chuyên đề phương trình lượng giác

Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 PHẦN 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ Kiến thức cần nhớ a) sinα cosα xác định ∀α∈ R Ta có: sin(α + k2π) = sinα cos(α + k2π) = cosα −1 ≤ sin α ,cos α ≤ b) ∀ m ∈ R, −1≤m≤ tồn α β cho sinα = m sinβ =m c) tanα xác định α ≠ π + k π , k ∈ Z cot α xác định α ≠ k π , k ∈ Z d) Dấu giá trị lượng giác Góc phần tư Góc lượng giác I II III IV − − + + − − cos + + − − tan + + − − cot + + Bảng giá trị lượng giác số cung hay góc đặc biệt : Gó c π/6(300) π/4(450) π/3(600) 0(00) Giá trị lượng giác Sin 1/2 /2 /2 Cos 1/2 /2 /2 Tg /3 Cotg || 3 /3 || : không xác định Các đẳng thức lượng giác Với k ∈ Z ta có : sin2α + cos2α = 1 π 1+ = (α ≠ + kπ ) tg α cos α sin 1+ 1 = cot g α sin α tgα cot gα = (α ≠ kπ ) π (α ≠ k ) Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối : α − α sin(−α) = −sin α cos(−α) = − cos α tan(−α) = −tan α cot(−α) = −cot α b) Cung bù : α π−α π/2(900) || Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 sin(π−α) = sinα cos(π−α) = −cosα tan(π−α)= −tanα cot(π−α)= −cot α c) Cung π : α π + α sin(π+α) = −sinα cos(π+α) = −cosα tan(π+α) = tanα cot(π+α) =cot α d) Cung phụ : α π −α sin(π/2−α) = cosα cos(π/2−α)= sinα tan(π/2−α) = cotα cot(π/2−α) = tanα e) Cung π/2 : α π +α (Xem) sin(π/2+α) = cos α cos(π/2+α) = −sin α tan(π/2+α) = −cot α cot(π/2+α)= −tan α Công thức cộng Với số thực a , b ta có : cos(a −b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb −sina.sinb sin(a − b) = sina.cosb −cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tg (a ± b) = tga ± tgb tgatgb (a ≠ π/2 + k π;b ≠ π/2 + k π;a+b ≠ π/2 + k π ;a−b ≠ π/2 + k π ) 6.Công thức nhân đôi sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − = − 2sin2a tg2a = tga − tg a ( a ≠ π/2 + k π , a ≠ π/4 + k π/2 ) cot2x= 7.Công thức nhân ba sin3a = 3sina − 4sin3a cos3a = 4cos3a − 3cosa tg3a = 3tga − tg 3a − 3tg a Chun đề: Phương trình lượng giác 11 Cơng thức hạ bậc − cos 2a + cos 2a sin a = ; cos a = 2 3sin a − sin 3a 3cos a + cos3a sin a = ; cos3 a = 4 Cơng thức tính sina, cosa, tga theo t = tg a (không học) a 1− t2 cos a = 1+ t2 Giả sử a ≠ π + k π ,đặt t = tg ,ta có : sin a = 2t 1+ t ; ; 10 Công thức biến đổi tích thành tổng tga = 2t 1− t2 [cos(a+b) + cos(a−b)] sina.sinb = − [cos(a+b) −cos(a−b)] sina.cosb = [sin(a+b) + sin(a−b)] cosa.sinb = [sin(a+b) − sin(a−b)] cosa.cosb = 11 Cơng thức biến đổi tổng thành tích a+b a −b cos 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos sin 2 12 Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích cos a + cos b = 2cos Khi ta có cơng thức : π π cos x + sin x = cos( x − ) = sin( x + ) 4 π cos x − sin x = cos( x + ) π sin x − cos x = sin( x − ) 13 Công thức bậc cao Sinx+ cosx=1- sin 2x= (3+ cos4x) Sin x+ cos x= 1- sin 2x Sin x+ cos x= (35+28cos4x+ cos8x) PHẦN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chun đề: Phương trình lng giỏc 11 Phng phỏp chung: Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa Ngoài PTLG có chứa biểu thức chứa tan x va cot gx cần điều kiện để tan x cot gx có nghĩa Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa phơng trình đà cho phơng trình Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đà đặt Những nghiệm không thoả mÃn điều kiện bị loại Ta dùng cách sau để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay khơng: - Cách 1: Thay giá trị x vừa tìm vào điều kiện thử xem có thoả mãn - Cách 2: Biểu diên ngộn cung điều kiện ngộn cug tìm đường tròn đơn vị.Ta loại bỏ ngộn cung nghiệm trùng với điều kiện - Cách 3: So sánh điều kiện trình giải phương trình Dạng 1: phương trình lượng giác Phng phỏp: 1.1 Giải biện luận phơng trình sin x = m (1) Do sin x ∈ [ 1;1] nên để giải phơng trình (1) ta biện luận theo bớc sau Bớc1: Nếu |m|>1 phơng trình vô nghiệm Bớc 2: Nếu |m| phơng trình vô nghiệm Bớc 2: Nếu m ta xét khả năng: -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc Khi phơng trình cã d¹ng  x = α + k 2π cos x = cos α ⇔   x = −α + k ,k  -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cos góc đặc biệt x = + k đặt m = cos α Ta cã: cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π ,k  Nh ta kết luận phơng trình có họ nghiệm 1.3 Giải biện luận phơng trình lợng giác tan x = m (c) Ta biện luận phơng trình (c) theo bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện cos x x ≠ π + kπ , k ∈ ¢ Bớc 2: Xét khả -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử phơng trình có dạng tan x = tan α ⇔ x = α + k , k  -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , đặt m = tan ta đợc tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ NhËn xÐt: Nh vËy víi giá trị tham số phơng trình có nghiệm 1.4 Giải biện luận phơng trình lợng giác cot x = m Ta cịng ®i biƯn ln theo m Bớc1: Đặt điều kiện sin x x ≠ kπ k ∈ ¢ (d ) Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Bíc 2: XÐt kh¶ -Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử phơng trình có dạng cot x = cot ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ -Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt , đặt m = cot ta đợc cot x = cot ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ Nhận xét: Nh với giá trị tham số phơng trình (d) có nghiệm Bi ỏp dụng: Giải phương trình lượng giác sau: Bài 1: (Dạng phương trình: sinx=m;cosx=m;tanx=m;cotx=m) a) sinx= b) cosx= c) tanx= d)cotx= f) sin4x= sin g) cox(3x-15 )=cos150 h)tan(3x+2)=tan Bài 2: (Dạng phương trình: sin[f(x)]=m;cos[f(x)]=m;tan[f(x)]=m;cot[f(x)]=m) 1.sin (πcosx) = 7.sin(x -4x)=0 cos(8sinx) = -1 8.cot(x +4x+3)=cot6 tan(πcosx ) = cot(π sinx) cos(πsinx) = cos(3πsinx) tan(π cosx) = tan(2π cosx) sinx2 = Bài 3: (Phương trình đưa phương trình lượng giác bản) sin2x-cos3x=0 tan (x+ )=1 2.cot +cot(2x-30)=0 7.sinx-cosx= cos3x 3.cosx= sinx 8.tanx+cotx=4 4.cot(x+ )+tan( -3x)=0 cosx.cos2x.cos4x.cos8x= 5.cot2x.cot(x+ )=-1 10 cos4x- sin4x=cosx-sinx 11 sin x-sin (x+ )=4sin cos cosx Bài 4: (Phương trình đưa phương trình tích phương trình bản) (2sin x − cosx)(1 + cosx) = sin x 3sin x + 2cosx = + 3tan x + sin x.cosx = cosx + sin x 2sin x + cotx = 2sin x + ( +cot2x)(3tanx- )=0 + tan x = 2sin x + cosx =0 cot x − tan x = cos2x + sin x (2sinx+1) =(2sinx+1)(sinx- ) 10 2sin x+cos2x=sinx 11 8cos x-1=0 