chuyên đề tổ hợp 4

Chuyên đề: Đại số tổ hợp Dạng 4 Phân chia một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Nội dung Nội dung  Dạng 4: • Dạng 4A. Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau • Dạng 4B. Tính số nghiệm nguyên của phương trình Dạng 4A Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau  Bài tập mẫu Bài 1. Có bao nhiêu cách chia 50 đồ vật giống nhau cho ba người sao cho mỗi người đười được ít nhất một đồ vật. Giải Giả sử ta đặt 50 đồ vật đã cho thành một hàng ngang, giữa chúng có 49 khoảng trống (xem hình minh hoạ). o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o người 1 người 2 người 3 Nếu đặt hai vạch một cách bất kỳ vào hai trong số 49 khoảng trống đó, ta được một phép chia 50 đồ vật ra làm ba phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Ba người lần lượt nhận số đồ vật trong ba phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán. Vậy số cách chia là số cách đặt hai vạch vào hai trong 49 khoảng trống. Ta được số cách chia là Đáp số: 1176 cách chia. = 2 49 C 1176 Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau  Lưu ý • Nếu chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật thì số cách chia là ( ) − − ≥ n 1 m 1 C m n . Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau  Bài tập tương tự - Bài tập 1 Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho bốn người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật. Giải Ta đem chia trước cho mỗi người 4 đồ vật. Số đồ vật còn lại là: 60 – 4.4 = 44 Bây giờ ta đem 44 đồ vật đó chia cho bốn người, mỗi người được ít nhất một đồ vật. Khi đó cùng với 4 đồ vật đã nhận trước, mỗi người được ít nhất 5 đồ vật, thoả mãn bài toán. Giả sử ta đặt 44 đồ vật đó thành một hàng ngang, giữa chúng có 43 khoảng trống (xem hình minh hoạ). o o . . o │ o o o o . . . o o │ o o . . o o o │ o o . . o o người 1 người 2 người 3 người 4 Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau  Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 1 (tt) Nếu đặt ba vạch một cách bất kỳ vào ba trong số 43 khoảng trống này, ta được một phép chia 44 đồ vật ra làm bốn phần, mỗi phần có ít nhất một đồ vật. Bốn người lần lượt nhận số đồ vật trong bốn phần tương ứng, ta được một cách chia thoả mãn bài toán. Vậy số cách chia là số cách đặt ba vạch vào ba trong 43 khoảng trống. Ta được số cách chia là Đáp số: 12341 cách chia. = 3 43 C 12341 Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau  Lưu ý: • Tính số cách chia m đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất k đồ vật (m ≥ kn). Cách giải • Ta chia trước cho mỗi người k –1 đồ vật. • Số đồ vật còn lại là s = m – n(k – 1) • Đem số đồ vật này chia cho n người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật, thì số cách chia là Mỗi cách chia như vậy thoả mãn bài toán. − − n 1 s 1 C . Một số bài toán về phân chia các phần tử của một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Dạng 4B Tính số nghiệm nguyên của phương trình  Bài tập mẫu Tính số nghiệm của phương trình x + y + z = 100 với x, y, z ∈ N*. Nhận xét Về bản chất mỗi nghiệm của phương trình tương ứng với một phép chia 100 đồ vật cho ba người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật. Lặp lại cách làm như hai bài tập trên, ta được số nghiệm của phương trình là Đáp số: 4851 nghiệm. = 2 99 C 4851. Tính số nghiệm nguyên của phương trình [...]... + 1, b = y + 1, c = z + 1, d = t + 1 ta được phương trình a + b + c + d = 1 04 (2) với a, b, c, d ∈ N* Mỗi nghiệm của PT (2) tương ứng với một nghiệm của PT (1) Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là 3 C103 = 176851 Đáp số: 176851 nghiệm Tính số nghiệm nguyên của phương trình  Lưu ý: Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm của phương trình x1 + x2 + … + xn = m với m, n, x1,... bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là n −1 Cm+n Tính số nghiệm nguyên của phương trình  Bài tập tương tự (tt) - Bài tập 2 Tính số nghiệm của phương trình x + y + z + t = 100 với x, y, z, t ∈ Z và x > - 2, y > - 1, z > 0, t > 1 Giải Đặt a = x + 2, b = y + 1, c = z, d = t – 1 ⇒a, b, c, d ≥ 1 Ta được phương trình a + b + c + d = 102 (2) với a, b, c, d ∈ N* Theo bài toán tổng quát...Tính số nghiệm nguyên của phương trình  Lưu ý Bài toán tổng quát: Tính số nghiệm của phương trình x1 + x2 + … + xn = m với m, n, x1, x2, … , xn ∈ N*; m ≥ n Giải Giả sử ta đặt m dấu chấm theo một hàng ngang, giữa chúng có m -1 khoảng trống (xem hình minh hoạ)... c = z, d = t – 1 ⇒a, b, c, d ≥ 1 Ta được phương trình a + b + c + d = 102 (2) với a, b, c, d ∈ N* Theo bài toán tổng quát trên, ta được số nghiệm của phương trình là 3 C101 = 166650 Nhắc lại bài toán tổng quát Tính số nghiệm của phương trình x1 + x2 + … + xn = m với m, n, x1, x2, … , xn ∈ N*, m ≥ n Cn−−11 Số nghiệm của phương trình là m oo o¦oooo oo¦oo ooo¦oo o o x1 x2 xn . Chuyên đề: Đại số tổ hợp Dạng 4 Phân chia một tập hợp gồm các phần tử giống nhau Nội dung Nội dung  Dạng 4: • Dạng 4A. Một số bài toán. người 4 đồ vật. Số đồ vật còn lại là: 60 – 4. 4 = 44 Bây giờ ta đem 44 đồ vật đó chia cho bốn người, mỗi người được ít nhất một đồ vật. Khi đó cùng với 4 đồ