CHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾT

CHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾTCHUYÊN đề tổ hợp xác SUẤT QUY tắc đếm HAY, CHI TIẾT

Đại số lớp 11 | CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I LÝ THUYẾT Phép thử biến cố a) Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử b) Khơng gian mẫu: Tập hợp kết xảy phép thử gọi khơng gian mẫu phép thử ký hiệu  c) Biến cố: tập không gian mẫu +) Tập  gọi biến cố (gọi tắt biến cố không) +) Tập  gọi biến cố chắn d) Phép toán biến cố * Biến cố đối: Tập  \ A gọi biến cố đối biến cố A , kí hiệu A * Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có: +) Tập A  B gọi hợp biến cố A B +) Tập A  B gọi giao biến cố A B +) Nếu A  B   ta nói A B xung khắc e) Bảng đọc ngơn ngữ biến cố Kí hiệu Ngơn ngữ biến cố A A biến cố A A biến cố không A A biến cố chắn C  A B C biến cố “ A B ” C  A B C biến cố “ A B ” A B   A B xung khắc BA A B đối Xác suất biến cố 1| a) Định nghĩa: Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử với không gian mẫu  có n  A số hữu hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỉ số xác suất biến cố A , kí hiệu n  P  A Ta có: P  A  n  A n   b) Tính chất xác suất * Định lí: +) P     , P    +)  P  A  , với biến cố A +) Nếu A B xung khắc, P  A  B   P  A  P  B  (công thức cộng xác suất)   * Hệ quả: Với biến cố A, ta có: P A   P  A c) Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất A B hai biến cố độc lập P  A.B   P  A P  B  (công thức nhân xác suất) II = CÁC DẠNG BÀI TẬP I DẠNG 1: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP LIỆT KÊ Phương pháp Bước 1: Tìm số phần tử khơng gian mẫu: n   (Thường tìm từ chỗ có từ “Chọn ngẫu nhiên ” Bước 2: Tìm số phần tử biến cố A : n  A (Thường tìm từ chỗ có từ “Tính xác suất để, cho ) Bước 3:Tính xác suất biến cố A theo công thức : P  A   n  A n    Lưu ý:  P  A  P  A  P A  với A biến cố đối biến cố A Các ví dụ Ví dụ Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sấp xuất hai lần” : “Mặt Lời giải Ta có khơng gian mẫu   SS , SN , NS , NN  n    Biến cố A  SS  n  A  |2 Đại số lớp 11 | Vậy xác suất biến cố A P  A  n  A  n  Ví dụ Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố mặt có số chấm chia hết cho 3” : “Xuất Lời giải Ta có khơng gian mẫu   1,2,3,4,5,6  n    Biến cố A  3,6  n  A  Vậy xác suất biến cố A P  A  n  A   n   Ví dụ Xét phép thử gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần Gọi xuất mặt chấm” Tính xác suất biến cố biến cố “lần đầu Lời giải Số phần tử không gian mẫu là: n()  6.6  36 Ta có: N   5;1 , 5;2  , 5;3 , 5;4  , 5;5 , 5;6  Suy số phần tử biến cố N n  N   Khi P  N   nN    n    36 Ví dụ Gieo đồng xu lúc Gọi Tính xác suất biến cố biến cố “có đồng xu xuất mặt ngửa” Lời giải Mỗi đồng xu có hai khả năng: ngửa sấp Do số phần tử không gian mẫu gieo ba đồng xu n     Ta có biến cố đối A A : “Khơng có đồng xu xuất mặt ngửa”  “Cả ba đồng xu xuất mặt sấp”     Khi A   S ; S ; S   n A   P  A   P A      1  n A n  8 3| Ví dụ Bạn Quân gieo đồng xu cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố xuất lần” : “Mặt sấp Lời giải Ta có khơng gian mẫu   SS , SN , NS , NN có phần tử Suy n    Các trường hợp thuận lợi biến cố A là: SS , SN , NS Suy n  A  Vậy xác suất cần tìm P  A  n  A  n  Ví dụ Gieo ba xúc xắc cân đối đồng chất Xác suất để số chấm xuất ba súc sắc là: Lời giải Số phần tử không gian mẫu n    63  216 Biến cố A  1;1;1 ,  2;2;2 , 3;3;3 ,  4;4;4  , 5;5;5 , 6;6;6   n  A  Xác suất biến cố A P  A  n  A   n    216 36 Ví dụ Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Xác suất để hiệu số chấm xuất hai súc sắc là: Lời giải Số phần tử không gian mẫu n     36 Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú Biến