nhắc lại sơ đồ khảo sát hàm số và vẽ đồ thị của hàm số Giáo viên nhấn mạnh các dạng ( về cực trị , tiệm cận , hình dáng của đồ thị ) của từng loại hàm số để học sinh ghi nhớ.. Giáo [r]
(1)CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ( tiết : từ 26/04 – 08/05 )
Các kiến thức cần nhớ :
1 Tính đơn điệu hàm số, mối liên hệ đồng biến, nghịch biến hàm số dấu đạo hàm cấp
2 Điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số Các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị
3 Giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số tập hợp số Đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang
5 Vẽ đồ thị hàm số Các dạng toán cần luyện tập
1 Xét đồng biến, nghịch biến hàm số khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình chứng minh bất đẳng thức
2 Tìm điểm cực trị hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu hàm số Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số đoạn, khoảng Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình
3 Tìm đường cận đứng , tiệm cận ngang đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
3 ; ; ax b
y ax bx cx d y ax bx c y
cx d
5 Dùng đồ thị hàm số để biện luận theo m số nghiệm phương trình
6 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( điểm thuộc đồ thị hàm số , biết hệ số góc )
TIẾN TRÌNH ƠN TẬP
Hoạt động : Hệ thống lý thuyết
Hoạt động : Luyện tập dạng toán
Bài : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau : a y x. 6x2 9x 4
b
2
y x x c 1 x y
x
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Giáo viên yêu cầu học sinh
nhắc lại sơ đồ khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số Giáo viên nhấn mạnh dạng ( cực trị , tiệm cận , hình dáng đồ thị ) loại hàm số để học sinh ghi nhớ
Giáo viên nhận xét phân
Học sinh trả lời theo yêu cầu giáo viên ghi nhớ nhận xét giáo viên để lĩnh hội kiến thức vững
Thực tập giáo viên đề
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau :
3
a y x x x
b
2
y x x c
1 x y
x
(2)tích sai sót thường gặp học sinh để tránh điểm khơng đáng có
Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số a y x3 3x 2
điểm (C) có hồnh độ
b y x4 2x2
điểm (C) có tung độ
c
2
x y
x
giao điểm (C) với trục Oy
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Nêu bước viết phương
trình tiếp tuyến (C) : ( )
yf x điểm M( 0; ( ))0
x f x trên (C)
Giáo viên gọi học sinh lên bảng thực
Giáo viên nhận xét sửa sai cho học sinh
+ Tính f x'( ) + Tính f x'( )0
+ Áp dụng cơng thức :
0 0
'( )( ) ( ) yf x x x f x Học sinh thực
Phương trình tiếp tuyến đồ thi (C) y = f x( ) điểm M(x f x0; ( ))0 (C) là:
0 0
'( )( ) ( ) yf x x x f x Kết :
a y9x14 b y24x 40 y24x56 c y8x
Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số a y x3 3x 2
biết tiếp tuyến có hệ số góc
b.y x4 2x2
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y24x
c
2
x y
x
biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Nêu ý nghĩa hình học
đạo hàm
Khi biết hệ số góc tiếp tuyến ta cần xác định yếu tố để viết phương trình tiếp tuyến
Cho hai đường thẳng : (d) : y ax b
(d’): y a x b ' '
Hãy cho biết quan hệ , '
a a :
+ (d) song song (d’) + (d) vng góc (d’)
Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x f x0; ( ))0 (C) f x'( )0
Ta tìm tọa độ tiếp điểm cách giải phương trình
0 '( ) f x k
+ Khi (d) //(d’) : a a ' + Khi (d)( ')d : a a '1
(3)Bài : Cho hàm số y x3 3x 2
có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình : x3 3x k 2 0
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Giáo viên gọi học sinh
lên bảng thực câu a Giáo viên gọi học sinh trình bày cách dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình
Gọi học sinh thể giải
Giáo viên điều chỉnh sai sót ( có)
Một học sinh thực
+ Bước : Biến đổi
phương trình cho thành phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d có phương nằm ngang
+ Bước : Lập luận Số giao điểm (C) d nghiệm phương trình + Bước : Dựa đồ thị ( Chú ý đến hai giá trị cực trị hàm số ) cho giá trị tham số thay đổi theo giá trị hai cực trị để nhận xét số giao điểm , suy số nghiệm phương trình
Học sinh thực hiên Một học sinh nhận xét
a
x y
B O
A
1
b Kết :
+ k < : Pt có nghiệm + k = : pt có nghiệm +0 < k < : pt có nghiệm + k = : pt có nghiệm + k > : pt có nghiệm
Bài : Cho hàm số
2
y x x
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
b Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình : x4 2x2 m
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Giáo viên gọi học sinh có
học lực TB lên bảng thực học sinh lại tự thực
Học sinh thực
Học sinh nhận xét
x y
B O
A
(4)b Kết :
+ m < - : pt vơ nghiệm + m = - : pt có nghiệm + - < m < : pt có nghiệm + m = : Pt có nghiệm + m > : pt có nghiệm
Bài : Cho hàm số 1 x y
x
có đồ thị (C) đường thẳng d : y mx 1 Biện luận theo m số giao điểm (C) d
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Bài toán nêu thuộc thể loại
nào ? Và yêu cầu tốn ?
Nêu trình tự giải thể loại ?
Gọi học sinh thực
Giáo viên nhận xét giải nhấn mạnh cách trình bày giải
Bài toán thuộc thể loại : tương giao hai đồ thị Đề yêu cầu biện luận số giao điểm đồ thị
+Nêu phương trình hoành độ giao điểm (C) d
+ Biến đổi pt thành phương trình biết cách giải
+ Lập luận : Số nghiệm phương trình HĐGĐ số giao điểm (C ) d + Biện luận
+ Kết luận
Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) d : 1 ( 1)
1 x
mx x
x
2 ( 2) 0
2
mx m x
x mx m
+ Nếu m = hay m = - : phương trình có nghiệm
0 x
+ Nếu m0 m2
phương trình có hai nghiệm
x x m
m
Kết luận :
+ m = hay m = -2 : có gđ +m0 m2 : có gđ
Bài : Cho đồ thị hàm số (C) :
3
y x x Đường thẳng d qua A( - ; 3) có hệ số góc
k Tìm k để (C) d cắt điểm phân biệt
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Yêu cầu tốn ?
Bài tốn giải ?
Tìm k để (C) d cắt điểm phân biệt
+ Lập phương trình đường thẳng d
+ Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) d + Lập luận : Để (C) d cắt
d : y kx k 3
(5)Em có nhận xét vị trí A (C)
Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa sai sót – Phát triển tốn học sinh khá, giỏi
nhau điểm phân biệt phương trình phải có nghiệm phân biệt
+ Ta có A thuộc đồ thi (C) , phương trình có nghiệm x1
+ Ta phân tích phương trình thành phương trình tích số :
(x1)( tam thức bậc hai ) =
+ Yêu cầu tốn pt bậc
hai có hai nghiệm phân biệt khác –
+ Giải hệ bpt + Kết luận
3
2
2
3
( 1)( 2)
1
( ) 2
x x kx k
x x x k
x
g x x x k
(C) cắt d điểm phân biệt (1)
có nghiệm phân biệt
(2)
có hai nghiệm phân biệt
khác – ( 1) g
9
4
4
0
k k
k
k
Vậy giá trị cần tìm :
9 k k
Bài : Xác định m để hàm số :
a ( 1) 1
3
y x mx m x m đạt cực tiểu x2
b
4 x mx y
x m
đạt cực đại x = 1
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Yêu cầu tốn ?
Hãy trình bày cách giải toán
Gọi học sinh trình bày giải
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu hàm số x2 + Tính đạo hàm :
'( ); ''( ) y x y x
+ Lập luận : Hàm số đạt cực tiểu x2
'(2) ''(2) y
y
Học sinh thực hiên a Ta có : D = R
2
'
'' 2
y x mx m
y x m
Hàm số đạt cực tiểu x2 '(2)
''(2) y
y
(6)Giáo viên cho học sinh tìm cách giải khác ( 12 C1 )
Khi giải câu b theo cách giải ta gặp khó khăn ?
Để khắc phục ta phải thực ?
Giáo viên cho học sinh tìm cách giải khác ( 12 C1 )
Bước tính y'' khó khăn a
+ Ta tính y x'( )
+ Hàm số đạt cự đại x1 '(1)
y
(*)
+ Giải (*) tìm m + Thử lại
+ Kết luận
2 4 3 0
3
4
2 m
m m
m m
m
m
Vậy giá trị cần tìm : m = -1
b Ta có : D\ m
2
2
2
' x mx m
y
x m
Hàm số đạt cực đại x1 '(1)
3 m y
m
Thử lại :
Giá trị cần tìm : m =
Bài : Cho hàm số : ( 1) 3( 1) 2
y mx m x m x a Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu
b Tìm m để hoành độ x x1, điểm cực trị thỏa x12x2 1 ( Câu b dành cho học sinh lớp 12C1 )
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Yêu cầu tốn ?
