MỘT số bài TOÁN LIÊN QUAN đến TAM GIÁC TRONG HÌNH học PHẲNG

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 1) Đường trung tuyến tam giác * Định nghĩa: Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh trung điểm cạnh đối diện Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm G – gọi trọng tâm tam giác * Một số nhận xét: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM ta phải nghĩ đến tính chất sau sử dụng cơng thức trung điểm, cơng thức tính trọng tâm + Đường trung tuyến AM chia tam giác thành hai phần có diện tích + Điểm M trung điểm cạnh BC nằm trung tuyến AM + Giao điểm hai đường trung tuyến trọng tâm tam giác + G trọng tâm tam giác ABC *) x A + xB + xC   xG =   y = y A + y B + yC  G , *) S∆GAC = S ∆GBC = S∆GAB = S ∆ABC , *) uuur uuuu r AG = AM Ví dụ 1: A( 4;−1) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường trung tuyến BM : x − y − = 0; CN : 14 x − 13 y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C Hướng dẫn giải: Phương pháp: Cách 1: - - B( x B , y B ) Tìm tọa độ đỉnh B ∈ BM Vì ta có phương trình (1)  x + xA yB + y A  N B ;    N ∈ CN Từ tọa độ B ta biểu diễn ta có phương trình (2) Giải hệ (1) (2) ta tìm tọa độ B Tương tự ta có đỉnh C Cách 2: – Xác định trọng tâm G = BM ∩ CN – Xác định A′ đối xứng với A qua G (suy BA′ // CN, CA′ // BM) – Dựng dB qua A′ song song với CN – Dựng dC qua A′ song song với BM – Xác định B = BM ∩ dB, C = CN ∩ dC Cách 1: Giả sử B( x1 ; y1 ) ; B ∈ BM ⇒ x1 − y1 − = (1) Vì N trung điểm AB nên  + x1 − + y1   + x1   − + y1  N ; ; N ∈ CN ⇒ 14  − 13  − = ( 2)        x1 = ⇒ B(1;5)  y1 = (1) ( 2) ⇒  Giải hệ Tương tự ta có C ( − 4;−5) Cách 2: Gọi G ( x; y ) trọng tâm tam giác ABC Khi đó, hệ phương trình: G ( x; y ) = BM ∩ CN Tọa độ G nghiệm  x=  x − y − =   1 1 ⇔ ⇒ G  ;−    3 14 x − 13 y − = y = −  A' ( x' ; y ') Gọi điểm đối xứng A qua G Khi đó, G trung điểm AA’ Ta có, toạ độ A’ nghiệm hệ phương trình sau: 10   4 + x' =  x ' = −  10  ⇔ ⇒ A'  − ;    3 − + y ' = − y =   3  A' B : 14 x − 13 y − 51 = Đường thẳng A’B//CN có phương trình B = BM ∩ A' B , tọa độ B nghiệm hệ phương trình sau: 8 x − y − = x = ⇔ ⇒ B (1;5)  14 x − 13 y + 51 = y = Từ đó, tính tọa độ ba đỉnh tam giác C ( − 4;−5) Và viết phương trình cạnh AB, AC, BC biết tọa độ Bài tập Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường trung tuyến Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: A(1;3), BM : x − 2y + 1= 0, CN : y − 1= a) A(3;9), BM :3x − 4y + = 0, CN : y − = b) c) A( 2;3) , BM:2 x + y − = 0, CN: − x + y + = A(3;1), B(1; −3) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết Trọng tâm G tam giác ABC nằm Ox Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC Giải: + Gọi G ∈ Ox ⇔ AG = , G trọng tâm tam giác ABC uuur uuuu r AG = ( x − 3; −1), AM = ( xM − 3; yM − 1) ta có: uuur uuuu r AM ⇔ AG = AM , với uuur uuuu r 3( x − 3) = 2( xM − 3) AG = AM ⇔   −3 = 2( yM − 1)   xM = ( x − 1) 1 3 ⇒ M  ( x − 1); − ÷  2 2  y = −1 M  + Mặt khác M trung điểm BC nên xB + xC   xM =  xC = xM − xB ⇔ ⇒ C (3x − 4; 2)  y + y y = y − y B C C M B  y =  M uuu r AB = (−2; −4) ⇒ AB = + Ta có: Phương trình cạnh AB: x − y −1 = ⇔ 2x − y − = −2 −4 d (C ; AB ) = 2(3x − 4) − − 5 + = x − 15 d (C ; AB ) = 2S ABC 2.3 = = AB 5 ⇒ x − 15 = ; mà ⇔ x = 3∨ x = C (2; 2) Vậy Cách 2: Gọi C (3; 2) G ∈ Ox tọa độ cần tìm , G trọng tâm tam giác ABC  xC = 3xG − x A − xB = x − ⇔ ⇒ C (3 x − 4; 2)  yC = yG − y A − yB = x A + xB + xC   xG = ⇔  y = y A + yB + yC  G Sau ta làm tượng tự cách 2) Đường trung cao tam giác – trực tâm: Định nghĩa: Đường cao tam giác đoạn thẳng vng góc hạ từ đỉnh xuống cạnh đối Ba đường cao tam giác đồng quy điểm H – gọi trực tâm tam giác A B' C' H B A' C Một số nhận xét: +) Nếu giả thiết cho đường cao Giả sử cho tam giác ABC có AH đường cao có uuuu r uuu r AA ' ⊥ BC ⇒ AA '.BC = r r r r n AA ' = u BC , u AA ' = n BC +) Nếu giả thiết cho đường cao đường cao cắt điểm H H gọi trực tâm tam giác Để tìm tọa độ H có uuur uuu r AH.BC = uuur uuur BH.AC = + Vậy cho đường cao ta sử dụng tính chất vng góc để viết phương trình đường thẳng cạnh sử dụng đường thẳng biết để tìm tọa độ điểm Phương pháp: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′ – Dựng AB qua B vng góc với CC′ – Dựng AC qua C vng góc với BB′ – Xác định A = AB ∩ AC Ví dụ Cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh hai đường cao Viết phương trình hai cạnh đường cao lại, với: BC : x + y − 12 = 0, BB' : x − y − 15 = 0, CC ' : x + y − = Phương pháp: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′ – Dựng AB qua B vng góc với CC′ – Dựng AC qua C vng góc với BB′ – Xác định A = AB ∩ AC Giải Ta có B = BC ∩ BB' , từ ta có tọa độ B nghiệm hệ phương trình: 4 x + y − 12 = x = ⇔ ⇒ B( 3;0 )  5 x − y − 15 = y = Lại có C = BC ∩ CC ' , từ ta có tọa độ C nghiệm hệ phương trình:  4 x + y − 12 = x = 5  ⇔ ⇒ C  ;2   2  2 x + y − =  y = + Đường thẳng AB qua B vng góc với CC’ Do đó, đường thẳng AB có VTPT n AB ( − 1;1) AB : − x + y + = Phương trình đường thẳng + Đường thẳng AC qua C vng góc với BB’ Do đó, đường thẳng AC có VTPT n AC ( 4;5) AC : x + y − 20 = Phương trình đường thẳng Vậy tam giác ABC có phương trình cạnh BC : x + y − 12 = AB : − x + y + = ; AC : x + y − 20 = ; Ví dụ Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh phương trình hai đường cao Viết phương trình cạnh tam giác đó, với: A(3;0), BB′ : 2x + 2y − = 0, CC′ :3x − 12y − 1= Hướng dẫn giải: + Đường thẳng AB qua A vng góc với BB’ nên có VTPT n AB ( − 1;1) AB : − x + y + = Phương trình đường thẳng n AC ( 4;1) + Đường thẳng AC qua A vng góc với CC’ nên có VTPT AC : x + y − 12 = Phương trình đường thẳng + Ta có B( x; y ) = AB ∩ BB' , tọa độ B nghiệm hệ phương trình 15  x=  − x + y + =   ⇒ B 15 ;  ⇔     4 2 x + y − = y =  + Ta có C ( x; y ) = AC ∩ CC ' , tọa độ B nghiệm hệ phương trình 145  x=  4 x + y − 12 =   145 32  51 ⇔ ⇒ C ;    51 51  3 x − 12 y − =  y = 32  51 Từ đó, viết phương trình cạnh BC qua hai điểm cho trước B C C (5; −2) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có , trung tuyến AM đường cao AH có phương trình lần x + y − 10 = 0, x − y + = lượt Viết phương trình chứa cạnh AB tính diện tích tam giác ABC A C B H M Giải: + Tọa độ đỉnh A giao hai đường trung tuyến AM đường cao AH nghiệm hệ: 7 x + y − 10 = x = ⇔  7 x − y + =  y = ⇒ A(1;3) + Phương trình cạnh BC qua C vng góc với AH có pt: 3( x − 5) + 7( y + 2) = ⇔ x + y − = + Tọa độ trung điểm M cạnh BC nghiệm hệ ⇒ 3 1 M  ;− ÷  2  ⇒ B ( −2;1) Phươn trình cạnh AB: S ABC = 3 x + y − = x = / ⇔  7 x + y − 10 =  y = −1/ x −1 y − = ⇔ 2x − y + = −2 − 1 − 1 23 23 d (C , AB) AB = 13 = 2 13 + Diện tích tam giác ABC là: (đvdt) A(1;0) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có hai đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B x − y + = 0, x + y − = C có phương trình tương ứng Tính diện tích tam giác ABC Giải: BK : x − y + = 0, CH :3 x + y − = Giả sử đường cao 2( x − 1) + ( y − 0) = ⇔ x + y − = A(1; 0) Cạnh AC qua vng góc với BK có pt: 1( x − 1) − 3( y − 0) = ⇔ x − y − = A(1; 0) Cạnh AB qua vng góc với CH có pt: Tọa độ đỉnh C nghiệm hệ: Tọa độ đỉnh B nghiệm hệ: 3x + y − =  x = −1 ⇔  2 x + y − = y =  x − y −1 =  x = −5 ⇔  x − y +1 =  y = −2 Khi đó: ⇒ B( −5; −2) CH = d (C ; AB) = AB = (−5 − 1) + ( −2) = 10 ⇒ C (−1; 4) , đường cao | −1 − 3.4 − | 14 = 10 10 1 14 S ∆ABC = CH AB = 10 = 14 2 10 3) Đường phân giác tam giác – tâm đường tròn nội tiếp: Định nghĩa: Đường phân giác tam giác đoạn thẳng từ đỉnh, chia góc tương ứng thành hai góc Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm I – gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác Một số nhận xét: + *) CC ' đường phân giác xuất phát từ đỉnh C 1µ · · ACC' = BCC' = C , M ∈ AC M ' CC ' M ' ∈ BC M *) Lấy , đối xứng với qua đường phân giác , *) A, B khác phía so với đường phân giác *) Tỉ số CC ' , uuuur C ' A CA CA uuuur = ⇒C'A=− C ' B C ' B CB CB d ( I , AC ) = d ( I , AB ) = d ( I , BC ) = r + I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x + y + = x + y −1 = phân giác CD: Viết phương trình đường thẳng BC Phương pháp: Hướng dẫn giải: Viết phương trình AC Tìm B giao BH BD Viết phương trình AB Tìm A1 đối xứng với A qua phân giác BD Viết phương trình BC (đi qua A1 B) Tìm C giao AC BC Giải : x + y + 32 = có VTPT Vì BC ⊥ h A phương trình n1 (1;7 ) nên BC có VTCP n1 (1;7 ) Đường thẳng BC qua C ( − 3;1) có VTCP x + y −1 = Tọa