HÀM số hàm số bậc NHẤT và bậc HAI (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa • Cho D Ì ¡ , D ¹ Ỉ Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x Ỵ D với số ¡ • x gọi biến số (đối số), y gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y = f ( x) • D gọi tập xác định hàm số f Cách cho hàm số • Cho bảng • Cho biểu đồ y = f ( x) • Cho cơng thức Tập xác định hàm số y = f ( x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x) có nghĩa Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f ( x) xác định tập D tập hợp tất điểm M ( x; f (x)) mặt phẳng toạ độ với x Ỵ D Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y = f ( x) đường Khi ta nói y = f ( x) phương trình đường Sư biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K • Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K " x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f (x1) < f (x2 ) • Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K " x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f (x1) > f (x2 ) Tính chẵn lẻ hàm số Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định D • Hàm số f gọi hàm số chẵn với " x Ỵ D - x Ỵ D f ( – x) = f ( x) • Hàm số f gọi hàm số lẻ với " x Ỵ D - x Ỵ D f ( – x) =- f ( x) Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Định lý: Cho ( G) đồ thị y = f ( x) p> 0, q> 0; ta có Tịnh tiến ( G) lên q đơn vị đồ thị y = f ( x) + q Tịnh tiến ( G) xuống q đơn vị đồ thị y = f ( x) – q Tịnh tiến ( G) sang trái p đơn vị đồ thị y = f ( x + p) 42 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Tịnh tiến ( G) sang phải p đơn vị đồ thị y = f ( x – p) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TỐN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải Tập xác định hàm số y = f (x) tập giá trị x cho biểu thức f (x) có nghĩa Chú ý : Nếu P(x) đa thức thì: * có nghĩa Û P(x) ¹ P(x) * * P(x) có nghĩa Û P(x) ³ P(x) có nghĩa Û P(x) > Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau x2 + a) y = x + 3x- A D = ¡ b) y = D D = ¡ \ { 1;4} B D = { - 1} C D = ¡ \ { - 1} D D = ¡ ( x +1) ( x2 + 3x + 4) 2x2 + x + x3 + x2 - 5x- ìï - 3- - 3+ 5ü ïï ï 2; D = ; A ý ùù 2 ùùỵ ợ ỡù ỹ ï - 2; - 3- ; - 3+ 5ïï D = ¡ \ B í ý ïï ùù 2 ợ ỵ C D = Ă ùỡù - 3- - 3+ 5ïü ï ; D D = ¡ \ í 2; ý ïï ïï 2 ợ ỵ d) y = 43 C D = Ă \ { 1;- 4} x +1 A D = ¡ \ { 1} c) y = B D = { 1;- 4} x ( x - 1) 2 - 2x2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïìï 2 A D = ¡ \ í ïï ỵ 2+ ; ; 22 ìï - + - 2 ï ; ; B D = ¡ \ í ïï 2 ỵ ìï - + ï ; ; C D = ¡ \ í ïï 2 ỵ ïìï - + ; ; D D = í ïï 2 ỵ 22 22 ; + ùỹ ù ý ùù ỵ ïï - 2 + 7ü ; ý ïï ỵ ; ; ùù + 7ỹ ý ùù ỵ + ùỹ ù ý ùù ỵ Li gii: ỡù x a) ĐKXĐ: x + 3x- ¹ Û ïí ùùợ x - Suy xỏc nh hàm số D = ¡ \ { 1;- 4} b) ĐKXĐ: ( x + 1) ( x + 3x + 4) ¹ Û x ¹ - Suy tập xác định hàm số D = ¡ \ { - 1} ìï x¹ ïï c) ĐKXĐ: x + x - 5x- ¹ Û í ïï x ¹ - 3± ïïỵ ïìï - 3- - 3+ 5ïü ï ; Suy tập xác định hàm số D = ¡ \ í 2; ý ùù ùù 2 ợ ỵ ( )( d) ĐKXĐ: ( x2 - 1) - 2x2 ¹ Û x2 - ) 2x- x2 + 2x- ¹ ìï 2± ï ìï x2 - 2x- 1¹ ïï x ¹ ï Û í Û ïí ïï x2 + 2x- 1¹ ïï - 2± ùợ ùù x ùợ Suy xỏc định hàm số ìï - + D = ¡ \ ïí ; ; ïï 2 ỵ 44 22 ; ïï + 7ỹ ý ùù ỵ http://dethithpt.com Website chuyờn thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 2: Tìm tập xác định hàm số sau a) y = x +1 (x- 3) 2x- ổ1 - ;+Ơ B D = ỗ ỗ ỗ è A D = ¡ \ { 3} é1 C D = ê ;+¥ ê ë2 ỉ1 ;+¥ D D = ỗ ỗ ỗ2 ố ữ ữ ữ\ { 3} ø A D = ¡ \ { 0;2} B D = é ë- 2; +¥ ) C D = ( - 2;+¥ ) \ { 0;2} D D = é ë- 2; +¥ ) \ { 0;2} b) y = c) y = ÷ \ { 3} ÷ ÷ ø ö ÷ ÷ ÷\ { 3} ø x+ 2 x x - 4x + 5- x x2 + 4x + A D = ¡ \ { - 1} ỉ 5ư - ; ữ ữ B D = ỗ ỗ ữ\ { - 1} ỗ ố 3ứ ộ 5ự C D = ê- ; ú ê ë 3ú û é 5ù D D = ê- ; ú\ { - 1} ê ë 3ú û d) y = x+ x2 - 16 A D = ( - ¥ ;- 2) È ( 2;+¥ C D=( - 4;4) ) B D = ¡ \ { - 4;4} D D = ( - ¥ ;- 4) È ( 4;+¥ ) Lời giải: ìï x ¹ Û a) ĐKXĐ: ïí ùợù 2x- 1> ỡù x ùù ùù x > ùợ ổ1 ;+Ơ Suy xỏc nh ca hm s l D = ỗ ç ç2 è 45 ÷ ÷ ÷\ { 3} ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x¹ ïï ï b) ĐKXĐ: í x - 4x + 4> Û ïï ïïỵ x + 2³ ïìï x¹ ïï í ( x- 2) > Û ïï ïï x ³ - ỵ ïìï x ¹ ïíï x ¹ ïï ïïỵ x ³ - Suy tập xác định hàm số D = é ë- 2;+¥ ) \ { 0;2} ìï ïï x £ ìï 5- x ³ ï Û íï ì Û c) ĐKXĐ: ïí ïï x + 4x + ¹ ùù ùù x - ợ ùù ớù ùợ ùợ x - ỡù ùù - Ê x £ ïï ïìï - £ x£ ï ïí x ¹ - Û í 3 ïï ïï x ¹ ïï x ¹ - ïỵ ïï ïỵ é 5ù Suy tập xác định hàm số D = ê- ; ú\ { - 1} ê ë 3ú û éx > d) ĐKXĐ: x - 16> Û x > Û ê êx é3m- ;+¥ tập xác định hàm số D = ê ê ë Do để hàm số có tập xác định é ë0;+¥ ) Û Vậy m= ÷ ÷ ÷ ø 3m- 4 = Û m= (thỏa mãn) giá trị cần tìm 3 Bài tập luyện tập : Bài 2.0 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = x- x- ) A D = é ë1;+¥ b) y = x + - x- A D = ( 1;+¥ c) y = C D = é ë1;+¥ ) \ { 2} D D = { 2} ) B D = ( - 2;+¥ ) B D = { 1} ) C D = ¡ D D = ( 2;+¥ ) C D = ¡ D D = ( - 1;¥ ) C D = ¡ \ { 3} D D = é ë- 1;+¥ C D = ( - ¥ ;2) D D = ¡ \ { 2} x- x + x +1 A D = ( 1;+¥ e) y = B D = ¡ \ { 2} x+1 x - x- A D = é ë- 1;+¥ ) \ { 3} B D = { 3} ) ìï ïï x ³ y = f ( x ) = f) í 2- x ïï ïïỵ 2- x x < A D = ¡ B D=( 2;+¥ ) Lời giải: ìï x ³ ìï x ³ Û ïí Û Bài 2.0: a) KX: ùớ ùù x ùùợ x ỵ 49 ì ïíï x ³ Þ TXĐ: D = ộ1; +Ơ ) \ { 2} ùùợ x ¹ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïì x + ³ Û b) ĐKXĐ: ïí ïỵï x- 1> ïìï x ³ - Û x > 1Þ TX: D = ( 1;+Ơ ùợù x > ) ỉ 1ư