Đang tải... (xem toàn văn)
2.2.5 Đi qua mộ t điểm cho trước và tiếp xúc với trục hoành hoặc biết hàm số đạt cực đại cực tiểu tại một đ iểm nào đó Đây chính là dạng toán parabol đ i qua một điểm và biết đỉnh của nó[r]
(1)HÀM SỐ BẬC HAI Hàm số bậc hai y = ax + bx + c (a ≠ 0) Tập xác định: D = ℝ ∆ b Đỉnh I − ; − , với ∆ = b − ac a a Trục đối xứng x = − b 2a Hướng bề lõm: • a > b ề lõm đồ thị hướng lên trên • a < b ề lõm đồ thị hướng xuống Bảng biến thiên • • a>0 x −∞ +∞ y −b 2a +∞ +∞ a<0 x −∞ y −∆ −b 2a −∆ 4a −∞ 4a Đồ thị hàm số là đường cong, ta gọi là đường parabol • a>0 • a<0 Các dạng toán 2.1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Các bước khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ): - Tìm tập xác định ∆ b Xác định tọa độ đỉnh I − ; − 2a 4a b Xác định trục đối xứng x = − 2a Xác định hướng quay bề lõm Vẽ b ảng biến thiên Cho các điểm qua (lấy đỉnh I làm chuẩn, cho giá trị x hai bên tìm y ) Vẽ đồ thị +∞ −∞ (2) Ví dụ: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − x + Giải: y = x2 − 4x + Tập xác định: D = ℝ Đỉnh I (2; −1) Trục đối x ứng x = Vì a = > nên bề lõm parabol hướng lên trên Bảng biến thiên: x −∞ +∞ y +∞ +∞ −1 Các điểm qua: x y −1 Đồ thị: 2.2 Xác định hàm số y = ax + bx + c 2.2.1 Đi qua ba điểm cho trước - Với điểm mà đồ thị hàm số đ i qua ta tìm phương trình bậc ba ẩn là a , b , c - Kết hợp lại ta hệ ba phương trình bậc ba ẩn số - Giải hệ phương trình đó, tìm a , b , c - Kết luận bài toán Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + bx + c biết đồ thị nó đ i qua A(−1; −4) , B(2;5) , C (−2; −3) Giải: Vì đồ thị hàm số qua A(−1; −4) nên: −4 = a (−1)2 + b(−1) + c ⇔ a − b + c = −4 Vì đồ thị hàm số qua B(2;5) nên: = a.22 + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = Vì đồ thị hàm số qua C (−2; −3) nên: −3 = a(−2)2 + b(−2) + c ⇔ 4a − 2b + c = −3 (3) Ta có hệ phương trình sau: a − b + c = −4 a = 4a + 2b + c = ⇔ b = 4a − 2b + c = −3 c = −3 Vậy hàm số là y = x + x − 2.2.2 Đi qua hai điểm cho trước và biết trục đối xứng x = m - Với điểm mà đồ thị hàm số đ i qua ta tìm phương trình bậc ba ẩn là a , b , c b = m (với m là số thực xác định) 2a - Kết hợp lại ta hệ ba phương trình bậc ba ẩn số - Giải hệ phương trình đó, tìm a , b , c - Kết luận bài toán - Đồ thị hàm số có trục đối x ứng x = m nên − Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + bx + c biết đồ thị hàm số nó đ i qua A(−1; −4) , B(2;5) và có trục đối x ứng x = −1 Giải: Vì đồ thị hàm số qua A(−1; −4) nên: −4 = a (−1)2 + b(−1) + c ⇔ a − b + c = −4 Vì đồ thị hàm số qua B(2;5) nên: = a.22 + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = Vì đồ thị hàm số nhận x = −1 làm trục đối xứng nên: b = −1 ⇔ b = a ⇔ a − b = 2a Ta có hệ phương trình sau: − a − b + c = −4 a = 4a + 2b + c = ⇔ b = 2a − b = c = −3 Vậy hàm số là y = x + x − 2.2.3 Đi qua điểm cho trước và biết đỉnh parabol - Với điểm mà đồ thị hàm số qua ta tìm mộ t phương trình bậc ba ẩn là a , b , c - Vì parabol có đỉnh I ( x0 ; y0 ) nên ta tìm phương trình b ậc ba ẩn số là a , b , c Ta b lại có thêm − = x0 2a - Kết hợp lại ta hệ ba phương trình bậc ba ẩn số - Giải hệ phương trình đó, tìm a , b , c - Kết luận bài toán Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + bx + c biết đồ thị hàm số nó qua A(2;5) và có đỉnh I ( −1; −4) Giải: Vì đồ thị hàm số qua A(2;5) nên: = a.22 + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = Vì parabol có đỉnh I (−1; −4) nên: −4 = a (−1)2 + b(−1) + c ⇔ a − b + c = −4 (4) b = −1 ⇔ b = a ⇔ a − b = 2a Ta có hệ phương trình sau: − a − b + c = −4 a = 4a + 2b + c = ⇔ b = 2a − b = c = −3 Vậy hàm số là y = x + x − 2.2.4 Đi qua hai điểm cho trước và biết tung độ đỉnh - Với điểm mà đồ thị hàm số đ i qua ta tìm phương trình ba ẩn là a , b , c b − 4ac = y0 4a - Kết hợp lại ta hệ ba phương trình ba ẩn số - Giải hệ phương trình đó b ằng phương pháp thế, tìm a , b , c - Kết luận bài toán - Vì tung độ đỉnh parabol là y0 nên − Ví dụ : Xác định hàm số y = ax + bx + c biết đồ thị hàm số nó qua A(−2; −3) , B (−3;0) và tung độ đỉnh −4 Giải: Vì đồ thị hàm số qua A(−2; −3) nên: −3 = a(−2)2 + b(−2) + c ⇔ 4a − 2b + c = −3 Vì đồ thị hàm số qua B(−3;0) nên: = a (−3)2 + b(−3) + c ⇔ 9a − 3b + c = Vì tung độ đỉnh parabol là −4 nên: b − 4ac = −4 ⇔ b − 4ac − 16a = 4a Ta có hệ phương trình sau: − 4a − 2b + c = −3 (1) (2) 9a − 3b + c = b − 4ac − 16a = (3) Từ (1) và (2) ta có: 4a + c = 2b − 9a + c = 3b 5a = b + ⇔ 4a + c = 2b − a = (b + 3) ⇔ c = (2b − 9) Thế vào (3) ta được: 16 b − (b + 3) (2b − 9) − (b + 3) = 5 ⇔ b2 − 12 80 (2b − 3b − 27) − (b + 3) = 25 25 ⇔ b2 − 44b + 84 = (5) b = ⇔ b = 42 Với b = thì a = , c = −3 Với b = 42 thì a = , c = 45 Vậy có hai hàm số thỏa yêu cầu bài toán là y = x + x − và y = x + 42 x + 45 2.2.5 Đi qua mộ t điểm cho trước và tiếp xúc với trục hoành (hoặc biết hàm số đạt cực đại cực tiểu đ iểm nào đó) Đây chính là dạng toán parabol đ i qua điểm và biết đỉnh nó đã nêu phần trên 2.3 Tìm tọa độ giao điểm Để tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x) và y = g ( x) ta làm sau: - - Giải phương trình hoành độ giao điểm f ( x) = g ( x) Nếu phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm thì hai đồ thị hàm số không có giao điểm Nếu phương trình hoành độ giao đ iểm có nghiệm thì với nghiệm x ta tìm giá trị y b ằng cách vào hai hàm số đề bài đ ã cho Kết luận bài toán Ví dụ : Tìm tọa độ giao điểm y = x + và y = x + x + ; y = x − x + và y = x + x + Giải: • y = x + và y = x + x + Phương trình hoành độ giao điểm: x + = x + 5x + ⇔ x2 + 4x + = x = −1 ⇔ x = −3 Với x = −1 thì y = , ta có giao điểm A(−1;0) Với x = −3 thì y = −2 , ta có giao đ iểm B(−3; −2) Vậy các giao điểm hai đồ thị hàm số đ ã cho là A(−1;0) và B(−3; −2) • y = x − x + và y = x + x + Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 − 4x + = x2 + x + ⇔ x − 5x + = x = ⇔ x = Với x = thì y = , ta có giao điểm A(2;7) Với x = thì y = 13 , ta có giao điểm B(3;13) Vậy các giao điểm hai đồ thị hàm số đ ã cho là A(2;7) và B(3;13) 2.4 Sự tương giao hai đồ thị 2.4.1 Đường thẳng với parabol Cho đường thẳng (d ) : y = Ax + B và parabol ( P ) : y = ax + bx + c Khi đó có các vị trí tương đối sau: - (d ) không cắt ( P ) (không có giao đ iểm) thì phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm - (d ) tiếp xúc ( P ) (có giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép (6) - (d ) cắt ( P) (có hai giao điểm) thì phương trình hoành độ giao đ iểm có hai nghiệm phân biệt Ví dụ : Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d ) : y = x + với parabol ( P ) : y = x + x + Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x + = x + 5x + ⇔ x2 + 4x + = x = −1 ⇔ x = −3 Vì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng (d ) cắt parabol ( P ) hai đ iểm Ví dụ : Tìm các giá trị m để đường thẳng (d ) : y = mx + m − tiếp xúc với parabol ( P ) : y = (m − 1) x + x + − m Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: mx + m − = (m − 1) x + x + − m ⇔ (m − 1) x + (2 − m) x + − 2m = (*) Đường thẳng (d ) tiếp xúc với parabol ( P ) và phương trình (*) có nghiệm kép, tức là: m − ≠ ∆ = m ≠ ⇔ (2 − m) − 4(m − 1)(2 − 2m) = m ≠ ⇔ 9m − 20m + 12 = m ≠ ⇔ S = ∅ Vậy không có giá trị nào m thỏa mãn yêu cầu bài toán 2.4.2 Parabol với parabol Cho hai parabol ( P1 ) : y = a1 x + b1 x + c1 và ( P2 ) : y = a2 x + b2 x + c2 đó có các vị trí tương đối sau: - ( P1 ) không cắt ( P2 ) (không có giao điểm) thì phương trình hoành độ giao đ iểm vô nghiệm ( P1 ) tiếp xúc ( P2 ) (có giao điểm) thì phương trình hoành độ giao đ iểm có nghiệm kép ( P1 ) cắt ( P2 ) (có hai giao đ iểm) thì phương trình hoành độ giao đ iểm có hai nghiệm phân biệt ( P1 ) trùng ( P2 ) và a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 Ví dụ : Xét vị trí tương đối hai parabol y = x − x + và y = x + x + Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 − 4x + = x2 + x + ⇔ x − 5x + = x = ⇔ x = (7) Vì phương trình hoành độ giao đ iểm có hai nghiệm phân biệt nên hai parabol cắt hai điểm 2.5 Tìm điểm cố định họ parabol qua Cho họ parabol y = am x + bm x + cm , đó am , bm , cm có chứa tham số m Tìm đ iểm cố định mà họ đường thẳng đ i qua Cách giải: ta xem m là ẩn số phương trình bậc ẩn, các x , y là các số Ta chuyển thành phương trình bậc với ẩn số là m có dạng Am + B = Cho các hệ số A = , A = tìm x , y Kết luận bài toán B = Giải hệ B = Ví dụ : Tìm điểm cố định mà đồ thị họ hàm số y = mx + (m − 1) x − 6m đ i qua Giải: Ta có: y = mx + (m − 1) x − 6m ⇔ mx + mx − x − 6m = y ⇔ ( x + x − 6)m = x + y Điểm cố định mà đồ thị họ hàm số đã cho đ i qua là nghiệm hệ phương trình x + x − = (1) (2) x + y = Giải phương trình (1): x = −3 (1) ⇔ x = Với x = −3 vào (2) ta y = Với x = vào (2) ta y = −2 Vậy có hai đ iểm cố định mà đồ thị họ hàm số đ ã cho qua là A(−3;3) và B (2; −2) 2.6 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối: A A ≥ A = − A A < Tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số giống hàm bậc bậc Ví dụ : Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x x − − Giải: Ta có: x( x − 3) − x − ≥ y = x x−3 −4= − x( x − 3) − x − < x − 3x − x ≥ y = x x−3 −4= − x + x − x < Tập xác định: D = ℝ Sự biến thiên: Đồ thị: Hay (8) Bài tập: Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: Bài Xét tương giao đồ thị các hàm số sau: c) y = x − và y = x + x + y = x + và y = x − x + y = x − và y = x − x + d) y = x + và y = x + x − e) y = −2 x + và y = x − x + f) y = x + x + và y = x − x + b) y = − x + x + g) y = x + x − và y = x − x − h) y = 3x + x + và y = − x − x c) y = − x + x − d) y = − x + x − 2 e) y = x − x + f) y = −3 x + x − g) y = x − x + h) y = − x + x − i) y = x + x + j) y = − x + x − 1 a) y = − x 2 b) y = c) y = − x d) y = − x + e) y = x − 3 x f) y = x − Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x − x Bài Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x + x − b) y = − x + x − c) y = x x + d) y = x − x e) y = − x2 − x − f) y = − x − x + Bài Tìm tọa độ giao điểm đồ thị các hàm số sau: a) y = x − và y = x − x − b) y = − x + và y = − x − x + c) y = x − và y = x − x + d) y = x − và y = − x2 + x + 2 e) y = x − x − và y = x − x + f) y = x − x + và y = −3x + x − g) h) 2 y = x + x + và y = − x + x − y = −3x + x − và y = −2 x + a) b) Bài Cho hàm số y = x − x − a) Xét biến thiên và vẽ đồ thị ( P ) hàm số b) Tìm giao đ iểm đồ thị ( P) với đường thẳng y = −x + c) Tìm giao đ iểm đồ thị ( P ) với đường thẳng y = 2x − Vẽ các đường thẳng này trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị ( P ) Bài Xác định parabol y = ax + bx + , biết parabol đó a) Đ i qua hai điểm M (1;5) và N (−2;8) b) Đ i qua A(3; −4) và có trục đối x ứng x = − c) Có đỉnh I (2; −2) d) Đ i qua điểm B(−1;6) và tung độ đỉnh là − Bài Tìm parabol y = ax + bx + c biết parabol đó đ i qua điểm A(8;0) và có đỉnh I (6; −12) Bài Tìm hàm số y = ax + bx + c biết hàm số đạt cực tiểu x = −2 và đồ thị hàm số qua đ iểm A(0;6) (9) Bài 10 Xác định a , b , c biết parabol y = ax + bx + c Bài 17 Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với a) Parabol y = x + x − điểm có hoành độ là −2 Bài 11 Xác định a , b , c biết parabol y = ax + bx + c b) Parabol y = − x + x − điểm có tung độ là −5 đạt giá trị nhỏ x = và nhận giá trị c) Parabol y = x + x + biết đường thẳng có hệ số x = Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đ ó góc Bài 12 Gọi ( P) là đồ thị hàm số y = ax + c Tìm a Bài 18 Chứng minh rằng: và c trường hợp sau: a) Mọi đồ thị họ hàm số a) y nhận giá trị x = và có giá trị nhỏ y = x − 4(2m − 1) x + 8m2 − tiếp xúc với là −1 đường thẳng cố định b) Đỉnh parabol ( P ) là I (0;3) và hia b) Mọi đường thẳng có phương trình giao điểm ( P) với trục hoành là A(−2;0) y = (4 m − 2) x − 4m − luôn tiếp xúc với parabol cố định Bài 13 Xác định parabol y = ax + bx + c biết đồ thị Bài 19 Cho đồ thị hàm số hàm số a) Đi qua ba đ iểm A(0; −1) , B(1; −1) , C (−1;1) b) Có đỉnh I (1; 4) và qua điểm D (3;0) a) Đi qua A(−1; 4) , B (1;0) , C (2;1) b) Đi qua D( −1;6) và có đỉnh I (2; −3) c) Đi qua E (−1;6) , F (2;3) và có trục đối xứng x =1 Bài 14 Xác định hàm số y = ax + bx + c biết đồ thị hàm số a) Đi qua A(2; −1) , B (1;0) , C (3;0) b) Đi qua D( −1;0) và có đỉnh I (1; −4) c) Đi qua E (2;0) , F (4;0) và có trục đối x ứng x = ( Pm ) y = (m + 1) x − (m + 2) x − 2m − a) Chứng minh mọ i đồ thị họ trên luôn qua hai đ iểm cố định Khi ( Pm ) là đường thẳng, kết luận trên có đúng không? b) Tìm đ iểm trên mặt phẳng tọa độ cho qua điểm đó không có đường cong nào họ ( Pm ) c) Tìm m để ( Pm ) tiếp xúc với đường thẳng y = − x − 4m + Bài 20 Cho họ ( Pm ) y = mx + 2(3m − 1) x + 9m − với m ≠ Chứng minh mỗ i đường cong ( Pm ) tiếp xúc với điểm cố định Bài 15 Lập phương trình đường parabol, biết nó: a) Đi qua ba đ iểm A(−1; 2) , B(2;0) , C (3;1) b) Có đỉnh I (2; −1) và cắt trục tung điểm có tung Bài 21 Cho họ ( Pm ) y = x + 2(m − 1) x + 3m − = f m ( x) độ −3 a) Tìm tập hợp đỉnh các parabol ( Pm ) Bài 16 b) Với mỗ i giá trị m , fm ( x) có giá trị nhỏ a) Lập phương trình đường thẳng (d ) có hệ số góc Tìm m giá trị nhỏ nói trên là lớn là k và đ i qua điểm M (2;5) b) Tìm đ iều kiện k để (d ) cắt parabol y = ax + bx + c ( P ) hai đ iểm phân biệt c) Tìm điều kiện k để (d ) tiếp xúc với ( P ) (10)