ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT

★ LE MINH TAM CHƯƠNG 02 Tổ hợp & Xác suất  QUY TẮC ĐẾM  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP  NHỊ THỨC NEWTON  BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT MỤC LỤC※※※ ※※※  BÀI 01 QUY TẮC ĐẾM I CÁC QUY TẮC ĐẾM II BÀI TẬP TỰ LUẬN III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12  BÀI 02 TỔ HỢP – CHỈNH HỢP – HOÁN VỊ 15 I HOÁN VỊ 15 II CHỈNH HỢP 16 III TỔ HỢP 16 IV BÀI TẬP TỰ LUẬN 18  Dạng BÀI TẬP VỀ HOÁN VỊ 18  Dạng BÀI TẬP VỀ CHỈNH HỢP 24  Dạng BÀI TẬP VỀ TỔ HỢP 31  Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN 41  Dạng PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CÁC SỐ 45 V BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 49  BÀI 03 NHỊ THỨC NEWTON 53 I CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 53 II TAM GIÁC PASCAL 54 III CÁC DẠNG BÀI TẬP 54  Dạng KHAI TRIỂN NHỊ THỨC 55  Dạng TÌM HỆ SỐ HOẶC SỐ HẠNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN 56  Dạng CHỨNG MINH HOẶC TÍNH TỔNG 59 IV BÀI TẬP RÈN LUYỆN 60  BÀI 04 BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 76 I PHÉP THỬ VÀ KHÔNG GIAN MẪU 76 II BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 76 III PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 79 Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT IV CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 80 V CÁC DẠNG BÀI TẬP 82  Dạng TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ .82  Dạng CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 89 VI BÀI TẬP TỰ LUẬN 94 VII BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 103 BÀI 05 TỔNG ÔN TẬP CHƯƠNG 110 I QUY TẮC ĐẾM 110 II HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 115 III NHỊ THỨC NEWTON 126 IV XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 137 Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT BÀI QUY TẮC ĐẾM I CÁC QUY TẮC ĐẾM Quy tắc cộng  Một công việc X thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak , đó: Phương án A1 có n1 cách thực Phương án A có n cách thực ……………………………………… Phương án A k có n k cách thực Số cách hồn thành cơng việc X n  X   n1  n2   nk cách Ví dụ Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm: đề tài lịch sử, đề tài thiên nhiên, 10 đề tài người đề tài văn hóa Hỏi thí sinh có khả chọn đề tài? Lời giải Ví dụ Giả sử từ tỉnh đến tỉnh phương tiện: tơ, tàu hỏa máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến tô, chuyến tàu hỏa chuyến máy bay Hỏi ngày có cách lựa chọn từ tỉnh đến tỉnh ? Lời giải Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Quy tắc nhân  Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực công đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi đó, cơng việc thực theo n.m cách Ví dụ An đến nhà Bình để Bình đến nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách chọn đường từ nhà đến nhà Cường? Lời giải Ví dụ Lớp 11A có 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Hỏi có cách chọn ban cán trên? Lời giải  Các toán đếm Ta thường gặp toán sau: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Khi lập số tự nhiên x  a1 an ta cần lưu ý:  0,1, 2, , 9 a1  01  x số chẵn  an số chẵn  x số lẻ  an số lẻ  x chia hết cho  a1  a2   an chia hết cho  x chia hết cho  an1an chia hết cho  x chia hết cho  an 0, 5 Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  x chia hết cho  x số chẵn chia hết cho  x chia hết cho  an an1an chia hết cho  x chia hết cho  a1  a2   an chia hết cho  x chia hết cho 11  tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn số chia hết cho 11  x chia hết cho 25  hai chữ số tận 00, 25, 50, 75 02 Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế 03 Đếm số phương án liên quan đến hình học Ta thường gặp tốn đếm số phương án thực hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải tốn ta thường giải theo hai cách sau:  Cách 1: Đếm trực tiếp  Nhận xét đề để phân chia trường hợp xảy toán cần đếm  Đếm số phương án thực trường hợp  Kết tốn tổng số phương án đếm cách trường hợp  Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù) Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp ta đếm phần bù toán sau:  Đếm số phương án thực hành động H (khơng cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta a phương án  Đếm số phương án thực hành động H khơng thỏa tính chất T ta b phương án Khi số phương án thỏa yêu cầu toán là: a  b II BÀI TẬP TỰ LUẬN  Bài 01 Một người có áo có áo trắng cà vạt có cà vạt vàng Hỏi người có cách chọn áo cà vạt, nếu: ⓵ Chọn áo được, cà vạt ⓶ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt vàng Lời giải Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 02 Giả sử bạn muốn màu áo sơ mi cỡ 39 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi bạn có lựa chọn (về màu cỡ áo)? Lời giải  Bài 03 Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ ⓵ Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? ⓶ Nhà trường cần chọn hai học sinh có nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn? Lời giải  Bài 04 Mỗi bảng số xe gắn máy thành phố X có cấu tạo sau Phần đầu gồm hai chữ bảng chữ cái, phần sau gồm chữ số chữ số : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Ví dụ: SA0979, EY3535, Hỏi có cách tạo bảng số xe theo cấu tạo trên? ( Giả sử bảng chữ có tất 26 chữ cái) Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT Lời giải  Bài 05 Trong đồ lập theo kỹ thuật số thành phố X , nhà thành phố lập địa “địa số” nhà dãy gồm 16 chữ số lấy từ hai chữ số Ví dụ: 0000110000111100 ( chữ số , chữ số , chữ số , chữ số , chữ số ) Hỏi thành phố X có tối đa nhà? Lời giải  Bài 06 Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn? Lời giải  Bài 07 Có số nguyên dương n gồm chữ số có nghĩa (chữ số phải khác ) trường hợp sau đây: ⓵ Khơng có u cầu thêm ⓶ Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị n giống hệt ⓷ Chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị n giống hệt hai chữ số khác chữ số hàng trăm n Lời giải Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 08 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số nguyên dương n trường hợp sau đây: ⓵ n gồm chữ số đôi khác bắt đầu 56 65 ⓶ n gồm chữ số đôi khác tận chữ số khác ⓷ n gồm chữ số đôi khác phải có đứng cạnh nhau, không kể thứ tự trước sau Lời giải Le Minh Tam – Trang  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 09 Có số nguyên dương n gồm chữ số có nghĩa (chữ số phải khác ) trường hợp sau đây: ⓵ n không chia hết cho 10 ⓶ n bội số ⓷ n số lẻ Lời giải  Bài 10 Từ chữ số 1, 4, 5, 8, lập số nguyên dương n trường hợp sau đây: ⓵ n gồm bốn chữ số ⓶ n gồm bốn chữ số đôi khác ⓷ n  800 gồm chữ số đôi khác ⓸ n  200 n số chẵn ⓹ n số lẻ gồm năm chữ số , chữ số cách chữ số giống ⓺ 555  n  5555 n chia hết cho Lời giải Le Minh Tam – Trang 10  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 12 Chứng minh C80Cnk  C81Cnk 11  C82Cnk 2  C83Cnk 3   Cx7Cnk 7  C88Cnk 8  Cnk.8 Lời giải  Bài 13    C   C  Chứng minh Cn0 n 2 n     Cnn  C2nn Lời giải  Bài 14 Rút gọn tổng sau: ⓵ A  C12n1  C22n1   C2nn1  C2015  C12015  ⓶ B  C2015  C1008 2015 Lời giải Le Minh Tam – Trang 132  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 15 Rút gọn biểu thúc Sk  Cn0  C1n  Cn2  Cn3   (1)k Cnk ( với n  1, k  n) Lời giải  Bài 16 Chứng minh C1n  2Cn2  3Cn3   nCnn  n2n1 Lời giải  Bài 17 Tìm số nguyên dương n cho C12n1  2.2C22n1  3.22 C23n1  4.23 C24n1   (2n  1)22n C22nn11  2005  Trích đề ĐH KHỐI A – năm 2005 Lời giải Le Minh Tam – Trang 133  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 18 1 Chứng minh Cn0  C1n  Cn2   2n1  Cnn  n 1 n 1 Lời giải  Bài 19 1 22 n  C2 n  C2 n  C2 n   C22nn1  ( n số nguyên dương Cnk số 2n 2n  tổ hợp chập k n phần tử) Trích đề ĐH KHỐI A – năm 2007 Chứng minh Lời giải Le Minh Tam – Trang 134  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 20 Cho n số nguyên dương Tính tổng 2  1 23  2n1  n Cn0  Cn  Cn   C n 1 n Trích đề ĐH KHỐI B – năm 2003 Lời giải  Bài 21 n  1 1 Chứng minh 1        1! ! n!  n Lời giải  Bài 22 Tìm hệ số x khai triển thành đa thức x 1  2x   x2 1  3x  10 Trích đề ĐH KHỐI D – năm 2007 Lời giải Le Minh Tam – Trang 135  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 23 Với n số nguyên dương, gọi a3 n  hệ số x3n3 khai triển thành đa thức  x  1  x  2 n n Tim n để a3n3  26n Trích đề ĐH KHỐI D – năm 2003 Lời giải  Bài 24 Cho khai triển : (1  2x)n  a0  a1x  a2 x2  thoả mãn hệ thức: a0  a1   an 2n  an xn , dó n * hệ số a0 , a1 , , an  4096 Hãy tìm số lớn số a0 , a1 , , an Trích đề ĐH KHỐI A – năm 2008 Lời giải Le Minh Tam – Trang 136  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 25 k Tìm k  {0,1, 2, , 2005} cho C2005 đạt giá trị lớn Trích đề DỰ BỊ ĐH KHỐI D – năm 2005 Lời giải IV XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ  Bài 01 Tiến hành thí nghiệm ngẫu nhiên: Gieo súc sắc lần ⓵ Mô tả không gian mẫu  , tính số phần tử  ⓶ Mơ tả biến cố sau, tính số phần tử biến cố A : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” B : “Biến cố súc sắc tung lần xuất mặt chấm” C : “Biến cố súc sắc tung lần số lẻ” D : “Ít lần xuất mặt chấm” E : “Biến cố số chấm xuất súc sắc đơn vị” ⓷ Tính xác suất biến cố nói Lời giải Le Minh Tam – Trang 137  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 02 Gieo đồng xu gieo súc sắc ⓵ Mô tả không gian mẫu  ⓶ Tính xác suất biến cố sau: A : “Đồng xu xuất mặt hình” B : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm số lẻ” C : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm số lẻ đồng xu xuất mặt hình” D : “Con súc sắc xuất mặt có số chấm  đồng xu xuất mặt số” Lời giải  Bài 03 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên bé 100 ⓵ Mô tả không gian mẫu ⓶ Tính xác suất biến cố A: " Số chọn số nguyên tố", B: " Số chọn chia hết cho " Lời giải  Bài 04 Một người du lịch mang hộp thịt, hộp hộp sữa Do trời mưa nên hộp bị nhãn Người chọn ngẫu nhiên hộp Tính xác suất để có hộp thit, hộp sữa hộp Lời giải Le Minh Tam – Trang 138  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 05 Một bình chứa 16 viên bi với viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất cho ⓵ Lấy viên bi đỏ ⓶ Lấy viên bi trắng, viên bi đen, viên bi đỏ Lời giải  Bài 05 Trong danh sách 10 đường phố cần tu sửa TP.HCM, có đường thuộc quận Bình Thạnh, đường thuộc quận 4, đường thuộc quận Phú Nhuận Chọn ngẫu nhiên đường đề tu sửa đợt đầu Tính xác suất để ⓵ đường thuộc quận 4, đường thuộc quận Phú Nhuận chọn ⓶ đường thuộc quận Bình Thạnh, đường thuộc quận đường thuộc quận Phú Nhuận chọn Lời giải Le Minh Tam – Trang 139  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 07 Mỗi đề thi có câu chọn từ 100 câu có sẵn Một học sinh học thuộc 80 câu Tìm xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên đề thi có câu học thuộc Lời giải  Bài 08 Tủ lạnh nhà bạn A có 12 trứng, có bị hỏng, mẹ bạn A lấy ngẫu nhiên từ trứng để làm trứng chiên Tính xác suất để trứng mẹ bạn A lấy có bị hỏng Lời giải  Bài 09 Một lớp có 10 học sinh nam 12 học sinh nữ Cần chọn học sinh để tham gia chiến dịch “ Hoa Phượng Đỏ” Tính xác suất để học sinh chọn phải có học sinh nữ học sinh nam Lời giải  Bài 10 Từ cỗ tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên lúc bốn Tính xác suất cho ⓵ Cả bốn át ⓶ Được hai át hai K ⓷ Được át Lời giải Le Minh Tam – Trang 140  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 11 Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Rút ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất để ⓵ Tích hai số nhận số lẻ ⓶ Tích hai số nhận số chẵn Lời giải  Bài 12 Có hai hộp bi, hộp có bi đỏ bi trắng Các viên bi khác màu Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tìm xác xuất để lấy số bi đỏ số bi đỏ lấy Lời giải Le Minh Tam – Trang 141  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 13 Đội tuyển văn nghệ trường phổ thơng có học sinh nữ khối 12 , học sinh nam khối 11 học sinh nữ khối 10 Để thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà trường cần chọn học sinh từ học sinh Tính xác xuất để học sinh chọn có học sinh nam, học sinh nữ có học sinh ba khối Lời giải  Bài 14 Hội đồng coi thi THPT có 12 giáo viên trường A , 10 giáo viên trường B , giáo viên trường C C hủ tịch hội đồng coi thi chọn cán coi thi chứng kiến niêm phong gói đựng phong bì đề thi Tính xác xuất để cán coi thi chọn giáo viên trường THPT khác Lời giải  Bài 15 Có bạn nam bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành dãy đối diện Tính xác suất cho: ⓵ Nam nữ ngồi đối diện ⓶ Nữ ngồi đối diện Lời giải Le Minh Tam – Trang 142  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 16 Một đồn tàu có toa sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn toa cách ngẫu nhiên Tính xác suất biến có sau: ⓵ A: “Mỗi toa có người lên" ⓶ B: “Mỗi toa có người lên, toa toa có người lên toa khơng có người cả" ⓷ C: “1 toa người, toa có người toa khơng có người cả" Lời giải  Bài 17 Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào bì thư ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ phong bì Lời giải Le Minh Tam – Trang 143  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 18 Người ta lập tam giác có đỉnh đỉnh đa giác 15 cạnh Tính xác suất để tạo tam giác có cạnh khơng phải cạnh của đa giác 15 cạnh Lời giải  Bài 19 Một thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi Mỗi câu hỏi có phương án trả lời có câu trả lời Nếu trả lời 0.2 điểm, trả lời sai khơng điểm Bạn Nam khơng học nên làm cách đánh ngẫu nhiên Tính xác suất để Nam điểm Lời giải  Bài 20 Lớp học đủ ánh sáng có bóng đèn sáng Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị cháy Lời giải Le Minh Tam – Trang 144  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 21 Hai cầu thủ đá bóng sút phạt đền, cầu thủ đá lần với xác suất ghi bàn , 0, Tìm xác suất để cầu thủ ghi bàn Lời giải  Bài 22 Hai bạn A B tham gia kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016, ngồi thi ba mơn Tốn, Văn, Anh bắt buộc A B đăng ký thêm hai môn tự chọn ba môn: Vật lý, Hóa học, Sinh học hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển vào Đại học, Cao đẳng Mỗi mơn tự chọn trắc nghiệm có mã đề khác nhau, mã đề thi môn khác khác Tính xác suất để A B có chung mơn tự chọn mã đề thi Lời giải  Bài 23 Trong thi “Rung chng vàng” có 20 bạn lọt vào vịng chung kết, có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia bạn thành bốn nhóm A, B, C, D nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm Lời giải Le Minh Tam – Trang 145  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 24 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, hội đồng thi X , trường THPT A có thí sinh dự thi Tính xác suất để có thí sinh trường THPT A xếp vào phòng thi, biết hội đồng thi X gồm 10 phòng thi, phịng thi có nhiều thí sinh việc xếp thí sinh vào phịng thi hoàn toàn ngẫu nhiên Lời giải  Bài 25 Chọn ngẫu nhiên số từ tập 1, 2, ,11 ⓵ Tính xác suất để tổng số chọn 12 ⓶ Tính xác suất để tổng số chọn số lẻ Lời giải HẾT Le Minh Tam – Trang 146 ... 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT  Bài 25 Ở trường nọ, tổ chức kỳ thi tốt nghiệp trường cho học sinh, người ta muốn chọn môn môn học A, B, C, D, E, F, G, H, I để tổ chức thi ngày liên tiếp, ngày thi môn. .. thi (tức xếp thứ tự môn môn học) nếu: ⓵ Khơng có u cầu thêm ⓶ Bắt buộc phải có mơn C ⓷ Bắt buộc phải có môn C môn C phải tổ chức thi ⓸ Bắt buộc phải có ba mơn thi A, B, F môn F phải tổ chức thi. .. Tam – Trang 16  Chương 02 TỔ HỢP – XÁC SUẤT III TỔ HỢP  Định nghĩa Cho tập hợp A có n phần tử  n  1 Mỗi tập k phần tử gọi tổ hợp chập k n A  Số tổ hợp chập k tập hợp có n là: Cnk  n! với