c) ĐKXĐ: x2 + x + 1ạ ỗ x+ ữ ữ + (đúng " x ) Þ TXĐ: D = ¡ ç ç ÷ è 2ø ìï x + 1³ Û e) ĐKXĐ: ïí ïïỵ x - x- ¹ ìï x ³ - ï ïíï x - ùù ùùợ x ì ïíï x ³ - 1Þ TXĐ: D = é- 1;+Ơ ) \ { 3} ùùợ x f) TXĐ: D = ¡ \ { 2} Bài 2.1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = 6- 3x - x- A D = ( 1;2) ù B D = é ë1;2û ù C D = é ë1;3û ù D D = é ë- 1;2û ù C D = é ë- 2;2û\ { 0} D D = ¡ \ { 0} é1 4ö ÷ B D = ê ; ÷ ÷ ê ë3 3ø é1 2ư ÷ C D = ê ; ÷ ÷ ê ë3 3ø ỉ 4ư - ¥; ÷ ÷ D D = ỗ ỗ ữ ỗ 3ứ ố ự B D = é ë1;6û ù C D = ¡ \ é ë1;6û D D = ( - ¥ ;6) C D = ¡ D D = ( - 2;+¥ 2- x + x + x b) y = ù A D = ( - 2;2) \ { 0} B D = é ë- 2;2û 3x- + 6x c) y = 4- 3x é2 4ư ÷ A D = ê ; ÷ ÷ ê ë3 3ø d) y = 6- x + 2x + 1+ x- A D = ( 1;+¥ e) y = ) 2x + ( x + 4) x+ A D = ¡ \ { - 4} f) y = 50 B D = ( - 3;+¥ ) ) x2 - 2x + x- x + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải B D = ( 0;+¥ A D = ¡ g) f (x) = C D = ¡ \ { 1;4} D D = ¡ \ { - 1;4} C D = ¡ é ÷ D D = ê- ;0÷ ÷ ê ë ø 1- 1+ 4x é ÷ A D = ê- ;0÷ ÷ ê ë ø h) y = ) é ÷ B D = ê- ;1÷ ÷ ê ë ø 2x2 x2 - 3x + A D = ( - ¥ ;1) B D = ( 2; +¥ C D = ( - ¥ ;1) È ( 2;+¥ ) ) D D = ( 1;2) Lời giải: ù Bài 2.1: a) D = é ë1;2û e) D = ( - 3;+¥ é ù\ { 0} c) D = ê2 ; 4÷ 2;2 ÷ b) D = é ÷ ë û ê ë3 3ø ì ïìï x2 - 2x + 3³ ïïï Û í f) ĐKXĐ: í ïï x- x + ¹ ïï ỵ ïỵ ) ( x- 1) ( )( x- ù d) D = é ë1;6û + 2³ ìï x ¹ Û íï x - ùùợ x ) Suy D = ¡ \ { 1;4} ïì 1- 1+ 4x > Û g) ĐKXĐ: ïí ïï 1+ 4x ³ ỵ ìï 1> 1+ 4x ïï é ö Û - £ x < Þ D = ê- ;0÷ ÷ í ê ïï x ³ 4 ữ ứ ùợ h) TX: D = ( - ¥ ;1) È ( 2;+¥ ) Bài 2.2: Tìm giá trị tham số m để: a) Hàm số y = x + 2m+ xác định ( - 1;0) x- m ém> A ê êm 1, x2 > 1Þ =- 3( x1 - x2 ) 3 = x2 - x1 - ( x2 - 1) ( x1 - 1) ( x2 - 1) ( x1 - 1) f ( x2) - f ( x1) x2 - x1 < nên hàm số y = nghịch biến khoảng ( 1;+¥ ) x- b) Vi mi x1 , x2 ẻ ( 1;+Ơ ) , x1 x2 ta cú ổ 1ử ữ ữ f ( x2) - f ( x1) = ỗ x + ỗ ữ ỗ ữ ỗ x ố 2ø Suy f ( x2 ) - f ( x1) x2 - x1 Vì x1 > 1, x2 > 1ị = 1- ổ ổ 1ử ữ ữ ç ç ÷ ÷ x + = x x ç ç ( ) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç x x x è è 1ø 2ø x1x2 f ( x2) - f ( x1) x2 - x1 > nên hàm số y = x + đồng biến khoảng ( 1;+¥ ) x Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 - a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số ( - ¥ ;0) ( 0;+¥ ) A hàm số y = f ( x) nghịch biến ( - ¥ ;0) B hàm số y = f ( x) đồng biến ( 0;+¥ ) 62 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải C.Cả A, B D.Cả A, B sai ù b) Lập bảng biến thiên hàm số é ë- 1;3û từ xác định giá trị lớn nhất, nhỏ ù hàm số é ë- 1;3û =5 A maxy é- 1;3ù ë û y =- B é- 1;3ù ë û C.Cả A, B D.Cả A, B sai Lời giải: TXĐ: D = R a) " x1 , x2 Ỵ ¡ , x1 < x2 Þ x2 - x1 > 2 2 Ta