chủ đề 2 tổ hợp xác suất quy tắc đếm

CHỦ ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC ĐẾM A LÝ THUYẾT Quy tắc cộng Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiên, hành động có n cách thực hiên khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực Chú ý: số phần tử tập hợp hữu hạn X kí hiệu |X| n(X) Quy tắc cộng phát biểu thực chất quy tắc đếm số phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao n  A  B   n  A  n  B  Mở rộng: Một công việc hoàn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện,…, hành động Ak có mk cách thực cách thực hiên hành động khơng trùng cơng việc có m1  m2  m3   mk cách thực Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai cơng việc có m.n cách thực Mở rộng: Một cơng việc hồn thành k hành động A1 , A2 , A3 , , Ak liên tiếp Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với cách thực hành động A1 có m2 cách thực hành động A2,…, có mk cách thực hành động Ak cơng việc có m1.m2 m3 .mk cách hồn thành HỐN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP Hốn vị Cho tập hợp A có n phần tử  n  1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Số hốn vị tập hợp có n phần tử kí hiệu Pn Định lí 1: Pn  n(n  1) 2.1  n ! với Pn số hoán vị chứng minh Việc xếp thứ tự n phần tử tập hợp A công việc gồm n công đoạn Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách Cơng đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách Công đoạn thứ i: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có  n  i  1 cách Công đoạn thứ n: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n có cách Theo quy tắc nhân có Pn  n ! cách xếp thứ tự n phần tử tập A, tức có n ! hốn vị STUDY TIP Hai hốn vị n phần tử khác thứ tự xếp Chẳng hạn, hai hoán vị abc acb ba phần tử a, b, c khác Chỉnh hợp Cho tập A gồm n phần tử  n  1 Kết việc lấy k phần tử khác tử n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chinht hợp chập k n phần tử cho STUDY TIP: Từ định nghĩa ta thấy hoán vị tập hợp A có n phần tử chỉnh hợp chập n A P  Ann Định lý 2: Ank  n  n  1  n  k  1  n! với Ank số chỉnh hợp chập k n phần n  k !   tử 1  k  n  Chứng minh Việc thiết lập chỉnh hợp chập k tập A có n phần tử công việc gồm k công đoạn Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ có n cách thực Công đoạn 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có n  cách thực Sau thực xong i  công đoạn (chọn i  phần tử A vào vị trí thứ 1, 2,., i  ), công đoạn thứ i chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có n  i  cách thực Công đoạn cuối, cơng đoạn k có n  k  cách thực n! Thoe quy tắc nhân có n  n  1  n  k  1  chỉnh hợp chập k tập A có n phần  n  k ! tử Tổ hợp Giả sử tập A có n phần tử  n  1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử có kí hiệu Cnk STUDY TIP Số k định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện  k  n Tuy vậy, tập hợp phần tử tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập n phần tử tập rỗng QUY ƯỚC 0!  Cn0  An0  Định lý Ak n  n  1  n  k  1 n! Cnk  n   k! k! k ! n  k  ! Chứng minh Ta có hốn vị tổ hợp chập k A cho ta chỉnh hợp chập k A Ak Ank  k !Cnk  Cnk  n k! Định lý (hai tính chất số Cnk ) Vậy a Cho số nguyên dương n số nguyên k với  k  n Khi Cnk  Cnn  k b Hằng đẳng thức Pascal Cho số nguyên dương n số nguyên dương k với  k  n Khi Cnk1  Cnk  Cnk 1 Đọc thêm Trên máy tính cầm tay có chức tính tổ hợp, chỉnh hợp sau: Với tổ hợp ta nhấn tổ hợp phím Ví dụ ta muốn tính C125 ta ấn Với chỉnh hợp ta ấn tổ hợp phím Ví dụ ta muốn tính A73 ta ấn tổ hợp phím B CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Phương pháp chung: Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc cộng, ta thực bước: Bước 1: Phân tích xem có phương án riêng biệt để thực công việc A (có nghĩa cơng việc A hồn thành phương án A ; A2 ; ; An ) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ; x2 ; ; xn phương án A1 ; A2 ; ; An Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính số cách lựa chọn để thực công việc A x  x1  x2   xn Để đếm số cách lựa chọn để thực công việc A quy tắc nhân, ta thực bước: Bước 1: Phân tích xem có cơng đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực công việc A (giả sử A hoàn thành sau tất cơng đoạn A1 ; A2 ; ; An hồn thành) Bước 2: Đếm số cách chọn x1 ; x2 ; ; xn công đoạn A1 ; A2 ; ; An Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính số cách lựa chọn để thực cơng việc A x  x1 x2 x3 xn Ví dụ Một lớp học có 25 học sinh nam 20 học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra: a) học sinh dự trại hè trường b) học sinh nam học sinh nữ dự trại hè trường Số cách Chonju trường hợp a b A 45 500 B 500 45 C 25 500 D 500 25 Lời giải Chọn A a) Bước 1: Với toán a ta thấy giáo có hai phương án để chọn học sinh thi: Bước 2: Đếm số cách chọn  Phương án 1: chọn học sinh dự trại hè trường có 25 cách chọn  Phương án 2: chọn học sinh nữ dự trại hè trường có 20 cách chọn Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng Vậy có 20  25  45 cách chọn b) Bước 1: Với tốn b ta thấy cơng việc chọn học sinh nam học sinh nữ Do ta có cơng đoạn Bước 2: Đếm số cách chọn công đoạn  Công đoạn 1: Chọn học sinh nam số 25 học sinh nam có 25 cách chọn  Cơng đoạn 2: Chọn học sinh nữ số 20 học sinh nữ có 20 cách chọn Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân Vậy ta có 25.20  500 cách chọn STUDY TIP Bài tốn ví dụ giúp ta cố định hình bước giải toán đếm sử dụng quy tắc cộng; quy tắc nhân Chú ý:  Quy tắc cộng: Áp dụng cơng việc có nhiều phương án giải  Quy tắc nhân: Áp