Vũ thế khôi hoán vị, chuyển vị, nghịch thế và một số bài toán liên quan

Hoán vị, chuyển vị, nghịch số tốn liên quan Vũ Thế Khơi, email: vtkhoi@math.ac.vn Viện Tốn Học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội Bài viết gồm ba phần, phần đầu giới thiệu ngắn gọn số định nghĩa tính chất hốn vị Phần thứ hai giới thiệu số nghịch hốn vị, tính chất số toán sơ cấp liên quan Trong phần cuối chúng tơi giới thiệu số kết tốn đếm số hoán vị thỏa mãn điều kiện cho trước Với mục đích giới thiệu cho giáo viên THPT, chúng tơi đưa nhiều ví dụ tập sơ cấp để minh họa Các kiến thức phần đầu phần thứ hai trình bày chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo [3] Phần cuối trình bày dựa theo tài liệu [1, 4, 5] Người đọc tham khảo tài liệu gốc để tìm hiểu sâu thêm kết trình bày Kiến thức hoán vị Khi lần đầu giới thiệu hoán vị cho học sinh thường định nghĩa hoán vị (1, 2, · · · , n) đơn giản dãy (a1 , a2 , · · · , an ) chứa số 1, · · · , n số lần viết theo thứ tự Định nghĩa hoán vị dãy số có thuận lợi đơn giản thường dùng phát biểu nhiều toán Một cách nhìn khác hốn vị coi hốn vị (a1 , a2 , · · · , an ) song ánh σ : , {1, 2, · · · , n} → {1, 2, · · · , n} cho σ(i) = Khi coi hốn vị song ánh ta lấy hợp thành hai hoán vị Để thuận tiện cho việc tính tốn hợp thành hai ánh xạ, người ta thường ký hiệu hoán vị sau:    ··· σ= a1 a2 · · · n−1 an−1 n  an Khi coi hoán vị song ánh ta phân tích hốn vị hợp thành hoán vị dạng đơn giản Trong nhiều tốn cần chứng minh tính chất cho hoán vị bất kỳ, ta cần chứng minh với hốn vị dạng đơn giản Một dạng phân tích hốn vị quan trọng phân tích thành xích sau: xét đồ thị có n đỉnh đánh số từ đến n Ta vẽ cạnh có hướng từ đỉnh i đến đỉnh σ(i) Từ tính chất song ánh σ ta suy đỉnh có cạnh vào cạnh Do ta nhận đồ thị có dạng hợp thành chu trình rời nhau, chu trình gọi xích Ta coi xích hốn vị vòng quanh tập {x1 , x2 , · · · , xk } ⊂ {1, 2, , n} ký hiệu (x1 x2 · · · xk ) Như hốn vị phân tích cách thành xích rời Ví dụ 1.1 Hốn vị   1 10 σ=  10 tương ứng với đồ thị sau Ta viết phân tích σ thành xích sau σ = (1 9)(3 5)(2 10) Với xích chứa phần tử k, tức σ(k) = k, gọn người ta thường bỏ không viết khơng gây hiểu lầm Một xích chứa hai phần tử (a b) gọi phép chuyển vị Ta ký hiệu si = (i i + 1), i = 1, 2, · · · , n − 1, phép chuyển vị đổi chỗ hai số i i + Định lý 1.2 Mọi hoán vị hợp thành số phép chuyển vị si Chứng minh Về trực giác ta thấy định lý cần đổi chỗ hai phần tử kề ta nhận hoán vị Lý luận chặt chẽ sau: Ở ta thấy hoán vị viết hợp thành xích Mọi xích lại viết thành hợp thành phép chuyển vị (x1 x2 · · · xn ) = (x1 xn )(x1 xn−1 ) · · · (x1 x2 ) 3 Hơn phép chuyển vị hợp thành si : (k l) = (k k + 1)(k + k + 2) · · · (l − l)(l − l − 1) · · · (k k + 1) Ta có điều cần chứng minh Ý tưởng coi hoán vị song ánh sử dụng phép hợp thành thường có ích giải tốn mà ta thực liên tiếp nhiều phép đổi chỗ Bài tập 1.3 Một gồm 2n + quân