12.sin x+sin 2x+sin 3x= 13 cosx+ cos2x+cos3x+cos4x=0 14 tan2x.sinx+ (sinx- tan2x)- =0 Bài 5:( Giải biện luận phương trình theo tham số m) Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 sinx+m=m.sinx mcosx-2(m-1)=(2m+3)cosx-1 3tanx-m=(m+2)tanx mcotx-1=cotx+m+2 Dạng 2: Phương trình bậc sinx cosx  Phương pháp: Ta cã thÓ lùa chän c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc Bíc 1:KiĨm tra -NÕu a + b < c phơng trình vô nghiệm -Nếu a + b c để tìm nghiệm phơng trình ta thực tiếp bớc Bớc 2: Chia vế phơng trình (1) cho a a + b2 V× ( a a + b2 a a + b2 b sin x + )2 + ( = cos α , a2 + b2 b a2 + b cos x = a + b , ta đợc c a + b2 ) = nên tồn góc cho b a + b2 = sin Khi phơng trình (1) có dạng sin x.cos α + sin α cos x = c a2 + b2 ⇔ sin( x + α ) = c a + b2 Đây phơng trình sin mà ta đà biết cách giải Cách 2: Thực hiƯn theo c¸c bíc x Bíc 1: Víi cos = ⇔ x = π + k 2π (k ∈  ) thử vào phơng trình (1) xem có nghiệm hay không? x Bớc 2: Với cos ⇔ x ≠ π + k 2π ( k Z ) x 2t t2 Đặt t = tan suy sin x = , cos x = 1+ t2 1+ t2 Khi phơng trình (1) cã d¹ng Chun đề: Phương trình lượng giác 11 2t 1− t2 a +b = c ⇔ (c + b)t − 2at + c − b = (2) 2 1+ t 1+ t Bíc 3: Gi¶i phơng trình (2) theo t , sau giải tìm x * Dạng đặc biệt: sin x + cos x = sin( x + ) = cos( x − ) 4 π π sin x − cos x = sin( x − ) = − cos( x + ) 4 π π sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x − ) π π sinx − 3cosx = 2sin(x − ) = −2cos(x + ) Bài tập áp dụng: Bài ( Dạng phương trình bậc sinx cosx) sin x − cosx + = sin x − 3cos2x − = 3sin x + 2cosx − 13 = 5sin x − 2cosx + = sinx+ cosx=1 (1+ )sinx+ (1- )cosx=2 Bài 2.(Dạng tìm m để phương trình sau có nghiệm) 2sin x + mcosx = − m m sin x − (m + 1)cosx + = 4sin xcosx + mcos2x − = mcos x + sin x = m + Bài 3.(Dạng phương trình asinP(x)+bcosP(x)=csinQ(x)+d.cosQ(x) (trong đó: a +b =c +d ) sin x + cos2x = 2sin x sin x − cos3x = sin x 2sin x − 3cosx + 13cos5x = 3sin x + 4cosx = 5cos6x cos3x − sin x = 3(cos2x + sin x) 6.cos4x- sin4x= cosx-sinx 2( sinx-cosx)= sin2x+3( cos x- sin x) cos2x+sin2x+2.sin(2x- ) Bài (Phương trình đưa phương trình bậc sinx cosx) 3sin(x+ )- 4sin( -x)+5=0 sin x+ cos x= sin4x+1 4sin x.cos3x+4cosx.sin3x+ cos4x=3 Cos x- sin2x= 1+ sin x (sinx+cosx).cosx=3+ cos2x cos2x+ sin2x+2.sin(2x- )= 3sin3x − 3cos9x = 1+ 4sin3 3x , π sin4 x + cos4(x + ) = 3(1 − cos x) = cos x , 2sin x Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 sin x + sin x = 10 3sinx + cosx = 11 cosx 12 tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) 2π 6π ; ) 14 2sin15x + cos5x + sin5x = Bài (Phương pháp đặt ẩn phụ- giải phương trình bậc sinx cosx) 1 3sinx + cosx = 3+ 3sinx + cosx +1 13 cos7x - 3sin7x + = ; x ∈ ( Sinx+ cosx+ = 3sinx-4cosx+ = (sin2x+ cos2x) -5 = cos(2x- ) Bài 6.