Chuyen de to hop

CHUYÊN ĐỀ 3: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I KIẾN THỨC CƠ BẢN CÁC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM: a QUY TẮC CỘNG: Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n + m cách TỔNG QT Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1, A2, , Ak , nk Có n1 cách thực phương án cách thực phương án Ak A1 n1 , cách thực phương án A2 Khi cơng việc thực n1 + n2 + + nk cách b QUY TẮC NHÂN: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo n.m cách TỔNG QUÁT k công đoạn A1, A2, , Ak Công A n A n đoạn thực theo cách, cơng đoạn thực theo cách, , A n cơng đoạn k thực theo k cách Khi cơng việc thực theo Giả sử cơng việc bao gồm n1.n2 nk cách HOÁN VỊ: a.Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n �1) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử b.Định lý: Ký số hốn vị n phần tử Pn , ta có cơng thức: Pn = n ! (2) 3.CHỈNH HỢP: a.Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi gồm k ( �k �n) phần tử thứ tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A b.Định lý: k n phần tử An , ta có công thức: n! Ank = (n - k)! (3) k Ký hiệu số chỉnh hợp chập TỔ HỢP: a.Định nghĩa: 41 Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm gọi tổ hợp chập k n phần tử cho b Định lý: k phần tử ( �k �n ) A k n phần tử C n , ta có cơng thức: n! C nk = k !(n - k)! (4) k Ký hiệu số tổ hợp chập c Hai tính chất số C nk n số nguyên k với �k �n Khi C nk = C nn- k ii/ Tính chất 2: Cho số nguyên n k với �k �n Khi C nk+1 = C nk +C nk- i/ Tính chất 1: Cho số nguyên dương LƯU Ý QUAN TRỌNG: Các toán giải tích tổ hợp thường tốn hành động như: lập số từ số cho, xếp số người hay đồ vật vào vị trí định, lập nhóm người hay đồ vật thỏa mãn số điều kiện cho v.v Nếu hành động gồm nhiều giai đoạn cần tìm số cách chọn cho giai đọan áp dụng quy tắc nhân Những toán mà kết thay đổi ta thay đổi vị trí phần tử , tốn liên quan đến hốn vị chỉnh hợp Đối với toán mà kết giữ nguyên ta thay đổi vị trí phần tử tốn tổ hợp CƠNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Định lý: ( a + b) n = C n0anb0 +C n1an- 1b1 + +C nkan- kbk + +C nna0bn n = �C nkan- kbk k=0 XÁC SUẤT a) Định nghĩa Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu W tập hữu hạn kết T W đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T A tập kết thuận P ( A) A A lợi cho P ( A) = xác suất số, kí hiệu , xác định công thức: WA W Như vậy, việc tính xác suất biến cố A trường hợp nầy quy việc đếm số kết phép thử T số kết thuận lợi A b) Định lý Cho biến cố A Xác suất biến cố đối A P A = 1- P ( A ) ( ) 42 c) Các quy tắc tính xác suất i) Quy tắc cộng xác suất Định lý: Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy P ( A �B ) = P ( A) + P ( B ) ii) Quy tắc nhân xác suất Định lý: Nếu hai biến cố A B độc lập với P ( AB ) = P ( A) P ( B ) B CÁC DẠNG TOÁN TIÊU BIỂU THƯỜNG GẶP PHẦN 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP DẠNG 1: CHỌN MỘT NHÓM PHẦN TỬ TỪ TẬP HỢP Thí dụ 1: Một hộp đựng 11 thẻ đánh từ đến 11 Hỏi có cách lấy thẻ để tổng số ghi thẻ số lẻ Giải �Ta ký hiệu: thẻ ghi số lẻ thẻ lẻ; thẻ ghi số chẵn thẻ chẵn �Tổng số ghi thẻ lấy số lẻ số thẻ lẻ lấy phải số lẻ Ta có trường hợp (TH) sau: + TH1: thẻ lẻ, thẻ chẵn, suy ra: C 61.C 55 = + TH2: thẻ lẻ, thẻ chẵn, suy ra: C C = 200 cách cách C C = 30 + TH3: thẻ lẻ, thẻ chẵn, suy ra: cách Vậy có: + 200 + 30 = 236 cách.r Thí dụ 2: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, trung bình Hỏi có cách chia 16 học sinh thành tổ, tổ người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh Giải �Ta có bảng phân chia trường hợp sau: Trường hợp Học sinh giỏi Học sinh Học sinh trung bình Số cách chọn (3 học sinh) (5 học sinh) (8 học sinh) 1 C 31.C 52.C 86 = 1680 C 31.C 53.C 84 = 2100 2 C 32.C 52.C 84 = 2100 3 C 32.C 53.C 83 = 1680 Kết 7560 quả: Vậy có 7560 cách.r Thí dụ 3: Một dãy có ghế dành cho nam sinh nữ sinh Có cách xếp chổ ngồi nếu: 1/ Ngồi chổ được? 2/ Nam sinh nữ sinh ngồi xen kẽ? 43 Giải 1/ Mỗi cách xếp người vào ghế hoán vị phần tử Vậy số cách xếp P = 5! = 120 trường hợp cách 2/ Vì ngồi xen kẽ, nên cách xếp là: Nam Nữ Nam Nữ Nam �Bước 1: Sắp xếp chổ ngồi cho nam học sinh Số cách xếp là: 3! = �Bước 2: Sắp xếp chổ ngồi cho nữ sinh Số cách xếp là: 2! = �Theo quy tắc nhân, số cách xếp chổ ngồi là: 6.2 = 12.r Thí dụ 4: Gieo đồng thời súc sắc Hỏi có trường hợp tổng số chấm mặt xuất súc sắc mặt xuất số chấm khác nhau? Giải �Ta thấy: = 1+ + = 1+ + = + + �Bước 1: Chọn số mà tổng có n1 = cách chọn �Bước 2: Với cách chọn số có n2 = 3! = cách lấy chấm súc sắc �Theo quy tắc nhân, ta có: n = n1.n2 = 3.6 = 18.r Thí dụ 5: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi a) Có cách lấy bi? b) Có cách lấy bi trắng? c) Có cách lấy bi trắng, bi xanh? Giải C = 28 cách lấy a) Có C = 10 cách lấy b) Có C 1C = 15 c) Có cách lấy Thí dụ 6: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh Lấy bi a) Có cách lấy bi? b) Có cách lấy bi trắng? c) Có cách lấy bi trắng, bi xanh? Giải C 81C 71 = 56 cách lấy (hoặc A82 = 56) C 1C = 20 cách lấy (hoặc A52 = 20) b) Có 1 1 C C + C C = 30 cách lấy 3 c) Có a) Có Thí dụ 7: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi a) Có cách lấy bi? b) Có cách lấy bi có đủ ba màu? Giải C = 3060 cách lấy 18 a) Có 1 1 C C C + C C C + C C 6C = 1575 cách lấy 6 b) Có Thí dụ 8: Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác cho số có mặt chữ số 9? Giải Giả sử số cần lập abcd, d �{0, 2, 4, 6, 8} Xét trường hợp sau 44 � d = Số cách lập abc có chữ số C 7.3! = 42 � d = Số cách lập abc có chữ số C 3!- C 7.2! = 154 � d �{2, 4, 6} Số cách lập abc có chữ số 3.( C 71.3!- 2) = 120 �Vậy số số lập 42 + 154 + 120 = 316 r Thí dụ 9: Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số đôi khác cho chữ số đầu chữ số cuối số số chẵn? Giải �Chữ số chữ số chẵn, khác nên có cách chọn �Chữ số tận chữ số chẵn, khác với chữ số nên có cách chọn �Ba chữ số có số cách xếp A8 3 �Suy số số thỏa mãn yêu cầu toán 4�4�A8 = 5376 r DẠNG 2: SẮP XẾP THỨ TỰ CÁC PHẦN TỬ TỪ CÁC TẬP HỢP Thí dụ 1: Một nhóm học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp 10 em học sinh thành hàng ngang cho: 1/ Giữa hai học sinh nữ khơng có em nam 2/ Hai vị trí đầu cuối hàng em nam khơng có hai em nữ ngồi cạnh Giải 1/ �Ta xem em nữ vị trí hàng Như em nam khối em nữ tạo thành vị trí hàng �Xếp chổ cho em nam khối em nữ có 8! cách �Xếp chổ nội khối em nữ có 3! cách �Vậy có 8!.3! = 241920 cách.r 2/ �Xếp chổ cho em nam có 7! cách �Xếp chổ cho em nữ theo yêu cầu, hai nữ phải có em nam B1 B2 G1 B3 G2 B4 G3 B5 G4 B6 G5 B7 G6 �Gi vị trí học sinh nam Bi Bi +1 , i = 1,6 Khi vị trí em nữ chỉnh hợp chập phần tử, có A63 cách xếp vị trí cho em nữ �Vậy có 7!.A6 = 604800 cách xếp chổ thỏa mãn đề bài.r Thí dụ 2: Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? (KD 2006) Giải �Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho C 12 = 495 �Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau: 45 + Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C C 4.C 31 = 120 + Lớp B có học sinh, lớp C, A lớp có học sinh Số cách chọn là: C C C 31 = 90 + Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C C 4.C 32 = 60 1 �Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 �Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 - 270 = 225.r Thí dụ 3: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam 15 nữ Cần lập đội trực tuần có em phải có nam Hỏi có cách lập đội trực tuần? Giải �Gọi A tập hợp tất cách chọn em từ 40 em Khi đó: A = C 40 �Gọi B tập hợp tất cách chọn em nữ từ 15 em nữ Khi đó: B = C 15 �Gọi C tập hợp tất cách lập đội trực tuần theo yêu cầu Khi đó: C = A - B = C 406 - C 156 = 3818360 �Vậy có 3818360 cách lập đội trực tuần.r Thí dụ 4: Có cầu xanh đánh số từ đến 7, cầu đỏ đánh số từ đến 6, cầu trắng đánh số từ đến 5, cầu đen đánh số từ đến Hỏi có cách lấy cầu vừa khác màu, vừa khác số? Giải �Bước 1: Chọn cầu đen: Số cách chọn n1 = �Bước 2: Chọn cầu trắng: Phải loại cầu trắng mang số có số trùng với số n =4 