HÀM số hàm số bậc NHẤT (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word

§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b ( a ¹ 0) Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡ · Hàm số số đồng biến a > nghịch biến a < Bảng biến thiên - ¥ x y = ax + b +¥ x - ¥ +¥ y = ax + b +¥ +¥ (a< ) ( a> ) - ¥ - ¥ Đồ thị Đồ thị hàm số y = ax + b ( a ¹ 0) đường thẳng có hệ số góc a , ct trc ổ b honh ti A ỗỗ- ; 0ữ ữ v trc tung ti B (0; b) ỗố a ÷ ø Chú ý: · Nếu a = Þ y = b hàm số hằng, đồ thị đường thẳng song song trùng với trục hoành · Phương trình x = a đường thẳng(nhưng khơng phải hàm số) vng góc với trục tọa độ cắt điểm có hồnh độ a · Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d qua điểm M (x0 ; y0 ) , phương trình đường thẳng d là: y - y0 = a (x - x0 ) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ Phương pháp giải 55 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải · Để xác định hàm số bậc ta sau Gọi hàm số cần tìm y = ax + b, a ¹ Căn theo giả thiết toán để thiết lập giải hệ phương trình với ẩn a, b , từ suy hàm số cần tìm · Cho hai đường thẳng d1 : y = a1 x + b1 d2 : y = a2 x + b2 Khi đó: ìï a = a2 a) d1 d2 trùng Û ïí ; ïïỵ b1 = b2 ïì a = a2 b) d1 d2 song song ùớ ; ùùợ b1 b2 c) d1 d2 cắt Û a1 ¹ a2 Và tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình ìï y = a1 x + b1 ïí ïïỵ y = a2 x + b2 d) d1 d2 vuông góc Û a1 a2 = - Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: a) d qua A(1; 3), B(2; - 1) A y = - 4x + B y = - 2x + C y = - 4x + D y = - 4x + b) d qua C(3; - 2) song song với D : 3x - y + = A y = x2 B y = 13 x2 C y = 3 x2 D y = 3 x+ 2 c) d qua M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy P , Q cho SD OPQ nhỏ A y = - 2x + B y = - 2x + C y = - 2x + D y = 2x - d) d qua N (2; - 1)và d ^ d ' với d ' : y = 4x + A y = - 1 x4 B y = - 1 x4 C y = - 1 x+ D y = 1 x4 Lời giải: Gọi hàm số cần tìm y = ax + b, a ¹ a) Vì A Ỵ d B Ỵ d nên ta có hệ phương trình 56 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï = a + b ïí Û ïïỵ - = 2a + b ìï a = - ïí ïïỵ b = Vậy hàm số cần tìm y = - 4x + ìï ïï a = ï b) Ta có D : y = x + Vì d / /D nờn ùù 2 ùù b ùợ (1) Mt khỏc C ẻ d ị - = 3a + b (2) ìï ïï a = ï Từ (1) (2) suy í ïï ïï b = ïỵ Vậy hàm số cần tìm y = 13 13 x2 æ b ö c) Đường thẳng d cắt trục Ox ti P ỗỗ- ; 0ữ ữ ữ v ct Oy Q (0; b) với a < 0, b > ỗố a ứ Suy SD OPQ = 1 b b2 (3) OP.OQ = - b = 2 a 2a Ta có M Ỵ d Þ = a + b Þ b = - a thay vào (3) ta SD OPQ = - (2 - a) 2a =- a - +2 a Áp dụng bất đẳng thức côsi ta cú - ổ 2ử ổ a a ỗ ữ - ỗỗ- ữ ữ ữ ữ.ốỗỗ- ứ ữ = ị SD OPQ ỗố a ø a ìï ïï - = - a Đẳng thức xảy í a a= - 2ị b= ùù ùợ a < Vậy hàm số cần tìm y = - 2x + d) Đường thẳng d qua N (2; - 1) nên - = 2a + b (4) Và d ^ d ' Þ 4.a = - Û a = 57 1 thay vào (4) ta b = - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy hàm số cần tìm y = - 1 x- Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + ( m tham số) a) Chứng minh hai đường thẳng d , d ' cắt tìm tọa độ giao điểm chúng A M (2 m - 1; 3m - 1) B M (m - 2; 3m - 2) C