Chuyên đề tổ hợp xác suất ôn hsg m1

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT I – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ A Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp I Hoán vị Giai thừa n ! 1.2.3 n    Qui ước: 0! 1 n !  n –1 ! n n!  p  1  p    n p! (với n  p ) n!  n – p  1  n – p    n ( n  p)! (với n  p ) Hốn vị (khơng lặp) Một tập hợp gồm n phần tử (n  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo ) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Pn  n! Số hoán vị n phần tử là: Hoán vị lặp a , a , , ak Cho k phần tử khác nhau: 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo Một cách xếp n phần tử n a,n a , , nk a n  n   nk  n  gồm 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo phần tử 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo phần tử phần tử k  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo theo thứ n , n , , nk  tự gọi hốn vị lặp cấp n kiểu  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo k phần tử n , n , , nk  Số hoán vị lặp cấp n kiểu  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo k phần tử là: n! Pn  n1 ,  n2 ,   ,  nk     n1 !n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn   n – 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo  ! II Chỉnh hợp Chỉnh hợp (không lặp) Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1) Mỗi cách xếp n phần tử theo  k  n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! ( n  k )!  Công thức cho trường hợp k = k = n n  Khi k = n An  Pn    n ! Ank n(n  1)(n  2) (n  k  1)  Chỉnh hợp lặp Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A k k Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: An n III Tổ hợp Tổ hợp (không lặp) Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1) Mỗi cách xếp n phần tử theo  k  n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Ak n! Cnk  n  k ! k !(n  k )! Số tổ hợp chập k n phần tử:  Qui ước: Cn = 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo Tính chất: Cn0 Cnn 1; Cnk Cnn  k ; Cnk Cnk11  Cnk 1; Cnk  n  k 1 k  Cn k Tổ hợp lặp a ; a ; ; an  Cho tập A =  số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk Cnkk  Cnmk1 Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp k k  Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: An k !Cn  Chỉnh hợp: có thứ tự  Tổ hợp: khơng có thứ tự  Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k  n): k + Khơng thứ tự, khơng hồn lại: Cn k + Có thứ tự, khơng hồn lại: An k + Có thứ tự, có hồn lại: An Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau:  Đếm số phương án thực hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay khơng) ta a phương án  Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi đó, số phương án thỏa yêu cầu toán là: a  b B Nhị thức Niu tơn DẠNG 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo : XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp:  ax p n n  bx q   Cnk  ax p  k 0 n k n q k  bx   C a k n n k b k x np  pk qk k 0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np  pk  qk m m  np k p q Từ tìm m k n k k m Vậy hệ số số hạng chứa x là: Cn a b với giá trị k tìm m Nếu k khơng ngun k  n khai triển khơng chứa x , hệ số phải tìm m Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x khai triển P  x   a  bx p  cx q  n 2n viết dạng a0  a1 x   a2 n x Ta làm sau: n * Viết n P  x   a  bx p  cx q   Cnk a n  k  bx p  cx q  k 0 k ;  bx * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng p  cx q  k thành đa thức theo luỹ thừa x m * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: ak theo k n ; a ak với ẩn số k ; * Giải bất phương trình k  * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình * Tính hệ số n k n a C b k k DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG k 0 Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a  b) n Cn0 a n  a n  1bCn1  a n  2b 2Cn2   b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: k n k * Cn Cn n n * Cn  Cn   Cn 2 n * * k  ( 1) C k n 0 k 0 n n k 0 k 0  C22nk  C22nk   n k n C a k 2n