(Phương trình đưa phương trình tích có thừa số dạng asinx+bcosx+c) 1+cot2x= Tanx-sin2x-cos2x+2(2cosx- )=0 Tanx-3cotx = 4(sinx+ cosx) 2cos x+cos2x+ sinx=0 1+ sin 2x+ cos 2x = sin4x Sin2x+2cos2x=1+sinx-4cosx Dạng 3: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác  Phương pháp: D¹ng3 1: a sin x + b sin x + c = (a ≠ 0; a, b, c Ă ) (1) Cách giải: Đặt t = sin x , ®iỊu kiƯn | t | Đa phơng trình (1) phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t ý kết hợp với điều kiện giải tìm x Dạng3 2: a cos x + b cos x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) (2) Cách giải: Đặt t = cos x điều kiện | t | ta đa phơng trình (2) phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t tìm x Dạng 3.3: a tan x + b tan x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) C¸ch giải: Điều kiện cos x x §Ỉt t = tan x ( t ∈¡ ) (3) + k , k  ta đa phơng trình (3) phơng trình bậc hai theo t , ý tìm đợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mÃn hay không Chuyờn : Phương trình lượng giác 11 D¹ng3 4: a cot x + b cot x + c = (a ≠ 0; a, b, c ∈ ¡ ) (4) C¸ch giải: Điều kiện sin x x k k  Đặt t = cot x (t Ă ) Ta đa phơng trình (4) phơng trình bậc hai theo ẩn t Bi áp dụng: Bài ( Phương trình bậc hai hàm số lượng giác) 4sin x − 4sin x − = 8sin x + 6cosx − = cos4x − cos2x + = 6sin 2 x + cos8x − 14 = 2(sin x + cos6 x) − sin x.cosx 4 =0 sin x + cos x = sin x − − sin x tan x + (1 − 3) tan x − = 10 2cot x − 3cot x − = + tan x − = 11 = 3cot x + cos x sin x tan x + = cosx Bài (Phương trình bậc ba hàm số lượng giác) 4sin x − 8sin x + sin x + = sin x = sin x − cos3x + 3cos2x = 2(1 + cosx) tan x − tan x + 3tan x − = cot x + − 3cot x − = sin x 2cos2 x − 8cosx + = cosx Bài 3.(Tổng hợp) 5sin x − 4sin x − = cos x − 3cos x − = 3tan x − 3tan x − =0 sin2x+cos2x=cos 4x sin x 2cos x − 2sin cot x + π cos(4 x + 2) + 3sin(2 x + 1) = cos x + 6cos x = = tan x = 25 sin x Bài ( Giải biện luận theo tham số m) Cho phương trình: cos2s+5sinx+m=0 a) Giải phương trình với m=-4 25 16 + 2sin x − sin x + sin x =1 2sin x.cos x − Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 b)Tìm m để phương trình sau có nghiệm Cho phương trình: cos2x-(2m+1)cosx+m+1=0 a) Giải phương trình với m = b)Tìm m để phương trình có nghiệm: x ∈ ( ; ) Cho phương trình : 5-4sin x- 8cos =3m a) Giải phương trình với m= b) Tìm m nguyên để phương trình sau có nghiệm Dạng 4: Phương trình bậc hai sinx cosx  Phương pháp: Phơng trình bậc hai sin x , cos x phơng trình a sin x + b sin x.cos x + c cos x = d (1) ®ã a, b, c, d ∈ Ă Cỏch1: Chia vế phơng trình (1) cho mét ba h¹ng tư sin x,cos x sin x.cos x Chẳng hạn chia cho cos x ta làm theo bớc sau: Bớc 1: KiÓm tra: cos x = ⇔ x = π + kπ , k ∈ ¢ xem nã cã phải nghiệm phơng trình(1) hay không? Bớc 2: Víi cosx ≠ chia c¶ hai vÕ cho cos x lúc phơng trình (1) trở thành a tan x + b tan x + c = d (1 + tan x) ⇔ ( a − d ) tan x + b tan x + c d = Đây phơng trình bậc hai theo tan ta đà biết cách giải Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin x = − cos x + cos x sin x ; cos x = ; sin x.cos x = 2 đa phơng trình đà cho phơng trình b sin x + (c − a)cos x = d − c − a Đây phơng trình bậc sin cos ta đà biết cách giải *Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng quát A(sin n x,cos n x,sin k x cos h x) = ®ã k + h = n; k , h, n ∈ ¥ Chuyên đề: Phng trỡnh lng giỏc 11 Khi ta làm theo bíc : Bíc 1: KiĨm tra xem cos x = có phải nghiệm phơng trình hay kh«ng? Bíc 2: NÕu cos x ≠ Chia hai vế phơng trình cho cos n x ta đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu Bi 1: (Phng trỡnh thun nht bc hai sinx cosx) sin 2 x − sin x − 3cos 2 x = 8sin x − 8sin x.cosx + 3cos x = −2 6sin x + sin x − 8cos x = cos x − sin x.cosx + cos2x = x x 4cos + sin x + sin = 2 2 sin x + cos2x = cos2x sin x + 6sinxcosx + 2(1 + )cos2x – - = 3sin2x - sinxcosx+2cos2x cosx=2 sin2x + 3 sinxcosx - 2cos2x=4 10 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 Bài 2.