THÔNG TIN TÀI LIỆU
§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b ( a ¹ 0) Sự biến thiên · TXĐ: D = · Hàm số số đồng biến a > nghịch biến a < Bảng biến thiên -¥ x y = ax + b +¥ x -¥ +¥ y = ax + b +¥ (a>0 ) +¥ (a ỗố a ữứ 1 b b2 Suy SDOPQ = OP.OQ = - b = (3) 2 a 2a Ta có M ẻ d ị = a + b ị b = - a thay vào (3) ta (2 - a) SDOPQ = - 2a a =- - +2 a Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có a - - ³2 a ổ ửữ ổ a ửữ ỗỗ- ữ ỗỗ- ữ = ị S DOPQ ỗố a ữứ ỗố ø÷ ìï ïï- = - a Đẳng thức xảy í a Û a = -2 ị b = ùù ùợ a < Vậy hàm số cần tìm y = -2 x + d) Đường thẳng d qua N (2; -1) nên -1 = 2a + b (4) Và d ^ d ' Þ 4.a = -1 Û a = 57 1 thay vào (4) ta b = - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 1 Vậy hàm số cần tìm y = - x - Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d : y = x + m , d ' : y = x + ( m tham số) a) Chứng minh hai đường thẳng d , d ' cắt tìm tọa độ giao điểm chúng A M (2 m - 1; 3m - 1) B M (m - 2; 3m - 2) C M (m + 1; 3m + 1) D M (m - 1; 3m - 1) b) Tìm m để ba đường thẳng d , d ' d " : y = -mx + phân biệt đồng quy A m = -1 B m = C m = D m = Lời giải: a) Ta có ad = ¹ ad ' = suy hai đường thẳng d , d ' cắt Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d , d ' nghiệm hệ phương trình ìï y = x + m ìï x = m - ïí Û ïí suy d , d ' cắt M (m - 1; 3m - 1) ïïỵ y = x + ïïỵ y = 3m - b) Vì ba đường thẳng d , d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có é m=1 3m - = -m (m - 1) + Û m2 + m - = Û ê ê m = -3 ë · Với m = ta có ba đường thẳng d : y = x + 2, d ' : y = x + 2, d " : y = -x + 2, phân biệt đồng quy M (0; 2) · Với m = -3 ta có d ' º d " suy m = -3 không thỏa mãn Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : y = (m - 1) x + m d ' : y = (m2 - 1) x + a) Tìm m để hai đường thẳng d , d ' song song với A m = m = B m = m = C m = m = D m = m = b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A , d ' cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O A m = ±4 58 B m = ±2 C m = ±3 D m = ±1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: a) Với m = ta có d : y = 1, d ' : y = hai đường thẳng song song với Với m = -1 ta có d : y = -2 x - 1, d ' : y = suy hai đường thng ny ct ti ổ M ỗỗ- ; 6ữữữ ốỗ ứ Vi m hai đường thẳng đồ thị hàm số bậc nên song song ìïé m = ém = ïìïm - = m2 - ïïïê Û íêë m = Û ê với í êm = ïï ïï mạ6 ợ ùùợ m i chiu vi điều kiện m ¹ ±1 suy m = Vậy m = m = giá trị cần tìm ì ìx=0 ï y = (m - 1) x + m ï b) Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ ï Ûï Þ A (0; m) í í ï ï x=0 ï ï îy = m î ì ï y = (m2 - 1) x + ì ï(m2 - 1) x + = ï Û Tọa độ điểm B nghiệm hệ ï (*) í í ï ï y = y = ï ï ï ï ỵ î Rõ ràng m = ±1 hệ phương trình (*) vơ nghiệm ìï ïïx = ỉ ư÷ ; Với m ¹ ±1 ta có (*) Û í ữ - m2 ị B ỗỗỗ ùù ố - m2 ữứ ùợ y = Do ú tam giác OAB cân O Û m = - m2 é m - m3 = Û m - m3 = Û êê êë m - m = -6 é m - m + = é m = -2 Û êê Ûê (thỏa mãn) ê m=2 m m = ë ëê Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Bài tập luyện tập Bài 2.16: Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng d Tìm hàm số biết: 59 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải a) d qua A(1;1), B(3; -2) A y = - x 3 B y = - x + 3 2 C y = - x + 3 D y = - x + b) d qua C(2; -2) song song với D : x - y + = A y = -x - B y = x - C y = x - D y = x - c) d qua M(1; 2) cắt hai tia Ox , Oy P , Q cho DOPQ cân O A y = x + 13 B y = x + C y = -x + D y = -x + d) d qua N (1; -1) d ^ d ' với d ' : y = -x + A y = x - B y = x - C y = x - D y = x - Lời giải: Bài 2.16: Gọi hàm số cần tìm y = ax + b , a a) Vỡ A ẻ d v B Ỵ d nên ta có hệ phương trình ìï ïïa = - ìï = a + b ù ị y =-2 x+ ùớ ùợù3 = -2 a + b ïï 3 ïï b = ïỵ ìïa = b) Ta có D : y = x + Vì d / /D nờn ùớ ùùợb Mt khỏc C Î d Þ -2 = a + b Þ b = -4 Vậy hàm số cần tìm y = x - ỉ b c) Đường thẳng d ct trc Ox ti P ỗỗ- ; 0ữữữ v cắt Oy Q (0; b) với a < 0, b > ỗố a ứ ộ b = 0(l) b Ta có OP = OQ Û - = b Û b (a + 1) = Û ê ê a = -1 a ë Ta có M Ỵ d Þ = a + b Þ b = Vậy hàm số cần tìm y = -x + 60 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải d) Đường thẳng d qua N (1; -1) nên -1 = a + b Và d ^ d ' Þ a = suy b = -2 Vậy hàm số cần tìm y = x - Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d : y = x , d ' : y = -x + 6, d '' : y = m2 x + 5m + phân biệt đồng quy A m = -5 ± B m = -5 ± 23 C m = -5 ± 33 D m = ± 33 Lời giải: Bài 2.17: Tọa độ giao điểm(nếu có) hai đường thẳng d , d ' nghiệm hệ phương ì ì ï y = 2x ïx = Ûï trình ï suy d , d ' cắt M (2; 4) í í ï ï y = -x + ï ïy = ỵ ỵ Vì ba đường thẳng d , d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có = m + 5m + Þ m + 5m - = Û m = Dễ thấy với m = Vậy m = -5 ± 33 -5 ± 33 ba đường thẳng phân biệt đồng quy -5 ± 33 giá trị cần tìm DẠNG TỐN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x + b) y = - x + 2 Lời giải: a) TXĐ: D = , a = > suy hàm số đồng biến Bảng biến thiên 61 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải y -¥ x +¥ +¥ y = 3x + -¥ x -2 -1 O Đồ thị hàm số y = x + qua A (-2; 0) , B (-1; 3) b) TXĐ: D = , a = - < suy hàm số nghịch biến y Bảng biến thiên x -¥ y =- x+ 2 +¥ 3/2 +¥ O x -¥ Đồ thị hàm số y = - x + qua A (3; 0) , 2 ổ 3ử B ỗỗ0; ữữữ çè ø Ví dụ Cho hàm số : y = x - 3, y = -x - 3, y = -2 a) Vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải: a) Đường thẳng y = x - qua điểm y ỉ3 A (0; -3) , B ỗỗ ; 0ữữữ ốỗ ứ Đường thẳng y = -x - qua điểm A (0; -3) , C (-3; 0) Đường thẳng y = -2 song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ -2 62 -3 -1 O -2 -3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x