M (m + 1; 3m + 1) D M (m - 1; 3m - 1) b) Tìm m để ba đường thẳng d, d ' d " : y = - mx + phân biệt đồng quy A m = - B m = C m = D m = Lời giải: a) Ta có ad = ¹ ad ' = suy hai đường thẳng d , d ' cắt Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d , d ' nghiệm hệ phương trình ìï y = x + 2m ïí Û ïïỵ y = 3x + ìï x = m - ïí suy d , d ' cắt M (m - 1; 3m - 1) ïïỵ y = 3m - b) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có ém= 3m - = - m(m - 1)+ Û m2 + 2m - = Û ê êm = - ë · Với m = ta có ba đường thẳng d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2, phân biệt đồng quy M (0; 2) · Với m = - ta có d ' º d " suy m = - không thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : y = (m - 1)x + m d ' : y = (m2 - 1)x + a) Tìm m để hai đường thẳng d , d ' song song với A m = m = B m = m = C m = m = D m = m = b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A , d ' cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O A m = ± 58 B m = ± C m = ± D m = ± http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: a) Với m = ta có d : y = 1, d ' : y = hai đường thẳng song song với Với m = - ta có d : y = - 2x - 1, d ' : y = suy hai đường thng ny ct ti ổ M ỗỗ- ; 6ữ ữ ữ ỗố ứ Vi m ± hai đường thẳng đồ thị hàm số bậc nên song song ìï ém = ìï m - = m2 - ïï ê ém = với ïí Û ïí êëm = Û ê ờm = ùù ùù mạ ợ ùùợ m ¹ Đối chiếu với điều kiện m ¹ ± suy m = Vậy m = m = giá trị cần tìm ìï y = (m - 1)x + m ìï x = b) Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ ïí Û íï Þ A (0; m) ïï ïïỵ y = m x= ỵ ìï y = (m2 - 1)x + ìï (m2 - 1)x + = ï Tọa độ điểm B nghiệm hệ ïí (*) Û í ïï ïï y = y = ïỵ ïỵ Rõ ràng m = ± hệ phương trình (*) vơ nghiệm ìï ïï x = ỉ ÷ ; Với m ¹ ± ta có (*) Û ữ - m2 ị B ỗỗỗ ùù ố1 - m2 ữ ứ ùợ y = Do ú tam giác OAB cân O Û m = - m2 é m - m3 = Û m - m3 = Û êê êëm - m = - ém3 - m + = ém = - Û êê Û ê (thỏa mãn) êm= m m = êë ë Vậy m = ± giá trị cần tìm Bài tập luyện tập Bài 2.16: Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: 59 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) d qua A(1;1), B(3; - 2) A y = - x3 B y = - x+ 3 C y = - 2 x+ 3 D y = - x+ b) d qua C(2; - 2) song song với D : x - y + = A y = - x - B y = x - C y = x - D y = x - c) d qua M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy P , Q cho D OPQ cân O A y = x + 13 B y = x + C y = - x + D y = - x + d) d qua N (1; - 1)và d ^ d ' với d ' : y = - x + A y = x - B y = 2x - C y = 2x - D y = x - Lời giải: Bài 2.16: Gọi hàm số cần tìm y = ax + b, a a) Vỡ A ẻ d v B Ỵ d nên ta có hệ phương trình ìï = a + b ïí Û ïïỵ = - 2a + b ìï ïï a = - ï Þ y = - x+ í ï 3 ïïï b = ïỵ ìï a = b) Ta có D : y = x + Vì d / /D nên ïí ùùợ b Mt khỏc C ẻ d ị - = 2a + b Þ b = - Vậy hàm số cần tìm y = x - ỉ b c) Đường thẳng d cắt trc Ox ti P ỗỗ- ; 0ữ ữ ữ v cắt Oy Q (0; b) với a < 0, b > ỗố a ứ Ta cú OP = OQ Û - b = b Û b (a + 1) = Û a éb = 0(l) ê êa = - Ta cú M ẻ d ị = a + b Þ b = Vậy hàm số cần tìm y = - x + 60 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải d) Đường thẳng d qua N (1; - 