( Phương trình bậc ba,bậc4 sin x cosx ) 4sin x − sin x.cosx + 3cos3 x = sin x Sin x+ sinx.sin2x- 3cos x=0 3cos x- 4sin x.cos x+ sin x=0 Bài 3: (Phương trình dạng: asin x+bsin xcosx+csinxcos x+dcos x+esinx+fcosx=0) sin x + cosx = 4sin x sin x + cos2x + tan x = sin x + tan x = (tan x + 3cot x)sin x = 4(sin x + 3cosx) sinx - 4sin3x + cosx = (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 sin3x - sinx + cosx – sinx = tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 10.2cos3x = sin3x 11.cos3x - sin3x = cosx + sinx 12.sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 13.sin3(x - π /4) = sinx Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Bài 5.( Định m để phương trình sau có nghiệm) Định m để phương trình sau có nghiệm: a 3sin x -6sinxcosx-5cos x+m=0 b 6sin x+ msinxcosx-cos x=2+m 2.Cho phương trình : msin x-3sinxcosx-m-1=0 Tìm mđể phương trình có nghiện x∈( 0; ) Cos x-sinxcosx-2sin x-m=0 Giải biện luận theo m? Dạng 5: Phương trình đối xứng sinx cosx  Phương pháp: Dạng phương trình: a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = ®ã a, b, c ∈ ¡ (1) C¸ch 1: Do a(sin x + cosx) = + sin x cos x nên ta đặt π t = sin x + cos x = sin( x + ) = cos( − x) §iỊu kiƯn | t |≤ 4 t2 −1 Suy sin x cos x = phơng trình (1) đợc viết lại: bt + 2at (b + 2c) = Đó phơng trình bậc hai đà biết cách giải Cách 2: Đặt t = π π − x th× sin x + cos x = cos( − x) = cos t 4 1 π 1 sin x cos x = sin x = cos( − x) = cos 2t = cos t nên phơng trình (1) 2 2 trë thµnh b cos x + cos x − b + c = Đây phơng trình bậc hai đà biết cách giải *Chú ý: -Hai cách giải áp dụng cho phơng trình a(sin x cos x) + b sin x cos x + c = cách đặt t = sin x cos x lúc sin x cos x = 1− t2 - Nếu đặt t= sinx+cosx S = sin x+ cos x= ; S = sin x+cos x= ; ; S = sin x+cos x= S t - S.( ) Bài tập áp dụng: Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Bài 1: (Dạng phương trình đối xứng sinx cosx) 2(sinx +cosx) + sin2x + = sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)  π sin2x + 2sin x − ÷ = 4  tanx − 2sinx = + tanx = 2sinx + cos x 1 tanx cot x 3 sin x + cos x = 2sinxcosx + sin x + cosx 1- sin3x+ cos3x = sin2x 2sinx+cotx=2 sin2x+1 10 sin2x(sin x + cosx) = 11 (1+sin x)(1+cosx)=2 12 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 13 (sin x + cosx) = tanx + cotx Bài 2: Phương trình đưa phương trình đối xứng- dạng: sin x + cosx= a tan x + b cot x = c (a sin x ± b cos x) (1) ab Cách giải: Phơng trình (1) cã thÓ viÕt a sin x − b cos x = c(a sin x ± b cos x) sin x.cos x ⇔ (a sin x − b cos x)( a sin x + b cos x) = c( a sin x ± b cos x) ⇔ (a sin x [ ± ] b cos x) (a sin x [ m] b cos x) − c sin x.cos x  =  a sin x [ ± ] b cos x = ⇔  a sin x [ m] b cos x − c sin x.cos x = *Quy íc: Khi cã nhiỊu dÊu [ ± ] mét biĨu thøc hay mét hƯ hiểu lấy dòng lấy dòng dới Bi ỏp dng: Giải phơng trình (sin x + cosx) = tanx - cotx tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) (2) Bài 3: ( Phương trình đưa phương trình đối xứng dạng: a (tan x [ ±] sin x ) + b(cot x [ ±] cos x) ± (a + b) = víi a , b , c , d Ă ) (1) Cách giải: Chuyờn : Phng trình lượng giác 11 a(tan x [ ± ] sin x ± 1) + b(cot x [ ± ] cos x ± 1) = a b (sin x [ ± ] sin x.cos x + cos x) + (sin x [ ± ] sin x.cos x + cos x) = Ta cã: cos x sin x a b ⇔( + )(sin x [ ± ] sin x.cos x + cos x) = cos x sin x ⇔ b  a + =0  ⇔ cos x sin x  sin x [ ± ] sin x cos x + cos x = Đến đà biết cách giải b tan x =  a ⇔  sin x [ ± ] sin x cos x + cos x = T¬ng tù cho phơng trình a(tan x [ ] sin x) + b(cot x [ ± ] cos x) − a + b = Bi ỏp dng: Giải phơng tr×nh tan x − cot x − sin x + cos x + − = (3) Bài 4: (Phương trình đưa phương trình tích ,trong có thừa số phương trìnhđối xứng sinx cosx) Cotx-tanx=sinx+ cosx Sinx+ sin x+sin x+sin x= cosx+ cos x+cos x+ cos x Sinx+sin x+cos x=0 2sin x-sinx= 2cos x-cosx+cos2x 2sinx+cotx= 2sin2x+1 Dạng 6: Phương trình đối xứng tanx cotx  Phương pháp: Nhận dạng: 1)Phương trình có dạng: a(tan x+cot x)+b(tanx+cotx)+c=0 (1) 2)Phương trình có dạng: a(tan x+cot x)+b(tanx-cotx)+c=0 (2) Điều kiện : cosx.sinx≠ 0⇔ x≠ - Giải (1): Đặt t=tanx+cotx= + = (|t|≥ 2)⇒ tan x+cot x=t -2 Khi đó,(1) có dạng:a(t -2)+bt+c=0 ⇔ at +bt+c-2a=0.Giải phương trình theo t,chọn nghiệm t thồ mãn điêu kiện |t|≥ Với t=t ⇔ tanx+cotx=t ⇔ =t ⇔ sin2x= (Đây phương trình bản) -Giải(2): Đặt t=tanx-cotx ⇒ tan x+cot x=t +2 Khi đó,(2) có dạng:a(t +2)+bt+c=0 ⇔ at +bt+c+2a=0.Giải phương trình theo t, Với t=t ⇔ tanx-cotx=t ⇔ tanx- =t ⇔ tan x-t tanx-1=0(Đây phương trình bậc hai theo tanx Chú ý: t=tanx+cotx⇒ tan x+cot x=t -3t ; tan x+ cot x= t -4t +2 t=tanx-cotx⇒ tan x+cot x=t +3t Bài tập áp dụng: Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Bài 1: Giải phương trình sau: 2tanx+cotx= + (tanx+7).tanx+ (cotx+7)cotx+14=0 3(tanx+cotx)- 2(tan x+cot x)-2=0 Tanx+ tan x+tan x+ cotx+cot x+cot x=6 tan x-cot x-3(tan x+cot x)-3(tanx-cotx)+10=0 tan x + tan x + cot x + cot x − = 5(tan x + cot x) − 3(tan x + cot x) − = 11 tan x − 2(tan x + cot x) = − sin x + tan x + cot x + tan x = sin x 10 11 sin x + cos x = tan x + cot x 8(tan x + cot x) = 9(tan x + cot x) − 10 Dạng 7: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Dạng 7.1.Sử dụng công thức hạ bậc  Phơng pháp: Ta thực theo bớc sau: Bớc 1:Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Bớc 2: Thực việc hạ bậc phơng trình công thức *Hạ bậc đơn: Chuyờn : Phng trỡnh lng giác 11 1 sin x = ( 1− cos x ) sin x = ( 3sin x − sin x ) 1 cos x = ( 1+ cos x ) cos x = ( 3cos x + cos3 x ) sin x 1− cos x 3sin x − sin x 3 tan x = = tan x = cos x 1+ cos x 3cos x + cos3 x cos x 1+ cos x cot x = = sin x 1− cos x cot x = 3sin x + sin x 3cos x − cos 3x * Hạ bậc toàn cục sin x + cos x = − cos x 4 4 sin x − cos x = − cos x sin x + cos x = + cos x 8 sin x − cos6 x = cos3 x + cos x 4 Chó ý: (+) Tuú thuộc bậc toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp Chẳng hạn phơng trình bậc lẻ nhân tử bậc cao (giả sử 3) thông thờng ta không hạ bậc tất nhân tử mà chọn hai nhân tử để hạ bậc (+) Với nhân tử bậc cao ta phải hạ bậc Bài 1: Giải phương trình sau: sin x + sin 2 x + sin x = 2 2 cos x + cos 2x + cos 3x = sin x − sin x = sin 2 x x 3x = cos x + cos 2x sin + sin 2 2 sin x.cosx − cos3 x.sin x = 3 cos x.sin x + sin x.cos3x = sin x ` Bài 2: Giải phương trình sau: sinx- cos (x- )= = cos 4x Sin x+cos x= cot(x+ ).cot( -x) Sin x+sin (x+ )+ sin (x- )= Bài 3: (Hạ bậc-Đặt ẩn phụ) Sin 2x+cos 2x = Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Sin x+cos x = Sin x+cos x= cos 2x Bài 4: sin x + cos3 x + sin x.cot x + cos x.tan x = 2sin x sin x + cos5 x + (sin x + cos3 x)sin x = sin x + cos x x x sin + cos 2 − tan x sin x = + sin x + tan x − sin x 3 tan x + cot x + = sin x sin x Dạng 7.2.Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − = −2sin2a tg2a = tga − tg a ( a ≠ π/2 + k π , a ≠ π/4 + k π/2 ) sin3a = 3sina − 4sin3a ; cot2x= ; cos3a = 4cos3a − 3cosa ; tg3a = 3tga − tg 3a − 3tg a Bài 1: (Sử dụng công thức nhân đôi) 2cos x+cos2x+sinx=0 Cos2x+5sinx+2=0 Cos x+sin x= cos2x 4cosx-2cos2x-cos4x=1 Cos2x+5=2(2-cosx)(sinx-cosx) Bài 2: (Sử dụng công thức nhân ba) Sin xcos3x+cos sin3x=sin 4x Cos x.cos3x+ sin x.sin3x= Cos x.cos3x+sin x.sin3x=cos 4x π 8cos3(x + ) = cos3x (Đặt t=x+ ) Sin( - )= sin( + ) (Đặt t= - ) Dạng 7.3.Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tớch Phng phỏp: Ta đa phơng trình cần giải vỊ d¹ng  f ( x1 ) = f ( x1 ) f ( xn ) = ⇔   f ( xn ) = phơng trình: f ( x1 ), , f ( xn ) phơng trình có dạng chuÈn Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Bài tập áp dụng: Bài 1: 1/cos2x - cos8x + cos4x = 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 5/ 3sinx + 2cosx = + 3tanx 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - sin 3x sin x = 8/ 10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 4/ sin3 x + 2cosx – + sin2 x = 6/ sin2x + cos2x + cosx = 9/ 2cos2x - 8cosx + = cosx cos2x 11/ + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 1 14/ 2sin3x = 2cos3x + cosx sinx 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx )=0 cosx 16/ cos3x + cos2x + 2sinx – = 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 18/ sin2x = 1+ cosx + cos2x 19/ + cot2x = 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + sin2x 1- cos2x sin 2x 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 22/ + tanx = sinx + cosx tanx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = + 24/ 2 sin(x + ) = 25/ 2tanx + cotx = + π 1 + sinx cosx 26/ cotx – tanx = cosx + sinx cos2x = Bài 2: (lựa chọn phép biến đổi cho cos2x) sin 2x 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + 2cos3 x + cos x + sin x = 2sin x − cos x + cos x = sin x + cos3 x = cos x Dạng 7.4.Sử dụng cơng thức biến đổi tổng,hiệu thành tích Bài tập áp dụng: 1 + cos x + cos x + cos3 x = + sin x + cos3 x = cos x + sin x + cos x sin x + sin x + sin x + sin x = cos x + cos x + cos3 x + cos x Sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x Sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 Sin3x-sinx+sin2x=0 