có T = f ( x2) - f ( x1) = ( x2 - 4) - ( x1 - 4) = x2 - x1 = ( x2 - x1) ( x1 + x2 ) Nếu x1 , x2 ẻ ( - Ơ ;0) ị T < Vậy hàm số y = f ( x) nghịch biến ( - ¥ ;0) Nếu x1 , x2 ẻ ( 0;+Ơ ) ị T > Vậy hàm số y = f ( x) đồng biến ( 0;+¥ ) ù b) Bảng biến thiên hàm số y = x2 - é ë- 1;3û x - - y = x2 - - Dựa vào bảng biến thiên ta có maxy = x= , y =- x= é- 1;3ù é- 1;3ù ë û ë û Ví dụ 3: Xét biến thiên hàm số y = 4x + + x- tập xác định Áp dụng tìm số nghiệm a) 63 4x + + x- = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm nghiệm b) B nghiệm C.3 nghiệm D.Vô B nghiệm C.3 nghiệm D.Vô 4x + + x- = 4x2 + + x A.1 nghiệm nghiệm Lời giải: ìï ïï x ³ - í Û x³ ïï ïỵ x ³ ìï 4x + 5³ Û * ĐKXĐ: ïí ïỵï x- 1³ Suy TXĐ: D = ộ ở1;+Ơ ) Vi mi x1 , x2 ẻ ộ ở1;+Ơ ) , x1 x2 ta cú f ( x2) - f ( x1) = 4x2 + + x2 - 1= 4( x2 - x1) 4x1 + 5- x1 - x2 - x1 + 4x2 + + 4x1 + x2 - 1+ x1 - ổ ữ ỗ ữ = ( x2 - x1) ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ x2 - 1+ x1 - 1ứ ỗ ố 4x2 + + 4x1 + Suy f ( x2 ) - f ( x1) x2 - x1 = 4x2 + + 4x1 + + x2 - 1+ x1 - >0 Nên hàm số y = 4x + + x- đồng biến khoảng é ë1;+¥ ) a) Vì hàm số cho ng bin trờn ộ ở1;+Ơ Nu x > 1ị f ( x) > f ( 1) hay Suy phương trình nên 4x + + x- > 4x + + x- = vô nghiệm Nếu x < 1Þ f ( x) < f ( 1) hay Suy phương trình ) 4x + + x- < 4x + + x- = vô nghiệm Với x= dễ thấy nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x = b) ĐKXĐ: x³ 64 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Đặt x2 + 1= t, t ³ 1Þ x2 = t - phương trình trở thành 4x + + x- = 4t + + t - Û f ( x) = f ( t) Nếu x > t Þ f ( x) > f ( t) hay 4x + + x- > 4t + + t - Suy phương trình cho vơ nghiệm Nếu x < t Þ f ( x) < f ( t) hay 4x + + x- < 4t + + t - Suy phương trình cho vơ nghiệm Vậy f ( x) = f ( t) Û x = t hay x2 + 1= x Û x2 - x + 1= (vơ nghiệm) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: · Hàm số y = f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) phương trình f ( x) = có tối đa nghiệm · Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (nghịch biến) D f (x) > f (y) Û x > y (x < y) f (x) = f (y) Û x = y " x, y Ỵ D Tính chất sử dụng nhiều tốn đại số giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình tốn cực trị Bài tập luyện tập Bài 2.9: Xét biến thiên hàm số sau: a) y = 4- 3x ổ 4ử - Ơ; ữ ữ A Hm s ng bin trờn ỗ ỗ ỗ ữ 3ứ ố ổ4 ;+Ơ B Nghch bin trờn khong ỗ ỗ ç è3 ÷ ÷ ÷ ø C.Cả A, B D.Cả A, B sai b) y = x2 + 4x- A hàm số nghịch biến ( - ¥ ;- 2) B hàm số đồng biến ( - 2;+¥ ) C.Cả A, B 65 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải D.Cả A, B sai c) y = ( - ¥ ;2) ( 2;+¥ x- ) A hàm số đồng biến ( - ¥ ;2) B hàm số nghịch