Luyện thi đại học chuyên đề tổ hợp xác suất

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 1 A. Lý thuyết cơ bản : I. Qui tắc ñếm : 1. Qui tắc cộng : Một công việc nào ñó có thể thực hiện một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách tực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kỳ cách nào trong phương án A thì công việc ñó có m + n cách thực hiện. 2. Qui tắc nhân : Một công việc nào ñó có thể bao gồm hai công ñoạn A và B. Nếu công ñoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách ñó có n cách thực hiện công ñoạn B thì công việc ñó có m.n cách thực hiện II .Hoán vị: 1. Giai thừa : + n! = 1.2.3…n = (n -1)!n. + Qui ước : 0! = 1. + ( )( ) ! 1 2 ! n p p n P = + + (Với n P > ). + ( ) ( ) ( ) ! 1 . 2 ! n n p n p n n p = − + − + − (V ớ i n P > ). 2. Hoán vị Không lặp : M ộ t t ậ p h ợ p g ồ m n ph ầ n t ử ( ) 1 n ≥ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là : ! n P n = . 3. Hoán vị lặp : Cho k phần tử khác nhau : 1 2 , , , k a a a . Một cách sắp xếp n phần tử trong ñó gồm 1 n phần tử 1 a , 2 n Chuyên ñề: Tổ Hợp – Xác suất Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2 phần tử 2 a ,…, k n phần tử k a (với 1 2 k n n n n + + + = ) theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu ( ) 1 2 , , , k n n n c ủ a k ph ầ n t ử . S ố các hoán v ị l ậ p c ấ p n, ki ể u ( ) 1 2 , , , k n n n của k phần tử là : ( ) 1 2 1 2 ! , , , ! ! ! n k k n P n n n n n n = 4. Hoán vị vòng quanh : Cho t ậ p h ợ p A g ồ m n ph ầ n t ử . M ộ t cách s ắ p x ế p n ph ầ n t ử c ủ a t ậ p A thành m ộ t dãy kín ñượ c g ọ i là m ộ t hoán v ị vòng quanh c ủ a n ph ầ n t ử . S ố các hoán v ị vòng quanh c ủ a n ph ầ n t ử là : ( ) 1 ! n Q n = − . III. Chỉnh hợp: 1. Chỉnh hợp không lặp : Cho t ậ p h ợ p A g ồ m n ph ầ n t ử . M ỗ i cách s ắ p x ế p k ph ầ n t ử c ủ a A ( ) 1 k n ≤ ≤ theo m ộ t th ứ t ự nào ñ ó ñượ c g ọ i là m ộ t ch ỉ nh h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử c ủ a A. S ố ch ỉ nh h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử là : ( ) ( ) ( ) ! 1 1 ! k n n A n n n k n k = − − + = − Chú ý : + Công thức trên cũng ñúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. + Khi k = n thì ! n n n A P n = = . 2. Chỉnh hợp lặp : Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong ñó mỗi phần tử có thể ñược lặp lại nhiều lần, ñược sắp xếp theo một thứ tự nhất ñịnh ñược gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A là : k k n A n = . IV. Tổ hợp: Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 3 1. Tổ hợp không lặp : Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( ) 1 k n ≤ ≤ ph ầ n t ử c ủ a A ñượ c g ọ i là m ộ t t ổ h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử . S ố các t ổ h ợ p ch ậ p k c ủ a n ph ầ n t ử là : ( ) ! ! ! k n n C k n k = − . + Qui ướ c : 0 1 n C = . Tính chất : + 0 1 n n n C C = = . + k n k n n C C − = . + 1 1 1 k k k n n n C C C − − − = + . + 1 1 k k n n n k C C k − − + = . 2. Tổ hợp lặp : Cho tập { } 1 2 , , , n A a a a = và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần tử, trong ñó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là : 1 k k n n k C C + − = . 3. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp : + Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bỡi công thức : ! k k n n A k C = . + Chỉnh hợp : Có thứ tự Tổ hợp : không có thứ tự. ⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử → chỉnh hợp. Ngược lại là tổ hợp. + Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử ( ) k n ≤ . - Không thứ tự, không hoàn lại : k n C . - Có th ứ tự, không hoàn lại : k n A . Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 4 - Có thứ tự, có hoàn lại : k n A . V. Các dạng bài tập cơ bản trong nguyên lý ñếm : 1. Phương pháp chung giải bài toán về cấu tạo số : Giả sử , m n là các số nguyên dương với m n ≤ thì : a. Số cách viết m trong n chữ số khác nhau vào m vị trí ñịnh trước là m n A . b. Số cách viết m chữ số khác nhau trong n vị trí ñịnh trước là m n A (ở n m − vị trí còn lại không thay ñổi chữ số). c. Số cách viết m chữ số giông nhau trong n vị trí ñịnh trước là n m m n n C C − = . d. Cho tập hợp gồm n chữ số, trong ñó có chữ số 0, số các số có m chữ số tạo thành từ chúng là ( ) 1 1 1 m n n A − − − . 2. Các dạng toán thường gặp : Dạng 1: Số tạo thành chứa các số ñịnh trước Cho tập hợp gồm n chữ số, trong ñó có chữ số 0, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m chữ số khác nhau sao cho trong ñó có k chữ số ñịnh trước (thuộc n chữ số nói trên) với k m n < ≤ . Cách giải : S ố t ạ o thành g ồ m m v ị trí 1 2 m a a a . G ọ i t ậ p h ợ p k ch ữ s ố ñị nh tr ướ c là X . Ta xét hai bài toán nh ỏ theo các kh ả n ă ng c ủ a gi ả thi ế t v ề t ậ p h ợ p X và ch ữ s ố 0 nh ư sau : a. Trong X chứa chữ số 0. + Ta có ( ) 1 m − cách chọn vị trí cho chữ số 0. + Số cách chọn ( ) 1 k − chữ số khác 0 thuộc X trong ( ) 1 m − vị trí còn lại là 1 m k m A − − . + Theo quy tắc nhân, ta ñược số các số ñó là ( ) 1 1 1 . k m k m n k S m A A − − − − = − . b. Trong X không chứa chữ số 0. Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 5 Bước 1: Tính các số tạo thành chứa chữ số 0. + Lần lượt có ( ) 1 m − cách ch ọ n v ị trí cho ch ữ s ố 0. + S ố cách vi ế t k ch ữ s ố thu ộ c X vào ( ) 1 m − vị trí còn lại là 1 k m A − . + Số cách chọn ( ) 1 m k − − trong số ( ) 1 n k − − chữ số khác 0 mà không thuộc X vào ( ) 1 m k − − vị trí còn lại là 1 1 m k n k A − − − − . + Theo quy tắc nhân, ta ñược số các số ñó là ( ) 1 1 1 1 1 . k m k m n k S m A A − − − − − = − . Bước 2: Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0. + Số cách viết k chữ số thuộc X trong m vị trí là k m A . + Số cách chọn ( ) m k − trong số ( ) 1 n k − − chữ số khác 0 mà không thuộc X vào ( ) m k − vị trí còn lại là 1 m k n k A − − − . Theo quy tắc nhân, ta ñược các số ñó là 2 1 . k m k m n k S A A − − − = . Bước 3: Theo quy tắc cộng, ta ñược số các số tạo thành thỏa mãn bài toán là : 1 2 S S S = + . Ví dụ : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số ñó có mặt chữ số 0 và 1. Giải : Gọi số cần tìm có dạng 1 2 6 a a a , với 1 2 6 , , , a a a ∈ { } 0,1,2, ,9 và 1 0 a ≠ . + Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 0. + Với mỗi cách chọn trên lại có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 1 và có 4 8 A cách chọn vị trí cho 4 trong 8 chữ số còn lại. + Vậy có tất cả 8 4 5.5. 42000 A = số gồm 6 chữ số khác nhau và trong các chữ số ñó có mặt chữ số 0 và 1. Dạng 2: Số tạo thành không chứa hai chữ số ñịnh trước cạnh nhau. Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m ( ) m n ≤ chữ số khác nhau sao cho trong ñó có 2 chữ số ñịnh trước nào ñó không ñứng cạnh nhau. Cách giải : Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 6 Số tạo thành có dạng 1 2 m a a a và 2 ch ữ s ố ñị nh tr ướ c là , x y (thu ộ c n ch ữ s ố ñ ã cho). Ta xét 3 bài toán nh ỏ theo các kh ả n ă ng c ủ a gi ả thi ế t v ề 2 ch ữ s ố , x y và ch ữ số 0 như sau : a. Nếu n chữ số ñã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số ñịnh trước , x y khác 0. Bước 1: Tính số các số tạo thành một cách bất kì. + Có 1 n − cách chọn vị trí cho chữ số 0, Chọn các chữ số còn lại ñặt vào các vị trí còn lại có 1 1 m n A − − . + Vậy, có tất cả là ( ) 1 1 1 1 m n S n A − − = − số có dạng như thế. Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số , x y cạnh nhua theo thứ tự xy và yx . + TH 1 : 1 2 a a xy = . Khi ñó mỗi số 3 m a a ứng với một chỉnh hợp chập ( ) 2 m − của ( ) 2 n − chữ số khác , x y . Số các số ñó là : 2 2 2 m n S A − − = . + TH 2 : 1 2 a a xy ≠ . Lần lượt ta có ( ) 3 n − cách chọn chữ số cho 1 0, , a x y ≠ . ( ) 2 m − cách chọn vị trí cho xy . Số cách chọn ( ) 3 m − trong ( ) 3 n − chữ số còn lại khác 1 , , a x y cho ( ) 3 m − vị trí còn lại là 3 3 m n A − − . Theo quy tắc nhân, số các số ñó là : ( ) ( ) 3 3 3 3 2 m n S n m A − − = − − . Từ hai trường hợp trên, ta ñược số các số có chứa xy là 2 3 S S + . Tương tự cũng có 2 3 S S + số chứa yx . Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là : ( ) 1 2 3 2 S S S S = − + . b. Nếu n chữ số ñã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số ñịnh trước bằng 0. Bước 1: Tính số các số tạo thành bất kỳ. Có 1 n − cách chọn vị trí cho chữ số 0 và khi ñó số các số ñó là : ( ) 1 1 1 1 m n S n A − − = − . Bước 2: Tính số các số có hai chữ số x và 0 c ạnh nhau : ( ) 2 2 2 2 3 m n S m A − − = − . (Có 1 m − cách viết 0 x và có 2 m − cách viết 0 x vào m vị trí) Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là : 1 2 S S S = − . Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 7 c. Nếu n chữ số ñã không chứa chữ số 0 : ( ) 2 2 2 1 m m n n S A m A − − = − − . Ví dụ : T ừ các ch ữ s ố 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th ể l ậ p ñượ c bao nhiêu ch ữ s ố có 6 ch ữ s ố khác nhau. Trong ñ ó có bao nhiêu s ố mà ch ữ s ố 1 và ch ữ s ố 6 không ñứ ng c ạ nh nhau. Giải : + B ướ c 1: Tính s ố các s ố t ạ o thành b ấ t k ỳ . Có 6 cách ch ọ n ch ữ s ố ñầ u tiên khác 0 và có 5 6 A cách ch ọ n 5 trong 6 s ố vào 5 v ị trí còn l ạ i. V ậ y có 5 6 6. A s ố có 6 chữ số tạo thành từ các số trên. + Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số 1, 6 cạnh nhau theo tứ tự 16 và 61. - TH 1: Nếu 2 chữ số ñầu tiên là 1, 6. Khi ñó có 2! Cách ñảo vị trí 2 số này. Có 4 5 A cách chọn 4 trong 5 số vào 4 vị trí còn lại. Vậy có 2!. 4 5 A số có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số trên và có hai số ñầu tiên là 1 và 6. - TH 2: Nếu số ñầu tiên khác 1 và 6, khi ñó có 4 cách chọn ñể số này khác 0. Có 4 cách chọn vị trí cho 2 số 1 và 6 cạnh nhau. Có 3 4 A cách chọn 3 trong 4 số vào 3 vị trí còn lại. Mặt khác ta có 2! Cách ñảo vị trí 2 số 1 và 6 cạnh nhau. Vậy có 4.4. 3 4 A .2! số có 6 chữ số có 2 số 1 và 6 ñứng cạnh nhau và không ñứng ñầu tiên. + Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là : ( ) 5 4 3 6 5 4 6. 