dụng cơng việc có nhiều cơng đoạn Ví dụ Trên giá sách có 10 sách Văn khác nhau, sách Toán khác sách Tiếng Anh khác Hỏi có cách chọn hai sách khác mơn nhau? A 80 B 60 C 48 D 188 Lời giải Chọn D Theo quy tắc nhân ta có: 10.8  80 cách chọn sách Văn sách Toán khác 10.6  60 cách chọn sách Văn sách Tiếng Anh khác 8.6  48 cách chọn sách Toán sách Tiếng Anh khác Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn sách khác môn 80  60  48  188 cách STUDY TIP Ta thấy tốn ví dụ kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân toán vừa cần chia trường hợp vừa cần lựa chọn theo bước Ví dụ Biển đăng kí xe tơ có chữ số hai chữ số 26 chữ (không dùng chữ I O) Chữ khác Hỏi số ô tô đăng kí nhiều bao nhiêu? A 5184.105 B 576.106 C 33384960 Lời giải D 4968.105 Chọn A Theo quy tắc nhân ta thực bước Chữ có 24 cách chọn Chữ có 24 cách chọn Chữ số có cách chọn Chữ số thứ hai có 10 cách chọn Chữ số thứ ba có 10 cách chọn Chữ số thứ tư có 10 cách chọn Chữ số thứ năm có 10 cách chọn Chữ số thứ sau có 10 cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có 24.24.9.105  5184.105 số tơ nhiều đăng kí STUDY TIP Có thể phân biệt toán sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân phân biệt xem cơng việc cần làm chia trường hợp hay phải làm theo bước Ví dụ Có cách xếp học sinh A, B , C , D , E , F , G vào hàng ghế dài gồm ghế cho hai bạn B F ngồi hai ghế đầu? A 720 cách B 5040 cách C 240 cách D 120 cách Lời giải Chọn C Ta thấy toán xuất hai đối tượng Đối tượng 1: Hai bạn B F (hai đối tượng có tính chất riêng) Đối tượng 2: Các bạn lại thay đổi vị trí cho Bước 1: Ta sử dụng tính chất riêng hai bạn B F trước Hai bạn ngồi đầu ngồi cuối, hoán đổi cho nên có 2! cách xếp Bước 2: Xếp vị trí cho bạn lại, ta có 5! cách xếp Vậy ta có !.5 !  240 cách xếp STUDY TIP Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng hoán vị n phần tử, ta dựa dấu hiệu a Tất n phần tử có mặt b Mỗi phần tử xuất lần c Có phân biệt thứ tự phần tử d Số cách xếp n phần tử số hốn vị n phần tử Pn  n ! Ví dụ Một nhóm người gồm ba đàn ông, bốn phụ nữ hai đứa trẻ xem phim Hỏi có cách xếp họ ngồi hàng ghế cho đứa trẻ ngồi hai phụ nữ khơng có hai người đàn ông ngồi cạnh nhau? A 288 B 864 C 24 D 576 Lời giải Chọn B Kí hiệu T ghế đàn ông ngồi, N ghế cho phụ nữ ngồi, C ghế cho trẻ ngồi Ta có phương án sau: PA1: TNCNTNCNT PA2: TNTNCNCNT PA3: TNCNCNTNT Xét phương án 1: Ba vị trí ghế cho đàn ơng có 3! cách Bốn vị trí ghế cho phụ nữ có 4! cách Hai vị trí ghế trẻ ngồi có 2! cách Theo quy tắc nhân ta có !.4 !.2 !  288 cách Lập luận tương tự cho phương án phương án Theo quy tắc cộng ta có 288  288  288  864 cách STUDY TIP Với tốn gồm có phần tử vừa cần chia trường hợp vừa thực theo bước ta cần chia rõ trường hợp trước, thực trường hợp (sử dụng quy tắc nhân bước) sau áp dụng quy tắc cộng để cộng số cách trường hợp với Ví dụ Một chồng sách gồm sách Toán, sách Vật lý, sách Hóa học Hỏi có cách xếp sách thành hàng ngang cho sách Toán đứng cạnh nhau, Vật lý đứng cạnh nhau? A cách B 5040 cách C 725760 cách D 144 cách Lời giải Chọn C Bước 1: Do đề cho sách Toán đứng cạnh nên ta coi “buộc” sách Tốn lại với số cách xếp cho “buộc” Toán 4! cách Bước 2: Tương tự ta “buộc” sách Lý lại với nhau, số cách xếp cho “buộc” Lý 3! cách Bước 3: Lúc ta xếp vị trí cho phần tử có: + “buộc” Tốn + “buộc” Lý + Hóa Thì có 7! cách xếp Vậy theo quy tắc nhân ta có !.4 !.3 !  725760 cách xếp STUDY TIP Với dạng tập yêu cầu xếp hai nhiều phần tử đứng cạnh ta “buộc” phần tử nhóm coi phần tử Ví dụ Một câu lạc phụ nữ phường Khương Mai có 39 hội viên Phường Khương Mai có tổ chức hội thảo cần chọn người xếp vào vị trí lễ tân khác cổng chào, 12 người vào 12 vị trí khác ghế khách Hỏi có cách chọn hội viên để tham gia vị trí hội thao theo quy định? 12 12 12 12 A A399 A39 B C399 C30 C C399 C39 D A399 A30 Phân tích Bài tốn sử dụng quy tắc nhân ta phải thực hai bước: Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân Bước 2: Chọn 12 người vào vị trí khách mời Dấu hiệu nhận biết sử dụng chỉnh hợp phần STUDY TIP Lời giải Chọn D Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân Do theo thứ tự nên ta sử dụng chỉnh hợp Số cách chọn người vào vị trí lễ tân A399 cách Bước 2: Chọn người vào vị trí khách mời Số cách chọn 12 thành viên số thành 12 viên lại để xếp vào khách mời A39 cách Vậy theo quy tắc nhân số cách chọn hội viên để dự hội thảo theo quy định 12 A399 A39 cách STUDY TIP Để nhận dạng tốn đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k n phần tử, ta cần có dấu hiệu: a Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước b Có phân biệt thứ tự k phần tử chọn c Số cách chọn k phần tử có phân biệt thứ tự từ n phần tử Ank cách Ví dụ Có học sinh thầy giáo xếp thành hàng ngang Hỏi có cách xếp cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau? A 30240 cách B 720 cách C 362880 cách D 1440 cách Lời giải Chọn A Cách 1: Trước hết, xếp học sinh thành hàng có 6! cách Lúc hai học sinh tạo nên vách ngăn học sinh tạo nên vị trí xếp thầy vào tính hai vị trí hai đầu hàng (hình minh họa bên dưới) vị trí dấu nhân vách ngăn tạo + Do đề yêu cầu thầy giáo không đứng cạnh nên ta xếp thầy giáo vào vị trí vách ngăn tạo có A72 cách Theo quy tắc nhân ta có tất !.A72  30240 cách xếp Cách 2: - Có 8! cách xếp người Buộc hai giáo viên lại với có 2! cách buộc Khi có 2.7 ! cách xếp Mà hai giáo viên không đứng cạnh nên số cách xếp ! 2.7 !  30140 cách xếp STUDY TIP Khi toán yêu cầu xếp hai nhiều phần tử khơng đứng cạnh Chúng ta tạo “vách ngăn” phần tử trước xếp chúng Ví dụ Từ bơng hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hồng gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa có hồng vàng hồng đỏ? A 10 cách B 20 cách C 120 cách D 150 cách Phân tích Ta thấy chọn bơng hồng mà có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ nên có trường hợp sau: TH1: Chọn hồng vàng hồng đỏ TH2: Chọn hồng vàng hồng đỏ TH3: Chọn hồng vàng, hồng đỏ hồng trắng Lời giải Chọn D TH1: Số cách chọn hồng vàng C53 cách Số cách chọn hồng đỏ C44 cách Theo quy tắc nhân có C53 C44  10 cách TH2: Tương tự TH1 ta có C54 C43  20 cách TH3: Tương tự có C53 C43 C31  120 cách Vậy theo quy tắc cộng có 10  20  120  150 cách STUDY TIP Để nhận dạng toán sử dụng tổ hợp chập k n phần tử, ta dựa dấu hiệu: a Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước b Không phân biệt thứ tự k phần tử chọn c Số cách chọn k phần tử không phân biệt thứ tự từ n phần tử cho Cnk cách Từ toán ta rút quy luật phân biệt tổ hợp chỉnh hợp sau:  Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ với công thức: Ank  k !.Cnk  Chỉnh hợp: Có thứ tự  Tổ hợp: Khơng có thứ tự  Những tốn mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử sử dụng chỉnh hợp Ngược lại sử dụng tổ hợp  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử  k  n  : + Khơng thứ tự: Cnk + Có thứ tự: Ank Ví dụ 10 Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? A 120 B 90 C 270 D 255 Lời giải Chọn D Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh C124  495 cách Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau:  TH1: Lớp A có hai học sinh, lớp B , C lớp có học sinh: Chọn học sinh học sinh lớp A có C52 cách Chọn học sinh học sinh lớp B có C41 cách Chọn học sinh học sinh lớp C có C31 cách Suy số cách chọn C52 C41 C31  120 cách  TH2: Lớp B có học sinh, lớp A, C lớp có học sinh: Tương tự ta có số cách chọn C51 C42 C31  90 cách  TH3: Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh: Tương tự ta có số cách chọn C51 C41 C32  60 cách Vậy số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh 120  90  60  270 cách Số cách chọn học sinh thuộc không lớp 495  270  225 cách STUDY TIP Trong nhiều tốn, làm trực tiếp khó việc xác định trường hợp bước ta nên làm theo hướng gián tiếp tốn ví dụ Ta sử dụng cách làm gián tiếp tốn giải cách trực tiếp gặp khó khan xảy nhiều trường hợp, tìm cách gián tiếp cách xét tốn đối Ví dụ 11 Với chữ số ,1, , 3, , lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? A 6720 số B 40320 số C 5880 số D 840 số Lời giải Chọn C Giả sử số tự nhiên gồm chữ số tương ứng với Do chữ số có mặt lần nên ta coi tìm số số thỏa mãn đề tạo nên từ số ,1,1,1, , 3, , Số hoán vị số ,1,1,1, , 3, , ô 8! 8! kể trường hợp số đứng đầu 3! 7! Xét trường hợp ô thứ chữ số 0, số cách xếp 3! Mặt khác chữ số lặp lại lần nên số cách xếp STUDY TIP Bài toán dấu hiêu hoán vị lặp Để biết thêm hoán vị lặp ta nghiên cứu phần đọc thêm  ĐỌC THÊM: Cho k phần tử khác a1 , a2 , , ak Một cách xếp n phân tử  n  n   n  n  theo thứ tự kiểu  n , n , , n  k phần tử Số hoán vị lặp dạng gồm n1 phần tử a1 , n2 phần tử a2 , , nk phần tử ak gọi hoán vị lặp cấp n Pn  n1 , n2 , , nk   2 k n! n1 !.n2 ! nk ! Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán 8! 7!   5880 số 3! 3! k Ví dụ 12 Cho bạn học sinh A, B, C , D, E , F , G, H Hỏi có cách xếp bạn ngồi xung quanh bàn tròn có ghế? A 40320 cách B 5040 cách C 720 cách D 40319 cách Lời giải Ta thấy xếp vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí bạn Ta chọn cố định vị trị A , sau xếp vị trí cho bạn lại có 7! cách Vậy có 7!  5040 cách ĐỌC THÊM Hốn vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vòng quanh n phần tử Số hốn vị vòng quanh n phần tử Qn   n  1 ! Ví dụ 13 Một thầy giáo có 10 sách khác có sách Tốn, sách Lí, sách Hóa Thầy muốn lấy tặng cho em học sinh A, B, C , D, E em Hỏi thầy giáo có cách tặng cho em học sinh cho sau tặng xong, ba loại sách A 204 cách B 24480 cách C 720 cách D 2520 cách Lời giải Ta thấy với toán làm trực tiếp khó, nên ta làm theo cách gián tiếp Tìm tốn đối tìm số cách cho sau tặng sách xong có mơn hết sách TH1: Mơn Toán hết sách: Số cách chọn sách Toán cách Số cách chọn lại cách Vậy có cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A55  120 cách Vậy có 6.120  720 cách TH2: Mơn Lí hết sách: Số cách chọn sách Lí cách Số cách chọn lại C72 cách Vậy có 21 cách chọn sách Số cách tặng sách cho em học sinh A55  120 cách Vậy có 21.120  2520 cách TH3: Mơn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp có 2520 cách Số cách chọn 10 tặng cho em C105 A55  30240 cách Vậy số cách chọn cho sau tặng xong, loại sách lại 30240  720  2520  2520  24480 cách STUDY TIP Ở có nhiều độc giả khơng xét đến cơng đoạn sau chọn sách cơng đoạn tặng sách Do bạn A, B, C , D, E khác nên cách tặng sách môn cho bạn khác nhau, nên ta phải xét thêm cơng đoạn C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Trong lớp có 17 bạn nam 11 bạn nữ a) Hỏi có cách chọn hai bạn, có bạn nam bạn nữ? b) Hỏi có cách chọn bạn nam làm lớp trưởng? A a 187 cách b 28 cách B a 28 cách b 187 cách STUDY TIP Với tốn có miền giới hạn nhỏ, ta nên liệt kê phần tử tránh sử dụng miền nhầm lẫn số phần tử Ví dụ Một người bỏ ngẫu nhiên thư phong bì thư để sẵn địa Xác suất để có thư bỏ địa A B C D 8 Lời giải Gọi thư A, B, C , D phong bì thư có địa với thư 1; 2;3; Số phần tử không gian mẫu n     4!  24 Gọi X biến cố “ có thư bỏ địa chỉ” Ta có trường hợp sau: *TH1: Cả thư bỏ địa chỉ: Chỉ có trường hợp *TH2: Có thư bỏ địa Có trường hợp xảy là: A1  B  C  D3; A1  B  C  D 2; A4  B  C  D1; A1  B3  C  D 4; A3  B  C1  D 4; A3 A2  B1  C  D *TH3: Có thư bỏ địa chỉ: Chỉ có thư A bỏ địa có trường hợp A1  B3  C  D 2; A1  B  C  D3 Tương tự với thư B có trường hợp Lá thư C có trường hợp Lá thư D có trường hợp Suy có trường hợp có thư bỏ địa Vậy số phần tử biến cố X n  X      15 Nên P  X   15  24 STUDY TIP Giải thích thực tế: có nhiều độc giả thêm trường hợp có thư bỏ địa chỉ, nhiên lặp lại trường hợp thư bỏ địa Do thư địa thư cuối địa trùng với TH1 Ví dụ Một hộp đựng 15 viên bi, có biên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ 418 12 A B C D 455 13 13 Lời giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C153  445 Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: *Trường hợp 1: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C81.C72 *Trường hợp 2: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C82 C71 *Trường hợp 3: Lấy viên màu đỏ, số cách lấy là: C83 Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n  A   C81.C72  C82 C71  C83  420 C81.C72  C82 C71  C83 12  C153 13 Bài toán 2: Tính xác suất sử dụng định nghĩa cổ điển phương pháp gián tiếp Trong nhiều tốn tính xác suất, việc tính số phần tử thuận lợi cho biến cố A trở nên khó khăn có nhiều trường hợp, ta tìm số phần tử thuận lợi cho biến cố đối biến cố A Sau lấy số phần tử khơng gian mẫu trừ kết vừa tìm ta có số phần tử thuận lợi cho biến cố A Ta sử dụng tốn ví dụ sau: Ví dụ Một hộp đựng 15 viên bi, có biên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi (không kể thứ tự) khỏi hộp Tính xác suất để viên bi lấy có viên màu đỏ 418 12 A B C D 455 13 13 Lời giải Chọn ngẫu nhiên viên bi từ 15 viên bi số cách chọn C153  445 Vậy P  A   Gọi A biến cố “trong viên bi lấy có viên màu đỏ” biến cố A “ ba viên bi lấy khơng có màu đỏ” ( tức lấy ba viên bi màu xanh” Số cách chọn viên bi mà viên bi màu xanh C73  35  n A  35    Số cách chọn viên bi mà có viên bi màu đỏ 455  35  420 cách  n  A   420  P  A  n  A  420 12   n    455 13 STUDY TIP Giải thích thực tế: Dấu hiệu nhận biết toán thực tế chọn đồ vật mà sử dụng cách tính gián tiếp câu hỏi xuất từ “có …” thường ta giải theo cách gián tiếp tìm số cách chọn cho “không xuất hiện…” Ta tìm hiểu kĩ ví dụ Ví dụ Một hộp quà đựng 16 dây buộc tóc chất liệu, kiểu dáng khác màu sắc Cụ thể hộp có dây xanh, dây đỏ, dây vàng Bạn An chọn ngẫu nhiên dây từ hộp quà để làm phần thưởng cho Tính xác suất để dây bạn An chọn có dây vàng không dây đỏ 8005 11 6289 1719 A B C D 8008 14 8008 8008 Lời giải Chọn ngẫu nhiên dây từ 16 dây số cách chọn n     C166  8008 Gọi A biến cố “ dây bạn An chọn có dây vàng khơng q dây đỏ” Do tính trực tiếp có q nhiều trường hợp, từ STUDY TIP ví dụ 7, ta sử dụng biến cố đối để giải toán: Trường hợp 1: Khơng có dây vàng, số cách lấy là: C13 Trường hợp 2: Có dây vàng dây đỏ, số cách lấy là: C31 C55 Suy n  A   C166  C136  C31.C55  6289 n  A  C166  C136  C31.C55 6289   n  C166 8008 Ví dụ Một trường THPT có 18 học sinh giỏi tồn diện, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 18 học sinh để dự trại hè Tính xác suất để khối có học sinh chọn Nên P  A   A 212 221 B 221 C 59 1326 D 1267 1326 Lời giải Chọn học sinh 18 học sinh số cách chọn n     C188 cách Tương tự với dấu hiệu mà STUDY TIP đưa ta tìm số trường hợp thuận lợi cho biến cố đối biến cố cần tìm Chọn học sinh mà khơng có khối 10, có C138 cách Chọn học sinh mà khơng có khối 11, có C128 cách Chọn học sinh mà khơng có khối 12, có C118 cách Gọi A biến cố “ học sinh chọn, khối có học sinh” Số trường hợp thuận lợi cho A n  A   C188   C138  C128  C118   41811 n  A  41811 1267   n  C188 1326 Ví dụ Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Tính xác suất để tìm số không bắt đầu 135 59 A B C D 60 6 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là: n     5! Vậy xác suất cần tìm P  A   Gọi A biến cố “số tìm khơng bắt đầu 135 ” Thì biến cố A biến cố “số tìm bắt đầu 135 ” Buộc số 135 lại ta phần tử Số số tạo thành thỏa mãn số 135 đứng đầu 1.2.1  cách  n  A   120   118 cách Nên P  A   n  A  118 59   n    120 60 STUDY TIP Phương pháp “buộc” phần tử giới thiệu kĩ phần quy tắc đếm, áp dụng phần tử có điều kiện đứng liền kề DẠNG SỬ DỤNG QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT Bước 1: Xác định biến cố xác suất, gọi tên biến cố A; B; C ; D để biểu diễn Bước 2: Tìm mối quan hệ biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian quan trọng biến cố đề u cầu tính xác suất thơng qua biến cố bước Bước 3: Sử dụng mối quan hệ vừa xác định bước để chọn cơng thức cộng hay cơng thức nhân phù hợp Ví dụ Một ôtô với hai động độc lập gặp trục trặc kĩ thuật Xác suất để động gặp trục trặc 0,5 Xác suất để động gặp trục trặc 0,4 Biết xe chạy hai động bị hỏng Tính xác suất để xe A 0, B 0,8 C 0,9 D 0,1 Lời giải Gọi A biến cố “động bị hỏng”, gọi B biến cố “động bị hỏng” Suy AB biến cố “cả hai động bị hỏng”  “ xe không chạy nữa” Lại thấy hai động hoạt động độc lập nên A B hai biến cố độc lập  Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta xác suất để xe phải dừng lại đường P  AB   0,5.0,  0, Vậy xác suất để xe  0,  0,8 STUDY TIP Các tốn khơng nói đối tượng mà cho giá trị xác suất ta bắt buộc phải sử dụng cơng thức cộng công thức nhân xác suất Ở hai động độc lập nên A B hai biến cố độc lập, ta áp dụng công thức nhân xác suất Ví dụ Túi I chứa bi trắng, bi đỏ, 15 bi xanh Túi II chứa 10 bi trắng, bi đỏ, bi xanh Từ túi lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy hai viên màu 207 72 418 553 A B C D 625 625 625 625 Lời giải Gọi At , Ad , Ax biến cố bi rút từ túi I trắng, đỏ, xanh Gọi Bt , Bd , Bx biến cố bi rút từ túi II trắng, đỏ, xanh Các biến cố At , Ad , Ax độc lập với Bt , Bd , Bx Vậy xác suất để lấy hai bi màu P  At Bt  Ad Bd  Ax Bx   P  At Bt   P  Ad Bd   P  Ax Bx  10 15 207    25 25 25 25 25 25 625 STUDY TIP Nhận thấy toán bên toán sử dụng hai cơng thức tính cơng thức cộng cơng thức nhân xác suất Bài tốn sử dụng cơng thức cộng xác suất biến cố At Bt ; Ad Bd ; Ax Bx biến cố đôi xung khắc (do biến cố xảy biến cố khơng xảy ra) Trong biến cố At Bt ; Ad Bd ; Ax Bx cặp biến cố độc lập (việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng đến biến cố kia) nên sử dụng công thức nhân xác suất Ví dụ Gieo xúc sắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất cho tổng số chấm hai lần gieo số chẵn A 0, 09 B 0,91 C 0,36 D 0, 06  P  At  P  Bt   P  Ad  P  Bd   P  Ax  P  Bx   Lời giải Đặt A biến cố “ Lần gieo xuất mặt chấm chẵn”; B biến cố “ Lần gieo thứ hai xuất mặt chấm chẵn”; C biến cố “ Tổng số chấm hai lần gieo số chẵn”   Ta thấy  A  B   A  B  hai biến cố xung khắc nên P  A  B    A  B    P  A  B   P  A  B    P  A  B    A  B    P  A  B   P  A  B    Ta có C   A  B   A  B Vì A B hai biến cố độc lập nên theo STUDY TIP 1 P  A  B   P  A  P  B    2 1 P A  B  P A P B   2 1 Vậy P  C     4       STUDY TIP Ở C   A  B   A  B tổng hai chấm xuất hai lần gieo chẵn có nghĩa có   trường hợp: *TH1: Hai lần gieo số chẵn A  B *TH2: Hai lần gieo số lẻ A  B STUDY TIP Ta có P  A   P  B   xúc sắc có số mặt chẵn số mặt lẻ nhau, vây ta dễ dàng có xác suất Ví dụ Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nổ súng vào mục tiêu Xác suất bắn trúng mục tiêu A, B, C tương ứng 0, 4;0,5 0, Tính xác suất để có người bắn trúng mục tiêu A 0, 09 B 0,91 C 0,36 D 0, 06 Lời giải Gọi A, B, C tương ứng biến cố “ A bắn trúng”; “ B bắn trúng”; “ B bắn trúng” A, B, C ba biến cố độc lập Do A, B, C biến cố đôi nên: Xác suấy để ba người bắn trượt STUDY TIP Nhắc lại ý phần lý thuyết nhân xác suất, tơi có đưa ra: Nếu A, B, C hai biến cố độc lập       P A.B  P A P B Và tốn ví dụ toán mở rộng ý ba biến cố đối cách độc lập   P ABC  P  A  P  B  P  C   1  0, 1  0,5 1  0,   0, 09 Vậy xác suất để có ba người bắn trùng  0, 09  0,91 Ví dụ Một xạ thủ bắn bia Biết xác suất bắn trúng vòng tròn 10 0, ; vòng 0, 25 vòng 0,15 Nếu trúng vòng k k điểm Giả sử xạ thủ bắn ba phát súng cách độc lập Xả thủ đạt loại giỏi đạt nhấ 28 điểm Xác suất để xả thủ đạt loại giỏi A 0, 0935 B 0, 0755 C 0, 0365 D 0, 0855 Lời giải Chọn A Gọi H biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi” A; B; C ; D biến cố sau: A : “Ba viên trúng vòng 10 ” B : “Hai viên trúng vòng 10 viên trúng vòng ” C : “Một viên trúng vòng 10 hai viên trúng vòng ” D : “Hai viên trúng vòng 10 viên trúng vòng ” Các biến cố A; B; C ; D biến cố xung khắc đôi H  A  B  C  D Suy theo quy tắc cộng mở rộng ta có P  H   P  A   P  B   P  C   P  D  Mặt khác P  A    0,   0,   0,   0, 008 P  B    0,   0,   0, 25    0,  0, 25  0,    0, 25  0,  0,   0, 03 P  C    0,   0, 25   0, 25    0, 25  0,  0, 25    0, 25  0, 25  0,   0, 0375 P  D    0,   0,   0,15    0,  0,15  0,    0,15  0,  0,   0, 018 Do P  H   0, 008  0, 03  0, 0375  0, 018  0, 0935 STUDY TIP Ở phần tính xác suất biến cố B, C , D ta có trường hợp thứ tự trúng vòng lần bắng khác trường hợp khác Nhiều độc giả không tính trường hợp khác Nhiều độc giả khơng tính trường hợp dẫn đến chọn C sai C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Tung viên súc sóc cân đối, tìm xác suất để số chấm xuất nhỏ 1 1 A B C D 36 256 Một lớp học có 100 học sinh, có 40 học sinh giỏi ngoại ngữ; 30 học sinh giỏi tin học 20 học sinh giỏi ngoại ngữ tin học Học sinh giỏi hai môn thêm điểm kết học tập học kì Chọn ngẫu nhien học sinh lớp, xác suất để học sinh tăng điểm 3 A B C D 10 5 Một hộp đèn có 12 bóng có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng, xác suất để lấy bóng tốt 21 7 A B C D 44 44 11 11 Trong hộp gồm viên bi xanh viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên viên bi Xác suất để viên bi chọn có bi xanh bi trắng 970 139 31 A B C D 1001 143 1001 143 Một lớp có 25 học sinh, có 15 em học mơn Tốn, 16 em học mơn Văn Biết học sinh lớp hai môn Xác suất để chọn em học mơn Tốn khơng mơn Văn 21 A B C D 575 11 Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Xác suất để tổng hai mặt xuất 1 A B C D 6 Một lớp có 20 học sinh, có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi môn Giáo viên chủ nhiệm chọn em Xác suất em học sinh giỏi 11 169 21 A B C D 20 190 190 20 Xét số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ 1, 3, 5, 7, Xác suất để viết số bắt đầu 19 59 19 A B C D 60 20 20 Cho tập A  0;1; 2;3; 4;5;6 Xác suất để lập số tự nhiên gồm chữ số khác cho số chia hết cho chữ số 1, 2, ln có mặt cạnh 11 11 349 409 A B C D 420 360 360 420 Câu 10 Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn mộ ban cán lớp gồm em Xác suất để bạn có nam nữ 15475 2083 11 349 A B C D 18278 18278 360 360 Câu 11 Một trường có 50 em học sinh giỏi có cặp anh em sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 học sinh để tham gia trại hè Tính xác suất em khơng có cặp anh em sinh đơi 1216 12 1213 A B C D 1225 1225 1225 1225 Câu 12 Một hội nghị bàn tròn có phái đồn nước: Mỹ có người, Nga có người, Anh có người, Pháp có người, Đức có người Xếp ngẫu nhiên đại biểu vào bàn tròn Xác suất cho người quốc tịch ngồi 4! 4!5!5!4!6!4! 23! A B C D 23! 24! 24! 