cố A  1;3 , 3;1 ,  2;4 ,  4;2 , 3;5 , 5;3 ,  4;6  , 6;4   n  A  Xác suất biến cố A P  A  n  A   n    36 Ví dụ Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố: “ Hiệu số chấm xuất xúc sắc ” Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n    6.6  36 Gọi A biến cố thỏa mãn yêu cầu toán: |4 Đại số lớp 11 | A  1;2 ,  2;1 , 3;2 ,  2;3 , 3;4 ,  4;3 ,  4;5 , 5;4 , 5;6  , 6;5 nên n  A  10 Vậy P  A   10  36 18 Ví dụ Bạn Quân gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố “Tổng số chấm hai lần gieo số chia hết cho 5” : Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Qn Ta có số phần tử khơng gian mẫu n    6.6  36 Các trường hợp thuận lợi biến cố A là: 1;4 ,  2;3 , 3;2 ,  4;1 ,  4;6  , 5;5 , 6;4  Suy n  A  Vậy xác suất cần tìm P  A  n  A  n    36 Ví dụ 10 Gieo xúc xắc cân đối đồng chất lần Xác suất để tổng số chấm xuất hai lần gieo đầu số chấm xuất lần gieo thứ ba là: Lời giải Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hồng Tú Số phần tử khơng gian mẫu n    63  216 Ta cần chọn hai số chấm hai lần gieo cho tổng chúng thuộc đoạn  2;6 Khi có cách chọn cho số chấm lần gieo thứ ba Những thỏa mãn điều kiện vừa nêu là: 1;1 , 1;2 , 1;3 , 1;4 , 1;5 ,  2;1 ,  2;2 ,  2;3 ,  2;4 , 3;1 , 3, 2 , 3,3 ,  4,1 ,  4, 2 , 5,1 Số phần tử biến cố A n  A  15 Xác suất biến cố A P  A  n  A 15   n    216 72 Ví dụ 11 Gọi phép thử “Gieo hai súc sắc” Gọi hai súc sắc 8” Hãy tính biến cố “Tổng số chấm mặt xuất Lời giải 5| Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Ta có khơng gian mẫu    i, i  /1  i, j   n    36  Biến cố  A   2;6 ,  6;2 , 3;5 , 5;3 ,  4;4  n  A  Vậy xác suất biến cố A P  A  n  A  n    36 Ví dụ 12 Gieo đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp lần xuất mặt ngửa lần xuất mặt sấp dừng lại Xác suất để số lần gieo 6: Lời giải Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hồng Tú Ở tốn này, ta phải hiểu phần tử không gian mẫu đại diện cho kết gieo đồng xu, mà đại diện cho chuỗi hành động gieo đồng xu liên tiếp Không gian mẫu   N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSSN , SSSSSS  n    Biến cố A  SSSSSN , SSSSSS  n  A  Xác suất biến cố A P  A  n  A  n  Ví dụ 13 Gieo súc sắc cân đối đồng chất Giả sử súc sắc xuất mặt phương trình có nghiệm là? chấm Xác suất để Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai Theo đề b số chấm súc sắc nên b1,2,3,4,5,6 Không gian mẫu:   1, 2,3, 4,5,6 , suy ra: n    Gọi A biến cố gieo súc sắc để phương trình có nghiệm Để phương trình x  2bx   có nghiệm   b2    b  2  b  Kết hợp b1,2,3,4,5,6 suy b2,3, 4,5,6 Suy ra: A  2,3,4,5,6 hay n  A  Vậy xác suất biến cố A là: p  A   |6 Đại số lớp 11 | Ví dụ 14 Công ty Strong chọn ngẫu nhiên tỉnh miền Trung Việt Nam (xem hình ảnh bên dưới) để tổ chức kiện mắt sản phẩm Toán VDC Xác xuất để công ty chọn tỉnh giáp biển để tổ chức kiện bao nhiêu? Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Quân Từ giả thiết suy n    17 Các tỉnh giáp biển gồm có: Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Quảng Trị, Thừa Thiên Huế, Đà Nẵng, Quảng Nam, Quảng Ngãi, Bình Định, Phú n, Khánh Hịa, Ninh Thuận Bình Thuận Suy n  A  13 Vậy xác suất cần tìm P  A  n  A 13  n    17 Ví dụ 15 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa lấy ghi số chẵn thẻ đánh số từ đến Tính xác suất để thẻ Lời giải Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu Không gian mẫu   1, 2,3, , 20  n    20 Biến cố A  2, 4, 6, , 20  n  A  10 Vậy xác suất biến cố A P  A   n  A n   10 20  7| Ví dụ 16 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa lấy ghi số chia hết cho thẻ đánh số từ đến Tính xác suất để thẻ Lời giải Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu Không gian mẫu   1, 2,3, , 20  n    20 Biến cố A  3, 6,9,12,15,18  n  A  Vậy xác suất biến cố A P  A  n  A n   20  10 Ví dụ 17 Một hộp chứa thẻ đánh số từ đến thẻ lấy ghi số chia hết cho Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp Tính xác suất Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai Không gian mẫu:   1, 2,3, ,19, 20 suy n    20 Gọi A biến cố lấy thẻ ghi số chia hết cho Suy ra: A  6,12,18,24,30 hay n  A  Do xác suất: P  A   20 Ví dụ 18 Gieo súc sắc cân đối đồng chất , kết thứ tự số chấm xuất súc xắc Tính xác suất để với Lời giải Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân Do súc sắc có mặt để ý 3.6  18 giá trị tối đa tổng x  y  z Và 18 không lớn 16 nên ta sử dụng phương pháp tính phần bù Số thứ tự  x; y; z  với x; y; z số tự nhiên lớn nhỏ n    63  216 Xét thứ tự  x; y; z  có tổng x  y  z  16 Ta có: 16                   17          18    |8 Đại số lớp 11 | Như có tổng cộng 10  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 Số  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 216  10  206 Xác suất cần tính P  206 103  216 108 Ví dụ 19 Gieo đồng thời ba súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để tổng số nốt xuất ba Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Giang; Fb: Thanh Giang Mỗi kết phép thử ba  a, b, c  , a, b, c số nguyên từ đến Vậy   không gian mẫu    a, b, c  / a, b, c  ,1  a  6,1  b  6,1  c  Vì có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c nên n    6.6.6  216 Các ba  a, b, c  có tổng : 1, 2,6 hốn vị 1,3,5 hốn vị 1, 4, 4 hốn vị  2,2,5 hốn vị  2,3,4 hốn vị 3,3,3 Suy số kết thuận lợi :       25 Vậy xác suất cần tính 25 216 Ví dụ 20 Bạn Quân gieo súc sắc cân đối đồng chất ba lần Tính xác suất biến cố chấm lần gieo thứ khơng nhỏ tích số chấm lần gieo thứ hai thứ ba” : “Số Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Quân Fb: Nguyễn Minh Qn Ta có số phần tử khơng gian mẫu n    6.6.6  216 Các trường hợp thuận lợi biến cố A là: 1;1;1 ;  2;1;1 ,  2;1;2 ,  2;2;1 ; 9| 3;1;1 , 3;1;2 , 3;1;3 , 3;2;1 , 3;3;1 ;  4;1;1 ,  4;1;2 ,  4;1;3 ,  4;1;4 ,  4;2;1 ,  4;2;2 ,  4;3;1 ,  4;4;1 ; 5;1;1 , 5;1;2 , 5;1;3 , 5;1;4 , 5;1;5 , 5;2;1 ,  5;2;2 , 5;3;1 , 5;4;1 , 5;5;1 ;  6;1;1 ,  6;1;2 ,  6;1;3 ,  6;1;4 ,  6;1;5 ,  6;1;6 ,  6;2;1 ,  6;2;2 ,  6;2;3 ,  6;3;1 ,  6;3;2 ,  6;4;1 ,  6;5;1 ,  6;6;1 Suy n  A      10  14  41 Vậy xác suất cần tìm P  A  n  A 41  n    216 Ví dụ 21 Kết việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, số chấm xuất lần gieo đầu, số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình bậc hai Tính xác suất để phương trình vơ nghiệm Lời giải Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu Không gian mẫu    b, c  :  b, c  6  n     36 Biến cố A  b, c    | b   4c   1,1 , 1,  , , 1,  ,  2,  , ,  2,  , 3, 3 , 3,  , 3,  ,  3, 6 ,  4, 5 ,  4,  suy n  A      17 Vậy xác suất biến cố A P  A   n  A n   20  17 36 Ví dụ 22 Kết việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, số chấm xuất lần gieo đầu, số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình bậc hai Tính xác suất để phương trình có nghiệm kép Lời giải Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu Không gian mẫu    b, c  :  b, c  6  n     36 Biến cố A  b, c    | b   4c    2,1 ,  4,  | 10 Vậy P  A  A 128    4320 135 Cách 2:  Số số thỏa mãn điều kiện a1  a2  a3  a4  a5  a6 : Ta có a1  a2  a3  a4  a5  a6  3 a1  a2  số chia hết cho Mà        21 số chia hết chữ số không xuất số lập phải số chia hết cho Trường hợp : Chữ số khơng có mặt số lập Ta có a1 , a2 , , a6   1,2,3,4,5,6 Khi a1  a2  a3  a4  a5  a6  nên a , a ,a , a ,a , a   1,6,2,5,3,4 Có 3! cách xếp cặp 1,6 , 2,5 , 3, 4 vào vị trí cặp a1 , a2  , a3 , a4  , a5 , a6  , cặp vị trí lại có cách xếp nên có 3!.23  48 số