Cosx+cos3x+2cos5x=0 Cos10x-cos8x-cos6x+1=0 Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Dng 7.5 Phơng pháp biến đổi tích thành tổng Bài tập áp dụng: sin x.sin x = sin x.sin x cos3x.sin x = cos7x.sin x cos x.cos3x − sin x.sin x = sin x.sin x cos x.cos6x = cos x sin x + cos2x = + 2sin x.cos2x cosx.tan x = sin x sin x sin x + sin x sin8 x = cos x + cos x + cos6 x = cos x cos x cos3 x + Dạng 7.6 Phương pháp tách hệ số Bài tập áp dụng: cos x + cos3 x + 2cos5 x = sin x sin x = Dng 7.8 Phơng pháp số biến thiên ( sin x + 3) sin x x − ( sin x + ) sin + 1= (Đặt t=sin ) 2 Sin2x+cos2x=1+sinx-3cosx (t=cosx) 2sinx+cotx=2sin2x+1 (t=sinx) 2sin x − + ( 3sin x − 10 ) 3sin x − + − sin x = ( t = 3sin x − , t > ) Dạng 7.9 Phương pháp nhân cosx.cos2x.cos4x.cos8x= 2cos x − 8cos x + = cos x ( 1) (nhân hai vế của(1) với cosx≠ 0) 5x x = 5cos3 x sin ( ) (Nhân hai vế phơng trình (2) với 2 x cos ≠ Dạng 7.10 Biến đổi tổng đại lượng không âm Phương pháp: Các đại lượng không âm lượng giác bao gồm: A ,/A/, 1+cosx, 1-cosx,1+sinx, 1-sinx Bước1: Biến đổi phương trình cho dạng: A +A + +A =0 (1) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định: A ≥ với i=1,2, n sin Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Bước 3: Khi phương trình (1) ⇔ Bài 1: Giải phương trình sau: 2 2 cos x + cos x = sin 12 x + sin 16 x + cos x − cos x + 4(3sin x − 4sin x +1) = ( 1) ( 2) 4cos x + 3tan x − cos x + tan x + = ( ) tan x −1 + cot x −1 = ( 4) sin x 2 tan x + tan y + cot ( x + y ) =1 ( 5) tan x-2tanx+2sin x+ sinx+2=0 cos2x- sin2x- sinx-cosx+4=0 cos x-2cosx+1+sin x=0 cos2x+ cos -2=0 10 sinx+cosx= (2-sin3x) Dạng 7.11 Phương pháp đánh giá Bài 1: (Phương pháp đối lập) Nếu A=B=M Lưu ý: Phương pháp sử dụng tính chất phương trình lượng giác ,các biểu thức lượng giác,sử dụng bất đẳng thức côsi bunnhiaxcopki 1+ (1+cosx)=cos2(x+2tanx) =2sinx-1 sin x + cos x sin x = (Sử dụng tính chất hàm lượng giác ( ) biểu thức lượng giác) sin 2007 x + cos 2008 x =1 ( Dạng pitago) sin x + cos x 10 10 (1) (Phương trình lượng giác dạng sin x + cos x = sin x + 4cos 2 x pitago) 8 (1) ( sử dụng bất đẳng thức cosi) sin x + cos x = Cos3x+ =2(1+sin 2x) sin x + − sin x + sin x − sin x = ( sử dụng bunnhiaxcopki) Bài 2: ( Phương pháp đối lập) Nếu Đặc biệt: sinu+ sinv=2⇔ ; sinu-sinv=2⇔ ; sinu+sinv=-2 ⇔ Tương tự: sinu+cosv=2,sinu-cosv=-2, cosu-cosv=-2, Còn nhiều nội dung hay nữa!!! Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 Chúc em học tốt! ... phương trình: cos2s+5sinx+m=0 a) Giải phương trình với m=-4 25 16 + 2sin x − sin x + sin x =1 2sin x.cos x − Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 b)Tìm m để phương trình sau có nghiệm Cho phương. .. biện luận phương trình theo tham số m) Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11 sinx+m=m.sinx mcosx-2(m-1)=(2m+3)cosx-1 3tanx-m=(m+2)tanx mcotx-1=cotx+m+2 Dạng 2: Phương trình bậc sinx cosx  Phương. .. cos8x) PHẦN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên đề: Phương trình lượng giác 11  Phng phỏp chung: Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bớc sau: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa