Các dạng đề thi đại học môn toán thường gặp nhất

Th. s Đỗ Minh Tuân Th.s ĐỖ MINH TUÂN TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NAM ĐỊNH, NĂM 2010 Th. s Đỗ Minh Tuân Lời nói đầu Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bả n hơn trước rất nhiều , không còn tính đánh đố cũng như bắt họ c sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt. Một số tài liệu giảng dạy rấ t hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu này, bám sá t những đề thi tuyển sinh những năm gần đây (Từ năm 2002- 2010) cộng với những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy luyện thi của mình (có tham khảo một số bà i giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn tài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy một cách bài bản. Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấp nghé cổng trường Đại học. Tài liệu này gồm 1 3 chuyên đề (vẫn còn thiếu) 1. Phương trình đại số. 2. Phương trình lượng giác. 3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối. 4. Hệ phương trình đại số 5. Giải tích tổ hợp 6. Hình phẳng tọa độ 7. Giới hạn 8. Bất đẳng thức 9. Hàm số và đồ thị 10. Hình học không gian tọa độ (Đã chỉnh sửa, chỉ thiếu phần tọa độ hóa hình học không gian) 11. Tích phân và ứng dụng 12. Số phức 13. Hình họ c không gian cổ điển. Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai, Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về: Th.s Đỗ Minh Tuân. Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định Email: xuxutit@gmail.com Mobile: 0982843882. ————————————— Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới! Nam Định, ngày 18 tháng 12 năm 2010 Tác giả Đỗ Minh Tuân Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 2 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục Mục lục Lời nói đầu 2 1 Phương trình đại số 9 1.1 Lý thuyết về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Phương trình bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Tính chất của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Đa thức bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Dấu của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.3 Giải hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Phương trình lượng giác 33 2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giá c . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.6 Công thức cộng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . 35 2.1.9 Công thức tính sin 2x, cos 2x, tan 2x, cot 2x theo t = tan x . . . . . . . . 36 2.1.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 3 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 2.2.1 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 Phương trình cos x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Các phương trình lượng giác khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.5 Phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 51 3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.1 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 3.3.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Bất phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 3.4.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Hệ phương trình đại số 61 4.1 Hệ phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.1 Hệ đối xứng loại I: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.2 Hệ đối xứng loại II: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.5 Hệ phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 4 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 5 Giải tích tổ hợp 79 5.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2.1 Quy tắc cộng - nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.3 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6 Hình phẳng tọa độ 87 6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1.2 Dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2.2 Các dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.3 Ba đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3.2 Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.3.3 Hyperbo l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.3.4 Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 7 Giới hạn 128 7.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.2.1 Giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.2.2 Phương pháp tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 31 7.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 8 Bất đẳng thức 137 8.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.2.1 Tìm min tổng, max của tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.2.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 9 Hàm số và đồ thị 155 9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.1.2 Các bước khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.1.3 Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.1.4 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 5 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.2.2 Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.2.3 Các bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.2.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9.3.2 Các bài toán đơn thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số . . . . . . . . . . . . . 173 9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.3.6 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.4.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9.4.5 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.5.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.5.2 Tìm điểm không thuộc mọi đường cong trong họ y = f(x, m) . . . . . . . 186 9.6 Sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.6.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.7.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.7.3 Củng cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.8.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.8.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 10 Hình không gian tọa độ 210 10.1 Hệ tọa độ, véc tơ, điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.1.1 Hệ tọa độ Đề Các . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.2 Phép toán trên véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.3 Điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.3.1 Tích có hướng của 2 véc tơ và ý ng hĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.4 Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.4.1 Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.4.2 Phương pháp xác định mặ t phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 10.4.3 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 10.4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 10.5 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 6 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 10.5.1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 215 10.5.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 216 10.5.3 Một số dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 216 10.5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 10.6 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.6.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.6.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.7 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.7.1 Các công thức khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 10.7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.8 Mặt cầu và đường trò n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.8.1 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.8.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 10.8.3 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.8.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 10.9 Tọa độ hóa hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.9.1 Hình chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11 Tích phân 229 11.1 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . 22 9 11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . . . . . 231 11.3 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.3.1 Phép đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.3.3 Tích phân hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.4 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 11.5.1 Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 11.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 12 Số phức 263 12.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.1.1 Các kiến thức chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.1.2 Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 12.2.1 Thực hiện các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 12.2.2 Khai căn bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . 266 12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 7 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 12.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 13 Hình học không gian 269 13.1 Mở đầu về hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 13.1.1 Đối tượng của hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 13.1.2 Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9 13.1.3 Hình biểu diễn trong hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 13.1.4 Một số hình thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 13.1.5 Các tiên đề hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 13.1.6 Các tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 13.1.7 Định lý về giao tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 13.2 Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 13.2.1 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 272 13.2.2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 272 13.2.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 272 13.2.4 Các phương pháp xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 13.3 Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 13.3.1 Sử dụng tiên đề, vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 13.3.2 Tìm giao tuyến giữa 2 mặt phẳng (Cách 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 13.3.3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt cả 2 đường thẳng 283 13.3.4 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 285 13.3.5 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng quy . . . . . . . . . . . . 288 13.3.6 Thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 13.3.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 8 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân Chương 1. Phương trình đại số Chương 1 Phương trình đại số 1.1 Lý thuyết về đa thức 1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử +) Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì P (x) = a.(x −x 1 ).(x 2 ) (a là hệ số bậc cao nhất của P (x)). +) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x 1 , x 2 , ··· , x n thì P (x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ) ···(x − x n ) +) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 (vô nghiệm). Ví dụ 1.1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) P (x) = 2x 2 −5x + 2. b) P (x) = −3x 2 + 12x −12 c) P (x) = 4x 3 −4x 2 − 7x −2. d) P (x) = 6x 3 −13x 2 + 4x + 3 Giải: a) P (x) có a = 2, x 1 = 2, x 2 = 1 2 nên P(x) = 2(x −2)  x − 1 2  = (x −2)(2x − 1). b) P (x) có nghiệm kép x = 2 nên P (x) = −3(x − 2) 2 . c) P (x) có a = 4 và 2 nghiệm x = − 1 2 và x = 2??? Chú ý: P (x) là đa thức bậc 3 nhưng lại chỉ có 2 nghiệm. Nên sẽ có một nghiệm là nghiệm kép. Tốt nhất trong trường hợp này ta dùng lược đồ Hoocne để giải quyết. Kết quả: P (x) = 4  x + 1 2  2 (x − 2). N gười soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 9 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định Th. s Đỗ Minh Tuân 1.2. Phương trình bậc nhất Chương 1. Phương trình đại số d) P (x) có a = 6 và 3 nghiệm x = 1, x = − 1 3 , x = 3 2 P (x) = 6(x − 1).  x + 1 3  x − 3 2  = (x − 1)(3x + 1)(2x − 3). 1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES. Ví dụ 1.1.2: Tính giá trị biểu thức: a) y = x 3 − 3x 2 −x −1 tại x = 1 − √ 3 và x = 1 + √ 3 b) y = x 2 − x −1 2x + 3 tại x = 3 + √ 2 và x = 3 − √ 2 Giải: a) x = 1 − √ 3 ⇒ y = −4 + √ 3 x = 1 + √ 3 ⇒ y = −4 − √ 3 b) x = 3 + √ 2 ⇒ y = 43 + 31 √ 2 73 x = 3 − √ 2 ⇒ y = 43 − 31 √ 2 73 1.2 Phương trình bậc nhất 1.2.1 Phương pháp giải ☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0 ☞ Cách giải: ➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R ➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình vô nghiệm. ➤ Với a = 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = − b a 1.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1.2.1: Giải và biện luận phương trình: (m 2 − 1)x + m − 1 = 0 Giải: - Nếu m 2 −1 = 0 ⇔ m = ±1. +) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0. Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R. +) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0. Phương trình vô nghiệm. - Nếu m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. Phương trình có nghiệm duy nhất: x = − 1 m + 1 Ví dụ 1.2.2: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(d m ) : y = (m −2)x + 2m − 3 Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 10 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định [...]... Người soạn : Th.s Đỗ Minh Tuân P (x) Trong đó P (x), Q(x) là các đa thức Q(x) Trang 24 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 1.6 Dấu của đa thức Chương 1 Phương trình đại số Định lý 1 (Định lý cơ bản Đại số) Cho P (x) là một đa thức bất kỳ thì P (x) sẽ phân tích thành tích các đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 Hơn thế nữa các đa thức bậc đều có ∆ < 0 P (x) là một phân thức hữu tỷ nào đó Khi đó trên... 3 Cho f (x) = M in h  Cách xét dấu phân thức hữu tỷ: Để xét dấu của một phân thức hữu tỷ ta phân tích các đa thức của tử và mẫu thành tích các đa thức bậc 1, và bậc 2 Các đa thức bậc 2 nếu có ∆ ≥ 0 ta phân tích chúng thành tích các đa thức bậc 1, còn nếu ∆ < 0 ta thay thế đa thức đó bởi hệ số của hạng tử bậc 2 Cuối cùng ta được phân thức chỉ còn tích các đa thức bậc 1 Dùng các định lý ở trên để xét... Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 1.5 Phương trình bậc 4 1.5.2 Chương 1 Phương trình đại số Các dạng của phương trình bậc 4 ‚ Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 Cách giải: đặt t = x2 ≥ 0 Phương trình trở thành : at2 + bt + c = 0 ƒ Phân tích thành nhân tử: Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp... Tuân −∞ − 1 −2 0 Trang 22 +∞ 2 + 0 − Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 1.6 Dấu của đa thức Chương 1 Phương trình đại số  Chú ý: Trong một bài toán thông thường không ai lại hỏi trực tiếp dấu của một đa thức mà thường hỏi các câu hỏi về giải bất phương trình Chúng ta cần xét dấu của các đa thức tương ứng từ đó tìm thấy được tập nghiệm của bất phương trình Chẳng hạn: 3 2  −2x + 3 > 0 thì tập nghiệm... Biểu diễn từng tập trên trục số: xóa những phần không thuộc tập đó Hợp của n tập hợp là những tập không bị xóa không quá n − 1 lần  Học sinh thường gặp khó khăn khi lấy hợp 2 tập hợp, thường chỉ làm tốt với trường hợp lấy giao M in h Ví dụ 1.6.4: Tính tập hợp X trong các trường hợp sau: a) X = A ∩ B ∩ C với A = (−2; 1] ∪ [2; +∞), B = [−3; 0), C = (−∞; −1] b) X = (−3; 5] Th Giải: a) X = (−2; −1] sĐ... Phương trình bậc 4 Dạng tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a = 0)  Hướng giải: ­ Dùng tính năng SOLVE hoặc TABLE của máy tính fx-570ES, fx-500ES để nhẩm nghiệm của phương trình, sau đó dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích thành phương trình bậc 3 và giải tiếp như ở trên ­ Tuy nhiên một số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu hoặc quá phức tạp không cần thi t, những trường hợp đó có cách giải riêng... (x + c) (x + d) = e sao cho a + b = c + d Cách giải: Phương trình ⇔ (x2 + (a + b) x + ab) (x2 + (c + d) x + cd) = e Đặt t = x2 + (a + b) x = x2 + (c + d) x (∗) Thay vào phương trình ta được: (t + ab) (t + cd) = e Giải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó thay vào (∗) để tìm x † Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex2 sao cho ab = cd Cách giải: giống cách giải phương trình đối xứng Nếu x = 0:... + cot2 α sin2 α tan α cot α = 1  Nhận xét: Th sĐ ỗ M in 2.1.1 Các kiến thức cơ bản h 2.1 n Phương trình lượng giác ® Nếu biết một trong các giá trị lượng giác thì ta có thể tính được các giá trị lượng giác còn lại ® sin α, cos α ∈ [−1; 1] 2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α  α và π − α: cos(π − α) = − cos α tan(π − α) = − tan α sin(π − α) = sin α cot(π − α) = − cot α  α và −α: cos(−α)... Chương 1 Phương trình đại số Giải: Gọi (x0 , y0 ) là điểm cố định của (dm ) ⇒ y0 = (m − 2)x0 + 2m − 3 ∀m ⇔ m(x0 + 2) − 2x0 − 3 − y0 = 0 ∀m ⇔ x0 + 2 = 0 ⇔ −2x0 − 3 − y0 = 0 x0 = −20 y0 = 1 Vậy điểm cố định của họ (dm ) là điểm A(−2; 1) Phương pháp giải n 1.3.1 Phương trình bậc hai Tu â 1.3  Dạng của phương trình: ax2 + bx + c = 0 h  Biện luận: M in ­ Nếu a = 0: phương trình bậc nhất ỗ ­ Nếu a = 0: ∆... Tuân Trang 18 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 1.5 Phương trình bậc 4 1.5.3 Chương 1 Phương trình đại số Các ví dụ Ví dụ 1.5.1: Giải phương trình 2x4 − x2 − 3 = 0 Giải: Đặt t = x2  0 Phương trình trở thành : ≥ √ t = −1 (loại) 3 3 6 2 2 2t − t − 3 = 0 ⇔  ⇔t= ⇔x = ⇔x=± 3 2 2 2 t= 2 Ví dụ 1.5.2: Giải các phương trình sau: a) 8x4 + 16x3 − 8x2 − 91x − 42 = 0 b) x4 − 4x3 + 4x2 − 16 = 0 Tu â n c) x4 − . Minh Tuân Th.s ĐỖ MINH TUÂN TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NAM ĐỊNH, NĂM 2010 Th. s Đỗ Minh Tuân Lời nói đầu Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bả n hơn trước rất nhiều. trước như " ;Các bài giảng luyện thi môn Toán& quot;, "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu này, bám sá t những đề thi tuyển sinh những. này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấp nghé cổng trường Đại học. Tài liệu này gồm 1 3 chuyên đề (vẫn còn thi u) 1. Phương trình đại số. 2. Phương trình lượng giác. 3.