độ A nghiệm hệ  x + y + 32 = x = ⇔ ⇒ A( 3;−5)   x + y + 12 =  y = −5 Gọi C1 điểm đối xứng với C qua lA l A : x + y + 12 = có VTPT Phương trình CC1 qua n (1;3) C ( − 3;1) Vì C1 ∈ AB CC1 ⊥ l A có VTCP n2 (1;3) Tọa độ giao điểm I CC1 lA nghiệm hệ: − 21  x=  x + y −1  =    21 13  ⇔ ⇒ I  − ;−   5   x + y + 12 =  y = − 13  nên CC1 có VTCP n2 (1;3) x + y −1 = n1 (1;7 ) có I trung điểm CC1 nên AB qua AC qua A( 3;−5) A( 3;−5) 27   xC1 = x1 − xC = −  27 31 ⇒ C1 =  − ;−   5   y = y − y = − 31 C  C1  42  C1 A ;  = ( 7;1)  5 có VTCP có VTCP u AB ( 7;1) AB : nên phương tình đường thẳng AC = ( − 1;1) x−3 y +5 = AC : nên phương trình đường thẳng x −3 y +5 = −1 Ví dụ Cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A, đường cao kẻ từ B x − y + = 0;4 x + y − = là: Biết hình chiếu vng góc C lên đường thẳng qua AB H(-1;-1) Tìm tọa độ đỉnh C Hướng dẫn giải: Giải: Kí hiệu đường cao BK: 4x+3y-1=0, phân giác AD:x-y+2=0 Gọi H’ điểm đối xứng với H qua AD H’ thuộc AC Tính H’(-3;1) Phương trình AC: 3x-4y+13=0 Tọa độ A giao điểm AD AC nghiệm hệ x − y + = x = ⇔ ⇒ A( 5;7 )  3 x − y + 13 = y = Đường cao CH qua H vng góc với HA nên CH: 3x+4y+7=0 Tọa độ C giao điểm AC CH: 10  x=−  x + y + =    10  ⇔ ⇒ C − ;    4 3 x − y + 13 = y =  Ví dụ Trong hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có C ( − 2;3) Đường cao tam giác kẻ từ x − y − 25 = 0; x − y = đỉnh A đường phân giác góc B có phương trình là: Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC tam giác Hướng dẫn giải: x − y − 25 = Gọi đường cao kẻ từ A AH: x− y =0 Đường phân giác góc B BE: 2x + 3y − = BC có phương trình: Toạ độ B nghiệm hệ: 2 x + y − = x = ⇔ ⇒ B(1;1)  x − y = y = Gọi F điểm đối xứng C qua BE Do BE phân giác nên F thuộc AB Xác định toạ độ F F(3; -2) Đường thẳng chứa cạnh AB đường thẳng qua B, F Phương trình AB là: 3x + 2y -5 = Toạ độ A nghiệm hệ: 3x + y − = x = ⇔ ⇒ B( 5;−5)  3x − y − 25 =  y = −5 Vậy phương trình AC là: 8x + 7y - = M (0; −1) AB = AM Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có cạnh AC qua điểm Biết , đường phân AD : x − y = 0, CH : x + y + = giác đường cao Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải: M '(a; b) +) Gọi Khi điểm đối xứng M qua phân giác AD I trung điểm uuuuur uuur  a b +1  MM ' / / nAD  MM ' ⊥ AD = a + b = −1 a = −1    −1 ⇒   a b −1  ⇔ ⇔ ⇔   a b −1  a − b = −1 b =  I  ; ÷∈ AD  I  ; ÷∈ AD  a − b −1 =     2   2 M '(−1;0) M '(−1; 0) Phương trình cạnh AB qua vng góc với CH là: ( x + 1) − 2( y − 0) = ⇔ x − y + = Tọa độ đỉnh A nghiệm hệ x − y +1 = x = ⇔  x − y = y =1 +) phương trình cạnh AC qua A M là: Tọa độ C nghiệm hệ +) A(1;1) ⇒ x − y +1 = ⇔ 2x − y −1 = − +1 2 x + y + =  x = −1/   ⇔ ⇒ C  − ; −2 ÷    2 x − y − =  y = −2 uuu r  r b −  uuuu  b +1  B ∈ AB ⇒ B  b; ⇒ AB = b − 1; , AM = (−1; −2) ÷  ÷     b = ⇒ B (5;3) ⇒ AB = AM ⇒ (b − 1) = 16 ⇔  b = −3 ⇒ B ( −3; −1) B (−3; −1) Do AD phân giác nên B C khác phía so với AD nên ta lấy Vậy   A(1;1), B (−3; −1), C  − ; −2 ÷   ⇒ MM ' 4) Đường trung trực – Tâm đường tròn ngoại tiếp Định nghĩa: Đường trung trực cạnh tam giác đường thẳng qua trung điểm vng góc với cạnh Ba đường trung trực ba cạnh tam giác tam giác đồng quy điểm O – gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác A c B' b C' O B A' C a Một số nhận xét: + Đường thẳng a đường trung trực cạnh BC B, C đối xứng với qua đt a + O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC BC ⇒ OA ' ⊥ BC OA = OB = OC A ' , trung điểm cạnh A(3; −2), B(1; 0) Ví dụ 1: Cho tam giác với Tam giác có diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp Tìm tọa độ đỉnh C Biết C có tung độ dương Giải: x + y − = 0, AB = 2 +) Phương trình cạnh AB là: M (2; −1) Gọi M trung điểm AB ⇒Phương trình đường trung trực cạnh AB (d) y = x−3 Do I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ +) I ∈ d ⇒ I ( x; x − 3) IA = R = ⇔ ( x − 3) + ( x − 1) = ⇔ x − x + = ⇔ x = ∨ x = TH1: Với x =1 ⇒ I (1; −2) ( x − 1) + ( y + 2) = -Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: yC > ( xC − 1) + ( yC + 2) = -Tọa độ C thỏa mãn phương trình: TH2: Với x=3 , vơ nghiệm theo giả thiết I (3; 0) ⇒ ( x − 3) + y = -Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: ( xC − 3) + yC = -Tọa độ C thỏa mãn phương trình: S∆ABC = -Ta có:  yC = − xC AB.d (C , AB) = ⇔| xC + yC − 1|= ⇔   yC = −3 − xC  xC = ⇒ C (3; 2) ⇔ yC = − xC ⇒ ( xC − 3) + (5 − xC ) =  xC = ⇒ yC = ( L) Với yC = −3 − xC ⇒ ( xC − 3) + ( xC + 3)2 = 4, Với vơ nghiệm C (3; 2) Vậy điểm cần tìm A(3; −4) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có , phương trình đường trung trực (d) cạnh BC, đường x + y −1 = 3x − y − = trung tuyến xuất phát từ đỉnh C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải: C (c;3c − 9) +) Giả sử M trung điểm BC ⇒ Gọi I trung điểm AB M (m;1 − m)  + 2m − c − 2m − 3c  I ; ÷ 2   ⇒ B(2m − c;11 − 2m − 3c) +) Vì I nằm đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C nên: + 2m − c − 2m − 3c − − = ⇔ 8m − 16 = ⇔ m = 2 uuur uu r BC ⊥ d ⇒ BC / / nd uu r uuur BC = (2m − 2c; 20 − 2m − 6c) nd = (1;1) với , ta có: +) Do 2m − 2c = 20 − 2m − 6c ⇔ m + c = ⇒ c = − m = B(1; −2), C (3; 0) Vậy A(−3; 4) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có đỉnh , đường phân giác góc A có phương trình x + y −1 = I (1; 7) tâm đường tròn ngoại tiếp Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC Giải: Ta có: IA = (C ) : ( x − 1) + ( y − 7) = 25 Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (C ) Gọi D giao điểm thứ hai phân giác góc A với Tọa độ D nghiệm hệ: x + y −1 = ⇒ D (−2;3)  2 ( x − 1) + ( y − 7) = 25  AD phân giác góc A nên D điểm cung nhỏ BC 3x + y + c = VTPT BC BC có phương trình dạng: uur ID ⊥ BC ⇒ ID = (3; 4) Gọi H hình chiếu A BC, K giao điểm ID BC S ABC = S IBC ⇔ Do 1 AH BC = IK BC ⇔ AH = IK ⇔ d ( A, BC ) = 4d ( I , BC ) 2 c = −39 |7+c| | 31 + c | = ⇔| + c |= | 31 + c |⇔  c = − 131 5  3x + y − 39 = Vậy BC có phương trình là: 15 x + 20 y − 131 = Liên hệ điểm đặc biệt trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác ABC: uuur uuur OG = OH A + Ba điểm O, G, H thẳng hàng + Gọi M trung điểm cạnh BC uuuu r uuur OM = AH H G O C B + Gọi H’ giao điểm AH với đường tròn O H’ đối xứng với H qua đt BC M (Việc chứng minh hệ thức dành cho bạn đọc) H' I (2; 2) Ví dụ Cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp H (2;12) , trực tâm Tìm tọa độ x+ y−2=0 đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng BC có phương trình Giải: IK ⊥ BC , K ∈ BC AA ' Kẻ Vì tam giác IBC cân nên K trung điểm BC Kẻ đường kính , ta chứng minh BHCA’ hình bình hành ⇒M trung điểm HA’ uur K ∈ BC ⇒ K (a; − a ) ⇒ IK = (a − 2; −a ) Ta có: a − −a = ⇔ a = ⇒ K (1;1) 1 Vì uur IK vecto pháp tuyến BC nên Mà K trung điểm HA’ nên Do I trung điểm AA’ nên  x A = xI − x A ' x = ⇒ A ⇒ A(4;14)   y A = yI − y A '  y A = 14 IB = IA ⇔ (b − 2) + b = (4 − 2) + (14 − 2) B ∈ BC ⇒ B (b; − b) Do  x A ' = xK − xH  x A' = ⇒ ⇒ A '(0; −10)   y A ' = y K − yH  y A ' = −10 Mà ⇔ 2b − 4b + = 148 ⇔ b − 2b − 72 = ⇔ b = ± 73 b = + 73 ⇒ B (1 + 73;1 − 73), C (1 − 73;1 + 73) Với b = − 73 ⇒ B(1 − 73;1 + 73), C (1 + 73;1 − 73) Với A(4;14) B(1 + 73;1 − 73), C (1 − 73;1 + 73) Vậy , B (1 − 73;1 + 73), C (1 + 73;1 − 73) Ví dụ (Trích đề thi khối D2010) Cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Giải: +) Gọi A' ⇒ A '(−7; 7) điểm đối xứng với A qua tâm I Ta chứng minh BHCA ' hình bình hành ⇒ BC, HA ' cắt trung điểm M uuur IM = (0;3) ⇒ ⇒ M (−2;3) IM ⊥ BC đường Do tam giác IBC cân nên với Phương trình cạnh BC là: y-3=0 C ∈ BC ⇒ C (c;3) (c > 0) +) Gọi Ta có: IC = IA ⇒ IC = IA2 ⇒ (c + 2) + 32 = (3 + 2) + (−7 − 0) ⇔ (c + 2) = 65 ⇔ c = −2 ± 65 c > ⇒ c = −2 + 65 ⇒ C ( −2 + 65;3) Do H (5;5) Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm , phương trình đường thẳng chứa cạnh BC x + y −8 = M (7;3) N (4; 2) Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua hai điểm Tính diện tích tam giác ABC Giải: +) Giả sử đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC · ' BC = H · ' AC H CH ' (cùng chắn cung ) H'≠ A · · CBH = HAC Khi ta có ·ACB ⇒ H · ' BC = CBH · ⇒ ∆BHH ' ⇒ H' Mặt khác (cùng phụ với ) cân B H đối xứng qua đường thẳng BC r u = (1; −1) +) Đường thẳng AH qua H nhận vecto phương BC làm vecto pháp AH :( x − 5) − ( y − 5) = ⇔ x − y = tuyến nên: H ' ∈ AH : x − y = ⇒ H '( h; h) Trung điểm HH ' thuộc BC nên: h+5 h+5 + − = ⇔ h = ⇒ H '(3;3) 2 (C ) +) Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : x + y + ax + by + c = ( a + b > 4c) M , N , H ' ∈ (C ) Do nên 7 + 32 + a + 3b + c =  a = −10  2  3 + + 3a + 3b + c = ⇔ b = −8  42 + 22 + 4a + 2b + c = c = 36  ⇒ (C ) : x + y − 10x − y + 36 =  Tọa độ A (với A≠ H' ) nghiệm hệ  x + y − 10x − y + 36 = x = y = ⇔ ⇒ A(6;6)  x = y = x − y = Tọa độ B, C nghiệm hệ  x + y − 10x − y + 36 =  y = − x  x = 3, y = ⇔ ⇔   x = 6, y = x + y − =  x + (8 − x) − 10 x − 8(8 − x ) + 36 = ⇒ BC = (3 − 6) + (5 − 2) = S= Diện tích tam giác ABC 1 | 6+ 6−8| BC.d ( A, BC ) = =6 2 12 + 12 (đvdt) Đường trung bình tam giác Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đường qua trung điểm hai cạnh tam giác A E M N C H B P Một số nhận xét: + Đường trung bình MN tam giác qua trung điểm hai cạnh AB, AC uuuu r uuur MN / / BC , MN = BC Gọi I giao điểm AP MN I trung điểm MN AP uuur uuur AH ⊥ BC AH AH = AE Kẻ , cắt MN E E trung điểm MN ( ) Ví dụ 1: Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trung điểm cạnh có tọa độ M (2;1), N (5;3), P(3; −4) Giải: Giả sử M, N, P trung điểm cạnh AB, AC, BC uuuu r MN = (3; 2) P(3; −4) Ta có: BC//MN nên đường thẳng BC qua BC: nhận VTCP là: suy pt cạnh x −3 y + = ⇔ x − y − 18 = AB :7 x − y − 12 = 0, AC :5 x + y − 28 = Tương tự ta có: pt cạnh 3x − y + = Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với đường cao AD có phương trình , trực tâm 1  M  ;4÷ xB < xC H (−2; −1) BC = 10 2  ; trung điểm cạnh AB, Tìm tọa độ A, B, C với Giải: +) Gọi N trung điểm cạnh AC MN đường trung bình tam giác ABC ⇒ MN ⊥ AD MN / / BC ⇒ phương trình đường trung bình MN: 25 1.( x − ) + 3( y − 4) = ⇔ x + y − =0 2 Lấy  25  N  − 3n; n ÷∈ MN ⇒ MN = 10 | n − |   ⇒| n − |= MN = Mà 10 BC = 2 ⇒n= ∨n= 2 n= TH1: Với ⇒ N  −1;   ÷ 2  A(a;3a + 5) ⇒ B (1 − a;3 − 3a), C ( −2 − a; − 3a ) Giả sử xC < xB n= TH2: Với ⇒ N  2;   ÷ A(a;3a + 5) ⇒ B (1 − a;3 − 3a ), C (4 − a; − 3a)  2 Giả sử loại ⇒ uuu r uuur ⇒ AB = (1 − 2a; −2 − a), HC = (6 − a;3 − 3a) Vì H trực tâm nên uuu r uuur a = 0∨ a = AB.HC = ⇔ (1 − 2a)(6 − a ) + ( −2 − 6a)(3 − 3a) = ⇔ 20a − 25a = A(0;5), B (1;3), C (4; 2) Với a=0 ta a= Với ta 35 11 A( ; ), B ( − ; − ), C ( ; − ) 4 4 4 A(0;5), B(1;3), C (4; 2) Vậy 35 11 A( ; ), B (− ; − ), C ( ; − ) 4 4 4 Bài tập áp dụng A(0; 2), B(− 3; −1) 1) Cho hai điểm Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp H ( 3; −1), I (− 3;1) tam giác OAB Đ/s: A(−1; 0), B(4; 0), C (0; m) 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh với m≠0 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G d1 :2 x + y + = 0, d :3x + y − = 3) Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng điểm B ∈ d1 , C ∈ d G (1;3) Tìm tọa độ điểm cho tam giác ABC nhận G trọng tâm, biết B (−35; 65), C (48; −73) A giao điểm hai đường thẳng Đ/s: A(2; −1), B(1; −2) 4) Cho tam giác ABC có G ∈d :x + y − = , trọng tâm C1 (15; −9), C2 ( −12;18) biết tam giác ABC có diện tích 13,5 Đ/s: Tìm tọa độ đỉnh C A(1;1), B ( −2;5) 5) Cho tam giác ABC có C ∈d :x − = , đỉnh trọng tâm G ∈ d ' :2 x − y + = Tính diện tích tam giác ABC Đ/s: S = 15 / G (−2;0) 6) Cho tam giác ABC có trọng tâm AB :4 x + y + 14 = , phương trình cạnh AC :2 x + y − = A( −4; 2), B ( −3; −2), C (1; 0) A, B, C Tìm tọa đỉnh , Đ/s: 7) Hãy xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C H (−1; −1) đường thẳng AB x− y+2=0 , đường phân giác góc A có phương trình 4x + y −1 = đường cao kẻ từ B có phương trình Cho tam giác ABC có đỉnh C (−10 / 3;3 / 4) Đ/s: A(3; −7) 8) H (3; −1) , trực tâm H (−2;0) , tâm đường tròn ngoại tiếp C (−2 + 65;3) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Đ/s: 9) Cho tam giác ABC có B ( ;1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, y −3 = D (3;1) AB tương ứng điểm D, E, F Cho đường thẳng EF có phương trình A(3;13 / 3) Tìm tọa độ đỉnh A biết A có hồnh độ dương Đ/s: D (−4;1) 10) Cho tam giác ABC có đỉnh G (1;1) , trọng tâm đường thẳng chứa phân giác x − y −1 = góc A có phương trình A(4;3), C (3; −1) Tìm tọa độ đỉnh A C Đ/s: 11) Cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A điểm D (5;3) giác góc A C ( −1; 6) 17 H( ;− ) 5 , chân đường phân M (0;1) trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh C? Đ/s: A(1;0) 12) Cho tam giác ABC có đỉnh hai đường thẳng chứa đường cao vẽ từ B x − y + = 0,3 x + y − = C có phương trình tương ứng Tính diện tích tam giác ABC B(−5; −2), C ( −1; 4) ⇒ S = 14 Đ/s: d1 : x + y + = 0, d : x + y − = A(2;3) 13) Cho điểm hai đường thẳng Tìm tọa độ điểm G (2;0) B d1 C d2 cho tam giác ABC có trọng tâm d :x − 4y − = 14) Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng , cạnh BC song song với d x+ y+3= Phương trình đường cao BH: đỉnh A, B, C Đ/s: M (1;1) trung điểm cạnh AC Tìm tọa độ 2 8 A(− ; − ), B(−4;1), C ( ; ) 3 3 x − 3y − = A(2;1) 15) Cho tma giác ABC có đỉnh , đường cao qua đỉnh B có phương trình x + y +1 = đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình B( −2; −3), C (4; −5) tam giác Đ/s: Xác định tọa độ đỉnh B, C ... −3) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết Trọng tâm G tam giác ABC nằm Ox Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC Giải: + Gọi G ∈ Ox ⇔ AG = , G trọng tâm tam giác ABC uuur... tích tam giác ABC 1 | 6+ 6−8| BC.d ( A, BC ) = =6 2 12 + 12 (đvdt) Đường trung bình tam giác Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đường qua trung điểm hai cạnh tam giác A E M N C H B P Một số. .. 10 3) Đường phân giác tam giác – tâm đường tròn nội tiếp: Định nghĩa: Đường phân giác tam giác đoạn thẳng từ đỉnh, chia góc tương ứng thành hai góc Ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm