BTVN buổi 4+5

KHƠNG GIAN VECTƠ Tập V với phép tốn sau có phải khơng gian vectơ khơng? (a) V = (x, y) | x, y ∈ R với phép toán xác định sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) k(a, b) = (ka, b) (b) V = (x, y) | x, y ∈ R với phép toán xác định sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) k(a, b) = (k a, k b) Tập V = (x, y) | x, y ∈ R với phép tốn sau có phải không gian vectơ R không? (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 y2 ) α(x1 , y1 ) = (αx, αy) Cho tập V = (a1 , a2 ) | a1 , a2 ∈ R Trên V định nghĩa phép cộng thông thường phép nhân sau:  (0, 0) c = Với c ∈ R, c(a1 , a2 ) = a2  ca1 , c = c V có phải khơng gian vectơ R hay khơng? Giải thích? Những tập sau không gian R4 ? (a) U = (a, b, c, d) | a + b = c + d (b) U = (a, b, c, d) | a + b = (c) U = (a, b, c, d) | a2 + b2 = (d) U = (a, b, c, d) | a2 + b2 = (e) U = (a + 2b, 0, 2a − b, b) | a, b ∈ R (f) U = (a + 2b, a, a − 2b, b) | a, b ∈ R Cho U không gian sinh hệ vectơ X = (2, 2, 1, 3), (7, 5, 5, 5), (3, 2, 2, 1), (2, 1, 2, 1) Tìm λ cho x = (6 + λ, + λ, −1 + λ, + λ) thuộc U Với λ này, hỏi x có biểu diễn tuyến tính qua vectơ X khơng? Các vectơ sau có phụ thuộc tuyến tính khơng? (a) A = ,B= 3 −1 ,C= 2 −5 −4 (b) u = t3 + 4t2 − 2t + 3, v = t3 + 6t2 − t + 4, w = 3t3 + 8t2 − 8t + (c) f (t) = e2t , g(t) = t2 , h(t) = t (d) f (t) = sin t, g(t) = cos t, h(t) = t Cho V không gian ánh xạ thực R Chứng minh ánh xạ x → |x − 1| , x → |x − 2| , , x → |x − 10| độc lập tuyến tính Cho hệ vectơ a1 , a2 , a3 độc lập tuyến tính Tìm k để vectơ a2 − a1 , ka3 − a2 , a1 − a3 độc lập tuyến tính? Tìm m để hệ vectơ sau độc lập tuyến tính: v1 = (1, 0, −1, 0), v2 = (1, −2m, m, 1), v3 = (1, 1, 1, 0) 10 Đâu sở R3 ? (a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, −1, 1)} (b) {(1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4)} 11 Chứng minh {(1, 1, 0, 0), (−1, −1, 1, 2), (1, −1, 1, 3), (0, 1, −1, −3)} sở R4 Tìm tọa độ (a, b, c, d) với sở 12 Mở rộng hệ độc lập tuyến tính {(1, −1, 1, −1), (1, 1, −1, 1)} thành sở R4 13 Tìm số chiều khơng gian sinh hệ vectơ: (a) v1 = t3 −2t2 +4t+1, v2 = 2t3 −3t2 +9t−1, v3 = t3 +6t−5, v4 = 2t3 −3t2 +7t+5 (b) f (t) = sin t, g(t) = cos t, h(t) = t 14 Tìm sở số chiều không gian U ∩ W , biết: U = (a, b, c, d) | a + b + c + d = W = (a, b, c, d) | a + b = 0, c = 2d không gian R4 15 Trong không gian P3 [x] đa thức bậc không 3, cho vectơ v1 = + x + x2 + 2x3 , v2 = x − x2 − x3 v3 = + 5x − 2x2 , v4 = + 7x + 3x3 Đặt V1 = Span{v1 , v2 }, V2 = Span{v3 , v4 } Tìm số chiều sở khơng gian V1 ∩ V2 16 Trong không gian P3 [x] đa thức bậc không 3, cho vectơ v1 = + x + x2 , v2 = x − x2 + x3 v3 = + 2x + x2 + x3 , v4 = + 2x + 4x2 Đặt V1 = Span{v1 , v2 }, V2 = Span{v3 , v4 } Tìm số chiều sở V1 +V2 17 Trong không gian P2 [x], cho vectơ v1 = + x + 2x2 , v2 = − x2 , v3 = + x Tìm m để v = − 2x + mx2 ∈ Span{v1 , v2 , v3 } 18 Tìm số chiều sở khơng gian nghiệm hệ phương trình:   3x1 + x2 + 12x3 + 11x4 =  −2x1 + 4x2 − x3 − 5x4 = x1 + x2 + 5x3 + 4x4 = 19 Tìm a, b để khơng gian nghiệm hệ sau có chiều 1:  bx + 3y + z =   (1 + 2b)x + (a + 5)y + 2z = (2b − 1)x + (a + 2)y + z =