cầu đen chọn bước Vì số cách chọn cầu trắng �Bước 3: Chọn cầu đỏ: Phải loại cầu đỏ mang số có số trùng với số cầu đen chọn bước có số trùng với số cầu trắng chọn bước �Vậy số cách chọn cầu đỏ n3 = �Bước 4: Chọn cầu xanh: Lập luận tương tự, ta thấy số cách chọn cầu xanh n4 = �Theo quy tắc nhân, số cách chọn cầu thỏa mãn yêu cầu đầu là: n = n1.n2.n3.n4 = 44 = 256 �Vậy có 256 cách chọn cầu vừa khác màu, vừa khác số.r Thí dụ 5: Lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000? Giải �Các số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 chia thành loại sau: A1 tập hợp số lẻ có dạng 5aa aaa A2 tập hợp số lẻ có dạng 4aa aaa A3 tập hợp số lẻ có dạng 3aa aaa A4 tập hợp số lẻ có dạng 2aa aaa A5 tập hợp số lẻ có dạng 1aa aaa 46 �Rõ ràng A1, A2, A3, A4, A5 tập hợp, đơi rời �Gọi A tập hợp số lẻ thỏa mãn yêu cầu đầu bài, thì: A = A1 �A2 �A3 �A4 �A5 �Theo quy tắc cộng, ta có: A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 �A = A = A �1 � �A2 = A4 � �Do vai trị tương đương, nên ta có: � A = A1 + A2 �Ta có: �Tính A1 : + Chọn a5 a5 + Chọn a1a2a3a4 : chọn từ tập {1;3;7;9} Số cách chọn a n1 = : Đây cách chọn số (kể thứ tự xếp) tập hợp số sau: { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \ { 5;a } Số cách chọn n Vậy A1 = n1.n2 = 4.1680 = 6720 = A84 = 1680 �Tính A2 : + Chọn a5 a5 + Chọn aa aa : chọn từ tập {1;3;5;7;9} Số cách chọna n1 = : Đây cách chọn số (kể thứ tự xếp) tập hợp số sau: { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \ { 5;a } Số cách chọn n Vậy A2 = n1.n2 = 5.1680 = 8400 = A84 = 1680 �Do đó: A = 3.6720 + 2.8400 = 36960 �Vậy có 36960 số lẻ có chữ số thỏa mãn yêu cầu đề r Thí dụ 6: Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đằng sau lớn chữ số đứng liền trước Giải �Các số thỏa mãn điều kiện đầu khơng thể có số (Vì có số 0, phải có dạng < a1 < a2 < a3 < a4 �9 ) �Tuy nhiên chữ số hang nghìn phải khác �Vậy chữ số phải tìm có chữ số chọn tập hợp {1;2;3;4;5;6;7;8;9} �Với cách chọn số tập hợp trên, có cách xếp theo thứ tự tăng dần Vậy số số tự nhiên có chữ số cần tìm số tổ hợp chập phần tử C 94 = 126 Do đó, số số �Vậy có 126 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.r Thí dụ 7: Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác cho chữ số không đứng cạnh nhau? Giải 47 �Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác lập từ số cho Sử A = 6.6.5.4.3.2.1 = 4320 dụng quy tắc nhân ta tính được: �Gọi B tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác lập từ số cho, đứng cạnh Ta “dán” hai số liền với thành chữ số “kép” B = 5.5.4.3.2.1 = 600 Có cách “dán” (45 54) Do đó: �Gọi C tập hợp số tự nhiên có chữ số cho chữ số khơng đứng cạnh �Ta có: A = B �C ;B �C = � �Theo quy tắc cộng, ta có: A = B + C � C = A - B = 4320 - 600 = 3720 �Vậy có 3720 cách lập số thỏa mãn yêu cầu đề bài.r PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn số Bước 2: Sử dụng cơng thức hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp để biến đổi, rút gọn, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Bước 3: Kết hợp nghiệm vừa tìm với điều kiện ban đầu để tìm nghiệm toán A2x - Ax2 � C x3 + 10 (1) x Thí dụ 1: Giải bất phương trình: Giải � x �3 � � � x �� �Điều kiện: � � (1) � ( 2x) ! ( 2x - 2) ! x! x! � + 10 ( x - 2) ! x 3!( x - 3) ! ( x - 1) 2x - x ( x - 1) �( x - 1) ( x - 2) + 10 ۣx � 48 � x �3 � � � x �� �Do � �Nên x = 3;x = �Vậy nghiệm bất phương trình cho S = { 3;4} r � 2.Axy + 5.C xy = 90 � (2) � y � 2.Ax - 5.C xy = 80 � Thí dụ 2: Giải hệ phương trình: � Giải � x �y � � � x, y ��* � � �Điều kiện: � x! � � x! = 20 � y � � � = 20 � A = 20 x y ! x ( x - 1) = 20 � ( ) � � � x � � x - y) ! (2) � � y �� �� �� ( � � � x! y=2 C = 10 � � � � � = 10 � � �x y! = � � � y ! x - y) ! � � ( � x = �x = - � x=5 � �� �� � � � y=2 y=2 � � � x=5 � � � y=2 �Vậy nghiệm hệ phương trình cho � r Thí dụ 3: Giải phương trình: Giải 2Pn + 6An2 - PnAn2 = 12 (3) � n �2 � � � n �� �Điều kiện: � n! n! (3) � 2.n !+ - n ! - 12 = ( n - 2) ! ( n - 2) ! � 2.n !+ 6.n.( n - 1) - n !.n.( n - 1) - 12 = � 2( n !- 6) - n ( n - 1) ( n !- 6) = ( ) � ( n !- 6) n2 - n - = � n !- = �� � n2 - n - = � � � n ! = 3! � �� n =- � � n =2 � � � n=3 �� � n =2 � � 49 �Vậy nghiệm phương trình cho S = { 2;3} r Thí dụ 4: Giải phương trình: Giải C n2C nn- + 2C n3C n2 + C n3C nn- = 100 (4) � n �3 � � � n �� �Điều kiện: � C nk = C nn- k ;0 �k �n �Do ( ) Nên ( ) (4) � C n2 + 2C n3.C n2 + C n3 ( � C n2 +C n3 ) 2 = 100 = 100 � C n2 + C n3 = 10 (Do C n2 > 0;C n3 > 0) n! n! � + - 10 = 2!( n - 2) ! 3!( n - 3) ! � n3 - n - 60 = � n = (nhan) �Vậy nghiệm phương trình cho S = { 4} Thí dụ 5: (THPT 2007) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn phương trình: Giải � n �5 � � � n �� �Điều kiện: � k- k k �Áp dụng công thức: C n + C n = C n+1 (5) � C n5+1 = 3C n6+1 � C n4 + C n5 = 3C n6+1 (5) ( n + 1) ! ( n + 1) ! = 5!.( n - 4) ! 6!.( n - 5) ! = n- � n = (nhan) � �Vậy nghiệm phương trình cho S = { 6} Thí dụ 6: Giải phương trình: Axy++11.Px- y 1/ Pn+3 = 720.An5.Pn- 3/ Ax10 + Ax9 = 9Ax8 2/ 4/ Px- = 72 ( Px Ax2 + 72 = Ax2 + xPx ) Giải � n �5 � � � n �� 1/ �Điều kiện: � 50 TH 5: n = Ta có: (1) �-�۳ 7.8.( k) 60 Kết hợp k �3 � k = �Vậy nghiệm hệ phương trình cho k 164 56 { S = ( n;k) / ( n;k) = ( 0;0) ;( 1;0) ;( 1;1) ;( 2;2) ;( 3;3) } C k ,C k+1,C 7k+2 Thí dụ 16: Tìm k cho số 7 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giải � �k �5 � � � k �� �Điều kiện: � k k+1 k+2 � C ,C ,C số k theo thứ tự lập thành cấp số cộng � C +C k+2 = 2C k+1 7! 7! 7! + = k !.( - k) ! ( k + 2) !.( - k) ! ( k + 1) !.( - k) ! � k=4 � k2 - 5k + = � � � k =1 � � S = {1;4} � �Vậy nghiệm phương trình cho 2n- n thỏa mãn hệ thức C 2n +C 2n + +C 2n = 2048 Thí dụ 17: Tìm số nguyên dương Ck ( n số tổ hợp chập Giải �Ta có: k n phần tử) = ( 1- 1) 2n (KB 2008) = C 20n - C 21n + - C 22nn- + C 22nn 22n = ( 1+ 1) 2n = C 20n +C 21n + +C 22nn- +C 22nn � C 21n +C 23n + +C 22nn- = 22n- �Từ giả thiết suy = 2048 � n = 6.r Thí dụ 18: Cho đa giác n đỉnh, n �� n �3 Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo 2n- (Khối D 2014) Giải �Số đường chéo đa giác n đỉnh n ( n - 3) C n2 - n = n ( n - 3) � n=9 = 27 � � � n =- � �Từ giả thiết ta có phương trình �Do n �� n �3 nên ta giá trị n cần tìm n = 9.r 56 M = Thí dụ 19: Tính giá trị biểu thức An4+1 + 3An3 ( n + 1) ! , biết rằng: C n+1 + 2C n+2 + 2C n+3 +C n2+4 = 149 2 k k A C n n n n k ( số nguyên dương, số chỉnh hợp chập phần tử số tổ hợp chập k n phần tử) (KD 2005) Giải � n �3 � � � n �� �Điều kiện: � �Ta có: C n2+1 + 2C n2+2 + 2C n2+3 + C n2+4 = 149 � ( n + 1) ! ( n + 2) ! ( n + 3) ! ( n + 4) ! +2 +2 + = 149 2!n ! 2!( n - 1) ! 2!( n + 1) ! 2!( n + 2) ! � n2 + 4n - 45 = � n=5 �� � n = - (loai ) � A64 + 3A53 M = = 6! r �Suy ra: 2Pn + 6An2 - PnAn2 = 12 n > Thí dụ 20: Tìm số nguyên thỏa mãn đẳng thức ( Pn k A số hoán vị n phần tử n số chỉnh hợp chập k n phần tử) (KD 2005) Giải � n �2 � � � n �� �Điều kiện: � �Ta có: 57 2Pn + 6An2 - PnAn2 = 12 n! n! � 2.n !+ - n ! = 12 ( n - 2) ! ( n - 2) ! � � � � n ! � � ( - n !) � - 2�= � � � � � (�n - 2) ! � � � 6- n ! = � �� � n! - = �n - ! ( ) � � � n!= �� � n n - 1) - = � �( � n=3 �� � n=2 � Thí dụ 21: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n � 4), biết số tập gồm phần tử A k �{ 1,2,3, , n} A 20 lần số tập gồm phần tử k phần tử A lớn Giải Tìm cho số tập gồm (KB 2006) k �Số tập k phần tử tập hợp A C n Từ giả thiết suy ra: C n4 = 20C n2 � n2 - 5n - 234 = � n = 18 (don �4) C 18k+1 18 - k = >1� k < k C k + �Do 18 , nên 10 18 C 18 < C 18 < < C 189 � C 189 > C 18 > > C 18 �Vậy, số tập gồm k phần tử A lớn k = 9.r DẠNG 2: TÍNH TỔNG PHƯƠNG PHÁP C nk = C nn- k  C nk + C nk+1 = C nk++11  C n0 + C n1 + C n2 + + C nn = 2n  C + C + C + + C 2n = C + C + + C 2n- = 22n- 2n 2n 2n 2n 2n 2n  2n Ngồi ta cịn kết hợp khai triển NewTon, đạo hàm tích phân để tính tổng 58 Thí dụ 1: Tính tổng sau: Giải C 41n +C 43n +C 45n + +C 42nn- k n- k 4n- 4n- 4n- 2n- �Ta có: C n = C n � S = C 4n + C 4n + C 4n + +C 4n � 2S = C 41n + C 43n + C 45n + + C 44nn- �Xét khai triển: 4n ( 1+ x) = C 40n + C 41nx + C 42nx2 + C 43nx3 + + C 44nn- 1x4n- +C 44nnx4n 4n- 4n �Chọn x = - 1, ta có: C 4n - C 4n + C 4n - C 4n + - C 4n + C 4n = (1) 4n- 4n 4n �Chọn x = 1, ta có: C 4n +C 4n + C 4n + C 4n + + C 4n +C 4n = (2) �Trừ vế theo vế (2) cho (1), ta được: C 41n + C 43n + C 45n + +C 44nn- = 24n- � 2S = 24n- � S = 24n- �Vậy S = 24n- Thí dụ 2: Tính tổng sau: Giải �Xét khai triển: ( 1+ x) 2013 2013 S = C 2013 + 2C 2013 + 3C 2013 + + 2014C 2013 2013 2013 = C 2013 + C 2013 x + C 2013 x2 + C 2013 x3 + + C 2013 x (1) 2013 2013 �Chọn x = 1, ta có: S1 = C 2013 +C 2013 +C 2013 +C 2013 + +C 2013 = �Đạo hàm hai vế (1), ta có: 2013.( + x) 2012 2013 2012 = C 2013 x + 2C 2013 x + 3C 2013 x2 + + 2013C 2013 x 2013 2012 �Chọn x = 1, ta có: S2 = C 2013 + 2C 2013 + 3C 2013 + + 2013C 2013 = 2013.2 2012 2013 �Ta có: S - S2 = C 2013 + C 2013 +C 2013 + + C 2013 + C 2013 = S3 � S = S2 + S3 = 2013.22012 + 22013 = 2015.22012 �Vậy S = 2015.2 2012 Thí dụ 3: Tính tổng sau: S = ( b - a) C n0 + b2 - a2 b3 - a3 bn+1 - an+1 n Cn + C n + + Cn n +1 * Với n �� ,b > a Giải �Ta có: ( 1+ x) b ( n = C n0 + C n1x + C n2x2 + C n3x3 + + C nnxn ) � �C n0 + C n1x + C n2x2 + C n3x3 + + C nnxn dx a n+1 b2 - a2 b3 - a3 bn+1 - an+1 n ( + b) - ( + a) � ( b - a) C n0 + Cn + C n + + Cn = n +1 n +1 59 n+1 �Vậy ( 1+ b) S= n+1 - ( + a) n+1 n +1 DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC PHƯƠNG PHÁP Sử dụng: Tính chất hệ số khai triển NewTon dùng khai triển NewTon kết hợp với đạo hàm, tích phân để chứng minh ( ) C 20n + C 22n 32 + C 24n 34 + + C 22nn 32n = 22n- 22n + Thí dụ 1: Chứng minh rằng: Giải �Xét khai triển: ( 1+ x) 2n = C 20n + C 21nx + C 22nx2 + C 23nx3 + +C 22nnx2n 2n 2 3 2n 2n �Chọn x = , ta có: = C 2n + C 2n +C 2n +C 2n + + C 2n (1) 2n 2 3 2n 2n �Chọn x = - 3, ta có: = C 2n - C 2n + C 2n - C 2n + - + C 2n (2) �Cộng vế theo vế (1) (2), ta được: ( 42n + 22n = C 20n + C 22n 32 + C 24n 34 + + C 22nn ) ( ) � C 20n + C 22n 32 +C 24n 34 + + C 22nn 32n = 22n- 22n + 1 n- n C Thí dụ 2: Chứng minh rằng: Giải �Xét khai triển: ( + x) n n- n + 2C 3 n- n + 3C (đpcm) n n + + nC = n.4n- = C n0 3n + C n1 3n- 1x + C n2 3n- 2x2 + C n3 3n- 3x3 + + C nnxn �Đạo hàm hai vế: n ( + x) n- = C n1 3n- + 2C n23n- 2x + 3C n3 3n- 3x2 + + nC nnxn- 1 n- �Chọn x = � C n C Thí dụ 3: Chứng minh rằng: Giải �Xét khai triển: ( n 1- x2 ( � x 1- x2 ) n ) + 2C n23n- + 3C n33n- + + nC nn = n.4n- C - n n + C n C - n ( n + + ) (- 1) C n n 2n + ( ) = (đpcm) 2( n + 1) ( = C n0 + C n1 - x2 + C n2 - x2 + + C nn - x2 ) n = xC n0 - x3C n1 + x5C n2 + + (- 1)n x2n+1C nn n �2 � - 1) C nn � n � ( x x4 x6 2 � �I =� x 1- x dx = � C n C n + C n + + � � n + � � � � � C n0 - ( C n1 ) + C n2 - C n3 ( - 1) + + n C nn 2n + = 2( n + 1) n+2 n+k A Thí dụ 4: Cho k �2 n số tự nhiên Chứng minh rằng: (đpcm) + Ann++k1 = k2Ann+k 60 Giải �Ta có: VT = ( n + k) ! ( n + k) ! + (n +k - = ( n + k) ! ( n + k) ! + ( k - 2) ! ( k - 1) ! n - 2) ! ( n + k - n - 1) ! � � � 1 � k - 1+ � � = ( n + k) !� + = ( n + k) ! � � � � � ( k - 2) ! ( k - 1) !� ( k - 1) ! � � ( n + k) ! k k = ( n + k) ! = k2 = k An+k = VP k! ( k - 1) ! Thí dụ 5: Cho n �k �2 n, k số tự nhiên Chứng minh rằng: k ( k - 1) C nk = n ( n - 1) C nk 22 Giải �Ta có: VP = n ( n - 1) = (n - n !k ( k - 1) ( n - 2) ! ( n - 2) ! = n ( n - 1) - k + 2) !( k - 2) ! ( n - k) !( k - 2) ! ( n - k) !( k - 2) !k ( k - 1) = k ( k - 1) n! = k ( k - 1) C nk = VT ( n - k) !k ! Thí dụ 6: Cho n �k + � n, k số tự nhiên Chứng minh rằng: nC nk = ( k + 1) C nk+1 + kC nk Giải �Ta có: n! n! +k ( k + 1) !.( n - k - 1) ! k !( n - k) ! � � n!� k � = � + k! � � (�n - k - 1) ! ( n - k) !� � n!n - k + k n! = =n = nC nk = VT k ! ( n - k) ! k !( n - k) ! VP = ( k + 1) Thí dụ 7: Cho n �k �3 n, k số tự nhiên Chứng minh rằng: C nk + 3C nk- + 3C nk- + C nk- = C nk+3 Giải ( ) C nk 11 + C nk- = C nk ; n �k + k �1 �k �� �Ta có: �Khi đó: VP = C nk+- 12 + C nk+2 = C nk+- 12 +C nk+- 11 +C nk+- 11 +C nk+1 = C nk+1 + 2C nk+- 11 +C nk+- 12 ( ) = C nk- + C nk + C nk- + C nk- + C nk- + C nk- k n k- n k- n k- n = C + 3C + 3C +C = VT Thí dụ 8: Cho n �k �0,n > n, k số tự nhiên Chứng minh rằng: 2C nk + 5C nk+1 + 4C nk+2 + C nk+3 = C nk++22 + C nk++33 61 Giải ( ) C nk 11 + C nk- = C nk ; n �k + k �1 �k �� �Ta có: �Khi đó: VP = C nk++12 + C nk++11 + C nk++23 + C nk++22 = C nk+2 + C nk+1 + C nk+1 + C nk + C nk++13 + C nk++12 + C nk++12 + C nk++11 = C nk + 2C nk+1 + C nk+2 + C nk++13 + 2C nk++12 + C nk++11 ( ) = C nk + 2C nk+1 + C nk+2 + C nk+3 + C nk+2 + C nk+2 + C nk+1 + C nk+1 + C nk k n k+1 n k+2 n k+3 n = 2C + 5C + 4C +C = VT Thí dụ 9: Cho n, k số nguyên dương Chứng minh hệ thức sau: PkAn2+1An2+3An2+5 = n.k !An5+5 Giải �Ta có: ( n + 1) ! ( n + 3) ! ( n + 5) ! ( n + 5) ! = k! ( n - 1) ! ( n + 1) ! ( n + 3) ! ( n - 1) ! ( n + 5) ! ( n + 5) ! = n.k ! = n.k ! = n.k !.A = VP n! ( n - 1) !n VT = k ! n+5 Thí dụ 10: Cho n, r , k số nguyên thỏa mãn n �r �k �0 Chứng minh hệ thức: C nr C rk = C nk C nr kk Giải �Ta có: n! r! n! = ( n - r ) !r ! ( r - k) !k ! k ! ( n - r ) !( r - k) ! n! = = C nk C nr kk = VP !( r - k) ! ( n - k) !k !� ( n - k) - ( r - k) � � � VT = n + 1� 1 � � � � � + = � k k + � C nk n, k � n + 2� C n+1 C n+1 � � Thí dụ 11: Chứng minh ( số nguyên dương, k k �n, C n số tổ hợp chập k n phần tử) (KB 2008) Giải �Ta có: 62 � n + k !( n + 1- k) !+ ( k + 1) !( n - k) ! n + 1� 1 � � � � k + k+1 �= � n + 2� C n+1 C n+1 � ( n + 1) ! � � n +2 = = = k !( n - k) ! � � n + 1- k) + ( k + 1) � ( � n +2 n! k !( n - k) ! C nk n! 1 2n- 22n - C 2n + C 2n + C 2n + + C 2n = 2n 2n + ( n số Thí dụ 12: Chứng minh rằng: k C nguyên dương, n số tổ hợp chập k n phần tử) (KA 2007) Giải �Ta có: ( 1+ x) = C +C x +C x + +C x ( 1- x) = C - C x +C x + +C x � ( 1+ x) - ( 1- x) = 2( C x +C x +C x + +C x ) ( 1+ x) - ( 1- x) dx = C x +C x +C x + +C x dx �� ) �( 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n n 2n 2n n 2n 2n 2n 5 2n- 2n- 2n 2n 1 2n 2n 5 2n 2n- 2n- 2n ( 1+ x) � � 2n - ( 1- x) 2n ( 1+ x) dx = 2n +1 - ( 1- x) 2n +1 2( 2n + 1) 22n - = (1) 2n + 1 3 5 2n- 2n- � �(C 2n x +C 2n.x +C 2n.x + +C 2n x )dx 2n � � x2 x x 2n- x � � =� C 2n +C 2n +C 2n + +C 2n � � � � 2n � � 1 1 = C 21n + C 23n + C 25n + + C 22nn- (2) 2n � Từ (1) (2), ta có điều phải chứng minh.r DẠNG 4: TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC m DẠNG 4.1: TÌM HỆ SỐ CỦA SỐ HẠNG CHỨA x TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC P (x) = ( f (x)) NEWTON CỦA PHƯƠNG PHÁP n 63 n Bước 1: Viết P (x) = �ak xg(k) k=0 m g(k) = m � k Bước 2: Số hạng chứa x tương ứng với Bước 3: Kết luận � � � x.3 x + x � � � Thí dụ 1: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển C nn + C nn- + C nn- = 79 Giải 28 15 n � � � ; < x �1) � � ( � , biết � n �2 � � � n �� �Điều kiện: � �Ta có: C nn + C nn- + C nn- = 79 � + n + n ( n - 1) = 79 � n = 12 � n + n - 156 = � � � n = 12 � n = - 13(loai ) � � 12 12 28 � 28 � 48k 12 � �4 � � k � � 15 � 15 � 15 � � x x + x = x + x = C x � � � � � � � � k=0 12 � � � � �Khi đó: � �Số hạng không chứa x x0 � 112 15 48k 112 = 0� k = 15 15 �Số hạng không chứa x số hạng thứ 8, có hệ số C 12 = 792 Thí dụ 2: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức biểu thức ( P (x) = + 2x + 3x2 Giải ) 10 �Ta có: ( P (x) = + 2x + 3x2 10 10- k k=0 i =0 ) 10 10 k = �C 10 ( 1+ 2x) k=0 i k 10- k ( 3x ) k 10 10- k k i k 2k+i = �C 10 x �C 10i - k ( 2x) x2k = ��C 10k C 10i - k 23 �Theo đề bài, ta có hệ: � 2k + i = � � � i , k Σ�-=== �, k 10, i � k=0 i =0 � k=0 � k =1 � k=2 � � �� �� �� � � 10 k i � i � i � � � 4 C 10 C 10 + C 10 C 923122 + C 10 C 80 3220 = 8085 �Vậy hệ số x4 khai triển Thí dụ 3: Cho đa thức P (x) = ( + x) + 2( + x) + 3( + x) + + 20( + x) P (x) số số hạng chứa x khai triển thành đa thức 20 Tìm hệ 15 Giải 64 �Ta có: 14 � P (x) = � � (�1+ x) + 2( 1+ x) + 3( 1+ x) + + 14( 1+ x) � � �15 k k � � �16 l � � �16 s � � +15� C 15x � + 16� C 16 � + 20� C 16 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �l =0 � � � k=0 s=0 �Khi hệ số số hạng chứa x15 là: 15 15 15 15 15 15 a15 = 15C 15 + 16C 16 + 17C 17 + 18C 18 + 19C 19 + 20C 20 = 400995 18 � 1� � � x - 2� � � � � 12 x � � Thí dụ 4: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức NewTon Giải � Khai triển nhị thức NewTon; ta có: 18 k 18 18 � 1� � � k k 18 k k � � � � � x - 2� = C x = C x18- 3k � � ( ) � � � 18 18 � � k=0 � k=0 � �x � � x � � � Chọn k thỏa mãn: 18 - 3k = 12 � k = � Vậy hệ số số hạng chứa x 12 ( - 1) khai triển C 182 = 153 r Thí dụ 5: Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển nhị thức NewTon 18 � 1� � � x - 2� � � � � � x � Giải � Khai triển nhị thức NewTon, ta có: 18 k 18 18 � 1� � � k k 18- k � � � � � � x = C x = C 18k ( - 1) x18- 3k � � � � 2 18 � � � �x � � k=0 � k=0 � x � � � Chọn k thỏa mãn: 18 - 3k = � k = ( - 1) C 186 = 18564 � Vậy số hạng không chứa x khai triển r n �1 � � � �3 + x � � � � x � � x Thí dụ 6: Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức NewTon , n+1 n C n+4 - C n+3 = 7( n + 3) biết Giải (1) � Giải phương trình (1) tìm n , ta có: ( n + 4) ! - ( n + 3) ! = n + C nn++41 - C nn+3 = 7( n + 3) � ( ) ( n + 1) !3! n !3! � ( n + 2) ( n + 3) ( n + 4) - ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) = 42( n + 3) � ( n + 2) ( n + 4) - ( n + 1) ( n + 2) = 42 � 3n + = 42 � n = 12 � Khai triển nhị thức NewTon; ta có: 65 12 12- k 12 �1 � �1 � 5� k � � � � � + x = C � � 3� 12 � � � � � � x x � � � k=0 � ( x) k 12 =�C 12.x k 60- 11k k=0 60 - 11k =8�k =4 � Chọn k thỏa mãn: � Vậy hệ số số hạng chứa x8 khai triển C 12 = 495 r n- 5 C = C n n n Thí dụ 7: Cho số nguyên dương thỏa mãn Tìm số hạng chứa x khai n � � nx � � � - � �, x � � �14 x � � triển nhị thức NewTon Giải �Điều kiện: n �� (KAA1 2012) * 5C nn- = C n3 � 5n = � � n ( n - 1) ( n - 2) �n=7 Khi đó: 2 2� � 7 � � � � � � - 1) C 7k 14- 3k ( nx x x k � � � � � =� - � = �C � � - � = x � - � � � � � � � � � � � � � � � � � � x� 27- k �14 x � �2 x � k=0 �2 � � k=0 �Số hạng chứa x5 tương ứng với 14 - 3k = � k = n 7- k ( - 1) �Do đố số hạng cần tìm C 73 Thí dụ 8: Tìm số hạng khơng chứa k x5 = - k 35 x 16 r x khai triển nhị thức NewTon 18 � 1� � � � 2x + � ( x > 0) � � � � x� (CĐ 2008) Giải 18 � 1� � � � x + � ( x > 0) � � � � � x �Số hạng tổng quát khai triển NewTon k 6k 18- k �1 � 18k k 18- k � � T k+1 = C 18.( 2x) � � = C 18.2 x � � � �x � �Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn: 6k 18 = � k = 15 15 �Vậy số hạng cần tìm T16 = C 18 = 6528.r Thí dụ 9: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức NewTon 10 ( + x) n , biết 3nC n0 - 3n- 1C n1 + 3n- 2C n2 - 3n- 3C n3 + + ( - 1) C nn = 2048 n 66 ( n số nguyên dương, Giải �Ta có: C nk số tổ hợp chập k n phần tử) (KB 2007) 3nC n0 - 3n- 1C n1 + 3n- 2C n2 - 3n- 3C n3 + + ( - 1) C nn = ( 3- 1) � 2048 = 2n � n = 11 n �Hệ số số hạng chứa x C 1110.21 = 22.r 10 ( + x) khai triển NewTon n 11 là: Thí dụ 10: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức của: x ( 1- 2x) + x2 ( 1+ 3x) 10 (KD 2007) Giải �Hệ số x khai triển x ( 1- 2x) ( - 2) C 54 3 �Hệ số x5 khai triển x2( 1+ 3x) 3.C 10 10 x ( 1- 2x) + x2 ( 1+ 3x) �Hệ số x khai triển ( - 2) 10 C 54 + 33C 103 = 3320 r Thí dụ 11: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức NewTon 26 n �1 � � � �4 + x � � � � x � � , biết ( n nguyên dương, Giải C 21n+1 +C 22n+1 + +C 2nn+1 = 220 - C n số tổ hợp chập k n phần tử) (KA 2006) k C +C 21n+1 +C 22n+1 + +C 2nn+1 = 220 (1) �Từ giả thiết suy ra: 2n+1 C 2kn+1 = C 22nn++11- k, " k,0 �k �2n + �Vì nên: C 20n+1 +C 21n+1 +C 22n+1 + +C 2nn+1 = (C 20n+1 +C 21n+1 +C 22n+1 + +C 22nn++11) (2) �Từ khai triển nhị thức NewTon ( 1+ 1) 2n+1 suy ra: C 20n+1 +C 21n+1 +C 22n+1 + +C 22nn++11 = ( 1+ 1) 2n+1 = 22n+1 (3) 2n 20 �Từ (1), (2) (3) suy ra: = � n = 10 �Ta có: 10 10 10 �1 � 10- k k 7� k -4 k 11k- 40 � � �4 + x � = �C 10.( x ) ( x ) = �C 10x � k=0 � x � � k =0 67 �Hệ số x26 C 10 với k thỏa mãn 11k - 40 = 26 � k = 6 �Vậy hệ số x26 C 10 = 210.r k DẠNG 4.2: TÍNH HỆ SỐ LỚN NHẤT TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON ( ax + b) CỦA m PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Tìm hệ số an ( n �m) số hạng tổng quát a < an+1 a > an+1 Bước 2: Giải bất phương trình n , suy n với ẩn số n Bước 3: Hệ số có giá trị lớn tương ứng với số tự nhiên lớn thỏa mãn bất phương trình ( 1+ 2x) Thí dụ 1: Cho khai triển a0,a1,a2, ,an thỏa mãn hệ thức a ,a ,a , ,an số n = a0 + a1x + + anxn a0 + , n �� hệ số * a1 a2 a + + + nn = 4096 2 Tìm số lớn (KA 2008) Giải f ( x) = ( 1+ 2x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn n �Đặt �� a1 a2 a � + + + nn = f � = 2n �� � � � 2 2 �� n �Từ giả thiết suy = 4096 = 212 � n = 12 ak = 2k.C 12k , ak+1 = 2k+1.C 12k+1 k � ,1 ,2 ,3 , ,11 { } �Với , ta có k k ak C k +1 23 < � k+1 12k+1 < � 1� k > ak+1 �Tương tự, �Do a8 > a9 > > a12 8 �Số lớn số a0,a1,a2, ,a12 a8 = C 12 = 126.720.r ( 3x + 2) = a Thí dụ 2: Xét khai triển {a ;a ;a ;a ; ;a } hệ số 0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a9x9 Tìm hệ số lớn Giải �Ta có: 68 ( 3x + 2) 9 = �C k=0 k ( 3x) k 29- k �Khi đó: ak = C ; k �{ 0;1;2;3;4;5; ;9} �Xét bất phương trình: k 9- k k ak < ak+1 � 3k.29- k.C 9k < 3k+1.28- k.C 9k+1 � 9! 9! < k !( - k) ! ( k + 1) !( 8- k) ! < � k < � k = 0;1;2;3;4 (do k nguyen) 9- k k + ak > ak+1 � k = � �Vậy �Vì thế: a0 < a1 < a2 < a3 < a4 < a5 = a6 > a7 > a8 > a9 �Từ đó: a5 = a6 = max {a0;a1;a2; ;a9} = 2C = 252 Thí dụ 3: Xét khai triển ( x + 2) max {a0;a1;a2;a3; ;an } = a10 n = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + anxn Tìm n để Giải �Từ giả thiết: a0 < a1 < a2 < < a9 < a10 > a11 > a12 > > an � a10 > a9 � (1) � � a > a 11 �Ta có hệ: �10 n �Theo khai triển nhị thức NewTon thì: n ( x + 2) = �C nkxk 2n- k k=0 k n- k �Khi đó: ak = C n ; k = 0, n � C n102n- 10 > C n92n- � (1) � � 10 n- 10 � C > C n112n- 11 � �n � n! 2.n ! � � > � � > � � 10! n 10 ! 9! n ! ) ( ) � �10 n - � 29 < n < 32 � n = 30 �n = 31 � ( �� � � � � n ! n ! � � > > � � � n - 10 11 10! n - 10) ! 11!( n - 11) ! � � � � ( DẠNG 5: TÍNH BẬC CỦA KHAI TRIỂN NEWTON VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN 3n- a Thí dụ 1: Với n số nguyên dương, gọi 3n- hệ số x khai triển thành đa (x thức ) n + ( x + 2) n a = 26n Tìm n để 3n- Giải �Vì n số nguyên dương nên n �1 � 3n - �0 �Theo công thức nhị thức NewTon, ta có: 69 ( 1+ x ) ( + x) n n = C n0 + C n1x2 + C n2x4 + + C nnx2n (1) = 2nC n0 + 2n- 1C n1x + 2n- 2C n2x2 + + C nnxn (2) �Nếu n = � 3n - = Trong trường hợp này, ta có: (x ) n ( n ) + ( x + 2) = x2 + ( x + 2) �Từ suy a0 = 26n n- �Mặt khác 26n 26 a3= Nên n = loại �Nếu n = lập luận tương tự trường hợp loại khả �Nếu n �3, từ (1) (2) suy hệ số x 3n- (x khai triển là: ( ) ( ) a3n- = C nn 23C nn + C nn- 2C nn- = 23 �Theo đề ta có phương trình: 4n ( n - 1) ( n - 2) n! 3!( n - 3) ! + 2n2 = ( ) 4n ( n - 1) ( n - 2) n + ( x + 2) n + 2n2 ) + 2n2 = 26n � n = n �3 �Vậy n = giá trị cần tìm Thí dụ 2: Tìm số tự nhiên n cho C 21n+1 - 2.2.C 22n+1 + 3.22C 23n+1 - 4.23C 24n+1 + + ( 2n + 1) 22nC 22nn++11 = 2013 Giải �Xét ( 1+ x) 2n+1 khai triển: = C 20n+1 + xC 21n+1 + x2C 22n+1 + x3C 23n+1 + + x2n+1C 22nn++11 �Đạo hàm hai vế: ( 2n + 1) ( 1+ x) 2n = C 21n+1 + 2xC 22n+1 + 3x2C 23n+1 + + ( 2n + 1) x2nC 22nn++11 �Chọn x = - 2, ta có: 2n + = C 21n+1 - 2.2.C 22n+1 + 3.22C 23n+1 - 4.23C 24n+1 + + ( 2n + 1) 22nC 22nn++11 � 2n + = 2013 � n = 1006 �Vậy n = 1006 70 ... Những to? ?n mà kết thay đổi ta thay đổi vị trí phần tử , to? ?n liên quan đến hoán vị chỉnh hợp Đối với to? ?n mà kết giữ nguyên ta thay đổi vị trí phần tử tốn tổ hợp CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Định... lý: Nếu hai biến cố A B độc lập với P ( AB ) = P ( A) P ( B ) B CÁC DẠNG TO? ?N TIÊU BIỂU THƯỜNG GẶP PHẦN 1: MỘT SỐ BÀI TO? ?N TỔ HỢP DẠNG 1: CHỌN MỘT NHĨM PHẦN TỬ TỪ TẬP HỢP Thí dụ 1: Một hộp đựng... 4320 - 600 = 3720 �Vậy có 3720 cách lập số thỏa mãn yêu cầu đề bài.r PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TO? ?N VỀ NHỊ THỨC NEWTON DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP PHƯƠNG PHÁP Bước