HÀM SỐ LIÊN TỤC A MỤC TIÊU Kiến Thức - Học sinh biết khái niệm hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn; tính liên tục hàm số thường gặp tập xác định chúng - Học sinh biết đặc trưng hình học hàm số liên tục khoảng Kỹ - Học sinh biết cách xét hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn Thái độ - Tích cực, chủ động hợp tác hoạt động nhóm - Say mê hứng thú học tập tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn Năng lực hướng tới - Năng lực hợp tác: Tở chức nhóm học sinh hợp tác thực hoạt động - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức phương pháp giải tập tình - Năng lực giải vấn đề: Học sinh biết cách huy động kiến thức học để giải câu hỏi Biết cách giải tình học - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả báo cáo trước tập thể, khả thuyết trình B CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với nhiệm vụ học - Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề Học sinh - Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng phiếu học tập Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận nhóm sau thảo luận thống - Mỗi cá nhân hiểu trình bày kết luận nhóm cách tự học nhờ bạn nhóm hướng dẫn - Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn bạn có nhu cầu học tập C PHƯƠNG TIỆN, PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT DẠY HỌC Phương tiện dạy học - Máy chiếu, sử dụng phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho giảng Phương pháp dạy học - Phương pháp dạy học nêu vấn đề dạy học hợp tác D TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Hoạt động khởi động (3 phút) L1 Cho học sinh quan sát hình ảnh (máy chiếu) Yêu cầu học sinh tìm câu trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 H1 Theo em ảnh xe chạy thơng suốt (liên tục)? Hình Hình Cầu quay sơng Hàn – Đà Nẵng Hình Hình Hố tử thần xuất thành phố thành phố Fukuoka – Nhật Bản H2 Cho hai đồ thị hàm số Đồ thị vẽ nét liền? Hình Hình H3 Em đưa thêm số ví dụ hàm số học có đồ thị đường liền nét TXĐ nó? Đồ thị đường khơng liền nét TXĐ nó? + Thực - Các học sinh quan sát, suy nghĩ đưa phương án trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 - Giáo viên quan sát, theo dõi học sinh Giải thích câu hỏi học sinh không hiểu nội dung câu hỏi, đặc biệt câu hỏi H3 + Báo cáo, thảo luận - Gọi học sinh có câu trả lời trước, trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 - HS quan sát phương án trả lời bạn - HS đặt câu hỏi cho bạn để hiểu câu trả lời - GV quan sát, lắng nghe, ghi chép + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời HS, ghi nhận tuyên dương HS có câu trả lời tốt Động viên HS cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học - Dự kiến câu trả lời: TL1 Hình Hình phương tiện đường chạy thơng suốt (liên tục); Hình Hình “đường đứt đoạn” nên phương tiện đường không lưu thông TL2 Đồ thị Hình đường khơng liền nét mà bị đứt qng điểm có hồnh độ đồ thị Hình đường liền nét TL3 Đồ thị hàm số hàm số y = tan x, y = cot x y = x; y = x , y = sin x, y = cos x đường liền nét ¡ x0 ; ; Đồ thị có đồ thị khơng liền nét tập xác định - Tùy vào chất lượng câu trả lời HS, GV đặt vấn đề: Đồ thị hàm số đường liền nét ta nói hàm số liên tục, chưa biết đồ thị hàm số mà biết phương trình hàm số để xét tính liên tục hàm số ta làm nào? Đó nội dung học “Hàm số liên tục” Hoạt động hình thành kiến thức 2.1 Đơn vị kiến thức (Hàm số liên tục điểm) I Hàm số liên tục điểm + Khởi động: (5 phút) Yêu cầu học sinh làm phiếu học tập sau (kết hợp kiểm tra cũ, cho điểm học sinh) PHIẾU HỌC TẬP SỐ y = f ( x ) = x2 + Cho hàm số có đồ thị hình vẽ lim f ( x ) f ( −1) x →−1 a) Tính b) So sánh kết nhận xét đồ thị hàm số điểm x0 = −1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ x + x ≠ −1 y = g ( x) = 1 x = −1 2 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ g ( x) g ( −1) xlim →−1 a) Tính , b) So sánh kết nhận xét đồ thị hàm số điểm x0 = −1 + Thực - Học sinh đưa phương án trả lời cho câu hỏi phiếu học tập - Giáo viên quan sát, theo dõi học sinh Giải thích câu hỏi học sinh khơng hiểu nội dung câu hỏi + Báo cáo, thảo luận - Các học sinh đứng chỗ trả lời cho câu hỏi - HS quan sát phương án trả lời bạn - HS đặt câu hỏi cho bạn để hiểu câu trả lời + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: f ( x) x = −1 - Trên sở câu trả lời học sinh, GV kết luận: Hàm số liên tục đồ thị g ( x) x = −1 x = −1 hàm số đường liền nét ; hàm số gián đoạn đồ thị không liền nét (bị x = −1 đứt quãng) ; từ xác hóa định nghĩa hàm số liên tục điểm + Hình thành kiến thức: (5 phút) x0 y = f ( x) - Dựa vào ví dụ trên, em cho biết hàm số liên tục điểm nào? Hàm số x0 y = f ( x) không liên tục điểm nào? - GV tổng hợp, nhận xét câu trả lời HS chốt định nghĩa Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K x0 ∈ K Hàm số f(x) liên tục x0 lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Nếu hàm số f(x) không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn điểm * Nhận xét: Từ định nghĩa, hàm số không liên tục điểm x0 nào? (dự đốn bở sung câu trả lời) + Khi không tồn f ( x0 ) lim f ( x) ≠ f ( x0 ) + Khi x → x0 lim f (x) $ x®x0 + Khi khơng giới hạn hữu hạn hữa hạn + Củng cố: (10 phút) - Dựa vào định nghĩa hướng dẫn học sinh làm ví dụ (5 phút) Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra.(vd phiếu học tập số 2, em có tính trên) a Hàm số y = f ( x ) = x2 + x0 = −1 b Hàm số x + x ≠ −1 y = g ( x) = x = −1 2 x0 = −1 Hướng dẫn: a + Theo ĐN việc ta phải làm gì? TL: Tìm khoảng xđ K hàm số xem x o=-1 có thuộc khoảng K ko? TXĐ: D=R; xo = −1∈ D lim f ( x ) + Tiếp theo phải làm gì? TL: Tính f(-1) x →−1 f ( x ) = lim ( x + 1) = f (−1) = xlim →−1 x →−1 ; lim f ( x ) x →−1 + Sau tính tính f(-1) lim f ( x) = f ( −1) Ta thấy: x →−1 lim f ( x ) làm gì? TL: so sánh f(-1) y = f ( x) xo = −1 Vậy hàm số liên tục b Xét tương tự xo = −1 ∈ D TXĐ D=R; g (−1) = lim g ( x ) = lim ( x + 1) = x →−1 x →−1 ; lim g ( x) ≠ g ( −1) y = g ( x) Ta thấy: x →−1 x →−1 Vậy hàm số không liên tục xo = −1 - Yêu cầu học sinh hoạt động nhóm đơi (2 học sinh bàn nhóm) làm ví dụ 2: (3 phút) 1− cos x x ≤ f (x) = taïi xo = x + x > Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số Hướng dẫn giải: xo = ∈ D TXĐ D=R; f (0) = − cos = lim f ( x ) = lim− (1 − cos x) = − cos = lim f ( x ) = lim+ ( x + 1) = + = x → 0+ x →0 x → 0− x →0 Suy không tồn giới hạn hữu hạn hàm số x0 = Vậy hàm số không liên tục - Từ định nghĩa qua ví dụ 1, 2: nêu bước xét tính liên tục hàm số x0 ? điểm (2 phút) Để xét tính liên tục ta hàm số y=f(x) điểm xo làm bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số x0 ∉ D , KL: f(x) không liên tục x0 x0 = y = f ( x) x0 ∈ D , tiếp tục bước Bước 2: Tính f(x0) lim f (x) x®x0 Bước 3: Tìm Giới hạn khơng tồn KL: f(x) không liên tục x0 Giới hạn tồn tại, tiếp tục bước lim f ( x) f ( x0 ) x→ x Bước 4: So sánh lim f ( x) ≠ f ( x0 ) x → x0 lim f ( x) = f ( x0 ) , KL: f (x) không liên tục x0 x → x0 , KL: f (x) liên tục x0 2.2 Đơn vị kiến thức (Hàm số liên tục khoảng) II Hàm số liên tục khoảng +Khởi động: (2 phút) L1 Quan sát hình vẽ (máy chiếu) y = f ( x) y = g ( x) Hàm số xác định khoảng Hàm số xác định khoảng ( a; b ) x0 ∈ ( a; b ) ( a; b ) x0 ∈ ( a; b ) , , có đồ thị hình vẽ , , có đồ thị hình vẽ L2 Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi sau H1 Nêu nhận xét khác hai đồ thị hàm số ( a; b ) khoảng ? H2 Từ đồ thị trên, nhận xét tính liên tục hàm số thuộc khoảng ( a; b ) H3 Với giả thiết cho toán, theo em hàm số x=b y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) và y = g ( x) y = g ( x) điểm có liên tục điểm khơng? Tại sao? + Thực - Các học sinh suy nghĩ tìm phương án trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 x=a - Giáo viên quan sát, theo dõi học sinh Giải thích câu hỏi học sinh không hiểu nội dung câu hỏi + Báo cáo, thảo luận - Gọi học sinh đứng chỗ trả lời câu hỏi - Dự kiến câu trả lời: y = f ( x) y = g ( x) ( a; b ) TL1 Đồ thị hàm số đường liền nét khoảng ; đồ thị hàm số ( a; b ) x0 đường không liền nét khoảng , bị gián đoạn điểm có hồnh độ y = f ( x) y = g ( x) ( a; b ) TL2 Hàm số liên tục điểm thuộc khoảng ; Hàm số bị gián x0 đoạn điểm TL3 Nếu theo định nghĩa tính liên tục hàm số điểm với giả thiết tốn lim f ( x ) y = f ( x) f ( a) , f ( b) x=a x=b x →a− hàm số khơng liên tục chưa xác định , lim+ f ( x ) x →b + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - Trên sở câu trả lời học sinh, GV kết luận tính liên tục hàm số khoảng, nửa khoảng, đoạn +Hình thành kiến thức: (3 phút) Định nghĩa 2: y = f ( x) - Hàm số gọi liên tục khoảng liên tục điểm thuộc khoảng y = f ( x) ( a; b ) [a; b ] Hàm số gọi liên tục đoạn liên tục khoảng lim f ( x ) = f ( a ) lim− f ( x ) = f ( b ) x →a+ ; x →b - Khái niệm hàm số liên tục nửa khoảng, như: tương tự ( a; b] , [ a; +∞ ) , định nghĩa cách ( a; b] , [ a; +∞ ) , GV: Yêu cầu học sinh phát biểu khái niệm hàm số liên tục trên: Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền’’ khoảng Hàm số liên tục (a;b) +Củng cố (3 phút) Hàm số không liên tục (a;b) - Từ định nghĩa 2, yêu cầu học sinh làm ví dụ y = f ( x) = x − Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số tập xác định GV: Hướng dẫn giải: [ 1; +∞ ) TXĐ: D= Chứng minh hàm số liên tục tập xác định tức chứng minh liên tục nửa khoảng [ 1; +∞ ) -Với ⇒ xo ∈ ( 1; +∞ ) lim f ( x) = lim x − = xo − = f ( xo ) , ta có: x → xo x → xo ( 1; +∞ ) Hàm số liên tục khoảng Hàm số liên tục khoảng (*) ( 1; +∞ ) để hàm số liên tục lim+ f ( x) = f (1) [ 1; +∞ ) phải có đk gì?chứng x →1 minh liên tục phải Tức chứng minh lim f ( x) = lim x − = = f (1) x =1 -Tại ⇒ o , ta có f(1)=0 x →1+ x →1+ Hàm số liên tục x0=1 (**) Từ (*) (**) suy hàm số liên tục tập xác định Hoạt động luyện tập (5 phút) Yêu cầu học sinh suy nghĩa làm câu hỏi, em có câu trả lời nhanh gọi trả lời, hs khác nhận xét Gv chuẩn hóa cho điểm y = f ( x) = x Câu 1: Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Tìm khẳng định sai khẳng định sau: A Hàm số cho liên tục khoảng B Hàm số cho liên tục x = −2 C Hàm số cho liên tục khoảng D Hàm số cho liên tục x=0 ( −∞;0 ) ( 0; +∞ ) f ( x) = Câu 2: Các điểm gián đoạn hàm số 3x − x − 4x + : A x =1 B x = 1; x = x=3 C D x f ( x) = − x +a Câu 3: Giá trị tham số a để hàm số: A a = −12 x= B a = 12 C x ≤ x>2 liên tục a=2 D x0 = a = −2 Hoạt động vận dụng (5 phút) - Yêu cầu làm việc theo nhóm (cứ hai bàn quay lại với thành nhóm), lấy nhóm nhanh báo cáo - Cho học sinh nhóm khác nhận xét làm nhóm báo cáo - GV chuẩn hóa lời giải, cho điểm nhóm * Bài tốn: Trong nhà máy sản xuất cafe bột Trung Nguyên, giả sử dây chuyền sản xuất hoạt động qua hai công đoạn: Công đoạn 1: Thời gian sản xuất vận A B chuyển lô hàng từ đến cho f (t ) = 2t 0≤t ≤2 hàm số với Công đoạn 2: Thời gian sản xuất vận C B chuyển lô hàng từ đến cho f ( t ) = −t + a t>2 a hàm số với độ trễ thời gian công đoạn Xác định hệ số a cần cài vào máy công đoạn để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục 2t ≤ t ≤ f ( t) = −t + a t > TL Thời gian sản xuất dây chuyền cho hàm số f ( t) (0; +∞) ⇔ f ( t ) liên tục liên tục Để dây chuyền sản xuất hoạt động liên tục to = a = 12 (đã làm câu luyện tập) Mở rộng, tìm tịi sáng tạo: (2 phút) Tìm hiểu thêm lịch sử tốn học Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn đưa Cauchy Cauchy định nghĩa liên tục f sau: Một tăng vô nhỏ biến độc lập x luôn thay đổi tăng vô nhỏ f(x) Cauchy định nghĩa lượng vô nhỏ biến, định nghĩa ông ta gần với định nghĩa sử dụng ngày Định nghĩa thức phân biệt liên tục điểm liên tục đưa Bolzano vào năm 1830 điều khơng cơng bố đến năm 1930, Eduard Heine công bố lần định nghĩa liên tục năm 1872, dựa ý tưởng từ giảng Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854 Cauchy Eduard Heine Dirichlet E HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌC (3 phút) Các kiến thức cần nắm Định nghĩa hàm số liên lục điểm, khoảng, nửa khoảng, đoạn Các bước xét tính liên tục hàm số điểm ... TL: Tính f( -1) x →? ?1 f ( x ) = lim ( x + 1) = f (? ?1) = xlim →? ?1 x →? ?1 ; lim f ( x ) x →? ?1 + Sau tính tính f( -1) lim f ( x) = f ( ? ?1) Ta thấy: x →? ?1 lim f ( x ) làm gì? TL: so sánh f( -1) y = f... ) f ( ? ?1) x →? ?1 a) Tính b) So sánh kết nhận xét đồ thị hàm số điểm x0 = ? ?1 PHIẾU HỌC TẬP SỐ x + x ≠ ? ?1 y = g ( x) = ? ?1 x = ? ?1 2 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ g ( x) g ( ? ?1) xlim →? ?1 a) Tính... = f ( x) xo = ? ?1 Vậy hàm số liên tục b Xét tương tự xo = ? ?1 ∈ D TXĐ D=R; g (? ?1) = lim g ( x ) = lim ( x + 1) = x →? ?1 x →? ?1 ; lim g ( x) ≠ g ( ? ?1) y = g ( x) Ta thấy: x →? ?1 x →? ?1 Vậy hàm số không