CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với đường thẳng Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng d ⊥a d⊥b ⇒ d ⊥ ( P) a ∩b = I a, b ⊂ ( P ) Cách 1: ⇒ b ⊥ ( P) a ⊥ ( P) Cách 2: a / /b ∆ABC ⊂ ( α ) (α ) / /( β ) ⇒ a ⊥ (α ) β) ⊥a ( Cách 3: MA = MB = MC ⇒ MO ⊥ ( α ) OA = OB = OC Cách 4: , (Đường thẳng MO gọi trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng Ngoài cách “ Hai đường thẳng vng góc” ta sử dụng cách sau: a ⊥ (α ) ⇒a ⊥b b ⊂ (α ) Cách 5: Cách 6: Cách 7: (sử dụng định lí ba đường vng góc) a / /(α ) ⇒b ⊥a b ⊥ (α ) a ' = hchα ( a ) a ' = hchα ( a ) b ⊂ (α ) ⇒ b ⊥ a ' b ⊂ (α ) ⇒ b ⊥ a b ⊥ a b ⊥ a ' ; Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mp(ABC), tam giác ABC vuông B Trong mp(SAB) kẻ AM vng góc với SB M, kẻ MN song song với BC, N thuộc SC BC ⊥ ( SAB ) ; AM ⊥ ( SBC ) Chứng minh rằng: a) ; b) SB ⊥ AN 1 1) BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ SA 2) BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ AM ; ⇒ AM ⊥ ( SBC ) SB ⊥ AM AM ⊂ ( SAB ) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ SB MN / / BC MN ⊥ SB ⇒ SB ⊥ ( AMN ) ⇒ SB ⊥ AN AM ⊥ SB 3) Bài 2: Trong mp(P), cho đường tròn (C), đường kính AB Trên đường thẳng d vng góc với mp(P) A lấy điểm S(S khác A khác C), đường tròn (C) lấy ểm M( M khác A B) MB ⊥ ( SAM ) a) Chứng minh b) Dựng AH vng góc với SB H, AK vng góc với SM K CMR AK ⊥ ( SBM ) ; SB ⊥ ( AHK ) c) Gọi I giao điểm HK MB Chứng minh AI tiếp tuyến đường tròn (C) MB ⊥ AB ⇒ MB ⊥ ( SAB ) MB ⊥ SA 1) 2) MB ⊥ ( SAB ) ⇒ MB ⊥ AK ; AK ⊂ ( SAB ) MB ⊥ AK ⇒ AK ⊥ ( SBM ) ⇒ AK ⊥ SB SM ⊥ AK AK ⊥ SB ⇒ SB ⊥ ( AHK ) AH ⊥ SB 3) SA ⊥ ( P ) SB ⊥ ( AHK ) ⇒ SA ⊥ AI ; ⇒ SB ⊥ AI AI ⊂ ( P ) AI ⊂ ( AHK ) SA ⊥ AI ⇒ AI ⊥ ( SAB ) ⇒ AI ⊥ AB SB ⊥ AI Hay AI tiếp tuyến đường trịn (C) Bài 3: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc A SB, SC, SD a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) 2 b) CMR: AH ⊥ (SBC); AK⊥(SCD), từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK ⊥ (SAC) Từ suy HK ⊥ AI a) BC ⊥ AB CD ⊥ AD ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ; ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ; BC ⊥ SA CD ⊥ SA BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ; BD ⊥ SA b BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ AH ⇒ ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC AH ⊂ ( SAB ) SB ⊥ AH ( gt ) CD ⊥ ( SAD ) CD ⊥ AK ⇒ ⇒ AK ⊥ ( SCD ) ⇒ AK ⊥ SC AK ⊂ ( SAD ) SD ⊥ AK ( gt ) AH ⊥ SC AH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AHK ) ; ⇒ SC ⊥ ( AHI ) AK ⊥ SC AI ⊥ SC ⇒ ( AHK ) ≡ ( AHI ) (Vì có mp qua điểm A vng góc với SC) ∆SAB = ∆SAD ( c − g − c ) ⇒ SB = SD; AH = AK; ⇒ ∆SAH = ∆SAK ⇒ SH = SK SH SK ⇒ = ⇒ HK / / BD SB SD BD ⊥ ( SAC ) ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK ⊥ AI HK / / BD c) Bài 4: Cho tứ diện ABCD có DA vng góc (ABC) Gọi AI đường cao, H trực tâm tam giác ABC Hạ HK ⊥ DI 1) Chứng minh HK ⊥ (BDC) 2) Chứng minh K trực tâm tam giác DBC Giải: 3 BC ⊥ ( ADI ) DA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( DAI ) ; ⇒ BC ⊥ HK ; AI ⊥ BC HK ⊂ ( ADI ) HK ⊥ BC HK ⊥ DI BC I DI = I ⇒ HK ⊥ ( BCD ) BC,DI ⊂ ( BCD ) 2) BC ⊥ (ADI) ⇒ DI ⊥ BC hay DI đường cao tg DBC (1) CF ⊥ AB ⇒ CF ⊥ ( DAB ) ⇒ CF ⊥ DB CF ⊥ AD HK ⊥ ( DBC ) ⇒ HK ⊥ DB CF ⊥ DB HK ⊥ DB CF ∩ HK = H ⇒ DB ⊥ ( KFC ) ⇒ DB ⊥ CK HK ,CF ⊂ ( KFC ) hay CK đường cao t am giác BDC Từ (1) (2) suy K trực tâm tg BCD Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đ ều SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) CMR: SH ⊥ (ABCD) b)CMR: AC ⊥ SK CK ⊥ SD HD: 1)Tam giác SAB cạnh a, đường cao SH = a Tam giác BHC vuông H nên HC = a Lại có SC = a tam giác SHC vuông H SH ⊥ AB SH ⊥ HC ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) AB ∩ HC = H AB,HC ⊂ ( ABCD ) 4 2) SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AC Có KH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ (SHK) ⇒ AC ⊥ SK 3)SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CK ABCD hình vng nên HD ⊥ CK ⇒ CK ⊥ (SHD) ⇒ CK ⊥ SD Bài 6: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , tam giác SBC vuông B, tam giác SCD vuông D, có SD = a a) CM: SA ⊥ (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD l ần lượt I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao ểm K, L c SB, SD v ới mp(HIJ) CMR: AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL 5 1) BC ⊥ SB CD ⊥ SD ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SA; ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ SA BC ⊥ AB CD ⊥ DA SA ⊥ BC 2 ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) ;SA = SD − AD = a SA ⊥ CD ( SBC ) : SB∩ HI = K ⇒ K = SB ∩ ( HIJ ) ; ( SCD ) : SD ∩ HJ = L ⇒ L = SD ∩ ( HIJ ) SA ⊥ IJ ⇒ IJ ⊥ ( SAC ) ⇒ IJ ⊥ SC AC ⊥ IJ SC ⊥ ( HIJ ) ⇒ SC ⊥ AK IJ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( HIJ ) ; ⇒ AK ⊥ ( SBC ) AH ⊥ SC BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AK 2) SC ⊥ ( HIJ ) ⇒ SC ⊥ AL ⇒ AL ⊥ ( SCD ) CD ⊥ ( SCD ) ⇒ CD ⊥ AL 3) AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ KH ; AL ⊥ ( SCD ) ⇒ AL ⊥ HL AK = S AKHL a a 2a a a a ; AL = ; AH = ⇒ HL = ; HK = 15 3 1 8a = AK KH + AH HL = 2 15 Dạng 2: Xác định góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp : 1) ( ) a ⊥ ( α ) ⇒ a· ,(α ) = 900 ; a / /(α ) · a ⊂ (α ) ⇒ ( a ,(α ) ) = 2) ; a ⊥ (α) · · ⇒ a ,(α ) = ( a , a ' ) a ' = hchα a 3) ( 4) Nếu ) A = a ∩ ( α ) , để tìm hình chiếu a' đường thẳng a mp ( α ) , ta lấy điểm · · MH ⊥ ( α ) a ' = AH ⇒ a ,(α ) = MAH M ∈ a , dựng * Chú ý: H , ( a· ,( α )) = ( d· ,( α )) với d//a; ( ( a· ,( α )) = ( a· ,( β )) ) với ( α ) / / ( β) Bài toán “ bản” hình chiếu điểm mặt phẳng 6 Bài tốn 1:Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Tìm hình chiếu vng góc điểm A mp(SBC) Giải * Nếu tam giác ABC vuông tại B Dựng AH ⊥ SB BC ^ ( SAB ) ïü BC ^ ABü ïï ï Þ BC ^ AH ý Þ BC ^ ( SAB ) ; ý ù BC ^ SA ùùỵ AH è ( SAB) ùỵ AH ^ BC ü ïï ý Þ AH ^ ( SBC ) AH ^ SB ùùỵ Do ú H l hình chiếu vng góc điểm A mp(SBC) *Nếu tam giác ABC vng tại C Dựng AH ⊥ SC suy AH ⊥ (SBC) ü BC ^ AC ïü ïý Þ BC ^ ( SAC ) ; BC ^ ( SAC ) ïïý Þ BC ^ AH ï BC ^ SA ùùỵ AH è ( SAC ) ùỵ AH ^ SC ïü ïý Þ AH ^ ( SBC ) AH ^ SB ùùỵ Do ú H l hỡnh chiếu vng góc điểm A mp(SBC) * Nếu tam giác ABC không vuông tại B không vuông tại C Dựng AK ⊥ BC, sau dựng AH ⊥ SK Ta có SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAK ) ; AH ⊂ ( SAK ) ⇒ BC ⊥ AH AK ⊥ BC AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( SBC ) AH ⊥ SK Do H hình chiếu vng góc điểm A mp(SBC) 7 Bài toán 2: Cho tứ diện O.ABC ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Tìm hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng (ABC) Giải: OH ⊥ ( ABC ) H trực tâm tam giác ABC Û OA ^ OB ü ïï ý Þ OA ^ ( OBC ) Þ OA ^ BC OA ^ OC ùùỵ OA ^ BC ỹ ùù ý ị BC ^ ( OAH ) Þ BC ^ OH ( 1) AH ^ BC ùùỵ AB ^ OH ( 2) Chng minh tương tự OH ^ ( ABC ) Từ (1) (2) ta có Do H hình chiếu vng góc điểm O mp(ABC) Bài 1: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông C, cạnh AB = 2a,AC = a,SA = a Tính góc đường thẳng mặt phẳng trường hợp sau: a) SB, SC mp(ABC) b) BC, BA, BS mp(SAC) c) CA, CB, CS mp(SAB) d) SA, AC mp(SBC) · ( SB,( ABC )) = ( SB, AB ) = SBA = arctan · ( SC ,( ABC )) = ( SC , AC ) = SCA = 45 BC ^ ( SAC ) Þ ( BC ,( SAC ) ) = 900 · ( BA,( SAC )) = ( BA, CA ) = BAC = 600 · ( BS ,( SAC )) = ( BS , CS ) = BSC = arctan Dựng AK ^ SC Þ AK ^ ( SBC ) · ( SA,( SBC )) = ( SA, SK ) = ASK = ·ASC = 450 · · ( AC ,( SBC )) = ( AC , KC ) = ACK = ACS = 450 SI ^ ( ABCD ) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có với I trung điểm AB, ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB Tính góc gi ữa đường th ẳng mặt phẳng trường hợp sau: a) SC mp(ABCD) b) SD mp(ABCD) c) AD (SAB) d) SI mp(SCD) 8 SI ⊥ ( ABCD ) I nên I hcvg S a) mp(ABCD) suy IC hình chiếu vng góc SC mp(ABCD) · ⇒ ( SC ,( ABCD )) = ( SC , IC ) = SCI = arctan b) ID hình chiếu vng góc SD mp(ABCD) · ( SD,( ABCD )) = ( SD, ID ) = SDI = arc tan c) AD (SAB) AD ^ ABïü ïý Þ AD ^ ( SAB ) AD ^ SI ùùỵ ị c) ( AD,( SAB) ) = 900 d) SI mp(SCD) d) Dựng IH ^ CD,IK ^ SH Þ IK ^ ( SCD ) · · ( SI ,( SCD )) = ( SI , SK ) = KSI = HSI = arctan Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng t ại A B, đáy l ớn AD = 2a, AB = BC = a; SA ⊥ ( ABCD ) ; SA = a Tính góc đường thẳng mặt phẳng trường hợp sau: a) SC (SAD); b) SD (SAC); c) SB (SAC); d)AC (SCD) a)dựng CI ^ AD Þ CI ^ ( SAD ) · = 300 ⇒ ( SC ,(SAD)) = ( SC ,SI ) = CSI b) SD (SAC); 9 b) có ABCI hình vng Þ CI = AD hay tam giác ACD vuông C Þ CD ^ ( SAC ) · ⇒ ( SD ,(SAC)) = ( SD,SC ) = CSD = arccos c) SB (SAC); Gọi O = AC ầ BI ị BO ^ ( SAC ) · ⇒ ( SB,(SAC)) = ( SB,SO ) = BSO = arcsin d; AC (SCD) dựng AK ^ SC Þ AK ^ ( SCD ) · ⇒ (A C ,(SCD)) = ( AC, KC ) = ·ACK = ACS = 450 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy l ớn AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S mp(ABCD) trung ểm I AD, tam giác SAD a) Tính góc SC mp(ABCD) b) Gọi K trung điểm AB, tính góc KI mp(SAB) c) Tính góc BD mp(SAB) a) · ( SC ,(ABCD)) = ( SC , IC ) = SCI = 600 b) dựng IH ^ SK Þ IH ^ ( SAB ) · · ⇒ (IK,(SAB)) = ( IK, HK ) = IKH = IKS = arctan 2; a 3 SI = a 3; IK = ÷ c) dựng DN / / IH ( N ẻ AH ) ị DN ^ ( SAB ) ; DN = IH 10 10 · ⇒ (BD,(SAB)) = ( BD, BN ) = DBN 1 3a 3a = + Þ IH = Þ DN = IH SI IK 5 DN · sin DBN = = DB 11 11 ... (2) ta có Do H hình chiếu vng góc điểm O mp(ABC) Bài 1: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông C, cạnh AB = 2a,AC = a,SA = a Tính góc đường thẳng mặt phẳng trường hợp sau: a) SB,... SB ⊥ ( AMN ) ⇒ SB ⊥ AN AM ⊥ SB 3) Bài 2: Trong mp(P), cho đường tròn (C), đường kính AB Trên đường thẳng d vng góc với mp(P) A lấy điểm S(S khác A khác C), đường tròn (C) lấy ểm M( M khác A B)... ) với ( α ) / / ( β) Bài toán “ bản” hình chiếu điểm mặt phẳng 6 Bài tốn 1:Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Tìm hình chiếu vng góc điểm A mp(SBC) Giải * Nếu tam giác ABC vuông tại B Dựng AH