Chuyên đề phương trình lượng giác ôn hsg

CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác chủ đề thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi cấp Tỉnh địa phương Tuy nhiên, phương pháp giải lại vô đa dạng, nhiều phải biến đổi linh hoạt thục công thức lượng giác Để đáp ứng yêu cầu tài liệu cho việc bồi dưỡng đội tuyển, dành thời gian biên soạn chuyên đề Chuyên đề khái quát lại phương pháp giải, đồng thời đưa ví dụ điển hình Sau tập tự luyện đề kiểm tra đội tuyển theo chun đề Ngồi ra, chun đề, tơi cịn trình bày số câu hỏi trắc nghiệm I – LÝ THUYẾT BỔ TRỢ Phương trình bậc hai quy bậc hai với hàm số lượng giác Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác Dạng Đặt Điều kiện asin2 x  b sin x  c  t = sinx  t 1 a cos2 x  b cos x  c  t = cosx  t 1 a tan x  b tan x  c  t = tanx  x   k (k  Z ) a cot x  b cot x  c  t = cotx x k (k  Z ) Nếu đặt: t  sin x hoaëc t  sin x điều kiện :  t 1 Phương trình bậc với sin cơsin Có dạng: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: a2  b2 ta được:  Chia hai vế phương trình cho a (1)  sin    Đặt: a a  b2 a b , cos   sin x  b a2  b2 b a b cos x      0, 2   c a  b2 sin  sin x  cos  cos x  phương trình trở thành:  cos( x   )  c a b c a2  b2  cos  (2)  Điều kiện để phương trình có nghiệm là: c a  b2  (2)  x    k 2 Lưu ý: 1  a2  b2  c2 (k  Z )  1   sin x  cos x 2  sin x  cos x  2sin( x  ) 2     sin x cos x 2  sin x  cos x  2sin( x  )       sin x cos x   sin x  cos x   sin( x  )    Cách 2: x    k 2 a) Xét có nghiệm hay không? x x   k 2  cos 0 b) Xét x   k 2  x 2t  t2 t tan , thay sin x  , cos x  ,  t2  t ta phương trình bậc hai theo t: Đặt: (b  c)t  2at  c  b  (3) Vì x   k 2  b  c 0, nên (3) có nghiệm khi:  '  a  (c  b )   a  b  c tan x t Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình: Ghi chú: 1) Cách thường dùng để giải biện luận 2) Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm: a2  b  c 3) Bất đẳng thức B C S: y  a.sin x  b.cos x  a2  b2 sin2 x  cos2 x  a  b2  y  a2  b2 vaø max y  a2  b  sin x cos x a   tan x  a b b II – CÁC VÍ DỤ Phương pháp đưa phương trình tích a) Phương pháp Phần nhiều phương trình lượng giác thường biến đổi phương trình tích có dạng f(x).g(x), f(x), g(x) hàm số bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác bậc sinx cosx b) Các ví dụ     cos  x    cos  x    cos x  4 4   Ví dụ 1: Giải phương trình Giải:     cos  x    cos  x    cos x  4 4      cos x.cos    cos x  1  3 2cosx 2 cos x   (cos x  2)( cos x  2 3 )=0  cos x  x   2k 2  cos x  cos x  0 3 x   2k  Vậy phương trình cho có nghiệm: sin2x  2cos x  sin x  0 tan x  Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Điều kiện: tan x  , cosx  Phương trình cho tương đương với: sin2x + 2cosx  sinx  =  2sinxcosx + 2cosx  (sinx + 1) =  2cosx (sinx + 1)  (sinx + 1) =  (2cosx  1)(sinx + 1) =  cos x       sin x     x   k 2   x    k 2  Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm phương trình cho là: x   k 2 Bình luận: Bài tốn trên, ta dễ dàng phân tích tử dạng tích Tuy nhiên, ta cần ý việc loại nghiệm khơng thích hợp cos3 x  cos x 2   sin x  Ví dụ 3: Giải phương trình: sin x  cos x Giải: Điều kiện: sin x  cos x 0   sin x   cos x  1 2   sin x   sin x  cos x  Phương trình cho tương đương với:    sin x    cos x  sin x  sin x.cos x  0    sin x    cos x    sin x  0  sin x    cos x    x   k 2    x    k 2  Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm phương trình cho là: x   k 2 Ví dụ 4: Giải phương trình:   x  sin x  cos x   sin x  cos x 1    k 2 Giải: Ta có:   sin x  cos x   sin x  cos x 1     2sin x.cos x  cos x    2sin x    sin x   cos x  2sin x  1   2sin x  1    0  sin x  0   2sin x  1 cos x   sin x  0  sin x      sin x  cos x 1 Do đó:   x   k 2  sin x     k    x  5  k 2  +) 1   sin x  cos x   sin  x    2 6  sin x  cos x 1  +)  x  x       k 2  x   k 2 6    k     5   k 2  x   k 2 6 Vậy phương trình cho có họ nghiệm là:  5  x   k 2 , x   k 2 , x   k 2 , x   k 2  k   6 Bình luận: Với phương trình có hệ số giống nên ta khéo léo xếp để đặt nhân tử đưa phương trình dạng phương trình tích   sin 2x  cos2x  5sinx +  cosx + + 2cos x  Ví dụ 5: Giải phương trình: (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 – 2015) Giải: cos x≠− Điều kiện: √3 Phương trình cho tương đương với:  s in2x  cos2x  5sin x    cosx + + 2 cos x  1 s in2x  cos2x  5sin x     3cosx + = 3cosx  2sinx  1 + 2sin x  5sin x + =  3cosx  2sinx  1 +  2sinx  1  sin x   =   2sin x  1   3cosx + sinx  =    x   k2    x  5  k2 s inx =      sin  x    1  x    k2        x   k2, k   So sánh với điều kiện, kết luận nghiệm phương trình là:  cos 3x cos x + 3(1  s in 2x) = cos (2 x  ) Ví dụ 6: Giải phương trình: Giải:  cos x cos x + 3(1  s in 2x) = cos (2 x  )     cos x cos x   sin x  1  cos(4 x  )     cos x cos x   sin x   sin x  cos x cos x  3(sin x  sin x) 0  cos x cos x  sin x cos x 0  cos x(cos x  sin x) 0    cos x 0 x   k   cos x 0     (k  Z )  tan 3x       cos 3x  sin x 0 x  k   18    x   k ; x   k (k  Z ) 18 : Vậy nghiệm phương trình Ví dụ 7: Giải phương trình 2cos x  sin x cos x 1 3(sin x  cos x) Giải: Ta có: 2cos x  sin x cos x 1 3(sin x  cos x)  (sin x  cos x)  3(sin x  cos x) 0  sin x  cos x 0  sin x  cos x 3 (1) Phương trình nên (1) sin x  cos x 3 vô nghiệm +( √3 )