2 4.4. 3312 S A A A= − + = số. Dạng 3: SỐ tạo thành chứa chữ số lập lại Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong ñó có một chữ số xuất hiện 3 lần, một chữ số khác xuất hiện 2 lần và một chữ số khác hai chữ số trên xuất hiện 1 lần. Giải : + Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 ñứng ñầu, lần lượt là : - Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có 3 6 C cách ch ọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số ñó. Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 8 - Có 9 cách chọn chữ số xuất hiện 2 lần và có 2 3 C cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số ñó. - Có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng. Vậy ta ñược số các số ñó là : 3 2 3 2 6 3 6 3 10. .9. .8 720. . S C C C C = = . + Do vai trò của 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 là như nhau nên số các số có chữ số ñứng ñầu khác 0 thỏa mãn bài toán là : 3 2 6 3 9 648. . 10 S C C = số. Bài toán tổng quát : Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m chữ số sao cho trong ñó có một chữ số xuất hiện k lần, một chữ số q lần với k + q = m. Cách giải : Ta xét hai bài toán nhỏ sau ñây. a. Nếu n chữ số ñã cho có chứa chữ số 0. Bước 1: Nếu kể cả chữ số 0 ñứng ñầu, ta thấy : + Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có k m C cách chọn k trong m vị trí cho chữ số ñó. + Sau ñó có ( ) -1 n cách chọ n chữ số xuất hiện q lần cho q vị trí còn lại. + Theo qui tắc nhân ta tính ñược số các số ñó là : ( ) . 1 . k m S n n C = − s ố . Bước 2: Vai trò c ủ a n ch ữ s ố nh ư nhau nên s ố các s ố có ch ữ s ố ñứ ng ñầ u khác 0 th ỏ a mãn bài toán là : 1 . n S n − b. Nếu n chữ số ñã cho không chứa chữ số 0 : ( ) . 1 . k m S n n C = − số. 3. Các dạng bài toán số học tích hợp sự vật, hiện tượng. Dạng 1: Bài toán chọn vật. a. ðặc trưng của bài toán : Ch ọ n m ộ t t ậ p h ợ p g ồ m k ph ầ n t ử t ừ n ph ầ n t ử khác nhau, k ph ầ n t ử không có tính ch ấ t gì thay ñổ i n ế u nh ư hoán v ị k v ị trí c ủ a nó. ð ây chính là ñặ c ñ i ể m ñể nh ậ n d ạ ng s ử d ụ ng công th ứ c t ổ h ợ p. b. Phương pháp : Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 9 Bước 1: Liệt kê các tính chất có thể có của tập con cần chọn. Bước 2: Phân chia trường hợp (nếu có). Bước 3: Tính số cách chọn bằng cách dựa vào công thức k n C . Bước 4: Dùng qui tắc nhân và qui tắc cộng suy ra kết quả. Ví dụ : Một hợp ñựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi ñỏ và 4 viên bi vàng. a. Có bao nhiêu cách lấy ra 7 viên bi ñủ 3 màu, trong ñó có 3 viên bi xanh và nhiều nhất 2 viên bi ñỏ. b. Có nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có ñủ 3 màu. Giải : a. Xét 2 trường hợp sau : + TH 1: Có 1 viên bi ñỏ : - Khi ñó có 1 5 C cách lấy 1 viên bi ñỏ, có 3 7 C cách lấy ra 3 viên bi xanh và có 3 4 C cách lấy ra 3 viên bi vàng. Vậy có 1 5 C . 3 7 C . 3 4 C cách lấy ra 7 viên bi trong ñó có 3 viên bi xanh, 1 bi ñỏ và 3 bi vàng. + TH 2: Có 2 viên bi ñỏ : - Khi ñó có 2 5 C cách lấy 2 viên bi ñỏ, có 3 7 C cách lấy ra 3 viên bi xanh và có 2 4 C cách lấy ra 2 viên bi vàng. Vậy có 2 5 C . 3 7 C . 2 4 C cách lấy ra trong ñó có 2 bi ñỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng. Vậy có tất cả 1 5 C . 3 7 C . 3 4 C + 2 5 C . 3 7 C . 2 4 C = 2800 cách. b. - Số cách lấy ra 8 viên bi bất kỳ có 8 16 C cách. - Số cách lấy ra 8 viên bi không có màu vàng mà chỉ có màu ñỏ và màu xanh là 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 . . . . . 495 C C C C C C C C C C+ + + + = cách. - Số cách lấy ra 8 viên bi không có màu ñỏ mà chỉ có màu vàng và màu xanh là 7 1 6 2 5 3 4 4 7 4 7 4 7 4 7 4 . . . . 165 C C C C C C C C+ + + = cách. - S ố cách lấy ra 8 viên bi không có màu xanh mà chỉ có màu vàng và màu ñỏ là Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 10 5 3 4 4 5 4 5 4 . . 9 C C C C + = cách. Vậy có tất cả ( ) 8 16 495 165 9 12201 C − + + = cách. Dạng 2: Bài toán chọn người Ví dụ : Lớp 11A của Tuấn có 11 học sinh nam và 18 học sinh nữ. a. Có bao nhiêu cách chọn ra một ñội văn nghệ gồm 10 người có nam và có nữ. b. Chọn ra một tổ trực nhật gồm 13 người, trong ñó có một tổ trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tuấn luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên. Giải : a. - Chọn 10 người trong 29 người cả nam và nữ có 10 29 C cách. - Chọn 10 người ñều là nam có 10 11 C cách. - Chọn 10 người ñều là nữ có 10 18 C cách. Vậy có 10 10 10 29 11 18 19986241 C C C− − = cách chọn. b. - Do Tuấn luôn có mặt trong tổ nên chỉ chọn 12 người trong 28 người còn lại. - Chọn một tổ trưởng có 1 28 C cách. - Chọn 11 thành viên còn lại trong 27 người có 11 27 C cách. Vậy có tất cả 1 28 C . 11 27 C = 216332480 cách chọn. Dạng 3: Bài toán sắp xếp vật. Ví dụ : Tại cuộc thi Theo Dòng Lịch Sử, ban tổ chức sử dụng 7 thẻ vàng và 7 thẻ ñỏ, ñánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau. Giải : - Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ ñỏ nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau. - N ếu các thẻ ñỏ nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ vàng nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau. [...]... nào ñó làm 2 bài thi - Có C62 cách ch n 2 bài thi trong 6 bài thi và có 4 C62 cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 h c sinh 2 - Có C42 cách ch n 2 bài thi trong 4 bài thi còn l i và có 3 C4 cách phát 2 bài thi cho 1 trong 3 thí sinh còn l i - V i 2 bài thi còn l i s có 2! cách phát cho 2 thí sinh còn l i V y có t t c 4 C62 3 C42 2! = 2160 cách phát ñ thi mà trong ñó có 2 em làm hai bài thi TH 4: Có m t... hai bài thi TH 4: Có m t em nào ñó làm 3 bài thi 3 3 - Có C6 cách ch n 3 bài thi trong 6 bài thi và có 4 C6 cách phát 3 bài thi cho 1 trong 4 h c sinh - V i 3 bài thi còn l i có 3! Cách phát cho 3 thí sinh còn l i Trang 12 Chuyên ñ t h p – xác su t Biên so n : Lê Kỳ H i 3 V y có 4 C6 3! = 480 cách phát ñ thi mà trong ñó có 1 em làm 3 bài thi V y s cách phát ñ thi theo yêu c u bài toán là 360 + 1440 +... ñ thi - Ch n 4 ñ thi phát cho 4 h c sinh có 4! cách phát V y có t t c 4!.15 = 360 cách phát ñ thi mà m i em làm 1 bài TH 2: Có m t em nào ñó làm 2 bài thi - Có C62 cách ch n 2 bài thi trong 6 bài thi và có 4 C62 cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 h c sinh 3 - V i 4 bài thi còn l i s có A4 cách chia cho 3 thí sinh 3 V y có 4 C62 A4 = 1440 cách phát ñ thi mà trong ñó có 1 em làm 2 bài thi TH 3: Có hai... Trang 11 Chuyên ñ t h p – xác su t ( ) ( Biên so n : Lê Kỳ H i ) con Ai i = 1, k có ni i = 1, k ph n t Khi ñó vi c ch n ni ph n t trong n ph n t là phép ch n và lo i tr d n các ph n t ñã ñư c ch n Ví d : C n ph i phát 6 ñ thi khác nhau cho 4 h c sinh H i có bao nhiêu cách phát ñ thi n u m i em h c sinh ñ u làm ít nh t 1 bài thi Gi i : TH 1: M i em ñ u làm m t bài thi - Có C64 = 15 cách ch n ñ thi - Ch... i xác su t làm bàn c a ngư i th nh t là 0,8 Tính xác su t làm bàn c a ngư i th hai, bi t r ng xác su t ñ c hai ngư i cùng làm bàn 0,56 và xác su t ñ b th ng lư i ít nh t m t l n là 0,94 Bài 7: M t h p ñ ng 5 viên bi ñ và 3 viên bi xanh L y ng u nhiên 3 viên G i X là s bi ñ l y ra Tính kỳ v ng, phương sai và ñ lêch chu n c a X Bài 8: Hai x th ñ c l p cùng b n vào m t bia M i ngư i b n m t viên ñ n Xác. .. bi n c này không làm nh hư ng ñ n vi c x y ra bi n c kia b Xác xu t +Xác su t c a bi n c : P ( A ) = + 0 ≤ P ( A ) ≤ 1, P ( Ω ) = 1, n ( A) n (Ω) P (φ ) = 0 + Quy t c c ng : N u A ∩ B = φ thì P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) M r ng : A, B b t kì thì P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A.B ) ( ) + P A = 1 − P ( A) Trang 22 Chuyên ñ t h p – xác su t Biên so n : Lê Kỳ H i + Qui t c nhân : N u A, B... C2 n + C2 n + + n C22n −1 = 2 4 6 2 2n + 1 Trang 21 Chuyên ñ t h p – xác su t Biên so n : Lê Kỳ H i ( −1) 2n+1 C n = 1 1 + −1 n  1 1 1 2 2C − 2 Cn + 23 Cn2 + + ( ) n 2 3 n +1 n +1  n 0 n 2 1 3 n n 3 Cn + 2Cn2 + Cn + + ( n − 1) Cn −1 + nCn = n.2n −1 2 3 4 2.1Cn + 3.2Cn + + n ( n − 1) Cnn = n ( n − 1) 2n − 2 VIII Xác su t : 1 Bi n c và xác su t : a Bi n c : + Không gian m u Ω : Là t p các... th ñ c l p cùng b n vào m t bia M i ngư i b n m t viên ñ n Xác su t ñ x th th nh t b n trúng bia là 0,7 Xác su t ñ x th th hai b n trúng bia là 0,8 G i X là s ñ n b n trúng bia Tính kỳ v ng và phương sai c a X Trang 24 Chuyên ñ t h p – xác su t Biên so n : Lê Kỳ H i IX Các bài toán trong nh ng kỳ thi ñ i h c : Bài 1: Cho khai tri n nh th c : n n − −x x −1 x −1  x2 1    0 1 2 + 2 3  = Cn  2 2... t c a bi n c l n th hai l y ra ñư c viên bi xanh ðS : 5 8 Bài 5: M t l p có 30 h c sinh, trong ñó có 8 em gi i, 15 em khá và 7 em trung bình Ch n ng u nhiên 3 em ñi d ñ i h i, tính xác xu t ñ Trang 23 Chuyên ñ t h p – xác su t Biên so n : Lê Kỳ H i 1 C 3 em ñ u là h c sinh gi i 2 Có ít nh t m t h c sinh gi i 3 Không có h c sinh trung bình 3 Bi n ng u nhiên và r i r c a Bi n ng u nhiên r i r c + X... x 2 + + a14 x14 9 10 14 Hãy xác ñ nh h s a9 Bài 4: Cho ña th c P ( x ) = (1 + x ) + 2 (1 + x ) + + 20 (1 + x ) ñư c vi t dư i d ng 2 20 P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + + a20 x 20 Tìm h s a15 Bài 5: Khai tri n P ( x ) = ( x − 2 ) = a0 + a1 x + + a80 x80 Tìm h s a78 80 Bài 6: Khai tri n P ( x ) = ( 3 + x ) = a0 + a1 x + + a50 x 50 50 Trang 19 Chuyên ñ t h p – xác su t Biên so n : Lê Kỳ H i . chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A là : k k n A n = . IV. Tổ hợp: Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 3 1. Tổ hợp. Một cách sắp xếp n phần tử trong ñó gồm 1 n phần tử 1 a , 2 n Chuyên ñề: Tổ Hợp – Xác suất Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2 phần tử 2 a ,…, k n phần. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là : 1 k k n n k C C + − = . 3. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp : + Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bỡi công thức : ! k k n n A k C = . + Chỉnh hợp