biến ( 2;+¥ ) C.Cả A, B D.Cả A, B sai d) y = x ( - ¥ ;1) x- A hàm số nghịch biến ( - ¥ ;- 1) B hàm số đồng biến ( - ¥ ;- 1) C.Cả A, B D.Cả A, B sai Li gii: ổ ổ4 4ử - Ơ; ữ ;+Ơ ữv nghch bin trờn khong ỗ Bi 2.9: a) Hm s ng bin trờn ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ 3ø è è3 ÷ ÷ ÷ ø b) Với mi x1 , x2 ẻ Ă , x1 x2 ta có K= f ( x2 ) - f ( x1) x2 - x1 (x = 2 + 4x2 - 5) - ( x12 + 4x1 - 5) x2 - x1 = x1 + x2 + x1 , x2 ẻ ( - Ơ ;- 2) ị K < suy hàm số nghịch biến ( - ¥ ;- 2) x1 , x2 Ỵ ( - 2;+¥ ) Þ K > suy hàm số đồng biến ( - 2;+¥ ) c) Với x1 , x2 ẻ Ă , x1 x2 ta cú 66 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải f ( x2) - f ( x1) = 2( x1 - x2) 2 Þ K == ( x2 - 2) ( x1 - 2) x2 - x1 - ( x2 - 2) ( x1 - 2) Với x1 , x2 ẻ ( - Ơ ;2) ị K < hàm số nghịch biến ( - ¥ ;2) Vi x1 , x2 ẻ ( 2;+Ơ ) ị K < hàm số nghịch biến ( 2;+Ơ ) d) Vi mi x1 , x2 ẻ ( - Ơ ;1) , x1 x2 ta cú f ( x2) - f ( x1) = Suy x2 x1 x1 - x2 = x2 - x1 - ( x2 - 1) ( x1 - 1) f ( x2 ) - f ( x1) x2 - x1 = - Suy hàm số cho đồng biến ¡ · Ta có x3 - x = 2x + 1+ 1Û x3 + x = 2x + 1+ 2x + Đặt 67 2x + = y , phương trình trở thành x3 + x = y3 + y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Do hàm số f ( x) = x + x đồng biến ¡ nên x= yÞ é x =- ê 2x + = x Û x - 2x- 1= Û ê 1± êx = ê ë Bài 2.11: Cho hàm số y = x- 1+ x2 - 2x a) Xét biến thiên hàm số cho é ë1;+¥ A hàm số cho nghịch biến é ë1;+¥ B hàm số cho đồng biến é ë1;+¥ ) ) ) C.Cả A, B D.Cả A, B sai ù b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn é ë2;5û y = 17 , A max é2;5ù y=1 B é2;5ù ë û C.Cả A, B ë û D.Cả A, B sai Lời giải: Bài 2.11: a) Với mi x1 , x2 ẻ ộ ở1;+Ơ ) , x1 ¹ x2 ta có f ( x2) - f ( x1) = = ( x2 - x1 x2 - 1+ x1 - Suy ) ( x2 - 1+ x22 - 2x2 - +( x2 - x1) ( x2 + x1 - 2) f ( x2 ) - f ( x1) x2 - x1 ) x1 - 1+ x12 - 2x1 = x2 - 1+ x1 - + x2 + x1 - 2> Do hàm số cho đồng biến é ë1;+¥ b) Hàm số cho đồng biến é ë1;+¥ ) ) ù nên đồng biến é ë2;5û y = y( 5) = 17 Û x = , y = y( 2) = 1Û x = Vậy max é2;5ù é2;5ù ë û 68 ë û http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  DẠNG TỐN 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp giải · Cho hàm số y = f (x) xác định D Đồ thị hàm số f tập hợp tất điểm M (x; f (x)) nằm mặt phẳng tọa độ với x Î D Chú ý : Điểm M (x0 ; y0 ) Ỵ ( C) _ đồ thị hàm số y = f (x) Û y0 = f (x0 ) · Sử dụng định lý tịnh tiến đồ thị hàm số Các ví dụ minh họa ìï x2 + x > ïï f x = x + x + g x = Ví dụ 1: Cho hai hàm số ( ) ( ) ïí 2x- - £ x £ ïï ïïỵ 6- 5x x Û * Với x> ta có g( x) = 1Û ïí ïỵï x + 1= ïìï x > vơ nghiệm í ïỵï x = ïì - 2£ x £ Û Với - £ x £ ta có g( x) = 1Û ïí ïỵï 2x- 1= ìï x