k  C2 n k 0 (1  a ) n * k 0 Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn C Xác suất Biến cố  Không gian mẫu : tập kết xảy phép thử  Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A    Biến cố không:   Biến cố chắn:   Biến cố đối A: A  \ A  Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)  Hai biến cố xung khắc: A  B =   Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất n( A)  Xác suất biến cố: P(A) = n()   P(A)  1; P() = 1;  Quy tắc cộng: Nếu A  B =  P(A  B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P() =  P( A ) = – P(A)  Quy tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A B) = P(A) P(B) DẠNG 1: XÁC ĐỊNH PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ Phương pháp: Để xác định không gian mẫu biến cố ta thường sử dụng cách sau Cách 1: Liệt kê phần tử không gian mẫu biến cố đếm Cách 2: Sử dụng quy tắc đếm để xác định số phần tử khơng gian mẫu biến cố DẠNG 2: TÌM XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Phương pháp:  Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng cơng thức: Số lần xuất biến cố A P( A)  N P( A )   Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng cơng thức: n( A) n() II – CÁC VÍ DỤ Bài tốn lập số Ví dụ 1: Từ chữ số 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có sáu chữ số thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị? Giải: Gọi số cần tìm là: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 (a1) Mỗi cách xếp n phần tử theo ≠ 0) (a1  a2  a3 )  a4  a5  a6 a1  a2  a3 10   (a1  a2  a3 )  (a4  a5  a6 ) 1      21 a4  a5  a6 11 Theo đề ra, ta có: Có ba tổ hợp tổng 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo là: ( 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 3, 6), (1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 4, 5), (2, 3, 5) Trong tổ hợp: - Hốn vị ba chữ số đầu: có 3! cách - Hốn vị ba chữ số cuối: có 3! cách Suy có 3!.3! = 36 (số) Vậy với ba tổ hợp có: 3.36 = 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 08 (số) Ví dụ 2: Với chữ số 0, 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên có sáu chữ số đôi khác cho chữ số 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, đứng kề nhau? Giải: Từ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo chữ số cho ta lập chữ số 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, C73 gốm chữ số khác nhau, ln có mặt Từ lập 4!3! số có chữ số khác chữ số 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, ln đứng kề (với quy ước tính số mà có chữ số đứng đầu) Vậy có 4!3! C73 =5040 (số) C2 Trong 5040 số tạo thành có 3!3! = 540 (số) gồm chữ số khác mà chữ số đứng đầu chữ sô 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, đứng kề Vậy có 5040 – 540 = 4500 (số cần tìm) Ví dụ 3: Cho tập hợp E = { 0;1;2;3;4;5;6;7 } Từ tập hợp E lập số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác nhau, cho tích chữ số số chẵn? Giải: A Số số có chữ số khác lập từ tập E là: =7.7.6.5 =1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 470 (số) Số có chữ số khác cho tích chữ số số lẻ có dạng x abcd , a, b, c, d   1,3,5,7 Suy số số có chữ số khác cho tích chữ số số lẻ 4! = 24 (số) Vậy số số có chữ số khác cho tích cac chữ số số chẵn 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 470 – 24 = 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 446 (số) Ví dụ 4: Từ chữ số 0, 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập số tự nhiên có chữ số, mà chữ số đơi khác hai chữ số kề khơng số lẻ? Giải: Gọi số A a1a2 a3a4 a5 a6 Từ giả thiết suy A có 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo hoặc chữ số lẻ Trường hợp 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo : A có 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo chữ số lẻ a +) lẻ: Số số A C5 P5 600 a a +) chẵn: Có cách chọn Số số A 4.(C5C4 ) P5 2400 Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số số A có chữ số lẻ Trường hợp 2: A có chữ số lẻ a a a +) lẻ: Có cách chọn Có cách chọn chẵn Vậy số số A 5.5.(C4C4 ) P4 9600 a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a a a a a Vậy số số A 4.