Khi hàm số có cực đại cực tiểu ?
Nêu cách giải tốn
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu
Hàm số có cực đại cực tiểu y' đổi dấu lần Học sinh trình bày cách giải + Tính y x'( )
+ Hàm số có cực đại cực tiểu y' đổi dấu lần
'( ) y x
có nghiệm pb
0 m
0
2
m
m m
a Ta có : D = R
+ y x'( ) mx2 2(m 1)x 3(m 1)
+ Hàm số có cực đại cực tiểu y' đổi dấu lần
'( ) y x
có nghiệm pb
0 m
0
2
m
m m
(7)0
1
m m
0
1
m m
b kết : m
Bài 10 :1 Cho hàm số
6
y x x x m Viết phương trình đường thẳng qua
điểm cực trị đồ thị hàm số Tìm m để đường thẳng qua A( ; - 2)
Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu Khi tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số
2
x x m
y x
( Bài tập dành cho lớp 12 C1)
Bài 11 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số : a
2
y x x (x0)
b
2
2
( 1)
x x
y x
x
c
3 35
y x x x đoạn 4;4
d
4
y x x e y x2 4ln(1 x)
đoạn 2;0
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Hãy nêu lại cách tìm GTLN,
GTNN hàm số khoảng a b; và đoạn
a b;
Học sinh trình bày cách giải tốn
1) Cách tìm GTLN – GTNN hàm số a b;
+ Lập bảng biến thiên hàm số a b;
+ Nếu hàm số có cực trị cực đại ( cực tiểu ) giá trị cực đại ( cực tiểu ) GTLN ( GTNN) hàm số a b;
2) Cách tìm GTLN – GTNN hàm số a b;
+ Tính đạo hàm f x'( ) + Tìm điểm x x1, , ,2 xn
trên a b; mà f x'( ) 0
hoặc f x'( ) không xác định + Tính
1
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )n
f a f x f x f x f b
Nội dung giải học sinh chỉnh sửa Kết
a Không tồn GTLN min ( )0; f x 2 x1
b Không tồn GTNN
max ( ) ; 1 f x 9 x2
c max ( ) 404;4 f x x1 ( )4;4 f x 41 x4
d ( )2;2 f x 2 x2
2;2
m ax ( ) 2f x
(8)+ Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có :
; ;
max ( ), ( )
a b a b
M f x m f x
e
2;0
min ( ) 4ln 2f x
1 x
2;0ax ( ) 0
m f x
x0
Bài tập rèn luyện 1 Hàm số bậc ba : Bài :Cho hàm số
3
y x x , có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm thuộc (C) có hồnh độ c Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3
x x m
Bài : Cho hàm số
3
y x x , có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d :
y x
c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành Bài : Cho hàm số : y x3 3x
, có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ c Tìm m để đường thẳng d : y mx m 4 cắt (C) điểm phân biệt Bài : Cho hàm số y x3 3x2 3x 2
, có đồ tị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d :
2010
y x 2 Hàm trùng phương
Bài : Cho hàm số y x4 2x2
, có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x2 c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành
Bài : Cho hàm số
2
y x x , có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) trục Ox c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) với trục Ox
Bài : Cho hàm số y x4 2x2 3
có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Dựa vào đồ thị (C), xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt :
2
x x m
Bài : Cho hàm số : 2 ( 9) 10 y mx m x (1)
(9)3 Hàm biến
Bài : Cho hàm số x y
x
có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung c Tìm m để đường thẳng d : y2x m 1 cắt (C) hai điểm phân biệt
Bài : Cho hàm số x y
x
có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b Tìm điểm (C) có tọa độ nguyên
c Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2010
y x
Bài : Cho hàm số : x y
x
có đồ thị (C)
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
1 y x
c Gọi d đường thẳng qua A( - ; ) có hệ số góc k Biện luận theo k, số giao điểm d (C)
4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : a
3 x y
x
đoạn 2;3 b y x.ln2x
đoạn 1;e
e c ylnx x
d y x2 2x 5
đoạn 3;0
e y x4 36x2 2
đoạn 1;4
f y cos2 x cosx 2
g 2sin 4sin3
y x x đoạn 0;
5 Cực trị hàm số
Bài : Tìm m để hàm số
1
y x mx đạt cực tiểu x1
Bài : Xác định m để hàm số
3
y x mx có cực trị
Bài : Tìm m để hàm số 2
3
y x mx x m đạt cực tiểu x2 Bài : Cho hàm số :
4
4 x