2 MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ Bài Cho cấp số cộng un với n số nguyên dương thoã mãn u2013 2013; u2014 2014 Tính tổng: S 1 u1u2 u2u3 u2013u2014 Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh số hạng tổng quát cấp số cộng un un n Khi S 1 1 1 u1u2 u2u3 u2013u2014 1.2 2.3 2013 2014 1 1 1 1006 503 3 2013 2014 2014 1007 Bài x0 a Cho dãy số thực xn xác định n Tìm tất giá trị a xn 1 xn để xn với số tự nhiên n Hướng dẫn giải Giả sử xn với n Từ xn2 xn21 có Lại từ xn 1 2 2 2 xn 1 xn , n xn2 có 2 Suy xn xn 1, n 2 Từ xn1 1 1 xn2 xn2 xn xn xn , n 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: n n 1 2 1 2 2 a x0 x1 x2 xn , n 2 3 2 3 3 n 1 2 Mà lim nên phải có a a n 2 Thử lại với a Vậy a 1 xn 0, n 2 giá trị cần tìm Bài xn Cho dãy số x0 20; x1 30 xác định Tìm n để xn1.xn số xn 3xn 1 xn , n phương Hướng dẫn giải Từ công thức truy hồi xn ta có x 3x x n , x n21 x n2 3xn 1 xn x n21 xn x n 3xn 1 x n21 xn xn x n21 x n2 3xn 1 xn xn 1 n n 1 n x n2 xn 1 xn 1 Suy x n21 xn xn x n2 xn 1 xn 1 x12 x0 x2 500 x n21 x n2 3xn 1 xn 500 x n21 x n2 3xn 1 xn 500 x n1 x n xn 1 xn 500 Vậy xn1 xn 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn1 xn 500 số phương Đặt xn1 xn 500 b2 , xn1 xn a , a, b , a b Ta có a b2 501 a b a b 1.501 3.167 Khi ta tìm đượca = 201, b=1 xn1 xn 12600 n Với a = 85, b =82 xn 1 xn 7224 n Vậy n = xn1.xn số phương Bài Dãy 1 số 22 2015 un xác định u1 sau: Chứng un 1 un un 1, n * minh 1 2016 k 1 u k 2016 Hướng dẫn giải Ta có: un 1 – un un2 –2un un –1 (1) Do u1 u2 – u1 u2 u1 Từ phép quy nạp ta suy un dãy đơn điệu tăng thực sự, un nhận giá trị nguyên dương lớn với n 1, 2, Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dạng sau đây: un 1 –1 un2 –un un un –1 (2) Từ dẫn đến: un 1 1 1 1 , un (un 1) un un un un un 1 (3) Bây từ (3), ta có: 1 n 1 1 (4) u u u u k 1 k k 1 k k 1 k 1 n Từ (4) suy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 22 n1 1 un1 1 22 n1 22 un1 22 n (5) n (ở n 2016 ) Ta chứng minh (5) với n Khi với n 2016 Do un nguyên dương với n , (5) tương đương n1 22 un1 22 (6) n Xét n k Theo (2), ta có: uk 2 –1 uk 1 uk 1 –1 Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: uk 22 (22 1) 22 22 22 k k k k 1 k k 1 k 1 k 1 uk (22 1).(22 1) 22 22 k 1 22 k Như với n k , ta thu được: 2 uk 2 k k 1 k 1 2 uk 2 k (8) Từ (8) suy (6) với n 2,3, Vì (5) n 2016 Ta có điều phải chứng minh! Bài Cho dãy (an )n1 : a1 1; an 1 an2 5an 10 n an a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ tính lim an b) Chứng minh a1 a2 an n n Hướng dẫn giải a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: an n Đặt A x x 10 10 5 xét hàm f ( x) x( x 5) 5 x 5 x Suy f '( x) 10 5 x 3 0x 1; , f ( x) nghịch biến đoạn 2 a1 a3 a5 a2 k 1 A lim a2 k 1 b A Dẫn đến a2 a4 a6 a2 k A lim a2 k c A 1 ;1 c 5c 10 b 5 5c Kết hợp công thức xác định dãy ta được: b c 2 b b 10 c 5b Vậy lim an 5 5 b) Nhận xét: t 1; t f (t ) Dẫn đến a2 k 1 a2 k k a1 a2 a2 k 1 a2 k 2k 5 (1) Như bất đẳng thức với n 2k Trường hợp n 2k , ý a2 k 1 5 , kết hợp với (1) thu được: a1 a2 a2 k 1 a2 k a2 k 1 (2k 1) 5 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho dãy số un u1 1 sau u2 2 * nun 3n 1 un 1 n 1 un 3, n a) Chứng minh un 2n 3n, n * n 1 b) Đặt Sn uk Chứng minh n số nguyên tố n > S n chia hết cho n k 1 Hướng dẫn giải a) Với n , u1 21 3.1 1 n , u1 22 3.2 2 Giả sử uk 2k 3k ; uk 1 2k 1 k 1 Chứng minh uk 2k 2 k , k * Ta có kuk 2 3k 1 uk 1 k 1 uk kuk 3k 1 2k 1 k 1 k 1 2k 3k uk 2 2k 2 k Vậy uk 2 2k 2 k , k * n 1 b) Đặt Sn uk Chứng minh n số nguyên tố n S n chia hết cho n k 1 n 1 Ta có: Sn uk 22 2n1 1 (n 1) k 1 2n1 (n 1)n (n 1)n Sn 2n1 1 1 2 n1 Với n số nguyên tố chia hết cho n Do n số nguyên tố lớn (n 1)n chia hết cho n Vậy Sn n Bài u1 Cho dãy số un u2 18 Chứng minh n số nguyên tố * un 5un 1 6un 24, n n un chia hết cho 6n Hướng dẫn giải Đặt un 12 hay un 12, n * Khi vn2 5vn1 6vn v1 12 Ta v2 30 v 5v 6v n 1 n n2 Phương trình đặc trưng 5 có nghiệm Khi a.2n b.3n v1 12 2a 3b 12 a Ta có b v2 30 4a 9b 30 Suy 3.2n 2.3n Khi un 12 3.2n 2.3n 12 Ta có un 2n1 3n1 nên un chia hết cho Mặt khác n số nguyên tố nên theo định lý Fermat 2n 2(mod n) 3.2n 6(mod n) hay n n 3 3(mod n) 2.3 6(mod n) Từ un (3.2n 2.3n 12) 0(mod n) Suy un chia hết cho n Với n số nguyên tố n (n,6) Suy un chia hết cho 6n Cho dãy số xn Bài x 1 với x xn xn 5 xn xn 8 16 n 1 n N * a) Chứng minh xn 5n1 , với n n b) Đặt yn k 1 Tìm lim yn n xk Hướng dẫn giải a) Chứng minh xn 5n1 , với n x2 10 521 Giả sử ta có xn 5n1 n xn1 xn xn 5 xn xn 8 16 x n xn xn xn 16 xn xn xn 5.5n 1 5n Suy xn1 5n Vậy theo qui nạp xn 5n1 với n n b) Đặt yn k 1 Tìm lim yn n xk Ta có: xn1 xn 5xn xn1 xn2 5xn xn xn 3 1 1 xn 1 xn xn 3 xn xn 1 xn xn xn 1 n yn k 1 n 1 1 1 xk k 1 xk xk 1 x1 xn1 xn1 1 1 lim yn lim (vì xn1 5n lim ) n n n x xn 1 n 1 Vậy lim yn n Bài u1 Cho dãy số (un ) xác định sau: Chứng minh un 3un 1 2n 9n 9n 3, n p 1 với số nguyên tố p 2014 ui chia hết cho p i 1 Hướng dẫn giải Với n ta có: un n3 un1 (n 1)3 Từ có: un n3 un1 (n 1)3 32 un2 (n 2)3 3n1 u1 13 3n Vậy un 3n n3 , n , lại có u1 31 13 nên un 3n n3 , n + Nếu p : có đpcm p 1 + Nếu p số nguyên tố lẻ: u i 1 i (3 32 p 1 ) 13 23 ( p 1)3 p 1 1 p 1 1 3 (3 p 3) i p 1 (3 p 3) i p i 2 i 1 2 i 1 Theo Định lí Fermat nhỏ, suy p chia hết cho p Mặt khác i p i chia hết cho p 1 p, i 1, p nên: (3 p 3) i p i chia hết cho p Từ i 1 p 1 p 1 2014 ui 1007 (3 p 3) i p i chia hết cho p i 1 i 1 Vậy toán chứng minh cho trường hợp Bài 10 Cho dãy số xn x0 20; x1 30 xác định Tìm n để xn1.xn số xn 3xn 1 xn , n phương Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi xn ta có x 3x x n , x n21 x n2 3xn 1 xn x n21 xn x n 3xn 1 x n21 xn xn x n21 x n2 3xn 1 xn xn 1 n 1 n n x n2 xn 1 xn 1 Suy x n21 xn xn x n2 xn 1 xn 1 x12 x0 x2 500 x n21 x n2 3xn 1 xn 500 x n21 x n2 3xn 1 xn 500 x n1 x n xn 1 xn 500 Vậy xn1 xn 500 số phương Giả sử n số thỏa mãn xn1 xn 500 số phương Đặt xn1 xn 500 b2 , xn1 xn a , a, b , a b Ta có a b2 501 a b a b 1.501 3.167 Khi ta tìm a 201, b xn1 xn 12600 n Với a 85, b 82 xn 1 xn 7224 n Vậy n = xn1.xn số phương Bài 11 Bài Cho phương trình x2 x với số nguyên dương Gọi nghiệm dương phương trình Dãy số xn xác định sau x0 , xn1 xn , n 0,1, 2,3, Chứng minh tồn vô hạn số tự nhiên n cho xn chia hết cho Hướng dẫn giải Đầu tiên ta chứng minh số vô tỉ Thật vậy, số hữu tỉ số nguyên (do hệ số cao x 1) ước Do suy , trái giả thiết Do xn1 xn1 xn1 xn xn1 xn xn xn 1 xn xn 1 xn xn 1 x n xn 1 (1) Lại có , suy xn xn Vậy x x xn 1 xn n xn n xn xn 1 (do (1)) xn xn1 xn1 (mod ) Từ quy nạp ta có với k * , n 2k 1, xn1 xn(2 k 1) (k 1) (mod ) (2) Chọn k l l * , n 2l , từ (2) ta có x2l x0 l l (mod ) Vậy x2l chia hết cho , l * Bài 12 a0 a1 2004 a 10 Cho dãy số an xác định Chứng minh n 2014 an 7an 1 an 3978, n số phương Hướng dẫn giải Ta có an Đặt 7an1 an 3978 an 10 a 10 an 10 n1 2014 2014 2014 an 10 Ta dãy số xác định 2014 v0 v1 vn 7vn 1 2, n Ta phải chứng minh số phương x0 1; x1 Thật vậy, xét dãy số ( xn ) xác định xn 3xn 1 xn , n Hiển nhiên dãy số xn dãy số nguyên n , xn21 xn2 3xn 1 xn xn21 xn ( xn 3xn 1 ) xn21 xn xn Ta có xn21 xn2 xn 1 xn xn 1 ( xn 1 xn ) xn2 xn2 xn 1 xn 1 xn21 xn xn xn2 xn 1 xn 1 x12 x0 x2 1 xn21 xn2 xn 1 xn 1, n (2) Ta chứng minh xn2 , n (1) quy nạp Thật vậy, rõ ràng với n 0, n , (1) Giả sử (1) đến n k 1, k , tức xn2 , n 1, 2, , k ta chứng minh (1) với n = k+2, nghĩa chứng minh vk xk2 Thật vậy, theo công thức truy hồi dãy số an , giả thiết quy nạp, tính chất (2) dãy số xn , công thức truy hồi dãy số xn , ta có vk 7vk 1 vk xk21 xk2 xk21 xk2 2( xk21 xk2 3xk 1 xk ) xk21 xk 1 xk xk2 (3xk 1 xk ) xk2 Do số phương Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 13 Cho dãy số ( xn ) xác định xn 2013n a 8n3 1, n 1, 2, a số thực a))Tìm a cho dãy số có giới hạn hữu hạn b)Tìm a cho dãy số ( xn ) dãy số tăng (kể từ số hạng đó) Hướng dẫn giải a)Ta có xn (2a 2013)n ayn , yn 8n3 2n 8n3 (2n)3 (8n3 1)2 2n 8n3 4n2 (8n3 1) 2n 8n3 4n Do tồn giới hạn hữu hạn lim xn a n b)Từ lý luận phần a) ta suy ra) 2013 a 2013 lim xn 0 a n 2013 a 2013 Khi n Bởi điều kiện cần để tồn m N * cho xm xm1 xm2 a Ta chứng minh a Thật vậy: Với a 2013 2013 điều kiện đủ để có kết luận 2013 xn 1 xn 2013(n 1) a 8(n 1)3 2013n a 8n3 2013 a( 8(n 1)3 8n3 1) 2013 2013 ( 8(n 1)3 8n3 1) 2013 [2 ( 8(n 1)3 8n3 1)] 2013 (2 8n3 8( n 1)3 1) Vì (2 8n3 1)3 12 8n3 8n n 12.2n 6(2n) 8n3 8(1 3n 3n n3 ) 8(n 1) Suy x1 x2 x3 Vậy dãy số ( xn ) dãy số tăng kể từ số hạng với a tăng từ x1 10 2013 trường hợp ( xn ) dãy số