Trường hợp : Chữ số khơng có mặt số lập Ta có a1 , a2 , , a6   0,1,2,4,5,6 Khi a1  a2  a3  a4  a5  a6  nên a , a ,a , a ,a , a   0,6,1,5,2,4 Tương tự coi chữ số chữ số khác, ta có 48 cách Trường hợp 06a3a4a5a6 : lý luận tương tự, có 2.2.2  cách Suy trường hợp này, ta có 48   40 số Trường hợp : Chữ số khơng có mặt số lập Ta có a1 , a2 , , a6   0,1,2,3,4,5 Tương tự trường hợp , ta có 48   40 số Vậy có 48  40  40  128 số thỏa mãn điều kiện a1  a2  a3  a4  a5  a6  Xác suất cần tìm P  A  128  4320 135 Ví dụ 13 Cho tập thuộc Tập Chọn ngẫu nhiên hai phần tử Tính xác suất để chọn hai phần tử có modul Lời giải Số phần tử X 102 2 Chọn ngẫu nhiên hai số phức từ X có C100 Vậy n    C100 Gọi A: “ Hai số phức có modul nhau” | 72 Đại số lớp 11 | TH1: Hai số phức  a  bi, b   Số cách chọn C102 TH2: Hai số phức  a  bi, c  di  Ta có bốn số thỏa mãn a  b2  c  d là: (0,5,3,4) (1,7,5,5) (1,8,4,7) (2,9,6,7) Từ cho ta 14 cặp số phức có mơ đun Vậy có tất C102 14 Suy n  A  C10  14  59 Vậy xác suất chọn hai phần tử có modul 59 59  C100 4950 VII DẠNG 7: TÍNH XÁC SUẤT BÀI TỐN LIÊN QUAN XẾP, CHỌN NGƯỜI, VẬT Phương pháp *Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính xác suất +Tính số phần tử không gian mẫu n  Ω  +Tính số phần tử biến cố A cần tính xác suất n  A +Tính xác suất P  A  n  A n Ω *Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc tính xác suất +Tính xác suất biến cố A +Biến cố A biểu diễn theo biến cố Ai (i  1, 2, ) Lưu ý: mối quan hệ biến cố Ai (i  1, 2, )     A1 , A2 đối  P A1   P A2 A1 , A2 độc lập  P  A1  A2   P  A1  P  A2  A1 , A2 đối  P  A1  A2   P  A1   P  A2  A1 , A2  P  A1  A2   P  A1   P  A2   P  A1  A2  Chú ý: Cho tập A có n phần tử , tập B có m phần tử , Chọn ngẫu nhiên p phần tử từ A B  p  m  n ; m, n, p  N  Tính xác suất để p phần tử chọn thỏa mãn tính chất T p + Số phần tử khơng gian mẫu số cách chọn p phần tử từ m  n phần tử    Cmn + Gọi A biến cố: " p phần tử chọn thỏa mãn tính chất T" Tìm số phần tử biến cố A a Tính trực tiếp: Giả sử chọn k phần tử tập hợp A  p  k  phần tử tập hợp B p k Số cách chọn trường hợp : Sk  Cn Cm k Cho k thay đổi cho p phần tử chọn thỏa mãn tính chất T , lấy tổng tất số hạng S k tương ứng , ta A ( trường hợp có nhiều tập hợp ta làm tương tự ) 73 | b Tính gián tiếp: Số cách chọn p phần tử từ A , B Cmpn , tính A tìm hiệu Cmpn với tổng số hạng S k mà tương ứng với giá trị k khơng thỏa mãn tính chất T Các ví dụ Ví dụ Trên kệ sách có sách Toán sách Văn Lấy sách mà khơng để lại kệ Tính xác suất để hai sách đầu sách Toán thứ ba sách Văn? Lời giải Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram Số phần tử không gian mẫu n    A152 C13  2730 Gọi biến cố A: “ Lấy sách cho hai sách đầu sách Toán thứ ba sách Văn “ Suy ra: n  A  A102 C51  450 Vậy xác suất cần tìm là: P  A  n  A 450 15   n    2730 91 Ví dụ Trong thi “Rung chng vàng” có bạn lọt vào vịng chung kết, có bạn nữ bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia bạn thành nhóm nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm Lời giải Tác giả: Nguyễn Vũ Hồng Trâm; Fb: Hoang Tram Số phần tử không gian mẫu n    C20 C155 C105 C55 Gọi biến cố A: “ Chia 20 học sinh thành nhóm A, B, C cho bạn nữ thuộc nhóm ” Xét bạn nữ thuộc nhóm chia 15 nam vào nhóm cịn lại nên có 1.C155 C105 C55 cách Vì bạn nữ thuộc nhóm A hay B hay C hay D nên có trường hợp Suy ra: n  A  4.C155 C105 C55 n  A 4.C155 C105 C55 Vậy xác suất cần tìm là: P  A   5 5  n    C20 C15 C10 C5 C20 3876 Ví dụ Một đội gồm nam nữ Lập nhóm gồm bốn người chọn có ba nữ người hát tốp ca Tính xác suất để | 74 Đại số lớp 11 | Lời giải Tác giả: Tuấn Việt; Fb: Tuấn Việt Việc lập nhóm gồm người đội có 13 người số phần tử khơng gian mẫu n    C134  715 (cách chọn) Gọi A biến cố “Bốn người chọn có ba nữ” TH1: Có nữ nam, trường hợp có C83 C51 cách chọn TH2: Có nữ, trường hợp có C84 cách chọn Khi n  A  C8 C5  C8  350 (cách chọn) Suy P  A  350 70  715 143 Ví dụ Đội niên tình nguyện trường THPT có học sinh gồm học sinh khối , có học sinh khối học sinh khối Chọn ngẫu nhiên học sinh tình nguyện, tính xác suất để học sinh chọn có đủ khối Lời giải Tác giả: Tuấn Việt; Fb: Tuấn Việt Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 12 học sinh ta có: n    C  495 Gọi A biến cố: “ học sinh chọn có đủ khối” Cách 1: (Trực tiếp) TH1: Chọn học sinh khối 12 , học sinh khối 11 học sinh khối 10 : có C52C41C31 cách 12 TH2: Chọn học sinh khối 12 , học sinh khối 11 học sinh khối 10 : có C51C42C31 cách TH3: Chọn học sinh khối 12 , học sinh khối 11 học sinh khối 10 : có C51C41C32 cách 1 1 Suy n  A  C5 C4C3  C5C4 C3  C5C4C3  120  90  60  270 Vậy xác suất cần tính P  A  n  A 270   n    495 11 Cách 2: (Gián tiếp) Khi A biến cố: “ học sinh chọn đủ khối” Chọn bốn học sinh khơng có lớp 12, có C74 cách Chọn bốn học sinh khơng có lớp 11, có C84 cách Chọn bốn học sinh khơng có lớp 10, có C94 cách Chọn bốn học sinh lớp 11, có C44 cách Chọn bốn học sinh lớp 12, có C54 cách Vậy số cách chọn học sinh n A   C74  C84  C94    C44  C54   225   chọn khơng có đủ khối Suy n  A  495  225  270 75 | Vậy xác suất cần tính P  A  n  A 270   n    495 11 Ví dụ Một lớp có 45 học sinh có 10 học sinh giỏi toán, học sinh giỏi Văn có học sinh giỏi Tốn lẫn Văn Chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh chọn giỏi Toán Văn Lời giải Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai Số phần tử không gian mẫu n    C45  990 Gọi biến cố A :“Hai học sinh chọn giỏi Toán Văn” Sử dụng biểu đồ Venn để xác định số học sinh giỏi: Toán; Văn; Toán-Văn Hai học sinh chọn giỏi Tốn có C52  10 (cách) Hai học sinh chọn giỏi Văn có C32  (cách) Hai học sinh chọn có giỏi Tốn giỏi Văn có C51.C31  15 (cách)  n  A  28 Vậy xác suất biến cố A P  A  n  A  n    29 Hoặc: Có học sinh giỏi tốn, học sinh giỏi Văn  n  A  C8  28 | 76 Đại số lớp 11 | Ví dụ Một phịng học có bàn ghế, xếp chỗ ngồi cho học sinh, bàn ghế có Tìm xác suất để hai học sinh xếp ngồi bàn học sinh Lời giải Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai 30 Số phần tử không gian mẫu n     P30 Gọi biến cố M :“Hai học sinh A, B xếp ngồi bàn” Đầu tiên ta xếp chỗ cho học sinh A : Có 30 cách Do bàn có chỗ, nên xếp chỗ cho học sinh B : Có cách Xếp chỗ cho 28 học sinh lại: Có P2828 cách  n  M   30.1.P2828 Vậy xác suất biến cố M P  M   nM   n    29 Ví dụ Một hộp đựng cầu đỏ, cầu trắng cầu vàng Người ta chọn cầu từ hộp Tính xác suất để cầu chọn khơng có đủ ba màu Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen Số phần tử khơng gian mẫu số cách chọn cầu 15 cầu: n    C154  1365 Gọi A biến cố: "Các cầu chọn khơng có đủ ba màu" Suy A : "Trong số cầu chọn có đủ ba màu"   Suy n A  C42C51C61  C41C52C61  C41C51C62  720 Do n  A  1365  720  645 Vậy xác suất cần tìm P( A)  645 43  1365 91 Ví dụ Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia hoạt động Đoàn trường Xác suất chọn nam nữ Tính số học sinh nữ lớp Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen 77 | Gọi số học sinh nữ lớp n  n  N * , n  28 Suy số học sinh nam 30  n Số phần tử không gian mẫu số cách chọn học sinh từ 30 học sinh Suy số phần tử không gian mẫu   C30 Gọi A biến cố “ Chọn học sinh nam học sinh nữ” Chọn nam 30  n nam có C302 n cách Chọn nữ từ n nữ có Cn1 cách Suy số phần tử biến cố A A  C30nCn A C302 nCn1  Do xác suất biến cố A P( A)   C30 Theo giả thiết P( A)  C C1 12 12  303n n   n  14 29 C30 29 Ví dụ Trong vòng loại thi chạy khối lớp 10; có bạn tham gia có bạn lớp 10A, bạn lớp 10B bạn đến từ lớp 10 khác lại Giáo viên xếp ngẫu nhiên bạn kể thành hàng ngang để xuất phát Tính xác suất cho khơng có học sinh lớp đứng kề Lời giải Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram Số phần tử không gian mẫu n    9! Gọi biến cố E: ” Xếp học sinh cho khơng có học sinh lớp đứng kề “ Suy ra: E : “ Xếp học sinh cho có hai học sinh lớp đứng kề “ Xét biến cố A : “Ít học sinh lớp 10A đứng kề nhau” Suy ra: n  A   2!.8!  