(C5 6.P2 ) A4 11520 +) Tổng có: 9600 + 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 520 = 21) Mỗi cách xếp n phần tử theo 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 20 số số A Trường hợp 3: A có chữ số lẻ a a a +) lẻ: Có cách chọn Có cách chọn Có cách chọn hai vị trí khơng kề 2 a a a a hai số lẻ Vậy số số A 5.5.(C4 3.P2 ) A4 10800 a a a +) chẵn: Có cách chọn Có 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo cách chọn vị trí không kề số lẻ a3 a4 a5 a6 Vậy số số A là: 4.(C53 1.P3 ) A42 2880 Tổng có: 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 0800 + 2880 = 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 3680 số số A Tóm lại có: 3000 + 21) Mỗi cách xếp n phần tử theo 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 20 + 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo 3680 = 37800 số số A Ví dụ 5: Tính tổng số chẵn có chữ số viết từ chữ số 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo , 2, 3, Giải: a, b, c   1, 2, 3, 4 , d   2, 4 Các số cần tính tổng có dạng abcd với abcd 103 a  102 b  10c  d  Ta có  abcd 10  a 10  b 10 c   d 1, 2,3, 4 Có tất cả: 4 4 2 128 số chẵn gồm chữ số viết từ  , đó: chữ số a, b, c xuất 4 2 32 lần, chữ số d xuất 4 4 64 lần Do đó:  a  b  c 32      320  d 64    384 Suy ra:  abcd 320  10  102  10   384 320 1110  384 355584 Bài tốn tổ hợp, chỉnh hợp Ví dụ 6: Một thầy giáo có 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo sách đôi khác gồm sách Toán,4 Văn Tiếng Anh Thầy lấy tặng cho học sinh Hỏi có cách tặng mà sau tặng xong loại sách cịn 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo cuốn? Giải: Do tổng loại sách lớn nên khơng thể hết loại sách Số cách chọn sách 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo học sinh A61) Mỗi cách xếp n phần tử theo 2=665280 Các trường hợp cho hết 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo loại là: +Hết sách Tốn có : A65 A71 =5040 cách + Hết sách Văn có: A64 A82 =201) Mỗi cách xếp n phần tử theo 60 cách + Hết sách Tiếng Anh có: A63 A93 =60480 cách Vậy số cách cần tặng là: 665280-(5040+201) Mỗi cách xếp n phần tử theo 60+60480) = 57960 ( cách) Ví dụ 7: Cho lục giác có 2n cạnh (n>2) Biết số hình chữ nhật tạo đỉnh 2n đỉnh đa giác 52 số tam giác tạo đỉnh đa giác có cạnh cạnh đa giác Tìm n Giải: Số hình chữ nhật là: Cn Số tam giác có 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo cạnh cạnh đa giác: 2n(2n  4) Cn2  Theo ra, ta có: 52 2n(2n  4)  n 15   n 0 (loai)  Vậy n = 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng song song a, b Trên a lấy 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo điểm phân biệt, b lấy n điểm phân biệt Tìm n để có 5950 tam giác có đỉnh ba điểm cho Giải: Vì tam giác có đỉnh điểm xảy trường hợp sau: C1 C Trường hợp 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo : Tam giác có 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo đỉnh a đỉnh b  có 17 n tam giác C C1 Trường hợp 2: Tam giác có đỉnh a 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo đỉnh b  có 17 n tam giác Vậy số tam giác có đỉnh điểm cho là: Theo ra, ta có: C171 Cn2 + C172 Cn1 = 5950  17! n! 17! n!  5950 1!.16! 2!( n  2)! 2!.15! ( n  1)!  17 n(n  1)  136n 5950  17n  255n  11900 0  n 20 n = -35 (loại) Vậy n = 20 C171 Cn2 + C172 Cn1 Ví dụ 9: Cho tập hợp A  1;2;3; ;18 Có cách chọn số tập A cho hiệu hai số số khơng nhỏ 2? Giải: Ta cần tìm số phần tử tập T sau:   T  (a1 ,a , ,a ) : a  a   a ; 1 a i 18; a i  a j 2 Xét tập hợp H  (b1 ,b , ,b ) : b1  b   b ; 1 b i 14 Xét ánh xạ f cho tương ứng (a1 ,a , ,a ) với (b1,b , ,b5 ) xác định sau: b1 a1 ,b a  1,b3 a  2,b a  3,b5 a  Dễ thấy f song ánh, suy T H (b1 ,b , ,b5 ) H tổ hợp chập 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo phần tử Do H C14 2002 Vậy T 2002 Mặt khác, Nhị thức Niu tơn 5Cnn  Cn3 Ví dụ 10: Cho n số nguyên dương thỏa mãn Tìm hệ số số hạng chứa n  nx    , x 0  14 x x khai triển nhị thức Niu-tơn  Giải: 5C Ta có: n n C n  n    n  1 n  n2  3n  28 0  5n   n 7   n   ktm 