BTVN buổi 6+7

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Các ánh xạ ánh xạ tuyến tính: (a) f (x, y, z) = (z, −y, x) (b) f (x, y, z) = |x| , 0, −y (c) f (x, y, z) = (y, z, 0) (d) f (x, y, z) = (x − 1, x, y) (e) f (x, y, z) = (2x, y − 2, 3y) (f) f (x, y, z) = (2x, y, 3y) Tồn hay không ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 thỏa mãn f (0, 1, 1) = (3, 1, −2), f (1, 1, 0) = (−3, 2, 1), f (1, 0, 1) = (4, −1, 1) f (1, 1, 1) = (3, 4, 2) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R2 [x] −→ R2 [x] xác định bởi: f (1) = + x, f (x) = − x2 , f (x2 ) = + 2x − 3x2 Cho ℘(R) không gian hàm biến thực khả tích khả vi Với hai số b, c ∈ R, xét ánh xạ T : ℘(R) −→ R2 :   x3 p(x) dx + c sin p(0)  T (p) = 3p(4) + 5p (6) + bp(1)p(2),  −1 Tìm b, c để T ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính T : R2 −→ R2 xác định T (x1 , x2 ) = (x2 , −x1 ) Tìm tất tập W R2 thỏa mãn T (W ) ⊂ W Cho f tốn tử tuyến tính khơng gian V hệ vectơ x1 , x2 , , xn thỏa mãn f (x1 ) = x1 f (xk ) = xk − xk−1 (k = 2, , n − 1) Chứng minh hệ x1 , x2 , , xn độc lập tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác định f (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t) (a) Tìm sở số chiều Im f (b) Tìm sở số chiều ker f Cho tốn tử tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 + 5x2 + 2x3 , 4x1 + 7x2 + (m + 1)x3 , x1 + x2 − 4mx3 ) (a) Tìm m để f khơng đẳng cấu (b) Với m vừa tìm được, tìm sở số chiều ker f , Im f Cho ánh xạ T : R2 −→ R thỏa mãn T (1, 1) = T (0, 1) = −2 (a) Tìm cơng thức T (b) Tìm T (8, 2) T −1 (6) (c) Hỏi T có phải đơn cấu khơng? 10 Cho V không gian vectơ F T1 , T2 : V −→ V ánh xạ tuyến tính thỏa mãn T1 ◦ T2 = T1 T2 ◦ T1 = T2 Chứng minh ker T1 = ker T2 11 Tìm hạng ánh xạ tuyến tính T : P3 [x] −→ P3 [x] xác định bởi: T (P (x)) = P (X + 1) − P (X) 12 Cho f : R3 −→ R3 ánh xạ tuyến tính Hỏi f có phải đồng cấu khơng thỏa mãn (a) f (1, 1, 1) = (1, 1, 1), f (1, 2, 3) = (−1, −2, −3), f (1, 1, 2) = (2, 2, 4) (b) f (1, 1, 1) = (1, 1, 1), f (2, 2, 3) = (3, 3, 5), f (1, 1, 2) = (2, 2, 4) 13 Cho T : R3 −→ R3 định nghĩa T (x, y, z) = (2x, 4x − y, 2x + 3y − z) (a) Chứng minh T đẳng cấu (b) Tìm T −1 (2, 4, 6) (c) Tìm T −2 14 Cho ánh xạ tuyến tính T : P3 [x] −→ P5 [x] xác định T (P (x)) = P (X) + X P (X) Chứng minh T tồn cấu 15 Cho ánh xạ tuyến tính T : R4 −→ R2 thỏa mãn: ker T = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = 5x2 x3 = 7x4 16 Tìm ma trận ánh xạ f : R3 −→ R4 có ảnh Span{(1, 2, 0, −4), (2, 0, −1, −3)} 17 Trong không gian R3 , cho hai hệ vectơ U = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)} V = {(2, 1, −1), (3, 2, −5), (1, −1, m)} (a) Tìm m để V sở R3 (b) Tìm ma trận chuyển sở từ U sang V 18 Cho ánh xạ tuyến tính ϕ : R3 −→ R2 xác định ϕ(x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z) (a) Tìm ma trận biểu diễn ϕ theo cặp sở S T , S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} T = {(1, 3), (2, 5)} (b) Chứng minh [ϕ(v)]T = [ϕ](S,T ) [v]S π 19 Cho L : R2 −→ R2 toán tử tuyến tính quay vectơ v ∈ R2 góc θ = Tìm trị riêng, vectơ riêng L? 20 Cho ánh xạ T : V −→ V có vectơ riêng v1 , v2 , , ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn Chứng minh v1 , v2 , độc lập tuyến tính 21 Cho λ trị riêng tốn tử tuyến tính T Chứng minh rằng, với đa thức f (t), ta có f (λ) trị riêng f (T )   −3 22 Cho ma trận A = 3 −5 3 −6 (a) Tìm sở khơng gian riêng A (b) A có chéo hóa khơng? 23 Ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , 2x2 + x3 , 2x2 + 3x3 ) có chéo hóa khơng? 24 Các tốn tử tuyến tính f : R3 −→ R3 sau có chéo hóa khơng? Tìm sở chéo hóa (nếu có) cho tốn tử tuyến tính (a) f (x, y, z) = (x + y, y + z, −2y − z) (b) f (x, y, z) = (x − y + z, x + y − z, −x + y + z) (c) f (x, y, z) = (x − y, y − z, x + z)   −2 25 Tìm tất số a ∈ R để ma trận A = 1 a −1 chéo hóa 1 −1   −1 n 26 Tính A biết A = −2 −2 1 3