Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1: Bài 6 - ThS. Vũ Quỳnh Anh

Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 6: Hệ phương trình cramer và các ứng dụng trong phân tích kinh tế được biên soạn với mục tiêu giúp người học nắm được hệ phương trình Cramer; Phương pháp ma trận; quy tắc Cramer; ứng dụng trong phân tích kinh tế.

BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER – VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ ThS Vũ Quỳnh Anh Trường Đại học Kinh tế quốc dân v1.0014105205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Tìm giá cân thị trường có hai loại hàng hóa Xét thị trường hải sản gồm mặt hàng cua tôm Ký hiệu p1 giá 1kg cua, p2 giá 1kg tôm (đơn vị nghìn đồng) Ký hiệu Qs1, Qs2 lượng cua lượng tơm mà người bán lịng bán mức giá p1, p2 Ký hiệu QD1, QD2, lượng cua, lượng tơm mà người mua lịng mua mức giá p1, p2, Cụ thể Qs1, Qs2, QD1, QD2 cho theo quy tắc sau: QS1 = ─80 + p1, QD1 = 280 – 3p1 + 4p2 QS2 = ─70 + 3p2, QD2 = 130 + 2p1 – p2 Tìm mức giá cua, giá tơm mà người bán vừa bán hết hàng người mua vừa mua hết hàng thị trường v1.0014105205 MỤC TIÊU • Sinh viên nắm khái niệm tính chất hệ phương trình Cramer • Hiểu áp dụng thành thạo việc giải hệ phương trình Cramer theo hai phương pháp: Phương pháp ma trận nghịch đảo phương pháp Cramer • Nắm mơ hình cân thị trường Áp dụng vào tập • Nắm mơ hình cân kinh tế vĩ mơ áp dụng vào tập liên quan v1.0014105205 NỘI DUNG Hệ phương trình Cramer Phương pháp ma trận Quy tắc Cramer Ứng dụng phân tích kinh tế v1.0014105205 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER Định nghĩa: Một hệ phương trình tuyến tính có định thức ma trận hệ số khác gọi hệ Cramer Ví dụ:  x  2y  3z   z2 Cho hệ phương trình: 2x 3x  2y  1  Hệ phương trình có phải hệ Cramer khơng? Giải: 3 Ta có: d  A   (0   12)  (0   0)  6   8  Suy hệ phương trình hệ Cramer v1.0014105205 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER Tính chất: • Hệ Cramer ln có nghiệm • Một hệ phương trình với số phương trình số ẩn có nghiệm hệ Cramer hay định thức ma trận hệ số khác v1.0014105205 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN (Phương pháp ma trận nghịch đảo) • Hệ phương trình Cramer viết dạng ma trận AX = B với ma trận hệ số A ma trận khả nghịch • Nghiệm xác định theo công thức: X = A−1B  x1  b1      x b X   , B            x  n bn  v1.0014105205 VÍ DỤ Giải hệ phương trình sau phương pháp ma trận nghịch đảo:  x  2y  3z   z2 2x 3x  2y  1  Giải:  3    A  2  3    x   X  y z   1   B   1   Tính A–1 3 d A  v1.0014105205  (0   12)  (0   0)  6   8  0 VÍ DỤ Cột    A  11     A  12    A13     2 3 0 4  2 6    A*   7   4 4    v1.0014105205 Cột    A  21     A  22    A 23    3  6 3 9 4 Cột    A  31     A  32    A 33    3 2 3  7  4  2 6  1    A 1  A*    d 8    4 4  VÍ DỤ Vậy, nghiệm hệ là: x   6     2  12           18   X   y   A 1B      8   8  z         4 4   1  484   16        7 /   28    8      16   2  v1.0014105205 10 4.1 MƠ HÌNH CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG 4.1.1 Thị trường loại hàng hóa 4.1.2 Thị trường nhiều loại hàng hóa v1.0014105205 15 4.1.1 THỊ TRƯỜNG MỘT LOẠI HÀNG HĨA • Ký hiệu:  QS lượng cung hàng hố, tức lượng hàng hóa mà người bán lòng bán mức giá  QD lượng cầu hàng hố, tức lượng hàng hóa mà người mua lòng mua mức giá  p giá hàng hố • Hàm cung tuyến tính: QS = – a + bp (a,b > 0) • Hàm cầu tuyến tính: QD = c – dp (c,d > 0) v1.0014105205 16 4.1.1 THỊ TRƯỜNG MỘT LOẠI HÀNG HĨA • Mơ hình cân thị trường có dạng: Qs  a0  p Qs  a0  bp   Qd  c  dp  Qd  c  dp Q  Q a  bp  c  dp d  s  • Giải hệ phương trình ta tìm được: p0  a  c b  d Lượng cân bằng: Q0 = bc  ad bd Giá cân bằng: v1.0014105205 17 VÍ DỤ Cho biết hàm cung hàm cầu thị trường loại hàng hoá: QS = –20 + 1,5p QD = 100 – 0,5p Xác định giá lượng cân hàng hố Giải: Mơ hình cân bằng: QS  20  1,5p  QD  100  0,5p Q  Q D  S p  60  Q  70  20  1,5p  100  0,5p  2p  120 Vậy mức giá cân là: 60 lượng cân 70 v1.0014105205 18 4.1.2 THỊ TRƯỜNG NHIỀU LOẠI HÀNG HÓA Xét thị trường có n loại hàng hóa liên quan: Ký hiệu: Qsi lượng cung mặt hàng thứ i Qdi lượng cầu mặt hàng thứ i pi giá mặt hàng thứ i Hàm cung tuyến tính hàng hóa thứ i có dạng: Qsi = ai0 + ai1p1 + ai2p2 + … + ainpn Hàm cầu tuyến tính hàng hóa thứ I có dạng: Qdi = bi0 + bi1p1 + bi2p2 + … + binpn v1.0014105205 19 4.1.2 THỊ TRƯỜNG NHIỀU LOẠI HÀNG HĨA Mơ hình cân thị trường n loại hàng hoá liên quan: Qsi  ai0  ai1p1  ai2p2    ainpn  Qdi  bi0  bi1p1  bi2p2    binpn  Qsi  Qdi i  1,n  Giải hệ phương trình ta tìm mức giá cân lượng cân mặt hàng: p ,Q ,i  1,n i i v1.0014105205 20 VÍ DỤ Giả sử thị trường gồm hàng hoá liên quan Cho biết hàm cung hàm cầu loại hàng hoá sau: QS1 = –8 + p1, QD1 = 28 – 3p1 + 4p2; QS2 = –7 + 3p2, QD2 = 13 + 2p1 – p2; Hãy xác định mức giá cân lượng cân thị trường loại hàng Giải: Ta có hệ phương trình: 8  p1  28  3p1  4p2  p1  p2    7  3p2  13  2p1  p2  p1  2p2  10 1 1 d d1  d2   1,  28,  19 10 1 1 10 p1  28 Q1  20   p 19   Q2  50 v1.0014105205 21 4.2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MƠ Các ký hiệu: • Tổng cung: Y tổng thu nhập kinh tế; • Tổng cầu: E tổng chi tiêu theo kế hoạch kinh tế Chi tiêu phủ: G0 E Đầu tư cho sản xuất theo kế hoạch: I0 Tiêu dùng hộ gia đình: C E = I0 + G0 + C C = C(Y) = a + bY (a > 0; < b < 1) a: Tiêu dùng thiết yếu hay tiêu dùng tự định b: xu hướng tiêu dùng cận biên • Mơ hình cân kinh tế vĩ mô: a  I0  G0  Y  E Y    1 b E  C  I0  G0   C  a  bY C  a  b(I0  G0 )   1 b v1.0014105205 22 4.2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MÔ (tiếp theo) Trường hợp mở rộng: Có thuế thu nhập • Ký hiệu:  Thuế suất thu nhập: t  Thu nhập sau thuế (thu nhập khả dụng): Yd (YT) • Hàm tiêu dùng: C = a + bYd = a + b(1 – t)Y • Lập mơ hình:  Y  C  I0  G0  C  a  b(1  t)Y • Suy mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân bằng: Y v1.0014105205 a  I0  G0 ;  b(1  t) C a  b(1  t)(I0  G0 )  b(1  t) 23 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG u cầu tình tốn tìm giá cân thị trường có hai loại hàng hóa Ta xét hệ phương trình: QS1  QD1 80  p1  280  3p1  4p2 p1  p2  90    70  3p2  130  2p1  p2 p1  2p2  100 QS  QD2 1 90 1 90 d  1, d1   280, d2   190 100 1 1 100 d1  p   280  d  p  d2  190  d Vậy: Giá cua cần tìm p1 = 280 nghìn đồng/1kg Giá tơm cần tìm: p2 = 190 nghìn đồng/1kg v1.0014105205 24 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  x  3y  kz  3 Cho hệ phương trình: 2x  3y  4z  3x  y  2z   Để hệ có nghiệm giá trị k phải khác số: A 26/7 B −26/7 C −36/7 D 36/7 Trả lời: • Đáp án là: A 26/7 • Giải thích: d = −26 + 7k Hệ phương trình có nghiệm d ≠ suy k ≠ 26/7 v1.0014105205 25 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  x  3y  3z  k  Cho hệ phương trình: 2x  3y  2z  3x  y  z  2  Giải hệ phương pháp Cramer, ta tính d2 bằng: A −32 − 8k B 32 − 8k C −32 + 8k D 32 + 8k Trả lời: • Đáp án là: B 32 − 8k • Giải thích: Tính d2 cách bỏ cột thứ d, thay vào vế phải hệ phương trình v1.0014105205 26 BÀI TẬP  x  2y  3z  Giải hệ phương trình sau phương pháp định thức:  x  y  1  x  y  2z  2  Giải: d  1  ( 2  3)  ( 3  4) 1  5   6 d2  1  ( 2  6)  ( 3  10) 2  8   15 d1    x  d  d2    y  Vậy hệ phương trình có nghiệm d  d3  z     d  v1.0014105205 d1  1 1  ( 10  3)  (6  4) 2 1     9 d3  1 1  (2   5)  ( 5   1) 1 2  5   27 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số khác gọi hệ phương trình Cramer • Tính chất: Hệ Cramer ln có nghiệm • Phương pháp ma trận để giải hệ Cramer: Nghiệm tìm theo cơng thức X = A–1B • Phương pháp định thức: Tìm nghiệm hệ phương trình Cramer n ẩn số x1, x2, … , xn theo công thức dj  x   j d   j  1,n  QS  a  bp  Mơ hình cân thị trường loại hàng hóa Qd  c  dp a  bp  c  dp  • Giá cân bằng: p0  v1.0014105205 ac bc  ad Lượng cân bằng: Q0  b d bd 28 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Mơ hình cân thị trường n loại hàng hóa: Qsi  ai0  ai1p1  ai2p2   ainpn  Qdi  bi0  bi1p1  bi2p2   binpn  Qsi  Qdi i  1,n  Chuyển hệ phương trình thành hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn p1, p2, pn suy giá cân Thay giá cân vào hàm cung hàm cầu mặt hàng, tính lượng cân v1.0014105205 29 ... v1.0014105205 21 4.2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG KINH TẾ VĨ MƠ Các ký hiệu: • Tổng cung: Y tổng thu nhập kinh tế; • Tổng cầu: E tổng chi tiêu theo kế hoạch kinh tế Chi tiêu phủ: G0 E Đầu tư cho sản xuất theo kế hoạch:... kz  3 Cho hệ phương trình: 2x  3y  4z  3x  y  2z   Để hệ có nghiệm giá trị k phải khác số: A 26/ 7 B − 26/ 7 C − 36/ 7 D 36/ 7 Trả lời: • Đáp án là: A 26/ 7 • Giải thích: d = − 26 + 7k Hệ...   d  v1.0014105205  16  x  2  8  28   y   8  16  z   2    13 ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 4.1 Mơ hình cân thị trường 4.2 Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ v1.0014105205 14