80640 Xét biến cố B : “ Ít học sinh lớp 10B đứng kề ” Suy ra: n  A  9!  A73 6!  211680 Xét biến cố A  B : “ Ít học sinh lớp 10A học sinh lớp 10B đứng kề ” Suy ra: n  A  B   2.8!  A63 5!  51840   Suy ra: n E  n  A  B   n  A   n  B   n  A  B   80640  211680  51840  240480   Khi đó: P E     240480  167 n E n   9! 252 | 78 Đại số lớp 11 |   Vậy xác suất cần tìm là: P  E    P E  85 252 Ví dụ 10 Một trường THPT có 18 học sinh giỏi tồn diện, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 18 học sinh để dự trại hè Tính xác suất để khối có học sinh chọn Lời giải Chọn học sinh 18 học sinh số cách chọn n    C18 cách Gọi A biến cố: “ Chọn học sinh khối có học sinh “ Thì biến cố A : “ Trong học sinh chọn khơng có đủ khối “ Ta có Chọn học sinh mà khơng có khối 10, có C138 cách Chọn học sinh mà khơng có khối 11, có C128 cách Chọn học sinh mà khơng có khối 12, có C118 cách   Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n A  C138  C128  C118   Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n  A  C188  n A  41811 Vậy xác suất cần tìm P  A  n  A 41811 1267   n   C188 1326 Ví dụ 11 Lớp có nhiên tổ tổ Tổ I có bạn nam, bạn nữ tổ II có bạn nam, bạn nữ Lấy ngẫu bạn lao động Tính xác suất để bạn lao động có bạn nữ Lời giải Tác giả: Tuấn Việt; Fb: Tuấn Việt Cách 1: (Sử dụng định nghĩa) Lấy ngẫu nhiên bạn thuộc tổ I số cách chọn C82 Lấy ngẫu nhiên bạn thuộc tổ II số cách chọn C82 2 Vậy số cách chọn tổ bạn lao động n    C8 C8 Gọi A biến cố: “Trong bạn chọn có bạn nữ” Khi ta có trường hợp sau: TH1: có bạn nữ tổ I, có bạn nữ tổ II Trường hợp có C32 C41.C41 TH2: có bạn nữ tổ II, có bạn nữ tổ I Trường hợp có C42 C31.C51 79 | 1 1 Khi n  A  C3 C4 C4  C4 C3 C5 C32 C41 C41  C42 C31.C51 69  Vậy xác suất cần tính P  A  C82 C82 392 Nhận xét: Bài học sinh dễ sai xác định số phần tử không gian mẫu n    C16 Hoặc sai khơng tính thêm học sinh nam chọn đủ nữ Cách 2: (Sử dụng quy tắc nhân xác suất) Gọi A biến cố: “Trong bạn chọn có bạn nữ” Để bạn lao động có bạn nữ xảy trường hợp: TH1: A : “có bạn nữ tổ I, có bạn nữ tổ II” Theo qui tắc nhân xác suất thì: C C1 C1 P  A1   32 4  C8 C8 49 TH2: A2 :”Có bạn nữ tổ I có bạn nử tổ II” Theo qui tắc nhân xác suất thì: C51.C31 C42 45 P  A2    C82 C82 392 Vậy xác suất để bạn lao động có bạn nữ là: P  A  P  A1   P  A2   69 392 Ví dụ 12 Một đội tuyển học sinh giỏi tỉnh gồm học sinh lớp 12 học sinh lớp 11 Chọn ngẫu nhiên từ đội tuyển học sinh, chọn thêm học sinh Tính xác suất để lần thứ hai chọn học sinh lớp 12 Lời giải Tác giả: Tuấn Việt; Fb: Tuấn Việt Lần thứ chọn học sinh tùy ý có C81 Lần thứ hai chọn học sinh tùy ý có C71 1 Không gian mẫu n    C8 C7  56 Gọi A biến cố ‘‘ Lần thứ hai chọn học sinh lớp 12’’ Trường hợp 1: Lần thứ chọn học sinh lớp 11 lần thứ hai chọn học sinh lớp 12 Suy số kết trường hợp C31.C51  15 Trường hợp 2: Lần thứ chọn học sinh lớp 12 lần thứ hai chọn học sinh lớp 12 Số kết trường hợp C51.C41  20 Vậy số kết biến cố A n  A  15  20  35 Xác suất biến cố A P  A  n  A 35   n    56 | 80 Đại số lớp 11 | Nhận xét: Bài học sinh dễ sai không gian mẫu xác định n    C8 Ví dụ 13 Xếp ngẫu nhiên bạn nam bạn nữ vào bàn trịn Xác suất để khơng có ba bạn nữ ngồi cạnh Lời giải Theo cơng thức hốn vị vịng quanh ta có:   7! Để xếp bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp bạn nam vào bàn trịn: có 4! cách, bạn nam ta có ngăn (do bàn tròn) Xếp chỉnh hợp bạn nữ vào ngăn có A53 cách Vậy xác suất xảy là: P  4! A53  7! Ví dụ 14 Cho hai đường thẳng song song Trên đường thẳng lấy điểm phân biệt; đường thẳng lấy điểm phân biệt Chọn ngẫu nhiên điểm điểm cho hai đường thẳng Tính xác xuất để điểm chọn tạo thành tam giác Lời giải Số phần tử không gian mẫu n    C11  165 Gọi A biến cố: “ điểm chọn lập thành tam giác” TH : Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b , có C62 C51 cách TH : Chọn điểm đường thẳng a điểm đường thẳng b , có C61.C52 cách 1 Nên n  A  C6 C5  C6 C5  135 Vậy xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác P  A  n  A  n    11 Ví dụ 15 Một hộp đèn có 12 bóng có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng, xác suất để lấy bóng tốt Lời giải Gọi A biến cố “lấy bóng tốt” Khơng gian mẫu: lấy ngẫu nhiên bóng số cách lấy n    C12  220 TH1: Lấy bóng có bóng tốt bóng xấu số cách chọn C72 C51  105 cách TH2: Lấy bóng tốt số cách lấy C73  35 cách 81 | Suy n  A  105  35  140 Vậy P  A   140  220 Ví dụ 16 Một chuồng có thỏ trắng thỏ nâu Người ta bắt ngẫu nhiên khỏi chuồng bắt thỏ trắng thơi Tính xác suất để cần phải bắt thỏ? Lời giải Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram Gọi biến cố đối A : “Bắt thỏ trắng lần” Xét biến cố đối A : “Bắt thỏ trắng lần” *Trường hợp 1: Bắt thỏ trắng lần đầu   n  Ω   7.6.5  210 ; n A1  3!  Suy ra: P  A1   3!  210 35 *Trường hợp 2: Bắt thỏ trắng lần đầu   n  Ω   7.6.5.4  840 ; n A2  4.C32 3!  72 Suy ra: P  A2   72  840   35       Khi đó: P A  P A1  A2  P A1  P A2    Vậy P  A   P A    35 35 35 ( A1 , A2 xung khắc) 31 35 Ví dụ 17 Một người bỏ ngẫu nhiên thư thư bỏ địa phong bì thư để sẵn địa Xác suất để có Lời giải Tác giả: Nguyễn Duy Trường – FACE Truongson Gọi thư A, B, C , D phong bì thư có địa với thư 1; 2;3; Số phần tử không gian mẫu n    4!  24 Gọi X biến cố “ có thư bỏ địa chỉ” Ta có trường hợp sau: *TH1: Cả thư bỏ địa chỉ: Chỉ có trường hợp *TH2: Có thư bỏ địa Có trường hợp xảy là: A1  B2  C  D3; A1  B4  C3  D2; A4  B2  C  D1; A1  B3  C  D4; A3  B2  C1  D4; A3 A2  B1  C3  D4 | 82 Đại số lớp 11 | *TH3: Có thư bỏ địa chỉ: Chỉ có thư A bỏ địa có trường hợp A1  B3  C  D2; A1  B4  C  D3 Tương tự với thư B có trường hợp Lá thư C có trường hợp Lá thư D có trường hợp Suy có trường hợp có thư bỏ địa Vậy số phần tử biến cố X n  X      15 Nên P  X   15  24 Ví dụ 18 Người ta sử dụng sách Toán, sách Vật lý, Hóa học (các loại giống nhau) để làm giải thưởng cho học sinh, học sinh sách khác loại Trong số học sinh có bạn Xác suât để hai bạn có giải thưởng giống Lời giải Gọi A biến cố “ A B có giải thưởng giống nhau” Vì học sinh nhận sách loại, nên giả sử có a học sinh nhận sách (Lí Hóa)  a học sinh nhận sách (Tốn Hóa) Số phần tử không gian mẫu   C9 C7 C4  1260 TH1: X Y nhận sách (Tốn, Lí), số khả C37 C44  35 TH2: X Y nhận sách (Tốn, Hóa), số khả C17 C62 C44  105 TH1: X Y nhận sách (Lí, Hóa), số khả C72 C35 C22  210    A  25  105  210  350  P(A)  A   18 Ví dụ 19 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu, hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Lời giải Tác giả: Lưu Trung Tín; Fb: Lưu Trung Tín Số phần tử không gian mẫu n    C12 1 Gọi A biến cố hộp sữa chọn có loại Ta có n  A  C5C4C3 Khi P  A  n  A C51C41C31   n   C123 11 Vậy xác xuất để hộp sữa chọn có loại 11 83 | Ví dụ 20 Trong lớp học có bóng đèn, bóng có xác suất bị hỏng Lớp học có đủ độ sáng có bóng đèn sáng Tính xác suất để lớp học không đủ độ sáng Lời giải Tác giả: Lưu Trung Tín; Fb: Lưu Trung Tín   Gọi A biến cố lớp học không đủ độ sáng, An biến cố số bóng đèn sáng n n  0, Cách 1: Để lớp học khơng đủ độ sáng số bóng đèn sáng 0, 1, 2, Ta có P  A0   0,36 ; P  A1   C61  0,7  0,35 ; P  A2   C62  0,72  0,34 ; P  A3   C63  0,73  0,33 Khi P  A  P  A0   P  A1   P  A2   P  A3   0,25569 Cách 2: Để lớp học đủ độ sáng số bóng đèn sáng 4, 5, Ta có P  A4   C64  0,74  0,32 ; P  A5   C65  0,75  0,3 ; P  A6   0,76   Ta có A biến cố lớp học đủ độ sáng P A  P  A4   P  A5   P  A6   0, 74431   Khi P  A   P A  0, 25569 Vậy xác suất để lớp học không đủ độ sáng 0,25569 Ví dụ 21 Một lơ hàng có tỉ lệ phế phẩm Người ta muốn chọn sản phẩm cho xác suất để sản phẩm có phế phẩm lớn Xác định Lời giải Tác giả: Lưu Trung Tín; Fb: Lưu Trung Tín Gọi A biến cố có phế phẩm n sản phẩm chọn   Khi A biến cố chọn n sản phẩm tốt Ta có P A  0,99n Suy P  A   0,99n  0,95  0,99n  0,05  n  log0,99 0,05  298,073 Vậy n  299 | 84 Đại số lớp 11 | Ví dụ 22 Trong gian hàng hội chợ có hộp quà, có hộp có quà Mỗi người chơi mua số lần mở tùy ý lần mở hộp (số hộp quà không thêm vào lượt chơi người đó) Tính xác suất để anh mở đến lần thứ ba có q Lời giải Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai Xác suất lần thứ mở hụt Xác suất lần thứ hai mở hụt 10 Xác suất lần thứ ba mở trúng Vậy xác suất để anh A mở đến lần thứ ba có q 1    10 10 Ví dụ 23 Một hộp chứa bóng đỏ ( đánh số từ đến ), bóng vàng ( đánh số từ đến ), bóng xanh ( đánh số từ đến ) Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen Số phần tử không gian mẫu số cách lấy bóng từ 15 bóng Suy số phần tử không gian mẫu   C15 Gọi A biến cố “ bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng nhau” Các trường hợp xảy biến cố A : TH1: cầu lấy có xanh, vàng, đỏ  C42 C31.C31 cách TH2: cầu lấy có xanh, vàng, đỏ  C41.C42 C31 cách TH3: cầu lấy có xanh, vàng, đỏ  C41.C41.C42 cách 1 1 Suy số phần tử biến cố A A  C4 C3 C3  C4 C4 C3  C4 C4 C4  74 Do xác suất biến cố A P( A)  A   455 85 | Ví dụ 24 Xếp ngẫu nhiên học sinh gồm học sinh lớp , học sinh lớp học sinh lớp thành hàng ngang Tính xác suất để học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Oanh Nguyen Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí Suy số phần tử khơng gian mẫu   10! Gọi A biến cố: “ Xếp 10 học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh ” Sắp xếp học sinh lớp 12C vào vị trí, có 5! cách Ứng cách xếp học sinh lớp 12C có khoảng trống gồm vị trí hai vị trí hai đầu để xếp học sinh lại C1 C2 C3 C4 C5 * TH1: Xếp học sinh lớp 12 B vào vị trí trống (khơng xếp vào hai đầu), có A43 cách Ứng với cách xếp đó, chọn lấy học sinh lớp 12A xếp vào vị trí trống thứ (để hai học sinh lớp 12C khơng ngồi cạnh nhau), có cách Ứng với cách xếp học sinh tạo 10 vị trí trống , bỏ vị trí trống hai bên học sinh lớp 12 A, cịn vị trí trống để xếp học sinh lớp 12 A lại Theo quy tắc nhân ta có 5!.A43.2.8 cách *TH2: Xếp học sinh lớp 12B vào vị trí trống học sinh lại xếp vào hai đầu có C31.2 A42 cách Ứng với cách xếp cịn vị trí trống , xếp học sinh lớp 12 A vào vị trí có cách Theo quy tắc nhân ta có 5!.C31.2.A42 cách Do số cách xếp khơng có học sinh lớp ngồi cạnh là: n  A  5!.A43.2.8  5!.C31.2.A42  63360 Vậy xác suất biến cố A : P  A  n  A 63360 11   630 10! n   | 86 ... Có C 63. C 53  200 cách Trường hợp 3: Chọn thẻ mang số lẻ thẻ mang số chẵn: Có C65  30 cách  n( A)   200  30  236  P( A)  236 118  462 231 Vậy xác suất để tổng số ghi thẻ số lẻ 118 231 ... trường hợp có 3. 3.2!.5.4! cách  n  D  6! 6! 3. 3.2!.5.4!  36 00 Vậy P  A  n  A  n    133 056 Ví dụ Xét tập hợp A gồm tất số tự nhiên có chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ A Tính xác suất. .. tập hợp gồm phần tử có tổng chia hết cho Trường hợp 1: Có số tập S chia hết chọn phần tử có C 53 cách chọn Trường hợp 2: Có số tập S chia cho dư nên chọn phần tử có C36 cách chọn Trường hợp 3: