CÁC CHUYÊN ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Tập san 03 9-2021 Số Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận lực người học Ứng dụng số tích chất đặc biệt hàm số để giải phương trình, bất phương trình Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhờ kĩ thuật dựng song song đường thẳng mặt phẳng Vẻ đẹp lời giải hình học qua tốn lượng giác Kỳ thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn đợt Lời giải chi tiết câu VD – VDC mã đề gốc 102 Phân tích câu VD – VDC đề thi tốt nghiệp THPT đợt năm 2021 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc MỤC LỤC Lời nói đầu ……………………………………………………………………………… Trao đổi kinh nghiệm dạy học ………………………………… Ứng dụng số tích chất đặc biệt hàm số ………………… Ths Nguyễn Sỹ - GV Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định Phương pháp tính khoảng cách …………………………………… 14 Hồng Xn Bính - GV THPT Chun Biên Hịa, Hà Nam Vẻ đẹp lời giải hình học qua tốn lượng giác…………… 27 Ths Hoàng Minh Quân - GV Trường THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội Kỳ thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn đợt 2………… 36 Lời giải chi tiết câu VD – VDC mã đề gốc 102…………… 36 Nhân Lê NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Phân tích câu VD – VDC đề thi tốt nghiệp …………… 50 Ths Nguyễn Minh Nhiên – Phó trưởng phòng GDTrH – GDTX, Sở GD&ĐT Bắc Ninh https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Lời nói đầu Năm học 2021 – 2022 năm học diễn bối cảnh nước tích cực tham gia cơng tác phịng chống đại dịch COVID 19; năm học đại đa số học sinh phải tham gia khai giảng học trực tuyến; năm học ngành giáo dục mà tất ngành nghề dự báo năm gặp nhiều khó khăn Một trở ngại lớn cho thầy cô giáo thời gian tới việc dạy học trực tuyến Để giải phần khó khăn dạy học, Nhóm có hướng dẫn cho quý thầy cô công cụ, phần mềm hỗ trợ cho dạy học Online, tài liệu phục vụ dạy học thời gian NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM xin trân trọng giới thiệu, mắt quý thầy cô em ấn phẩm Tập san số 03 Hy vọng Tập san sân chơi để quý thầy cô trao đổi kinh nghiệm dạy học đồng nghiệp thơng qua viết mình; em học sinh nắm kiến thức chương trình THPT; tiếp cận với tốn mới, hay lạ Đặc biệt, rèn luyện tốt kỹ làm thi trắc nghiệm mơn Tốn Để hồn thành Tập san, BQT chân thành cám ơn tất thành viên nhóm tâm huyết tham gia, xây dựng Tập san Tài liệu nhóm tổ chức làm cẩn thận, phản biện nhiều lần, khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp tích cực từ quý thầy cô em học sinh Các ý kiến đóng góp chân thành q thầy nguồn động lực để tiếp tục vững bước đường xây dựng tập san ngày chất lượng Mọi ý kiến đóng góp, viết gửi đăng xin gửi theo địa chỉ: mail: nhomGVTVN@gmail.com BQT NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM! https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang Các thành viên tham gia Tập san Ban quản trị NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Cơ giáo: Ngơ Tú Hoa, Lại Nhật Hoan Thầy giáo: Trương Quốc Toản, Nguyễn Khải, Lê Thảo, Tạ Minh Đức, Nguyễn Ngọc Chi, Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Nam Phương, Nhân Lê Cùng thầy, cô giáo tham gia viết phản biện: Nguyễn Sỹ, Binh Hoang, Hoàng Minh Quân, Nguyễn Minh Nhiên, Tạ Minh Đức, Nguyễn Bá Nam, Lê Thảo, Lê Anh Dũng, Phong Do, Huỳnh Văn Ánh, Nguyễn Khắc Thành, Hoàng An Dinh, Trần Đức Nội, Lê Thanh Bình, Trương Đức Thịnh, Nguyễn Thanh Hải, Vũ Minh Tư, Nguyễn Ngọc Hóa, Phạm Tuấn, ĐưcThanh Phạm Trân trọng! https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Tập san Số 03 - 2021 Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận lực người học Ứng dụng số tích chất đặc biệt hàm số để giải phương trình, bất phương trình Ths NGUYỄN SỸ Giáo viên Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn THPT, đóng vai trò quan trọng việc rèn luyện kỹ giải toán phát triển tư cho học sinh, tập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình xuất nhiều kỳ thi TN THPT kỳ thi HSG cấp tỉnh Các kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình phong phú đa dạng Tuy nhiên, kỹ thuật sử dụng tính chất đặc biệt hàm số có nhiều ưu việc giúp em tìm tịi, phát hiện, tạo hứng thú q trình học mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy tơi viết chun đề ‘‘Ứng dụng số tích chất đặc biệt hàm số để giải phương trình, bất phương trình ’’ Cơ sở lý thuyết 1.1 Kiến thức cần nắm 1.1.1 Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số f  x  xác định tập D x  D   x  D Hàm số f  x  gọi hàm số chẵn tập D   f   x   f  x  , x  D x  D   x  D Hàm số f  x  gọi hàm số lẻ tập D   f   x    f  x  , x  D 1.1.2 Một số kết thường dùng Định lí Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng K Nếu f '  x   x  K hàm số y  f  x  đồng biến K Nếu f '  x   x  K hàm số y  f  x  nghịch biến K Lưu ý: Nếu f '  x   x   a; b  hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b hàm số y  f  x  đồng biến đoạn  a; b https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021 Tính chất Cho hàm số f liên tục đơn điệu khoảng K , u  K PT f  u   f  v   u  v với  v  K Tính chất Cho hàm số f liên tục đồng biến khoảng K , u  K BPT f  u   f  v   u  v với  v  K Tính chất Cho hàm số f liên tục nghịch biến khoảng K , u  K BPT f  u   f  v   u  v với  v  K Một số hàm số có vài tính chất đặc biệt: +) Với a  hàm số f  x   a x  a  x hàm số lẻ, đồng biến  +) Với a 1, hàm số f  x  ax ax  a đồng biến , thỏa mãn f  x   f 1  x   x   +) Với a, b  , hàm số f  x   log a x  b x  b x đồng biến khoảng  0;   thỏa mãn 1 f     f  x  x   x f  x   log a x  x  a +) Với a  hàm số đồng biến  thỏa mãn f  x   f   x   x     +) Với a , b  , hàm số f  x   a  e x  e  x   b ln x  x  hàm số lẻ, đồng biến  +) Hàm số f  x   x  x  đồng biến  thỏa mãn f  x  f   x   x  Việc chứng minh tính chất đơn giản (xin dành cho bạn đọc) Bài tập áp dụng: Câu Cho hàm số f  x   2021x  2021 x Giá trị nguyên lớn m để f  m   f  2m  2019   A 673 B 674 C 673 Lời giải D 674 Chọn B Ta có f '  x   2021x ln 2021  2021 x ln 2021  0, x   , suy hàm số f  x  đồng biến  Do f   x    f  x  , x    hàm số f  x  hàm số lẻ  BPT: f  m   f  2m  2019    f  2m  2019    f ( m)  f  2m  2019   f ( m)  2m  2019   m  3m  2019  m  673 Vậy giá trị nguyên lớn m 674 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Câu Số 03 9-2021 Cho hàm số f  x   2020 x  2020 x Giá trị nguyên lớn tham số m để phương trình f  log x  m   f  log 32 x   có nghiệm x  1;16  A 65 B 67 C 68 Lời giải D 69 Chọn B Ta có f '  x   2020 x ln 2020  2020 x ln 2020  0, x   , suy hàm số f  x  đồng biến  Do f   x    f  x  , x    hàm số f  x  lẻ  Đặt t  log x, ĐK t   0;  PT trở thành f t  m  f t    f t    f t  m  f t   f  m  t   t3  m  t  t3  t  m Xét hàm số g  t   t  t với t   0;  , ta có f '  t   3t   0t   0;  Mà f  t  liên tục 0; 4 Suy g    g  t   g   t   0;  , hay  g  t   68, t   0;  Vậy PT cho có nghiệm x  1;16   m  68 Suy giá trị nguyên lớn tham số m 67 Câu x x Cho hàm số f  x   ln x  e  e Có nghiệm nguyên dương phương trình     sau f log  x  2 10  f log   x3   ? A B C Lời giải D Chọn A x 1x  e  e  0, x  , suy hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;   x x 1   1 1 x x x Với x  , ta có f    ln    e  e   ln x  e  e x    f  x   x  x   Ta có: f '  x   Với x  * , phương trình   f log  x   10  f log   x    f    f log   x   log x                 f  log  x     f log   x3    f log   x3   f  log  x    x   log   x3   log   x   x  x       x  3 Đối chiếu điều kiện xét Vậy phương trình có nghiệm x  Câu Cho hàm số f  x   9x 9x  Tập tất giá trị thực tham số m để phương trình   f  3m  sin x   f  cos x   có nghiệm   3 1 m m m A  B  C 192 192 192 12 Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc D  m 192 12 Trang Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Xét hàm số f  x   9x x 3 Suy hàm số f  x   9-2021 Ta có f   x   9x Số 03 1.3  1.0  x  3 x.ln  0, x   đồng biến  9x  9x 91 x 9x Ta có: f  x   f 1  x   x  1 x  x  x   f  x   f 1  x   x   3 3 3 3 Do f cos x  f  sin x   f sin x         Nên PT cho  f  3m  sin x   f  sin x    1  3m  sin x  sin x  3m  sin x  sin x 4 1 1 Đặt t  sin x , t   1;1 ; g  t   t  t  g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  4 8 Phương trình cho có nghiệm   Câu 5 1  3m   m 64 192 12 4x Cho hàm số f  x   x Tập tất giá trị thực tham số m để phương trình 2   f  m  sin x   f  cos x   có nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ; 2    1 A   m  B   m  C   m  D   m  64 64 64 64 Lời giải Chọn B 4x Xét hàm số f  x   x , ta có 2 2.4 x.ln f  x   0, x    hàm số f  x  đồng biến  1 x    41 x   1 x x   2.4  4x 4x    f  x    f 1  x  Suy f 1  x   f  x   x  4x  1     Từ đó, PT f  m  sin x   f  cos x    f  m  sin x    f 1  sin x  4        f  m  sin x   f  sin x      1 Từ 1   , ta có PT (2)  m  sin x  sin x  m  sin x  sin x * 4 Ta lại có: f 1  x   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021 Phương trình * có nghiệm phân biệt thuộc   ; 2  m  t  t có nghiệm phân biệt thuộc  1;0 Xét hàm số y  t  t Bảng biến thiên: Vậy * có nghiệm phân biệt thuộc   ; 2    m  64 Câu Cho hàm số f  x   log x  3x  x Tổng bình phương giá trị tham số m để phương   trình f  có ba nghiệm thực phân biệt  x  m    f  x  x      A 14 B 13 C 10 D Lời giải Chọn A   1 1 Ta có: f    log3  x  3x    log3 x  3x  x    f  x  x  x  x   1  3x.ln  x ln  x   Hàm số f  x  đồng biến  0;    Lại có: f   x   x ln x    f  x  m  3  f  x  x   Do f   x  m    f  x  x       4m   x  x   x  m   x2  x   x  m  x2  x     4m  x  Vẽ hai parabol y   x  x  y  x  hệ trục Hai parabol y   x  x  y  x  tiếp xúc với điểm A  2;8 Parabol y   x  x  có đỉnh I1  4;12  ; parabol y  x  có đỉnh I  0;   4m  m   Phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt   4m    m   4m  12  m  2 Vậy tổng bình phương giá trị m    14 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang Tập san NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Câu Số 03 9-2021 Cho hàm số f  x   log x  x  Có giá trị thực tham số m để bất phương trình f  x  1 A   x   f  x  6m  m  m   nghiệm với x ? B C Lời giải D Vô số Chọn A Xét hàm số f  x   log x  x   log x  x  TXĐ: D   x 1 x 4  , x   nên f  x  đồng biến  Ta có f   x    2 x  x  ln 2 x  ln      Mặt khác f   x   log  x  1   log  log 2 2 x 4x  x    log 2  x2   x   x   x   f  x  x   Do bất phương trình cho tương đương  x  1  x  5  f  x  6m  m  m    f  x  1  f   x  1  x    f   x  6m  m  m  f 4 2   x    f  x  6m  m  m  4   x  1  x    x  6m  m2  m4   x  1   x  1   x  1  m4  m2  6m Đặt t  x  1; t   Bất phương trình trở thành t  t  6t  m  m  m Xét hàm số g  t   t  t  6t ; t   Ta có g   t   4t  2t  ; g   t    4t  2t    t  Bảng biến thiên Bất phương trình cho nghiệm với x  m  m  m  4  g  m   4  g  m   4  m  (Suy từ bảng biến thiên) Vậy có giá trị thực m thỏa mãn Câu   Cho hàm số f  x    e x  e 2 x   ln x  x   x Có giá trị nguyên tham   số m để bất phương trình f 3x  m  f  x3  12   nghiệm với x   2;1 A B 2 C Vô số Lời giải D 20 Chọn A   Xét hàm số f  x    e x  e 2 x   ln x  x   x Tập xác định D   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang Tập san NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Số 03 9-2021 Câu 45: Trên tập hợp số phức, xét phương trình số thực) Có cặp số thực z 2az b2   ( a , b tham (a;b) cho phương trình có hai nghiệm z1, z thỏa mãn z  2iz   3i ? A B C D Lời giải Chọn D     9     z  a  z  z  a       TH1: z 1, z   , ta có z  2iz   3i         10 z      z 1z  b   b    2     TH2: z1, z   , đặt z  x  yi x , y     z  x  yi x  2y  x  Ta có z1  2iz   3i  x  yi  2i(x  yi)   3i     2x  y  y     a    a      b  b 0     Vậy có cặp số a , b  thỏa mãn NHẬN XÉT Đây dạng toán tương tự gặp đề Tốt nghiệp THPT năm 2020, lỗi phổ biến giải toán xét thiếu trường hợp dẫn đến kết cặp BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho số thực b , c cho phương trình z  b z  c  có hai nghiệm phức z ; z    thỏa mãn z1   3i  z1  2i z2  số ảo Khi b  c bằng: A 1 B 12 C Lời giải D 12 Chọn C TH 1: z 1, z   , z   3i  TH 2: z1, z   , đặt z1 Ta có z   3i  z  3    x  yi  z2  z1  x yi  x  3  y  3  2 z  2iz  2  x  y  2i x  2  yi  x mâu thuẫn với giả thiết 2 1  y  2x  2y  x  2y  2  xy  i   số ảo x  y  2x  2y  2  2  x  x  3  y  3   Từ 1 2 ta có    x  y  2x  2y  y  2    z   2i ; z   2i https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 79 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM 9-2021  z  z  b  Vì theo Vi-et ta có:   b  c  4     z z  c    Câu 2: Có giá trị dương số thực có nghiệm phức z thỏa A a Số 03 2 cho phương trình z  3z  a  2a  z0  ? B C Lời giải D Chọn B 2 Phương trình z  3z  a  2a  (*) có    a  a  Xét trường hợp: 2 2 (1) a  2 Khi đó, phương trình (*) có nghiệm z z   TH1:     4a  8a    z   Theo đề bài: z    z    a  * z   , thay vào phương trình (*) ta a  2a   a  * z  , thay vào phương trình (*) ta a  2a   (vô nghiệm) Kết hợp điều kiện a  điều kiện (1) suy a   a    TH2:    4a  8a     (2)   a   Khi đó, phương trình (*) có nghiệm phức z z nghiệm phương trình (*) a   Ta có z z  a  2a  z  a  2a  a  2a     a  Kết hợp điều kiện a  điều kiện (2) suy a  Vậy có giá trị a dương thỏa mãn a  ; a  Câu 3: Trên tập số phức, xét phương trình z  z   m  ( m tham số thực) Tổng tất giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn z  2 A 20 Chọn B B 2 12  C 14 Lời giải  D  z  z   m  *      m  9m z  TH 1:     m  Khi z    z    * z   m  16 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 80 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM * z  1  m  TH 2:     m  Đặt z  a  bi b   Khi đó, z , z nghiệm phương trình Ta có z   z   z z   Vậy tổng cần tìm 12 Số 03 9-2021 9z  6z   m  1m   m  8 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 81 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021 Câu 46: Cho hai hàm số f (x )  ax  bx  cx  2x g(x )  mx  nx  2x ; với 3 a , b, c, m , n   Biết hàm số y  f (x )  g x  có ba điểm cực trị  1; 2; Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường A 32 y  f (x) y  g(x) B 71 C 64 D 71 Lời giải Chọn B Từ giả thiết hàm số h x   f (x )  g x  có bậc có ba điểm cực trị  1; 2; Do h  x   f (x )  g  x   4ax  b  m  x  c  n  x   4a x  1x  x    h  0  24a   a   h  x   x  1x  2x  3 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  f (x) y  g(x) 3 71 S    f (x )  g  x  dx   x  1x  2x  3 dx    1 1 NHẬN XÉT Đây dạng toán tương tự gặp đề THPT quốc gia năm 2018, điểm mấu chốt tốn phân tích f (x )  g  x   4a x  1x  x   để tìm a qua h  0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số f x   ax  bx  c g x   mx  n có đồ thị đường cong C  đường thẳng d (như hình vẽ) Biết AB  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C  đường thẳng d (phần tơ màu) S  p (trong p, q  N * ; (p ; q )  ) Khẳng định sau q đúng? y (C) A d O x B A p  q  20 B p  11q C pq  69 Lời giải D p  q  35 Chọn D Ta có A(0;c)  (C ), B(0; n)  d AB   c  n  (c  n) Phương trình hoành độ giao điểm C  d https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 82 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021 2 ax  bx  c  mx  n  ax  (b  m )x  c  n   ax  (b  m )x   (*) Lại có hồnh độ giao điểm C  d x  x 5 nên (*) có dạng a (x  1)(x  5)  Đồng hệ số ta a  Diện tích hình phẳng giới hạn C  d 5 S   (x  1)(x  5) dx  x  6x  dx  1 y y=f(x) 32 -1 x O Suy p  32, q   p  q  35 S1 Câu 2: Cho hai hàm số f x   ax  bx  cx  d g x   mx  n S2 ( a , b, c, d , m , n   ) Biết đồ thị hàm số y  f x  y  g x  cắt ba điểm có hồnh độ  1; 2; (tham khảo hình vẽ phía y=g(x) bên dưới); đồng thời diện tích S1  45 (phần hình phẳng tơ màu xanh) Tính diện tích S2 (phần hình phẳng tơ màu đỏ) 7 12 D S2  A S2  B S2  C S2  128 Lời giải Chọn A Ta có phương trình hoành độ giao điểm f x   g x   a x  1x  2x  3  Có S1   a x  1x  2x  3dx  45  1 Vậy S2   x  1x  2x  3dx  45 a  45  a  4 y Câu 3: Hình phẳng tơ màu hình vẽ bên giới hạn đồ thị hàm số bậc với đường thẳng  với trục hoành trục tung Diện tích hình phẳng A C B D -2 Lời giải O Chọn A Ta có đồ thị hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d có: + Giao với Oy điểm có tung độ d 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 83 x Tập san NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Số 03 9-2021 + Đi qua điểm 1; 0  a  b  c  2 + Đi qua điểm 2; 0  8a  4b  2c  2  4a  2b  c  1 + Có x  điểm cực trị hàm số nên nghiệm phương trình y '   3a  2b  c  Từ a  1; b  0; c   3 Vậy hàm số bậc ba là: y  x  3x  Ta có đường thẳng qua hai điểm 2; 0; 0;2 y  x  Giao điểm hai đồ thị x   2; x  0; x  2   Vậy diện tích hình phẳng giới hạn với hai đồ thị là: S   4x  x dx  g x   dx  ex  a, b, c, d , e    Biết đồ thị hàm số y  f x  y  g x  cắt điểm có hồnh độ 3; 1; (tham  Câu 4: Cho hai hàm số f x  ax  bx  cx  khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích y -1 -3 A B x O C D Lời giải Chọn D Từ giao điểm hai đồ thị ta có f x   g x   a x  3x  1x  1         Suy a x  x  x   ax  b  d x  c  d x  3 2 Xét hệ số tự suy 3a    a    Do f x  g x  x  3x  1x  1 1 1 Diện tích S   x  3x  1x  1 dx   x  3x  1x  1 dx  3 1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 84 Tập san NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Câu 5: Cho hai hàm số f x   x  ax  bx  c g x   f dx  e  Số 03 9-2021 y với a , b , c , d   có đồ thị hình vẽ bên, đường cong y=f(x) đậm đồ thị hàm số y  f x  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y  f x  y  g x  gần với kết đây? A 4,5 C 3, B 4, D 3, Lời giải Chọn A Từ đồ thị suy O f ( x )  a ( x  ) x f (1)   a   f (x )  (x  ) x Cho hai hàm số f x   ax  bx  cx  y=g(x) y=f(x) 32 g(x ) hàm số bậc ba nên g(x )  m(x  ) (x  3) 32 g (1)   m    g(x )  8(x  ) (x  3) Vậy S   f x   g x  dx   4,5 6: x y Câu -1 O -1 B g x   dx  ex  với a; b; c; d; e số thực Biết đồ thị hàm số y  f x  y  g x  cắt ba điểm A, B, C có A hồnh độ 1; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới y=g(x) hạn hai đồ thị cho có diện tích A 37 12 C -3 27 12 D 12 B C Lời giải Chọn A Ta có     f x   g x   ax  bx  cx   dx  ex   ax  b  d  x  c  e  x  Vì đồ thị hàm số y  f x  y  g x  cắt ba điểm A, B, C có hồnh độ 1; 1; nên phương trình f x   g x  có ba nghiệm 1; 1; Kết hợp với điều kiện giả thiết suy f x   g x   a x  1x  1x  2 Đồng hệ số tự hai dạng biểu thức f x   g x  ta 2a   a  Vậy f x   g x   x  1x  1x  2  x  2x  x  Diện tích hình phẳng cần tìm là: S   x  2x  x  2dx  1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 37 12 Trang 85 x Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM 9-2021 Câu 7: Hình phẳng H  giới hạn đồ thị hai hàm số y đa thức bậc bốn y  f (x ) y  g (x ) Biết đồ thị hai hàm số cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ −3;−1;2 Diện tích hình phẳng H  (phần gạch sọc -3 hình vẽ bên) gần với kết đây? A 3,11 C 3,21 Số 03 O -3 -1 x -3 B 2, 45 D 2,95 Lời giải Chọn A Tại điểm có hoành độ x  3 hai đồ thị hàm số tiếp xúc với   Có f (x )  g(x )  a x  (x  1)(x  2) Mà f (0)  g (0)       a.9.1.(2)   a  1      10 10 20 2 Vì S(H )   f (x )  g(x )    3 3 3733 x  3 (x  1)(x  2) dx   3,11  20 1200 Câu 8: Cho hàm số bậc ba y  f (x ) hàm số bậc hai y  g (x ) y có đồ thị hình vẽ Biết phần diện tích S giới hạn đồ thị hai hàm số Tính phần diện tích S2 giới hạn hai đồ thị hàm số A S2  B S2  C S2  D S2  y=g(x) Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hai hàm số ta thấy hai đồ thị cắt điểm có hồnh độ 1, 1, nên -1 O f x   g x   a x  1x  1x  3 a  S S1 Mặt khác diện tích x S1    a(x  1)(x  1)(x  3)dx   a  y=f(x) 1 Từ suy 3 1 S2   g(x )  f (x )dx   4(x  1)(x  1)(x  3)dx  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 86 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021   Câu 9: Cho hàm số y  f (x ) xác định liên tục đoạn  5;  Biết diện tích hình phẳng S1, S2, S3 giới hạn đồ thị hàm số y  f (x ) đường thẳng y  g x   ax  bx  c m, n, p Tích phân  f (x )dx 5 A m  n  p  211 45 B m  n  p  208 45 C m  n  p  24 D m  n  p  26 Lời giải Chọn B Đồ thị hàm y  g x  qua điểm O 0; 0, A  2; 0, B 3;2 nên  a     c 0 15    g x  x2  x 4a  2b      15 15 b    15  9a  3b   c       2 m n  p   5  f x   g x  dx     2 3 5 5 g x   f x  dx      f x   g x  dx     f x dx   g x dx  5 f x dx  m  n  p   g x dx  m  n  p  5 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 208 45 Trang 87 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021 Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : (x  3)  (y  2)  (z  1)  Có điểm M thuộc S  cho tiếp diện S  M cắt Ox ,Oy điểm  o mà số nguyên dương AMB  90 ? A (a ; 0; 0) , B (0; b ; 0) A S a,b B C Lời giải D Chọn B có tâm I 3; 2;  1 bán kính R  Vì IM  MAB   IM  MA, IM  MB nên MA2  IA2  IM  a  3  4; MB  IB  IM  b  2   o Ta lại có AMB  90 nên MA2  MB  AB  a  3   b  2   a  b  3a  2b  13 2 Mà a, b   nên có hai cặp số a ; b  thỏa mãn 1; , 3;  * Nhận xét: Ta dựa theo tính chất S  tiếp xúc với mặt phẳng O xy  để xây dựng toán tương tự toán tổng quát (Nếu S  cắt O xy  S  khơng cắt O xy  nhỉ?) Bài tốn tổng qt: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu nhiêu điểm   (S) : (x a)2  (y b)2  (z c)2  c2 a,b  * Có bao M thuộc S  cho tiếp diện S  M cắt Ox ,Oy điểm  o mà m, n số nguyên dương AMB  90 ? A (m ; 0; 0) , B (0; n ; 0) Từ cách giải ta đến phương trình a m  bn  a  b 1 Gọi d  a ; b , a  a 1d ; b  b1d a ; b1   Khi 1  a x  a   b b  y   a d x  a   b d b  y   a x  a   b b  y  2  1 Khi x  a  b1 Đặt x  a  b1t  x  a  b1t  t   1 a b1  Từ 2 ta lại có a1b1t  b1 b  y  a1t  b  y  y  b  a1t   t  b a1  a b   ;  xong t  Như cần xác định số giá trị nguyên  b a   1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 88 Tập san NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Số 03 9-2021 Câu 50: Cho hàm số f (x )  x  10x  24x  (3  m)x , với nhiêu giá trị nguyên A 22 m B để hàm số m tham số thực Có bao   g x   f x có điểm cực trị? 21 C 25 D 24 Lời giải Chọn B Hàm số   g x   f x có điểm cực trị  f (x )  có nghiệm dương phân biệt  x  x  x   m có nghiệm dương phân biệt Xét hàm số h(x )  4x  30x  48x  x  Ta có h (x )  12x  60x  48    Ta có BBT x  x  y     25 y 29 Từ BBT suy  m   m  {4; 5;  ; 4}  Có 21 giá trị m thỏa mãn NHẬN XÉT: Đây dạng tốn quen thuộc có xuất nhiều đề thi Ta xét tốn tổng qt sau: Cho hàm số y  f x  liên tục  có đạo hàm f  x   x  x x  x  x  x n  f1 x  với f1 x   0,  x   (hoặc f1 x   0,  x   ) x1  x2   xn Hỏi hàm số y  g x   f  x  m  có điểm cực trị? Lời giải Ta có g  x   x m x  m  x1 x  m  x2 x  m  xn f1 x  m x m        +) Nếu xn  x  m  x i  0,  x   , i  1, n Do đó, hàm y  g x  có điểm cực trị x  m +) Nếu có k  1;2; ; n  cho xk     g  x   x  m  x  m  x x  m  x k 1  x  m      x k 1 x  m  x n f1 x  m  x  m  x i  0, x  , i  k x  m  x j   x  x j  m , với k   j  n Khi đó, hàm g x  có n  k   điểm cực trị m; xk 1  m; ; xn  m https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 89 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021 +) Nếu có k  1;2; ; n  1 cho xk   xk 1 làm tương tự ta hàm g x  có n  k   điểm cực trị m; xk 1  m; ; xn  m + Nếu x1  làm tương tự ta hàm g x  có 2n  điểm cực trị   Kết luận: Số cực trị g x  phụ thuộc vào số giá trị x k k  1; n không âm mà không phụ thuộc vào m BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hàm số y  f x   x  2m  1 x  2  m  x  Tìm tất giá trị để đồ m thị hàm số y  f  x  có điểm cực trị A  m  B  m  C   m  D   m  4 Lời giải Chọn A Tập xác định D   Ta có f  x   3x  2m  1 x  2  m  Ycbt  f  x   có nghiệm dương phân biệt        2m  1  2  m    4m  m       S   2m       m       m 2    P   m              x  m x  3 Có giá trị Câu 2: Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  x  nguyên tham số đoạn m A B  5;  để số điểm cực trị hàm số f  x  3?   C D Lời giải Chọn A Để hàm số f  x  có điểm cực trị hàm số f x  phải có hai điểm cực trị trái dấu  m  Vì m   m  5; 5 nên m nhận giá trị 1, 2, 3, 4, Câu 3: Cho hàm số y  f x  xác định  hàm số y  f  x  có   đồ thị hình bên y Đặt g x   f x  m Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  có điểm cực trị? A C B D Vô số Lời giải Chọn A -3 -1 O  f x  m  , x  Ta có g x   f x  m    f x  m , x   Do hàm số y  f x  xác định  Hàm số g x  xác định    https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 90 x Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Số 03 9-2021 Và ta lại có g x   f  x  m   g x  Hàm số g x  hàm số chẵn Đồ thị hàm số y  g x  đối xứng qua trục Oy Hàm số y  g x  có điểm cực trị Hàm số y  g x  có điểm cực trị dương, điểm cực trị âm điểm cực trị x  x Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  , ta có: f  x     x x  Xét khoảng 0;  , ta g x   f x  m   3  1 2 5 + Ta có g  x   f  x  m  x  m  3 x  m    x  m  1 x  m     + g  x     x  m   x  m  x  m  x  m    + Nhận thấy m   m   m   m   m   m      m    Theo yêu cầu toán      m  3; 2  m      Câu 4: Cho hàm số y  f x  liên tục  có đồ thị y  f  x  hình vẽ bên Hỏi có giá trị ngun m để hàm số g x   f  x  m  có điểm cực trị y -2 A B O C Lời giải x D vô số Chọn D Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy đồ thị hàm số y  f x  có ba điểm cực trị có hồnh độ x  2 , x  , x  hai điểm nằm bên phải điểm nằm bên trái trục tung, mà hàm số y  f  x  hàm số chẵn  y  f  x  có năm điểm cực trị x  2 , x  1 , x 0, x  x  Đồ thị hàm số y  f  x  m  ảnh đồ thị hàm số y  f  x  qua phép tịnh tiến theo véc tơ  u  m ; suy số điểm cực trị chúng với giá trị tham số   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc m Trang 91 Tập san NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Vậy hàm số y  f  x  m Câu 5: 9-2021  có điểm cực trị với giá trị tham số m Cho hàm số có y  f x   đạo  f  x   x  1 x  4m  5 x  m2  7m  , x   Có số nguyên Số 03 m hàm để hàm số   có điểm cực trị? g x   f x A B D C Lời giải Chọn B Nhận xét:   +) x  nghiệm bội ba phương trình x   +) Hàm g x   f  x  hàm chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Do hàm g x   f  x  có điểm cực trị  Hàm số y  f x  có hai điểm cực trị dương  Phương trình x  4m  5 x  m  7m   có nghiệm kép dương khác * phương trình x  4m  5 x  m  7m   có hai nghiệm trái dấu khác * *      m   m  7m      3  m   Giải *    m      0 1      m  1;6     m  m    Giải * *    m     m   m  m         m 2    Mà m   nên m  3; 4; 5   Vậy có giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Câu 6: Cho hàm số f x   m  1 x  5x  m  3 x  Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  x  có điểm cực trị? A C Lời giải B D Chọn A Tập xác định: D   f  x   m  1 x  10x  m  3 +) Trường hợp 1: m  Khi hàm số trở thành f x   5x  4x  Hàm số có điểm cực đại x  hàm số y  f  x  có điểm cực trị: x   ; x  0; x  nên nhận 5 m  +) Trường hợp 2: m  Hàm số y  f x   m  1 x  5x  m  3 x  có cực trị thỏa  x1  x Khi x 0 nghiệm phương trình: f  x    m   m  3 đồ thị hàm số y  f x  có cực trị: x  0; x   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 92 Tập san NHÓM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Khi hàm số y  f  x  có điểm cực trị: 9-2021 x 0, loại m  3 +) Trường hợp 3: m  Hàm số y  f x   m  1 x  5x  m  3 x  có x1   x2 Khi phương f  x   trình Số 03 có nghiệm cực trị thỏa trái dấu m  1m  3   3  m  Vậy có giá trị nguyên tham số m Câu 7: Xét số thực c  b  a  Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục  có   Số điểm cực trị hàm số y  g(x ) bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ Đặt g(x )  f x x  y  A 0 b a  B  c  C Lời giải   D Chọn D Xét hàm số: h x   f x  Ta có h  x   3x f  x  x  x     x  a x  a   Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta có: h  x     x  b x  b   x  c x  c   Ta thấy, dấu hàm số h  x  dấu hàm số f  x  Mặt khác hàm số y  x hàm đồng biến  nên dấu hàm số f  x  khoảng m;n dấu hàm số f  x  khoảng m ; n  3 Từ ta có bảng biến thiên hàm số h x  :  h(x ) x  Chú ý g(x )   Do từ bảng biến thiên hàm số h(x ) ta suy   h(x ) x    bảng biến thiên hàm số g(x ) sau: Vậy số điểm cực trị hàm số g x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 93 ... Trong chuyên đề này, xin chia toán áp dụng phương pháp thành dạng: - Dạng Các toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn hình chóp - Dang 2: Các tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo toán. .. VIỆT NAM Buổi thi mơn Tốn kỳ thi tốt nghiệp THPT đợt năm 2021 diễn vào chiều ngày 6/8/2021 Bài thi mơn Tốn gồm 24 mã đề, lấy từ mã đề gốc là: Mã đề 101, 102, 103, 104 Nội dung đề thi nằm chương... bối cảnh nước tích cực tham gia cơng tác phịng chống đại dịch COVID 19; năm học đại đa số học sinh phải tham gia khai giảng học trực tuyến; năm học ngành giáo dục mà tất ngành nghề dự báo năm gặp