23! Câu 13 Nam tung đồng xu cân đối lần liên tiếp Xác suất xảy để Nam tung lần đồng xu mặt sấp A 0, B 0, 03125 C 0, 25 D 0,125 Câu 14 Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu cách độc lập với Xác suất bắn trúng xạ thủ thứ nhất, thứ hai thứ ba 0,6; 0,7; 0,8 Xác suất để có xạ thủ bắn trúng A 0,188 B 0, 024 C 0,976 D 0,812 Câu 15 Trong dịp nghỉ lễ 30-4 1-5 nhóm em thiếu niên tham gia trò chơi “Ném vòng cổ chai lấy thưởng” Mỗi em ném vòng Xác suất ném vào cổ trai lần đầu 0,75 Nếu ném trượt lần đầu xác suất ném vào cổ chai lần thứ hai 0,6 Nếu ném trượt hai lần ném xác suất ném vào cổ chai lần thứ ba (lần cuối) 0,3 Chọn ngẫu nhiên em nhóm chơi Xác suất để em ném vào cổ chai A 0,18 B 0, 03 C 0, 75 D 0,81 Câu 16 Gieo đồng xu lúc Gọi A biến cố “có đồng xu xuất mặt ngửa” Xác suất biến cố A 1 A B C D 8 Câu 17 Gieo xúc xắc, kết thứ tự  x; y; z  với x; y; z số chấm xuất Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 xúc xắc Xác suất để x  y  z  16 23 103 A B C D 108 24 24 108 Gieo xúc xắc cân đối, đồng chất Xác định để gieo hai mặt xúc sắc có tổng hai số lớn 11 31 A B C D 360 36 36 Gieo đồng thời xúc xắc cân đối, đồng chất Một màu đỏ màu đen Xác suất biến cố A “Số chấm xanh nhiều đỏ đơn vị” 32 A B C D 36 36 36 Viết chữ số 0; 1; 2; 3; 4; lên mảnh bìa Rút ngẫu nhiên bìa xếp ngẫu nhiên thành hàng ngang Xác suất cho bìa xếp thành số có chữ số 33 A B C D 6 40 40 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 0;1; 2;3; 4;5;6 Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Xác suất để tích hai số chọn số chẵn 41 1 A B C D 42 42 6 Câu 22 Cho cân có trọng lượng 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; (kg) Chọn ngẫu nhiên số Xác suất để trọng lượng không nhỏ 10 (kg) 25 A B C D 28 28 8 Câu 23 Trong hộp đựng 20 viên bi có 12 viên bi đỏ khác viên bi xanh khác Lấy ngẫu nhiên viên bi Xác suất để viên bi chọn không viên bi đỏ 84 101 1882 1531 A B C D 1615 1938 1983 1615 Câu 24 Có 10 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có chia hết cho 10 634 33 568 99 A B C D 667 667 667 667 Câu 25 Một hộp đựng thẻ đánh số đến Hỏi phải rút thẻ để xác suất có thẻ ghi số chia hết cho phải lớn A B C D Câu 26 Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm; 3cm; 5cm; 7cm; 9cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng năm đoạn thẳng Xác suất để ba đoạn thẳng lấy tạo thành tam giác A B C D 10 10 Câu 27 Người ta sử dụng sách Toán, sách Vật lý, Hóa học (các loại giống nhau) để làm giải thưởng cho học sinh, học sinh sách khác loại Trong số học sinh có bạn X Y Xác suât để hai bạn có giải thưởng giống 1 13 A B C D 12 18 Câu 28 Xếp ngẫu nhiên bạn nam bạn nữ vào bàn tròn Xác suất để khơng có ba bạn nữ ngồi cạnh 5 A B C D 7 84 84 Câu 29 Đạt Phong tham gia chơi trò trò chơi đối kháng, thỏa thuận thắng ván trước thắng chung hưởng toàn số tiền thưởng chương trình (khơng có ván hòa) Tuy nhiên Đạt thắng ván Phong thắng ván xảy cố kĩ thuật chương trình buộc phải dừng lại Biết giới chuyên môn đánh giá Phong Đạt ngang tài ngang sức Hỏi phải chia số tiền thưởng cho hợp lý (dựa quan điểm tiền thưởng tỉ lệ thuận với xác suất thắng người) A Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong : B Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong 1: C Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong :1 D Tỉ lệ chia số tiền cho Đạt Phong : Câu 30 An Bình thi đấu với trận bóng bàn, người thắng trước séc giành chiến thắng chung Xác suất An thắng séc 0, (khơng có hòa) Tính xác suất An thắng chung A 0, 064 B 0,1152 C 0,13824 D 0,31744 Câu 31 Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án Một thí sinh chọn ngẫu nhiên phương án trả lời, hỏi xác suất thí sinh có điểm cao nhất? Biết câu trả lời điểm, trả lời sai không bị trừ điểm A điểm B điểm C điểm D điểm Câu 32 Một xạ thủ bán từ khoảng cách 100m có xác suất bắn trúng đích là: - Tâm 10 điểm: 0,5 - Vòng điểm: 0,25 - Vòng điểm: 0,1 - Vòng điểm: 0,1 - Ngồi vòng điểm: 0,05 Tính xác suất để sau lần bắn xạ thủ 27 điểm A 0,15 B 0, 75 C 0,165625 D 0,8375 D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án A Gọi A biến cố “số chấm xuất nhỏ 4” Số chấm nhỏ dễ thấy 1,   Gọi Aj biến cố “số chấm xuất i ” i  1,3 Có thể thấy biến cố đôi xung khắc Do viên xúc sắc cần đối nên xác suất chia cho mặt, mặt có xác suất 1  P  Aj   6 Ta có P  A   P  A1   P  A2   P  A3   Câu Câu 1 1    6 Đáp án B Gọi A biến cố “học sinh chọn tăng điểm” Gọi B biến cố “học sinh chọn học giỏi ngoại ngữ” Gọi C biến cố “học sinh chọn học giỏi tin học” Thì A  B  C BC biến cố “học sinh chọn học giỏi ngoại ngữ lẫn tin học” 30 40 20    Ta có P  A   P  B   P  C   P  BC   100 100 100 Đáp án C Gọi A biến cố “lấy bóng tốt” Khơng gian mẫu: lấy ngẫu nhiên bóng số cách lấy n     C123  220 TH1: Lấy bóng có bóng tốt bóng xấu số cách chọn C72 C51  105 cách TH2: Lấy bóng tốt số cách lấy C73  35 cách Suy n  A   105  35  140 Vậy P  A   Câu 140  220 Đáp án A Số cách chọn viên bi từ 14 viên bi n     C145  2002 Gọi A biến cố “Trong viên bi chọn có bi xanh bi trắng” Trong đó: Số cách chọn viên bi toàn bi xanh C85  56 cách Số cách chọn viên bi toàn bi trắng C65  cách Suy n  A   56   62  P  A    P  A    Câu 62 970  2002 1001 Đáp án A Gọi X tập hợp em học mơn Tốn, Y tập hợp em học môn Văn  Tập hợp em học Toán Văn X  Y X  Y  15  16  25  học sinh Gọi A biến cố “chọn em học mơn Tốn khơng mơn Văn”  2300 Ta có n     C25 Số học sinh học mơn Tốn khơng môn Văn X \  X  Y   15    n  A   C93  84 cách  P  A  Câu n  A 84 21   n    2300 575 Đáp án B Con xúc xắc thứ xảy kết quả, thứ hai nên tổng số kết xảy   6.6  36 Gọi A biến cố “Tổng hai mặt xuất mặt 7” Dùng phương pháp liệt kê    A  1;6  ,  2;5  ,  3;  ,  4;3 ,  5;  ,  6;1  P  A   A   36 Câu Đáp án C Gọi X tập hợp học sinh giỏi Toán, Y tập hợp học sinh giỏi Văn  X  Y tập hợp học sinh giỏi môn X  Y tập hợp học sinh giỏi hai môn (tập hợp học sinh giỏi) Theo quy tắc cộng tổng quát ta có X Y  X  Y  X Y     Gọi A biến cố “chọn em học sinh giỏi”    C202  190  A  C72  21  P  A  Câu Câu 21 190 Đáp án D Đặt 19 số a Ta có số số có chữ số khác tạo thành từ a, 3, 5, với a chữ số đứng đầu 1.3.2.1  (số)   B  96  P  B   120 Đáp án D Số số có chữ số khác lập từ tập A 6.6.5.4.3  2160 (số)    2160 Gọi số cần tìm abcde ta có e  e  (do số phải chia hết cho ) Khi ta có trường hợp: a) e  , chọn vị trí cho số 1, 2,  có cách chọn, ngồi số 1, 2, có 3!  hốn vị Cuối ta chọn số lại có cách chọn Vậy số số thuộc trường hợp có 2.3.6  36 số b) e  , số 1, 2, thuộc b, c, d  có 3!.2  12 số thỏa (do a  nên có cách chọn ) c) e  , số 1, 2, thuộc a, b, c  có 3.3!  18 số thỏa mãn Số số thỏa mãn yêu cầu 36  12  18  66 số   A  66 Vậy xác suất cần tìm P  A 66 11   2160 360  Câu 10 Đáp án A Gọi B biến cố “Chọn em có nam nữ” Số cách chọn bạn vào ban cán lớp C404 cách Số cách chọn bạn nam vào ban cán lớp C254 cách Số cách chọn bạn nữ vào ban cán lớp C154 cách Vậy số cách chọn ban cán lớp có nam lẫn nữ C404  C254  C154   B  77375 Vậy xác suấtcần tìm P   B 77375 15475    91390 18278 Câu 11 Đáp án A Số cách chọn học sinh mà khơng có điều kiện C503 cách    C503 Ta loại trừ trường hợp có cặp anh em sinh đôi Đầu tiên ta chọn cặp sinh đôi có cách chọn Sau chọn học sinh lại từ 48 học sinh, có 48 cách chọn Vậy số cách chọn em học sinh thỏa yêu cầu đề là: C503  4.48  19408 Vậy xác suất cần tìm P   A 19408 1213    C503 1225 Câu 12 Đáp án A Số cách xếp 24 người vào bàn 23!    23! (do hoán vị vòng quanh) Gộp thành viên quốc tịch vào nhóm, trước tiên ta tính số cách xếp người nhóm Theo nguyên tắc “buộc” phần tử, ta buộc thành phần tử lớn Mỹ, Nga, Anh, Pháp Lúc toán trở thành xếp bốn phần tử vào bốn ghế bàn tròn Cố định nhóm Mỹ, có cách xếp chỗ cho nhóm Nga, cách xếp chỗ cho nhóm Anh, cách xếp chỗ cho nhóm Pháp Vậy có 3!  cách xếp Vậy xác suất để xếp cho vị quốc tịch ngồi cạnh 23! Câu 13 Đáp án B Vì đồng xu cân đối nên xác suất sấp – ngửa lần tung 0,5 Xác suất để lần tung đồng xu sấp 0,55  0, 03125 Câu 14 Đáp án C Gọi Aj biến cố “Xạ thủ thứ j bắn trúng” Với j  1;3        P A1   0,  0, ;  P A2   0,  0,3; P A3   0,8  0, Gọi biến cố “Có A P(A)  P(A1 ).P(A ).P(A )  0, 4.0,3.0,  0, 024 xạ thủ bắn trúng”  P (A)   P( A)   0, 024  0,976 Câu 15 Đáp án D Gọi K biến cố “Ném vòng vào cổ chai”, A1 biến cố “Ném vòng vào cổ chai lần đầu”, A2 biến cố “Ném vòng vào cổ chai lần thứ 2”, A3 biến cố “Ném vòng vào cổ chai lần thứ ba”  P  K   P( A1 )  P( A1 A2 )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 )  P( A1 ) P( A2 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ;  0, 75  0, 25.0,  0, 25.0, 4.0,3  0,81 Câu 16 Đáp án C Mỗi đồng xu có hai khả năng: ngửa sấp Do số phần tử khơng gian mẫu gieo ba đồng xu   23  Ta có biến cố đối A A : “Khơng có đồng xu xuất mặt ngửa”  “Cả ba đồng xu xuất mặt sấp”  Khi  A   S ; S ; S    A   P  A    P(A)   A     8 Câu 17 Đáp án D Nhận xét: Do xúc xắc có mặt để ý 3.6  18 giá trị tối đa tổng x  y  z Và 18 không lớn 16 nên ta sử dụng phương pháp tính phần bù Số thứ tự  x; y; z  với x; y; z số tự nhiên lớn nhỏ   63  216 Xét thứ tự  x; y; z  có tổng x  y  z  16 Ta có: 16                   17          18    Như có tổng cộng 10  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 Số  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 216  10  206 Xác suất cần tính P  206 103  216 108 Câu 18 Đáp án A Nhận xét: Do xúc xắc có mặt để ý 3.6  18 giá trị tối đa tổng x  y  z Và 18 không lớn 16 nên ta sử dụng phương pháp tính phần bù Số thứ tự  x; y; z  với x; y; z số tự nhiên lớn nhỏ   63  216 Xét thứ tự  x; y; z  có tổng x  y  z  16 Ta có: 16                   17          18    Như có tổng cộng 10  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 Số  x; y; z  thỏa mãn x  y  z  16 216  10  206 Xác suất cần tính P  206 103  216 108 Câu 19 Đáp án B Vì hai xúc xắc có mặt nên số phần tử không gian mẫu   6.6  36 Gọi  x; y  số chấm xuất mặt xanh mặt đỏ Khi  A   3;1 ;  4;  ;  5;3 ;  6;    A   P  A  A    36 Câu 20 Đáp án A Số cách chọn bìa bìa xếp thành hang ngang   A63  120 Số cách xếp bìa để khơng có số có ba chữ số tức vị trí chữ số A32 Số cách xếp bìa để tạo số có ba chữ số A63  A32  100 100 Vậy xác suất cần tìm P   120 Câu 21 Đáp án D Ta có điều kiện chủ chốt “tích hai số chọn số chẵn”  Tồn Doít hai số chọn chẵn Gọi ab số tự nhiên có hai chữ số khác lập từ số cho Số cách chọn a : cách; Số cách chọn b : cách  Số số có hai chữ số khác tạo 6.6  36 số  S có 36 phần tử Số cách lấy ngẫu nhiên số từ tập S : C362  630 cách Gọi biến cố A : “Tích hai số chọn số chẵn” Gọi biến cố A : “Tích hai số chọn số lẻ” Số số lẻ S : 3.5  15 ( cách chọn chữ số hàng đơn vị lẻ, cách chọn chữ số hang chục khác ) Số cách lấy ngẫu nhiên số lẻ 15 số lẻ: C152  105 cách P( A)  A  105 1  Vậy P(A)   P( A)    630 6  Câu 22 Đáp án D Chọn ba cân có   C83  56 cách Chọn ba cân có tổng trọng lượng nhỏ có trường hợp sau: TH1: Trong lấy khơng có cân trọng lượng kg Ta có    tổng trọng lượng nhỏ Do trường hợp có cách chọn TH2: Trong lấy có cân trọng lượng kg Khi ta có:    6;1    7;1    8;1    9;1    8;1    Trường hợp ta có cách chọn Vậy số cách chọn thỏa mãn ycbt 56    49 49 Xác suất cần tính là:  56 Câu 23 Đáp án B  77520 Số cách lấy tùy ý viên bi 20 viên bi cho là:   C20 Để chọn không viên bi đỏ từ viên lấy là: Lấy viên bi đỏ, viên bi xanh: C87  cách Lấy viên bi đỏ, viên bi xanh: C121 C86  336 cách Lấy viên bi đỏ, viên bi xanh: C122 C85  3696 cách  336  3696 101 Vậy xác suất để viên bi chọn không viên bi đỏ  77520 1938 Câu 24 Đáp án D Gọi biến cố A : “Lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho 10 ” 10 10 Số cách lấy ngẫu nhiên 10 thẻ 30 thẻ : C30 cách    C30 Trong 30 thẻ có 15 thẻ mang số lẻ, 15 thẻ mang số chẵn, thẻ mang số chia hết cho 10 (chú ý thẻ chia hết cho 10 số chẵn) Số cách chọn thẻ mang số lẻ: C155  3003 cách Số cách chọn thẻ mang số chia hết cho 10 C31  cách Số cách chọn thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 : C124  495 cách Số cách lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ chia hết cho 10 : 3003.3.495  4459455 cách   A  4459455 Vậy P( A)   A 4459455 99   10  C30 667 Câu 25 Đáp án A Trong thẻ cho có hai thẻ ghi số chia hết cho (các thẻ ghi số ), thẻ lại có ghi số khơng chia hết cho Giả sử rút x(1  x  9; x  ) , số cách chọn x từ thẻ hộp C9x , số phần tử không gian mẫu   C9x Gọi A biến cố “Trong số x thẻ rút có thẻ ghi số chia hết cho ” Số cách chọn tương ứng với biến cố A A  C7x Ta có P( A)  C7x C7x  P (A)   C9x C9x Cx 5   7x   x  17 x  60    x  12   x  C9 Vậy giá trị nhỏ x Vậy số thẻ phải rút Câu 26 Đáp án A Phân tích: Cần nhớ lại kiến thức bất đẳng thức tam giác Do P(A)  a  b  c  Ba đoạn thẳng với chiều dài a, b, c cạch tam giác a  c  b b  c  a  Lời giải: Số phần tử không gian mẫu là: C53  10 Gọi A biến cố “lấy ba đoạn thẳng lấy lập thành tam giác” Các khả chọn ba đoạn thẳng lập thành tam giác 3;5;7  ; 3;5;9 ; 5;7;9 Số trường hợp thuận lợi biến cố A Suy xác suất biến cố A P(A)  10 Câu 27 Đáp án C Gọi A biến cố “ A B có giải thưởng giống nhau” Vì học sinh nhận sách loại, nên giả sử có a học sinh nhận sách (Lí Hóa)  a học sinh nhận sách (Tốn Hóa) Số phần tử khơng gian mẫu   C92 C37 C44  1260 TH1: X Y nhận sách (Tốn, Lí), số khả C37 C44  35 TH2: X Y nhận sách (Tốn, Hóa), số khả C17 C62 C44  105 TH1: X Y nhận sách (Lí, Hóa), số khả C72 C35 C22  210   A  25  105  210  350  P(A)  Câu 28 A   18 Đáp án B Theo cơng thức hốn vị vòng quanh ta có:   7! Để xếp bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp bạn nam vào bàn tròn: có 4! cách, bạn nam ta có ngăn (do bàn tròn) Xếp chỉnh hợp bạn nữ vào ngăn có A53 cách Vậy xác suất xảy là: P  4! A53  7! Câu 29 Đáp án C Phân tích: Đề cho điều kiện dài dòng, ta cần đưa chúng dạng ngắn gọn dễ hiểu +) “Biết giới chuyên môn đánh giá Phong Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong Đạt thắng ván 0,5 +) “Khi Đạt thắng ván Phong thắng ván rồi”: nghĩa Đạt cần thắng ván ván, Phong phải thắng ván đạt Lời giải: Để xác định xác suất thắng chung Đạt Phong ta tiếp tục chơi thêm ván “giả tưởng” Để Phong thắng chung anh phải thắng Đạt ván liên tiếp (vì Đạt ván thắng) Như xác suất thắng Phong là: P(P)  0,53   Xác suất thắng Đạt P( Đ )    8  Tỉ lệ chia tiền phù hợp :  :1 8 Câu 30 Đáp án D Phân tích: Bài điểm mấu chốt phải liệt kê trường hợp mà An thắng Bình ching Ví dụ như: Séc : An thắng; Séc : An thắng; Séc : Bình thắng; Séc : An thắng  An thắng chung Lưu ý ta phải tính thứ tự séc An thắng thua Như ví dụ An thua séc thứ Lời giải: Giả sử số séc trân đấu An Bình x Dễ dàng nhận thấy  x  Ta xét trường hợp: TH1: Trận đấu có séc  An thắng séc Xác suất thắng trường hợp là: P1  0, 4.0, 4.0,  0, 064 TH2: Trận đấu có séc  An thua séc: 1, thắng séc thứ Số cách chọn séc để An thua là: C31 (Chú ý xác xuất để An thua séc 0, )  P2  C31.0, 43.0,  0,1152 TH3: Trận đấu có séc  An thua séc thắng séc thứ Số cách chọn séc đầu để An thua C42 cách  P3  C42 0, 43.0, 62  0,13824 Như xác suất để An thắng chung là: P  P1  P2  P3  0,31744 Nhận xét: Trong bạn dễ mắc sai lầm sau: trường hợp lại tính số cách chọn ván An thua C52 mà không để ý séc thứ chắn phải An thắng Câu 31 Đáp án D Phân tích: Với u cầu tìm giá trị lớn cách mà ta nghĩ đến đặt ẩn (là số điểm) sau tính biểu thức cần tính (xác suất đạt số điểm) sau tính biểu thức cần tính (xác suất đạt số điểm) theo ẩn đó, việc lại xử lí biểu thức Lời giải: Gọi x số điểm bạn đạt (  x  10 )( x   )  Bạn trả lời x câu trả lời sai 10  x câu +) Xác suất câu bạn là: ; sai 3 x +) Có C10 cách chọn x câu Do xác suất x điểm là: x 10  x 10! 210 x 1  2 P( x)  C10x      10 x !(10  x)! 3  3  P( x)  P( x  1) Do P( x) lớn nên   P( x)  P( x  1) 10! 210 x 10! 29  x  x 1   310 x !(10  x)! 310 x  !(9  x)!   2(x  1)  10  x  x     10  x    10  x 11 x 10!  x   x  11  x  x  11 10!  10 11  x  10  x !(10  x)!  x  1 !(11  x)! 11   x  Mà x   nên x  3 Nên xác suất bạ đạt điểm lớn Câu 32 Đáp án C Ta có 27  10  10   10      Với 10;10;7  có cách xáo trộn điểm lần bắn Với 10;9;8  có cách xáo trộn điểm lần bắn Với  9;9;9  có cách xáo trộn điểm lần bắn Do xác suất để sau lần bắn xạ thủ 27 điểm là: P  3.0,52.0,1  6.0,5.0, 25.0,1  0, 253  0,165625 ... C22n  C24n   C22nn   C22nn  C21n  C23n  C25n   C22nn 3  C22nn 1  2n 1 Xét m  2n : Xét m = 2n + 1, hoàn toàn tương tự, ta được: C20n 1  C22n 1  C24n !   C22nn1  C21n... 1.C2018  2. C2018  3.C2018  20 18.C2018 A 20 18 .22 017 Đáp án A B 20 17 .22 018 C 20 18 .22 018 D 20 17 .22 017 Lời giải Cách 1: Xét số hạng tổng quát 20 18! 20 18 .20 17! k k 1 k C2018  k  k  20 18.C2017...  20 18 1  x  20 17 20 18 20 17  C2018  2C2018 x   20 18.C2018 x 20 18  f  1  20 18 .22 017  C2018  2C2018   20 18.C2018  20 18 .22 017  S  ta chọn A 1 20 17 Ví dụ Tính tổng S  C2017