1) nên - = a + b Và d ^ d ' Þ a = suy b = - Vậy hàm số cần tìm y = x - Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2 x + 5m + phân biệt đồng quy A m = - 5± B m = - ± 23 C m = - ± 33 D m = 5± 33 Lời giải: Bài 2.17: Tọa độ giao điểm(nếu có) hai đường thẳng d , d ' nghiệm hệ phương ìï y = 2x trình ïí Û ïïỵ y = - x + ìï x = ïí suy d , d ' cắt M (2; 4) ïïỵ y = Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có = m2 + m + Þ m + m - = Û m = Dễ thấy với m = Vậy m = - ± 33 - ± 33 ba đường thẳng phân biệt đồng quy - ± 33 giá trị cần tìm ➢ DẠNG TỐN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y = 3x + b) y = - x+ 2 Lời giải: a) TXĐ: D = ¡ , a = > suy hàm số đồng biến ¡ Bảng biến thiên 61 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải y +¥ - ¥ x +¥ y = 3x + - ¥ x -2 -1 O Đồ thị hàm số y = 3x + qua A (- 2; 0), B (- 1; 3) b) TXĐ: D = ¡ , a = - < suy hàm số nghịch biến ¡ y Bảng biến thiên 3/2 x - ¥ y = - x+ 2 +¥ +¥ O x - ¥ Đồ thị hàm số y = - x + qua A (3; 0), 2 æ 3ử B ỗỗ0; ữ ữ ữ ỗố ứ Vớ dụ Cho hàm số : y = 2x - 3, y = - x - 3, y = - a) Vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải: a) Đường thẳng y = 2x - qua điểm y ỉ3 A (0; - 3), B çç ; 0÷ ÷ çè ÷ ø Đường thẳng y = - x - qua điểm A (0; - 3), C (- 3; 0) Đường thẳng y = - song song với trục hồnh cắt trục tung điểm có tung độ -2 62 -3 -1 O -2 -3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x b) Đường thẳng y = 2x - 3, y = - x - cắt A (0; - 3) , Đường thẳng y = - x - 3, y = - cắt A ' (- 1; - 2) , Đường thẳng y = 2x - 3, y = - ct ổ1 ti A " ỗỗ ; ỗố 2÷ ÷ ÷ ø Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình y vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số é- 3; 3ù ë û -4 -3 -2 -1 O -1 b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số éë- 4; ùû x -2 Lời giải: -3 a) Bảng biến thiên hàm số éë- 3; 3ùû x - - 2 y b) Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có max = x = - é- 4;2ù ë û = x = é ù - ë- 4;2û Bài tập luyện tập Bài 2.18: Cho hàm số : y = - 2x + 3, y = x + 2, y = a) Vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải: 63 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.18: a) Đồ thị hàm số y = - 2x + qua ổ3 A (0; 3), B ỗỗ ; 0ữ ữ ữ ỗố ứ y th hàm số y = x + qua A ' (0; 2), B ' (- 2; 0) Đồ thị hàm số y = ỉ 3ư qua M çç0; ÷ ÷ song song với trục çè ÷ ø -2 O x hồnh ỉ1 b) Giao điểm hai đồ thị hàm số y = - 2x + 3, y = x + l M1 ỗỗ ; ữ ữ ỗố 3 ữ ø Giao điểm hai đồ thị hàm số y = - 2x + 3, y = Giao điểm hai đồ thị hàm số y = x + 2, y = ổ3 l M2 ỗỗ ; ữ ữ ữ ỗố ứ ổ 3ử l M2 ỗỗ- ; ữ ữ ữ ỗố 2 ø Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình vẽ) y a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số éë- 3; 3ùû b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số éë- 2; ùû -3 -2 -1 O x Lời giải: -3 Bài 2.19: a) Bảng biến thiên hàm số éë- 3; 3ùû x - - 2 y 64 - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) Ta có - b D = - ,=2a 4a Bảng biến thiên x - ¥ y = x + 3x + +¥ - +¥ +¥ - ỉ 1ư Suy đồ thị hàm số y = x2 + 3x + cú nh l I ỗỗ- ; - ữ ữ, i qua cỏc im ỗố ữ ứ A (- 2; 0), B (- 1; 0), C (0; 2), D (- 3; 2) Nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng hướng y bề lõm lên b) Ta có - b = 2a 2, - D = 4a Bảng biến thiên O x - ¥ +¥ y = - x2 + 2x - ¥ - ¥ Suy đồ thị hàm số y = - x2 + 2x có đỉnh I ( ( ) 2; , qua điểm ) O (0; 0), B 2; Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 - 6x + 85 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung đường thẳng y = m đồ thị hàm số A B C D c) Sử dụng đồ thị, nêu khoảng hàm số nhận giá trị dương A B C D d) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cho éë- 1; 5ùû A B C D Lời giải: a) Ta có - b D = 3, =- 2a 4a y Bảng biến thiên - ¥ x +¥ y=m m +¥ +¥ y = x2 - x + - O -1 Suy đồ thị hàm số y = x2 + 3x + có đỉnh I (3; - 1) , qua điểm A (2; 0), B (4; 0) Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm lên b) Đường thẳng y = m song song trùng với trục hồnh dựa vào đồ thị ta có Với m< - đường thẳng y = m parabol y = x2 - 6x + không cắt 86 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x Với m = - đường thẳng y = m parabol y = x2 - 6x + cắt điểm(tiếp xúc) Với m> - đường thẳng y = m parabol y = x2 - 6x + cắt hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hồn tồn trục hồnh Do hàm số nhận giá trị dương x ẻ (- Ơ ; 2)ẩ (4; + Ơ ) d) Ta có y (- 1) = 15, y (5) = 13, y (3) = - , kết hợp với đồ thị hàm số suy max y = 15 x = - é- 1;5ù ë û y = - x = é ù ë- 1;5û Bài tập luyện tập Bài 2.32: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x2 - 3x + b) y = - 2x2 + 4x Lời giải: Bài 2.32: a) Ta có - b D = ,=2a 4a y Bảng biến thiên x - ¥ y = x2 - 3x + +¥ +¥ +¥ O x Suy đồ thị hàm số ỉ3 y = x2 - 3x + cú nh l I ỗỗ ; - ữ ữ ữ, i qua ỗố ứ cỏc điểm A (2; 0), B (1; 0), C (0; 2), D (3; 2) Nhận đường thẳng x = 87 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Ta có - b D = 1, = 2a 4a y Bảng biến thiên x - ¥ +¥ O y = - x2 + 2x - ¥ - ¥ Suy đồ thị hàm số y = - 2x2 + 4x có đỉnh I (1; 2) , qua điểm O (0; 0), B (2; 0) Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống Bài 2.33: Cho hàm số y = - x2 - 2x + a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m hai điểm phân biệt A m< B m < C m < D m < c) Sử dụng đồ thị, nêu khoảng hàm số nhận giá trị âm d) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cho éë- 3;1ùû Lời giải: Bài 2.33: a) Ta có - b D = - 1, =4 2a 4a Bảng biến thiên x - ¥ - +¥ y 4 y = - x2 - x + - ¥ 88 - ¥ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word nhất1có lời giải x -3 x Suy đồ thị hàm số y = - x2 - 2x + có đỉnh I (- 1; 4) , qua điểm A (1; 0), B (- 3; 0) Nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống b) Đường thẳng y = m song song trùng với trục hồnh dựa vào đồ thị ta có Với m < đường thẳng y = m parabol y = - x2 - 2x + cắt hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trục hồnh Do hàm số nhận giá tr õm v ch x ẻ (- Ơ ; - 3)È (1; + ¥ ) d) max y = x = - é- 3;1ù ë û y = x = - 3, x = é ù ë- 3;1û ➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số sau ìï x - x ³ a) y = ïí ïïỵ - x + x x < b) y = x2 - x - y Lời giải ìï x - x ³ a) Đồ thị hàm số y = ïí gồm : ïïỵ - x + x x < + Vẽ đường thẳng y = x - qua A (2; 0), B (0; - 2) lấy phần nằm bên phải đường thẳng x = O x + Parabol y = - x2 + 2x có đỉnh I (1; 2) , trục đối xứng x = , qua điểm O (0; 0), C (2; 0) lấy phần đồ thị y nằm bên trái đường thẳng x = 89 -1 O http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x ỉ1 b) Vẽ parabol (P ) đồ thị hàm số y = x2 - x - cú nh I ỗỗ ; - ữ ữ ữ, trc i xng ỗố ø x= , qua điểm A (- 1; 0), B (2; 0), C (0; - 2), D (1; - 2) Khi đồ thị hàm số y = x2 - x - gồm + Phần parabol (P ) nằm phía trục hồnh phần đối xứng (P ) nằm trục hoành qua trục hồnh Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x - x + b) y = x2 - x + c) y = x - x + y d) y = x2 - 4x - x - + Lời giải: a) Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = x - x + có đỉnh ỉ3 I ỗỗ ; - ữ ữ ữ, trc i xng x = , i qua cỏc im ỗố ø -2 -1 O 2 x y A (1; 0), B (2; 0), C (0; 2), D (3; 2) Bề lõm hướng lên Khi đồ thị hàm số y = x - x + (P1 ) gồm phần bên phải trục tung (P ) phần lấy đối xứng qua trục tung -2 -1 O b) Đồ thị hàm số y = x2 - x + (P2 ) gồm phần x y phía trục hồnh (P1 ) phần đối xứng (P1 ) nằm phía trục hồnh qua trục hoành c) Đồ thị hàm số y = x - x + (P3 ) có từ việc tịnh tiến (P1 ) đơn vị lên phái song song với O x trục tung y d) Ta có y = x2 - x - x - + - = (x - 2) - x - + - 90 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải O -1 x Do tịnh tiến (P1 ) sang phải hai đơn vị song song với trục hoành ta đồ thị hàm số y = (x - 2) - x - + , tiếp tục tịnh tiến xuống đơn vị song song với trục tung ta đồ thị hàm số y = (x - 2) - x - + - Bài tập luyện tập Bài tập 2.34: Vẽ đồ thị hàm số sau ìï x - x x ³ a) y = ïí ïï - x + x + x < ỵ b) y = - x2 + x + Lời giải: ìï x - x x ³ Bài 2.34: a) Đồ thị hàm số y = ïí gồm : ïï - x + x + x < ỵ ỉ1 ö + Parabol y = x2 - x có nh I ỗỗ ; - ữ , trc i xng x = , i qua cỏc im ữ ữ ỗố ø O (0; 0), A (1; 0) lấy phần đồ thị nằm bên phải đường thẳng x = ỉ1 + Parabol y = - x2 + x + có đỉnh I ỗỗ ; ữ ữ, trc i xng x = , i qua cỏc im ỗố ữ ứ B (- 1; 0), C (2; 0) lấy phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng x = b) Vẽ parabol (P ) đồ thị hàm số y = - x2 + 2x + có đỉnh I (1; 4) , trục đối xứng x = , qua điểm A (- 1; 0), B (3; 0), C (0; 3), D (2; 3) Khi đồ thị hàm số y = - x2 + x + gồm phần parabol (P ) nằm phía trục hồnh phần đối xứng (P ) nằm trục hoành qua trục hoành Bài 2.35: Vẽ đồ thị hàm số sau a) y = - x - x + ìï - x2 - x + x ³ ï b) y = í ïï - x - x + x < ïỵ Lời giải: 91 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.35: a) Vẽ đồ thị hàm số (P) : y = - x - x + có đỉnh I (- 1; - 4) , trục đối xứng x = - , qua điểm A (1; 0), B (- 3; 0), C (0; 3), D (- 2; 3) Bề lõm hướng xuống Khi (P1 ) đồ thị hàm số y = - x - x + gồm phần bên phải trục tung (P ) phần lấy đối xứng qua trục tung b) Gọi (P2 ) phần đồ thị (P ) nằm trục hoành lấy đối xứng phần nằm trục hồnh qua trục Ox ìï - x2 - x + x ³ ï Vậy đồ thị hàm số y = í gồm phần bên đồ thị bên phải đường ïï - x - x + x < ïỵ thẳng x = (P2 ) phần đồ thị bên trái đường thẳng x = (P1 ) ➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Phương pháp giải Dựa vào đồ thị(bảng biến thiên) hàm số y = ax2 + bx + c (a ¹ 0) ta thấy đạt giá b trị lớn nhất, nhỏ éëa ; b ùû điểm x = a x = b x = Cụ thể: 2a TH 1: a > * Nếu - b ộ ự b ẻ ởa ; b ỷị f ( x) = f (); max f ( x) = max {f (a ), f (b )} é ù éa ; b ù 2a 2a ëa ; b û ë û * Nếu - b é ù Ï a ; b Þ f ( x) = {f (a ), f (b )}; max f ( x) = max {f (a ), f ( b )} éa ; b ù 2a ë û éëa ;b ùû ë û TH 2: a < : * Nếu - * Nếu - b é ù b Ỵ ëa ; b ûÞ max f ( x) = f (); f ( x) = {f (a ), f (b )} éa ; b ù é ù a ; b 2a 2a ë û ë û b é ù Ï a ; b Þ f ( x) = {f (a ), f (b )}; max f ( x) = max {f (a ), f ( b )} éa ; b ù 2a ë û éëa ;b ùû ë û Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho phương trình x + (m + 3)x + m2 - = , m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 P = 5( x1 + x2 ) - x1 x2 giá trị lớn Lời giải: 92 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có D ' = (m + 3) - (m2 - 3) = 6m + 12 Phương trình có nghiệm Û D ' ³ Û 6m + 12 ³ Û m ³ - ìï x + x = - (m + 3) Theo định lý Viét ta có ïí ïï x1 x2 = m2 - ỵ P = - 10 (m + 3)- (m2 - 3) = - 2m2 - 10m - 24 Xét hàm số y = - 2x2 - 10x - 24 với x Î éë- 2; + ¥ ) Bảng biến thiên +¥ x - - - 12 y = - 2x2 - 10x - 24 - ¥ Suy max y = - 12 x = - é- 2;+ ¥ ë ) Vậy m = - giá trị cần tìm y = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x4 + 2x2 + - 3 x2 + + Lời giải: Đặt t = x + 1, t ³ Þ t = x4 + 2x2 + Khi hàm số trở thành y = t - 3t + với t ³ Bảng biến thiên x +¥ 93 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải +¥ - y = t - 3t + - Suy giá trị nhỏ hàm số y = hay t= x2 + = x + x + - 3 x + + - 19 Û x= ± Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x4 - 4x2 - éë- 1; 2ùû Lời giải: Đặt t = x2 Với x Ỵ éë- 1; 2ùû ta có t Î éë0; 4ùû Hàm số trở thành f (t) = t - 4t - với t Ỵ éë0; 4ùû Bảng biến thiên t - - y = t - 3t + - ét = éx= Suy max y = max f (t) = - ê hay ê é- 1;2ù é0;4ù êt = êx = ± ë û ë û ë ë y = f (t) = - t = hay x = ± é ù é- 1;2ù ë û ë- 1;2û Ví dụ 4: Cho số thực a, b thoả mãn ab ¹ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a2 b2 a b + - - + b2 a2 b a Lời giải: 94 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Đặt t = t2 = a b a b a b a b = 2, + Ta có t = + = + ³ b a b a b a b a a2 b2 a2 b2 + + Þ + = t2 - b2 a2 b2 a2 Ta có P = t - - t + = t - t - é Xét hàm số f (t) = t - t - vi t ẻ (- Ơ ; - 2ù ûÈ ë2; + ¥ ) Bảng biến thiên - ¥ t - 2 +¥ +¥ +¥ f (t) = t - t - 1 Từ bảng biến thiên ta có P = (- ¥ ;- 2ùûÈ éë2;+ ¥ ) f (t) = t = hay = a b + Û a= b b a Ví dụ 5: Cho số x, y thoả mãn: x2 + y2 = + xy Chứng minh £ x4 + y - x2 y £ Lời giải: Đặt P = x4 + y - x2 y 2 Ta có P = ( x + y )2 - 3x y = (1 + xy) - 3x y = - x y + xy + Đặt t = xy , P = - 2t + 2t + ìï x + y ³ xy ìï + xy ³ 2xy ïí Vì ïí nên Û - £ xy £ ïï x + y ³ - xy ïïỵ + xy ³ - 2xy ỵ Do - £ t £ 95 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é ù Xét hàm số f (t) = - 2t + 2t + ê- ;1ú êë úû Ta có - b = , ta có bảng biến thiên 2a t - f (t) = - 2t + 2t + 1 Từ bảng biến thiên ta có f (t ) = é ù ê- ;12ú êë ú û £ P £ max f (t ) = é ù ê- ;1ú êë ú û Suy điều phải chứng minh Bài tập luyện tập Bài 2.36: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số a) y = x4 - 2x2 éë- 2;1ùû b) y = x4 + 2x3 - x [- 1;1] Lời giải: é ù Bài 2.36: a) t t = x2 , x ẻ ộở- 2;1ự ỷị t Ỵ ë0; 4û Xét hàm số f (t) = t - 2t , t Ỵ éë0; 4ù û Suy max y = Û x = - 2, y = - Û x = ± [-2;1] [-2;1] b) Ta có y = x4 + 2x3 - x = ( x2 + x)2 - ( x2 + x) Đặt t = x2 + x Xét hàm số t = x2 + x với x Ỵ [- 1;1] Ta có - b = - , bảng biến thiên 2a 96 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải t - - 2 t = x2 + x Suy t = é- 1;1ù ë û - £ t £ max t = é- 1;1ù ë û é ù Khi đó, hàm số viết lại : f (t) = t - t với t Ỵ ê- ; 2ú êë ú û Bảng biến thiên t - 16 f (t) = t - t - Từ bảng biến thiên ta có éx= max y = max f (t ) = t = hay x2 + x = Û ê é ù êx = - [- 1;1] ê- ; 2ú ë êë ú û y = f (t ) = [- 1;1] é ù ê- ; 2ú êë ú û 1 - 1± t = hay x2 + x = Û 2x2 + 2x - = Û x = 2 Bài 2.37:Cho x, y số thực thoả mãn: 2( x2 + y2 ) = xy + Chứng minh : 18 70 £ 7( x4 + y ) + 4x2 y £ 25 33 Lời giải: 97 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é ù Bài 2.37: Ta có: 7( x4 + y ) + 4x2 y = ê(x2 + y ) - 2x2 y ú+ 4x2 y êë ú û éỉxy + 1ư2 ù ÷ - x2 y ú+ x2 y = é- 33 (xy)2 + 14 xy + = ờờỗỗ ữ ỳ ữ 4ở ứ ờởỗố ữ ú û Ta có xy + = 2( x2 + y ) ³ xy Þ xy £ ù ú= (- 33t + 14t + ), t = xy û Mặt khác 2( x2 + y ) = xy + Û (x + y) = 5xy + Þ xy ³ - Xét hàm số f (t) = Ta có max f (t) = é 1ù ê- ; ú êë ú û - 33t + 14t + 7), t Ỵ ( é 1ù ê- ; ú êë ú û 70 18 Û t= , f (t) = Û t= 33 33 éê- ; ùú 25 êë ú û Bài 2.38: Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = (4 x2 + y)(4 y + 3x)+ 25xy Lời giải: Bài 2.38: Do x + y = nên : S = 16 x2 y + 12 (x + y )+ 9xy + 25xy é ù = 16 x2 y + 12 ê(x + y) - 3xy (x + y)ú+ 34 xy ë û = 26x2 y2 - 2xy + 12 Đặt t = xy , ta được: S = 16t - 2t + 12; £ xy £ (x + y) = ị tẻ ộ 1ự ờ0; ỳ ờở ú û é 1ù Xét hàm số f (t ) = 16t - 2t + 12 đoạn ê0; ú ta tìm êë úû Giá trị lớn S 98 25 ; http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìï x + y = ï Û (x; y) = Khi ïí ïï xy = ùợ ổ1 ỗỗ ; ữ ữ ữ ỗố 2 ứ Giỏ tr nh nht ca S 191 ; Khi 16 ìï x + y = ïí ïïỵ xy = 16 ỉ2 + - ÷ ÷ Û (x; y) = ççç ; ÷hoặc (x; y) = çè 4 ÷ ÷ ø 99 æ2 - + ÷ ỗỗ ữ ; ữ ỗỗ ữ ø ÷ è http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... Chứng minh a2 + b2 + c £ a2 b + b2c + c a + Lời giải: Bài 2.26: Ta có a2 + b2 + c £ a2 b + b2 c + c a + Û (b - 1)a + b c + c a + - b - c ³ Vì £ a £ Þ a ³ a2 Þ (b - 1)a2 + b2 c + c a + - b - c ³... = x2 + 2x + D y = x2 – 2x + c) (P) cắt trục tung điểm có tung độ có đỉnh S (- 2; - 1) A y = x2 + 4x + B y = 2x2 + 4x + C y = x2 + 4x + D y = x2 + 4x + Lời giải: ìï = + b + c ìï b + c = - Bài. .. Tức ta có x - 2(3m - 1)x + m + ³ ( x - 2)2 ³ (đúng với " x Î éë1; + ¥ ) ) Vậy ta giải xong tốn §3: HÀM SỐ BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm số bậc hai hàm số có dạng y = ax + bx + c (a