phân biệt Mỗi lần ta quyền thực hai cách tráo sau: - Lấy số quân cùng, giữ nguyên thứ tự chuyển cuối bài; - Lấy n quân xếp chúng vào n vị trí n + quân Chứng minh cách thực phép tráo ta nhận không 2n(2n + 1) hoán vị khác ban đầu Gợi ý: Ta coi ban đầu đánh số từ xuống 1, 2, · · · , 2n + Có thể thấy hai phép tráo tương ứng với hai loại hoán vị σk , τ : {1, 2, · · · , 2n + 1} → {1, 2, · · · , 2n + 1} xác định sau: σk (i) := i + k mod (2n + 1) với k = 1, 2, · · · , 2n + τ (i) := (n + 1)i mod (2n + 1) Như kết hợp hai phép tráo số hữu hạn lần ta nhận hốn vị có dạng: σ(i) = (n + 1)t i + c mod (2n + 1) Ta thấy (n + 1)t nhận 2n giá trị 1, 2, · · · 2n c nhận 2n + giá trị Ta có điều cần chứng minh Bài tập 1.4.(Nordic 2015) Có bách khoa tồn thư gồm 2000 tập xếp giá thành hàng ngang Ta quyền đổi chỗ sách theo hai cách sau: - Lấy số chẵn sách phần đầu, giữ nguyên thứ tự, chuyển xếp cuối; - Lấy số lẻ sách phần đầu, đảo ngược thứ tự xếp lại vào phần đầu Hỏi ta nhận hoán vị khác sách ban đầu cách thực số hữu hạn lần đổi chỗ trên? Gợi ý: Giả sử ban đầu có số 1, 2, · · · , 2000 Ta nhận thấy thực phép đổi chỗ có số chẵn ln vị trí chẵn có số lẻ ln vị trí lẻ Ta chứng minh đổi chỗ để xếp sách có sỗ chẵn vào vị trí chẵn cách tùy ý sách có số lẻ vào vị trí lẻ cách tùy ý Như tạo (1000!)2 ) hoán vị Điều suy từ hai nhận xét sau: - Ta đổi chỗ sách có sỗ chẵn kề mà khơng làm thay đổi có số chẵn khác; - Ta đổi chỗ sách có số lẻ kề mà không làm thay đổi sách khác Nghịch hoán vị số toán liên quan Xét hoán vị σ cho (a1 , a2 , · · · , an ) số (1, 2, · · · , n) Một cặp số (i, j) gọi nghịch i < j > aj Ta ký hiệu (σ) số nghịch σ Ví dụ 2.1 Nếu σ cho (1, 2, · · · , n) (σ) = Nếu σ cho (n, n − 1, · · · , 1) (σ) = n(n−1) Ta dễ thấy phép chuyển vị si biểu diễn dãy (1, · · · i − 1, i + 1, i, i + 2, · · · n) có (si ) = với i Ta có tính chất sau số nghịch Tính chất 2.2 (σ ◦ si ) = (σ) ± (si ◦ σ) = (σ) ± Chứng minh Giả sử σ cho (a1 , a2 , · · · , an ) dễ dàng tính σ ◦ si cho (a1 , · · · , ai−1 , ai+1 , , ai+2 , · · · , an ) Như < ai+1 (σ ◦ si ) = (σ) + > ai+1 (σ ◦ si ) = (σ) − Ta tính si ◦ σ(j) = si (aj ) =     i + aj = i     i       aj aj = i + aj = i, i + Như si ◦ σ tương ứng với dãy nhận từ (a1 , a2 , · · · , an ) sau đổi chỗ hai số ak = i al = i + Rõ ràng thay i i + hay ngược lại quan hệ lớn hơn, nhỏ số với số , i = k, l lại khơng thay đổi Như ban đầu hoán vị (a1 , a2 , · · · , an ) số i đứng trước i + sau đổi chỗ số nghịch tăng 1, i đứng sau i + sau đổi chỗ số nghịch giảm 5 Tính chất 2.3 Với σ τ hai hoán vị (1, 2, · · · , n) ta có (σ ◦ τ ) ≡ (σ) + (τ ) mod Chứng minh Theo Định lý 1.2 ta biểu diễn σ = si1 ◦ si2 ◦ · · · ◦ sik Sử dụng tính chất 2.2 liên tiếp ta có (σ) = (si1 ◦ si2 ◦ · · · ◦ sik−1 ) ± = · · · = ±1 ± · · · ± k lần Từ suy (σ) ≡ k mod Như có nhiều cách khác để phân tích hoán vị σ thành hợp thành si , số si xuất phân tích ln chẵn ln lẻ phụ thuộc vào tính chẵn, lẻ (σ) Tương tự ta có τ = sj1 ◦ sj2 ◦ · · · ◦ sjl (τ ) ≡ l mod Như σ ◦ τ = si1 ◦ si2 ◦ · · · ◦ sik ◦ sj1 ◦ sj2 ◦ · · · ◦ sjl Cũng lý luận tương tự ta có (σ ◦ τ ) ≡ k + l mod Ta có đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 2.4 Ví dụ giới thiệu trò chơi 15 gồm bảng cỡ × có 15 đánh số từ đến 15 ô trống Ta đẩy bên cạnh vào trống để thay đổi trạng thái bảng Vào năm 1880, Sam Loyd, nhà sáng chế trò chơi, câu đố tiếng người Mỹ đưa thách đố: đưa bảng trạng thái ban đầu hình bên tay trái hình bên tay phải Hình Câu đố Sam Loyd Sam Loyd treo thưởng 1000 Đô la cho lời giải, không nhận giải thưởng thách đố khơng thể làm Ta coi trạng thái bảng hoán vị số 1, 2, · · · , 15 nhận viết số từ trái qua phải từ xuống Như thách đố tương đương với việc đưa hoán vị (1, 2, · · · , 14, 15) thành hoán vị (1, 2, · · · , 15, 14) Ta nhận xét : - Khi trượt ô hàng vào trống hốn vị khơng thay đổi - Khi trượt ô cột vào ô trống số chuyển phía trước phái sau cách vị trí Tức ta thực lần đổi chỗ hai ô đứng cạnh nhau, số nghịch thay đổi tính chẵn, lẻ Do ta đánh số hàng 1, 2, 3, đại lượng: số nghịch + vị trí hàng trống mod bất biến Với bảng hình bên trái đại lượng hình bên phải đại lượng Vậy đưa bảng bên phải Bài tập 2.5 Có 10 sách, đánh số từ đến 10, xếp thành hàng ngang giá cách Mối lần ta đổi chỗ hai sách đứng cạnh Hỏi cần lần đổi để đảm bảo xếp sách theo thứ tự tăng dần Gợi ý: Dễ thấy cần không lần đổi đưa đầu, khơng q lần đổi đưa vị trí thứ hai, cần khơng q 45 lần đổi xếp tất theo thứ tự tăng dần Mỗi lần đổi hai kề số nghịch tăng giảm Vì ban đầu sách xếp theo thứ tự 10, 9, · · · , phải cần 45 lần đổi Vậy số lần đổi thỏa mãn đầu 45 Ta xét tập phát biểu tương tự cho phép đổi chỗ hai sách Bài tập 2.6 Có 10 sách, đánh số từ đến 10, xếp thành hàng ngang giá cách Mối lần ta đổi chỗ hai sách Hỏi cần lần đổi để đảm bảo xếp sách theo thứ tự tăng dần Gợi ý: Mỗi lần đổi chỗ hai phần tử hốn vị số lượng xích giảm tăng lên phụ thuộc vào hai phần tử có nằm xích hay khơng Dễ dàng thấy dùng lần ln đổi Xét hốn vị vòng quanh (2, 3, · · · , n, 1) cần lần đổi 7 Bài tập 2.7.[2] Giả sử lần ta quyền đổi chỗ hai khối kề khối chứa số phần tử Hỏi cần lần đổi để đưa hốn vị (n, n − 1, · · · , 2, 1) thành (1, 2, · · · , n) Gợi ý: Với hoán vị (a1 , a2 , · · · , an ), ta xét đại lượng số số i mà > ai+1 Ban đầu đại lượng n − 1, cuối Dễ thấy lần đổi chỗ hai khối đại lượng giảm nhiều 2, riêng lần đầu lần cuối giảm số lần lớn Ta cách dùng n+1 n+1 lần đổi chỗ khối thực Ví dụ n = ta làm sau: 9, 8, 7, 6, 5, , 3, 2, → 5, 4, 9, 8, 7, 6, , 2, → 5, 6, 3, 4, 9, 8, 7, , → 5, 6, 7, 2, 3, 4, 9, 8, → 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, → 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Bài tập 2.8.[3] Chứng minh τ = σ −1 ánh xạ ngược σ (τ ) = (σ) Bài toán đếm số hoán vị thỏa mãn điều kiện cho trước Trong mục xét số tốn tìm số hốn vị với điều kiện ràng buộc số nghịch hay điều kiện dãy ba phần tử Bài tập 3.1 Có hốn vị 1, 2, · · · , n có nghịch Gợi ý: Chỉ có hai trường hợp an = n an−1 = n, an = n − Từ dùng truy hồi ta đáp số n − Bài tập 3.2 Chứng minh có n − hốn vị có hai nghịch Gợi ý: Truy hồi, sử dụng kết 3.1 Bài tập 3.3 Có hốn vị (a1 , a2 , · · · , an ) 1, 2, · · · , n mà tồn số i để > ai+1 Ta có tốn khó đặt điều kiện vào dãy ba phần tử Ta đặt Sn (123) := {hoán vị (a1 , a2 , · · · , an )| khơng có số i < j < k mà < aj < ak } Sn (132) := {hoán vị (a1 , a2 , · · · , an )| số i < j < k mà < ak < aj } Ta định nghĩa tương tự cho tập Sn (231), Sn (321), Sn (213) Sn (312) Việc tính số phần tử tập kết đẹp đẽ lý thuyết hoán vị Trước tiên ta có số nhận xét đơn giản: - Có song ánh tự nhiên: Sn (123) → Sn (321), Sn (132) → Sn (231), Sn (213) → Sn (312) cho ((a1 , a2 , · · · , an ) → (an , an−1 , · · · , a1 ) - Có song ánh Sn (231) → Sn (312) cho σ → σ −1 Như ta cần tính số phần tử hai tập Sn (123) Sn (132) Ta có kết sau Định lý 3.4 [1, 5] Số phần tử Sn (132) 2n n+1 n Chứng minh Đặt an := |Sn (132)|, dễ thấy a1 = 1, a2 = Ta xét trường hợp = n, (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Sn (132) ⇐⇒ (a1 , a2 , · · · , ai−1 ) ∈ Si−1 (132) (ai+1 , ai+2 , · · · , an ) ∈ Sn−i (132) n ai−1 an−i , Từ ta có cơng thức truy hồi: an = ( quy ước a0 = 1) Đây cơng thức truy hồi cho số Catalan tiếng, với giá trị ban đầu Từ ta nhận an số Catalan 2n n+1 n Định lý 3.5.[1, 5] Hai tập Sn (123) Sn (132) có số phần tử Chứng minh Bạn đọc tham khảo tài liệu [1] Các kết sau chứng minh đơn giản truy hồi, thích hợp dùng làm tập cho học sinh Bài tập 3.6[5] Chứng minh |Sn (123)∩Sn (132)| = 2n−1 |Sn (132)∩Sn (213)| = 2n−1 Bài tập 3.7[4] Chứng minh có (n − 2)2n−3 hốn vị Sn (132) mà chứa dãy tăng dần có phần tử Tài liệu [1] Bóna, Miklós Combinatorics of permutations CRC Press, 2012 [2] Eriksson, Henrik, et al "Sorting a bridge hand." Discrete Mathematics 241.1-3 (2001): 289-300 [3] Knuth, Donald Ervin The art of computer programming: sorting and searching Vol Pearson Education, 1998 [4] Robertson, Aaron "Permutations containing and avoiding 123 and 132 patterns." Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 3.4 (1999) [5] Simion, Rodica, and Frank W Schmidt "Restricted permutations." European Journal of Combinatorics 6.4 (1985): 383-406  ... đổi có số chẵn khác; - Ta đổi chỗ sách có số lẻ kề mà không làm thay đổi sách khác Nghịch hoán vị số toán liên quan Xét hoán vị σ cho (a1 , a2 , · · · , an ) số (1, 2, · · · , n) Một cặp số (i,... 6, 7, 8, Bài tập 2.8.[3] Chứng minh τ = σ −1 ánh xạ ngược σ (τ ) = (σ) Bài tốn đếm số hoán vị thỏa mãn điều kiện cho trước Trong mục xét số tốn tìm số hốn vị với điều kiện ràng buộc số nghịch hay... hai số ak = i al = i + Rõ ràng thay i i + hay ngược lại quan hệ lớn hơn, nhỏ số với số , i = k, l lại khơng thay đổi Như ban đầu hoán vị (a1 , a2 , · · · , an ) số i đứng trước i + sau đổi chỗ số