ Mô tả không gian mẫu , tính số phần tử ⓶ Mơ tả biến cố sau, tính số phần tử biến cố A : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” B : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” C : “Biến cố súc sắc tung lần số lẻ” D : “Ít lần xuất mặt chấm” E : “Biến cố số chấm xuất súc sắc đơn vị” ⓷ Tính xác suất biến cố nói Lời giải ⓵ Mơ tả khơng gian mẫu , tính số phần tử y x 6 1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1 1; 2; 2 3; 4; 2 5; 6; 1; 3 2; 3 3; 3 4; 3 5; 3 6; 3 1; 2; 4 3; 4; 4 5; 6; 1; 5 2; 5 3; 5 4; 5 5; 5 6; 5 1; 2; 3; 4; 5; 6; (trong đó: x y tương ứng kết việc gieo súc sắc thứ thứ hai) Số phần tử 36 ⓶ Mơ tả biến cố sau, tính số phần tử biến cố A : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” A 3; 1 , 3; , 3; , 3; , 3; , 3; Le Minh Tam – Trang 184 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Nên số phần tử biến cố A B : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” B 1; , 2; , 3; , 4; , 5; , 6; Nên số phần tử biến cố B C : “Biến cố súc sắc tung lần số lẻ” C 1; 1 , 1; , 1; , 1; , 1; , 1; , 3;1 , 3; , 3; , 3; , 3; , 3; , 5;1 , 5; , 5; 3 , 5; , 5; , 5; Nên số phần tử biến cố C 18 D : “Ít lần xuất mặt chấm” D 1; 3 , 2; 3 , 3; 3 , 4; , 5; 3 , 6; , 3; 1 , 3; , 3; , 3; , 3; Nên số phần tử biến cố D 11 E : “Biến cố số chấm xuất súc sắc đơn vị” E 1; 3 , 2; , 3; , 4; , 3; 1 , 4; , 5; , 6; Nên số phần tử biến cố E ⓷ Tính xác suất biến cố nói Xác suất biến cố A : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” là: A P A 36 Xác suất biến cố B : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” là: B P B 36 Xác suất biến cố C : “Biến cố súc sắc tung lần số lẻ” là: C 18 P C 36 Xác suất biến cố D : “Ít lần xuất mặt chấm” là: D 11 P D 36 Xác suất biến cố E : “Biến cố số chấm xuất súc sắc đơn vị” là: E P E 36 Bài 02 Gieo đồng xu gieo súc sắc ⓵ Mô tả không gian mẫu ⓶ Tính xác suất biến cố sau: A : “Đồng xu xuất mặt hình” B : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm số lẻ” Le Minh Tam – Trang 185 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT C : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm số lẻ đồng xu xuất mặt hình” D : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm đồng xu xuất mặt số” Lời giải ⓵ Mô tả khơng gian mẫu Kí hiệu mặt hình đồng xu H mặt số đồng xu S Không gian mẫu là: H1; H 2; H3; H 4; H5; H 6; S1; S2; S3; S4; S5; S6 Do đó: 12 ⓶ Tính xác suất biến cố sau: A : “Đồng xu xuất mặt hình” Kết thuận lợi biến cố A là: Vậy xác suất biến cố A là: P A A H1; H 2; H3; H 4; H5; H6 Do đó: A A 12 B : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm số lẻ” Kết thuận lợi biến cố B là: B H1; H3; H5; S1; S3; S5 Do đó: B Vậy xác suất biến cố B là: P B B 12 C : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm số lẻ đồng xu xuất mặt hình” Kết thuận lợi biến cố C là: C H1; H3; H5 Do đó: C Vậy xác suất biến cố C là: P C C 12 D : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm đồng xu xuất mặt số” Kết thuận lợi biến cố D là: D S1; S2; S3; S4 Do đó: D Vậy xác suất biến cố D là: P D D 12 Bài 03 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên bé 100 ⓵ Mô tả không gian mẫu ⓶ Tính xác suất biến cố A: " Số chọn số nguyên tố", B: " Số chọn chia hết cho " Lời giải ⓵ Mô tả không gian mẫu 0;1; 2; 3; 4; ; 98; 99 ⓶ Tính xác suất biến cố A: " Số chọn số nguyên tố", B: " Số chọn chia hết cho " A 2; 3; 5; 7;11;13;17;19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97 Có 25 số nhỏ 100 số nguyên tố nên P A 25 100 Le Minh Tam – Trang 186 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Số chọn chia hết có dạng n 4k , ta có 4k 99 k 24, 75 Vậy có 25 số nhỏ 100 chia hết cho 25 Xác suất biến cố B: P B 100 Bài 04 Một người du lịch mang hộp thịt, hộp hộp sữa Do trời mưa nên hộp bị nhãn Người chọn ngẫu nhiên hộp Tính xác suất để có hộp thit, hộp sữa hộp Lời giải Xác suất để có hộp thit, hộp sữa hộp C31 C12 C31 C 28 Bài 05 Một bình chứa 16 viên bi với viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất cho ⓵ Lấy viên bi đỏ ⓶ Lấy viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lời giải ⓵ Lấy viên bi đỏ Số phần tử không gian mẫu n C 16 Gọi biến cố A: “ Lấy cà viên bi đỏ” Từ viên bi đỏ lấy viên nên n A Vậy P A 1 C16 560 ⓶ Lấy viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Gọi biến cố B: “ Lấy viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ” n B C17 C16 C31 63 Vậy P B 63 560 80 Bài 05 Trong danh sách 10 đường phố cần tu sửa TP.HCM, có đường thuộc quận Bình Thạnh, đường thuộc quận 4, đường thuộc quận Phú Nhuận Chọn ngẫu nhiên đường đề tu sửa đợt đầu Tính xác suất để ⓵ đường thuộc quận 4, đường thuộc quận Phú Nhuận chọn ⓶ đường thuộc quận Bình Thạnh, đường thuộc quận đường thuộc quận Phú Nhuận chọn Lời giải Le Minh Tam – Trang 187 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Số phần tử không gian mẫu n C 10 210 ⓵ đường thuộc quận 4, đường thuộc quận Phú Nhuận chọn Gọi biến cố A: “ Chọn đường thuộc quận 4, đường thuộc quận Phú Nhuận” Khi n A C42 C42 36 Vậy P A 36 210 35 ⓶ đường thuộc quận Bình Thạnh, đường thuộc quận đường thuộc quận Phú Nhuận chọn Gọi biến cố B: “ Chọn đường thuộc quận Bình Thạnh, đường thuộc quận đường thuộc quận Phú Nhuận ” 48 Khi n B C12 C42 C14 48 P B 210 35 Bài 07 Mỗi đề thi có câu chọn từ 100 câu có sẵn Một học sinh học thuộc 80 câu Tìm xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc Lời giải Ta có : Số phần tử khơng gian mẫu n C100 Gọi A biến cố học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc n A C80 C120 5135 n A C80 C120 P A 12222 n C100 Bài 08 Tủ lạnh nhà bạn A có 12 trứng, có bị hỏng, mẹ bạn A lấy ngẫu nhiên từ trứng để làm trứng chiên Tính xác suất để trứng mẹ bạn A lấy có bị hỏng Lời giải Ta có : Số phần tử khơng gian mẫu n C12 Gọi B biến cố trứng mẹ bạn A lấy có bị hỏng n B C52 C17 P B n B n C52 C17 12 C 22 Bài 09 Một lớp có 10 học sinh nam 12 học sinh nữ Cần chọn học sinh để tham gia chiến dịch “ Hoa Phượng Đỏ” Tính xác suất để học sinh chọn phải có học sinh nữ học sinh nam Lời giải Ta có : Số phần tử khơng gian mẫu n C22 Gọi A “6 học sinh chọn phải có học sinh nữ học sinh nam” Có trường hợp sau: Le Minh Tam – Trang 188 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Trường hợp 1: Trong học sinh chọn có học sinh nữ học sinh nam có : C122 C104 cách chọn Trường hợp 2: Trong học sinh chọn có học sinh nữ học sinh nam có : C123 C103 cách chọn Trường hợp 3: Trong học sinh chọn có học sinh nữ học sinh nam có : C124 C102 cách chọn Áp dụng quy tắc cộng ta có : n A C122 C104 C123 C103 C124 C102 62535 P A n A n 62535 1895 2261 C22 Bài 10 Từ cỗ tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn Tính xác suất cho ⓵ Cả bốn át ⓶ Được hai át hai K ⓷ Được át Lời giải Lấy bốn từ 52 nên không gian mẫu gồm tổ hợp chập 52 phần tử Vậy n C52 270725 ⓵ Cả bốn át Gọi biến cố A : “ Bốn rút át” Rút bốn át từ át nên n A C44 Vậy xác suất rút bốn át P A n A n 270725 ⓶ Được hai át hai K Gọi biến cố B : “ Bốn rút hai át hai K” Rút hai át từ bốn át nên ta có C42 cách Rút hai K từ bốn K nên ta có C42 cách Từ n B C42 C42 36 Vậy xác suất rút bốn có hai át hai K P B n B n 36 270725 ⓷ Được át Gọi biến cố C : “ Bốn rút át” C : “ Bốn rút khơng có át nào” Rút bốn từ 48 khơng có át nên ta có C 48 = 194580 Từ n C 194580 Vậy xác suất rút có át P C 194580 76145 n C n 270725 270725 Le Minh Tam – Trang 189 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 11 Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Rút ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất để ⓵ Tích hai số nhận số lẻ ⓶ Tích hai số nhận số chẵn Lời giải Lấy hai thẻ từ thẻ nên không gian mẫu gồm tổ hợp chập phần tử Vậy n C92 36 ⓵ Tích hai số nhận số lẻ Gọi biến cố A : “ Tích hai số nhận số lẻ” Hai thẻ nhận số lẻ, rút hai thẻ từ thẻ ghi số lẻ n A C52 10 Vậy xác suất rút hai thẻ có tích hai số nhận số lẻ P A n A n 10 36 18 ⓶ Tích hai số nhận số chẵn Gọi biến cố B : “ Tích hai số nhận số chẵn” 13 Ta có A B nên P A P B P B 18 18 Bài 12 Có hai hộp bi, hộp có bi đỏ bi trắng Các viên bi khác màu Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tìm xác xuất để lấy số bi đỏ số bi đỏ lấy Lấy viên bi từ 10 viên bi, ta có n Lời giải C 10 120 Trường hợp 1: Gọi A biến cố: “Lấy viên bi bi trắng bi đỏ” Có n A C22 C81 Nên P A 120 15 Gọi A1 biến cố: “Lấy hộp thứ viên bi bi trắng bi đỏ”, P A1 15 Gọi A biến cố: “Lấy hộp thứ hai viên bi bi trắng bi đỏ” P A2 15 Vì A1 A hai biến cố độc lập nên: P A1 A2 P A1 P A2 225 Trường hợp 2: Gọi B biến cố: “Lấy viên bi bi trắng bi đỏ” 56 Có n B C82 C12 56 Nên P B 120 15 Gọi B1 biến cố: “Lấy hộp thứ viên bi bi trắng bi đỏ”, P B1 15 Gọi B2 biến cố: “Lấy hộp thứ hai viên bi bi trắng bi đỏ” P B2 15 Le Minh Tam – Trang 190 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Vì B1 B2 hai biến cố độc lập nên: P B1 B2 P B1 P B2 Vậy xác suất cần tìm là: P 49 225 49 50 225 225 225 Bài 13 Đội tuyển văn nghệ trường phổ thơng có học sinh nữ khối 12 , học sinh nam khối 11 học sinh nữ khối 10 Để thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà trường cần chọn học sinh từ học sinh Tính xác xuất để học sinh chọn có học sinh nam, học sinh nữ có học sinh ba khối Lời giải Chọn học sinh từ học sinh, ta có: n C 126 Gọi A ” Lấy bạn học sinh có học sinh nam, học sinh nữ có đủ học sinh ba khối” Để lấy bạn có nam nữ có học sinh ba khối ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: bạn có nữ (k 10 ), bạn nam (k11), bạn nữ (k12): C12 C42 C32 36 cách chọn Trường hợp 2: bạn có nữ (k 10 ), bạn nam (k 11), bạn nữ (k12): C22 C42 C31 18 cách chọn Trường hợp 3: bạn có nữ (k 10 ), bạn nam (k11), bạn nữ (k12): C22 C14 C32 12 cách chọn Trường hợp 4: bạn có nữ (k 10 ), bạn nam (k11), bạn nữ (k12): C12 C14 C33 cách chọn Trường hợp 5: bạn có nữ (k 10 ), bạn nam (k11), bạn nữ (k12): C12 C43 C31 24 cách chọn Vậy n A 36 18 12 24 98 P A n A n 98 126 Bài 14 Hội đồng coi thi THPT có 12 giáo viên trường A , 10 giáo viên trường B , giáo viên trường C C hủ tịch hội đồng coi thi chọn cán coi thi chứng kiến niêm phong gói đựng phong bì đề thi Tính xác xuất để cán coi thi chọn giáo viên trường THPT khác Lời giải Gọi A biến cố “Chọn cán coi thi giáo viên trường THPT khác nhau” Số phần tử không gian mẫu n C30 435 1 Số phần tử n A C12 C10 C10 C81 C81 C120 296 P A 296 435 Bài 15 Có bạn nam bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành dãy đối diện Tính xác suất cho: ⓵ Nam nữ ngồi đối diện ⓶ Nữ ngồi đối diện Lời giải Le Minh Tam – Trang 191 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT ⓵ Nam nữ ngồi đối diện Xếp hai nam ngồi vào ghế có 22.2 ! cách xếp Khi có 2! cách xếp hai nữ ngồi vào hai ghế cịn lại Vậy có 22.2 !.2 ! 16 cách xếp ⓶ Nữ ngồi đối diện Xếp hai nữ ngồi đối diện có 2.2 ! cách xếp Xếp hai nam vào hai ghế cịn lại có 2! cách xếp Vậy có 2.2!.2! cách xếp Bài 16 Một đồn tàu có toa sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn toa cách ngẫu nhiên Tính xác suất biến có sau: ⓵ A: “Mỗi toa có người lên" ⓶ B: “Mỗi toa có người lên, toa toa có người lên toa khơng có người cả" ⓷ C: “1 toa người, toa có người toa khơng có người cả" Lời giải Số phần tử không gian mẫu 55 ⓵ A: “Mỗi toa có người lên" Số khả thuận lợi biến cố A : Suy P A A A 5! 5! 55 ⓶ B: “Mỗi toa có người lên, toa toa có người lên toa khơng có người cả" Ta chọn người người có C54 cách chọn Chọn toa toa tàu có C54 cách chọn Xếp người vào toa tàu chọn có 4! cách xếp Khi đó, người cịn lại có cách lên tàu (tương ứng với toa tàu có khách) Do số khả thuận lợi cho biến cố B B C54 C54 !.4 Suy P B B C54 C54 !.4 55 ⓷ C: “1 toa người, toa có người toa khơng có người cả" Ta chia người hai nhóm, nhóm gồm người người có C52 C33 cách Xếp hai nhóm người lên toa toa tàu có 5.4 cách xếp Do số khả thuận lợi cho biến cố C C 5.4.C52 C33 Suy P C C 5.4.C52 C33 Le Minh Tam – Trang 192 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Bài 17 Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào bì thư ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ phong bì Lời giải Số cách bỏ ngẫu nhiên thư vào bì thư ghi địa n 4! Gọi A biến cố có thư bỏ phong bì Ta xét trường hợp: Có thư bỏ địa C14 Có thư bỏ địa C42 Có thư bỏ địa C 43 Có thư bỏ địa C44 Suy n A C14 C42 C43 C44 15 Xác suất để có thư bỏ phong bì P A n A n 15 24 Bài 18 Người ta lập tam giác có đỉnh đỉnh đa giác 15 cạnh Tính xác suất để tạo tam giác có cạnh khơng phải cạnh của đa giác 15 cạnh Lời giải Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác 15 cạnh n C 15 Gọi A biến cố tạo tam giác có cạnh cạnh của đa giác 15 cạnh Ta xét trường hợp: Số tam giác có cạnh cạnh đa giác 15 cạnh 15.11 Số tam giác có cạnh cạnh liên tếp đa giác 15 cạnh C15 275 Suy n A C153 15.11 C15 P A n A n 275 55 91 C153 Bài 19 Một thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phương án trả lời có câu trả lời Nếu trả lời 0.2 điểm, trả lời sai khơng điểm Bạn Nam khơng học nên làm cách đánh ngẫu nhiên Tính xác suất để Nam điểm Lời giải Mỗi câu trả lời 0.2 điểm, suy để đạt điểm, thí sinh phải trả lời 25 câu 0.2 Xác suất trả lời câu 0.25 , xác suất trả lời sai câu 0.75 4 Le Minh Tam – Trang 193 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT 25 Có C 50 cách trả lời 25 50 câu, 25 câu lại đương nhiên trả lời sai 25 Vậy xác suất để thí sinh đạt điểm là: 0.25 0.75 C50 25 25 Bài 20 Lớp học đủ ánh sáng có bóng đèn sáng Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy Lời giải , xác suất sáng 5 Một lớp học đủ ánh sáng có bóng sáng, bóng sáng, bóng sáng Ta có bóng có xác suất bị cháy 1 Vậy xác suất để lớp học đủ ánh sáng là: 5 4 1 5 5 4 1 5 5 4 5376 15625 Bài 21 Hai cầu thủ đá bóng sút phạt đền, cầu thủ đá lần với xác suất ghi bàn , 0, Tìm xác suất để cầu thủ ghi bàn Lời giải Xác suất để khơng có cầu thủ ghi bàn 1 0, 81 0, 0, 06 Xác suất để cầu thủ ghi bàn là: 0, 06 0, 94 Bài 22 Hai bạn A B tham gia kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016, ngồi thi ba mơn Tốn, Văn, Anh bắt buộc A B đăng ký thêm hai môn tự chọn ba môn: Vật lý, Hóa học, Sinh học hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển vào Đại học, Cao đẳng Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có mã đề khác nhau, mã đề thi môn khác khác Tính xác suất để A B có chung môn tự chọn mã đề thi n C C C C 3 6 Lời giải 11664 A : " A B có chung mơn tự chọn mã đề thi " n A 1.C16 2592 P A n A 3 1.C12 1C11 6 1.C12 n Bài 23 Trong thi “Rung chuông vàng” có 20 bạn lọt vào vịng chung kết, có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia bạn thành bốn nhóm A, B, C, D nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm Có n Lời giải C C C C cách chia 20 bạn vào bốn nhóm cho nhóm có bạn 20 15 10 5 Le Minh Tam – Trang 194 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Gọi A biến cố “Năm bạn nữ vào nhóm” Nếu chia bạn nữ vào nhóm A có C155 C105 C55 cách chia bạn nam vào nhóm cịn lại Do vai trị nhóm nên n A 4C155 C105 C55 Vậy P A C 20 Bài 24 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, hội đồng thi X , trường THPT A có thí sinh dự thi Tính xác suất để có thí sinh trường THPT A xếp vào phòng thi, biết hội đồng thi X gồm 10 phịng thi, phịng thi có nhiều thí sinh việc xếp thí sinh vào phịng thi hồn tồn ngẫu nhiên Lời giải Số cách xếp ngẫu nhiên thí sinh vào 10 phòng thi n 10 Gọi B là“Có thí sinh trường THPT A xếp vào phòng thi” Có C53 cách chọn ba thí sinh số thí sinh trường A có 10 cách chọn phịng thi cho ba thí sinh Ứng với cách chọn ta có 9.9 cách chọn phịng thi cho hai bạn cịn lại Do n B C53 10.9.9 8100 Xác suất cần tìm P B n B n 8100 81 100000 1000 Bài 25 Chọn ngẫu nhiên số từ tập 1, 2, ,11 ⓵ Tính xác suất để tổng số chọn 12 ⓶ Tính xác suất để tổng số chọn số lẻ Lời giải ⓵ Tính xác suất để tổng số chọn 12 Số cách chọn 11 số ( Số trường hợp có thể) C113 165 Vậy khơng gian mẫu có 165 phần tử Các tập hợp a, b, c 1, 2, ,11 thỏa mãn a b c 12 1, 2, 9 ,1, 3, 8 ,1, 4, 7 ,1, 5, 6 ,2, 3, 7 ,2, 4, 6 , 3, 4, 5 Vậy số kết thuận lợi 7, xác suất cần tính P 165 ⓶ Tính xác suất để tổng số chọn số lẻ Gọi B biến cố “ Tổng ba số chọn số lẻ” Theo câu ⓵ ta có 165 Le Minh Tam – Trang 195 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Tổng a b c số lẻ ba số lẻ số có số lẻ số chẵn Trường hợp Cả ba số lẻ Ta có C63 20 cách chọn số lẻ từ tập số lẻ 1, 3, 5, , 9,11 Trường hợp Trong số có số lẻ hai số chẵn Ta có C16 C52 60 cách chọn số lẻ hai số chẵn Vậy B 20 60 80 Do P B B 80 16 165 33 HẾT Le Minh Tam – Trang 196 ... giác chứa cạnh thập giác tam giác chứa đỉnh liên tiếp thập giác, có 10 tam giác Le Minh Tam – Trang 48 Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Số tam giác chứa cạnh thập giác tam giác chứa đỉnh liên tiếp... H có 20 cạnh Hỏi? ⓵ Có tam giác mà ba đỉnh đỉnh H ⓶ Có tam giác mà có hai cạnh cạnh H ⓷ Có tam giác mà có cạnh cạnh H ⓸ Có tam giác mà khơng có cạnh cạnh H Le Minh Tam – Trang 49 Chương... Xét tất tam giác mà ba đỉnh đỉnh thập giác Hỏi số tam giác đó, có tam giác mà ba cạnh khơng phải cạnh thập giác? Lời giải Số tam giác tạo thành từ đỉnh hình thập giác lồi C103 Số tam giác