b) Đường thẳng y = x - 3, y = -x - cắt A (0; -3) , Đường thẳng y = -x - 3, y = -2 cắt A ' (-1; -2) , Đường thẳng y = x - 3, y = -2 cắt ỉ1 A " ỗỗ ; -2ữữữ ỗố ứ Vớ d 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình y vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số é-3; 3ù ë û b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số éë-4; 2ùû -4 -3 -2 -1 O -1 x -2 Lời giải: -3 a) Bảng biến thiên hàm số éë-3; 3ùû x -3 -2 y b) Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có max = x = -4 é-4;2ù ë û -2 = x = é ù ë-4;2û Bài tập luyện tập Bài 2.18: Cho hàm số : y = -2 x + 3, y = x + 2, y = a) Vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số Lời giải: 63 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.18: a) Đồ thị hàm số y = -2 x + qua ỉ3 A (0; 3) , B ỗỗ ; 0ữữữ ỗố ứ y Đồ thị hàm số y = x + qua A ' (0; 2) , B ' (-2; 0) Đồ thị hàm số y = ỉ 3ư qua M ỗỗ0; ữữữ v song song vi trc ỗố ø -2 O x hồnh ỉ1 7ư b) Giao điểm hai đồ thị hàm số y = -2 x + 3, y = x + M1 ỗỗ ; ữữ ỗố 3 ữứ Giao im hai đồ thị hàm số y = -2 x + 3, y = Giao điểm hai đồ thị hàm số y = x + 2, y = æ 3ử l M ỗỗ ; ữữ ỗố ÷ø ỉ 3ư M ỗỗ- ; ữữữ ỗố 2 ứ Bi 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình vẽ) y a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số éë-3; 3ùû b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số éë-2; 2ùû -3 -2 -1 O x Lời giải: Bài 2.19: a) Bảng biến thiên hàm số éë-3; 3ùû -3 x -3 -1 2 y 64 -3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) Ta có - b D =- , - =2a 4a Bảng biến thiên x -¥ y = x2 + 3x + +¥ - +¥ +¥ - ỉ 1ư Suy đồ thị hàm số y = x + x + có nh l I ỗỗ- ; - ữữữ , i qua cỏc im ỗố ứ A (-2; 0) , B (-1; 0) , C (0; 2) , D (-3; 2) Nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng hướng y bề lõm lên b) Ta có - b D = 2, - = 2a 4a Bảng biến thiên -¥ x O +¥ y = -x + 2 x -¥ -¥ Suy đồ thị hàm số y = -x + 2 x có đỉnh I ( O (0; 0) , B 2; ) ( ) 2; , qua điểm Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống Ví dụ 2: Cho hàm số y = x - x + 85 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung đường thẳng y = m đồ thị hàm số A B C D c) Sử dụng đồ thị, nêu khoảng hàm số nhận giá trị dương A B C D d) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cho éë-1; 5ùû A B C D Lời giải: a) Ta có - b D = 3, - = -1 2a 4a y Bảng biến thiên x -¥ +¥ +¥ y=m m +¥ y = x2 - 6x + -1 O -1 Suy đồ thị hàm số y = x + x + có đỉnh I (3; -1) , qua điểm A (2; 0) , B (4; 0) Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm lên b) Đường thẳng y = m song song trùng với trục hồnh dựa vào đồ thị ta có Với m < -1 đường thẳng y = m parabol y = x - x + không cắt 86 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x Với m = -1 đường thẳng y = m parabol y = x - x + cắt điểm(tiếp xúc) Với m > -1 đường thẳng y = m parabol y = x - x + cắt hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trục hồnh Do hàm số nhận giá trị dng v ch x ẻ (-Ơ; 2) ẩ (4; +¥) d) Ta có y (-1) = 15, y (5) = 13, y (3) = -1 , kết hợp với đồ thị hàm số suy max y = 15 x = -1 é-1;5ù ë û y = -1 x = é ù ë-1;5û Bài tập luyện tập Bài 2.32: Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x - x + b) y = -2 x + x Lời giải: Bài 2.32: a) Ta có - b D = , - =2a 4a y Bảng biến thiên x -¥ y = x2 - 3x + +¥ +¥ +¥ O điểm A (2; 0) , B (1; 0) , C (0; 2) , D (3; 2) Nhận đường thẳng x = 87 Suy đồ x thị hàm số ỉ 1ư y = x - x + có nh l I ỗỗ ; - ữữ , i qua çè ÷ø làm trục đối xứng hướng bề lõm lên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Ta có - b D = 1, - = 2a 4a y Bảng biến thiên x -¥ +¥ O y = -x + 2 x -¥ -¥ Suy đồ thị hàm số y = -2 x + x có đỉnh I (1; 2) , qua điểm O (0; 0) , B (2; 0) Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống Bài 2.33: Cho hàm số y = -x - x + a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m hai điểm phân biệt A m < B m < C m < D m < c) Sử dụng đồ thị, nêu khoảng hàm số nhận giá trị âm d) Sử dụng đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số cho éë-3;1ùû Lời giải: Bài 2.33: a) Ta có - b D = -1, - = 2a 4a Bảng biến thiên x -¥ -1 +¥ y 4 y = -x - x + -¥ 88 -¥ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word -3 có lời giảix x Suy đồ thị hàm số y = -x - x + có đỉnh I (-1; 4) , qua điểm A (1; 0) , B (-3; 0) Nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống b) Đường thẳng y = m song song trùng với trục hồnh dựa vào đồ thị ta có Với m < đường thẳng y = m parabol y = -x - x + cắt hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trục hoành Do hàm số nhận giá trị âm ch x ẻ (-Ơ; -3) ẩ (1; +Ơ) d) max y = x = -1 é-3;1ù ë û y = x = -3, x = é ù ë-3;1û DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số sau ì x ³ ï x-2 a) y = ï í ï ï ỵ-x + x x < Lời giải b) y = x - x - y ì x ³ ï x-2 a) Đồ thị hàm số y = ï gồm : í ï x + x x < ï ỵ + Vẽ đường thẳng y = x - qua A (2; 0) , B (0; -2) lấy phần nằm bên phải đường thẳng x = + Parabol y = -x + x có đỉnh I (1; 2) , trục đối xứng x = , qua điểm O (0; 0) , C (2; 0) lấy phần đồ thị O x y nằm bên trái đường thẳng x = 89 -1 O http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x ỉ 5ö b) Vẽ parabol ( P) đồ thị hàm số y = x - x - có nh I ỗỗ ; - ữữữ , trc i xng ốỗ ứ x= , i qua cỏc điểm A (-1; 0) , B (2; 0) , C (0; -2) , D (1; -2) Khi đồ thị hàm số y = x - x - gồm + Phần parabol ( P) nằm phía trục hoành phần đối xứng ( P) nằm trục hồnh qua trục hồnh Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x - x + b) y = x - x + c) y = x - x + y d) y = x - x - x - + Lời giải: ỉ 1ư a) Vẽ đồ thị hàm số ( P) : y = x - x + cú nh I ỗỗ ; - ữữữ ỗố ứ , trc i xứng x = , qua điểm 2 -2 -1 O Khi đồ thị hàm số y = x - x + ( P1 ) gồm phần qua trục tung 2 x y A (1; 0) , B (2; 0) , C (0; 2) , D (3; 2) Bề lõm hướng lên bên phải trục tung ( P) phần lấy đối xứng -2 -1 O b) Đồ thị hàm số y = x - x + ( P2 ) gồm phần phía x y trục hồnh ( P1 ) phần đối xứng ( P1 ) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh c) Đồ thị hàm số y = x - x + ( P3 ) có từ việc tịnh tiến ( P1 ) đơn vị lên phái song song với O x trục tung y d) Ta có y = x - x - x - + - = ( x - 2) - x - + - 90 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải O -1 x Do tịnh tiến ( P1 ) sang phải hai đơn vị song song với trục hoành ta đồ thị hàm số y = ( x - 2) - x - + , tiếp tục tịnh tiến xuống đơn vị song song với trục tung ta đồ thị hàm số y = ( x - 2) - x - + - 2 Bài tập luyện tập Bài tập 2.34: Vẽ đồ thị hàm số sau ì ï x2 - x x ³ ï a) y = í ï ï ỵ-x + x + x < b) y = -x + x + Lời giải: ì ï x2 - x x ³ Bài 2.34: a) Đồ thị hàm số y = ï gồm : í ï x + x + x < ï ỵ ỉ 1ư + Parabol y = x - x cú nh I ỗỗ ; - ÷÷÷ , trục đối xứng x = , qua cỏc im ỗố ứ O (0; 0) , A (1; 0) lấy phần đồ thị nằm bên phải đường thẳng x = ỉ1 9ư + Parabol y = -x + x + cú nh I ỗỗ ; ữữ , trc i xng x = , i qua cỏc im ỗố ÷ø B (-1; 0) , C (2; 0) lấy phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng x = b) Vẽ parabol ( P) đồ thị hàm số y = -x + x + có đỉnh I (1; 4) , trục đối xứng x = , qua điểm A (-1; 0) , B (3; 0) , C (0; 3) , D (2; 3) Khi đồ thị hàm số y = -x + x + gồm phần parabol ( P) nằm phía trục hoành phần đối xứng ( P) nằm trục hoành qua trục hoành Bài 2.35: Vẽ đồ thị hàm số sau a) y = -x - x + ì ï ï -x - x + x ³ b) y = í ï ï ï ỵ-x - x + x < Lời giải: 91 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 2.35: a) Vẽ đồ thị hàm số ( P) : y = -x - x + có đỉnh I (-1; -4) , trục đối xứng x = -1 , qua điểm A (1; 0) , B (-3; 0) , C (0; 3) , D (-2; 3) Bề lõm hướng xuống Khi ( P1 ) đồ thị hàm số y = -x - x + gồm phần bên phải trục tung ( P) phần lấy đối xứng qua trục tung b) Gọi ( P2 ) phần đồ thị ( P) nằm trục hoành lấy đối xứng phần nằm trục hoành qua trục Ox ì ï ï -x - x + x ³ Vậy đồ thị hàm số y = í gồm phần bên đồ thị bên phải đường ï x x + x < ï ï ỵ thẳng x = ( P2 ) phần đồ thị bên trái đường thẳng x = ( P1 ) DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT Phương pháp giải Dựa vào đồ thị(bảng biến thiên) hàm số y = ax + bx + c ( a ¹ 0) ta thấy đạt giá b trị lớn nhất, nhỏ éëa ; b ùû điểm x = a x = b x = - Cụ thể: 2a TH 1: a > * Nếu - b ộ b ẻ ởa ; b ựỷ ị f ( x) = f (- ); max f ( x) = max { f (a ), f (b )} é ù éa ; b ù 2a 2a ëa ; b û ë û * Nếu - b é Ï a ; b ùû Þ f ( x) = { f (a ), f (b )} ; max f ( x) = max { f (a ), f (b )} éa ; b ù éa ; b ù 2a ë ë û ë û TH 2: a < : * Nếu * Nếu - b é b Î ëa ; b ùû Þ max f ( x) = f (- ); f ( x) = { f (a ), f (b )} éa ; b ù é ù a ; b 2a 2a ë û ë û b é Ï a ; b ùû Þ f ( x) = { f (a ), f (b )} ; max f ( x) = max { f (a ), f (b )} éa ; b ù éa ; b ù 2a ë ë û ë û Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho phương trình x + (m + 3) x + m2 - = , m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 P = 5( x1 + x2 ) - x1 x2 giá trị lớn Lời giải: 92 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có D ' = (m + 3) - (m2 - 3) = m + 12 Phương trình có nghiệm Û D ' ³ Û m + 12 ³ Û m ³ -2 ìïx + x = -2 (m + 3) Theo định lý Viét ta có ïí ïï x x = m2 - ỵ P = -10 (m + 3) - (m2 - 3) = -2 m2 - 10 m - 24 Xét hàm số y = -2 x - 10 x - 24 vi x ẻ ộở-2; +Ơ) Bng biến thiên x - -2 +¥ -12 y = -2 x - 10 x - 24 -¥ Suy max y = -12 x = -2 é-2; +¥) ë Vậy m = -2 giá trị cần tìm y = Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x + x + - 3 x + + Lời giải: Đặt t = x + 1, t ³ Þ t = x + x + Khi hàm số trở thành y = t - 3t + với t ³ Bảng biến thiên x +¥ 93 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải +¥ -1 y = t - 3t + - Suy giá trị nhỏ hàm số y = x + x + - 3 x + + t= hay x2 + = 19 Û x=± Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x - x - éë-1; 2ùû Lời giải: Đặt t = x Với x Ỵ éë-1; 2ùû ta có t Ỵ éë 0; 4ùû Hàm số trở thành f (t ) = t - 4t - với t Ỵ éë 0; 4ùû Bảng biến thiên t -1 -1 y = t - 3t + -1 ét = é x=0 Suy max y = max f (t ) = -1 ê hay ê é-1;2ù é0;4ù êt = ê x = ±2 ë û ë û ë ë y = f (t ) = -1 t = hay x = ± é ù é-1;2ù ë û ë-1;2û Ví dụ 4: Cho số thực a , b thoả mãn ab ¹ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a2 b2 a b + - - +1 b2 a2 b a Lời giải: 94 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a b a b a b a b Đặt t = + Ta có t = + = + ³ =2, b a b a b a b a t2 = a2 b2 a2 b2 + + Þ + = t2 - b2 a2 b2 a2 Ta có P = t - - t + = t - t - Xét hàm số f (t ) = t - t - vi t ẻ (-Ơ; -2ựỷ ẩ éë 2; +¥) Bảng biến thiên -2 -¥ t +¥ +¥ +¥ f (t ) = t - t - 1 Từ bảng biến thiên ta có P = (-¥ ;-2ùû È éë 2;+¥) a b f (t ) = t = hay = + Û a = b b a Ví dụ 5: Cho số x , y thoả mãn: x + y = + xy Chứng minh £ x4 + y - x2 y £ Lời giải: Đặt P = x + y - x y Ta có P = ( x + y )2 - x y = (1 + xy) - x y = -2 x y + xy + Đặt t = xy , P = -2t + 2t + ìï x + y ³ xy ìï + xy ³ xy ïí Vì ïí nên Û - £ xy £ ïïx + y ³ -2 xy ïïỵ1 + xy ³ -2 xy ỵ Do - £ t £ 95 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é ù Xét hàm số f (t ) = -2t + 2t + ê- ;1ú êë úû Ta có - b = , ta có bảng biến thiên 2a t - 3 f (t ) = -2t + 2t + 1 Từ bảng biến thiên ta có f (t ) = é ù ê- ;12ú êë úû £ P £ max f (t ) = é ù ê- ;1ú êë úû Suy điều phải chứng minh Bài tập luyện tập Bài 2.36: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số a) y = x - x éë-2;1ùû b) y = x + x - x [-1;1] Lời giải: Bài 2.36: a) Đặt t = x , x Ỵ éë-2;1ùû Þ t Ỵ éë 0; 4ùû Xét hàm số f (t ) = t - 2t , t Ỵ éë 0; 4ùû Suy max y = Û x = -2, y = -1 Û x = ±1 [-2;1] [-2;1] b) Ta có y = x + x - x = ( x + x)2 - ( x + x) Đặt t = x + x Xét hàm số t = x + x với x Ỵ [-1;1] Ta có - 96 b = - , bảng biến thiên 2a http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải t -1 - 2 t = x2 + x - t = - £ t £ max t = Suy é-1;1ù é-1;1ù ë û ë û é ù Khi đó, hàm số viết lại : f (t ) = t - t với t Ỵ ê- ; 2ú êë úû Bảng biến thiên t - 2 16 f (t ) = t - t - Từ bảng biến thiên ta có é x=1 max y = max f (t ) = t = hay x + x = Û ê é ù ê x = -2 [-1;1] ê- ; 2ú ë ëê ûú y = f (t ) = é ù [-1;1] ê- ; 2ú êë úû -1 ± 1 t = hay x + x = Û x + x - = Û x = 2 Bài 2.37:Cho x , y số thực thoả mãn: 2( x + y ) = xy + Chứng minh : 18 70 £ 7( x + y ) + x y £ 25 33 Lời giải: 97 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é ù Bài 2.37: Ta có: 7( x + y ) + x y = ê( x + y ) - x y ú + x y êë úû éỉ xy + 1ư2 ù ÷÷ - x y ú + x y = é-33 ( xy)2 + 14 xy + ù = (-33t + 14t + ) , t = xy = ờờỗỗ ỳ ỳ ữ ỷ 4ở ờởỗố ø÷ úû Ta có xy + = 2( x + y ) ³ xy Þ xy £ Mặt khác 2( x + y ) = xy + Û ( x + y) = xy + Þ xy ³ Xét hàm số f (t ) = Ta có max f (t ) = é 1ù ê- ; ú êë úû é 1ù -33t + 14t + ) , t Î ê- ; ú ( êë úû 18 70 f t = Û t = Û t = , ( ) 25 33 33 éê- ; ùú êë úû Bài 2.38: Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = (4 x + y)(4 y + x) + 25 xy Lời giải: Bài 2.38: Do x + y = nên : S = 16 x y + 12 ( x + y ) + xy + 25 xy é ù = 16 x y + 12 ê( x + y) - xy ( x + y)ú + 34 xy ë û = 26 x y - xy + 12 ( x + y) Đặt t = xy , ta được: S = 16t - 2t + 12; £ xy £ = ộ 1ự ị t ẻ 0; ỳ êë úû é 1ù Xét hàm số f (t ) = 16t - 2t + 12 đoạn ê 0; ú ta tìm êë úû Giá trị lớn S 98 25 ; http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïìïx + y = ỉ 1ư Û ( x; y) = çç ; ÷÷÷ Khi ïí ïïxy = èç 2 ø ïỵ Giá trị nhỏ S 191 ; Khi 16 ïìïx + y = í ïïỵxy = 16 ỉ + - ư÷ ỉ ÷÷ ( x; y) = ỗỗ - ; + ữữữ ( x; y) = ỗỗỗ ; ỗỗ 4 ữứữ ữữứ ốỗ ố 99 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... + b2 + c £ a b + b2 c + c a + Lời giải: Bài 2.26: Ta có a + b2 + c £ a b + b2 c + c a + Û (b - 1)a + b2 c + c a + - b2 - c ³ Vì £ a £ Þ a ³ a Þ (b - 1)a + b2 c + c a + - b2 - c ³ (b - 1)a +. .. = - x - x + c) Hàm số y = ax + bx + c có giá trị nhỏ x = nên ta có ỉ 1ư ỉ 1ư b - = Û a + b = (5) , = a ỗỗ ữữ + b ỗỗ ữữữ + c a + 2b + 4c = (6) a > ỗố ữứ ỗố ứ 2a 2 Hàm số y = ax + bx + c nhận... x + D y = x – x + c) (P) cắt trục tung điểm có tung độ có đỉnh S (-2; -1) A y = x + x + B y = 2x + x + C y = x + x + D y = x + x + Lời giải: ìï0 = + b + c ìïb + c = -1 ìïb = Bài 2.29: a) Vì
Ngày đăng: 11/12/2021, 20:26
Xem thêm: